专题14 分式运算问题的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

专题14 分式运算问题的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、分式的乘除混合运算 类型二、分式的加减混合运算 类型三、已知分式恒等式，确定分子或分母 类型四、分式的加减乘除混合运算 类型五、分式的混合运算先化简求值问题 类型六、分式的混合运算错解复原问题 压轴专练 类型一、分式的乘除混合运算 方法总结 1. 除法化乘法：除以一个分式等于乘以它的倒数。 2. 约分计算：将分子、分母分别分解因式，约去公因式后相乘。 解题技巧 1. 先分解后约分：将分子分母因式分解，再约分，避免直接乘开导致复杂。 2. 注意符号：乘除时注意负号，确定最终结果的符号。 例1．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算． (1)根据分式的除法法则把除法转化为乘法，再根据分式的乘法法则进行计算； (2)首先进行乘方和除法运算，可得：原式，再根据分式的性质通分、相减． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【变式1-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式化简，熟练掌握分式化简的技巧是解题的关键； （1）先将除法化成乘法，然后进行约分化简即可； （2）先将括号内的部分进行变形约分，然后与括号外的部分约分化简． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏南通·月考）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除运算． （1）先将除法转化为乘法，然后计算乘法即可； （2）先将除法转化为乘法，然后计算乘法即可． 【详解】（1）解：原式= = = = （2）解：原式= = = = 【变式1-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了分式的乘方及乘除混合运算，解题的关键是先算乘方再算乘除，准确运用法则进行符号判断、因式分解与约分． （1）直接运用分式乘方法则，分子分母分别乘方，再化简． （2）运用分式乘方法则，注意系数的乘方及负数的奇次幂为负，再整理系数与字母的幂． （3）先对分子分母因式分解，再利用分式乘法法则约分，简化得到结果． （4）先算乘方（确定符号、幂的运算），再将除法转乘法，最后同底数幂运算和约分． （5）先算乘方，再将除法转乘法，统一成连乘形式后，合并同类项并约分． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 类型二、分式的加减混合运算 方法总结 1. 统一分母：先通分，将异分母分式化为同分母分式。 2. 分子相加减：分母不变，分子相加减，结果化为最简分式或整式。 解题技巧 1. 先化简再通分：若有公因式，先约分简化计算。 2. 注意符号：减号后分子整体变号，避免符号错误。 例2．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)2； (3)． 【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解题的关键． （1）原式先通分，再化简即可； （2）先利用平方差公式，再化简即可； （3）先对前两项进行计算，再对最后一项约分，接下来通分，再化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式2-1】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键． （ 1）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果； （ 2）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果； （ 3）原式第一项利用除法法则变形，约分得到结果，第二项约分得到结果，再利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式2-2】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式加减法的混合运算，理解通分的运算法则，分式的加减法运算法则是解答关键． （1）先通分，再利用分式加减法运算法则求解； （2）先通分，再利用分式加减法运算法则求解； （3）先通分，再利用分式减法运算法则求解； （4）先变号，再通分，再利用分式减法运算法则求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： ． 