第3章 第7节 二次函数解析式的确定、图象的变换、与一元二次方程的关系-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册配套课件（河北专用）

该初中数学中考复习课件聚焦二次函数核心考点，覆盖解析式确定、图象变换及与一元二次方程关系，对接中考说明，分析近3年必考考点权重，归纳一般式、顶点式、交点式等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“一阶知识梳理+二阶母题变式”模式，融入2022-2025河北中考真题变式，通过待定系数法、a+顶点法等技巧培养运算能力与推理意识，如用交点式求与x轴两交点的解析式，助力学生掌握答题技巧，教师可依此制定高效复习计划。

数 学 河北 课堂精讲册 1 第三章　函　数 第七节　二次函数解析式的确定、图象的变换、 与一元二次方程的关系 一阶　教材知识全梳理 二阶　母题变式练考点 人教：九上第二十二章P42～P46；冀教：九下第三十章P39～ P40，P50～P53；北师：九下第二章P42～P45，P51～P55. 返回目录 1. 基本方法：待定系数法. 2. 步骤： 已知条件 应设解析式 任意三点坐标 一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 顶点(h，k)＋其他点坐标 顶点式：y＝① ⁠ (a≠0) 与x轴的两个交点坐标(x1， 0)，(x2，0)＋其他点坐标 交点式：y＝② ⁠ (a≠0) a(x－h)2＋k a(x－x1)(x－x2) 返回目录 例1　(1)若抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点(－1，0)和(0，3)，则其解析式 是 ⁠； (2)若抛物线的顶点坐标为(2，8)，且经过点(3，9)，则其解析式是 ⁠ ⁠； (3)若抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)和(3，0)，且经过点 (2，－2)，则其解析式是 ⁠. y＝－x2＋2x＋3　 y＝x2 －4x＋12　 y＝ x2－ x－2　 返回目录 方法一：a＋顶点法 核心：1.图象的变换，就是图象上所有点的变换； 2. 变换前后，开口大小不变，即|a|不变——平移前后，a不变；沿x轴翻折，a相反；沿y轴翻折，a不变；旋转180°，a相反. 求法：将解析式化为顶点式，根据变换后a的值及顶点的坐标求出变换后 的解析式. 返回目录 方法二：规律法[变换前抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)] 变换方式 变换后抛物线的解析式 口诀 向左平移m个单位长度 y＝a(x＋m)2＋b(x＋m)＋c 左＋右－ 自变量 向右平移m个单位长度 y＝③ ⁠⁠ 向上平移m个单位长度 y＝④ ⁠ 上＋下－ 常数项 向下平移m个单位长度 y＝⑤ ⁠ 沿x轴翻折(关于x轴对称) －y＝ax2＋bx＋c x不变，y相反 沿y轴翻折(关于y轴对称) y＝a(－x)2＋b(－x)＋c y不变，x相反 绕原点旋转180° (关于原点成中心对称) －y＝a(－x)2＋b(－x)＋c x，y都相反 a(x－m)2＋b(x－m)＋c　 ax2＋bx＋c＋m　 ax2＋bx＋c－m　 返回目录 例2　已知抛物线y＝x2＋2x＋3. (1)二次项系数a＝ ，解析式化为顶点式是 ，顶点 坐标是 ⁠. (2)将抛物线按照如下要求变换： 变换方式 方法一：a＋顶点法 方法二：规律法 变换后的a值 变换后的顶点坐标 变换后的抛物线顶点式 变换后的抛物线解析式 向右平移4个单位长度 1 (3，2) y＝(x－3)2＋2 y＝(x－4)2＋2(x－4)＋3 ＝x2－6x＋11 向上平移5个单位长度 ⁠ ⁠ ⁠ y＝ ⁠ ＝ ⁠ 1　 y＝(x＋1)2＋2　 (－1，2)　 1　 (－1，7)　 y＝(x＋1)2＋7 x2＋2x＋3＋5　 x2＋2x＋8　 返回目录 沿x轴翻折 ⁠ ⁠ ⁠ －y＝x2＋2x＋3， 即y＝－x2－2x－3 沿y轴翻折 ⁠ ⁠ ⁠ ， 即 ⁠ 绕原点旋转180° ⁠ ⁠ ⁠ ， 即 ⁠ 绕顶点旋转180° ⁠ ⁠ ⁠ —— 【验证：两种方法得到的结论一致吗？】 1　 (1，2)　 y＝(x－1)2＋2　 y＝(－x)2＋2(－x)＋3　 y＝x2－2x＋3　 －1　 (1，－2)　 y＝－(x－1)2－2　 －y＝(－x)2＋2(－x)＋3 y＝－x2＋2x－3　 －1　 (－1，2)　 y＝－(x＋1)2＋2　 －1　 (－1，－2)　 y＝－(x＋1)2－2　 返回目录 抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线的交点问题可转化为一元二次方程的解的 问题： 1. 