第6章 圆与扇形（复习讲义，2知识&7题型+分层训练）数学新教材沪教版五四制六年级下册

第6章 圆与扇形（复习讲义） 1.认识圆、弧、扇形、圆心角等概念，理解圆周率π的意义与近似值（3.14）。 2.掌握圆的周长、弧长、圆的面积、扇形面积的公式推导与计算，能灵活进行公式变形（已知周长/面积求半径/直径）。 3.能解决圆与扇形相关的实际问题（如跑道、钟表、扇形装饰、圆环、组合图形）。 知识点01：圆的周长与弧长 1. 圆的认识（基础） 圆：平面上到定点（圆心O）距离等于定长（半径r）的所有点组成的图形。 直径d=2r，半径r=；同圆/等圆中，直径是半径的2倍。 圆是轴对称图形，有无数条对称轴（过圆心的直线）。 2. 圆的周长 公式：（）。 推导：化曲为直（绕线法、滚动法）→ 周长与直径的比值为定值π。 易错：半圆周长≠圆周长的一半，半圆周长=（含直径）。 3. 弧与弧长 弧：圆上两点间的部分（劣弧＜半圆，优弧＞半圆）。 弧长公式：（n为圆心角度数）。 核心：弧长是圆周长的，由半径r与圆心角n共同决定。 知识点02：圆与扇形的面积 1. 圆的面积 公式：。 推导：割补法（圆→近似长方形，长≈πr，宽≈r）→ S=πr×r=πr²。 应用：圆环面积（R外圆半径，r内圆半径）。 2. 扇形的认识与面积 扇形：由圆心角的两条半径和所对弧围成的图形（圆的一部分）。 面积公式： 公式1：（与圆心角成正比）。 公式2：（l为弧长，类比三角形面积）。 关键：扇形面积是圆面积的，与、n成正比。 题型一 圆的基本概念与计算 【例1】（24-25六年级下·上海青浦·期中）下列说法错误的是（   ） A．周长相等的两个圆半径一定相等 B．圆周长与该圆半径的比值是定值 C．弧长相等的两条弧，所对的圆心角也一定相等 D．圆周率的值与圆的大小无关 【答案】C 【分析】本题考查圆的相关概念，圆的周长，根据圆的周长，弧，圆心角，圆周率的概念和公式逐一进行判断即可． 【详解】解：A、周长相等的两个圆半径一定相等，说法正确，不符合题意； B、圆周长与该圆半径的比值是定值，说法正确，不符合题意； C、同圆或等圆中，弧长相等的两条弧，所对的圆心角也一定相等，原说法错误，不符合题意； D、圆周率的值与圆的大小无关，说法正确，不符合题意； 故选C． 【变式1】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）如果一条弧的长度是它所在圆的周长的，那么这条弧所对的圆心角是______． 【答案】 【分析】本题考查了弧与圆心角，熟练掌握弧与圆心角的关系是解题关键．根据一条弧的长度是它所在圆的周长的可得这条弧所对的圆心角是的，由此即可得． 【详解】解：∵一条弧的长度是它所在圆的周长的， ∴这条弧所对的圆心角是， 故答案为：． 【变式2】（24-25六年级下·上海宝山·期中）一个圆中，的圆心角所在的扇形面积是7，则这个圆的面积是 _______ ． 【答案】56 【分析】本题考查扇形面积的计算，比例的应用.一元一次方程的应用，设这个圆的面积是S，利用扇形面积公式列关于S的方程并求解即可． 【详解】解：设这个圆的面积是S， 根据题意，得， 解得， ∴这个圆的面积是56． 故答案为：56． 【变式3】（24-25六年级下·上海·月考）在一个周长是厘米的圆上有一段长为厘米的弧所对的圆心角是_______度． 【答案】72 【分析】本题考查了弧长和圆心角的计算，熟练掌握基本知识点是解题关键； 先通过周长算出半径，再通过弧长公式进行计算即可． 【详解】解： ∵圆的周长是厘米 ∴， ∴， ∵弧长为厘米， 设圆心角为， ∴， 解得 故答案为：72． 【变式4】（24-25六年级下·上海·月考）已知圆的周长厘米和弧长厘米，求圆心角 【答案】 【分析】本题考查了求圆心角的知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 用弧长除以周长再乘以即可求解． 【详解】解：， 答：圆心角为． 题型二 半圆/组合图形的周长（易错） 【例2-1】（24-25六年级下·上海闵行·期末）如图，厘米，则点到点的四个半圆的弧长之和是________厘米．（取） 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长，设四个半圆的直径分别为，则厘米，根据圆的周长公式求解即可得到答案，读懂题意，数形结合，分段求解是解题的关键． 【详解】解：设四个半圆的直径分别为，则厘米， 厘米， 即点到点的四个半圆的弧长之和是厘米． 故答案为： 【例2-2】（24-25六年级下·上海黄浦·期末）如图，求图中阴影部分的周长．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆和半圆的周长，根据图形计算半圆的周长和小圆的周长，即可求解． 【详解】解：， ， ． 【变式1】（24-25六年级下·上海宝山·期末）如图，圆心重合的两圆半径分别为4，2，，求阴影部分图形的周长（结果保留）． 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长公式，关键是找出图中阴影部分周长的计算方法．根据阴影部分的周长等于两个弧长加上大圆半径减去小圆半径差的两倍求解即可． 【详解】解：阴影部分扇环的圆心角为：， 阴影部分图形的周长为：． 【变式2】（24-25六年级下·上海·月考）如图所示，三角形的边长都为，分别以、、三点为圆心，边长的一半为半径作弧，求阴影部分的周长．（取3.14） 【答案】阴影部分的周长是 【分析】本题考查求不规则图形的周长，解题的关键是观察出图形中阴影部分的周长是以3为半径的圆的周长的一半．因为三角形的边长都为，所以三角形为等边三角形，根据图中阴影部分的位置知道，以3为半径的圆的周长的一半就是阴影部分的周长． 【详解】解：由题意知：圆的半径是3， 通过观察图形可知：阴影部分的周长是以3为半径的圆的周长的一半， ， 答：阴影部分的周长是． 【变式3】（24-25六年级下·上海·月考）如图所示，求阴影部分的周长（结果保留） 【答案】 【分析】此题考查了弧长和半圆的长度，根据弧长公式求解即可． 【详解】根据题意得，阴影部分的周长． 题型三 弧长计算 【例3-1】（24-25六年级下·上海·月考）如果扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，那么扇形的弧长（    ） A．不变 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的一半 D．扩大为原来的2倍 【答案】D 【分析】此题考查了弧长公式，根据弧长公式可得弧长，当圆心角扩大为原来的2倍，则弧长扩大为原来的2倍，即可求解． 【详解】解：弧长公式可得弧长， 如果扇形的半径不变，当圆心角扩大为原来的2倍，则弧长为， ∴扇形的弧长扩大为原来的2倍， 故选：D． 