【变式2-3】（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了分式的加减混合运算，熟练掌握运算法则及运算顺序是解题的关键． （1）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （2）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （3）括号内先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （4）括号内先通分，分子分母分解因式，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 类型三、已知分式恒等式，确定分子或分母 方法总结 1. 通分对比：将恒等式两边通分，使分母相同，对比分子多项式恒等。 2. 对应系数列方程：根据多项式恒等条件，对应项系数相等，列方程组求解未知数。 解题技巧 1. 代特殊值：取使分母不为0的简单x值代入，直接求未知数，避免解方程组。 2. 先化简再对比：若分式复杂，先因式分解化简，再通分对比。 例3．（25-26七年级上·上海虹口·期末）为常数，如果，那么_____， 【答案】6 【分析】本题考查分式的通分与恒等式的系数匹配，解题的关键是通过通分将左边化为同分母分式，再比较分子系数建立方程组求解． 先对左边分式通分，将其化为与右边同分母的形式，再通过分子多项式的系数对应关系，列方程组求出的值，即可求解代数式的值． 【详解】解：， ∴。 ∴， ， 解得 故， 故答案为：． 【变式3-1】（25-26八年级上·山东威海·期中）已知，则的值为_______． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的加法、解二元一次方程组，熟练掌握分式的加法法则是解题关键． 先计算等式右边的加法，再与等式的左边进行比较可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得． 【详解】解： ， ， ∵， ∴， ∴， 由得：， 解得：， 将代入①得：， ∴， 所以． 故答案为：． 【变式3-2】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）已知，则________． 【答案】1 【分析】本题考查根据分式恒等式求解参数，二元一次方程组的应用；将等式右边通分后与左边比较分子，得到关于m和n的方程，通过比较系数建立方程组，求解m和n后计算差值； 【详解】解：右边通分得： 与左边比较分子得： 展开左边得： ∴ 比较系数得： 解得： ∴. 故答案为：1. 【变式3-3】（25-26八年级上·广东广州·期中）已知，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，通分是解题的关键． 通过通分计算，利用多项式相等，求出常数A、B、C的值，然后代入计算表达式． 【详解】 , ,解得， ． 故答案为：． 类型四、分式的加减乘除混合运算 1.遵循运算顺序：和有理数混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有括号，要先算括号里面的。 2.灵活运用乘法公式：在计算过程中，要留意分子和分母是否能使用乘法公式，比如平方差公式或完全平方公式。用对公式可以大大简化计算。 3.及时化简：每一步运算完成后，都要检查分子和分母是否有公因式。能约分的一定要先约分，这样可以避免最后处理大数字，让计算更简单。 例4．（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）先进行括号内的加法运算，再进行除法运算即可； （）利用乘法分配律计算即可求解； 本题考查了分式的混合运算，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式4-1】（2026八年级下·全国·专题练习）分式的计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则； 先计算括号内分式的减法，再计算除法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，最后根据分式的乘法法则进行计算即可； （2）先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，然后把除法运算化为乘法运算后约分即可. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式4-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算，因式分解、通分和约分的综合应用，掌握先算乘除后算加减，有括号先算括号内，因式分解后约分简化的运算顺序和技巧是解题的关键． （1）先算分式乘法，对分子因式分解后约分，再算分式加法，通分合并； （2）先算括号内的加法，通分合并后，将除法转化为乘法，对分母因式分解再约分； （3）先算括号内的式子，通分合并成一个分式，再将除法转化为乘法，因式分解后约分． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 类型五、分式的混合运算先化简求值问题 1.先化简，再代入：这是最关键的一步。先把整个分式表达式化简到最简形式，再把字母的值代进去计算。千万不要直接代入，那样计算量会非常大。 2.化简时注意运算顺序：化简过程要遵循"先乘方，再乘除，最后算加减"的顺序。有括号的，要先算括号里面的。 