第3章 第9节 二次函数的实际应用-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学分层练习册配套课件（河北专用）

该初中数学中考复习课件聚焦二次函数实际应用核心考点，对接中考说明，分析近5年考点分布，按抛物线型问题（2023.23、2018.26）、几何图形问题（2020.23）、利润问题（2017.26）三大常考类型梳理，体现备考针对性和实用性。 课件亮点在于“真题情境+分层进阶”，如2023河北23题示范抛物线型问题顶点式应用培养模型意识，几何图形问题通过矩形改造案例训练运算能力，利润问题结合二次函数最值推理强化推理意识。帮助学生掌握“建模—求解—验证”答题技巧，教师可依此设计分层教学，提升复习效率。

数 学 河北 分层练习册 1 第三章　函数 第九节　二次函数的实际应用 类型1　抛物线型问题(2023.23，2018.26) 1. (2025廊坊安次区一模)掷实心球是中招体育考试的选考项目，如图1是 一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y(m)与水平 距离x(m)之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为 m，当水平距 离为3 m时，实心球行进至最高点3 m处. (1)求抛物线的函数表达式； 解：设抛物线的函数表达式为y＝a(x－3)2＋3， 把(0， )代入，得a(0－3)2＋3＝ ，解得a＝－ ， ∴抛物线的函数表达式为y＝－ (x－3)2＋3. (2)根据中招体育考试评分标准(女生)，投掷过程中，实心球从起点到落地 点的水平距离大于或等于7.80 m，此项考试得分为满分10分，判断该女生 在此项考试中是否得满分，并说明理由； 解：该女生在此项考试中没有得满分.理由如下： 当y＝0时，即－ (x－3)2＋3＝0， 解得x1＝7.5，x2＝－1.5 (舍去). ∵7.5＜7.80， ∴该女生在此项考试中没有得满分. (3)在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷 出点，可提高成绩，当掷出点的高度至少达到多少时，可得满分？ 解：设掷出点的高度向上平移h m，可得满分， ∴新抛物线的解析式为y＝－ (x－3)2＋3＋h， 把(7.80，0)代入得0＝－ (7.80－3)2＋3＋h， 解得h＝ ，∴ ＋ ＝ . 答：掷出点的高度至少达到 m时，可得满分. 2. (2025陕西)某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、 右门洞L2，L3均呈抛物线型，水平横梁AC＝16 m，L1的最高点B到AC的 距离BO＝4 m，L2，L3关于BO所在直线对称.MN，MP，NQ为框架， 点M，N在L1上，点P，Q分别在L2，L3上，MN∥AC，MP⊥AC， NQ⊥AC. 以O为原点，AC所在直线为x轴，BO所在直线为y轴，建立 平面直角坐标系. (1)求抛物线L1的函数表达式； 解：由题意得，抛物线L1的顶点B的坐标为 (0，4)，A(－8，0)，C(8，0)， ∴可设抛物线L1的函数表达式为y＝ax2＋4. 将C(8，0)代入，得0＝64a＋4，解得a＝－ ， ∴抛物线L1的函数表达式为y＝－ x2＋4. (2)已知抛物线L3的函数表达式为y＝－ (x－4)2，NQ＝ m，求MN的 长. 解：由(1)得抛物线L1的函数表达式为y＝－ x2＋4. ∵MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC，NQ＝ m， 且抛物线L3的函数表达式为y＝－ (x－4)2， ∴y＝yN－yQ＝－ x2＋4－[－ (x－4)2]＝ ， 整理，得x2－12x＋36＝0，解得x1＝x2＝6， ∴MN＝2×6＝12(m). 3. (2023河北23题10分)嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了 一道数学题，请解答这道题. 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1 m长.嘉嘉在点A(6，1) 处将沙包(看成点)抛出，其运动路线为抛物线C1：y＝a(x－3)2＋2的一部 分，淇淇恰在点B(0，c)处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛 物线C2：y＝－ x2＋ x＋c＋1的一部分. (1)写出C1的最高点坐标，并求a，c的值； 解：C1的最高点坐标为(3，2). 把A(6，1)代入y＝a(x－3)2＋2， 得1＝a(6－3)2＋2， 解得a＝－ . 