【例3-2】（24-25六年级下·上海·单元测试）一个扇形的半径为厘米，圆心角为 ，那么扇形的弧长为____厘米．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了求弧长． 根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得，扇形的弧长为厘米． 故答案为：． 【例3-3】如图，的三条边长都是18毫米，分别以、、为圆心，18毫米为半径画弧，求这三条弧长的和．（取3.14） 【答案】56.52毫米 【知识点】求弧长 【分析】根据弧长公式解答即可； 【详解】毫米． 【变式3-1】（24-25六年级下·上海·期中）若圆的半径不变，圆心角扩大到原来的三倍，那么所对的弧长是原弧长的（   ） A． B． C．4倍 D．3倍 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧长的公式，比例的性质，根据的圆心角所对的弧长就等于圆周长，则可得出圆心角所对的弧长为，最后再根据比例的性质即可得出答案． 【详解】解∶在半径是R的圆中，因为的圆心角所对的弧长就等于圆周长， 所以圆心角所对的弧长为， n扩大3倍，半径一定，弧长当然也随之扩大3倍． 故选：D 【变式3-2】（24-25六年级下·上海·期中） 如果扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径缩短为原来的，那么这个扇形的弧长是原来的____________． 【答案】 【分析】本题考查了求弧长，解题关键是掌握弧长公式并能运用它来求解． 根据扇形弧长公式，分析圆心角和半径变化后的新弧长与原来弧长的比值． 【详解】解∶设原来扇形的圆心角为，半径为， 则弧长． 变化后，圆心角扩大为原来的2倍， 即， 半径缩短为原来的， 即． 新弧长． 因此，新弧长是原来弧长的． 故答案为：． 【变式3-3】．如图所示，以的三个顶点为圆心，15毫米为半径，在内画弧，得到三段弧，求这三段弧长之和． 【答案】 【分析】由题意可知，这三段弧所在圆的半径是相等的，而这三段弧所对的圆心角的和正好等于． 【详解】设、、所对的弧长分别为， 由题意知，，半径毫米， 则，，． 所以三段弧长之和为（毫米） 题型四 圆的面积与圆环面积 【例4-1】（25-26六年级上·上海浦东新·期末）一个扇形的圆心角是，它的面积是所在圆面积的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查扇形面积与圆面积的关系，理解扇形面积与圆面积的比例关系是解题关键． 圆心角占360度的比例即为扇形面积占圆面积的比例，据此进行计算． 【详解】解：∵扇形面积(圆心角/) ×圆的面积，圆心角， ∴扇形面积/圆的面积． 故选：． 【例4-2】（24-25六年级下·上海·单元测试）把边长为分米的正方形剪成一个最大的圆，则这个圆的面积____ ． 【答案】 【分析】本题考查圆的面积计算，解题的关键在于明确在正方形中剪一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长．先确定正方形中最大圆的直径，再求出圆的半径，最后根据圆的面积公式计算即可． 【详解】在正方形中剪一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长， 故这个圆的半径（分米）， 根据圆的面积公式可得， 这个圆的面积（平方分米） 故答案为：． 【例4-3】（24-25六年级下·上海·单元测试）一个圆环的外圆直径是 厘米，内圆直径是 厘米，则它的面积是____平方厘米． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的面积．用外圆的面积减去内圆的面积，即可求解． 【详解】解： 平方厘米． 故答案为：． 【变式1】（24-25六年级下·上海·月考）如果两个圆的直径之比是，那么这两个圆的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆的面积，掌握圆面积的计算方法是正确解答的关键．设两个圆的直径，根据圆面积的计算方法用直径表示两个圆的面积，再求出面积的比即可． 【详解】解：设大圆直径为，则小圆的直径为， 所以大圆的面积为，小圆的面积为， 因此这两个圆的面积的比为， 故选：D． 【变式2】（24-25六年级下·上海浦东新·期中）若扇形半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则面积为（    ） A．和原来一样大 B．原来的4倍 C．原来的一半 D．原来的2倍 【答案】D 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的应用．半径相等的两个扇形，扇形的面积与扇形的圆心角度数成正比．扇形面积公式是，由于两个扇形的半径相等，则扇形的面积与扇形的圆心角度数成正比；依此即可求解． 【详解】解：由扇形面积公式可知，半径相等，扇形的面积与扇形的圆心角度数成正比． 因为一个扇形的圆心角扩大到原来的2倍，所以它的面积扩大到原来的2倍． 故选：D． 【变式3】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）如图是某体育馆在草坪上修建出的五环图案，已知每个圆环的内、外半径分别为3米和4米，图中重叠部分的每个小曲边四边形的面积都为1平方米，则该五环图案的面积是______平方米．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查环形的面积，掌握大圆面积小圆面积环形面积是关键． 根据环形的面积公式结合题意列出算式即可求解． 【详解】解：由题意得 五环图案的面积 ． 故答案为：． 题型五 扇形面积计算 【例5-1】（24-25六年级下·上海长宁·期中）已知扇形的面积是28平方厘米，若扇形的圆心角缩小到原来的一半，半径扩大到原来的4倍，则现在扇形的面积为 ________ 平方厘米． 【答案】224 【分析】利用扇形面积公式，设出原扇形的圆心角和半径，得到原面积的表达式，再根据圆心角和半径的变化，推导变化后扇形面积与原面积的数量关系，代入计算即可得到结果. 【详解】解：设原扇形的圆心角为，半径为， 根据扇形面积公式，可得原扇形面积， 由题意得，变化后扇形的圆心角，半径， 则变化后扇形面积： （平方厘米） 【例5-2】（24-25六年级下·上海嘉定·期末）如图，一把展开的扇子的圆心角是，扇子的骨柄长是，扇面宽度．求这把扇子完全展开后扇面所占的面积（取3.14）． 【答案】这把扇子完全展开后扇面所占的面积为 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算．根据大扇形面积减去小扇形面积即扇面的面积求解即可． 