小专题培优4 一线三等角模型-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮专项突破配套课件（河北专用）

数 学 河北 二轮专项突破 1 小专题培优4　一线三等角模型 一、小专题培优 (10年3考) 模型特点 有三个等角的顶点在同一条直线上 常见模型 等角在线同侧(K型) 点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3 等角在线异侧(背靠背型) 点P在线段BA的延长线上，∠1＝∠2＝∠3 结论 (1)△ACP∽△BPD； (2)若AC＝BP或AP＝BD或CP＝PD，则△ACP≌△BPD 解题 策略 通过“三角形的内角和等于180°”和“同角(等角)的余角(补角)相 等”证明角相等.当图中有边对应相等，则证全等；否则，证相似 【知识拓展】特殊图形中的一线三等角问题： 　　 　　 　　 例　如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，点D在线段BC 上运动(点D不与点B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝45°，DE交AC于 点E. (1)求证：△ABD∽△DCE； 【分析】①在直线BC上从左向右找出三个相等的角： ⁠ ⁠； ②∠ADC＝∠BAD＋∠B＝∠ADE＋∠CDE，由①可以推出另外一对相 等的角是： ⁠. ∠B＝∠ADE＝ ∠C　 ∠BAD＝∠CDE　 证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝45°＝∠ADE. ∵∠ADC＝∠BAD＋∠B，∠ADC＝∠ADE＋∠CDE， ∴∠BAD＝∠CDE， ∴△ABD∽△DCE. 解：∵△ADE是以AE为底的等腰三角形， ∴AD＝DE. 由(1)知△ABD∽△DCE， ∴△ABD≌△DCE， ∴CD＝AB＝6. (2)若△ADE是以AE为底的等腰三角形，求CD的长. 1. 如图，△ABC是等边三角形，D是BC上一点，连接AD，在AD上取两点E，F，连接CE，BF. 若∠CED＝∠BFD＝60°，求证：△ACE≌△BAF. 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AB＝CA，∴∠BAF＋∠EAC＝60°. ∵∠CED＝∠BFD＝60°， ∴∠AEC＝∠BFA＝180°－60°＝120°， ∴∠BAF＋∠FBA＝180°－∠AFB＝60°， ∴∠EAC＝∠FBA. 在△ACE和△BAF中， ∴△ACE≌△BAF(AAS). 2. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D，E，F分别为边BC， CA，AB上的点，∠FDE＝∠B. (1)求证：△BDF∽△CED； 证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. ∵∠FDE＝∠B， ∴∠BFD＋∠BDF＝∠BDF＋∠CDE， ∴∠BFD＝∠CDE. 又∵∠B＝∠C， ∴△BDF∽△CED. (2)若BD＝2，CD＝3，CE＝4，求BF的长. 解：由(1)可知△BDF∽△CED， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴BF＝ . 3. 如图，AB＝BC，AB⊥BC，点P为线段BC上一点，PA⊥PD且PA＝ PD. 若∠A＝24°，求∠D的度数. 解：作DH⊥BC交BC的延长线于点H. ∵AB⊥BC，DH⊥BC，PA⊥PD， ∴∠B＝∠APD＝∠H＝90°， ∴∠A＋∠APB＝90°，∠APB＋∠DPH＝90°， ∴∠A＝∠DPH＝24°. 又∵PA＝PD，∴△ABP≌△PHD(AAS)， ∴AB＝PH，PB＝DH. ∵AB＝BC， ∴BC＝PH， ∴PB＝CH＝DH， ∴∠DCH＝45°. ∵∠DCH＝∠DPC＋∠PDC， ∴∠PDC＝45°－24°＝21°. 13 $