小专题培优6 对角互补模型-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮专项突破配套课件（河北专用）

数 学 河北 二轮专项突破 1 小专题培优6　对角互补模型 一、小专题培优 模型 特点 在四边形中，存在一组对角互补.如图，∠AOB＋∠DCE＝180° 解题 策略 方法1：作垂线 过点C分别作OA，OB的垂线，垂足分别为G，H 方法2：作等角 在BE上找一点F，连接CF，使得∠ECF＝∠DCO(当CD＝CE时，也可作等线段：在OB上截取EF＝OD) 图示 结论 (1)△CGD∽△CHE； (2)当CD＝CE时，△CGD≌△CHE (1)△CDO∽△CEF； (2)当CD＝CE时，△CDO≌△CEF 例　如图，在等边三角形ABC中，D为BC边的中点，点E，F分别是AB，AC边上的点，且∠EDF＝120°.若∠BDE＝45°，DF＝6，求BE 的长. 解：连接AD，过点D分别作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H. ∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°. ∵∠EDF＝120°，∴∠EAF＋∠EDF＝180°， ∴∠AED＋∠AFD＝180°. ∵∠AED＋∠DEG＝180°，∴∠DEG＝∠DFH. ∵D为BC边的中点， ∴AD平分∠BAC，∴DG＝DH. 在△DEG和△DFH中， ∴△DEG≌△DFH(AAS)， ∴DE＝DF＝6. 过点E作EP⊥BC于点P. ∵∠BDE＝45°， ∴EP＝ DE＝3 . ∵∠B＝60°，∴BE＝ EP＝2 . 1. 如图，已知∠ABC＋∠ADC＝180°，AD＝CD，求证：BD平分 ∠ABC. 证明：延长BC到点E，使CE＝AB，连接DE. ∵∠ABC＋∠ADC＝180°， ∴∠4＋∠A＝180°. 又∵∠1＋∠4＝180°，∴∠A＝∠1. 又∵AD＝CD，∴△DAB≌△DCE(SAS)， ∴∠2＝∠E，BD＝DE， ∴∠3＝∠E＝∠2， ∴BD平分∠ABC. 2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，EF交DC于点F，则 ＝ ⁠. 　 【解析】解法1：如解图1，过点E分别作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于 点N，则四边形EMCN是矩形，∴EM＝CN. ∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°.∵EF⊥BE，∴∠EBC＋∠EFC＝360°－∠BCD－∠BEF＝180°.又∵∠EFC＋∠EFN＝180°，∴∠EFN＝∠EBC. 又∵∠ENF＝∠EMB，∴△ENF∽△EMB，∴ ＝ ＝ .∵EN⊥CD，AD⊥CD，∴EN∥AD，∴△CNE∽△CDA， ∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ . 解图1 解法2：如解图2，连接BF，取BF的中点O，连接OE，OC. ∵ 四边形ABCD是矩形，EF⊥BE，∴∠BEF＝∠BCF＝90°，∴OE＝OB＝OF＝OC，∴B，C，F，E四点共圆，∴∠EBF＝∠ECF＝∠ACD，∴tan∠EBF＝tan∠ACD，∴ ＝ ＝ . 解图2 10 $