专题02 勾股定理（期中复习讲义，5重难题型+分层验收）八年级数学下学期新教材人教版

专题02 勾股定理（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 勾股定理与折叠问题（期中高频中档题，必练） 题型02 勾股定理与实际问题（期中解答题重点，难点） 题型03 勾股定理与分类讨论问题（期中难题，冲刺高分） 题型04 勾股定理与几何综合题（期中冲刺题，拔高） 题型05 勾股定理与最值问题（期中难点，高频拓展） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 勾股定理的内容 理解并记忆勾股定理的文字语言和符号语言，能直接应用定理进行计算。 选择题、填空题常考，主要考查定理的基本内容和简单应用。 勾股定理的证明 了解勾股定理的多种证明方法（如面积法），理解其内在逻辑。 偶尔在解答题中出现，要求简述证明思路或完成证明过程。 勾股定理的逆定理 掌握逆定理的内容，能利用逆定理判断一个三角形是否为直角三角形。 选择题、解答题均有涉及，常与几何图形性质结合考查。 勾股数 熟记常见的勾股数（如 3,4,5；5,12,13 等），能快速识别和应用。 填空题、选择题中用于快速计算，简化运算过程。 勾股定理的实际应用 能运用勾股定理解决生活中的实际问题（如测量、航海、几何图形计算等）。 解答题的重点和难点，分值较高，需要建立数学模型。 知识点01 勾股定理 1.定义：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 2.符号表示：在Rt△ABC中，∠C=90°，则（a、b为直角边，c为斜边）。 3.公式变形（已知两边求第三边）： ① 已知直角边a、b，求斜边c：（c>0，边长为正数）； ② 已知斜边c和直角边a，求另一直角边b：（b>0）； ③ 已知斜边c和直角边b，求另一直角边a：（a>0）。 核心说明：仅适用于直角三角形，非直角三角形不适用；勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带之一。 知识点02 勾股定理的逆定理 1.定义：如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形（其中c为最大边，对应的角为直角）。 2.利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤： ①找：找三角形的最长边； ②算：计算最长边的平方与另两边的平方和； ③判：若两者相等，则是直角三角形，否则不是. 核心说明：逆定理是判定直角三角形的重要方法，与勾股定理互为逆命题，可用于判断三角形的形状。 知识点03 勾股数 1.定义：满足的三个正整数，叫做勾股数。 2，常见勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41； 易错提醒：勾股数必须是正整数，且满足“最大数的平方等于另外两个数的平方和”；勾股数的倍数（如6,8,10；10,24,26）也是勾股数。 知识点04 核心方法与技巧 1.建模法：将实际问题转化为直角三角形问题，找准直角边、斜边，运用勾股定理求解（关键：找到题目中的直角关系，构造直角三角形）。 2.方程法：遇到折叠、边长关系不确定的问题，设未知数，利用勾股定理列方程求解（核心：找到相等的线段，建立等量关系）。 3.分类讨论法：当斜边不确定时（如已知直角三角形两边，未明确哪条是斜边），需分两种情况讨论，避免漏解。 4.勾股定理证明方法（核心思路）：赵爽弦图（利用面积法，将大正方形面积转化为4个全等直角三角形面积与小正方形面积之和，推导得出）、毕达哥拉斯证法（利用图形分割与面积相等推导），期中可能考查证明思路简述。 知识点05 易错点辨析 误区1：任意三角形都能运用勾股定理。 纠正：勾股定理仅适用于直角三角形，非直角三角形的三边不满足。 误区2：运用逆定理时，不判断最大边，直接用任意两边平方和与第三边平方比较。 纠正：必须先找出三角形的最大边，再验证“最大边的平方是否等于另外两边的平方和”，若满足则为直角三角形，否则不是。 误区3：计算时忽略边长为正数，出现根号下为负数或边长为负数的情况。 纠正：边长为正数，根号下的式子必须为非负数，计算后需舍去负根。 误区4：折叠问题中，忽略折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，无法找到直角三角形的边长关系。 纠正：折叠问题的核心是“全等”，先标记对应相等的线段和角，再构造直角三角形求解。 题型一 勾股定理与折叠问题（期中高频中档题，必练） 解｜题｜技｜巧 1. 明确折叠性质：折叠前后，对应边相等、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线； 2. 标记相等线段，设未知数（通常设所求线段为x）； 3. 构造直角三角形，找出直角边、斜边与未知数的关系； 4. 运用勾股定理列方程，求解未知数，验证答案合理性。 易错提醒：忽略折叠前后对应边相等，无法用含未知数的代数式表示直角三角形的三边；未找准直角三角形，导致列错方程 【典例1】（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是________． 【答案】 【详解】解：∵沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处， ∴，， ∵折叠纸片，使点与点重合， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 设，则， ∴， 解得：， 即， 故答案为：； 【变式1】（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，有一块直角三角形纸片的两直角边，，现将沿直线AD折叠，使点C落在点E，求CD的长． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠，得 ， ∴， ∵， ∴， 解答， ∴． 答：CD的长为． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）在中，，，，D，E分别是斜边和直角边上的点．把沿着折叠，顶点B的对应点落在直角边上，且．求的长． 【答案】 【详解】解： ，， 设，则， 由折叠知， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， 即的长为． 【变式3】（24-25八年级下·四川绵阳·期中）在中，，，，D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长； (2)如图2，如果点落在直角边的中点上，求与折痕的长． 【答案】(1) (2)，． 【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ； （2）解：点落在直角边的中点上， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即， ∴． 作于点，连接， ∵点落在直角边的中点上， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴． 题型二 勾股定理与实际问题（期中解答题重点，难点） 解｜题｜技｜巧 1. 审题：找出题目中的实际场景，明确已知条件和所求问题； 2. 建模：将实际场景转化为直角三角形模型，确定直角边、斜边（关键：找到直角关系，如垂直、水平方向的线段构成直角）； 3. 计算：运用勾股定理及变形公式，结合已知条件求解，必要时设未知数列方程； 4. 检验：验证答案是否符合实际场景（如长度为正数、距离合理），规范书写解题步骤。 易错提醒：无法将实际场景转化为直角三角形模型；混淆直角边与斜边，尤其是梯子滑动后，误将下滑距离当作直角边的变化量，列错等式。 【典例1】（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，一架梯子斜靠在某个过道竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处，保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点C处，，测得顶端A距离地面的高度为2米，为米，且顶端C距离地面的高度比多米，求的长． 【答案】2.2米 【详解】解：由题意可得：在中，，米，米， ∴（米）， ∴米， ∵米， ∴（米）， ∴（米）． 