第18讲 重叠问题-四年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

第18讲 重叠问题 📋 核心方法论与知识体系构建 1 1. 知识体系全景梳理 1 2. 专题核心图表记忆法 1 3. 奥数思维提升 2 📊 典型例题解构与解题策略精讲 2 📌 考点一：两量重叠 2 📌 考点二：三量重叠 2 📌 考点三：图形重叠 3 📌 考点四：数论重叠 3 ⚠️ 易错避坑指南 —— 直击失分痛点，突破提分瓶颈 4 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 5 🌱 基础夯实篇（8 题） 5 🚀 能力进阶篇（6 题） 5 🧠 思维跃迁篇（6 题） 6 🔍 精准解析—思路拆解・知识点睛 8 🌱 基础夯实篇（8 题） 8 🚀 能力进阶篇（6 题） 9 🧠 思维跃迁篇（6 题） 10 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 1. 知识体系全景梳理 重叠问题（容斥原理）是小学奥数计数模块的核心内容，围绕集合重叠部分的计数展开，核心解题思想是先包含后排除→减去重复计数部分→得到正确总数，需精准掌握以下知识点： 重叠类型 解题方法 核心公式 关键注意事项 两量重叠 容斥原理一：总数量=A+B-AB AB是A和B的重叠部分 重叠部分被计算两次，要减去一次 三量重叠 容斥原理二：总数量=A+B+C-AB-AC-BC+ABC ABC是三个集合共同重叠的部分 两两重叠部分减多了，要加回三者共同重叠部分 图形重叠 总面积=各部分面积和-重叠部分面积 重叠部分被加两次，减一次 注意多层重叠的情况，不要多减或漏减 数论重叠 总个数=总数-（A类数+B类数-既是A也是B类数） 排除法计算符合条件的数 注意不要重复排除重叠部分 2. 专题核心图表记忆法 问题类型 解题核心口诀 两量重叠 A加B，减重叠，得到总数不重复 三量重叠 A加B加C，减两两重叠，加三者重叠 图形重叠 各部分加起来，减重叠部分，总面积算出来 数论重叠 总数减符合A的，减符合B的，加重复的，得不符合的 通用原理 先加后减，多算的减掉，减多的加回，不重不漏 3. 奥数思维提升 ① 包含排除思维：先把所有包含的加起来，再减去重复的部分； ② 画图思维：用韦恩图梳理集合关系，重叠部分一目了然； ③ 逆向思维：算至少符合一个条件的，用总数减去都不符合的； ④ 验证思维：用不同方法计数，验证结果是否一致。 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：两量重叠 ✨ 典型例题 1（应用题）四年级1班有40人，会游泳的有25人，会打篮球的有20人，每人至少会一样，两种都会的有多少人？ ✅ 解题步骤 ① 总人数=会游泳+会打篮球-两种都会； ② 两种都会的=25+20-40=5人； ③ 验证：只会游泳25-5=20人，只会篮球20-5=15人，20+15+5=40，正确。 答案：两种都会的有5人。 🔄 方法总结 两量重叠公式：总人数=A+B-重叠，重叠=A+B-总人数，重叠部分被加了两次，减去一次得到正确总数。 📌 考点二：三量重叠 ✨ 典型例题 1（应用题）某班有 50 人，会骑自行车的有 20 人，会游泳的有 18 人，会打球的有 22 人，既会骑车又会游泳的有 8 人，既会骑车又会打球的有 6 人，既会游泳又会打球的有 5 人，三项都会的有 2 人，三项都不会的有多少人？ ✅ 解题步骤 ① 至少会一项的人数 = 20+18+22-8-6-5+2=43 人 ② 三项都不会 = 50-43=7 人 答案：三项都不会的有 7 人。 🔄 方法总结 三量重叠公式：总人数=A+B+C - AB-AC-BC + ABC，两两重叠减了三次三者共同部分，要加回来一次。 📌 考点三：图形重叠 ✨ 典型例题 1（填空题）两个边长4厘米和3厘米的正方形部分重叠放在桌子上，重叠部分面积是2平方厘米，覆盖桌面的面积是多少？ ✅ 解题步骤 ① 总面积=大正方形面积+小正方形面积-重叠面积； ② 4×4 + 3×3 -2 = 16+9-2=23平方厘米； ③ 验证：总面积减去重叠部分，正确。 答案：23平方厘米。 🔄 方法总结 图形重叠覆盖面积=各图形面积和-重叠部分面积，重叠部分被两个正方形各算一次，减去一次重复的。 📌 考点四：数论重叠 ✨ 典型例题 1（填空题）1到100中，能被2或3整除的数有多少个？ ✅ 解题步骤 ① 能被2整除的：100÷2=50个；能被3整除的：100÷3≈33个；既能被2又能被3整除（被6整除）的：100÷6≈16个； ② 总个数=50+33-16=67个； ③ 验证：符合容斥原理，正确。 答案：67个。 🔄 方法总结 数论重叠问题，符合A或B的数量=符合A的+符合B的-同时符合AB的，减去重复计数的部分。 ⚠️ 易错避坑指南 —— 直击失分痛点，突破提分瓶颈 错误类型 典型错误示例 修正方法 两量重叠不减重叠 25+20=45直接当总人数，实际40人 两部分相加后要减去重叠部分，因为重叠的被算了两次 三量重叠不加回共同重叠 A+B+C减两两重叠就结束，漏加ABC共同重叠部分 两两重叠中共同重叠部分被减了三次，要加回来一次 图形重叠多减重叠 算面积减两次重叠，实际只减一次 重叠部分被加了两次，只需要减一次就可以 数论重叠多减重叠 50+33-16-16，多减了一次16 重叠部分只需要减一次，不要重复减 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 🌱 基础夯实篇（8 题） 一、填空题 1． 四1班有45人，会唱歌的有28人，会跳舞的有25人，每人至少会一样，两种都会的有（ ）人。 2． 两个长方形面积分别是20和15平方厘米，重叠部分5平方厘米，覆盖面积（ ）平方厘米。 3． 1到10中，能被2或3整除的数有（ ）个。 4． 会跳绳的30人，会踢毽子的25人，两种都会的10人，总人数（ ）人（每人至少会一样）。 5． 两块木板各长50厘米，重叠部分10厘米，钉在一起总长（ ）厘米。 二、选择题 6． 30人参加考试，数学满分20人，语文满分15人，两科都满分的最少（ ）人。 A.5 B. 10 C. 15 D.20 7． 两个边长5和3的正方形重叠，重叠面积4平方厘米，覆盖面积（ ）平方厘米。 A.34 B. 30 C. 26 D.22 8． 1到20中，是2或5的倍数的数有（ ）个。 A.10 B. 12 C. 14 D.16 🚀 能力进阶篇（6 题） 一、填空题 9． 全班40人，会下棋的25人，会画画的22人，都不会的3人，两种都会的有（ ）人。 10． 1到100中，既不能被2也不能被3整除的数有（ ）个。 11． 三个圆面积分别是10、8、6，两两重叠部分分别2、1、1，三者共同重叠0.5，总面积（ ）。 12． 50 人参加运动会，跑的 20 人，跳的 15 人，投的 25 人，跑跳都参加的 5 人，跑投都参加的 4 人，跳投都参加的 3 人，三项都参加的 2 人，三项都不参加的（ ）人。 二、选择题 13． 两根木条各长60厘米，钉在一起长100厘米，重叠部分（ ）厘米。 A.10 B. 20 C. 30 D.40 14． 1到100中，是3或5的倍数的数有（ ）个。 A.40 B. 47 C. 53 D.60 🧠 思维跃迁篇（6 题） 15． 学校艺术团会弹琴的24人，会跳舞的22人，两种都会的8人，都不会的2人，艺术团共多少人？ 16． 100个游客中，70人懂中文，52人懂英文，还有10人两种都不懂，两种都懂的有多少人？ 17． 三个面积都是12的圆放在桌面上，覆盖总面积28，三个圆都重叠的面积是2，求两两重叠的面积和是多少？ 18． 1到200中，既不能被3整除也不能被5整除的数有多少个？ 19． 四年级有100名同学，喜欢数学的72人，喜欢语文的53人，两科都喜欢的最少多少人？最多多少人？ 20． 