【详解】解： 则这把扇子完全展开后扇面所占的面积为 【变式5-1】（24-25六年级下·上海·单元测试）将一个直径为厘米的圆分割成半径相同且圆心角为 的四个扇形，求最大的扇形与最小扇形的面积之差为多少平方厘米．（结果保留 ） 【答案】平方厘米 【分析】本题考查了扇形的面积公式． 根据题意可知扇形的半径为厘米，根据求出每份的圆心角度数，再用最大的圆心角减去最小的圆心角根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】∵将一个直径为厘米的圆分割成半径相同且圆心角为 的四个扇形， ∴扇形的半径为厘米， ∵圆心角为， ∴每份的圆心角度数为， ∴最大的扇形与最小扇形的面积之差为（平方厘米）． 【变式5-2】（24-25六年级下·上海金山·期中）已知折扇的骨柄的长度为，扇面部分宽度，折扇展开的角度是，求扇面部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积，掌握扇形面积公式是解题关键．用大扇形的面积减小扇形的面积求解即可． 【详解】解：因为，， 所以， 所以扇面部分的面积为． 题型六 阴影部分面积 【例6-1】（24-25六年级下·上海虹口·期中）如图，以正方形的4个顶点为圆心的4个圆都经过该正方形的中心．如果每个圆的半径都是，那么阴影部分的总面积是（　　）平方厘米 A．8 B． C．24 D．32 【答案】D 【分析】本题主要考查了不规则图形的面积，解答本题的关键是把不规则的图形转化成规则的图形．如图把大正方形外边的八部分补到中间空白部分，拼成一个完整的大正方形，大正方形的对角线的长度正好等于两条直径的和，然后根据正方形的面积=对角线的长度×对角线的长度解答即可． 【详解】解：如图，把大正方形外边的八部分补到中间空白部分，拼成一个完整的大正方形， ∴圆的直径是：(厘米)， (平方厘米)， 故选：D． 【例6-2】（24-25六年级下·上海·单元测试）某同学用所学过的圆与扇形的知识设计了一个问号，如图中阴影部分所示．已知图中大圆半径为，小圆半径为，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积公式． 用大圆面积减去小圆面积求出圆环面积，乘以求出圆环中的阴影面积，再加上下方小圆的面积即可． 【详解】解： ． 【变式1】（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，由直径分别为厘米、厘米和厘米的三个半圆所组成的图形，则图中阴影部分的面积为____平方厘米．（结果保留 ） 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积公式的应用，解题的关键是通过分析图形，将阴影部分面积转化为几个半圆面积的组合来计算． 分别计算出三个半圆的面积，再根据图形组合关系求出阴影部分的面积． 【详解】解；直径为10厘米的半圆，其半径厘米，面积平方厘米． 直径为厘米的半圆，其半径厘米，面积平方厘米． 直径为厘米的半圆，其半径厘米，面积平方厘米． 通过观察图形可知，阴影部分的面积（平方厘米） 故答案为：． 【变式2】如图，已知为等腰直角三角形，厘米，以C为圆心，8厘米为半径画弧，以为直径作半圆，那么阴影部分的面积是________平方厘米．（取3.14） 【答案】 【分析】本题考查了求不规则图形的面积，解决本题的关键掌握扇形的面积公式．如图：记与小圆的交点为，连接，则，为面积相等的等腰直角三角形，再根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：如图：记与小圆的交点为，连接， 为直径 即 ∵ 则，为面积相等的等腰直角三角形； ∵（厘米）， ∴的面积的面积， ∴ （平方厘米）． 故答案为：． 【变式3】（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，已知等腰直角三角形，，是斜边的中点，且 分米．以点为圆心、为半径画弧交于点．以点为圆心， 为半径画弧，分别交，于点，．求阴影部分的面积． 【答案】平方分米 【分析】本题考查了不规则图形的面积计算. 连接，根据题意和图形可以得到阴影部分的面积是的面积的一半，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 等腰直角三角形，，是斜边的中点，且分米， 阴影部分的面积为(平方分米)． 题型七 实际应用 【例7-1】（24-25六年级下·上海浦东新·期中）一个时钟的时针长，一天内从上午10点到下午3点，时针扫过的面积是多少？（取3.14） 【答案】 【分析】本题考查了钟面角，扇形面积，掌握扇形面积公式是解题关键．结合钟面角求出时针走过的角度，再根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：因为时针一天内从上午10点到下午3点， 所以时针走了个大格， 所以时针走过的角度为， 因为时针长， 所以时针扫过的面积是． 【例7-2】（24-25六年级下·上海长宁·期末）春节期间亲戚来访，爸爸让小梁到便利店买4罐易拉罐饮料，营业员将4罐易拉罐捆扎在一起（接口不计），中间形成一个正方形，如图所示，且易拉罐的直径为8厘米，那么捆4圈至少用绳子多少厘米？（取3.14，结果精确到1厘米）． 【答案】捆4圈至少用绳子228厘米． 【分析】本题考查了圆的周长. 根据一圈的绳子长为正方形的周长加上圆的周长求解即可． 【详解】根据一圈的绳子长为正方形的周长加上圆的周长可得： （厘米）， 答：捆4圈至少用绳子228厘米． 【例7-3】（24-25六年级下·上海徐汇·期末）中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版式小全张（图1），上面绘制了代表二十四气风貌的图案，这24枚大小相同的邮票组成了一个圆环，以“夏至”节气单枚邮票为例（图2），该邮票的“下圆弧”的长为，“直边”的长为．求单枚邮票的面积（取）． 【答案】 【分析】本题考查弧长，扇形面积的实际应用，求出该邮票的对应的圆心角度数是解题的关键． 先求出每一枚邮票的圆心角，再由弧长公式求出该邮票的“下圆弧”的半径，然后由扇形面积公式求解单枚邮票的面积． 【详解】解：由题意得，每一枚邮票的圆心角为， ∴设该邮票的“下圆弧”的半径为，则， 解得： ∴单枚邮票的面积为：． 【变式7-1】（24-25六年级下·上海闵行·期末）第19届杭州亚运会会徽如图1所示，名为“潮涌”，展现了浙江杭州山水城市的自然特质，也寓意着勇立潮头的精神风貌．其主体部分可以看成如图2的几何图形，小明测量得，，．求图2中的阴影部分的周长为多少厘米？（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算及图形周长的组成，解题的关键是准确判断阴影部分对应弧的圆心角并运用弧长公式计算． 