第20讲 和差倍问题-四年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

第20讲 和差倍问题 📋 核心方法论与知识体系构建 1 1. 知识体系全景梳理 1 2. 专题核心图表记忆法 1 3. 奥数思维提升 2 📊 典型例题解构与解题策略精讲 2 📌 考点一：和差问题 2 📌 考点二：和倍问题 2 📌 考点三：差倍问题 3 📌 考点四：复杂和差倍（隐藏和/差） 3 ⚠️ 易错避坑指南 —— 直击失分痛点，突破提分瓶颈 4 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 5 🌱 基础夯实篇（8 题） 5 🚀 能力进阶篇（6 题） 5 🧠 思维跃迁篇（6 题） 6 🔍 精准解析—思路拆解・知识点睛 7 🌱 基础夯实篇（8 题） 7 🚀 能力进阶篇（6 题） 8 🧠 思维跃迁篇（6 题） 9 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 1. 知识体系全景梳理 和差倍问题是小学奥数应用题模块的综合核心内容，整合和差、和倍、差倍三类基础问题，核心解题思想是找准数量关系→确定对应模型→套用对应公式→计算结果，需精准掌握以下知识点： 问题类型 解题方法 核心公式 关键注意事项 和差问题 线段图梳理关系，和差公式 大数=(和+差)÷2，小数=(和-差)÷2 和与差对应同一时期的数量 和倍问题 小数为1倍量，和除以总倍数 小数=和÷(倍数+1)，大数=小数×倍数 倍数和是倍数+1，不要忘记加1 差倍问题 小数为1倍量，差除以倍数差 小数=差÷(倍数-1)，大数=小数×倍数 倍数差是倍数-1，不要忘记减1 复杂和差倍 转化为基础模型，找隐藏的和/差/倍数 先统一1倍量，找对应和/差与倍数 多量问题统一公共1倍量，避免混乱 隐藏和差倍 先根据条件求出和/差/倍数，再套用公式 隐藏和/差通过条件推导，不要直接用表面数值 和与倍数要对应同一时间点 2. 专题核心图表记忆法 问题类型 解题核心口诀 和差问题 加起来除以2是大数，减起来除以2是小数 和倍问题 和除以倍数加1，得到小数再算大数 差倍问题 差除以倍数减1，得到小数再算大数 复杂问题 找和找差找倍数，转化为基础模型算 通用技巧 画线段图理关系，1倍量先确定，对应关系要找准 3. 奥数思维提升 ① 模型思维：判断属于和差/和倍/差倍哪种模型，对应套用公式； ② 对应思维：和、差、倍数必须对应同一时期、同一对象的关系； ③ 转化思维：复杂问题转化为基础模型，隐藏的和差倍先推导出来； ④ 线段图思维：用线段图标注1倍量、倍数、和、差，关系一目了然。 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：和差问题 ✨ 典型例题 1（应用题）甲乙两班共有学生96人，甲班比乙班多8人，两班各有多少人？ ✅ 解题步骤 ① 属于和差问题，和=96，差=8； ② 大数（甲班）=(96+8)÷2=52人； ③ 小数（乙班）=(96-8)÷2=44人； ④ 验证：52+44=96，52-44=8，符合条件。 答案：甲班52人，乙班44人。 🔄 方法总结 和差问题直接套用公式：大数=(和+差)÷2，小数=(和-差)÷2，大数也可以用和减小数得到。 📌 考点二：和倍问题 ✨ 典型例题 1（应用题）学校图书馆有科技书和故事书共360本，科技书是故事书的3倍，两种书各有多少本？ ✅ 解题步骤 ① 属于和倍问题，和=360，倍数=3； ② 小数（故事书）=360÷(3+1)=90本； ③ 大数（科技书）=90×3=270本； ④ 验证：90+270=360，270÷90=3，符合条件。 答案：故事书90本，科技书270本。 🔄 方法总结 和倍问题，总倍数是倍数+1，和除以总倍数得到1倍量（小数），再乘倍数得到大数。 📌 考点三：差倍问题 ✨ 典型例题 1（应用题）果园里苹果树比梨树多120棵，苹果树是梨树的4倍，两种树各有多少棵？ ✅ 解题步骤 ① 属于差倍问题，差=120，倍数=4； ② 小数（梨树）=120÷(4-1)=40棵； ③ 大数（苹果树）=40×4=160棵； ④ 验证：160-40=120，160÷40=4，符合条件。 答案：梨树40棵，苹果树160棵。 🔄 方法总结 差倍问题，倍数差是倍数-1，差除以倍数差得到1倍量（小数），再乘倍数得到大数。 📌 考点四：复杂和差倍（隐藏和/差） ✨ 典型例题 1（应用题）甲乙两筐苹果共重80千克，如果从甲筐取10千克放入乙筐，两筐重量相等，原来两筐各重多少千克？ ✅ 解题步骤 ① 隐藏差：甲给乙10千克相等，说明原来甲比乙多10×2=20千克，和=80，差=20； ② 甲=(80+20)÷2=50千克，乙=80-50=30千克； ③ 验证：50-10=40，30+10=40，相等，符合条件。 答案：原来甲50千克，乙30千克。 🔄 方法总结 隐藏差的和差问题，移动类问题差是2倍的移动量，先求出差再套用和差公式。 ⚠️ 易错避坑指南 —— 直击失分痛点，突破提分瓶颈 错误类型 典型错误示例 修正方法 和倍差倍忘记±1 和倍计算360÷3=120，实际除以4 和倍除以倍数+1，差倍除以倍数-1，不要忘记±1 移动类差算1倍 甲给乙10千克相等，差算10千克，实际是20千克 移动类差是2倍移动量，一方减一方加，差是两倍 和差倍对应错误 用今年的和除以去年的倍数，时间不对应 和、差、倍数必须对应同一时间点，不要跨时间计算 多量1倍量混乱 多量问题找错1倍量，导致全部计算错误 多量问题统一公共的1倍量，所有量转化为1倍量的倍数 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 🌱 基础夯实篇（8 题） 一、填空题 1． 甲乙两数和是50，差是10，大数是（ ） 2． 两个数和是60，大数是小数的2倍，小数是（ ） 3． 大数比小数多30，大数是小数的4倍，小数是（ ） 4． 甲乙两人共有100元，甲比乙多20元，甲有（ ）元 5． 鸡鸭共120只，鸡是鸭的3倍，鸡有（ ）只 二、选择题 6． 苹果比梨多45千克，苹果是梨的4倍，梨有（ ）千克 A.15 B. 20 C. 25 D.30 7． 两数和是72，差是12，大数是（ ） A.30 B. 42 C. 36 D.48 8． 学校买回篮球足球共40个，篮球是足球的3倍，篮球有（ ）个 A.10 B. 20 C. 30 D.25 🚀 能力进阶篇（6 题） 一、填空题 9． 甲比乙多30元，甲的钱是乙的3倍多10元，甲有（ ）元 10． 甲乙两数和是70，甲比乙的2倍多10，甲是（ ） 11． 苹果比梨多50千克，苹果比梨的3倍少10千克，苹果有（ ）千克 12． 甲乙两人年龄和是40岁，甲比乙大10岁，5年后甲（ ）岁 二、选择题 13． 把100分成两个数，大数是小数的4倍，大数比小数多（ ） A.20 B. 40 C. 60 D.80 14． 两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，第一筐重（ ）千克 A.71 B. 79 C. 75 D.80 🧠 思维跃迁篇（6 题） 15． 三个数的和是120，甲是乙的2倍，丙比乙多20，三个数各是多少？ 16． 甲乙丙三人共有280 元，甲比乙多 20 元，乙比丙多 10 元，三人各有多少元？ 17． 有两堆煤，第一堆比第二堆多80吨，两堆各用去30吨后，第一堆是第二堆的3倍，原来各多少吨？ 18． 两数相除商3余2，被除数、除数、商、余数和是39，被除数和除数各是多少？ 19． 学校体育室篮球比足球多20个，后来又买了20个篮球和35个足球，现在哪种球多？多多少个？ 20． 甲乙两个仓库共存大米56包，从乙仓库调8包到甲仓库，两个仓库大米包数相等，原来甲乙各多少包？ 🔍 精准解析—思路拆解・知识点睛 🌱 基础夯实篇（8 题） 一、填空题 1． 【答案】30 ✅ 解题步骤： (50+10)÷2=30。 【知识点睛】和差公式，(和+差)÷2=大数。 2． 【答案】20 ✅ 解题步骤： 60÷(2+1)=20。 【知识点睛】和倍公式，和÷(倍数+1)=小数。 3． 【答案】10 ✅ 解题步骤： 30÷(4-1)=10。 【知识点睛】差倍公式，差÷(倍数-1)=小数。 4． 【答案】60 ✅ 解题步骤： (100+20)÷2=60。 【知识点睛】和差公式，(和+差)÷2=大数。 5． 【答案】90 ✅ 解题步骤： 鸭=120÷(3+1)=30只，鸡=30×3=90只。 【知识点睛】和倍先算小数，再乘倍数得大数。 二、选择题 6． 【答案】A ✅ 解题步骤： 45÷(4-1)=15千克。 【知识点睛】差倍公式，差÷(倍数-1)=小数。 7． 【答案】B ✅ 解题步骤： (72+12)÷2=42。 【知识点睛】和差公式，(和+差)÷2=大数。 8． 【答案】C ✅ 解题步骤： 足球=40÷(3+1)=10个，篮球=30个。 【知识点睛】和倍先算小数，再乘倍数得大数。 🚀 能力进阶篇（6 题） 一、填空题 9． 【答案】40 ✅ 解题步骤： 差30是乙的2倍多10，所以2倍乙=30-10=20，乙=10，甲=40。 【知识点睛】带余差倍，多的部分减去再算倍数。 10． 【答案】50 ✅ 解题步骤： 减去多的10，和是60，乙=60÷(2+1)=20，甲=20×2+10=50。 【知识点睛】带余和倍，多的部分减去再算总倍数。 11． 【答案】80 ✅ 解题步骤： 差50是梨的2倍少10，所以2倍梨=50+10=60，梨=30，苹果=30×3-10=80。 【知识点睛】差倍少几的情况，补上少的部分再算倍数。 12． 【答案】30 ✅ 解题步骤： 甲今年=(40+10)÷2=25岁，5年后30岁。 【知识点睛】先算今年甲年龄，再加5得5年后年龄。 二、选择题 13． 【答案】C ✅ 解题步骤： 小数=100÷(4+1)=20，大数=80，差=60。 【知识点睛】和倍算两数，再求差。 14． 【答案】B ✅ 解题步骤： (150+8)÷2=79千克。 【知识点睛】和差公式，(和+差)÷2=大数。 🧠 思维跃迁篇（6 题） 15． 【答案】甲50，乙25，丙45 ✅ 解题步骤： 丙减去20等于乙，总和120-20=100，乙=100÷(2+1+1)=25，甲=50，丙=45。 【知识点睛】统一乙为1倍量，丙减去20等于乙，总倍数4倍。 16． 【答案】甲110，乙90，丙80 ✅ 解题步骤： 以乙为标准，丙 = 乙 - 10，甲 = 乙 + 20；总和 = 乙 + 20 + 乙 + 乙 - 10=3 乙 + 10=280；3 乙 = 270，乙 = 90 元；甲 = 90+20=110 元；丙 = 90-10=80 元。 【知识点睛】统一中间量为 1 倍量，用和差关系算术计算。 17． 【答案】第一堆150吨，第二堆70吨 ✅ 解题步骤： 用去30吨后差还是80吨，倍数差2，第二堆现在=80÷2=40吨，原来=40+30=70吨，第一堆=150吨。 【知识点睛】同时用去相同吨数，差不变，用差倍算现在的量，再加回用去的。 18． 【答案】被除数26，除数8 ✅ 解题步骤： 被除数+除数=39-3-2=34，被除数=3×除数+2，所以3×除数+2+除数=34→4除数=32→除数=8，被除数=26。 【知识点睛】被除数=商×除数+余数，和倍问题求解。 19． 【答案】篮球多，多 5 个 ✅ 解题步骤： 原来篮球比足球多 20 个；新买篮球 20 个、足球 35 个，足球比篮球多买 15 个；现在相差：20-15=5 个，篮球多 5 个。 【知识点睛】原差值减去新购入差值，得到现差值。 20． 【答案】甲20包，乙36包 ✅ 解题步骤： 差=8×2=16包，甲=(56-16)÷2=20包，乙=36包。 【知识点睛】移动类差是2倍移动量，再用和差公式计算。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案2 学科网（北京）股份有限公司 $