【典例2】（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 【答案】(1)米 (2)小鸟下降的距离为米 【详解】（1）由题意知， ∵米，米． 在中 米， （2）设， 到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同， 则，， 在中，， ， 解得， 小鸟下降的距离为米． 【典例3】（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，公路和公路在点P处交汇，且． 点A处有一栋居民楼，． 假设一拖拉机在公路上沿方向行驶，周围以内（包括）会受到噪声的影响． (1)该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由． (2)若受影响，已知拖拉机的速度为，则居民楼受到影响的时间有多长？ 【答案】(1)该居民楼会受到噪声的影响，理由见解析 (2) 【详解】（1）解：该居民楼会受到噪声的影响，理由如下： 作，则：， ∵，， ∴， ∵， ∴该居民楼会受到噪声的影响； （2）以为圆心，为半径画弧，交于点，则：， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴； 答：居民楼受到影响的时间有． 【变式1】（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，海中有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（取） 【答案】如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由见解析 【详解】解：如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险， 理由如下：过点A作，垂足为D，则的长是点A到的最短距离， 由题意可知，，海里， ， ， ， 海里， ，， 海里， 在中，由勾股定理得 ， 渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险． 【变式2】（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，某工程队为修通铁路需凿通隧道，测得，，，，若每天开凿隧道，需要几天才能把隧道凿通？ 【答案】需要天才能把隧道凿通 【详解】解：∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∵天， 答：需要天才能把隧道凿通． 【变式3】（24-25八年级下·福建厦门·期中）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)这辆小汽车没有超速，理由见解析 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴； （2）解：结合（1）可得小汽车的速度为； ∵； ∴这辆小汽车没有超速行驶． 答：这辆小汽车没有超速． 【变式4】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点处吹断，那么行人在距离旗杆底部5米处是否有被砸到的风险？ 【答案】(1) (2)行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险 【详解】（1）解：由题意得，，， 设长为，则长， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴； 答：旗杆距地面处折断． （2）解：如图， 由题意可得， ∴． 在中，， ∵， ∴， 答：行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 题型三 勾股定理与分类讨论问题（期中难题，冲刺高分） 解｜题｜技｜巧 1. 识别分类情况：当题目中未明确直角三角形的斜边、直角边，或图形位置不确定时，需分类讨论； 2. 分情况构造直角三角形，明确每种情况的边长关系； 3. 分别运用勾股定理求解，验证每种情况的合理性（如边长为正数、三角形存在）； 4. 总结所有符合条件的答案，避免漏解。 易错提醒：未考虑分类情况，直接默认其中一边为斜边，导致漏解；计算时忽略三角形三边关系，验证答案合理性。 【典例1】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，，Q为直线上一动点，连，当，时，________． 【答案】5或 【详解】解：过点A作于点D， ∵， ∴， 设 如图1，当点Q在线段上时， 点Q在之间时， ∵， ∴， 即， 在中，由勾股定理得：， 即， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：（负值已舍去）； 点Q在之间时，同理可得：； 如图2，当点Q在线段的延长线上时， ∵， ∴， 即， 在中，由勾股定理得：， 即， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：（负值已舍去）； 当点Q在线段的延长线上时，同理可得：； 综上所述，或， 故答案为：5或． 【变式1】（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在中，，，，是的中点，是边上一动点．将沿所在直线折叠得到．当是直角三角形时，的长为_______． 【答案】或 【详解】解：如图1，当时， ， ， ，，共线， ，， ， 设，则， 在中，则有， 解得， ． 如图，当时，， ， ， ， ． 综上所述，满足条件的的值为或． 故答案为或． 【变式2】（24-25八年级下·江西九江·期中）在中，，，，若是三边所在直线上的一点，且，则的长为________． 【答案】或10或5． 【详解】解：，，， ，，， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上， 又 是三边所在直线上的一点， 如图所示，点、、符合题意， ①当点在上时，如上图点， ，， ； ②当点在上时，如上图点， 为线段的垂直平分线， ， 设，则， ， ，即， 解得，（负值已舍去） ， ③当点在上时，如上图点， 设，那么， ，， ， ， ． 综上所述，的长为或10或． 【变式3】（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，B点的坐标是，，点C在线段上，是靠近点A的三等分点，点P是y轴上的点，当是等腰三角形时，点P的坐标是__________. 【答案】或或或 【详解】解：∵B点的坐标是，， ∴，由勾股定理得， ∵点C在线段上，是靠近点A的三等分点， ∴， 作， ∴， ， 则点C的坐标为， 设点P坐标为， 当时， ， 解得，或， 点P坐标为或； 当时， ， 解得，（舍去）或， 点P坐标为； 当时， ， 解得，， 点P坐标为； 故答案为：或或或． 题型四 勾股定理与几何综合题（期中冲刺题，拔高） 解｜题｜技｜巧 1. 结合全等三角形、等腰三角形等知识，找到图形中的相等线段、相等角； 2. 构造直角三角形（如作高、作垂线），将分散的边长转化到同一个直角三角形中； 3. 运用勾股定理列方程，结合已知条件求解，注意多步推理的逻辑性； 4. 检验答案，确保符合几何图形的性质。 易错提醒：不会作辅助线构造直角三角形；忽略等腰三角形、全等三角形的性质，无法找到直角关系；综合推理时逻辑混乱，步骤不规范 【典例1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，为边上一点，于点，交于点，平分交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，点与点关于直线对称，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，求的长． 【详解】（1）证明：∵的角平分线交于点， ， 在和中， ， ∴， ； （2）证明：如图2所示： 同（1）可证，， ， ∵， ， ∵， ， ∵， ， ， ， 由对称得， ； （3）解：连接，，过作交于，如图3所示： ， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ，， ， 由对称得，，， ∵， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， 在中，，，则由勾股定理可得： ． 