当x＝0时，y＝ ×(0－3)2＋2＝1， ∴c＝1. (2)若嘉嘉在x轴上方1 m的高度上，且到点A水平距离不超过1 m的范围内 可以接到沙包，求符合条件的n的整数值. 解：由题意可得，若要接到沙包，嘉嘉应在点(5，1)和(7，1)之间. 当嘉嘉在(5，1)处时，1＝－ ×25＋ ×5＋1＋1， 解得n＝ ； 当嘉嘉在(7，1)处时，1＝－ ×49＋ ×7＋1＋1， 解得n＝ ，∴ ≤n≤ ， ∴符合条件的n的整数值为4和5. 类型2　几何图形问题(2020.23) 4. (2024秋张家口万全区期末)如图，ABCD是一块边长为8 m的正方形苗 圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G 在AD的延长线上，DG＝2BE，设BE的长为x m. (1)若改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等， 求此时BE的长； 解：根据题意，得(8－x)(8＋2x)＝82， 解得x＝0(舍去)或x＝4， ∴此时BE的长为4 m. (2)当x为何值时，改造后的矩形苗圃AEFG的面积最大？并求出最大面积. 解：设改造后的矩形苗圃AEFG的面积为y m2. 根据题意，得y＝(8－x)(8＋2x)＝－2x2＋8x＋64＝ －2(x－2)2＋72. ∵－2＜0， ∴当x＝2时，y取最大值，最大值为72， ∴当x为2时，改造后的矩形苗圃AEFG的面积最大，最 大面积为72 m2. 5. 用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量，实验室有一 些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板 厚度x(厘米)的平方成正比，当x＝3时，W＝3. 解：设W与x的函数关系式为W＝kx2(k≠0). ∵当x＝3时，W＝3， ∴3＝k×32， 解得k＝ ， ∴W与x的函数关系式为W＝ x2. (1)求W与x的函数关系式. 【注：(1)及(2)中的①不必写x的取值范围】 解：若薄板的厚度为x厘米，则厚板的厚度为(6－x)厘米， ∴W薄＝ x2，W厚＝ (6－x)2， ∴Q与x的函数关系式为Q＝ (6－x)2－ x2＝12－4x. 解：若Q＝3W薄，则12－4x＝x2，即x2＋4x－12＝0， 解得x1＝2，x2＝－6(不合题意，舍去)， ∴当x为2时，Q是W薄的3倍. (2)如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚 不同的两块板(不计分割损耗).设薄板的厚度为x(厘米)，Q＝W厚－W薄. ①求Q与x的函数关系式； ②x为何值时，Q是W薄的3倍？ 类型3　利润问题(2017.26) 6. 根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批 发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1(千元)与进货量x(吨)之间的函数y1＝kx 的图象如图1所示，乙种蔬菜的销售利润y2(千元)与进货量x(吨)之间的函 数y2＝ax2＋bx的图象如图2所示. 图2 图1 (1)分别求出y1，y2与x之间的函数关系式. 解：由题意，得5k＝3， 解得k＝0.6， ∴y1＝0.6x. 由 解得 ∴y2＝－0.2x2＋2.2x. 图2 图1 (2)如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨. ①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W(千元)与t(吨)之间的函数关系 式，并求当这两种蔬菜各进多少吨时，获得的销售利润之和最大，最大利 润是多少元； 解：W＝0.6(10－t)＋(－0.2t2＋2.2t) ＝－0.2t2＋1.6t＋6＝－0.2(t－4)2＋9.2. ∵－0.2＜0， ∴当t＝4时，W有最大值9.2， ∴甲种蔬菜进货量为6吨，乙种蔬菜进货量为4吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是9200元. (2)如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨. ②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元，则乙种蔬菜进货量应在什 么范围内合适？ 解：∵W＝8.4＝－0.2(t－4)2＋9.2， ∴t1＝2，t2＝6. ∵a＝－0.2＜0， ∴当2≤t≤6时，W≥8.4. 答：为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元，则乙种蔬菜进货量应在2≤t≤6范围内合适. 21 $