专题二：新定义（剖析方法+针对训练）-2026年中考数学二轮选择题专项复习 讲义

题型2 新定义 考法 1 新定义———数与式 第一步 剖析方法 第二步 【例】(2025·新疆中考)对多项式A,B,定义新运算“⊕”:A⊕B=2A+B;对正整数k和多项式A,定义新运算“⊗”；(按从左到右的顺序依次进行“⊕”运算).已知正整数m,n 为常数,记 若M⊕N 不含 xy项,则 mn= . 第三步 针对训练 1.(2025·昆明三模)定义：不大于实数x 的最大整数，记作[x].例如： [-2.6]=-3.按此规定,若 则aᵇ的值为 ( ) D.-6 C. B. A. 2.(2022·常德中考)我们发现: =3,=3，...,。一般地,对于 正 整 数 a,b,如果 满 足，那么称(a，b)为一组完美方根数对.如上面的(3，6)是一组完美方根数对.有下列 4 个结论：①(4,12)是完美方根数对;②(9,91)是完美方根数对；③若(a，380)是完美方根数对，则a=20;④若(x,y)是完美方根数对,则点P(x,y)在抛物线 上.其中正确结 论有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(2023·重庆江津区二模)如果实数a,b满足a-b= ab,那么a 和b 就是“智慧数”,用(a,b)表示.如:因为2- 所以(2, )是“智慧数”.现给出以下结论： 和-1是“智慧数”； ②如果(3,☆)是“智慧数”,那么“☆”的值为 ③如果(x,y)是“智慧数”,那么 y 与x 之间的关系式为 ④如果(x,y)是“智慧数”,那么当x>0 时,y随x 的增大而增大.其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(2025·广州越秀区校级三模)对于实数 a,b,定义新运算 a *b= 若函数 y=2x *(x-1),则下列结论正确的有 ( ) ①方程2x*(x-1)=0的解为x=0或x=-1; ②关于x 的方程2x*(x-1)=m有三个解,则 ③当x<-1时,y随x的增大而增大; ④当x>-1时,函数y=2x*(x-1)有最大值，最大值为0. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.(2025·陇南二模)定义一种新运算(a,b),若=b,则(a,b)=c.例如,(2,8)=3,(3,81)=4.已知(4,8)+(4,7)=(4,x),则 x 的值为 . 6.(2025·日照西城区模拟)令 n 为正整数.我们给出如下定义：n的“弱二进制分解”指的是将n 写成若干以2为底的幂的和的形式，且相同指数的项至多出现两个.例如 就是13的两种不同的弱二进制分解，我们分别用记号13=(1021)w₂和13=(221)w₂来表示这两种分解.在这个记号中，从右往左数的第k 位上的数字表示n的弱二进制分解中含有的的个数，右下角的“w₂”中的“w”是英文单词“weak”的首字母，注意二进制分解是一种特殊的弱二进制分解. (1)写出11 的一种不同于二进制分解的弱二进制分解:11=( )w₂; (2)如果一个数只有一种弱二进制分解，我们便称其为“闲愁数”，那么前 m 个“闲愁数”的和为 (用含 m 的式子表示). 7.(2025·济宁一模)定义关于a,b 的新运算:f(a·b)=f(a)-f(b)(a≤b),其中a,b为整数,且a·b为a 与b的乘积.例如,f(2)=5,f(3)=4,f(6)=f(2·3)=f(2)-f(3)=1.若f(4)=1,则 f(1024)的结果为________ . 8.(2025·日照东港区一模)定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”.例如 因此 8,16,24 都是“登高数”.不超过2 024 的所有“登高数”的和是 . 考法 2 新定义———程序图表 第一步 剖析方法 程序图表类新定义是以新定义规则为基础，通过图表或程序流程图呈现运算或变换过程，解决此类题型的关键是严格按照定义进行计算，注意运算顺序和代数运算的基础规则. 常见题型 解题技巧 1.代入计算型 按定义规则，一步步将数据代入即可得出答案 2.规律探究型 依次计算若干式子，直至出现规律，进而推测出一般规律，当所求项的角标数字较大时，如求 等，需考虑这个方法 3.