抛物线与x轴的位置关系⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解的情况； 2. 抛物线与直线y＝t的位置关系⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝t的解的 情况； 3. 抛物线与直线y＝kx＋m的位置关系⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝kx ＋m的解的情况. 【技巧点拨】(1)方程的解即为抛物线与对应直线的交点的横坐标； (2)若不解方程，直接求抛物线与直线的交点个数，可以用一元二次方程的根的判别式来求解. 返回目录 1. 根据下列条件，求二次函数的解析式. (1)图象经过点(－1，3)，(1，3)，(2，6)； 解：设y＝ax2＋bx＋c， 把(－1，3)，(1，3)，(2，6)代入，得 解得 ∴二次函数的解析式为y＝x2＋2. 返回目录 (2)图象的顶点坐标为(－1，9)，且与y轴交于点(0，－8)； 解：设y＝a(x＋1)2＋9， 把(0，－8)代入，得－8＝a＋9， 解得a＝－17， ∴二次函数的解析式为y＝－17(x＋1)2＋9＝－17x2－34x－8. 返回目录 (3)图象的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点为(－2，0)，与y轴交于 点(0，12)； 解：∵抛物线的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点为(－2，0)， ∴抛物线与x轴的另一个交点为(4，0)， 设y＝a(x＋2)(x－4)， 把(0，12)代入，解得a＝－ ， ∴二次函数的解析式为y＝－ (x＋2)(x－4)＝－ x2＋3x＋12. 返回目录 (4)图象的顶点坐标是(2，－5)，且过原点； 解：设y＝a(x－2)2－5， 把(0，0)代入，解得a＝ ， ∴二次函数的解析式为y＝ (x－2)2－5＝ x2－5x. 返回目录 (5)图象与x轴的交点坐标是(－1，0)，(－3，0)，且函数有最小值－5； 解：设y＝a(x＋1)(x＋3)， 根据题意可得对称轴为直线x＝－2. 又∵函数有最小值－5， ∴顶点坐标为(－2，－5)， 代入解析式，解得a＝5， ∴二次函数的解析式为y＝5(x＋1)(x＋3)＝5x2＋20x＋15. 返回目录 (6)当x＝2时，函数取得最大值1，且图象与x轴的两个交点之间的距离 为2. 解：∵当x＝2时，函数取得最大值1，即顶点坐标为(2，1)， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2. 又∵图象与x轴的两个交点之间的距离为2， ∴两个交点坐标分别为(1，0)，(3，0)， 设y＝a(x－1)(x－3)， 把(2，1)代入，解得a＝－1， ∴二次函数的解析式为y＝－(x－1)(x－3)＝－x2＋4x－3. 返回目录 2. (2022河北23题变式)在平面直角坐标系中，平移抛物线y＝2x2得到抛物 线y＝2(x－1)2－2. (1)平移方式可以是先向右平移 个单位长度，再向 平移 ⁠个 单位长度； (2)若P是抛物线y＝2x2上的一点，则点P移动的最短距离是 ⁠. 1　 下　 2　 　 返回目录 3. 将抛物线y＝－x2＋2x－3向上平移m(m＞0)个单位长度，若得到的抛 物线与x轴只有一个交点，则m的值为 ⁠. 2　 返回目录 4. 将抛物线y＝(x－1)2＋2沿着直线y＝4翻折，得到的新抛物线的解析式 是 ⁠. y＝－(x－1)2＋6　 返回目录 5. (北师九下P53T4变式)如图，一次函数y＝x＋a和二次函数y＝x2＋bx 的图象交于点A(－3，0)和点B(1，c). (1)方程x2＋bx＝0的解为 ⁠； (2)若t＞0，则方程x2＋bx＝t的实数根的个数为 ⁠； (3)方程x2＋bx＝x＋a的解为 ⁠； (4)不等式x＋a＞x2＋bx的解集是 ⁠. x1＝－3，x2＝0　 2　 x1＝－3，x2＝1　 －3＜x＜1　 返回目录 6. (2025河北24题变式)已知抛物线y＝(x＋1)2与直线y＝kx－3. (1)若抛物线与直线有唯一公共点，则k的值为 ⁠； (2)若抛物线与直线有两个交点，则这两个交点的中点的横坐标 为 (用含k的代数式表示). 请完成分层练习册P42～P43习题 6或－2　 　 返回目录 23 $