明确阴影部分周长由线段、和弧、弧组成；先计算线段长度，再根据已知圆心角确定两段弧的圆心角，利用弧长公式求出弧长，最后求和得到周长． 【详解】解：由题得： 答：阴影部分的周长为 【变式7-2】（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，长方形建筑物，一只狗拴在墙角处，不能够进入长方形内部，长方形长 米，宽为 米，绳子长 米，求出小狗活动的范围有多少平方米？ 【答案】小狗活动的范围有平方米． 【分析】此题主要考查的是圆的面积公式的灵活应用．根据题意，小狗能到达的面积是由三部分组成，一部分是以6米为半径的圆的面积，另一部分是以为半径的圆的面积，最后一部分是以为半径的圆的面积，根据圆的面积公式进行计算，最后再把三部分的面积相加即可得到答案． 【详解】解： （平方米）． 答：小狗活动的范围有平方米． 【变式7-3】（24-25六年级下·上海·期中） 如图是一座立体交叉桥的示意图（道路宽度忽略不计），为入口，为出口，其中直行道为，且米，弯道为以点为圆心的一段弧，且所对的圆心角均为，半径为米．甲车由口驶入立交桥，以米/秒的速度行驶，从口驶出用时多少秒？ 【答案】 【分析】本题考查了弧长、路程、速度和时间的关系，先计算直行道长度、弯道弧长，得到总路程后，结合速度求出时间． 【详解】解：米，米， 总路程为：米， 时间为：秒． 答：从口驶出用时秒． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25六年级下·上海闵行·期末）一个圆的面积为，半径为，圆周长为；一个半圆形的面积为，半径为，半圆弧长为，那么以下结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的面积公式和半圆的面积公式，求出半径的关系；再根据圆的周长和半圆弧长的公式，比较周长关系，从而确定正确选项。 【详解】依题意，， ∴， 圆的周长 。 半圆的弧长 。 因此，，，即 。 故B、C、D选项不正确， 故A选项正确． 故选：A． 2．（24-25六年级下·上海·期中）已知一扇形半径扩大到原来的2倍，要保持扇形的面积不变，扇形的圆心角应（   ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的4倍 D．缩小为原来的 【答案】D 【分析】本题主要考查了扇形面积，根据扇形面积公式，分析半径扩大后的面积变化，通过等式求解圆心角的变化比例． 【详解】解：设原扇形半径为，圆心角为，面积为． 当半径扩大为时，新面积． 由题意， 代入得： 两边约去， 得， 即． 因此圆心角应缩小为原来的， 故选D． 二、填空题 3．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的度数为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了弧长公式的应用，直接利用扇形弧长公式代入求出即可． 【详解】解：∵一个扇形的半径是1，弧长是， ∴，即， 解得：， ∴此扇形所对的圆心角为：． 故答案为：． 4．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）一个圆的周长是厘米，它的面积是___________平方厘米． 【答案】 【分析】本题考查圆的周长与面积，掌握相关知识是解决问题的关键．利用圆周长求出圆半径，再利用圆面积公式求出面积即可． 【详解】解：（厘米）， （平方厘米）． 故答案为：． 5．（24-25六年级下·上海长宁·期中）如果某扇形的圆心角是，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆面积的 ___________________ （填几分之几）． 【答案】 【分析】根据扇形面积与所在圆面积的比等于扇形圆心角与周角的比，计算该比例约分即可得到结果． 【详解】解：周角的度数为， ∵扇形面积与所在圆面积的比等于扇形圆心角与周角的比， ∴． 故答案为：． 6．（24-25六年级下·上海·月考）为方便销售，售货员把易拉罐饮料捆成如图的形状．绳长l与易拉罐数量n（）之间存在的关系是______．（绳子只捆一圈，接头处忽略不计，结果保留π） 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式． 分别求出2个，3个，4个易拉罐捆在一起时与的关系，然后得出规律即可． 【详解】解：对于 2 个易拉罐捆在一起的图形：， 对于 3 个易拉罐捆在一起的图形：， 对于 4 个易拉罐捆在一起的图形：， 由此可知，绳长与易拉罐数量之间存在的关系是． 故答案为：． 三、解答题 7．折扇又名“撒扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面能折叠的扇子．如图是一把绫绢折扇，做这样一把折扇扇面大约需要绫绢面料多少平方分米？（π取3.14，结果保留两位小数） 【答案】10.47平方分米 【分析】本题考查了扇形的周长和面积、弧、圆心角、扇形的认识、分数的四则混合运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 扇形的圆心角是150度，是360度的，所以扇形的面积是所在圆面积的．根据圆的面积＝，分别算出半径是3分米的大扇形和半径是1分米的空白小扇形面积，再相减即可解答． 【详解】解：， （分米）， （平方分米） 答：做这样一把折扇扇面大约需要绫绢面料10.47平方分米． 8．（24-25六年级下·上海普陀·期中）如图，一个直径为的半圆形绕着点逆时针方向转动，此时点移动到点． (1)求阴影部分的周长； (2)求阴影部分的面积．（π取3.14） 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了圆的周长和圆的面积，根据图形正确列式是关键． （1）阴影部分的周长是一个直径为的圆的周长加上一个直径为的圆的周长的，据此进行计算即可； （2）阴影部分的面积是一个半圆面积加上一个扇形面积的和再减去一个半圆的面积，据此列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得，阴影部分的周长， （2）阴影部分的面积． 9．（24-25六年级下·上海·期末）如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形，已知，则旋转的过程中： (1)边扫过的部分是个什么形状？求出该部分的面积； (2)分别求出点A和点走过的路线长； (3)求出边扫过的部分的面积． 【答案】(1)扇形， (2)， (3) 【分析】此题考查了扇形的面积和弧长公式， （1）根据题意得到边扫过的部分是个扇形，然后根据扇形公式求解即可； （2）根据扇形弧长公式求解即可； （3）根据题意得到扫过的部分的面积，然后代数求解即可． 