3.代入前先检验：把字母的值代入原式的分母和除式中，检查是否会使它们等于0。如果等于0，这个值就不能用，题目可能需要你重新选择一个合适的值代入。 例5．（25-26八年级下·河南信阳·开学考试）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、二次根式的混合运算，首先根据分式的运算法则把分式化简，可得：原式，再把代入化简后的分式中求值． 【详解】解： ， 当时， 原式 【变式5-1】（25-26八年级下·云南玉溪·开学考试）先化简：，然后再选取一个你喜欢的a值代入求值． 【答案】，当时，原式（答案不唯一） 【分析】先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后根据分式有意义的条件取一个a的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵且， ∴且， ∴可以取2， 当时，原式（答案不唯一）． 【变式5-2】（25-26九年级下·安徽安庆·开学考试）先化简，再求值：，请在内选取一个合适的整数代入求值． 【答案】，当时，原式，或当，原式（选一个即可） 【分析】利用分式的运算法则，先将分式化成最简分式或整式，再选一个使分母不为0的数代入求值即可． 【详解】解：原式； ∵当时分式无意义， ∴在内使分数有意义的整数有1和， ∴当时，原式； 当时，原式（选一个即可）． 【变式5-3】（25-26八年级下·天津·开学考试）先化简：，再从，0，1，2这四个数中选一个你最喜欢的a值代入求值． 【答案】，当时，原式；或当时，原式 【详解】解： ， 根据题意得：且， ∴， 当时，原式； 或当时，原式． 类型六、分式的混合运算错解复原问题 1. 顺着错解，倒推条件：仔细阅读题目，找出"小明"或"小红"是在哪一步、因为什么规则用错了。然后，顺着他的错误步骤和得到的错误结果，反向推算出题目中隐藏的关键信息，比如某个字母的值。 2. 回到正轨，正确化简：拿到正确的条件后，把它当作一道全新的"先化简再求值"问题。完全忘掉之前的错误解法，按照正确的运算顺序和分式化简规则，重新把原式化简到最简形式。 3. 代入计算，得出正解：最后，将之前推算出的正确条件代入到化简好的式子中，进行计算，得出正确的最终答案。 例6．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）下面是小明同学计算的过程： 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 (1)上面的运算过程从第________步开始错误，错误原因是_____________． (2)请写出正确的运算过程． 【答案】(1)一，运算顺序错误 (2)正确运算过程见详解 【分析】本题考查了分式乘除混合运算的运算顺序． （1）在分式乘除混合运算中，运算顺序是从左到右依次进行，观察小明同学的运算过程发现第一步开始错误，其先计算了后面的乘法，改变了运算顺序，所以从第一步开始错误； （2）先算，再将乘以，根据分式乘法法则即可得出结果． 【详解】（1）解：小明同学在运算的过程中，第一步出现了错误，导致后续步骤出现错误，而错误的原因是运算顺序出现错误，应先计算除法，再计算乘法， 故答案为：一，运算顺序错误． （2）解：． 【变式6-1】（2025九年级上·广东深圳·专题练习） 小陈同学在进行分式化简时，过程如下： 解：原式① ② ③ …… (1)上述过程中，从第____步开始出现错误． (2)请完成正确的完整解题过程，并在“，0，1”中选择一个合适的数代入求值． 【答案】(1)② (2)，当时，原式 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题目中的解答过程可知，第②步开始出现错误，错误的原因是除法没有分配律，而题目中却使用了这个； （2）先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后约分化简，再从，0，1中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】（1）解：由题目中的解答过程可知，第②步开始出现错误， 故答案为：②； （2）解：原式 ， 当或2时，原分式无意义， ∴选择代入， 当时，原式． 【变式6-2】（25-26八年级上·河南新乡·期末）下面是某同学化简分式的部分运算过程： (1)下面的解题过程从第 步开始出现错误； 解：原式    第一步     第二步     第三步     第四步     第五步     第六步 (2)写出正确的化简运算过程； (3)从，0，3，1中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】(1)五 (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键： （1）第五步分子相减时，变号错误； （2）根据混合运算的法则进行计算即可； （3）根据分式的分母不能为0，选择，进行计算即可． 【详解】（1）解：第五步分式减法中，出现变号错误； 故答案为：五 （2）解：原式 ； （3）解：∵， ∴， ∴当时，． 