循环往复型 在流程图中设置了一个条件，判断输出的值是否满足这个条件，若不满足则返回重复进行运算，直至满足条件输出答案 4.条件选择型 在流程图中设置了一个条件，判断输入的数值在哪个范围内，不同范围对应不同路径，得出相应的结果 5.其他运算型 通过其他形式来呈现，本质上还是给出一个运算顺序和规则 第二步 【例】(2025·西安雁塔区模拟)在如图所示的运算程序中，若开始输入x 的值为5，我们发现第一次输出的结果为8，第二次输出的结果为4，…，则第2 025次输出的结果为 . 第三步针对训练 1.(2022·潍坊二模)如图，当输入正整数x时，输出的结果是215，则输入的x的值可能是( ) A.6 B.7 C.8 D.9 2.(2023·周口淮阳区模拟)观察如图所示的程序，若输出的结果为2 023，则输入的x 的值为( ) A.1011或45 B.1022或-45 C.1012或45 D.1011或-45 3.(2025·安徽模拟)亮亮设计了一个计算机程序，当你输入一个数字x(x≠1)，计算机会根据预设公式 输出数字.例如，当亮亮输入数字2时，计算机会输出数字-1.现在亮亮输入数字5，并把第1次输入后输出的结果继续输入，按照这个方式，第100 次输出的结果为 ( ) A. D.5 C. B.0 4.(2025·运城模拟)按如图所示的程序计算，当输入的有理数m，n满足 3|=0时,y的值为 . 5.(2023·宿迁沭阳模拟)在如图所示的运算程序中，若开始输入的x 的值为100，第1 次输出的结果为50.第2次输出的结果为25，….则第2 023次输出的结果为 . 6.(2023·菏泽成武三模)对于实数 p，我们规定：用 表示不小于 的最小整数.例如： 现在对72进行如下操作： 72 =9( )=3( 即对 72 只需进行3次操作后变为2.类比上述操作：对36 只需进行 次操作后变为2. 7.(2025·石家庄赵县模拟)有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下： 输入x y₂= ，第 n 次的运算结果 .(用含字母 x 和 n 的代数式表示). 8.(2024·淄博临淄区一模)如图，按照程序计算，若输出 y 的值是 1，则输入 x 的值是 输入x x>0 是 否 输出y 考法 3 新定义————函数 第一步 剖析方法 函数类新定义是通过题目给出的新规则(如自定义函数、新运算、特殊对应关系等)，分析函数特征并解决问题.解这类题的关键是“精准理解新定义”，再结合已有函数知识(如解析式、图象、性质等)推导规律. 步骤 方法 1.精读定义 圈出关键词(如“对应关系”“取值范围”“运算规则”)，明确新函数的构成要素 2.试算特例 代入简单数值，计算对应结果，列出表格找初步规律 3.归纳特征 从特例中总结函数的解析式，图象趋势或周期性 4.验证规律 代入新数值验证归纳的结论是否成立，确保无遗漏 5.应用规律 用总结的规律解决问题(如求特定值、判断性质、计算最值) 第二步 【例】(2025·温州龙港二模)新定义：我们把抛物线 (其中a≠0)与抛物线 y= 称为“孪生抛物线”.例如：抛物线 的“孪生抛物线”为 已知抛物线 (a为常数，且a<0)的“孪生抛物线”为C₂.抛物线C₂的顶点为A，与x轴交于B，C两点，若△ABC为直角三角形，则抛物线C₁的解析式为 . 第三步针对训练 1. (2023·岳阳中考)若一个点的坐标满足(k，2k)，则我们将这样的点定义为“倍值点”.若关于x的二次函数 (s，t为常数，t≠-1)总有两个不同的“倍值点”，则 s的取值范围是 ( ) A. s<-1 B. s<0 C.0<s<1 D.-1<s<02.2.(2025·山东模拟)用“”定义一种新运算：对于任 意 有 理 数 a 和 b, ab = 抛物线 (64)与x轴交点的个数为 ( ) A.3 B.2 C.1 D.0 3.(2025·邯郸武安二模)定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象上的完美点.如：函数y=2x+1的图象上的点 -1)到两个坐标轴的距离相等，我们就称点 是函数y=2x+1的图象上的完美点.若二次函数 3m-2(m≥0)的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于 m 的完美点，则满足要求的m的值有 ( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 4.