【详解】（1）解：边扫过的部分是个扇形， ∵ ∴该部分的面积； （2）解：如图所示，连接，， ∵， ∴点走过的路线长， ∵ ∴点D走过的路线长； （3）解：如图所示，连接，， ∴扫过的部分的面积 ． 能力提升进阶练 一、单选题 1．如图，扇形的半径都是4厘米，阴影部分的面积是（ ）平方厘米． A．16 B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查圆的面积的应用，掌握圆的面积公式是解题关键．观察图形可知，阴影部分是3个半径为4厘米的扇形，它们的圆心角之和等于三角形的内角和，由此可知，3个阴影扇形可以组成半径为4厘米的半圆，再根据圆的面积公式，代入数据计算求解． 【详解】解：由图可知阴影部分是3个半径为4厘米的扇形，它们的圆心角之和等于三角形的内角和， ∴（平方厘米）． 故选：C． 2．用两张同样大小的正方形卡纸，按照下边两种不同的方式剪出甲乙两种规格的图片，那么甲和乙面积的比是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的面积、比的意义、方中圆和圆中方的面积问题、比的化简，根据题意，设正方形的边长是4；左图中甲的直径等于正方形的边长，右图中正方形的边长等于乙的直径的2倍；根据圆的面积公式，分别求出甲、乙的面积，再根据比的意义得出甲和乙面积之比，并化简比即可． 【详解】解：设正方形的边长是4； 甲的半径：， 甲的面积：， 乙的半径：， 乙的面积：， ， 故选：B． 3．如图，把一个用草绳编成的圆形杯垫沿着半径剪开，然后把草绳拼成一个近似的直角三角形（厚度忽略不计）．已知直角三角形较短的直角边是，那么下面说法正确的有（ ）． 圆形茶杯垫的直径是 直角三角形较长的直角边相当于圆形茶杯垫的周长 圆形茶杯垫的面积是 直角三角形和圆形茶杯垫的面积相等，周长也相等 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形面积的计算、三角形的周长、圆的面积、圆的周长，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据图可知，直角三角形较短的直角边相当于圆的半径，那么较长的变相当于圆的周长，直角三角形的面积也就是圆的面积，直角三角形的周长是三条边的长度，据此即可逐项分析． 【详解】解：圆形茶杯垫的半径是，则直径是，原说法错误； 直角三角形较长的直角边相当于圆形茶杯垫的周长，原说法正确； ，圆形茶杯垫的面积是，原说法正确； 直角三角形和圆形茶杯垫的面积相等，周长不相等，原说法错误； ∴说法正确的有， 故答案为：． 二、填空题 4．（24-25六年级下·上海闵行·期末）图A阴影部分面积比图B的阴影部分面积小______．（结果保留π） 【答案】/ 【分析】本题考查圆与长方形面积的计算，解题的关键是分别求出图和图阴影部分的面积． 分别计算图、图阴影部分面积，再求二者差值． 【详解】图A阴影部分面积等于长方形的面积减去减去4个空白的叶形的面积， ， 图B阴影部分面积等于4个阴影的叶形的面积， ， 图A阴影部分面积比图B的阴影部分面积小， ， 故答案为：． 5．（24-25六年级下·上海嘉定·期末）如图，一个边长是2厘米的等边三角形，将它沿直线作顺时针方向的滚动．当等边三角形滚动到图示中最右边三角形的位置时，点所经过的路程为_____厘米（结果保留）． 【答案】 【分析】本题主要考查了求弧长，根据题意可确定点C的运动路径为弧和弧，求出扇形和扇形的圆心角度数，再根据弧长计算公式求解即可． 【详解】解：如图， 根据题意可得点C的运动路径为弧和弧， ∵， ∴点所经过的路程为， 故答案为：． 6．（24-25六年级下·上海长宁·期末）如图，已知，，，半径为r的从点A出发，沿方向滚动到点C时停止，则在此运动过程中，扫过区域的面积是__________（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算，掌握圆面积、扇形面积以及长方形面积的计算方法是正确解题的关键．根据题意画出图形如图，将运动路径分为，根据圆面积、扇形面积以及矩形面积，即进行计算即可． 【详解】解：如图所示：运动路径如图： ． 故答案为：． 7．（24-25六年级下·上海·月考）已知：如图，正方形ABCD的边长为4，两段圆弧将正方形分成了①、②、③、④的四个部分，它们的面积分别是和．则 （1）四个部分的周长之和为______； （2）的值为______；（取3.14）． 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长以及扇形的面积，掌握相关公式是解答本题的关键． （1）用正方形的边长加上半径为4的圆的周长即可； （2）分别求出和的面积，再相减即可得出所求式子． 【详解】解：（1）由题意可得，四个部分的周长之和为：； （2）由图知，，① ② ②①得，； 故答案为：，． 三、解答题 8．（24-25六年级下·上海长宁·期末）在一空旷场地上设计一个落地为长方形的小屋，边长边长，拴住小狗的绳子长，其中一端固定在点B处．小狗在不能进入小屋内的条件下活动，设小狗活动的区域面积为（结果保留） (1)如图1，若，求此时S的值； (2)如图2，现考虑在图1中的矩形小屋的右侧以为边拓展一个正三角形区域．使之变成一个落地为五边形的小屋，其他条件不变，在（1）的条件下，求此时S的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【分析】本题主要考查扇形的面积，解题的关键是根据绳子的长度结合图形得出其活动区域及利用圆的面积公式表示出活动区域面积． （1）小狗活动的区域面积为以B为圆心、8为半径的圆的，以C为圆心、5为半径的圆的和以A为圆心、3为半径的圆的的面积和，据此列式求解可得； （2）根据扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）拴住小狗的长的绳子一端固定在点处，小狗可以活动的区域如图所示： 由图可知，小狗活动的区域面积为以B为圆心、8为半径的圆的，以C为圆心、5为半径的圆的和以A为圆心、3为半径的圆的的面积和， ； （2）如图， 由图可知，小狗活动的区域面积为以为圆心、8为半径的圆的，以为圆心、5为半径、圆心角为的扇形，以为圆心、3为半径的圆的的面积和， ，则， ． 9．（24-25六年级下·上海长宁·期中）上海某中学原计划在一个直径为30米的圆形场地内修建圆形花坛（花坛指的是图中实线部分），为使花坛修得更加美观、有特色，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出三种方案： 方案A：如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛； 方案B：如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛； 方案C：如图3所示，先画一条直径，然后在直径上任意取四点，把直径分成5条线段，再分别以5条线段为直径修5个圆形花坛． (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是 米．