第5章 加练6 几何图形中的等分面积与周长问题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学分层练习册配套课件（河北专用）

该初中数学中考复习课件聚焦“几何图形中的等分面积与周长”核心考点，对接河北中考说明，分析近三年考点权重（如2025.23、2024.19），按“过对称中心的直线、三角形中线、辅助线转化”三大类型归纳常考题型，包含真题模拟与分层练习，针对性强。 课件亮点在于“真题解析+分层进阶+素养培养”，如通过平行四边形对称中心求k值、三角形中线面积规律推导，培养几何直观与推理能力。示范Rt△ABC中方程思想求AP长，帮助学生掌握解题技巧，教师可依此设计分层教学，提升中考冲刺效率。

数 学 河北 分层练习册 1 第五章　四边形 加练6　几何图形中的等分面积与周长问题 类型1　过图形的对称中心的直线等分周长和面积(2025.23) 1. (2024唐山曹妃甸区模拟)如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点 分别为A(1，2)，B(4，2)，C(7，5). (1)点D的坐标为 ⁠； 【解析】∵A(1，2)，B(4，2)，∴AB＝3，AB∥x 轴.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝3， AB∥CD，∴CD∥x轴.∵C(7，5)，∴D(4，5)； (4，5)　 (2)当正比例函数y＝kx的图象平分▱ABCD的面积时，k的值为 ⁠. 【解析】设▱ABCD的对角线交点为Q. ∵A(1，2)， C(7，5)，∴Q(4， ).∵正比例函数y＝kx的图象平分 ▱ABCD的面积，∴正比例函数y＝kx的图象过Q(4， )，∴4k＝ ，解得k＝ . 　 2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，延长BA至E，使AE＝ AB，以AE为边向右侧作正方形AEFG，O为正方形AEFG的中心，若过 点O的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交EF，BC于点M，N， 则线段MN的长为 ⁠. 3 　 【解析】如解图，连接AC，BD交于点H，过点O和点H的直线MN平分该组合图形的面积，交AD于点S，取AE的中点P，取AB中点Q，连接OP，HQ，过点O作OT⊥QH于T. ∵四边形ABCD是矩形，∴AH＝HC. 又∵Q是AB的中点，∴QH＝ BC＝3，QH∥BC，AQ＝BQ＝ ，同理可求PO＝ AG＝ ，PO∥AG，EP＝AP＝ ，∴PO∥AD∥BC∥EF∥QH，EP＝AP＝AQ＝BQ，∴MO＝OS＝SH＝NH，∠OPQ＝∠PQH＝90°.∵OT⊥QH，∴四边形POTQ是矩形，∴PO＝QT＝ ，OT＝PQ＝3，∴TH＝ ，∴OH＝ ＝ ，∴MN＝2OH＝3 . 3. 定义：如果一条直线能够将一个封闭图形的周长和面积平分，那么就把 这条直线称作这个封闭图形的等分线. (1)请在图1的三个图形中，分别画出各图形的一条等分线. 图1 解：如解图1.(前两个图画法不唯一，过中心即可) 解图1 (2)请在图2中画出一条直线MP，使得M在AD上，且直线MP是▱ABCD 的等分线. 图2 解：如解图2，连接AC，BD交于点O，连接OP并向两边延长分别交AD，BC于点M，N，则直线MP即为所求. 解图2 (3)请在图3中画一条直线l，使它既是矩形的等分线，也是圆的等分线. 图3 解图3 解：如解图3. 拓展设问 如图4，在 Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点P是 边AB上的动点，问是否存在过点P的等分线？若存在，求出AP的长，若 不存在，请说明理由. 图4 解：存在过点P的等分线. ∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC＝5， ∴△ABC的周长为12，面积为6. 设AP＝x，PQ为等分线，则Q在BC边上，BP＝3－x，CQ＝6－4－x ＝2－x，BQ＝5－(2－x)＝x＋3. 如解图4，过点Q作QE⊥AB于点E，则QE＝ (x＋3). ∵S△PBQ＝3， ∴ (3－x)· (x＋3)＝3， ∴x＝ (负值已舍)， ∴AP＝ . 解图4 类型2　三角形的中线(或等分线)等分三角形的面积(2024.19) 4. 图1、图2都是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点， △ABC的顶点都在格点上，在给定的网格中，按下列要求画图：(只用无 刻度的直尺，保留作图痕迹，不写画法) (1)在图1中，过点A画一条平分△ABC周长的直线AD； 解：如图1，直线AD即为所求. (2)在图2中，过点B画一条平分△ABC面积的直线BE. 解：如图2，直线BE即为所求. 5. [规律探索]如图，AP1为△ABC的中线，AP2为△AP1C的中线，AP3为 △AP2C的中线，……按此规律，APn为△A C的中线.若△ABC的面 积为8，则△APnC的面积为 ⁠. 23－n　 【解析】∵AP1为△ABC的中线，∴ ＝ S△ABC＝ ×8＝4.∵AP2 为△AP1C的中线，∴ ＝ ＝ ×4＝ ×8＝2.∵AP3为△AP2C的中线，∴ ＝ ＝ ×2＝ ×8＝1.……按此规律，APn为△APn－1C的中线，则△APnC的面积为 ×8＝23－n. 拓展类型3　作辅助线转化为中线，从而等分面积 6. 嘉嘉和琪琪在探究四边形ABCD内作一条直线将它分成面积相等的两部 分时，遇到了困难，于是两位同学想到了先从三角形开始研究. 图1 图2 【问题思考】 (1)如图1，若AD是△ABC的中线，则S△ABD S△ACD(填“＞”“＜” 或“＝”)； (2)如图2，若AD∥BC，则S△ABC S△BCD(填“＞”“＜”或“＝”)； ＝　 ＝　 【深入思考】 有了这样思考问题的经历，于是嘉嘉对探究四边形ABCD内作一条直线将 它分成面积相等的两部分给出一种思路：如图3，嘉嘉作如下辅助线：① 连接对角线AC，②作DE∥AC交BC的延长线于点E，连接AE；③取BE 的中点M，则直线AM为所求直线. 图3 嘉嘉还尝试从理论上给予说明，请你帮助他将说理过程补充完整： ∵AC∥DE， ∴S△DAC＝ (由问题2的结论得)， ∴ ＝S△ABC＋S△DAC＝S△ABC＋ ⁠， 即 ＝ ⁠， ∵M是BE的中点， ∴S△ABM＝ (由问题1的结论得)， ∴AM平分△ABE的面积， 即AM平分四边形ABCD的面积. S△EAC　 S△EAC　 S△ABE　 S△AME　 图3 【推广探究】 琪琪又给出另一种思路：如图4，琪琪作如下辅助线：①连接对角线 AC和BD；②取BD的中点O；③连接OA，OC；④过点O作AC的平行 线与CD交于点P，则直线AP则为所求直线.请你尝试独立完成琪琪的 说理过程. 图4 解：∵O是BD的中点， ∴OA平分△ABD的面积，OC平分△CBD的面积， ∴折线A－O－C平分四边形ABCD的面积， 即S四边形ABCO＝ S四边形ABCD. ∵AC∥OP， ∴S△OAC＝S△PAC， ∴S△ABC＋S△OAC＝S△ABC＋S△PAC， 即S四边形ABCO＝S四边形ABCP＝ S四边形ABCD， ∴AP平分四边形ABCD的面积. 图4 21 $