【变式6-3】（24-25九年级上·吉林长春·月考）下面是小亮同学对分式的化简过程，请认真阅读并完成相应的问题． …第一步 …第二步 …第三步 …第四步 …第五步 问题解答： (1)从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； (2)请写出正确的化简过程． 【答案】(1)一，加括号时，括号前面是负号括号里第二项没有变号 (2)见解析， 【分析】本题考查了分式的混合运算：先乘方再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （1）第一步加括号时，括号里第二项没有变号； （2）根据分式的混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是加括号时，括号前面是负号，括号里第二项没有变号， 故答案为：一，加括号时，括号前面是负号括号里第二项没有变号； （2）解： ． 一、单选题 1．（25-26九年级下·河南周口·开学考试）化简 的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】先统一分母，再合并分子后约分得到结果． 【详解】解：原式 ． 2．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的运算，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键． 根据分式的运算法则，逐一验证每个选项的计算是否正确，即可求解． 【详解】解：A、，，故选项A错误，不符合题目要求； B、，故选项B错误，不符合题目要求； C、，故选项C错误，不符合题目要求； D、，计算正确.，故选项D正确，符合题目要求． 故选：D． 3．（25-26八年级上·山东德州·期末）如果，，那么代数式与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查异分母分式的加减运算，先利用异分母分式的加减运算法则化简，再对比与的关系即可得出结论. 【详解】解：∵ ∴ 对通分，公分母为 ∴ 又∵ ∴ ， 故选：C. 4．（25-26八年级下·全国·周测）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的乘除运算，因式分解，掌握分式乘除运算的步骤是解题的关键． 将除法转化为乘法，并对各多项式进行因式分解，然后约分化简． 【详解】解： 原式 = = ∵ ，， ∴ 原式 = =   =   = ∴ 化简结果为，对应选项A． 故选：A． 5．（25-26八年级上·四川凉山·期末）对于正数，规定，例如：，，则的值为（    ） A．2025 B．2024 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简求值，正确找到规律是解题的关键．观察式子，发现规律，根据规律化简所求式子即可． 【详解】解：根据题意得， 则， ， 故选：D． 二、填空题 6．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）化简：______． 【答案】 【分析】本题为分式化简题，利用同分母分式减法法则计算，再对分子因式分解后约分，即可得到结果． 【详解】解： ． 7．（2026八年级下·全国·专题练习）计算：_________． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，先分别计算每个部分的指数幂，注意负号的处理（偶次方为正，奇次方为负），然后合并乘除运算，利用指数法则简化表达式． 【详解】解： ． 故答案为 ． 8．（25-26八年级上·重庆·期末）已知，则___________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了分式的加减法，二元一次方程组的应用，先通分，计算异分母的分式的加法，再对应相等，得到关于的二元一次方程组，是解题的关键． 通过通分将右边化为同分母分式，比较分子系数建立方程组求解． 【详解】解： ， 由①得， 把③代入②得：， ， ， ， ， 则， 所以． 故答案为4． 9．（25-26九年级上·四川成都·期末）已知实数a满足，则______． 【答案】/0.25 【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 首先将原表达式中的分式进行因式分解和化简，然后利用已知条件即代入求值． 【详解】解： ， ， ， ． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·江西南昌·期末）已知：x是整数，．设，则所有符合要求的y的正整数值为__________． 【答案】1，3，4 【分析】本题考查分式的加法运算，分式的求值，根据，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵为整数，为正整数，， ∴能被2整除，且（此时） ∴ ∴或或； 故答案为：1，3，4． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了分式的加减法，把异分母分式化为同分母是关键． （1）把异分母分式化为同分母分式进行减法计算即可； （2）把异分母分式化为同分母分式进行加法计算即可． 