(2025·江西中考节选)问题背景：对于一个函数，如果存在自变量 时，其对应的函数值 那么我们称该函数为“不动点函数”，点(m，m)为该函数图象上的一个不动点.例如：在函数 中,当x=1时,y=1，则我们称函数 为“不动点函数”，点(1，1)为该函数图象上的一个不动点.某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究.对一次函数y=kx+b(k≠0)进行探究后，得出下列结论：①y=x+2是“不动点函数”，且其图象上只有一个不动点;②y=-3x+2是“不动点函数”,且其图象上的不动点是( (,0);③y=x是“不动点函数”，且其图象上有无数个不动点. 以上结论中，你认为正确的是 (填序号). 5.(2024·上海中考)对于一个二次函数 y= 中存在一点 P(x',y'), 使得x'-m=y'-k≠0,则称 为该抛物线的“开口大小”.那么抛物线 y = 的“开口大小”为 . 6.(2024·上海崇明区二模)新定义：我们把抛物线 (其中ab≠0)与抛物线 称为“关联抛物线”.例如：抛物线 +3的“关联抛物线”为 已知抛物线 的“关联抛物线”为 C₂，抛物线 C₂的顶点为 P，且抛物线C₂与x轴相交于M，N 两点，点 P关于x轴的对称点为Q，如果四边形 PMQN是正方形，那么抛物线 C₁ 的解析式为 . 7.(2023·乐山中考)定义:若x,y满足且x≠y(t为常数),则称点 M(x,y)为“和谐点”. (1)若P(3,m)是“和谐点”,则m= ; (2)若双曲线 存在“和谐点”，则k的取值范围是 . 8.(2025·乐山市中区模拟)定义：对于平面直角坐标系中的线段 PQ 和点 M，在△MPQ中,当边 PQ 上的高为2 时,称 M 为 PQ 的“等高点”,此时称 MP+MQ 为 PQ 的“等高距离”. (1)若点 P 的坐标为(1,2),点 Q 的坐标为(4,2),则在点 A (1,0),B( ,4),C(0,3)中,PQ 的“等高点”是点 ； (2)若P(0,0),PQ=2,当 PQ 的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时，点 Q 的坐标是 . 考法 4 新定义————几何 第一步 剖析方法 解决“新定义——几何”问题的一般步骤： (1)理解定义：仔细阅读题目，明确新定义和问题要求； (2)分析图形：观察几何图形的特征，标记出关键元素； (3)应用定义：根据新定义，对图形进行分析和判断； (4)寻找规律：如果题目涉及多个图形或不同情况，总结其中的规律； (5)验证规律：将总结出的规律应用到其他情况中，进行验证. 第二步 精学典例 【例】(一题多解)(2024·河南中考改编)定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,分别在边 BC,AC上取点M,N,使四边形 ABMN 是邻等对补四边形.当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，BN= . 第三步 针对训练 1.(2025·常州金坛区模拟)定义：如果一个四边形的两条对角线分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形是“全相似四边形”.如图,△ABC 和△ADC 关于直线AC 对称，下列条件能使四边形 ABCD 成为“全相似四边形”的是 ( ) A.∠BAD=90° B.∠ABC=90° C.∠BCD=60° D.∠CDA=60° 2.(2025·石家庄栾城区校级二模)定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”.如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的边OA=6,OC=8,点 M(4,0),在边AB 上存在点P,使得△CMP 为“智慧三角形”,则点 P的坐标为 ( ) A.(6,2)或(6,6) B.(6,2)或(6,3) C.(6,1)或(6,3)或(6,6) D.(6,1)或(6,2)或(6,6) 3.