小专题培优10 几何图形(直线型)中的最值问题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮专项突破配套课件（河北专用）

数 学 河北 二轮专项突破 1 小专题培优10　几何图形(直线型)中的最值问题 一、小专题培优 (10年3考) 问题 直线l外一定点A和直线l上一动点P，求AP的最小值 图示： 解题 技巧 过点A 作AP'⊥直线l 于点P'，则当点P与点P'重合时，AP取得最小值 例1　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，E是 AB上任意一点.若CD＝5，则DE的最小值为 ⁠. 5　 针对训练1　如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC 上一动点(点P 不与点B，C重合)，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F， 则EF的最小值为 ⁠. 　 【解析】如解图，连接AP. 在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴BC2＝AB2＋AC2，∴△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°.∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形PEAF是矩形，∴AP＝EF，∴当AP最小时，EF也最小.当AP⊥CB时，AP最小. ∵ AB·AC＝ BC·AP，∴AP＝ ＝ ，∴EF的最小值为 . 问题 两定点A，B和一动点C，且AC的长度固定(假设AB＞AC)，求 BC的最值 图示 解题 技巧 当点C在线段AB上时，如图2，BC最小，最小值为AB－AC； 当点C在BA的延长线上时，如图3，BC最大，最大值为AB＋AC 【其他应用】(1)如图1，两定点A，B在直线l异侧，P是直线l上一动 点，当点P在直线AB上时，PA＋PB最小，最小值为AB的长； (2)如图2，两定点A，B在直线l同侧，P是直线l上一动点，当点P在线 段AB的延长线上时，|PA－PB|最大，最大值为AB的长 例2　如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD 边上的动点，E是 AB边上一点，且AE＝2，则线段EF＋CF的最小值 为 ⁠. 2 　 【解析】如解图，连接CE交AD于点F'.∵EF＋CF≥EF'＋CF'＝CE，∴当点F与点F'重合时，EF＋CF有最小值，且最小值为线段CE的长.∵AB＝4，AE＝2，由等边三角形的性质可知CE⊥AB，∴CE＝ ＝2 ，即EF＋CF的最小值为2 . 针对训练2　如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是 AC的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM－PO 的最大值为 ⁠. 　 【解析】在矩形ABCD中，AD＝4，MD＝1，∴AM＝3.如解图，连接MO并延长交BC于点P，此时PM－PO取得最大值，最大值为OM的长. ∵AM∥CP ，∴∠MAO＝∠PCO. 又∵AO＝CO，∠AOM＝∠COP，∴△AOM≌△COP(ASA)，∴OM＝OP，AM＝CP＝3，∴PB＝1.过点M作MN⊥BC于点N，则四边形MNCD是矩形，∴MN＝CD，CN＝DM，∴PN＝4－1－1＝2，∴MP＝ ＝ ，∴OM＝ ，∴PM－PO的最大值为 . 考向1　两定一动型 问题 两定点A，B在直线l同侧，P是直线l上一动点，求PA＋PB的最小值 图示 解题技巧 作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交l于点P，A'B的长为PA＋PB的最小值 【拓展】若两定点A，B在直线l异侧，P是直线l上一动点，则作点B关 于直线l的对称点B'，点P在AB'的延长线上时，|PA－PB|最大，为AB'的长 例3　(2025邯郸二模)如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB＝2，对折矩形 纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，展平后再沿BM折叠矩形纸 片，使点A落在EF上的点N处，折痕BM与EF相交于点Q，与AD相交于 点M，再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G. 若P为线段BM 上一动点，H是BN的中点，则PN＋PH的最小值是 ⁠. 　 【解析】如解图，连接AN，PE. 由题意得，EF垂直平分AB，∴AN＝BN，由题意，得AB＝BN，∴AN＝AB＝BN＝2，∴△ABN为等边三角形，∴∠ABN＝60°.∵H是BN的中点，E为AB的中点，∴由折叠可知PH＝PE，∴点P与点Q重合时，PN＋PH的值最小，此时PN＋PH＝PN＋PE＝EN. ∵EN＝ ＝ ＝ ，∴PN＋PH的最小值是 . 针对训练3　如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点 N，交AC于点M，P是直线MN上一动点，H为BC的中点.若AB＝13， △ABC的周长为36，则PB＋PH的最小值为 ⁠. 12　 【解析】如解图，连接AP，AH. ∵AB＝AC＝13，△ABC的周长为36，∴BC＝36－2×13＝10.