【变式1】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在四边形中，相交于点O，，，E为边上一点，且，． (1)求证：； (2)求的度数（用含的代数式表示）； (3)若，，求的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． （3）解：连接，过点C作于点F， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，已知在中，，，，点D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为连接． (1)当平分的面积，求满足条件的t的值． (2)当是以为底的等腰三角形，求满足条件的t的值． (3)过点D作于点在点P的运动过程中，当t为何值时，能使 【详解】（1）解：根据题意，，，， 由平分的面积， 得， ∴， ∵， ∴， 解得； （2）解：当是以为底的等腰三角形，， 根据题意得， ， ， ∵， ∴， ， 解得； （3）解：连接， ∵，，，，， ∴， 根据勾股定理，得， 当点P在上时， ∵ ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得． 当点P在的延长线上， ∵ ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得． ∴， 解得． 故当或时，． 【变式3】（24-25八年级下·四川成都·期中）在学习全等三角形知识时数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，这个模型就是我们熟悉的“手拉手”模型． (1)如图1，两个等腰三角形和中，，连接、，始终存在____________； (2)如图2，在（1）的条件下，求证：是的平分线． (3)如图3，与都是等腰直角三角形，其中，当时，求的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴ 故答案为：，； （2）证明：作于G，于H，如图所示： ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴ ∴ ∵， ∴ 即 ∵ ∴， ∵于G，于H， ∴平分， 即是的平分线 （3）解：作于G，如图所示： ∵，， ∴ ∴， 设，则， ∵ ∴ ∴ 由（2）得， ∴， ∵， 则， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 题型五 勾股定理与最值问题（期中难点，高频拓展） 解｜题｜技｜巧 1.判断最值类型：明确是求“最短路径”“最长线段”还是“最短距离”，结合题目场景确定转化方向（平面图形常利用对称，立体图形常利用展开）； 2.转化图形：将最值问题转化为直角三角形问题——平面图形中，通过作对称点，将折线转化为线段（利用两点之间线段最短）；立体图形中，将侧面展开为平面图形，构造直角三角形； 3.构造直角三角形：确定转化后线段对应的直角三角形，标注已知边、未知边，明确直角边和斜边的关系； 4.计算求解：运用勾股定理计算线段长度，即为所求最值； 5.验证合理性：结合图形实际，确认所求最值符合题意（如线段长度为正数，路径符合图形约束）。 易错提醒： 1.忽略最值转化的核心性质（两点之间线段最短、垂线段最短），无法将最值问题转化为直角三角形问题； 2.立体图形最值中，遗漏展开方式（如长方体侧面展开有多种情况），导致只计算一种情况，错过最小值； 3.构造直角三角形时，混淆直角边与斜边，尤其是展开后线段对应的直角边找错，列错勾股定理公式； 4.计算最值后，未结合图形实际验证，出现不符合题意的答案（如立体图形展开后路径不符合盒子侧面约束）。 【典例1】（24-25八年级下·四川达州·期中）如图，已知为等边三角形，，D为中点，E为直线上一点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为 ____________________． 【答案】 【详解】解：过点D作于点M，过点F作于点N， ∵为等边三角形， ∴， 又∵， ∴ 又∵，D为中点， ∴， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ①当点E在点B的左侧时， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵，，， ∴ ∴， ∴此时，点F在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行， ②当点E在点B的右侧时，作图如下： ∵，， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵，，， ∴ ∴， ∴此时，点F在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行， ③当点与点重合时，作图如下： 由图可知：， ∴此时，点F在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行， 综上所述：点F在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行． 根据垂线段最短可知：当点N与点A重合时，最小， 即， 故答案为：． 【典例2】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，平分交于点． （1）若，则________________°； （2）已知，点是边上一点，且，点是上一动点，连接，．则的最小值为_______________． 【答案】 100 【详解】解：（1）∵，平分交于点 ∴ ∵， ∴， 故答案为：． （2）∵，， ∴ 在取点F，使，连接，，过点F作于H， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当、、三点共线时，最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【典例3】（23-24八年级下·山东聊城·期中）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】 （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为______． 【应用】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是______．（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）蚂蚁爬行的最短距离为；（3） 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 蚂蚁爬行的最短距离为； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，， ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，是线段上的两个动点，且，则与周长和的最小值为_____． 【答案】30 【详解】解：作点C关于的对称点E，作，使得，连接，，．则，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵E，C关于对称， ∴， ∴， ∴的最小值为13， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵与的周长的和为： ， ∴与的周长的和的最小值为． 故答案为：30． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，等腰中，，，点D是底边BC的中点，以A、C为圆心，大于的长度为半径分别画圆弧相交于两点E，F，若直线上有一个动点P，则线段的最小值为_____． 【答案】8 【详解】解：如图：连接， 由作法知是的垂直平分线， ∴， ∴， 线段的最小就是， 当A、P、D三点共线时最短， ∵点D是底边的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：． ∴线段的最小值为8． 故答案为8． 【变式3】（24-25八年级下·江西抚州·期中）如图，在中，，点为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点，则的最大值为____________． 【答案】6 【详解】解：过A点作于H点，如图， ∵， ∴， 在中， ∴， ∵沿折叠得到， ∴， ∴， ∴当最短时，最大， 此时， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：6． 