专题01 二次根式12大题型（期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材人教版

专题01 二次根式 题型1 二次根式及其性质 （常考点） 题型7 能合并的二次根式 题型2 利用二次根式的性质化简（常考点） 题型8 二次根式的加减运算 （重点） 题型3 二次根式的乘法 题型9 二次根式的混合运算（重点） 题型4 二次根式的除法 题型10 化简求值 （难点） 题型5 二次根式的乘除混合运算（重点） 题型11 比较二次根式的大小（难点） 题型6 最简二次根式（常考点） 题型12 二次根式的应用（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次根式及其性质（共7小题） 1．（24-25八年级下·广西南宁·期中）下列根式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·福建厦门·期中）下列各式中是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）二次根式中字母x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江西赣州·月考）已知是正整数，则整数的最大值为（   ） A．2025 B．2024 C．2 D．1 5．（24-25八年级下·江西上饶·期中）当时，二次根式的值为_____ ． 6．（24-25八年级下·重庆·期中）代数式中x的取值范围是______ ． 7．（22-23八年级下·山东德州·期中）电流通过导线时会产生热量．电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足：．已知导线的电阻，1s的时间导线产生30J的热量，则电流为______A．（结果用二次根式表示） 题型二 利用二次根式的性质化简（共6小题） 8．（24-25八年级下·广西南宁·期中）下列各式中，运算正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·广东汕头·期中）下列各式中计算正确的是（    ） A．； B．； C．； D． 10．（24-25八年级下·广东惠州·期中）计算：______；______． 11．（23-24八年级下·北京东城·期中）已知，化简：______． 12．（24-25八年级下·四川泸州·期中）先化简，再求值：，其中． 13．（24-25八年级下·贵州黔东南·月考）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得，所以， 所以原式． (1)试化简：； (2)已知a，b满足，，求的值． 题型三 二次根式的乘法（共6小题） 14．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）的结果为（   ） A． B． C．4 D． 15．（23-24八年级下·辽宁鞍山·月考）设，，则可以表示为（　　） A． B． C． D． 16．（24-25八年级下·云南丽江·期中）计算：______． 17．（24-25八年级下·福建三明·期中）若一个无理数a与的积是一个有理数，则a的值可以是______．（写出一个即可） 18．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形． (1)则裁去的较大正方形的边长是 ，较小正方形的边长是 ； (2)求留下部分的面积． 19．（24-25八年级·福建漳州·期中）阅读材料，解答问题： 材料：已知，求的值． 小迪同学是这样解答的： ， ， 问题：已知．求的值． 题型四 二次根式的除法（共7小题） 20．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）若，则运算符号“”表示（   ） A． B． C． D． 21．（23-24八年级下·河北雄安·期中）墨迹覆盖了等式“”中的运算符号，则覆盖的运算符号是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级下·甘肃定西·期中）的结果是______． 23．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）计算：的结果为______． 24．（24-25八年级下·甘肃陇南·期中）裕固族工匠用银片制作饰品，其中有一个长方形银片的面积为，长为，则该长方形银片的宽为______． 25．（24-25八年级下·河北唐山·期中）计算：． 26．（23-24八年级下·河南·月考）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的和谐二次根式． (1)若与是关于的和谐二次根式，求； (2)若与是关于的和谐二次根式，求的值． 题型五 二次根式的乘除混合运算（共6小题） 27．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 28．（22-23八年级下·广东阳江·期中）在如图的方格中，若要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中M代表的实数为（    ） 2 1 6 M 3 A． B． C． D． 29．（24-25八年级下·山东德州·期中）计算：___________． 30．（24-25八年级下·山东青岛·期中）计算：___________． 31．（24-25八年级下·广东江门·期中）计算： 32．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，已知正方形的面积为2，将正方形和等腰直角三角形两个障碍物放在数轴上，使正方形顶点与数轴原点重合，边与在数轴上． (1)点表示的数为______；的长度为______． (2)甲虫从点处沿的方向以每秒1个单位长度的速度爬到点． ①求甲虫爬行的距离； ②另一只甲虫从点沿的方向爬行到点，两只甲虫同时出发，在中点处相遇，求甲虫的爬行速度． 题型六 最简二次根式（共5小题） 33．（23-24八年级下·北京·期中）下列式子是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 34．（24-25八年级下·天津·月考）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 35．（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值：______． 36．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）交警通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的公式是．其中（单位：）表示车速，（单位：）表示刹车后车轮滑过的距离，表示摩擦因数．在某次交通事故中，测得，．则汽车的车速是______．（结果保留根号） 37．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型七 能合并的二次根式（共5小题） 38．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）若能与最简二次根式合并，则的值为______． 39．（24-25八年级下·江西上饶·期中）写出一个能与合并的二次根式 ____________________ 40．（24-25八年级下·山东临沂·月考）若与最简二次根式可以合并，则的值为_________． 41．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求的值． 42．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）已知式子在实数范围内有意义． (1)求x的取值范围； (2)若式子A是最简二次根式，且可与合并，求x的值，并计算的值． 题型八 二次根式的加减运算 （共5小题） 43．（24-25八年级下·河北唐山·期中）已知点和点关于轴对称，则的值是（   ） A． B． C． D．0 44．（23-24八年级下·吉林松原·期中）计算的结果是___________． 45．