第3章 第8节 二次函数图象与性质的应用-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学分层练习册配套课件（河北专用）

该初中数学中考复习课件聚焦二次函数图象与性质应用核心考点，覆盖交点问题、整点问题、距离问题三大中考高频设问，对接河北中考说明，分析2019-2025年真题考点分布，归纳选择、填空、解答等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题精讲+分层突破+素养渗透”模式，如通过2025邯郸二模翻折抛物线与直线交点问题，示范临界值分析与方程思想，培养抽象能力和推理意识。含易错点解析（如整点问题中边界点取舍）和解题模型（如距离问题中函数表达式转化），帮助学生掌握答题技巧，教师可依此设计专题复习，提升中考冲刺效率。

数 学 河北 分层练习册 1 第三章　函数 第八节　二次函数图象与性质的应用 核心设问1　交点问题(2025.24，2021.25) 1. (2025北京丰台区模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分 别为(－2，2)，(－4，2)，若抛物线y＝ax2(a＞0)与线段AB没有交点，则 a的取值范围是 ⁠. 0＜a＜ 或a＞ 　 【解析】当抛物线过点A时，把A(－2，2)代入y＝ax2 ，得2＝4a，解得 a＝ ；当抛物线过点B时，把B(－4，2)代入y＝ax2，得2＝16a，解得a ＝ ，∴当抛物线与线段AB没有交点时，由a的大小与抛物线开口大小的 关系可知a的取值范围为0＜a＜ 或a＞ . 2. 如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴和y轴上，其中顶点B的坐 标为(2，1).若抛物线y＝2x2＋k与矩形OABC的边总有两个公共点，则k 的取值范围是 ⁠. －8＜k＜1　 【解析】抛物线y＝2x2＋k的对称轴是y轴，当抛物线经过点C时，抛物 线与矩形只有一个交点.∵点B的坐标为(2，1)，∴点C的坐标是(0，1). 把C(0，1)代入y＝2x2＋k，得k＝1；当抛物线经过点A时，抛物线与矩 形只有一个交点.∵点B的坐标为(2，1)，∴点A的坐标是(2，0).把A(2， 0)代入y＝2x2＋k，得2×22＋k＝0，解得k＝－8，∴k的取值范围为－8 ＜k＜1. 3. 对于题目“一段抛物线L：y＝－x(x－3)＋c(0≤x≤3)与直线l：y＝x ＋2有唯一公共点.若c为整数，确定所有c的值.”甲的结果是c＝1，乙的 结果是c＝3或c＝4，则(　D　) A. 甲的结果正确 B. 乙的结果正确 C. 甲、乙的结果合在一起才正确 D. 甲、乙的结果合在一起也不正确 D 【解析】抛物线L：y＝－x(x－3)＋c＝－x2＋3x＋c可以看作是由抛物 线y＝－x(x－3)向上平移c个单位长度得到的，要使抛物线L与直线l在 0≤x≤3范围内只有1个交点，则分两种情况：①如解图1，当c≤2时，联 立 整理，得x2－2x＋2－c＝0.∵抛物线L与直线l 有唯一公共点，∴该方程有两个相等的实数根，∴(－2)2－4(2－c)＝0， 解得c＝1；②如解图2，当c＞2时，将(3，5)代入y＝－x(x－3)＋c，得c ＝5，∴当2＜c≤5时，抛物线L与直线l有唯一公共点.∵c是整数，∴c 可以为3，4，5.综上所述，c的值为1或3或4或5，∴甲、乙均不正确，且 合在一起也不正确. 解图1 解图2 4. (2025邯郸二模节选)如图1，抛物线L：y＝a(x＋1)(x－3)(a是常数， a≠0)与x轴交于点M，N，点M在点N的左侧，与y轴交于点P(0，3). 图1 (1)求抛物线L的函数表达式； 解：将P(0，3)代入y＝a(x＋1)(x－3)， 得3＝a(0＋1)(0－3)，解得a＝－1， ∴抛物线L的函数表达式为y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3. (2)如图2，将抛物线L在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，与抛物线L在x 轴下方的部分合在一起得到新的图形记作G. 将直线NP向下平移t个单位 长度(t＞0)，得到直线l.若直线l与图形G有四个不同的交点，请直接写出 t的取值范围. 图2 解：t的取值范围为4＜t＜ . 【解法提示】易得N(3，0)，则直线NP的解析式为y＝－x＋3.将直线NP向下平移t个单位长度所得直线l的解析式为y＝－x＋3－t.当直线l过点M(－1，0)时，－(－1)＋3－t＝0，解得t＝4；将抛物线y＝－x2＋2x＋3位于x轴上方的部分沿x轴翻折，得到新的图形的解析式为y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3(－1＜x＜3)，当直线y＝－x＋3－t与抛物线y＝x2－2x－3(－1＜x＜3)相切时，令x2－2x－3＝－x＋3－t，整理得x2－x－6＋t＝0，∴(－1)2－4×1×(－6＋t)＝25－4t＝0，解得t＝ ，∴若直线l与图形G有四个不同的交点，则t的取值范围为4＜t＜ . 核心设问2　整点问题(2019.26) 5. 