【变式4】（24-25八年级下·广东·期中）在解决“当时，求代数式的最小值”这个问题时，我们可以将看作是一个以和3为直角边的的斜边的长，再将延长至，使得，以为斜边构造如图所示的，则为的长．于是将问题转化为求的最小值．利用上述方法，这个代数式的最小值是______；请运用此方法解决问题：当时，的最小值是______． 【答案】 16 【详解】解：当点A，P，D三点共线时最小， 此时， ∴， ∴， 根据勾股定理，得，， 则， ∴． 这个代数式得最小值是； 根据题意，得， 如图所示，我们将看作是一个以x和为直角边的的斜边长，再将延长至C，使得，以为斜边构造的，则为的长，将问题转化为求的最小值. 当点A，P，D三点共线时最小， 此时，则， ∴， 根据勾股定理，得， 即， 解得则， ∴. 在中，， ∴， ∴． 这个代数式得最小值是16． 故答案为：；16． 【变式5】（24-25八年级下·山东德州·期中）【阅读思考】请阅读下列材料，并完成相应的任务，如图，点，点，以为斜边作与坐标轴平行的线构成，则 ，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． 【解决问题】 ①已知，，则线段___________； ②已知点，在轴上找一点，使得的值最小，请直接写出这个最小值是___________． 【延伸应用】 ①代数式的最小值___________ ②已知，，，判断的形状，并说明理由． 【迁移拓展】已知点，在轴上找一点，使得的值最大，请直接写出这个最大值是___________． 【答案】解决问题：①5；② 延伸应用：①；②是等腰直角三角形，理由见解析 迁移拓展： 【详解】解：解决问题 ①已知，，则线段； ②点关于轴的对称点为，连接，此时的值最小，最小值为的长， ∴； 延伸应用 ①表示到点的距离， 表示到点的距离， 点关于轴的对称点为， ∴的最小值； ②是等腰直角三角形，理由如下； ∵，，， ∴， ， ， ∵，， ∴，， ∴是等腰直角三角形； 迁移拓展 根据题意当点和点在同一直线上时，的值最大， 最大值为的长， ． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵，∴，能构成直角三角形，不符合题意； B、∵，，∴，能构成直角三角形，不符合题意； C、∵，，∴，能构成直角三角形，不符合题意； D、∵，，∴，不能构成直角三角形，符合题意． 故答案为：D． 2．（24-25八年级下·甘肃定西·期中）如图，数轴上点所表示的数为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵图中的直角三角形的两直角边为1和2， ∴斜边长为：， ∵点A所表示的数为a， ∴, ∴． 故选：D． 3．（24-25八年级下·陕西安康·期末）“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形，符合“赵爽弦图”的特征； B、是由四个直角三角形组成的大正方形，但直角三角形的排列方式与“赵爽弦图”不符； C、是由正方形和三角形组成的图形，不符合“赵爽弦图”的特征； D、是由三角形组成的大三角形，不符合“赵爽弦图”的特征； 故选：A． 4．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列各组数为勾股数的是（　　） A． B． C．8，15，17 D．4，5，6 【答案】C 【详解】解：选项A：，三者均为小数，非正整数，不符合勾股数定义． 选项B：， 是整数，但 和 为无理数，非正整数，排除． 选项C：8，15，17，均为正整数，验证得 ，满足勾股定理，是勾股数． 选项D：4，5，6，均为正整数，但 ，不满足勾股定理． 故选： C． 5．（24-25八年级下·湖南永州·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离等于（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】解：点到原点的距离为： ； 故选：D 二、填空题 6．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为，，．已知A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路，为了实现村村通公路，现在要从村修一条笔直公路直达．已知公路的造价为10000元/，则修这条公路的最低造价为______元． 【答案】72000 【详解】解：∵， ， ， 要使公路的造价最低，则， ， ， 故这条公路的最低造价为：（元）， 故答案为：72000． 7．（22-23八年级下·山东菏泽·期中）如图，在正方形网格中，A，B，C，P是网格线的交点，且点P在的边上，则_______° 【答案】 【详解】解：根据题意得，，，，，， ，， 是直角三角形，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 8．（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，在四边形中，，点D是外一点，连接，且．求四边形的面积．    【答案】36 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（24-25八年级下·河南许昌·期中）我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，小明也仿照赵爽的方法借助图形的拼接，证明勾股定理．他发现只需将两张全等的直角三角形纸片与一张满足一定要求的长方形纸片，如图（1）所示，拼成如图（2）所示的图形，利用面积的不变性也可证明勾股定理．下面是小明证明勾股定理的部分过程，请你帮助小明续写证明过程． 证明：如图，连接，由题意，得，， …… 【详解】证明：如图，连接，由题意，得，， ， ， 化简得． 10．（24-25八年级下·广西南宁·期中）实践与探究 八年级的同学学习了“勾股定理”之后，“综合与实践”小组进行测量旗杆的高度的实践活动，他们设计了如下方案： 课题：测量风筝的高度．      工具：皮尺，计算器等．       测量示意图：如图1． 说明：如图1，表示地面水平线，表示放风筝的同学牵风筝牵引线的手到地面的距离，且垂直于地面于点A，线段表示风筝牵引线（近似为线段），表示风筝到地面的垂直高度，于点E，于点D． 测量数值：点B到的距离米；风筝牵引线的长度：米；的长度：米； (1)求风筝的垂直高度； (2)如图2，如果风筝沿方向上升28米至点F（）， 求风筝牵引线的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ， 答：风筝的垂直高度为13.6米； （2）解：在中，由勾股定理得：                                               ， 答：风筝的牵引线的长是41米． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，的平分线交于点为线段上一动点，为边上一动点，若，，，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵，，， 且， ∴， 直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，四边形面积为，连接对角线，其中，则的最小值为_______． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴， 过点作交延长线于点，则， ， ∵四边形面积为， ∴， 又∵， ∴，则， 延长至使得， ∴是的垂直平分线， ∴， 则，当点在上时取等号， ∴的最小值为． 3．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）【问题情境】 （1）如图1，一架竹梯斜靠在墙角处，竹梯，梯子底端离墙角的距离．如果梯子的顶端A下滑到点C，求梯子的底端B在水平方向上滑动的距离； 【探究迁移】 （2）如图2，调整梯子顶端A离地面的高度，当底端B在水平方向上滑动的距离与顶端A下滑的距离相等时，求梯子滑动前、后与地面的夹角与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点E在边上，点F在边的延长线上，连接交于点O，分别以点A，F为圆心，以，的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接，，． ①求证：四边形是矩形； ②若，，，求的度数． 【详解】解：（1）在中，， 在中， ∴． （2）连接． ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴，即． （3）①证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； ②如图，过点D作于点M，于点N，连接，． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 4．（23-24八年级下·广西南宁·期中）2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？ (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． 【详解】（1）解：∵使得两活动点到地点站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 则小明所在的E站应在离A站处． （2）作点D关于的对称点，连接交于点， 即到C、D站的距离之和最短，过点作的延长线于点F， 则，，， ∴， ∴． ∴的最小值即为，即 此时， ∴， ∴， ∴， 则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）在中，． （1）若，则_____； （2）若，点，分别是线段上的两个三等分点，点是腰上一点，则的最小值为_____． 【答案】 9 【详解】解：（1）∵， ∴， 则， 过点作， 在中， ∴， 故答案为：9； （2）∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 则， ∵点，分别是线段上的两个三等分点， ∴， 当点在时，作点关于的对称点，连接， ∴ ∵点是腰上一点， ∴连接交于一点， 当点与点G重合时， 则， 即的最小值为， ∵点关于的对称点， ∴， 即 在中， 即的最小值为， 当点在时， 同理得的最小值为， 综上：的最小值为， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图1，在中，，点是中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，线段交边于点． (1)如图2，当落在上时，证明：为直角三角形； (2)若为直角三角形，求长； (3)线段的最小值为___________． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得：， ∵点是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形； （2）解：在中，∵， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， 当时，此时， 由折叠的性质得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，过点E作交于点G，连接，则， ∴， 设，则， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的长为6或； （3）解： 如图，连接， 根据题意得：， 即当点在上时，取得最小值，最小值为， 在中，， ∴的最小值为． 故答案为： 3．（24-25八年级下·福建三明·期中）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，求的长（注：长方形的对边平行且相等）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长（注：长方形的对边平行且相等）． 【详解】解：（1）， ， 由折叠的性质得：， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 即的长为24； （2）四边形是长方形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即的长为6； （3）四边形是长方形， ， 设线段的垂直平分线交于点，交于点则，分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， ，设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即的长为5； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，同①得：， ，设，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：，即的长为20； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为5或20． 4．（24-25八年级下·广东深圳·期中）20．综合与实践探究 【问题背景】学习三角形旋转之后，八1班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的，小鸣在设计的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系．因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究．已知和都是等腰直角三角形，且 【初步探究】（1）小鸣将绕点A在平面内自由旋转，连接后，发现他们之间存在着一定的关系，如图（1），请证明：且； 【深入探究】（2）若，O点为的中点，旋转过程中，当点D、点E和点O三点共线时，如图2，求证：． 【拓展探究】（3）如图3，当，，，则______．（直接写出结果） 【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，且， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 延长交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过C作， 则； ∵O为的中点， ∴； 在和中， ， ∴， ∴； 由（1）知，， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； ∴； 由勾股定理得， ∴； （3）解：设，则， 由(1)可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 过点E作交延长线于点H， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴由勾股定理得：， 在中，， ∴由勾股定理得：， 在中，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6． 5．（24-25八年级下·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：于点， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ， ； （3）解：，，， ， ， ，， ， 点为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长为米． 6．（24-25八年级下·湖南永州·期中）已知在平面直角坐标系中，的三个顶点都在坐标轴上，，且． (1)求A、B、C三点坐标； (2)如图1，G是线段上一点，连接交y轴于点M， ①若平分，F为上一点，满足，求的面积；（用含m，n的式子表示） ②如图2，若与交于N点，探究之间的数量关系，并证明你的结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴，解得：， ∴点； （2）解：①过点F作于点H，如图所示： ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴，由勾股定理得： ∴， ∵， ∴； ②之间的数量关系是：， 证明如下： 连接，在上取一点K，使，连接，如图所示： 则，设，由（1）可知：， ∴， ∴是线段的垂直平分线，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的一个外角， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 7．（24-25八年级下·四川成都·期中）（1）【问题初探】在数学活动课上，梅老师提出如下问题：如图1，在中，平分，．求证：； 小李同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系；请根据小李同学的解题思路，写出证明过程； （2）【类比分析】如图2，中，，平面内有点D（点D和点A在的同侧），连接，，，，探究、、之间的数量关系，并写出证明过程； （3）【学以致用】如图3，在中，，垂足为D，，．，平分交于点E；求的长． 【详解】（1）证明：如图1（1）：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2）， 证明如下：如图2，作交的延长线于点，则， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：如图3，延长至，使，连接，过作，交延长线于点， 则， ， ， 设，则，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， 平分， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即， 解得：， ， ， ， 即的长为． 8．（24-25八年级下·广东佛山·期中）（1）如图1，已知：和是等边三角形，点、、在同一直线上，连接，和边交于点，连接，和交于点．求证：． （2）在（1）的条件下，如图2，将绕点顺时针旋转一定的角度，连接． ①求的度数； ②猜想线段、和的数量关系，并证明．（如果证明需要用到①的结论，可以直接使用，无需再次证明） （3）如图3，在中，，过外一点，作，和边交于，连接，过点作于，若，，，请直接写出的值． 【详解】解：（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴； （2）①同理可证， ∴，， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ②，理由为： 过点作，于点，， ∵，， ∴ ∴， ∴， 在上截取，连接， 则是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，在上找一点，使得，连接， ∵，，， ， ，即， ， ， ， 又， ， ， ． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 勾股定理与折叠问题（期中高频中档题，必练） 题型02 勾股定理与实际问题（期中解答题重点，难点） 题型03 勾股定理与分类讨论问题（期中难题，冲刺高分） 题型04 勾股定理与几何综合题（期中冲刺题，拔高） 题型05 勾股定理与最值问题（期中难点，高频拓展） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 勾股定理的内容 理解并记忆勾股定理的文字语言和符号语言，能直接应用定理进行计算。 选择题、填空题常考，主要考查定理的基本内容和简单应用。 勾股定理的证明 了解勾股定理的多种证明方法（如面积法），理解其内在逻辑。 偶尔在解答题中出现，要求简述证明思路或完成证明过程。 勾股定理的逆定理 掌握逆定理的内容，能利用逆定理判断一个三角形是否为直角三角形。 选择题、解答题均有涉及，常与几何图形性质结合考查。 勾股数 熟记常见的勾股数（如 3,4,5；5,12,13 等），能快速识别和应用。 填空题、选择题中用于快速计算，简化运算过程。 勾股定理的实际应用 能运用勾股定理解决生活中的实际问题（如测量、航海、几何图形计算等）。 解答题的重点和难点，分值较高，需要建立数学模型。 知识点01 勾股定理 1.定义：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 2.符号表示：在Rt△ABC中，∠C=90°，则（a、b为直角边，c为斜边）。 3.公式变形（已知两边求第三边）： ① 已知直角边a、b，求斜边c：（c>0，边长为正数）； ② 已知斜边c和直角边a，求另一直角边b：（b>0）； ③ 已知斜边c和直角边b，求另一直角边a：（a>0）。 核心说明：仅适用于直角三角形，非直角三角形不适用；勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带之一。 知识点02 勾股定理的逆定理 1.定义：如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形（其中c为最大边，对应的角为直角）。 2.利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤： ①找：找三角形的最长边； ②算：计算最长边的平方与另两边的平方和； ③判：若两者相等，则是直角三角形，否则不是. 核心说明：逆定理是判定直角三角形的重要方法，与勾股定理互为逆命题，可用于判断三角形的形状。 知识点03 勾股数 1.定义：满足的三个正整数，叫做勾股数。 2，常见勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41； 易错提醒：勾股数必须是正整数，且满足“最大数的平方等于另外两个数的平方和”；勾股数的倍数（如6,8,10；10,24,26）也是勾股数。 知识点04 核心方法与技巧 1.建模法：将实际问题转化为直角三角形问题，找准直角边、斜边，运用勾股定理求解（关键：找到题目中的直角关系，构造直角三角形）。 2.方程法：遇到折叠、边长关系不确定的问题，设未知数，利用勾股定理列方程求解（核心：找到相等的线段，建立等量关系）。 3.分类讨论法：当斜边不确定时（如已知直角三角形两边，未明确哪条是斜边），需分两种情况讨论，避免漏解。 4.勾股定理证明方法（核心思路）：赵爽弦图（利用面积法，将大正方形面积转化为4个全等直角三角形面积与小正方形面积之和，推导得出）、毕达哥拉斯证法（利用图形分割与面积相等推导），期中可能考查证明思路简述。 知识点05 易错点辨析 误区1：任意三角形都能运用勾股定理。 纠正：勾股定理仅适用于直角三角形，非直角三角形的三边不满足。 误区2：运用逆定理时，不判断最大边，直接用任意两边平方和与第三边平方比较。 纠正：必须先找出三角形的最大边，再验证“最大边的平方是否等于另外两边的平方和”，若满足则为直角三角形，否则不是。 误区3：计算时忽略边长为正数，出现根号下为负数或边长为负数的情况。 纠正：边长为正数，根号下的式子必须为非负数，计算后需舍去负根。 误区4：折叠问题中，忽略折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，无法找到直角三角形的边长关系。 纠正：折叠问题的核心是“全等”，先标记对应相等的线段和角，再构造直角三角形求解。 题型一 勾股定理与折叠问题（期中高频中档题，必练） 解｜题｜技｜巧 1. 明确折叠性质：折叠前后，对应边相等、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线； 2. 标记相等线段，设未知数（通常设所求线段为x）； 3. 构造直角三角形，找出直角边、斜边与未知数的关系； 4. 运用勾股定理列方程，求解未知数，验证答案合理性。 易错提醒：忽略折叠前后对应边相等，无法用含未知数的代数式表示直角三角形的三边；未找准直角三角形，导致列错方程 【典例1】（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是________． 【变式1】（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，有一块直角三角形纸片的两直角边，，现将沿直线AD折叠，使点C落在点E，求CD的长． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）在中，，，，D，E分别是斜边和直角边上的点．把沿着折叠，顶点B的对应点落在直角边上，且．求的长． 【变式3】（24-25八年级下·四川绵阳·期中）在中，，，，D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长； (2)如图2，如果点落在直角边的中点上，求与折痕的长． 题型二 勾股定理与实际问题（期中解答题重点，难点） 解｜题｜技｜巧 1. 审题：找出题目中的实际场景，明确已知条件和所求问题； 2. 建模：将实际场景转化为直角三角形模型，确定直角边、斜边（关键：找到直角关系，如垂直、水平方向的线段构成直角）； 3. 计算：运用勾股定理及变形公式，结合已知条件求解，必要时设未知数列方程； 4. 检验：验证答案是否符合实际场景（如长度为正数、距离合理），规范书写解题步骤。 易错提醒：无法将实际场景转化为直角三角形模型；混淆直角边与斜边，尤其是梯子滑动后，误将下滑距离当作直角边的变化量，列错等式。 【典例1】（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，一架梯子斜靠在某个过道竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处，保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点C处，，测得顶端A距离地面的高度为2米，为米，且顶端C距离地面的高度比多米，求的长． 【典例2】（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 【典例3】（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，公路和公路在点P处交汇，且． 点A处有一栋居民楼，． 假设一拖拉机在公路上沿方向行驶，周围以内（包括）会受到噪声的影响． (1)该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由． (2)若受影响，已知拖拉机的速度为，则居民楼受到影响的时间有多长？ 【变式1】（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，海中有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（取） 【变式2】（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，某工程队为修通铁路需凿通隧道，测得，，，，若每天开凿隧道，需要几天才能把隧道凿通？ 【变式3】（24-25八年级下·福建厦门·期中）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【变式4】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点处吹断，那么行人在距离旗杆底部5米处是否有被砸到的风险？ 题型三 勾股定理与分类讨论问题（期中难题，冲刺高分） 解｜题｜技｜巧 1. 识别分类情况：当题目中未明确直角三角形的斜边、直角边，或图形位置不确定时，需分类讨论； 2. 分情况构造直角三角形，明确每种情况的边长关系； 3. 分别运用勾股定理求解，验证每种情况的合理性（如边长为正数、三角形存在）； 4. 总结所有符合条件的答案，避免漏解。 易错提醒：未考虑分类情况，直接默认其中一边为斜边，导致漏解；计算时忽略三角形三边关系，验证答案合理性。 【典例1】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，，Q为直线上一动点，连，当，时，________． 【变式1】（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在中，，，，是的中点，是边上一动点．将沿所在直线折叠得到．当是直角三角形时，的长为_______． 【变式2】（24-25八年级下·江西九江·期中）在中，，，，若是三边所在直线上的一点，且，则的长为________． 【变式3】（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，B点的坐标是，，点C在线段上，是靠近点A的三等分点，点P是y轴上的点，当是等腰三角形时，点P的坐标是__________. 题型四 勾股定理与几何综合题（期中冲刺题，拔高） 解｜题｜技｜巧 1. 结合全等三角形、等腰三角形等知识，找到图形中的相等线段、相等角； 2. 构造直角三角形（如作高、作垂线），将分散的边长转化到同一个直角三角形中； 3. 运用勾股定理列方程，结合已知条件求解，注意多步推理的逻辑性； 4. 检验答案，确保符合几何图形的性质。 易错提醒：不会作辅助线构造直角三角形；忽略等腰三角形、全等三角形的性质，无法找到直角关系；综合推理时逻辑混乱，步骤不规范 【典例1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，为边上一点，于点，交于点，平分交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，点与点关于直线对称，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，求的长． 【变式1】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在四边形中，相交于点O，，，E为边上一点，且，． (1)求证：； (2)求的度数（用含的代数式表示）； (3)若，，求的长． 【变式2】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，已知在中，，，，点D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为连接． (1)当平分的面积，求满足条件的t的值． (2)当是以为底的等腰三角形，求满足条件的t的值． (3)过点D作于点在点P的运动过程中，当t为何值时，能使 【变式3】（24-25八年级下·四川成都·期中）在学习全等三角形知识时数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，这个模型就是我们熟悉的“手拉手”模型． (1)如图1，两个等腰三角形和中，，连接、，始终存在____________； (2)如图2，在（1）的条件下，求证：是的平分线． (3)如图3，与都是等腰直角三角形，其中，当时，求的面积． 题型五 勾股定理与最值问题（期中难点，高频拓展） 解｜题｜技｜巧 1.判断最值类型：明确是求“最短路径”“最长线段”还是“最短距离”，结合题目场景确定转化方向（平面图形常利用对称，立体图形常利用展开）； 2.转化图形：将最值问题转化为直角三角形问题——平面图形中，通过作对称点，将折线转化为线段（利用两点之间线段最短）；立体图形中，将侧面展开为平面图形，构造直角三角形； 3.构造直角三角形：确定转化后线段对应的直角三角形，标注已知边、未知边，明确直角边和斜边的关系； 4.计算求解：运用勾股定理计算线段长度，即为所求最值； 5.验证合理性：结合图形实际，确认所求最值符合题意（如线段长度为正数，路径符合图形约束）。 易错提醒： 1.忽略最值转化的核心性质（两点之间线段最短、垂线段最短），无法将最值问题转化为直角三角形问题； 2.立体图形最值中，遗漏展开方式（如长方体侧面展开有多种情况），导致只计算一种情况，错过最小值； 3.构造直角三角形时，混淆直角边与斜边，尤其是展开后线段对应的直角边找错，列错勾股定理公式； 4.计算最值后，未结合图形实际验证，出现不符合题意的答案（如立体图形展开后路径不符合盒子侧面约束）。 【典例1】（24-25八年级下·四川达州·期中）如图，已知为等边三角形，，D为中点，E为直线上一点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为 ____________________． 【典例2】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，平分交于点． （1）若，则________________°； （2）已知，点是边上一点，且，点是上一动点，连接，．则的最小值为_______________． 【典例3】（23-24八年级下·山东聊城·期中）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】 （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为______． 【应用】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是______．（杯壁厚度不计） 【变式1】（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，是线段上的两个动点，且，则与周长和的最小值为_____． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，等腰中，，，点D是底边BC的中点，以A、C为圆心，大于的长度为半径分别画圆弧相交于两点E，F，若直线上有一个动点P，则线段的最小值为_____． 【变式3】（24-25八年级下·江西抚州·期中）如图，在中，，点为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点，则的最大值为____________． 