【详解】（1） ； （2） 12．（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再把除法变成乘法，最后计算分式乘法即可得到答案； （2）先通分，再把分子合并同类项即可得到答案； （3）先把对应分式的分子和分母分解因式，再约分，最后计算分式减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 13．（25-26八年级下·重庆·开学考试）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算除法，再计算加法即可； （2）先计算括号内的，再计算除法，然后计算减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求整数，的值． 【答案】 【分析】先对等式左边进行通分，与等式右边的分子比较系数，得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解： ． ， ， ，解得． 15．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把对应分式的分子和分母分解因式，然后把除法变成乘法后进行约分，接着计算分式减法化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16．（25-26八年级下·河南周口·开学考试）先化简，再求值：，请在，0，2中选择一个合适的数代入求值． 【答案】， 【分析】先算括号内的，再计算除法，然后根据分式有意义的条件选用代入，即可求解． 【详解】解：原式 ， ∵分母不能为0， ∴， ∴， ∴只能选， 把代入原式． 17．（25-26九年级下·河南南阳·开学考试）化简下列分式： 下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： 第一步 第二步 第三步 ．第四步 (1)任务一：以上化简步骤中，第________步开始出现错误，错误的原因是________； (2)任务二：请写出正确的化简过程． 【答案】(1)二；括号前是“－”号，去括号时未变号 (2)见解析 【详解】（1）解：二；括号前是“－”号，去括号时未变号； （2）解：原式＝ · · ． 18．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以， 故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”．利用上述方法解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知等式“取倒数”求出的值即可； （2）已知三等式“取倒数”后相加求出的值，原式“取倒数”后代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：由知， ∴，即， ∴； （2）解：根据题意可知x，y，z均不为0， ∴， ，， ∴， ∵， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题14分式运算问题的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、分式的乘除混合运算 类型二、分式的加减混合运算 类型三、已知分式恒等式，确定分子或分母 类型四、分式的加减乘除混合运算 类型五、分式的混合运算先化简求值问题 类型六、分式的混合运算错解复原问题 压轴专练 典例详解 类型一、分式的乘除混合运算 方法总结 1.除法化乘法：除以一个分式等于乘以它的倒数。 2.约分计算：将分子、分母分别分解因式，约去公因式后相乘。 解题技巧 1.先分解后约分：将分子分母因式分解，再约分，避免直接乘开导致复杂。 2.注意符号：乘除时注意负号，确定最终结果的符号。 例1.(24-25八年级下·湖北武汉·月考)计算 3 0)5325r2-9r e(台89 【变式1-1】(25-26八年级下.全国·课后作业)计算： ①a-1.a2-4 1 a+2a2-2a+1a2-1 【变式1-2】(25-26八年级上江苏南通·月考)计算： (x+v x+y 1/10 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2) x2-y2 x+y x+y; x2+2xy+y x-y 【变式1-3】(25-26八年级下·全国课后作业)计算： 3)-1.x x2+2x+19 ab 类型二、分式的加减混合运算 方法总结 1.统一分母：先通分，将异分母分式化为同分母分式。 2.分子相加减：分母不变，分子相加减，结果化为最简分式或整式。 解题技巧 1.先化简再通分：若有公因式，先约分简化计算。 2.注意符号：减号后分子整体变号，避免符号错误。 例2.（24-25七年级下·全国·课后作业)计算： (1) t2x-2: 22-22x x2-1x+1 ③-2yX-y+x-4 x+y x+y x+4y 【变式2-1】(2024八年级上·全国.专题练习)计算： 0①+ x-y y-x 2②-5x-1+x x-2x-22-x a子a+明。 a-1 2/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2-2】(24-25八年级下·全国·课后作业)计算： 235 （①3+4y6y 5a7b,11c (2 66e12ac2+ a2b9 3)-1x+1 x+1x-1 (4 b2 a-b'a(b-a) 【变式2-3】(25-26八年级上·全国·单元测试)计算： 02站，异动 3 @2 2x 点 a2-1 a2+2a+1 类型三、已知分式恒等式，确定分子或分母 方法总结 1.通分对比：将恒等式两边通分，使分母相同，对比分子多项式恒等。 2.对应系数列方程：根据多项式恒等条件，对应项系数相等，列方程组求解未知数。 解题技巧 1.代特殊值：取使分母不为0的简单x值代入，直接求未知数，避免解方程组。 2.先化简再对比：若分式复杂，先因式分解化简，再通分对比。 2x-6 B,2526七年级上海虹口期末)AB为常数，如果，”一22 那么A-B=—, 【线式】26八年级上东装卷用)巴知白品·圆-8的面为 5x-4=m+n 【变式3-2】(25-26八年级上山东荷泽期中)已知x-5x+2-5+x+2,则m-”= 【变式3-3】(25-26八年级上广东广州期中)己知 x2+2=AB+C +(x+2x+x+1+x+2,则4+B-2C= 3/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型四、分式的加减乘除混合运算 1.遵循运算顺序：和有理数混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有括号，要先算括 号里面的 2.灵活运用乘法公式：在计算过程中，要留意分子和分母是否能使用乘法公式，比如平方差公式或完全 平方公式。用对公式可以大大简化计算。 3.及时化简：每一步运算完成后，都要检查分子和分母是否有公因式。能约分的一定要先约分，这样可 以避免最后处理大数字，让计算更简单。 例4.（2026八年级下·全国·专题练习)计算： 2m+1+nn-l (1) n 2+1+2-1.2-4 x-2x+2x+1 【变式4-1】(2026八年级下·全国.专题练习)分式的计算： 日 (2) 【变式4-2】(25-26八年级下.全国·课后作业)计算： )m-3-7） .m2-4m m+3 2m+6 1 .a-2 a+3a2-92a+6 【变式4-3】(25-26八年级下.全国·课后作业)计算： (1) a2-1.1 a+1a2+ a a+1 类型五、分式的混合运算先化简求值问题 1.先化简，再代入：这是最关键的一步。先把整个分式表达式化简到最简形式，再把字母的值代进去计 算。千万不要直接代入，那样计算量会非常大。 2.化简时注意运算顺序：化简过程要遵循”先乘方，再乘除，最后算加减”的顺序。有括号的，要先算括 号里面的。 4/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.代入前先检验：把字母的值代入原式的分母和除式中，检查是否会使它们等于0。如果等于0，这个值 就不能用，题目可能需要你重新选择一个合适的值代入。 3 x2-4x+4 例5.(25-26八年级下河南信阳·开学考试)先化简，再求值： -x+】 其中x=√5+2. x+1 x+1 2 【变式5-1】(25-26八年级下·云南玉溪开学考试)先化简： a+1 然后再选取一个你 a-1 a2-2a+1a-1 喜欢的a值代入求值. 【变式5-2】(25-26九年级下·安微安庆·开学考试)先化简，再求值： 2x2x-4x,请在-2≤x≤2内 x+2x2+4x+4 选取一个合适的整数代入求值. 【变式53】(25-26八年级下天津开学考试)先化简：a-2a+* a+1 1+2 -1 再从-1,0,1,2这四个 数中选一个你最喜欢的a值代入求值. 类型六、分式的混合运算错解复原问题 1.顺着错解，倒推条件：仔细阅读题目，找出"小明"或”小红"是在哪一步、因为什么规则用错了。然后， 顺着他的错误步骤和得到的错误结果，反向推算出题目中隐藏的关键信息，比如某个字母的值。 2.回到正轨，正确化简：拿到正确的条件后，把它当作一道全新的"先化简再求值"问题。完全忘掉之前的 错误解法，按照正确的运算顺序和分式化简规则，重新把原式化简到最简形式。 3.代入计算，得出正解：最后，将之前推算出的正确条件代入到化简好的式子中，进行计算，得出正确 的最终答案。 例6.(25-26八年级上陕西榆林期末)下面是小明同学计算x÷(x-1)1的过程： x-1 解：x÷(x-)1 x-1 =x+x-1 -1…第一步 =x÷1..…第二步 =X第三步 ()上面的运算过程从第 步开始错误，错误原因是 (2)请写出正确的运算过程， 【变式6-1】(2025九年级上·广东深圳专题练习)小陈同学在进行分式化简时，过程如下： 照或-o0en-f- ,2a-2)+1-2a-2)÷1 a-a+0a-la+。-② 5/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2(a-2) 2(a-2)×(a-10③ (a-1)(a+1)(a-1)(a+1) … ()上述过程中，从第步开始出现错误 (2)请完成正确的完整解题过程，并在“-1,0,1”中选择一个合适的数代入求值. 