小专题培优3 常见的构造全等三角形的方法-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮专项突破配套课件（河北专用）

数 学 河北 二轮专项突破 1 小专题培优3　常见的构造全等三角形的方法 一、小专题培优 图示及条件 D是BC的中点 D是BC的中点 辅助线作法 思路一 思路二 思路三 辅助线作法 延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE 作CF⊥AD于点F，作BE⊥AD交AD的延长线于点E 在AB上任取一点M，连接MD并延长到点N，使DN＝MD，连接CN 延长ED到点F，使DF＝ED，连接CF 结论 △ADC≌ ⁠ △CDF≌ ⁠ ⁠ △BMD≌ ⁠ △BED≌ ⁠ △EDB　 △BDE　 △CND　 △CFD　 例1　如图，D是BC的中点，点E在AD上，∠BED＝∠CAD. (1)求证：BE＝AC； 证明：延长AD到点G，使得DG＝AD，连接BG. ∵D是BC的中点，∴BD＝CD. 又∵∠1＝∠2， ∴△BDG≌△CDA(SAS)， ∴BG＝CA，∠G＝∠A. 又∵∠BED＝∠CAD， ∴∠G＝∠BED， ∴BE＝BG，∴BE＝AC. (2)如图2，延长BE交AC于点F，若EF＝2，求AF的长. 解：延长AD到点G，使得DG＝AD，连接BG. 由(1)可知∠G＝∠A，∠3＝∠G， ∴∠3＝∠A. 又∵∠3＝∠4， ∴∠4＝∠A， ∴AF＝EF＝2. 针对训练1　 如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝13，D为AB的中点， DC⊥AC，求△ABC的面积. 解：延长CD到点T，使得DT＝CD，连接BT. ∵BD＝AD，∠ADC＝∠BDT， ∴△ADC≌△BDT， ∴BT＝AC＝5，∠T＝∠ACD＝90°， ∴CT＝ ＝12， ∴S△ABC＝S△ADC＋S△BDC＝S△CBT＝ BT·CT＝30. 图示及 条件 E是线段AD的中点 E是线段AD的中点，AB∥DF 辅助线 作法 过点A作AF∥CD交BC于点F 延长BE交DF于点C 结论 △CED≌ ⁠ △ABE≌ ⁠ △FEA　 △DCE　 例2　如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在AB上，点F在AC的延长线 上，BE＝CF，连接EF交BC于点D. 求证：DE＝DF. 证明：解法1：如解图1，过点E作EG∥AC交BD于点G. 解图1 ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB. ∵EG∥AC， ∴∠EGB＝∠ACB＝∠EBG， ∴BE＝EG＝CF. ∵EG∥CF， ∴∠DEG＝∠DFC，∠DGE＝∠DCF， ∴△DEG≌△DFC(ASA)，∴DE＝DF. 解法2：如解图2，过点E作EH∥BC交AC于点H. 解图2 ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB. ∵EH∥BC， ∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠ACB， ∴∠AEH＝∠AHE，∴AE＝AH， ∴AB－AE＝AC－AH，即BE＝CH. ∵BE＝CF，∴CF＝CH. ∵EH∥BC， ∴由平行线分线段成比例，可知DE＝DF. 针对训练2　如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是AD边的中点.若 CE平分∠BCD，AB＝2，CD＝5，求BC的长. 解：如解图，延长CE，BA交于点F. ∵AB∥CD，∴∠1＝∠F. ∵CE平分∠BCD，∴∠1＝∠2， ∴∠2＝∠F，∴BC＝BF. 在△AFE和△DCE中， ∴△AFE≌△DCE，∴AF＝DC＝5， ∴BC＝BF＝AB＋AF＝7. 针对训练3　如图，在△ABC中，AC＝BC，D，E分别是边AC，AB上 的点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F，DG⊥AB于点G. 若DE ＝EF，求证：EG＝ AB. 证明：过点D作DH∥BC于点H， 则∠DHE＝∠FBE，∠HDE＝∠BFE. 又∵DE＝EF， ∴△DHE≌△FBE， ∴HE＝BE. ∵AC＝BC， ∴∠A＝∠ABC. ∵DH∥BC， ∴∠AHD＝∠ABC， ∴∠A＝∠AHD，∴DA＝DH， ∴△ADH是等腰三角形. ∵DG⊥AB， ∴由等腰三角形三线合一，得AG＝GH， ∴AG＋BE＝GH＋HE＝EG. ∵AG＋EG＋BE＝AB， ∴EG＝ AB. 图示及 条件 AD平分∠BAC 辅助线 作法 思路一：截长 思路二：补短 在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE 延长AB 至点F，使AF＝AC，连接DF 结论 △ABD≌ ⁠ △ACD≌ ⁠ △AED　 △AFD　 解读 (1)“截长补短法”是证明线段或角的“和差倍分”问题的常用 方法； (2)把几条线段间的数量关系转化为两条线段的等量关系 例3　如图，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，AC＝ 3，求BC的长. 在△ACD和△ECD中， ​ ∴△ACD≌△ECD(SAS)， ∴AD＝ED，∠A＝∠DEC. ∵∠A＝2∠B，∴∠DEC＝2∠B. ∵∠DEC＝∠B＋∠EDB，∴∠B＝∠EDB， ∴△BDE是等腰三角形，∴AD＝DE＝BE＝2. ∵EC＝AC＝3， ∴BC＝BE＋CE＝2＋3＝5. 解：解法1(截长)：如解图1，在BC上截取CE，使得CE＝CA，连接DE. 解图1 解法2(补短)：如解图2，延长CA到点E，使得CE＝CB，连接DE. 解图2 ∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2. 又∵CD＝CD，CB＝CE， ∴△CDB≌△CDE， ∴∠B＝∠E. ∵∠BAC＝2∠B， ∴∠BAC＝2∠E. 又∵∠BAC＝∠3＋∠E，∴∠3＝∠E， ∴AE＝AD＝2. 又∵AC＝3，∴CE＝AC＋AE＝5， ∴BC＝5. 针对训练4　 如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点(不与点A，D重合)，则AB－AC PB－PC. (填“＞ ”“＜ ”或“＝”) ＞　 【解析】解法1(截长)：如解图1，在AB上截取AE，使AE＝AC，连接PE，在△AEP和△ACP中， ∴△AEP≌△ACP(SAS)，∴PE＝PC. 在△PBE中，BE＞PB－PE，即AB－AC＞PB－PC. 解图1 解图2 解法2(补短)：如解图2，延长AC至点M，使AM＝AB，连接PM. 在△ABP和△AMP中， ∴△ABP≌△AMP(SAS)，∴PB＝PM. 在△PCM中，CM＞PM－PC，即AB－AC＞PB－PC. 针对训练5　 如图，在△ABC中，已知AD是∠BAC的平分线，且AB＝AC＋CD，若∠BAC＝60°，求∠B的度数. 解：解法1(截长)：如解图1，在AB上截取AM＝AC，连接DM. ∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD＝∠MAD. 又∵AC＝AM，AD＝AD，∴△ACD≌△AMD， ∴CD＝MD，∠C＝∠AMD. 又∵AB＝AC＋CD，∴AB＝AM＋MD， ∴BM＝MD，∴∠B＝∠MDB. ∵∠AMD＝∠B＋∠MDB，∴∠C＝∠AMD＝2∠B. ∵∠BAC＝60°，∴∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝120°，∴∠B＝40°. 解图1 解法2(补短)：如解图2，延长AC至点N，使得AN＝AB，连接DN. ∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠NAD. 又∵AB＝AN，AD＝AD， ∴△ABD≌△AND，∴∠B＝∠N. ∵AB＝AN＝AC＋CN，AB＝AC＋CD， ∴CN＝CD，∴∠CDN＝∠N， ∴∠ACB＝∠CDN＋∠N＝2∠N＝2∠B. ∵∠BAC＋∠ACB＋∠B＝180°， ∴60°＋2∠B＋∠B＝180°，∴∠B＝40°. 解图2 类型 图示 辅助线作法 结论 等边三角形中60°含30° △ABD绕点A逆时针旋转 °得到△ACF △AED≌△AEF， ∠ECF＝ ⁠°， △ECF的周长＝BC 60　 120　 类型 图示 辅助线作法 结论 等腰直角三角形中90°含45° △ACE绕点A顺时针旋转 °得到△ABF △ADE≌△ ， ∠FBD＝ °， BD2＋CE2＝ ⁠，△BDF的周长＝BC 90　 ADF 90　 DE2 类型 图示 辅助线作法 结论 正方形中90°含45° △ADF绕点A顺时针旋转 °得到△ABG △AEF≌△ ⁠，EF＝BE＋DF，△CEF的周长＝2AB 90　 AEG 类型 图示 辅助线作法 结论 等边三角形中120°含60° △BDE绕点D顺时针旋转 °得到△CDG △FDE≌△ ， EF＝BE＋CF， ∠DEB＝∠DEF 120　 FDG　 注：作法不唯一，由另一个小三角形往相反方向旋转也可以 【解析】将△BDE绕点D顺时针旋转120°得到△CDP，则 ∠DCP＝∠DBE. ∵∠DBE＋∠ACD＝360°－∠A－ ∠BDC＝180°，∴∠DCP＋∠ACD＝180°，∴点A，C， P共线.由旋转可知DE＝DP，∠BDE＝∠CDP. ∵∠BDC ＝120°，∠EDF＝60°，∴∠BDE＋∠CDF＝60°， ∴∠CDP＋∠CDF＝60°，∴∠PDF＝∠EDF＝60°. 在△DEF和△DPF中， ，∴△DEF≌△DPF(SAS)，∴EF＝FP，∴EF＝FC＋BE，∴△AEF的周长＝AE＋EF＋AF＝AB＋AC＝10. 例4　如图，△ABC是边长为5的等边三角形，BD＝CD，∠BDC＝120° .点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝60° ，则△AEF的周长为 . 10　 针对训练6　如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E是 斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°.若BD＝3，CE＝4，S△ADE＝15，求 S△ABD＋S△AEC的值. 解：如解图，将△AEC绕点A顺时针旋转90°得到 △AFB，连接FD，过点A作AH⊥BC于点H， 则△AEC≌△AFB， ∴∠ABF＝∠ACB，∠BAF＝∠CAE，AE＝AF，FB＝EC. 在Rt△ABC中，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠ABF＝45°，∴∠FBE＝45°＋45°＝90°， ∴BD2＋BF2＝DF2. ∵∠DAE＝45°，∴∠BAD＋∠CAE＝45°， ∴∠BAD＋∠BAF＝45°， ∴∠DAE＝∠DAF， 在△DAE和△DAF中， ∴△DAE≌△DAF(SAS)， ∴DE＝DF，∴BD2＋CE2＝DE2. ∵BD＝3，CE＝4，∴DE＝5，∴BC＝BD＋DE＋CE＝12. ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AH⊥BC， ∴AH＝BH＝CH＝ BC＝6， ∴S△ABD＋S△AEC＝ BD·AH＋ CE·AH＝ ×(3＋4)×6＝21. 29 $