第2章 第3节 一元二次方程及其应用-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册配套课件（河北专用）

该初中数学中考复习课件全面覆盖一元二次方程的核心考点，包括概念、解法、判别式、根与系数关系及实际应用，严格对接人教、冀教、北师教材内容，通过一阶教材知识全梳理和二阶母题变式练考点，精准分析考点权重如判别式10年4考，并归纳增长率、面积问题等常考题型，体现中考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“母题变式+易错点剖析+核心素养培养”模式，如通过病毒传播问题培养模型意识，用因式分解法漏解案例强化运算能力，结合矩形场地道路宽度计算示范方程应用技巧。帮助学生掌握解题策略，教师可依托此资料构建系统复习框架，提升中考冲刺效率。

数 学 河北 课堂精讲册 1 第二章　方程(组)与不等式(组) 第三节　一元二次方程及其应用 一阶　教材知识全梳理 二阶　母题变式练考点 人教：九上第二十一章P1～P26；冀教：九上第二十四章P33～ P56；北师：九上第二章P30～P58. 返回目录 概念 只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是2的整式方程 举例：x2＋2＝0① ⁠一元二次方程； 2x2＋3x－1＝2(x2－4)② ⁠一元二次方程(填“是”或“不是”) 一般 形式 举例：方程3x2－2x＝1的二次项系数是 ③ ，一次项系数是④ ，常数 项是⑤ ⁠ 是　 不是　 3　 －2　 －1　 返回目录 【特别提醒】若题目中有“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0”，则必然隐 含着a≠0这一条件.若未说明方程类型，则需分a＝0时是一元一次方程 和a≠0时是一元二次方程两种情况讨论 返回目录 例1　求下列方程的解： (1)方程(x＋2)2－1＝0的根为 ⁠ ⁠； (2)用配方法解方程：2x2＋8x－6＝0. 解：二次项系数化为1，得 ⁠ ⁠. 移项，得 ⁠. 配方，得 ⁠， 即( )2＝ ⁠， 解得 ⁠ ⁠. x1＝－1，x2＝－3　 x2＋4x－3＝0　 x2＋4x＝3　 x2＋4x＋4＝3＋4　 x＋2 7　 x1＝－2＋ ，x2＝－2－ 　 返回目录 (3)用公式法解方程：x2＋4x＝12. 解：将方程化为一般形式，得 ⁠ ⁠， 原方程中，a＝ ，b＝ ⁠，c＝ ⁠， b2－4ac＝ ⁠ ⁠， 由求根公式，得x＝ ⁠ ⁠， 即方程的解为 ⁠. x2＋4x－12＝0　 1　 4　 －12　 42－4×1×(－12)＝64＞0　 ＝－2±4　 x1＝2，x2＝－6　 返回目录 (4)用因式分解法解方程：x2＝2x. 解：移项，得x2－2x＝0， 分解因式，得x(x－2)＝0， 于是得x＝0或x－2＝0， 解得x1＝0，x2＝2. 返回目录 【方法总结】基本思想：降次，即将二次方程化为一次方程. (1)直接开平方法：形如(x＋n)2＝p(p≥0)的根为x＝⑥ ⁠ ⁠； (2)配方法：适用于二次项系数化为1后，一次项系数为偶数的方程； (3)公式法：适用于所有一元二次方程，应先将方程化为一般形式ax2 ＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)，方程的解为x＝⑦ ⁠； (4)因式分解法：先将等号右边的式子全部移到左边，再分解因式.方程 (x－a)(x－b)＝0的根为x1＝⑧ ，x2＝⑨ ⁠. (5)解法选择(优先顺序)：直接开平方法→因式分解法→配方法→公式法. 【特别提醒】用因式分解法解一元二次方程时，若等号两边含相同的未知数的因式，勿直接约去公因式，避免漏解 n± 　 ​ a　 b　 返回目录 根的判别式Δ＝b2－4ac与方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系： (1)Δ＞0⇔方程有两个⑩ ⁠的实数根； (2)Δ＝0⇔方程有两个⑪ ⁠的实数根； (3)Δ＜0⇔方程⑫ 实数根. 【特别提醒】在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字 母，那么要加上二次项系数不为0这个限制条件. 不相等　 相等　 没有　 返回目录 如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2 ＝⑬ 　－ ，x1x2＝⑭ 　 . 【特别提醒】使用一元二次方程根与系数的关系的前提：(1)a⑮ 0；(2)Δ⑯ 0. － 　 　 ≠　 ≥　 返回目录 例2　根据下列实际问题列方程： (1)［变化率问题］某店月销售额从一月份的2.8万元增长到三月份的4万元.设这两个月的月平均增长率为x，则 ⁠； 变式——“增长”变“下降”某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了1600元.设平均每月降价的百分率为x，则 ⁠ ⁠； 【技巧点拨】常见数量关系： (1)变化率问题： 变化率＝ ×100％.设a为原来的量，b为变化后的量. ①若平均增长率为x，增长次数为2，则b＝⑰ ⁠ ⁠； ②若平均下降率为x，下降次数为2，则b＝⑱ ⁠ ⁠. 2.8(1＋x)2＝4　 3200(1－x)2＝1600　 a(1＋x)2　 a(1－x)2　 返回目录 (2)［病毒传播问题］有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感.