【变式4】（24-25八年级下·广东·期中）在解决“当时，求代数式的最小值”这个问题时，我们可以将看作是一个以和3为直角边的的斜边的长，再将延长至，使得，以为斜边构造如图所示的，则为的长．于是将问题转化为求的最小值．利用上述方法，这个代数式的最小值是______；请运用此方法解决问题：当时，的最小值是______． 【变式5】（24-25八年级下·山东德州·期中）【阅读思考】请阅读下列材料，并完成相应的任务，如图，点，点，以为斜边作与坐标轴平行的线构成，则 ，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． 【解决问题】 ①已知，，则线段___________； ②已知点，在轴上找一点，使得的值最小，请直接写出这个最小值是___________． 【延伸应用】 ①代数式的最小值___________ ②已知，，，判断的形状，并说明理由． 【迁移拓展】已知点，在轴上找一点，使得的值最大，请直接写出这个最大值是___________． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·甘肃定西·期中）如图，数轴上点所表示的数为，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西安康·期末）“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列各组数为勾股数的是（　　） A． B． C．8，15，17 D．4，5，6 5．（24-25八年级下·湖南永州·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离等于（    ） A．4 B．6 C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为，，．已知A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路，为了实现村村通公路，现在要从村修一条笔直公路直达．已知公路的造价为10000元/，则修这条公路的最低造价为______元． 7．（22-23八年级下·山东菏泽·期中）如图，在正方形网格中，A，B，C，P是网格线的交点，且点P在的边上，则_______° 三、解答题 8．（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，在四边形中，，点D是外一点，连接，且．求四边形的面积．    9．（24-25八年级下·河南许昌·期中）我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，小明也仿照赵爽的方法借助图形的拼接，证明勾股定理．他发现只需将两张全等的直角三角形纸片与一张满足一定要求的长方形纸片，如图（1）所示，拼成如图（2）所示的图形，利用面积的不变性也可证明勾股定理．下面是小明证明勾股定理的部分过程，请你帮助小明续写证明过程． 证明：如图，连接，由题意，得，， …… 10．（24-25八年级下·广西南宁·期中）实践与探究 八年级的同学学习了“勾股定理”之后，“综合与实践”小组进行测量旗杆的高度的实践活动，他们设计了如下方案： 课题：测量风筝的高度．      工具：皮尺，计算器等．       测量示意图：如图1． 说明：如图1，表示地面水平线，表示放风筝的同学牵风筝牵引线的手到地面的距离，且垂直于地面于点A，线段表示风筝牵引线（近似为线段），表示风筝到地面的垂直高度，于点E，于点D． 测量数值：点B到的距离米；风筝牵引线的长度：米；的长度：米； (1)求风筝的垂直高度； (2)如图2，如果风筝沿方向上升28米至点F（）， 求风筝牵引线的长． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，的平分线交于点为线段上一动点，为边上一动点，若，，，则的最小值为______． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，四边形面积为，连接对角线，其中，则的最小值为_______． 3．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）【问题情境】 （1）如图1，一架竹梯斜靠在墙角处，竹梯，梯子底端离墙角的距离．如果梯子的顶端A下滑到点C，求梯子的底端B在水平方向上滑动的距离； 【探究迁移】 （2）如图2，调整梯子顶端A离地面的高度，当底端B在水平方向上滑动的距离与顶端A下滑的距离相等时，求梯子滑动前、后与地面的夹角与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点E在边上，点F在边的延长线上，连接交于点O，分别以点A，F为圆心，以，的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接，，． ①求证：四边形是矩形； ②若，，，求的度数． 4．（23-24八年级下·广西南宁·期中）2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？ (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）在中，． （1）若，则_____； （2）若，点，分别是线段上的两个三等分点，点是腰上一点，则的最小值为_____． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图1，在中，，点是中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，线段交边于点． (1)如图2，当落在上时，证明：为直角三角形； (2)若为直角三角形，求长； (3)线段的最小值为___________． 3．（24-25八年级下·福建三明·期中）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，求的长（注：长方形的对边平行且相等）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长（注：长方形的对边平行且相等）． 4．（24-25八年级下·广东深圳·期中）20．综合与实践探究 【问题背景】学习三角形旋转之后，八1班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的，小鸣在设计的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系．因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究．已知和都是等腰直角三角形，且 【初步探究】（1）小鸣将绕点A在平面内自由旋转，连接后，发现他们之间存在着一定的关系，如图（1），请证明：且； 【深入探究】（2）若，O点为的中点，旋转过程中，当点D、点E和点O三点共线时，如图2，求证：． 【拓展探究】（3）如图3，当，，，则______．（直接写出结果） 5．（24-25八年级下·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 6．（24-25八年级下·湖南永州·期中）已知在平面直角坐标系中，的三个顶点都在坐标轴上，，且． (1)求A、B、C三点坐标； (2)如图1，G是线段上一点，连接交y轴于点M， ①若平分，F为上一点，满足，求的面积；（用含m，n的式子表示） ②如图2，若与交于N点，探究之间的数量关系，并证明你的结论． 7．（24-25八年级下·四川成都·期中）（1）【问题初探】在数学活动课上，梅老师提出如下问题：如图1，在中，平分，．求证：； 小李同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系；请根据小李同学的解题思路，写出证明过程； （2）【类比分析】如图2，中，，平面内有点D（点D和点A在的同侧），连接，，，，探究、、之间的数量关系，并写出证明过程； （3）【学以致用】如图3，在中，，垂足为D，，．，平分交于点E；求的长． 8．（24-25八年级下·广东佛山·期中）（1）如图1，已知：和是等边三角形，点、、在同一直线上，连接，和边交于点，连接，和交于点．求证：． （2）在（1）的条件下，如图2，将绕点顺时针旋转一定的角度，连接． ①求的度数； ②猜想线段、和的数量关系，并证明．（如果证明需要用到①的结论，可以直接使用，无需再次证明） （3）如图3，在中，，过外一点，作，和边交于，连接，过点作于，若，，，请直接写出的值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $