专题4 与三角形有关的实际应用题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮专项突破配套课件（河北专用）

数 学 河北 二轮专项突破 1 专题四　与三角形有关的实际应用题 (2024.22) 二、解答题强化 1. (2025沧州盐山县校级模拟)如图1，是液体过滤的实验装置，图2是其侧面示意图，已知底座高度AB＝3 cm，烧杯高度EF＝12 cm，漏斗的一端紧贴烧杯内壁，漏斗的锥形部分MN＝GH＝8 cm，且∠MNH＝∠GHN＝60°，漏斗管位于烧杯的上方部分FG＝6 cm，玻璃棒斜靠在三层滤纸的点P处，PG＝ GH，玻璃棒PQ的长度为30 cm.(结果精确到0.1 cm) 图2 图1 解：由题意可知NH∥AD，FE⊥AD， 如解图，延长FG交NH于点T，则GT⊥NH. ∵∠GHN＝60°， ∴TG＝GH· sin ∠GHN＝8× ＝4 (cm)， ∴TE＝TG＋FG＋EF＝4 ＋6＋12≈24.9(cm)， ∴漏斗口处点N到底座AD的高度约为24.9 cm. (1)求漏斗口处点N到底座AD的高度； (参考数据： ≈1.73) (2)某次过滤时，玻璃棒与水平方向的夹角为53°，求此时玻璃棒顶端Q点 到桌面的距离.(参考数据： sin 53°≈0.80， cos 53°≈0.60，tan53°≈1.33， ≈1.73) 解：如解图，过点P作PK∥FG，交NH于I，过点Q作QK⊥PK， 由题意可知∠PQK＝53°， ∴PK＝PQ· sin ∠PQK＝PQ· sin 53°≈30×0.8≈24(cm). ∵GH＝8 cm，PG＝ GH，∴PH＝ GH＝ (cm)， ∴PI＝PH· sin ∠GHN＝ × ＝ (cm)， 此时玻璃棒顶端Q点到桌面的距离为PK－PI＋TE＋ AB≈24－ ＋24.9＋3≈49.6(cm). 2. (2025邯郸育华中学模拟)木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标 灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标.某天，一 艘渔船自西向东(沿AC方向)以每小时10海里的速度在琼州海峡航行， 如图所示. 航行记录 记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西60°方向上的A处. 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西45°方向上的B处. 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东15°方向. 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：∠PAB＝ °，∠APC＝ °，AB＝ 海里； 30　 75　 5　 【解法提示】如解图，过点P作PD⊥AC于点D，则△APD、△BPD、△CPD都是直角三角形.由题可知∠APD＝60°，∠BPD＝45°，∠CPD＝15°，∴∠PAB＝30°，∠APC＝∠APD＋∠CPD＝75°，由 题可知渔船每小时航行10海里，渔船从A处航行至B处所用时间为30分钟，即半小时，故AB＝ ×10＝5(海里). (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区？请计算 说明.(参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45) 解：该渔船会进入“海况异常”区.说明如下： 设PD为x海里， 在Rt△BPD中，∠BPD＝45°， ∴∠PBD＝45°， ∴BD＝PD＝x， 在Rt△APD中，∠APD＝60°， ∴∠A＝30°，tan∠APD==3，cos∠APD==， ∴AD=PD，AP＝2PD. ∵AB＝AD﹣BD， ∴PD﹣PD＝5， ∴PD＝(+1)， ∴AP＝2PD=5(+1)≈13.65， 在△APC中，∠A＝30°，∠APC＝75°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠APC＝75°， ∴∠C＝∠APC， ∴AC＝AP≈13.65， 设上午9时渔船航行至E处，则AE＝10， ∴CE＝AC﹣AE≈3.65＜5， ∴该渔船会进入“海况异常”区． 3. [河北人文信息]定州开元寺塔，又名“瞭敌 塔”，建成于北宋至和二年(1055年)，为第一批全国 重点文物保护单位(如图1).某兴趣小组欲测量开元寺塔 的高度AB，如图2，先在地面上C处竖直立了一个高 度为4米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端 D，塔的顶端A正好在一条直线上，测得CE＝2米.再从点E出发沿着直线BE方向前进14米到达点G. 在点G处放置一平面镜，当测量人员站在F处时，恰好在平面镜中看到塔顶端A的像，此时测得测量人员的眼睛到地面的距离HF＝1.5米，FG＝1米.已知点F，G，E，C与塔的底端B在同一直线上，AB⊥BF，CD⊥BF，HF⊥BF. (平面镜厚度忽略不计) 解：∵AB⊥BF，CD⊥BF， ∴AB∥CD， ∴△ECD∽△EBA， ∴ ＝ . ∵CE＝2米，CD＝4米， ∴ ＝ . (1)求BE与AB的数量关系； (2)求开元寺塔的高度AB. 解：由题意得∠HGF＝∠AGB. ∵AB⊥BF，HF⊥BF， ∴△FHG∽△BAG，∴ ＝ . 由(1)知， ＝ ，设BE＝x米，则AB＝2x米， ∴ ＝ ，∴x＝42， 经检验，x＝42是所列分式方程的解，且符合题意， ∴AB＝84米. 答：开元寺塔的高度AB为84米. 4. 风力发电是我国电力资源的重要组成部分.嘉嘉为了解某风力发电机的 风叶长度，通过测量其影子长度的方法进行计算.如图(图中所有的点均在 同一平面，太阳光线视为平行光线)，线段OA，OB，OC表示三片风 叶，OA＝OB＝OC，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°，某时刻OA， OB的影子恰好重合为线段EF，OD⊥EF于点D，测得DE＝36 m，EF ＝20 m.同一时刻测得高4 m的标杆MN的影长为3 m. 解：∵OA＝OB，∠AOB＝120°， ∴∠ABO＝∠A＝ ＝30°. 由题意得OE∥NG，∠ODE＝∠NMG＝90°， ∴∠OED＝∠NGM， ∴△ODE∽△NMG， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴OD＝48 m. (1)求∠ABO的度数及OD的长； (2)求风叶转动时点B到地面DF的最小距离. 解：如解图，过点O作OH⊥AB于点H， 过点E作EI⊥AF于点I， 在Rt△NMG中，由勾股定理得NG＝5 m. 同理可证△EIF∽△NMG， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴EI＝16 m， 由题意得OE∥AF， 而OH⊥AF，EI⊥AF， ∴OH＝EI＝16 m. ∵在Rt△OBH中，∠ABO＝30°， ∴BO＝2OH＝32(m)， ∴当OB⊥DF时，48－32＝16(m)， ∴风叶转动时点B到地面DF的最小距离为16 m. 5. (2025邢台南宫市模拟)【实践课题】测量河对岸两棵树之间的距离. 【实践工具】皮尺、测角仪、标杆等. 【实践活动】研学游期间，甲同学在拍照时，发现河对岸有A，B两棵树 (AB与河岸平行)，于是他提出：在不过河的前提下，如何测量河对岸的树 A与树B之间的距离呢？ 【问题解决】(1)请根据乙同学的方案，计算出A，B两棵树之间的距 离.(结果精确到0.1 m，参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80， tan37°≈0.75) 解：过点D作DE⊥AB于点E. ∵AB∥CD，DE⊥AB，∠DCB＝90°， ∴∠EDC＝∠DCB＝∠DEB＝90°， ∴四边形BCDE是矩形， ∴CD＝EB＝20 m，BC＝DE. 乙同学观察地形，制订了测量方案：如图1，在河岸一侧确定两个点C， D，使CD与河岸平行，且∠DCB＝90°，经测量CD＝20 m，∠ADB＝ 82°，∠BDC＝45°. ∵∠ADB＝82°，∠BDC＝45°，∴∠ADC＝127°， ∴∠ADE＝∠ADC－∠EDC＝37°. 在Rt△BCD中，∵∠BDC＝45°，∴∠DBC＝45°， ∴CD＝CB＝EB＝DE＝20 m. 在Rt△AED中，∵tan∠ADE＝ ， ∴AE＝DE·tan∠ADE≈20×0.75＝15(m)， ∴AB＝AE＋EB≈15＋20＝35(m). 答：A，B两棵树之间的距离约为35 m. 【交流讨论】(2)丙同学给出了另一种方案，如图2，在河岸一侧确定 两点C，D，使CD与河岸平行，且∠DCB＝90°，测量出DC＝a m， DE＝b m，∠D＝α，即可计算出AB的长度.请帮助丙同学验证他的方 案的可行性. 解：在Rt△BCD中，∵ cos ∠BDC＝ ， ∴BD＝ ， ∴BE＝BD－DE＝ －b＝ －b. ∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴ ＝ ， ∴AB＝ ＝ ＝(－a)m. 21 $