第3章 第8节 二次函数图象与性质的应用-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册配套课件（河北专用）

该初中数学中考复习课件聚焦二次函数图象与性质应用核心考点，对接河北中考说明，分析交点问题、整点问题、距离问题等高频考点权重，结合2023、2021、2019年中考真题，归纳单点突破与综合应用题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题情景+多法解题+分层训练”模式，如距离问题通过构造平行线和面积转换培养推理意识，整点问题结合抛物线顶点与区域整点分析提升模型意识，助力学生掌握解题技巧，教师可依此高效规划复习，提升中考冲刺效果。

数 学 河北 课堂精讲册 1 第三章　函　数 第八节　二次函数图象与性质的应用 一阶 核心设问单点练 二阶 对接中考综合练 1. 如图，在正方形OABC中，点A(0，2)，C(2，0)，当抛物线y＝(x－ m)2－m与正方形OABC有交点时，m的最大值为 ，最小值 为 ⁠. 　 －1　 【思路点拨】抛物线形状不变，顶点始终在直线 ⁠上运动→当抛物线从左上到右下运动时， 最先经过点 ，最后经过的点是 ⁠→分别求 出这两个时刻的m值. y＝－x　 A　 B　 返回目录 【解析】由题意可得，抛物线y＝(x－m)2－m的顶点 (m，－m)在直线y＝－x上运动.∵四边形OABC是正方形， A(0，2)，C(2，0)，∴B(2，2).如解图，从图象可以看出， 当函数图象从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点， 则先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点 B，且在运动的过程中，均两次经过点A，点O，点B和点C，∴只需算出当抛物线经过点A及点B时m的值，即可求出m的最小值及最大值.当抛物线y＝(x－m)2－m经过点A(0，2)时，m＝2或m＝－1；当抛物线y＝(x－m)2－m经过点B(2，2)时，m＝ 或m＝ ，∴抛物线y＝(x－m)2－m与正方形OABC有交点时，m的最大值和最小值分别是 ，－1. 返回目录 2. 抛物线y＝ax2－2ax＋a＋2(a＜0)与x轴交于M，N两点，若该抛物线 在M，N两点之间的部分与线段MN所围的区域(包括边界)内恰有5个整点 (横、纵坐标都是整数的点叫作整点)，则a的取值范围是 ⁠. －2≤a＜－1　 【思路点拨】抛物线顶点固定，坐标为 ， 开口大小随a而变化→由恰有5个整点，推测整点坐标 为 ⁠→ 抛物线与y轴交点的纵坐标在 和 之间，且 包含 ，抛物线左侧与x轴交点的横坐标在 和 之间，且包含 ⁠ (1，2)　 (1，2)，(1，1)，(1，0)，(0，0)和(2，0)　 0　 1　 0　 －1　 0　 0　 返回目录 【解析】抛物线y＝ax2－2ax＋a＋2(a＜0)化为顶点式 为y＝a(x－1)2＋2，故抛物线的对称轴为直线x＝1， M，N两点关于直线x＝1对称，根据题意，抛物线在 M，N两点之间的部分与线段MN所围的区域(包括边 界)内恰有5个整点，这些整点的坐标是(1，2)，(1，1)， (1，0)，(0，0)，(2，0).∵当x＝0时，y＝a＋2，∴0≤a＋2＜1.当x＝ －1时，y＝4a＋2＜0，即 解得－2≤a＜－1. 返回目录 3. 抛物线y＝x2＋2x－3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C. 点 P在直线AC下方的抛物线上运动，求点P到直线AC的最大距离. 返回目录 【思路点拨】方法一：构造平行线 如解图1，过点P作AC的平行线l→直线l与抛物线仅 有 ⁠个公共点时，点P到AC的距离最大→平行线间 距离处处 ，将点P到AC的距离转化为 ⁠的长 一　 相等　 DE　 解图1 返回目录 【请写出完整的解答过程】 解图1 解：易得A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3)， 直线AC的解析式为y＝－x－3. 