定义：在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标都是整数的点称为“整 点”.若抛物线y＝ax2－2ax＋a＋3与x轴围成的区域内(不包括抛物线和 x轴上的点)恰好有8个“整点”，则a的取值范围是 ⁠. － ＜a≤－ 　 【解析】∵y＝ax2－2ax＋a＋3＝a(x－1)2＋3，∴抛物线的顶点坐标为 (1，3).如解图，易知a＜0，图中实心点为8个“整点”，则符合条件的抛 物线过点A，B之间(含点B)和点C，D之间(含点D).当抛物线过点A(3，1)时，将点A的坐标代入抛物线表达式，得a＝－ ；当抛物线过点B(4，1)时，a＝－ ；当抛物线过点C(2，2)时，a＝－1；当抛物线过点D(3，2)时，a＝－ ，∴a的取值范围是－ ＜a≤－ . 6. (2025秦皇岛抚宁区一模)如图，已知抛物线a：y＝－x2＋2x＋m，线 段b：y＝x＋2(－1≤x≤3).若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点 均为整点(横、纵坐标均为整数的点)，则整数m的值为 ⁠. 2或4　 【解析】联立y＝－x2＋2x＋m和y＝x＋2，得－x2＋x＋m－2＝0. ∵抛物线a和线段b有两个交点，∴Δ＝12－4×(－1)×(m－2)＞0，解得 m＞ .∵当x＝－1时，y＝x＋2＝1，当x＝3时，y＝x＋2＝5，把(－ 1，1)代入y＝－x2＋2x＋m，得m＝4；把(3，5)代入y＝－x2＋2x＋ m，得m＝8，∴ ＜m≤4，∴m可以取的整数为2，3，4.当m＝2时，y＝－x2＋2x＋2和y＝x＋2，交点为(0，2)和(1，3)；当m＝3时，y＝－x2＋2x＋3和y＝x＋2，交点不为整点；当m＝4时，y＝－x2＋2x＋4和y＝x＋2，交点为(－1，1)和(2，4)，∴符合题意的整数m的值为2或4. 7. (2024邯郸二十三中二模节选)抛物线L：y＝x2－2bx＋c与直线L'：y ＝kx＋2交于A，B两点，且A(2，0). (1)求k和c的值(用含b的代数式表示c)； 解：将A(2，0)代入y＝kx＋2， 得2k＋2＝0， 解得k＝－1. 将A(2，0)代入y＝x2－2bx＋c， 得4－4b＋c＝0， ∴c＝4b－4. (2)在抛物线L和直线L'所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整 数的点称为“美点”，当b＝－20时，直接写出“美点”的个数. 解：90个. 【解法提示】当b＝－20时，抛物线L：y＝x2＋40x－ 84，直线L'：y＝－x＋2.由x2＋40x－84＝－x＋2，得x1 ＝2，x2＝－43，∴抛物线L和直线L'的交点是(2，0)和(－ 43，45).当－43≤x≤2时，在L和L'的边界上，当横坐标 x是整数时，纵坐标y也是整数，∴“美点”共有46×2－2 ＝90(个). 核心设问3　距离问题(2025.24，2024.26，2019.26) 8. 如图，已知点A(－ ， )，B，C(0，3)均在抛物线y＝ax2＋c(a，c 为常数，a≠0)上，若点B在第一象限，且到y轴的距离为 ，则点B到x 轴的距离为(　D　) A. B. C. D. D 9. 已知抛物线y＝x2－2mx＋m2＋m－6(m是常数)，无论m为何值，抛物 线的顶点到直线y＝x的距离都等于 ⁠. 【解析】∵y＝x2－2mx＋m2＋m－6＝(x－m)2＋m－6，∴抛物线的顶 点坐标为(m，m－6)，∴抛物线的顶点所在的直线为y＝x－6.易知直线 y＝x－6与直线y＝x平行，如解图，设直线y＝x－6与x轴交于点A，过 点A作AB⊥直线 y＝x于点B，则∠AOB＝45°，∠ABO＝90°， ∴△OAB是等腰直角三角形.∵当y＝0时，x－6＝0，解得x＝6， ∴A(6，0)，∴OA＝6，∴AB＝ OA＝3 ，∴无论m为何值，抛物线 的顶点到直线y＝x的距离都等于3 . 3 　 10. 如图，直线l：y＝x＋6与坐标轴分别交于点A，C，抛物线L：y＝ ax2－2x＋c经过点B(2，0)和点C. (1)求抛物线L的解析式，并经过计算判断抛物线L是否经过点A； 解：对于y＝x＋6，令x＝0，则y＝6，∴C(0，6). 将B(2，0)，C(0，6)分别代入y＝ax2－2x＋c， 得 解得 ∴抛物线L的解析式为y＝－ x2－2x＋6. 令y＝x＋6＝0，则x＝－6，∴A(－6，0)， 把x＝－6代入y＝－ x2－2x＋6，得y＝－ ×36＋2×6＋6＝0， ∴抛物线L经过点A. (2)若P是第二象限抛物线L上的一个动点，求点P到直线l距离的最大值. 解：如解图，过点P作PQ⊥AC 于点Q，作PG⊥x轴于 点G，交AC于点F. 在Rt△AOC中，AO＝OC＝6，∠AOC＝90°， ∴∠CAO＝45°. ∵在△PQF中，∠PFQ＝∠AFG＝∠CAO＝45°， ∴PQ＝PF· sin 45°＝ PF. 设点P的坐标为(m，－ m2－2m＋6)， 则点F的坐标为(m，m＋6)， ∴PF＝－ m2－2m＋6－m－6＝－ m2－3m， ∴PQ＝ PF＝ (－ m2－3m)＝－ (m＋3)2＋ ， ∴PQ的最大值为 (此时m＝－3符合题意)， ∴点P到直线l距离的最大值为 . 23 $