【变式62】(2526八年级上河南新乡期末)下面是某同学化简分式2，÷+6r+9的部分运算过 x-3 x x2-3x 程： ()下面的解题过程从第步开始出现错误； 解：原式= 21）.(x+3 第一步 x-3xx(x-3) =2-1).xx-3) x-3x(x+3) 第二步 - x(x-3)1x(x-3 第三步 =2x x-3 (x+32(x+3)2 第四步 =2r-x-3 (x+3) 第五步 x-3 (x+32 第六步 (②)写出正确的化简运算过程； (3)从-3,0,3,1中选择一个合适的数作为x的值代入求值. 【变式6-3】(24-25九年级上·吉林长春·月考)下面是小亮同学对分式的化简过程，请认真阅读并完成相应 的问题， m2-4m+4 m-1 (m-2)2 「3 m-1m-m-) .第一步 (m-22「3m-102 m-1m-1m-1 第二步 6/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 =m-22÷-m2+2m+2 第三步 m-1 m-1 =m-2)2 m-1 …第四步 m-1-m2+2m+2 (m-2)2 第五步 -m2+2m+2 问题解答： (1)从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 (2)请写出正确的化简过程. 压轴专练 一、单选题 1.(2526九年级下河南周口开学考试)化简1，日-3的结果是（) a-22-a C.4-a a A.1 B.-1 D. a-2 2-a 2.(25-26八年级上·辽宁大连·期末)下列计算正确的是() A. a2+b2 =a+b B.1+-2 a+b a b ab 14 D.1+1=1+a a+2a-2a2-4 a 3.(25-26八年级上山东德州期末)如果A=- 3a-a+,那么代数式A与B之间的关系是（) 、2一，B=、、1 A.A+B=0 B.A·B=0 C.A=B D.A=2B 4.(25-26八年级下·全国·周测)化简 -4+4*(x+) x2-1 x2-3x+2 x-1 的结果为() A.x-1 B.x-1 C.x+1 D.+1 x-2 x+2 x-2 x+2 25-26八年级上四川凉山期末)对于正数x,规定∫八=：例如：f八3)=中3 +f(四+f(2)+…+f(2024)+f(2025)的值为() 1+ 3 A.2025 B.2024 C.2023.5 D.2024.5 7/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 二、填空题 6.(25-26八年级下广西南宁开学考试)化简：m-n m-n m-n 7.2026八年级下·全国专题练习)计算： 〔(( x+10 8.(25-26八年级上重庆期未)已知2x-x+3)2x-1x+3,则4+8- 9.(25-26九年级上四川成都期末)已知实数a满足a2-2a-4=0,则a+2-。a-】a-4 a2-2aa2-4a+4a-2 0(25-26八年级上江西南昌期未)已知：x是整数，M=2,W=:,:设 2+N,则所有符合要 求的y的正整数值为 三、解答题 11.(25-26八年级上·全国课后作业)计算下列各式： (①)+2x-2 x-2x+2 (2)ga+6a+13a+1 12.(2026八年级下·全国.专题练习)计算： x (2) --x+y; x+y (3)x+2x2-2x x2-4x2-4x+4 13.(25-26八年级下·重庆·开学考试)化简： (1) a2+a,1 a2-1a2+2a+1a-1 xx2+6x+9 (2) x-3x+2 r-2-5】 x+2 A B 3x+4 14.（25-26八年级下全国课后作业)已知x中1x+2x+x+2,求整数4，B的值. 15.（2425八年级下湖北武汉月考)先化简，再求值：-2xP-2y+少+2+9， x+y 3x+3+2-,其中 8/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x=-7,y=6. 16.(25-26八年级下河南周口开学考试)先化简，再求值： /a-1-3）4-4a+4,请在-1,0,2中 a+1 a+1 选择一个合适的数代入求值， 17.(25-26九年级下·河南南阳·开学考试)化简下列分式： 下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： x2-1 x2+2x+1 之=+x+第一步 x+1x+1(x-1(x+1 =2-2-1(x+12 一第二步 x+1（x-1(x+ =-1.(x+1)2 第三步 x+1(x-1)(x+1 筑步 (1)任务一：以上化简步骤中，第 步开始出现错误，错误的原因是 (2)任务二：请写出正确的化简过程 18.(25-26八年级上·湖南长沙期末)阅读下列解题过程： 知千行求的值。 已知x1 x4+1 解：由知0，所以1-3，即x3 所以2+=x+ =x+1 -2=32-2=7, 以上解法中，是先将已知等式的两边取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”. 利用上述方法解答下列问题： 0已知行·求r+的， @已知-31，求wt云的值 ”x+yy+z3'z+x 9/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 10/10