一次考试，语文满分15人，数学满分12人，都满分的3人，都不满分的20人，全班共多少人？ 🔍 精准解析—思路拆解・知识点睛 🌱 基础夯实篇（8 题） 一、填空题 1． 【答案】8 ✅ 解题步骤： 28+25-45=8人。 【知识点睛】两量重叠，A+B-总人数=重叠。 2． 【答案】30 ✅ 解题步骤： 20+15-5=30平方厘米。 【知识点睛】面积和减重叠面积。 3． 【答案】7 ✅ 解题步骤： 被2整除的5个，被3整除的3个，重叠的1个（6），总5+3-1=7。 【知识点睛】数论重叠，符合A加符合B减共同符合的。 4． 【答案】45 ✅ 解题步骤： 30+25-10=45人。 【知识点睛】总人数=A+B-重叠。 5． 【答案】90 ✅ 解题步骤： 50+50-10=90厘米。 【知识点睛】总长度=两块长度和减重叠长度。 二、选择题 6． 【答案】A ✅ 解题步骤： 20+15-30=5人，最少重叠5人。 【知识点睛】最少重叠=A+B-总人数。 7． 【答案】B ✅ 解题步骤： 25+9-4=30平方厘米。 【知识点睛】面积和减重叠。 8． 【答案】B ✅ 解题步骤： 2的倍数10个，5的倍数4个，重叠2个（10、20），总10+4-2=12个。 【知识点睛】2的倍数加5的倍数减10的倍数。 🚀 能力进阶篇（6 题） 一、填空题 9． 【答案】10 ✅ 解题步骤： 至少会一样的40-3=37人，重叠=25+22-37=10人。 【知识点睛】先算至少会一样的人数，再算重叠。 10． 【答案】33 ✅ 解题步骤： 能被2或3整除的=50+33-16=67个，都不能的=100-67=33个。 【知识点睛】总数减至少符合一个的，得到都不符合的。 11． 【答案】20.5 ✅ 解题步骤： 10+8+6 -2-1-1 +0.5=20.5。 【知识点睛】三量重叠公式，加回共同重叠部分。 12． 【答案】0 ✅ 解题步骤： 至少参加一项 = 20+15+25-5-4-3+2=50 人 三项都不参加 = 50-50=0 人。 【知识点睛】三量重叠计算至少参加一项的，总人数减得到都不参加的。 二、选择题 13． 【答案】B ✅ 解题步骤： 60+60-100=20厘米。 【知识点睛】重叠长度=两块长度和-总长度。 14． 【答案】B ✅ 解题步骤： 3的倍数33个，5的倍数20个，15的倍数6个，总33+20-6=47个。 【知识点睛】3的倍数加5的倍数减15的倍数。 🧠 思维跃迁篇（6 题） 15． 【答案】40人 ✅ 解题步骤： 至少会一样的24+22-8=38人，总人数38+2=40人。 【知识点睛】先算至少会一样的加都不会的得总人数。 16． 【答案】32人 ✅ 解题步骤： 至少懂一种的100-10=90人，都懂的70+52-90=32人。 【知识点睛】总人数减都不懂的得至少懂一种的，再算重叠。 17． 【答案】10 ✅ 解题步骤： 三量重叠公式：覆盖总面积 = 三个圆面积和 - 两两重叠面积和 + 三者共同重叠面积 代入：28=12×3 - 两两重叠和 + 2 28=36 - 两两重叠和 + 2 两两重叠和 = 36+2-28=10。 【知识点睛】三量重叠公式变形，求两两重叠和。 18． 【答案】107个 ✅ 解题步骤： 能被3或5整除的=66+40-13=93个，都不能的=200-93=107个。 【知识点睛】总数减至少符合一个的得都不符合的。 19． 【答案】最少25人，最多53人 ✅ 解题步骤： 最少=72+53-100=25人，最多是喜欢语文的都喜欢数学，最多53人。 【知识点睛】最少重叠=A+B-总人数，最多重叠=较小的那个数。 20． 【答案】44人 ✅ 解题步骤： 至少一个满分的=15+12-3=24人，总人数=24+20=44人。 【知识点睛】至少一个满分的加都不满分的得总人数。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案2 学科网（北京）股份有限公司 $