∵H是BC的中点，∴BH＝ BC＝5.∵△ABC是等腰三角形，∴AH⊥BC，∴AH＝ ＝ ＝12.∵MN是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线MN的对称点为点A，∴PA＝PB，∴PB＋PH＝PA＋PH≥AH，∴AH的长为PB＋PH的最小值，∴PB＋PH的最小值为12. 针对训练4　如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4， ∠BCD＝15°，P为CD上的动点，则｜PA－PB｜的最大值为 ⁠. 4　 【解析】如解图，作点B关于CD的对称点E，连接AE并延长交CD于点F，连接CE，PE. 由轴对称图形的性质可知PB＝PE，BC＝CE，∠PCE＝∠BCD＝15°，∴｜PA－PB｜＝｜PA－PE｜≤AE，即当P，E，A三点共线时，｜PA－PB｜取得最大值，最大值为AE的长.∵△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∴∠ACB＝90°，CE＝BC＝AC＝4，∴∠ACE＝∠ACB－(∠BCD＋∠PCE)＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴AE＝AC＝4，即｜PA－PB｜的最大值为4. 考向2　两动一定型 问题 P是∠AOB内的一个定点，M，N分别是射线OA，OB上的动点，求△PMN的周长的最小值 图示 解题 技巧 分别作点P关于OA，OB的对称点P'，P″，连接P'P″分别交OA， OB于点M，N，P'P″的长即为△PMN的周长的最小值 例4　如图，在锐角三角形ABC中，∠C＝40°，P是边AB上的一个定 点，M，N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时， ∠MPN的度数为 ⁠. 100°　 【解析】如解图，分别作点P关于BC，AC的对称点E，D，分别交BC，AC于点G，H，连接DE，交AC于点M，交BC于点N，此时△PMN的周长最小，且∠PHM＝∠PGN＝90°.∵∠C＝40°，∴∠DPE＝360°－∠PHM－∠PGN－∠C＝140°，∴∠D＋∠E＝180°－∠DPE＝40°.∵PM＝DM，NP＝NE，∴∠MPD＝∠D，∠NPE＝∠E，∴∠MPD＋∠NPE＝∠D＋∠E＝40°，∴∠MPN＝∠DPE－(∠MPD＋∠NPE)＝100°. 针对训练5　如图，在边长为8的正方形ABCD中，G是BC边的中点，E，F分别是AD，CD边上的动点，则四边形BEFG的周长的最小值为 ⁠. 24　 【解析】如解图，作点G关于CD的对称点G'，作点B关于AD的对称点B'，连接B'G'，B'E，FG'.∵BE＝B'E，FG＝FG'，∴BE＋EF＋FG＋BG＝B'E＋EF＋FG'＋BG. ∵B'E＋EF＋FG'≥B'G'，∴当B'E＋EF＋FG'＝B'G'时，四边形BEFG的周长有最小值，最小值为BG＋B'G'.∵BG＝CG＝CG'＝ BC＝4，AB'＝AB＝8，∴BB'＝AB＋AB'＝16，BG'＝BC＋CG'＝12，∴B'G'＝ ＝20，∴BG＋B'G'＝24，∴四边形BEFG的周长的最小值为24. 问题 直线m∥n，点A在直线m的上方，点B在直线n的下方，在直线m，n上分别找点M，N，使得MN⊥m，且AM＋MN＋BN的值最小 图示 解题 技巧 作BB'⊥n且BB'＝MN，连接AB'交m于点M，作MN⊥n于点N，则点M，N即为所求 针对训练6　如图，在正方形ABCD中，点M，N在对角线BD上，连接 AM，AN，若AB＝2，MN＝1，则△AMN的周长的最小值为 ⁠. 4　 【解析】如解图，连接 AC，过点 C作 CE∥MN，且 CE＝MN，连接EN，CM，则四边形MNEC是平行四边形，∴NE＝CM. ∵四边形ABCD是正方形，点M在对角线BD上，∴AM＝CM，∴AN＋AM＝AN＋CM＝AN＋NE. ∵MN＝1为定值，∴当AN＋AM的值最小时，△AMN的周长最小，即当点A，N，E共线时，AM＋AN的值最小，最小值为AE的长.∵AB＝BC＝2，∴AC＝2 .∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴CE⊥AC，即∠ACE＝90°，∴在Rt△ACE中，AE＝ ＝3，∴△AMN的周长的最小值为AE＋MN＝4. 问题 已知P是直线BC上一动点，A是直线BC外一定点，连接PA，求PA＋kPB(0＜k＜1)的最小值 图示 解题 步骤 (1)构造kPB：在直线BC异于点A的一侧作∠CBE＝α ，使 sin α＝k，过点P作PD⊥BE于点D，则PD＝PB· sin α＝kPB，则求PA＋kPB的最小值即为求PA＋PD的最小值； (2)化折为直：过点A作AD'⊥BE于点D'，AD'交BC于点P'，点P'即为PA＋kPB取最小值时点P的位置 针对训练7　如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC ＝6，P为边AD上的一动点，则PC＋ PA的最小值为 　3 　. 3 　 【解析】如解图，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠QAP＝∠QBC＝60°，∴ ＝ sin 60°＝ ， ∴PQ＝ PA，∴PC＋ PA＝PC＋PQ，∴当C，P，Q三点共线时，PC＋ PA有最小值，为CQ的长，∴此时CQ⊥AB. ∵∠ABC＝60°，∴∠BCQ＝30°，∴BQ＝ BC＝3，∴CQ＝ ＝3 ，∴PC＋ PA的最小值为3 . 23 $