设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则 ； 【技巧点拨】 (2)病毒传播问题： 若初始数据为a，每次传播x个，则第一轮后共有a(1＋x)个，第二轮后共有⑲ 个. 1＋x＋x(1＋x)＝121　 a(1＋x)2　 返回目录 (3)［单循环赛问题］某中学组织篮球比赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，共进行了36场比赛，若设共有x支队伍参加比赛， 则 ⁠； 【技巧点拨】 (3)握手、单循环赛问题： 若共有n人，则握手(单循环赛)总次数为⑳ ⁠. ＝36　 　 返回目录 (4)［互赠礼物问题］联欢会上，每位同学向其他同学赠送1件礼物，结果共有互赠礼物870件，求参加联欢会的同学人数，设参加联欢会的同学有x人，则 ⁠ ⁠； 【技巧点拨】 (4)互赠礼物问题：若共有n人，则送礼物总份数为㉑ . x(x－1)＝870　 n(n－1)　 返回目录 (5)［每每问题］一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗.园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，在一定范围内，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价降低0.5元.若该校最终向园林公司支付树苗款8800元，设该校共购买了x棵树苗，则 ⁠. 【技巧点拨】 (5)每每问题： 单价每涨a元，少卖b件，则涨价x元时，少卖的数量为㉒ ⁠ 件. x[120－0.5(x－60)]＝8800　 ∙b　 返回目录 1. (人教九上P4T1变式)已知关于x的方程(m＋1)x2－3x＋2＝0. (1)若该方程是一元二次方程，则m的取值范围是 ⁠； (2)若该方程是一元一次方程，则m的值是 ⁠； (3)若m＝0，则该方程的二次项是 ，二次项系数是 ⁠，一次项 是 ，一次项系数是 ，常数项是 ⁠. m≠－1　 －1　 x2　 1　 －3x　 －3　 2　 返回目录 2. 请用合适的方法解下列方程： (1)x2＋2x－1＝0； 解：利用公式法：这里a＝1，b＝2，c＝－1. ∵b2－4ac＝22－4×1×(－1)＝8＞0， ∴x＝ ＝－1± ， 即x1＝－1＋ ，x2＝－1－ . 返回目录 (2)x2－3x＝0； 解：利用因式分解法：x(x－3)＝0， ∴x1＝0，x2＝3. 返回目录 (3)x2－2x＝4； 解：利用配方法：等号两边都加上1，得x2－2x＋1＝5， ∴(x－1)2＝5， ∴x－1＝± ， ∴x1＝1＋ ，x2＝1－ . 返回目录 (4)x2－4＝0. 解：利用直接开平方法：x2＝4， ∴x1＝－2，x2＝2. 返回目录 3. 习题课上，数学老师展示了一道习题及两位同学错误的解答过程： 解方程：x(x－3)＝2(x－3)2. 甲同学： 解：方程两边同时除以(x－3)， 得x＝2(x－3).……………第一步 去括号，得x＝2x－6.……第二步 移项、合并同类项，得x＝6.…… ……………………………第三步 乙同学： 解：移项，得x(x－3)－2(x－3)2＝0.……第一步 分解因式，得(x－3)(x－2x－6)＝0.……第二步 则x－3＝0或x－2x－6＝0，……………第三步 解得x1＝3，x2＝－6.……………………第四步 (1)分别写出甲同学、乙同学的解答过程中是从第几步开始出现错误的； 解：甲同学的解答过程是从第一步开始出现错误的， 乙同学的解答过程是从第二步开始出现错误的. 返回目录 (2)请你写出正确的解答过程. 解：移项，得x(x－3)－2(x－3)2＝0. 分解因式，得(x－3)(x－2x＋6)＝0. 则x－3＝0或x－2x＋6＝0， 解得x1＝3，x2＝6. 返回目录 4. (冀教九上P42B组T1变式)已知关于x的方程(m＋1)x2－3x＋2＝0. (1)若该方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ⁠； (2)若该方程有两个相等的实数根，则m的值是 ⁠； (3)若该方程没有实数根，则m的取值范围是 ⁠； (4)若该方程有两个实数根，则m的取值范围是 ⁠； (5)若该方程有实数根，则m的取值范围是 ⁠； (6)若m＜－1，则该方程的根的情况是 ⁠. m＜ 且m≠－1　 　 m＞ 　 m≤ 且m≠－1　 m≤ 　 有两个不相等的实数根　 返回目录 5. (人教九上P16例4变式)已知关于x的一元二次方程x2－3x＋k＝0的两个 实数根分别为x1，x2. (1)若k＝1，则： ①x1x2＝ ，x1＋x2＝ ； ② ＋ ＝ ；③ ＋ ＝ ⁠； ④(x1＋1)(x2＋1)＝ ；　　⑤|x1－x2|＝ ⁠. 1　 3　 7　 3　 5　 　 (2)若x1＝3x2，则k的值为 ⁠. 　 返回目录 6. 某校园内有一块长为40 m，宽为30 m的矩形场地，计划在这个场地上 修建等宽的道路，剩余部分种上草坪. (1)如图1，测得草坪的面积是1064 m2，求道路的宽度； 解：设道路的宽度为x m， 则剩余部分可合成长为(40－x)m，宽为(30－x)m的矩形， 根据题意，得(40－x)(30－x)＝1064， 整理，得x2－70x＋136＝0， 解得x1＝2，x2＝68(不符合题意，舍去).　 答：道路的宽度为2 m. 图1 返回目录 (2)学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规 划，打算修建两横两竖等宽的道路(横、竖道路各与矩形的一条边平行)， 如图2所示，剩余部分建为学生综合实践种植园，如果要使种植园的面积 是场地面积的二分之一，道路的宽度应设计为多少？ 解：设道路的宽度应设计为y m， 则剩余部分可合成长为(40－2y)m，宽为(30－2y)m的矩形， 根据题意，得(40－2y)(30－2y)＝40×30× ， 整理，得y2－35y＋150＝0， 解得y1＝5，y2＝30(不符合题意，舍去). 答：道路的宽度应设计为5 m. 请完成分层练习册P22～P23习题 图2 返回目录 29 $