（24-25八年级下·广东湛江·期中）计算______ 46．（24-25八年级下·广东江门·期中）计算： 47．（24-25八年级下·浙江衢州·期末）下面是亮亮同学进行二次根式混合运算练习的计算过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： ① ② ③ (1)指出上述解题过程中，最先出现错误的步骤（写出序号即可）． (2)请写出正确的解题过程． 题型九 二次根式的混合运算（共7小题） 48．（24-25八年级下·北京海淀·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 49．（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）下列各式，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 50．（23-24八年级下·四川泸州·月考）计算：___________． 51．（24-25八年级下·甘肃天水·期中）对于任意两个正数m，n，定义运算※为：m※n＝，计算的结果为_____． 52．（24-25八年级下·福建厦门·期中）计算： (1)； (2)． 53．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）定义：若两个二次根式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”． (1)若m与是关于10的友好二次根式，求m； (2)若与是关于6的友好二次根式，求m． 54．（24-25八年级下·北京·期中）观察所给等式寻求规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 直接写出第4个等式：______； 根据上述规律，化简：______（直接写出化简后的结果）． 题型十 化简求值（共11小题） 55．（24-25八年级下·广东阳江·期中）若，则代数式的值为（   ） A．5 B．7 C．9 D． 56．（23-24八年级下·广东汕头·期中）若，则代数式的值为（    ） A．2005 B．2006 C．2007 D．2008 57．（24-25八年级下·天津和平·月考）已知，，则的值为（   ）． A． B．5 C． D． 58．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）当时，代数式的值为______ 59．（24-25八年级下·广西·期中）已知，则的值为______． 60．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）观察、思考、作解答： ， 反过来，． ，． (1)仿照上述过程，化简：； (2)若，直接写出与之间的关系． 61．（24-25八年级下·西藏·期中）已知，求的值． 62．（24-25八年级下·广西钦州·月考）先化简，再求值：，其中． 63．（24-25八年级下·新疆·期中）已知，， (1)求的值； (2)求的值． 64．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）（1）计算：； （2） 若从下列代数式，，中选择一个进行求值； ， 65．（24-25八年级下·江西赣州·期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)_______；_______； (2)比较大小： ； （用“”“”或“”填空）； (3)若，求的值． 题型十一 比较二次根式的大小（共6小题） 66．（23-24八年级下·福建福州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 67．（24-25八年级下·江西上饶·期中）已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 68．（24-25八年级下·福建莆田·期中）比较大小：____． 69．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）比较大小：_____（填“”“”或“”）． 70．（24-25八年级下·甘肃临夏·月考）我们可以用“平方法”比较二次根式和的大小，先把和分别平方，得，因为，所以，请结合上述材料解决下列问题： (1)比较的大小； (2)比较和的大小． 71．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）【阅读材料】 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“好搭档”，如，，它们的乘积不含有二次根式，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 【解决问题】 （1）将下列式子分母有理化：______． （2）比较大小：______（用“”“”或“”填空）； 【能力提升】 （3）已知有理数m，n满足，则______； （4）计算：． 题型十二 二次根式的应用（共7小题） 72．（24-25八年级下·陕西安康·期末）已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 73．（24-25八年级下·广东汕头·期中）已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式海伦公式①，其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，并给出了证明．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②，经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦-秦九韶公式．在中，若，则的面积为（　　） A． B． C． D． 74．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期（单位：），周期公式为，其中（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在分钟内该摆钟发出滴答声的次数约为______（结果保留整数；参考数据：）． 75．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，给出著名的三斜求积公式，即一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．已知的三边长为2，5，，则利用公式求得的面积是______． 76．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）已知有两块面积均为108平方厘米的正方形纸板．现甲，乙两种操作方案．甲方案：在纸板上裁出一个面积为24平方厘米，且宽为厘米的长方形纸板①；乙方案：将纸板的一边减少厘米，另一边减少厘米，得到长方形纸板②； (1)求甲方案中裁出的长方形纸板①的长； (2)求乙方案中得到的长方形纸板②的面积； (3)小明准备在纸板①，②中选出一个，剪出长2厘米，宽厘米的纸条，请直接写出小明应该选择哪个，才能使剪出的纸条最多？ 77．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．物理兴趣小组通过查阅相关资料了解到，物品从离地面为的高处自由落下，落到地面的时间为，满足不考虑阻力的影响 (1)求物体从的高空落到地面的时间结果保留根号； (2)已知从高空坠落的物体所带能量单位：物体质量高度，一串质量为的钥匙经过3落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？注：人体只需要的能量就会对人体造成危害 78．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）阅读材料： 小甘在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小甘进行了以下探索：设（其中a，b，m，n均为正整数），则有．∴，．这样小甘就找到了一种把部分形如的式子化为平方式的方法． 