（结果保留π） (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？ (3)按照方案C修，学校要求在8小时内完成，甲工人承包了此项工程，他做了4小时后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的效率是甲的，乙加入后，甲的效率也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到20元钱，修完花坛后，甲可以得到多少钱？（π取3） 【答案】(1)； (2)不省料，见解析； (3)甲可以得到1080元 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)、 圆的周长 【分析】本题考查了认识平面图形，以及圆的有关计算．解题的关键是能够找出等量关系列方程解答． （1）根据圆的周长公式：，把数据代入公式求此直径是30米的两个圆的周长即可； （2）首先根据圆的周长公式：，求出直径是12米、和18米的圆的周长和，然后与图1进行比较； （3）因为圆的周长和直径成正比例，所以5个小圆的周长和等于直径30米的圆的周长．设甲原来每小时的工作效率为x米，则乙的工作效率为米，甲的工作效率提高后为米，据此列方程解答． 【详解】（1）解：（米）， 答：修的花坛的周长是米． （2）解：， （米）， （米）， （米）， 由（1）得按照方案A修，修的花坛的周长是米， 答：不省料，因为方案B与方案A的周长相等； （3）解：设甲原来每小时的工作效率为x米， 则乙的工作效率为米，甲的工作效率提高为米， 解得， 则（米）． ∴（元）， 答：甲可以得到元． 10．（24-25六年级下·上海奉贤·期中）问题背景：某综合实践小组在学习了“圆与扇形”后，开展了“运动场的有关计算”实践活动，某学校的运动场有若干条跑道（如右图），每条跑道均由两个长度相等的直道和两个半径相等的半圆弯道组成，最内侧跑道（第一道）总长为400米，其弯道半径r为30米．跑步比赛中，运动员在各自跑道上按逆时针方向进行比赛． (1)如图1，求最内侧跑道的直道（或）长是多少米？（π取3.14） (2)如图2，如果每条跑道的宽度d为1.25米，在进行400米赛跑时，比赛终点如图所示，求第二跑道的起点M应该比第一跑道的起点A超前多少米？（π取3.14） (3)如图3，如果每条跑道的宽度d为米，在某次400米跑步比赛中，小华和小海分列第一道（最内道）和第三道．当小华跑了180米时，小海在小华身后12米处，此时小海跑了______米，为了追上小华，小海开始加速．假设小华匀速跑且速度不变，小海加速前和加速后均为匀速跑且加速所用时间忽略不计，如果小海要在比赛中追上小华，那么他至少要加速______．（结果精确到） 【答案】(1)最内侧跑道的直道长是米 (2)超前米 (3)， 【知识点】 圆的周长 【分析】本题考查圆的周长的应用； （1）根据跑道的长减去圆周长的一半就是直道长解答即可； （2）根据弯道圆的周长差计算解题； （3）利用小华的路程减去超前的距离和两人最后的距离求出小海的路程；然后求出加速后和加速前小海的速度是小华的倍数，然后求出加速的百分比即可． 【详解】（1）解：米， 答：最内侧跑道的直道长是米； （2）解：应该超前米， 答：第二跑道的起点M应该比第一跑道的起点A超前米； （3）解：小海跑的路程为米， 加速后小海的速度是小华的，加速前小海的速度是小华的， 即提速后比提速前的速度增加， 故答案为：，． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 圆与扇形（复习讲义） 1.认识圆、弧、扇形、圆心角等概念，理解圆周率π的意义与近似值（3.14）。 2.掌握圆的周长、弧长、圆的面积、扇形面积的公式推导与计算，能灵活进行公式变形（已知周长/面积求半径/直径）。 3.能解决圆与扇形相关的实际问题（如跑道、钟表、扇形装饰、圆环、组合图形）。 知识点01：圆的周长与弧长 1. 圆的认识（基础） 圆：平面上到定点（圆心O）距离等于定长（半径r）的所有点组成的图形。 直径d=2r，半径r=；同圆/等圆中，直径是半径的2倍。 圆是轴对称图形，有无数条对称轴（过圆心的直线）。 2. 圆的周长 公式：（）。 推导：化曲为直（绕线法、滚动法）→ 周长与直径的比值为定值π。 易错：半圆周长≠圆周长的一半，半圆周长=（含直径）。 3. 弧与弧长 弧：圆上两点间的部分（劣弧＜半圆，优弧＞半圆）。 弧长公式：（n为圆心角度数）。 核心：弧长是圆周长的，由半径r与圆心角n共同决定。 知识点02：圆与扇形的面积 1. 圆的面积 公式：。 推导：割补法（圆→近似长方形，长≈πr，宽≈r）→ S=πr×r=πr²。 应用：圆环面积（R外圆半径，r内圆半径）。 2. 扇形的认识与面积 扇形：由圆心角的两条半径和所对弧围成的图形（圆的一部分）。 面积公式： 公式1：（与圆心角成正比）。 公式2：（l为弧长，类比三角形面积）。 关键：扇形面积是圆面积的，与、n成正比。 题型一 圆的基本概念与计算 【例1】（24-25六年级下·上海青浦·期中）下列说法错误的是（   ） A．周长相等的两个圆半径一定相等 B．圆周长与该圆半径的比值是定值 C．弧长相等的两条弧，所对的圆心角也一定相等 D．圆周率的值与圆的大小无关 【变式1】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）如果一条弧的长度是它所在圆的周长的，那么这条弧所对的圆心角是______． 【变式2】（24-25六年级下·上海宝山·期中）一个圆中，的圆心角所在的扇形面积是7，则这个圆的面积是 _______ ． 【变式3】（24-25六年级下·上海·月考）在一个周长是厘米的圆上有一段长为厘米的弧所对的圆心角是_______度． 【变式4】（24-25六年级下·上海·月考）已知圆的周长厘米和弧长厘米，求圆心角 题型二 半圆/组合图形的周长（易错） 【例2-1】（24-25六年级下·上海闵行·期末）如图，厘米，则点到点的四个半圆的弧长之和是________厘米．（取） 【例2-2】（24-25六年级下·上海黄浦·期末）如图，求图中阴影部分的周长．（结果保留） 【变式1】（24-25六年级下·上海宝山·期末）如图，圆心重合的两圆半径分别为4，2，，求阴影部分图形的周长（结果保留）． 【变式2】（24-25六年级下·上海·月考）如图所示，三角形的边长都为，分别以、、三点为圆心，边长的一半为半径作弧，求阴影部分的周长．