如解图1，过点P作直线AC的平行线l， 则直线l的解析式可设为y＝－x＋m. 分析可知，当直线l与抛物线只有一个公共点时，点P到直线AC的距离最大. 令－x＋m＝x2＋2x－3， 整理，得x2＋3x－3－m＝0， 则Δ＝32－4(－3－m)＝21＋4m＝0， 解得m＝－ ， 返回目录 解图1 ∴直线l的解析式为y＝－x－ ， 直线l与x轴的交点D的坐标为(－ ，0)， ∴AD＝－3－(－ )＝ . 过点D作DE⊥直线AC于点E， 易得∠EDA＝45°， ∴DE＝ AD＝ ， ∴点P到直线AC的最大距离为 . 返回目录 【思路点拨】方法二：面积转换 步骤一：分析——AC长度固定，要求点P到直线AC的最大 距离，即为求△ACP的 ⁠. 步骤二：找面积——S△ACP有两种求法： ① AC∙ ⁠； ②过点P作PE∥y轴交AC于点E，则S△ACP＝S△APE＋S△CPE＝ PE∙ ⁠. 步骤三：等面积法转换——点P到AC距离最大时， 一定最大. 步骤四：求解——设点P的横坐标为p，则可用p表示出PE的长，利用函 数性质求PE的最大值. 步骤五：转换回来——由PE的最大值求点P到直线AC的最大距离. 最大面积　 点P到AC的距离　 (xC－xA)　 PE　 解图2 返回目录 【请写出完整解答过程】 解图2 解：如解图2，过点P作PE∥y轴交AC于点E，连接AP，CP. 设P(p，p2＋2p－3)(－3＜p＜0)， 则E(p，－p－3)， ∴PE＝－p－3－(p2＋2p－3)＝－(p＋ )2＋ . ∵S△ACP＝S△APE＋S△CPE＝ PE∙(xC－xA)＝ PE， ∴当PE有最大值时，S△ACP有最大值. ∵PE＝－(p＋ )2＋ ，－1＜0，－3＜p＜0， ∴当p＝－ 时，PE有最大值 ， 返回目录 ∴S△ACP的最大值为 × ＝ . 易得AC＝ ＝3 . 设点P到直线AC的距离为h， 则S△ACP＝ AC∙h＝ h， ∴h＝ S△ACP， ∴当S△ACP有最大值时，h有最大值 × ＝ ， ∴点P到直线AC的最大距离为 . 解图2 返回目录 4. (2019河北26题变式)如图，直线l：y＝－m与y轴交于点A，直线a：y ＝x＋m与y轴交于点B，抛物线y＝x2＋mx的顶点为C，且与x轴的左交 点为D(其中m＞0). (1)当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值； 解：y＝x2＋mx＝(x＋ )2－ ，∴C(－ ，－ ). ∵点C在直线l：y＝－m上方， ∴点C到直线l的距离为－ －(－m)＝－ (m－2)2＋1≤1， ∴点C到直线l距离的最大值为1. 返回目录 (2)若m＝2，将抛物线向上平移n(n＞0)个单位长度，使得抛物线与线段 BD有交点，则n的取值范围为 ⁠； 0＜n≤ 　 返回目录 (3)若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”.当m＝2025时，直接 写出在抛物线和直线a所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数. 解：“整点”的个数为4052. 【解法提示】当m＝2025时，抛物线解析式为y＝x2+2025x， 直线a的解析式为y＝x+2025.联立 解得x1＝﹣2025，x2＝1，∴可知每一个整数x的值都对应一个整数y的值，且﹣2025和1之间（包括﹣2025和1）共有2027个整数.∵所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有2027个“整点”，∴总计4054个“整点”.∵这两段图象交点有2个点重复，∴整点”的个数为4054﹣2＝4052． 返回目录 请完成分层练习册P44～P47习题 返回目录 19 $