请你仿照小甘的方法探索并解决下列问题： (1)当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得______，______； (2)若，且a，m，n为依次减小的正整数，求a的值． $专题01 二次根式 题型1 二次根式及其性质 （常考点） 题型7 能合并的二次根式 题型2 利用二次根式的性质化简（常考点） 题型8 二次根式的加减运算 （重点） 题型3 二次根式的乘法 题型9 二次根式的混合运算（重点） 题型4 二次根式的除法 题型10 化简求值 （难点） 题型5 二次根式的乘除混合运算（重点） 题型11 比较二次根式的大小（难点） 题型6 最简二次根式（常考点） 题型12 二次根式的应用（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次根式及其性质（共7小题） 1．（24-25八年级下·广西南宁·期中）下列根式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，根据形如的式子，叫二次根式，逐一判断得到答案即可； 【详解】解：首先排除B 和D，而的根指数是3，故选项A错误， 故选：C． 2．（24-25八年级下·福建厦门·期中）下列各式中是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求二次根式的值、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式． 根据二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．是二次根式，故本选项符合题意； B．的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意； C．当时，不是二次根式，故本选项不符合题意； D．的被开方数不是二次根式，故本选项不符合题意． 故选：A． 3．（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）二次根式中字母x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数列不等式求解即可． 【详解】由题意，得 ， 解得． 故选：D． 4．（24-25八年级下·江西赣州·月考）已知是正整数，则整数的最大值为（   ） A．2025 B．2024 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、求二次根式中的参数 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键． 由题意可得，要使是正整数，即可得出当n最大取2024时，是正整数． 【详解】解： 要使是正整数， 即当时，． 故整数的最大值为2024． 故选：B． 5．（24-25八年级下·江西上饶·期中）当时，二次根式的值为_____ ． 【答案】2 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题主要考查了二次根式的求值等知识点，掌握二次根式的计算成为解题的关键． 将代入二次根式，然后求解即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：2． 6．（24-25八年级下·重庆·期中）代数式中x的取值范围是______ ． 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】根据同时满足二次根式被开方数非负、分式分母不为零列不等式组求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，解得：且． ∴代数式中x的取值范围是且． 7．（22-23八年级下·山东德州·期中）电流通过导线时会产生热量．电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足：．已知导线的电阻，1s的时间导线产生30J的热量，则电流为______A．（结果用二次根式表示） 【答案】 【知识点】算术平方根的实际应用、求二次根式的值 【分析】将已知量代入物理公式，即可求得电流的值． 【详解】解：电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足：， 将，，代入，得， 解得：或（负值，舍去） 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是将已知量代入公式计算，比较简单． 题型二 利用二次根式的性质化简（共6小题） 8．（24-25八年级下·广西南宁·期中）下列各式中，运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，根据二次根式性质计算出正确的值即可得出答案． 【详解】解：A、无意义，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 故选：C． 9．（24-25八年级下·广东汕头·期中）下列各式中计算正确的是（    ） A．； B．； C．； D． 【答案】D 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：A：==，选项计算错误，不符合题意； B：==（），选项计算错误，不符合题意； C：==，选项计算错误，不符合题意； D： ，选项计算正确，符合题意； 故选：D． 10．（24-25八年级下·广东惠州·期中）计算：______；______． 【答案】 2 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了利用二次根式化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质：和，即可得到结果． 【详解】解：；． 故答案为：2；． 11．（23-24八年级下·北京东城·期中）已知，化简：______． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了化简绝对值，利用二次根式的性质化简，熟练掌握和运用去绝对值法则及利用二次根式的性质化简是解决本题的关键． 先将原式化为，再根据化简绝对值，再进行加减计算． 【详解】解：， ∵， 所以 ∴原式， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·四川泸州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】；2026 【知识点】分式化简求值、分式加减乘除混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的性质，解题的关键掌握以上运算法则． 先利用平方差公式，分式的除法法则以及乘法运算律对分式进行化简，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，代入上式得， 原式． 13．（24-25八年级下·贵州黔东南·月考）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得，所以， 所以原式． (1)试化简：； (2)已知a，b满足，，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，算术平方根的非负性的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）先求得隐含条件，得到，然后根据二次根式化简知识，即可求解； （2）先根据题意得到，再根据，求得或，然后即可求解； 【详解】（1）解：隐含条件，解得，所以， ∴原式． （2）解：∵，若，则，显然不成立，故． ∴，解得． ∵， ∴或． 当时，解得：，则； 当时，解得：，则． 综上所述，的值为或． 题型三 二次根式的乘法（共6小题） 14．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）的结果为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法法则，进行计算后，判断即可． 【详解】解：． 故选A． 15．（23-24八年级下·辽宁鞍山·月考）设，，则可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法．根据二次根式的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 16．（24-25八年级下·云南丽江·期中）计算：______． 【答案】6 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． 直接运用二次根式的乘法运算法则计算并化简，即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：6． 17．（24-25八年级下·福建三明·期中）若一个无理数a与的积是一个有理数，则a的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算．需要找到一个无理数，使得与的乘积为有理数．由于可化简为，因此应包含的因子，以便与相乘后得到有理数． 【详解】解：取，则，是有理数，满足条件． 故答案为． 18．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形． (1)则裁去的较大正方形的边长是 ，较小正方形的边长是 ； (2)求留下部分的面积． 【答案】(1)， (2)留下部分的面积为 【知识点】算术平方根的实际应用、二次根式的乘法 【分析】本题主要考查了算术平方根． 根据算术平方根的定义和正方形的面积求出正方形的边长； 根据两个正方形的边长可知留下矩形的长为，宽为，根据长方形的面积公式即可求出结果． 【详解】（1）解：较大正方形的面积是， 较大正方形的边长是； 较小正方形的面积是， 较小正方形的边长是； 故答案为：，； （2）解：由可知裁去的较大正方形的边长为，较小正方形的边长为， 留下矩形的长为，宽为， 留下部分的面积， 答：留下部分的面积为．   19．（24-25八年级·福建漳州·期中）阅读材料，解答问题： 材料：已知，求的值． 小迪同学是这样解答的： ， ， 问题：已知．求的值． 【答案】，． 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题主要考查二次根式的运算，理解材料提示的计算方法，掌握二次根式的计算方法是解题的关键． 根据材料提示可得，由此得到，运用二次根式的运算得到，由此即可求解． 【详解】解： ， ①， ②， 由①+②可得，， ， ， ，． 题型四 二次根式的除法（共7小题） 20．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）若，则运算符号“”表示（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的除法，根据算式特点和运算结果判断即可． 【详解】解：∵． ∴符号“”表示． 故选：D． 21．（23-24八年级下·河北雄安·期中）墨迹覆盖了等式“”中的运算符号，则覆盖的运算符号是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的除法 【分析】此题主要考查了二次根式混合运算，根据二次根式混合运算法则进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴墨迹覆盖了的运算符号是：． 故选：D． 22．（24-25八年级下·甘肃定西·期中）的结果是______． 【答案】2 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题主要考查了二次根式除法计算，直接根据二次根式除法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 23．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）计算：的结果为______． 【答案】 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查二次根式的除法，根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 24．（24-25八年级下·甘肃陇南·期中）裕固族工匠用银片制作饰品，其中有一个长方形银片的面积为，长为，则该长方形银片的宽为______． 【答案】 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查二次根式的除法，根据题意，用长方形的面积除以长即可得到宽． 【详解】解：∵长方形银片的面积为，长为， ∴该长方形银片的宽为， 故选：. 25．（24-25八年级下·河北唐山·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，利用二次根式的除法运算法则计算即可，掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 26．（23-24八年级下·河南·月考）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的和谐二次根式． (1)若与是关于的和谐二次根式，求； (2)若与是关于的和谐二次根式，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】二次根式的除法、二次根式的乘法 【分析】（）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴； （2）解：由题意可得，， 整理得，， ∴． 题型五 二次根式的乘除混合运算（共6小题） 27．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 【答案】D 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，根据运算顺序逐步计算，即可判断． 【详解】解： ． 故选：D． 28．（22-23八年级下·广东阳江·期中）在如图的方格中，若要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中M代表的实数为（    ） 2 1 6 M 3 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】设方格中间的数为x，根据斜对角的3个实数相乘得到同样的结果得：，即可求解. 【详解】设方格中间的数为x，根据题意得：， 解得：， 即M代表的实数为； 故选：B. 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确理解题意、得出关于M的等式是解题关键. 29．（24-25八年级下·山东德州·期中）计算：___________． 【答案】1 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的乘除法，根据除法法则变换为乘法再进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 30．（24-25八年级下·山东青岛·期中）计算：___________． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 31．（24-25八年级下·广东江门·期中）计算： 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的乘除法的应用，根据二次根式的乘除法法则， 系数相乘除， 被开方数相乘除， 根指数不变，计算后求出即可 ． 【详解】解： 32．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，已知正方形的面积为2，将正方形和等腰直角三角形两个障碍物放在数轴上，使正方形顶点与数轴原点重合，边与在数轴上． (1)点表示的数为______；的长度为______． (2)甲虫从点处沿的方向以每秒1个单位长度的速度爬到点． ①求甲虫爬行的距离； ②另一只甲虫从点沿的方向爬行到点，两只甲虫同时出发，在中点处相遇，求甲虫的爬行速度． 【答案】(1)；2． (2)①；②每秒个单位长度． 【知识点】实数与数轴、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查轴上的几何问题，重点在于理解正方形和等腰直角三角形的性质，以及如何在数轴上表示和计算点的位置和距离．同时，需要运用速度和时间的关系来求解甲虫的爬行距离和速度． （1）根据正方形面积计算出边长，即是点到原点的距离，且点在原点右侧，注意符号；是等腰直角三角形的斜边，根据勾股定理可以求出长度． （2）①甲虫爬行的距离可以根据图像将甲虫走过的线段长度求和； ②根据相遇位置，求出甲虫所走过的距离，从而得到两只甲虫相遇的时间，再根据甲虫走过的距离，求出甲虫的爬行速度． 【详解】（1）解：正方形的面积为2， 正方形的边长为， 点表示的数为． 为等腰直角三角形， ． 故答案为：，2． （2）解：①根据题意，甲虫爬行的距离； ②甲虫，相遇时，甲虫爬行距离为， 则甲虫爬行时间为秒， 甲虫爬行距离为， 爬行速度为， 甲虫的爬行速度为每秒个单位长度． 题型六 最简二次根式（共5小题） 33．（23-24八年级下·北京·期中）下列式子是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），逐一判断选项即可． 【详解】解：∵最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 对于A选项：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对于B选项：，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式； 对于C选项：的被开方数2不含分母，且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，符合题意； 对于D选项：，被开方数含分母，不是最简二次根式． 34．（24-25八年级下·天津·月考）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】本题考查了最简二次根式，熟记“被开方数不能含有能开得尽方的因数或式子，不能含有分母”是解题关键．根据二次根式的性质化简后，再根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，故A不符合题意； B、，是最简二次根式，故B符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 故C不符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，故D不符合题意； 故选：B． 35．（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值：______． 【答案】答案不唯一 【知识点】二次根式有意义的条件、已知最简二次根式求参数 【分析】本题主要考查了最简二次根式、二次根式有意义的条件等知识点，掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，据此即可解答． 【详解】解：是最简二次根式， ∴，解得：， 整数的值可以是答案不唯一． 故答案为：答案不唯一． 36．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）交警通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的公式是．其中（单位：）表示车速，（单位：）表示刹车后车轮滑过的距离，表示摩擦因数．在某次交通事故中，测得，．则汽车的车速是______．（结果保留根号） 【答案】 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题主要考查了利用二次根式的乘法公式逆运算进行化简，正确理解题意是解题的关键．直接用题目中速度公式进行计算即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 37．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)是最简二次根式； (2)不是最简二次根式，化简见解析； (3)不是最简二次根式，化简见解析； (4)是最简二次根式． 【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义及二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的定义（被开方数是整数，且不含能开得尽方的因数或因式；被开方数不含分母，分母不含根号）是解题的关键． （1）判断被开方数是否为整数且不含能开得尽方的因数或因式． （2），先将带分数化为假分数，再判断是否为最简二次根式，若不是则化简． （3）将被开方数分解因数，找出能开得尽方的因数进行化简． （4）判断被开方数是否为整数且不含能开得尽方的因数或因式，分母是否为1． 【详解】（1）解：∵，5和7都是质数， ∴是最简二次根式． （2）解：不是最简二次根式， ； （3）解：不是最简二次根式， ； （4）解：∵是质数，分母为， ∴是最简二次根式． 题型七 能合并的二次根式（共5小题） 38．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）若能与最简二次根式合并，则的值为______． 【答案】 【知识点】已知最简二次根式求参数、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，根据最简二次根式以及同类二次根式的定义，即可求出答案，熟练掌握同类二次根式是解题的关键． 【详解】解：由， ∵能与最简二次根式合并， ∴，解得：， 故答案为：． 39．（24-25八年级下·江西上饶·期中）写出一个能与合并的二次根式 ____________________ 【答案】（答案不唯一） 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，当两个最简二次根式的被开方数相同时，它们称为同类二次根式． 【详解】解：写出的同类二次根式即可， 故答案为：（答案不唯一） 40．（24-25八年级下·山东临沂·月考）若与最简二次根式可以合并，则的值为_________． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式、最简二次根式的判断 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义和二次根式的化简，先把化简成最简的二次根式，即可得到关于t的一元一次方程，求出t即可． 【详解】解：化简：， ∵与最简二次根式可以合并， ∴， 解得： 41．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求的值． 【答案】6 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式，根据同类二次根式的被开方数相等列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与最简二次根式可以合并， ∴最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． 42．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）已知式子在实数范围内有意义． (1)求x的取值范围； (2)若式子A是最简二次根式，且可与合并，求x的值，并计算的值． 【答案】(1)； (2)；3 【知识点】二次根式有意义的条件、二次根式的除法、同类二次根式 【分析】本题考查了二次根式的性质、同类二次根式，二次根式的除法运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式中被开方数为非负数，求解即可； （2）只有同类二次根式才能合并，把化简为最简二次根式，即可求解；利用二次根式的除法法则求解即可． 【详解】（1）解：∵式子有意义， ∴， 解得； （2）解：， ∵与能合并，并且是最简二次根式， ∴， 解得； ∵， ∴． 题型八 二次根式的加减运算 （共5小题） 43．（24-25八年级下·河北唐山·期中）已知点和点关于轴对称，则的值是（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【知识点】二次根式的加减运算、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了轴对称的性质，二次根式的减法运算，根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，求出a和b的值，再代入计算，即可作答． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴， ∴， 故选：B． 44．（23-24八年级下·吉林松原·期中）计算的结果是___________． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的加减，先化简各项，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 45．（24-25八年级下·广东湛江·期中）计算______ 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，通过合并同类项即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 46．（24-25八年级下·广东江门·期中）计算： 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． 先去括号，然后合并同类二次根式，即可得出答案． 【详解】解：原式． 47．（24-25八年级下·浙江衢州·期末）下面是亮亮同学进行二次根式混合运算练习的计算过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： ① ② ③ (1)指出上述解题过程中，最先出现错误的步骤（写出序号即可）． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)① (2)见解析 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的减法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键； （1）化简二次根式错误，，1不能直接开平方到根号外，由此得出错误处； （2）由先化简各数，再合并同类二次根式，即可解得． 【详解】（1）解：， 故步骤①最先出现错误． （2） 题型九 二次根式的混合运算（共7小题） 48．（24-25八年级下·北京海淀·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的运算的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据二次根式的运算的知识进行作答，需逐一验证各选项的正确性，然后即可求解； 【详解】选项A：， 合并同类项，系数相加：，但结果误写为，故错误； 选项B：， 化简：，但结果误写为，故错误， 选项C：， 利用根式除法法则：，计算正确， 选项D：， 被开方数为，故，但结果误写为，故错误， 故选：C； 49．（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）下列各式，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算法则，熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则是解题关键． 根据二次根式的加、减、乘、除运算法则进行计算，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，此选项计算错误，不符合题意； B、，此选项计算正确，符合题意； C、，此选项计算错误，不符合题意； D、，此选项计算错误，不符合题意． 故选：B． 50．（23-24八年级下·四川泸州·月考）计算：___________． 【答案】4 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的乘法．根据平方差公式和二次根式的乘法法则来计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：4． 51．（24-25八年级下·甘肃天水·期中）对于任意两个正数m，n，定义运算※为：m※n＝，计算的结果为_____． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查的是二次根式的运算，新定义运算的含义，根据新定义运算规则，分别计算和，再利用二次根式的混合运算法则计算乘积． 【详解】解：由定义，， ． 则 ． 故答案为： 52．（24-25八年级下·福建厦门·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算、实数的混合运算、零指数幂 【分析】本题考查二次根式的混合运算，零指数幂的运算． （1）按照二次根式的乘法、除法运算法则，零指数幂的运算法则计算后，再计算加法即可． （2）化为最简二次根式，合并被开方数相同的最简二次根式，得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ． 53．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）定义：若两个二次根式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”． (1)若m与是关于10的友好二次根式，求m； (2)若与是关于6的友好二次根式，求m． 【答案】(1)2 (2)3 【知识点】二次根式的除法、二次根式的混合运算 【分析】（1）利用二次根式的除法法则进行计算即可； （2）利用多项式乘多项式以及二次根式的混合运算法则进行计算． 【详解】（1）解：根据题意得，； （2）解：根据题意得，， ∴． 54．（24-25八年级下·北京·期中）观察所给等式寻求规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 直接写出第4个等式：______； 根据上述规律，化简：______（直接写出化简后的结果）． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及实数的运算，根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为；；；…， 所以第n个等式可表示为 当时， 第4个等式为 由上述规律可知， 原式 故答案为：， 题型十 化简求值（共11小题） 55．（24-25八年级下·广东阳江·期中）若，则代数式的值为（   ） A．5 B．7 C．9 D． 【答案】B 【知识点】运用完全平方公式进行运算、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了完全平方公式和二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将代数式通过完全平方公式化简为，再代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：B． 56．（23-24八年级下·广东汕头·期中）若，则代数式的值为（    ） A．2005 B．2006 C．2007 D．2008 【答案】C 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，根据题意得到，进而根据完全平方公式得到，由此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 57．（24-25八年级下·天津和平·月考）已知，，则的值为（   ）． A． B．5 C． D． 【答案】C 【知识点】复合二次根式的化简、分式化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分式的运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 由，，判断，，化简原式再代入计算即可得解． 【详解】解：，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 58．