（取3.14） 【变式3】（24-25六年级下·上海·月考）如图所示，求阴影部分的周长（结果保留） 题型三 弧长计算 【例3-1】（24-25六年级下·上海·月考）如果扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，那么扇形的弧长（    ） A．不变 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的一半 D．扩大为原来的2倍 【例3-2】（24-25六年级下·上海·单元测试）一个扇形的半径为厘米，圆心角为 ，那么扇形的弧长为____厘米．（结果保留） 【例3-3】如图，的三条边长都是18毫米，分别以、、为圆心，18毫米为半径画弧，求这三条弧长的和．（取3.14） 【变式3-1】（24-25六年级下·上海·期中）若圆的半径不变，圆心角扩大到原来的三倍，那么所对的弧长是原弧长的（   ） A． B． C．4倍 D．3倍 【变式3-2】（24-25六年级下·上海·期中） 如果扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径缩短为原来的，那么这个扇形的弧长是原来的____________． 【变式3-3】．如图所示，以的三个顶点为圆心，15毫米为半径，在内画弧，得到三段弧，求这三段弧长之和． 题型四 圆的面积与圆环面积 【例4-1】（25-26六年级上·上海浦东新·期末）一个扇形的圆心角是，它的面积是所在圆面积的（   ） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25六年级下·上海·单元测试）把边长为分米的正方形剪成一个最大的圆，则这个圆的面积____ ． 【例4-3】（24-25六年级下·上海·单元测试）一个圆环的外圆直径是 厘米，内圆直径是 厘米，则它的面积是____平方厘米． 【变式1】（24-25六年级下·上海·月考）如果两个圆的直径之比是，那么这两个圆的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25六年级下·上海浦东新·期中）若扇形半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则面积为（    ） A．和原来一样大 B．原来的4倍 C．原来的一半 D．原来的2倍 【变式3】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）如图是某体育馆在草坪上修建出的五环图案，已知每个圆环的内、外半径分别为3米和4米，图中重叠部分的每个小曲边四边形的面积都为1平方米，则该五环图案的面积是______平方米．（结果保留） 题型五 扇形面积计算 【例5-1】（24-25六年级下·上海长宁·期中）已知扇形的面积是28平方厘米，若扇形的圆心角缩小到原来的一半，半径扩大到原来的4倍，则现在扇形的面积为 ________ 平方厘米． 【例5-2】（24-25六年级下·上海嘉定·期末）如图，一把展开的扇子的圆心角是，扇子的骨柄长是，扇面宽度．求这把扇子完全展开后扇面所占的面积（取3.14）． 【变式5-1】（24-25六年级下·上海·单元测试）将一个直径为厘米的圆分割成半径相同且圆心角为 的四个扇形，求最大的扇形与最小扇形的面积之差为多少平方厘米．（结果保留 ） 【变式5-2】（24-25六年级下·上海金山·期中）已知折扇的骨柄的长度为，扇面部分宽度，折扇展开的角度是，求扇面部分的面积． 题型六 阴影部分面积 【例6-1】（24-25六年级下·上海虹口·期中）如图，以正方形的4个顶点为圆心的4个圆都经过该正方形的中心．如果每个圆的半径都是，那么阴影部分的总面积是（　　）平方厘米 A．8 B． C．24 D．32 【例6-2】（24-25六年级下·上海·单元测试）某同学用所学过的圆与扇形的知识设计了一个问号，如图中阴影部分所示．已知图中大圆半径为，小圆半径为，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 【变式1】（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，由直径分别为厘米、厘米和厘米的三个半圆所组成的图形，则图中阴影部分的面积为____平方厘米．（结果保留 ） 【变式2】如图，已知为等腰直角三角形，厘米，以C为圆心，8厘米为半径画弧，以为直径作半圆，那么阴影部分的面积是________平方厘米．（取3.14） 【变式3】（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，已知等腰直角三角形，，是斜边的中点，且 分米．以点为圆心、为半径画弧交于点．以点为圆心， 为半径画弧，分别交，于点，．求阴影部分的面积． 题型七 实际应用 【例7-1】（24-25六年级下·上海浦东新·期中）一个时钟的时针长，一天内从上午10点到下午3点，时针扫过的面积是多少？（取3.14） 【例7-2】（24-25六年级下·上海长宁·期末）春节期间亲戚来访，爸爸让小梁到便利店买4罐易拉罐饮料，营业员将4罐易拉罐捆扎在一起（接口不计），中间形成一个正方形，如图所示，且易拉罐的直径为8厘米，那么捆4圈至少用绳子多少厘米？（取3.14，结果精确到1厘米）． 【例7-3】（24-25六年级下·上海徐汇·期末）中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版式小全张（图1），上面绘制了代表二十四气风貌的图案，这24枚大小相同的邮票组成了一个圆环，以“夏至”节气单枚邮票为例（图2），该邮票的“下圆弧”的长为，“直边”的长为．求单枚邮票的面积（取）． 【变式7-1】（24-25六年级下·上海闵行·期末）第19届杭州亚运会会徽如图1所示，名为“潮涌”，展现了浙江杭州山水城市的自然特质，也寓意着勇立潮头的精神风貌．其主体部分可以看成如图2的几何图形，小明测量得，，．求图2中的阴影部分的周长为多少厘米？（结果保留） 【变式7-2】（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，长方形建筑物，一只狗拴在墙角处，不能够进入长方形内部，长方形长 米，宽为 米，绳子长 米，求出小狗活动的范围有多少平方米？ 【变式7-3】（24-25六年级下·上海·期中） 如图是一座立体交叉桥的示意图（道路宽度忽略不计），为入口，为出口，其中直行道为，且米，弯道为以点为圆心的一段弧，且所对的圆心角均为，半径为米．甲车由口驶入立交桥，以米/秒的速度行驶，从口驶出用时多少秒？ 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25六年级下·上海闵行·期末）一个圆的面积为，半径为，圆周长为；一个半圆形的面积为，半径为，半圆弧长为，那么以下结论成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级下·上海·期中）已知一扇形半径扩大到原来的2倍，要保持扇形的面积不变，扇形的圆心角应（   ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的4倍 D．缩小为原来的 二、填空题 3．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的度数为______． 4．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）一个圆的周长是厘米，它的面积是___________平方厘米． 5．（24-25六年级下·上海长宁·期中）如果某扇形的圆心角是，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆面积的 ___________________ （填几分之几）． 6．（24-25六年级下·上海·月考）为方便销售，售货员把易拉罐饮料捆成如图的形状．绳长l与易拉罐数量n（）之间存在的关系是______．（绳子只捆一圈，接头处忽略不计，结果保留π） 三、解答题 7．折扇又名“撒扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面能折叠的扇子．如图是一把绫绢折扇，做这样一把折扇扇面大约需要绫绢面料多少平方分米？（π取3.14，结果保留两位小数） 8．（24-25六年级下·上海普陀·期中）如图，一个直径为的半圆形绕着点逆时针方向转动，此时点移动到点． (1)求阴影部分的周长； (2)求阴影部分的面积．（π取3.14） 9．（24-25六年级下·上海·期末）如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形，已知，则旋转的过程中： (1)边扫过的部分是个什么形状？求出该部分的面积； (2)分别求出点A和点走过的路线长； (3)求出边扫过的部分的面积． 能力提升进阶练 一、单选题 1．如图，扇形的半径都是4厘米，阴影部分的面积是（ ）平方厘米． A．16 B． C． D．无法确定 2．用两张同样大小的正方形卡纸，按照下边两种不同的方式剪出甲乙两种规格的图片，那么甲和乙面积的比是（ ） A． B． C． D． 3．如图，把一个用草绳编成的圆形杯垫沿着半径剪开，然后把草绳拼成一个近似的直角三角形（厚度忽略不计）．已知直角三角形较短的直角边是，那么下面说法正确的有（ ）． 圆形茶杯垫的直径是 直角三角形较长的直角边相当于圆形茶杯垫的周长 圆形茶杯垫的面积是 直角三角形和圆形茶杯垫的面积相等，周长也相等 A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25六年级下·上海闵行·期末）图A阴影部分面积比图B的阴影部分面积小______．（结果保留π） 5．（24-25六年级下·上海嘉定·期末）如图，一个边长是2厘米的等边三角形，将它沿直线作顺时针方向的滚动．当等边三角形滚动到图示中最右边三角形的位置时，点所经过的路程为_____厘米（结果保留）． 6．（24-25六年级下·上海长宁·期末）如图，已知，，，半径为r的从点A出发，沿方向滚动到点C时停止，则在此运动过程中，扫过区域的面积是__________（结果保留） 7．（24-25六年级下·上海·月考）已知：如图，正方形ABCD的边长为4，两段圆弧将正方形分成了①、②、③、④的四个部分，它们的面积分别是和．则 （1）四个部分的周长之和为______； （2）的值为______；（取3.14）． 三、解答题 8．（24-25六年级下·上海长宁·期末）在一空旷场地上设计一个落地为长方形的小屋，边长边长，拴住小狗的绳子长，其中一端固定在点B处．小狗在不能进入小屋内的条件下活动，设小狗活动的区域面积为（结果保留） (1)如图1，若，求此时S的值； (2)如图2，现考虑在图1中的矩形小屋的右侧以为边拓展一个正三角形区域．使之变成一个落地为五边形的小屋，其他条件不变，在（1）的条件下，求此时S的值． 9．（24-25六年级下·上海长宁·期中）上海某中学原计划在一个直径为30米的圆形场地内修建圆形花坛（花坛指的是图中实线部分），为使花坛修得更加美观、有特色，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出三种方案： 方案A：如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛； 方案B：如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛； 方案C：如图3所示，先画一条直径，然后在直径上任意取四点，把直径分成5条线段，再分别以5条线段为直径修5个圆形花坛． (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是 米．（结果保留π） (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？ (3)按照方案C修，学校要求在8小时内完成，甲工人承包了此项工程，他做了4小时后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的效率是甲的，乙加入后，甲的效率也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到20元钱，修完花坛后，甲可以得到多少钱？（π取3） 10．（24-25六年级下·上海奉贤·期中）问题背景：某综合实践小组在学习了“圆与扇形”后，开展了“运动场的有关计算”实践活动，某学校的运动场有若干条跑道（如右图），每条跑道均由两个长度相等的直道和两个半径相等的半圆弯道组成，最内侧跑道（第一道）总长为400米，其弯道半径r为30米．跑步比赛中，运动员在各自跑道上按逆时针方向进行比赛． (1)如图1，求最内侧跑道的直道（或）长是多少米？（π取3.14） (2)如图2，如果每条跑道的宽度d为1.25米，在进行400米赛跑时，比赛终点如图所示，求第二跑道的起点M应该比第一跑道的起点A超前多少米？（π取3.14） (3)如图3，如果每条跑道的宽度d为米，在某次400米跑步比赛中，小华和小海分列第一道（最内道）和第三道．当小华跑了180米时，小海在小华身后12米处，此时小海跑了______米，为了追上小华，小海开始加速．假设小华匀速跑且速度不变，小海加速前和加速后均为匀速跑且加速所用时间忽略不计，如果小海要在比赛中追上小华，那么他至少要加速______．（结果精确到） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $