第15讲 平均数问题-四年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

第15讲 平均数问题 📋 核心方法论与知识体系构建 1 1. 知识体系全景梳理 1 2. 专题核心图表记忆法 1 3. 奥数思维提升 2 📊 典型例题解构与解题策略精讲 2 📌 考点一：基础平均数 2 📌 考点二：加权平均数 2 📌 考点三：平均速度 3 📌 考点四：移多补少问题 3 📌 考点五：连续数平均数 4 ⚠️ 易错避坑指南 —— 直击失分痛点，突破提分瓶颈 4 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 5 🌱 基础夯实篇（8 题） 5 🚀 能力进阶篇（6 题） 5 🧠 思维跃迁篇（6 题） 6 🔍 精准解析—思路拆解・知识点睛 8 🌱 基础夯实篇（8 题） 8 🚀 能力进阶篇（6 题） 9 🧠 思维跃迁篇（6 题） 10 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 1. 知识体系全景梳理 平均数问题是小学奥数应用模块的常考内容，围绕总数量÷总份数=平均数核心公式展开，核心解题思想是找总数量和对应总份数→套用公式→计算结果，需精准掌握以下知识点： 问题类型 解题方法 核心公式 关键注意事项 基础平均数 总数量÷总份数=平均数 平均数=总数量÷总份数；总数量=平均数×总份数 总数量和总份数必须对应，不能跨类计算 加权平均数 各部分数量×对应权数求和÷总份数 加权平均数=Σ(数量×权数)÷总权数 注意不同部分的权重不同，不能直接平均 平均速度 总路程÷总时间=平均速度 平均速度≠速度的平均，必须用总路程除以总时间 路程相同的往返平均速度=2v₁v₂/(v₁+v₂) 差额平均 移多补少法，多的部分补到少的部分 移动量=差额÷2 平均后数量相同，差额平均分配 连续数平均数 中间数是平均数（奇数个连续数） 奇数个连续数和=中间数×个数 连续数是等差数列，平均数就是中间数 2. 专题核心图表记忆法 问题类型 解题核心口诀 基础平均数 总数量除以总份数，结果就是平均数 加权平均 各部分乘权重求和，除以总权重得结果 平均速度 总路程除以总时间，不是速度的平均 移多补少 多的补到少的部分，差额平均分配 连续数平均 奇数个连续数，中间数就是平均数 3. 奥数思维提升 ① 对应思维：总数量和总份数必须一一对应，份数是几就除以几； ② 转化思维：复杂平均数问题转化为总数量和总份数的求解； ③ 逆向思维：已知平均数可以反求总数量，总数量=平均数×总份数； ④ 验证思维：计算后用总数量=平均数×总份数验证结果是否正确。 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：基础平均数 ✨ 典型例题 1（应用题）小明期末考试语文90分，数学98分，英语94分，三科平均成绩是多少？ ✅ 解题步骤 ① 总分数=90+98+94=282分，总份数=3科； ② 平均数=282÷3=94分； ③ 验证：94×3=282，正确。答案：平均成绩94分。 🔄 方法总结 基础平均数=总数量÷总份数，先求和再除以份数即可。 📌 考点二：加权平均数 ✨ 典型例题 1（应用题）商店有2千克水果糖，每千克12元；3千克奶糖，每千克22元，混合成什锦糖，平均每千克多少元？ ✅ 解题步骤 ① 总钱数=2×12 + 3×22=24+66=90元，总重量=2+3=5千克； ② 平均价格=90÷5=18元/千克； ③ 验证：5×18=90，正确。答案：平均每千克18元。 🔄 方法总结 加权平均数要先算总数量（本题总钱数）和总份数（总重量），再相除，不能直接(12+22)÷2。 📌 考点三：平均速度 ✨ 典型例题 1（应用题）小明从家到学校每分钟走60米，回家时每分钟走40米，往返的平均速度是多少？ ✅ 解题步骤 ① 设家到学校距离120米（公倍数方便计算），去的时间=120÷60=2分钟，回的时间=120÷40=3分钟； ② 总路程=120×2=240米，总时间=2+3=5分钟； ③ 平均速度=240÷5=48米/分钟； ④ 验证：用公式2×60×40÷(60+40)=4800÷100=48，正确。答案：平均速度48米/分钟。 🔄 方法总结 平均速度必须用总路程÷总时间，不能用(60+40)÷2=50，路程相同的往返平均速度公式=2v1v2/(v1+v2)。 📌 考点四：移多补少问题 ✨ 典型例题 1（填空题）甲有10元，乙有16元，乙给甲多少元两人钱数相同？ ✅ 解题步骤 ① 差额=16-10=6元，移动量=差额÷2=6÷2=3元； ② 验证：乙给甲3元后，甲13元，乙13元，相同。答案：3元。 🔄 方法总结 移多补少问题，移动的量是差额的一半，差额平均分到两边。 📌 考点五：连续数平均数 ✨ 典型例题 1（填空题）5个连续自然数的和是45，这5个数中间的数是多少？最小的数是多少？ ✅ 解题步骤 ① 奇数个连续数的平均数就是中间数，中间数=45÷5=9； ② 5个数是7、8、9、10、11，最小的数是7； ③ 验证：7+8+9+10+11=45，正确。答案：中间数9，最小数7。 🔄 方法总结 奇数个连续数的和=中间数×个数，中间数就是平均数，向两边扩展得到其他数。 ⚠️ 易错避坑指南 —— 直击失分痛点，突破提分瓶颈 错误类型 典型错误示例 修正方法 平均速度直接平均 往返速度60和40，平均速度算50，实际是48 平均速度=总路程÷总时间，不能直接算速度的平均 加权平均直接平均 水果糖12元奶糖22元，平均算17元，实际是18元 加权平均要算总钱数除以总重量，不能直接平均 单价总数量总份数不对应 三科总分282除以2得141，实际除以3 总数量对应总份数，几科就除以几 移多补少给全部差额 差6元给6元，实际给3元 移动量是差额的一半，给一半两人就相等 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 🌱 基础夯实篇（8 题） 一、填空题 1． 小明语文、数学、英语成绩分别是92、96、97，平均成绩（ ）分 2． 三个数的平均数是12，前两个数是10和14，第三个数是（ ） 3． 小红跳绳前两次平均120个，第三次跳150个，三次平均（ ）个 4． 甲乙两人平均身高140厘米，甲145厘米，乙（ ）厘米 5． 3个连续自然数的和是24，中间的数是（ ） 二、选择题 6． 小明考试语文数学平均95分，加上英语后平均96分，英语（ ）分 A.95 B. 96 C. 98 D.97 7． 把40千克苹果和60千克梨混合，苹果每千克8元，梨每千克3元，平均每千克（ ）元 A.5 B. 5.5 C. 6 D.4.5 8． 上山速度2米/秒，下山速度3米/秒，往返平均速度（ ）米/秒 A.2.4 B. 2.5 C. 3 D.2 🚀 能力进阶篇（6 题） 一、填空题 9． 五个数平均数是10，把其中一个数改成5后，五个数平均数变成9，改动的数原来是（ ） 10． 4个数的平均数是8，把其中一个数改成12后，平均数变成9，改动的数原来是（ ） 11． 小明前几次数学测验平均84分，这次考100分，平均变成86分，这是第（ ）次测验 12． 有甲、乙、丙三个数，甲乙平均18，乙丙平均16，甲丙平均14，三个数平均（ ） 二、选择题 13． 10名同学平均分是82分，前6人平均83分，后6人平均80分，第5和第6人平均分（ ）分 A.80 B. 79 C. 81 D.82 14． 五个数排成一排，平均数是9，前三个数平均10，后三个数平均11，中间数是（ ） A.10 B. 12 C. 15 D.18 🧠 思维跃迁篇（6 题） 15． 一次考试，甲乙丙三人平均91分，乙丙丁三人平均89分，甲丁平均95分，甲丁各多少分？ 16． 有4箱水果，平均每箱15千克，甲箱重量是乙箱的2倍，丙箱是乙箱的一半，丁箱和丙箱一样重，四箱各重多少？ 17． 学校足球队18人合影留念，照3张照片5元，另外加洗每张0.5元，每人一张，平均每人付多少元？ 18． 把甲级糖和乙级糖混合，平均每千克12元，甲级糖6千克每千克15元，乙级糖3千克，乙级糖每千克多少元？ 19． 小明前5次考试平均85分，要使平均达到90分，他还要连续考多少次100分？ 20． 有5个数，平均数是9，如果把其中一个数改成1，这5个数平均数是8，这个改动的数原来是多少？ 🔍 精准解析—思路拆解・知识点睛 🌱 基础夯实篇（8 题） 一、填空题 1． 【答案】95 ✅ 解题步骤： 总分=92+96+97=285，平均=285÷3=95。 【知识点睛】总分数÷科数=平均分。 2． 【答案】12 ✅ 解题步骤： 总数量=12×3=36，第三个数=36-10-14=12。 【知识点睛】总数量=平均数×总份数。 3． 【答案】130 ✅ 解题步骤： 总数=120×2+150=390，平均=390÷3=130。 【知识点睛】前两次总和加第三次，除以3。 4． 【答案】135 ✅ 解题步骤：总身高=140×2=280，乙=280-145=135厘米。 【知识点睛】总身高减甲的身高得乙的。 5． 【答案】8 ✅ 解题步骤：中间数=24÷3=8。 【知识点睛】三个连续自然数，中间数是平均数。 二、选择题 6． 【答案】C ✅ 解题步骤：三科总分=96×3=288，语文数学总分=95×2=190，英语=288-190=98。 【知识点睛】三科总分减两科总分得英语分。 7． 【答案】A ✅ 解题步骤： 总钱数=40×8+60×3=320+180=500，总重量=100千克，平均=500÷100=5元。 【知识点睛】总钱数除以总重量，加权平均。 8． 【答案】A ✅ 解题步骤： 设路程6米，总路程12米，总时间=6÷2+6÷3=3+2=5秒，平均=12÷5=2.4米/秒。 【知识点睛】平均速度=总路程÷总时间。 🚀 能力进阶篇（6 题） 一、填空题 9． 【答案】10 ✅ 解题步骤： 原来总和=10×5=50，改后总和=9×5=45，减少了5，原数=5+5=10。 【知识点睛】总和减少了5，原数=改后数+减少的量。 10． 【答案】8 ✅ 解题步骤： 原来总和=8×4=32，改后总和=9×4=36，增加了4，原数=12-4=8。 【知识点睛】总和增加了4，原数=改后数-增加的量。 11． 【答案】8 ✅ 解题步骤： 100比新平均多14分，补到前几次每次补86-84=2分，14÷2=7次前测验，加这次共8次。 【知识点睛】多出来的分数补到之前的测验，每次补2分。 12． 【答案】16 ✅ 解题步骤： 甲+乙=36，乙+丙=32，甲+丙=28，三式相加2(甲+乙+丙)=96，总和48，平均16。 【知识点睛】三个和相加是三个数总和的2倍。 二、选择题 13． 【答案】B ✅ 解题步骤： 总分=10×82=820，前6总分=6×83=498，后6总分=6×80=480，第5+6名=498+480-820=158，平均79。 【知识点睛】前6加后6总分，减去10人总分，就是中间两人的和。 14． 【答案】D ✅ 解题步骤： 总和=5×9=45，前3总和=3×10=30，后3总和=3×11=33，中间数=30+33-45=18。 【知识点睛】前3加后3总和，减去5数总和，就是中间数（加了两次）。 🧠 思维跃迁篇（6 题） 15． 【答案】甲98分，丁92分 ✅ 解题步骤： 甲+乙+丙=273，乙+丙+丁=267，相减得甲-丁=6，甲+丁=190，和差问题：甲=(190+6)÷2=98，丁=92。 【知识点睛】两个三人总和相减消去乙丙，得到甲丁差，结合甲丁和求解。 16． 【答案】甲 30 千克，乙 15 千克，丙 7.5 千克，丁 7.5 千克 ✅ 解题步骤： 总重量 = 15×4=60 千克，设乙为 x，甲 = 2x，丙 = 0.5x，丁 = 0.5x； x+2x+0.5x+0.5x=4x=60，x=15； 甲 = 30，乙 = 15，丙 = 7.5，丁 = 7.5。 【知识点睛】设乙为x，其他用x表示，列方程求解。 17． 【答案】0.69元 ✅ 解题步骤： 总费用 = 5+(18-3)×0.5=5+7.5=12.5 元； 平均每人付 = 12.5÷18≈0.69 元。 【知识点睛】基础费用加加洗费用，除以人数得平均费用。 18． 【答案】6元 ✅ 解题步骤： 总价值=12×(6+3)=108元，甲级糖价值6×15=90元，乙级糖价值18元，单价=18÷3=6元。 【知识点睛】总价值减甲级价值，除以乙级重量得单价。 19． 【答案】3次 ✅ 解题步骤： 设还要考 x 次 100 分，列方程： (5×85+100x)÷(5+x)=90 425+100x=450+90x，10x=25，x=2.5，取整为 3 次。 【知识点睛】利用平均数公式列方程求解，次数取整数。 20． 【答案】6 ✅ 解题步骤： 原来总和=5×9=45，改后总和=5×8=40，减少了5，原数=1+5=6。 【知识点睛】总和减少了5，原数=改后数+减少的量。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案2 学科网（北京）股份有限公司 $