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）当时，代数式的值为______ 【答案】2 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知字母的值，化简求值 【分析】此题主要考查求代数式的值，完全平方公式的应用及二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．先将代数式变形为，再整体代入计算即可． 【详解】解：，且， ， 则代数式的值为． 故答案为：． 59．（24-25八年级下·广西·期中）已知，则的值为______． 【答案】9 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据完全平方公式将两边平方，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：9． 60．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）观察、思考、作解答： ， 反过来，． ，． (1)仿照上述过程，化简：； (2)若，直接写出与之间的关系． 【答案】(1) (2)， 【知识点】运用完全平方公式进行运算、复合二次根式的化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式的变形运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干过程，得，故，即可作答． （2）因为，则，即可作答． 【详解】（1）解：依题意 ． （2）解：∵， ∴， 即，． 61．（24-25八年级下·西藏·期中）已知，求的值． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了二次根式化简求值，熟练掌握平方差公式，二次根式性质，是解题的关键． 计算，把条件式代入，即得结果式的值． 【详解】解：∵ ， 且， ∴． 62．（24-25八年级下·广西钦州·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【知识点】分式化简求值、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 将括号内的分式通分并计算，然后将除法化为乘法并约分，最后代入已知数值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 63．（24-25八年级下·新疆·期中）已知，， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，正确计算是解题的关键： （1）先求出，再代入求值即可； （2）先求出，再根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 64．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）（1）计算：； （2） 若从下列代数式，，中选择一个进行求值； ， 【答案】（1）；（2）选： ；选：15；选：4（任选其一即可） 【知识点】二次根式的混合运算、已知条件式，化简求值、异分母分式加减法、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，分式加减运算，二次根式性质，熟练掌握相关运算法则和性质是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算法则和二次根式性质，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式和完全平方公式，进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ， ， ； ； ． 65．（24-25八年级下·江西赣州·期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)_______；_______； (2)比较大小： ； （用“”“”或“”填空）； (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)5 【知识点】分母有理化、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用分母有理化计算； （2）根据分母有理化、、、，然后再比较大小即可； （3）根据题干的方法可得，结合，即可求解． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：；． （2）解：， ， ， ； ， ， ， ，即． 故答案为：；． （3）解：， ， ，，即 题型十一 比较二次根式的大小（共6小题） 66．（23-24八年级下·福建福州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较二次根式的大小、实数的大小比较 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，二次根式大小比较，首先分别求出的平方，并比较出它们的平方的大小关系，然后根据两个正实数，平方大的这个数也大，判断出的大小关系即可，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，平方大的这个数也大． 【详解】解： ，，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 67．（24-25八年级下·江西上饶·期中）已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题主要考查了分母有理化的应用、二次根式的大小比较等知识点，灵活分母有理化成为解题的关键． 先对a、b、c进行分母有理数，然后根据分子相同、分母越大、该数越小求解即可． 【详解】解：； 同理，，． ∵， ∴． 故选：A． 68．（24-25八年级下·福建莆田·期中）比较大小：____． 【答案】> 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题主要考查了实数大小比较，首先比较出每组两个数的平方的大小关系，然后判断出原来两个数的大小关系即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 69．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）比较大小：_____（填“”“”或“”）． 【答案】 【知识点】实数的大小比较、运用完全平方公式进行运算、比较二次根式的大小 【分析】本题考查了二次根式比较大小的方法，进行完全平方公式的运用是解决本题的关键． 通过比较两个数平方的大小来间接比较这两个数的大小． 【详解】解：因为， ， 因为，所以，即， 因为，，所以． 故答案为：． 70．（24-25八年级下·甘肃临夏·月考）我们可以用“平方法”比较二次根式和的大小，先把和分别平方，得，因为，所以，请结合上述材料解决下列问题： (1)比较的大小； (2)比较和的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算、比较二次根式的大小、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的大小比较，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别算出，再进行比较大小，即可作答． （2）先根据，，得出，再进行比较大小，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ∵， ∴ 即． （2）解：由题意得，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 71．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）【阅读材料】 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“好搭档”，如，，它们的乘积不含有二次根式，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 【解决问题】 （1）将下列式子分母有理化：______． （2）比较大小：______（用“”“”或“”填空）； 【能力提升】 （3）已知有理数m，n满足，则______； （4）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）1；（4） 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键． （1）直接分母有理化即可； （2）先将两边进行分母有理化后再进行比较大小即可； （3）先将两边进行分母有理化后观察对比即可得出结果； （4）先将其中的一项进行分母有理化后观察规律，再进行计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2），， ∵， ∴， ∴； 故答案为：＞； （3）∵ ， ∴， ，是有理数， ，且， ； 故答案为：1； （4）∵ ， ∴ ． 题型十二 二次根式的应用（共7小题） 72．（24-25八年级下·陕西安康·期末）已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】D 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的应用．先根据矩形面积和长求出宽，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积，即可作答． 【详解】解：∵矩形的长为，面积为， ∴矩形的宽为， ∵， ，且 ∴， ∴正方形的最大边长为， ∴正方形的最大面积为， 故选：D 73．（24-25八年级下·广东汕头·期中）已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式海伦公式①，其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，并给出了证明．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②，经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦-秦九韶公式．在中，若，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三边长度的特点选择合适的公式代入计算．根据海伦公式，已知三角形三边长，先计算半周长p，再代入公式即可求出面积． 【详解】解：由三边长分别为，则， 代入海伦公式：， 因此的面积为， 故选：C． 74．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期（单位：），周期公式为，其中（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在分钟内该摆钟发出滴答声的次数约为______（结果保留整数；参考数据：）． 【答案】 【知识点】二次根式的应用、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的应用，求代数式的值，解决本题的关键是根据．摆钟的摆锤长为，求出摆锤摆动一个来回需要的时间，再根据分钟等于秒可以求出在分钟内该摆钟发出滴答声的次数． 【详解】解：．若某摆钟的摆锤长为， ， 又， 在分钟内该摆钟发出滴答声的次数约为下． 故答案为： ． 75．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，给出著名的三斜求积公式，即一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．已知的三边长为2，5，，则利用公式求得的面积是______． 【答案】/ 【知识点】二次根式的应用 【分析】根据面积公式代入计算即可． 本题考查了代数式的值，二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：由的三边长为2，5，， 得 ． 故答案为：． 76．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）已知有两块面积均为108平方厘米的正方形纸板．现甲，乙两种操作方案．甲方案：在纸板上裁出一个面积为24平方厘米，且宽为厘米的长方形纸板①；乙方案：将纸板的一边减少厘米，另一边减少厘米，得到长方形纸板②； (1)求甲方案中裁出的长方形纸板①的长； (2)求乙方案中得到的长方形纸板②的面积； (3)小明准备在纸板①，②中选出一个，剪出长2厘米，宽厘米的纸条，请直接写出小明应该选择哪个，才能使剪出的纸条最多？ 【答案】(1)厘米 (2)18平方厘米 (3)小明应该选择长方形纸板①，才能使剪出的纸条最多 【知识点】算术平方根的实际应用、二次根式的应用 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握二次根式运算法则． （1）根据长方形面积公式列式解答即可； （2）先求正方形的边长，然后求出乙方案中长方形的长和宽，然后求出结果即可； （3）分别画图，求出纸板①，②中可以剪出的纸条条数，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：甲方案中裁出的长方形纸板①的长为： （厘米）； （2）解：∵正方形纸板的面积为108平方厘米， ∴正方形的边长为厘米， ∵将纸板的一边减少厘米，另一边减少厘米，得到长方形纸板②， ∴乙方案中得到的长方形纸板②的长为： （厘米）， 宽为：（厘米）， ∴乙方案中得到的长方形纸板②的面积为： （平方厘米）； （3）解：长方形纸板①的长为厘米，宽为厘米， 长方形纸板②的长为厘米，宽为厘米， ∵，，，， ∴长方形纸板①和长方形纸板②可以剪出长2厘米，宽厘米的纸条条数，如图所示： ∴长方形纸板①可以剪出6个长2厘米，宽厘米的纸条，长方形纸板②可以剪出4个长2厘米，宽厘米的纸条， ∴小明应该选择长方形纸板①，才能使剪出的纸条最多． 77．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．物理兴趣小组通过查阅相关资料了解到，物品从离地面为的高处自由落下，落到地面的时间为，满足不考虑阻力的影响 (1)求物体从的高空落到地面的时间结果保留根号； (2)已知从高空坠落的物体所带能量单位：物体质量高度，一串质量为的钥匙经过3落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？注：人体只需要的能量就会对人体造成危害 【答案】(1)落到地面的时间为； (2)这串钥匙在下落后会对人体造成危害，理由见解析． 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意，由，，则，进而可以得解； （2）依据题意，由，，则，从而，结合人体只需要的能量就会对人体造成危害，即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，，， ， 答：落到地面的时间为； （2）由题意，，， ， 这串钥匙在下落后会对人体造成危害． 78．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）阅读材料： 小甘在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小甘进行了以下探索：设（其中a，b，m，n均为正整数），则有．∴，．这样小甘就找到了一种把部分形如的式子化为平方式的方法． 请你仿照小甘的方法探索并解决下列问题： (1)当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得______，______； (2)若，且a，m，n为依次减小的正整数，求a的值． 【答案】(1)， (2)或 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的应用． （1）根据示例作答即可； （2）根据示例得到，，根据题意得到或，计算即可． 【详解】（1）解：若， 则有， ∴， 故答案为：，； （2）若， 则有， ∴，即， ∵a，m，n为依次减小的正整数， ∴或 当时，；满足a，m，n为依次减小的正整数，符合题意； 当时，；a，m，n为依次减小的正整数，符合题意． ∴或 $