(2025·盘锦兴隆台区模拟)定义：连接平面内的一点 P 与△ABC 的边上的各点的所有线段中，最短的线段的长度为点 P 到△ABC的距离,记为 D(P,△ABC),当点 P 在△ABC 边上时,规定 D(P,△ABC)=0.若△ABC 是边长为2 的等边三角形，则满足D(P,△ABC)≤1的所有点 P 覆盖的图形的面积是 . 4.(2025·西安雁塔区二模)定义:在△ABC 中, ∠C=30°,我们把∠A 的对边与∠C 的对边的比称为∠A 的邻弦,记作 thiA.即 thi A= 如图,若∠A = 45°,则thi A 的值为 . 5.(2025·沧州盐山校级模拟)定义：若点 C 把线段AB 分成两部分，且满足较长线段的长度是较短线段的 倍，则称点 C 为线段AB的青铜分割点.已知点 C 是线段AB 的青铜分割点,且AB=4,则AC= . 6.(2024·北京中考节选)在平面直角坐标系中,⊙O 的半径为1.对于⊙O 的弦AB 和不在直线AB 上的点C，给出如下定义：若点C关于直线AB 的对称点C'在⊙O 上或其内部,且∠ACB=α,则称点 C 是弦AB 的“α可及点”. 如图,点A(0,1),B(1,0). (1)在点C₁(2,0),C₂(1,2),C₃( ,0)中，点 是弦AB 的“α可及点”,其中α= °; (2)若点 D 是弦AB 的“90°可及点”,则点 D的横坐标的最大值为 . 题型 2 函数图象分析 考法 1 函数图象的识别 第一步 剖析方法 判断函数图象的一般步骤： (1)根据题意确定函数自变量的取值范围，并找出关键转折点把函数分段； (2)分析各段函数的增减变化趋势，并确定函数解析式； (3)根据函数解析式的特点选出正确的答案. 注意：(1)特殊选择题型中，也可根据(1)(2)分析出的性质，或求出个别特殊点处的函数值，进而排除个别选项. (2)面积问题的函数图象判断方法：①若底和高一个是定值，一个是变量，则图象是一条直线；②若底和高两个都是变量，则函数图象一定是抛物线. 第二步 精学典例 [例](2025·齐齐哈尔中考)如图,在菱形ABCD 中, 动点 E从点A 出发沿边AB→BC匀速运动，运动到点 C 时停止，过点 E 作AD 的垂线l，在点 E 运动过程中，垂线l 扫过菱形(即阴影部分)的面积为y，点E 运动的路程为x(x>0).下列图象能反映y与x之间函数关系的是 ( ) 第三步针对训练 1.新考法·真实问题情境(2024·凉山州中考)匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满.在注水过程中，容器内水面高度 h 随时间t变化的大致图象是( ) 2.(2024·烟台中考)如图,在水平放置的矩形ABCD 中,AB = 6 cm,BC=8cm,菱形EFGH的顶点 E，G在同一水平线上，点 G 与AB 的中点重合， 现将菱形 EFGH 以 1 cm/s的速度沿 BC 方向匀速运动，当点 E 运动到CD 上时停止.在这个运动过程中,菱形 EFGH 与矩形ABCD 重叠部分(阴影部分)的面积S(cm²)与运动时间t(s)之间的函数关系图象大致是 ( ) 3.(2024·烟台一模)一般地，在数学中我们规定将实数x₁,x₂,…,xₙ 中的最大数记为 例如 max|-1,2,2.5|=2.5,那么函数 y= max|-x-1,x,3x-4|的图象大致为 ( ) 4.(2023·盘锦中考)如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 A在y 轴的正半轴上，顶点 B，C在x轴的正半轴上,D(2,),P(-1, —1),点 M 在菱形的边AD 和 DC 上运动(不与点 A,C重合),过点 M 作 MN∥y轴，与菱形的另一边交于点 N,连接 PM,PN，设点 M 的横坐标为x，△PMN 的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是 ( ) 考法2 函数图象的分析 第一步剖析方法 分析函数图象的一般步骤： 1.看图 重点分析横、纵坐标表示的量与取值范围，以及始末点、拐点、最值点等已知数值 2.看形 分析几何图形，根据题意判断动点的整体运动情况 3.结合 将函数图象和几何图形结合分析，一般根据函数图象中的已知数值可计算出几何图形中的线段长度等 4.求解 列出等式求解，常用勾股定理、面积相等和相似等方法求解 第二步精学典例 【例】(2024·兰州中考)如图1,在菱形ABCD 中,∠ABC=60°,连接BD,点 M 从点 B 出发沿 BD方向以 的速度运动至点D，同时点 N 从点B 出发沿BC方向以1cm/s的速度运动至点C，设运动时间为x(s),△BMN 的面积为y(cm²),y 与x的函数图象如图2所示,则菱形ABCD 的边长为 ( ) A. B. C.4 cm D.8cm 第三步针对训练 1.(2025·甘肃中考)如图1，在等腰直角三角形ABC 中,∠ACB=90°,D 为边 AB 的中点.动点 P 从点 A 出发,沿边 AC→CB 方向匀速运动，运动到点 B 时停止.设点 P 的运动路程为x,△APD 的面积为y,y 与x 的函数图象如图2所示，当点 P 运动到CB 的中点时，PD 的长为 ( ) A.2 B.2.5 C.2 D.4 2.(2023·武威中考)如图1,正方形 ABCD 的边长为4，E 为边CD 的中点.动点 P 从点 A出发，沿AB→BC 匀速运动，到达点 C 时停止.设点 P 的运动路程为x，线段 PE 的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点 M 的坐标为 ( ) A. B.(4,4)C. D.(4,5) 3.(2025·宿迁宿豫区三模)如图1,E 为矩形ABCD 的边AD 上一点,动点 P,Q 同时从点B 出发,点 P 沿折线BE—ED—DC 运动到点C时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度.设点 P,Q 同时出发 ts时,△BPQ 的面积为S.已知S 与t 的函数关系图象如图2(曲线OM为抛物线的一部分)，有下列结论： ①BE=AD=5;②cos∠AEB= ③当0≤t≤5时, ④当t=9时,S=5;⑤当 时,△ABE 与△QBP 相似.其中正确的结论有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(2024·聊城冠县一模)如图 1,点 P 从△ABC 的顶点A 出发,沿 A→B→C 匀速运动到点C，点 P 运动时线段AP 的长度y随时间x变化的关系图象如图2所示，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC 的面积为 . 5.(2022·营口中考)如图1,在四边形 ABCD中,BC∥AD,∠D=90°,∠A=45°,动点 P,Q 同时从点A 出发，点 P 以 的速度沿AB 向点B 运动(运动到点 B 即停止)，点Q 以2cm /s的速度沿折线 AD→DC 向终点C 运动,设点 Q 的运动时间为 xs,△APQ 的面积为y cm².若y与x之间的函数关系图象如图2所示，则当 时,y= cm². 作业： 题组训练1建议用时：30分钟 打卡日期： 1.新考法·新定义问题(2025·邯郸武安二模)定义一种运算：如3&4= 若x&(x-1)=-4,则所有满足条件的实数x的和为 ( ) A.-2 B.2 C.-6 D. 2.(2023·巴中中考)我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了(a+b)”展开式的系数规律. 1 (a+b)°=1 1 1 (a+b)¹=a+b 1 2 1 (a+b)²=a²+2ab+b² 1 3 3 1 (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ 当代数式 的值为1时，x的值为 ( ) A.2 B.-4 C.2或4 D.2或-4 3.(2025·银川灵武一模)如图1，在四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AC=AD,动点 E 从点B 出发,沿折线 B-A-D-C 方向以a cm/s的速度匀速运动，在整个运动过程中,△BCE 的面积 S(cm²)与运动时间t(s)的函数图象如图 2 所示，则四边形ABCD 的周长是 ( ) A.32 cm B.34 cm C.36 cm D.38 cm 4. (2025·天水秦州区校级模拟)如图，在△ABC中,已知∠A=30°,AB=10,AC=12. D 是边AB 上的一个动点(不与端点 A,B 重合),过点 D 作DE∥AC 交BC 于点E,点 F 在边AC 上,连接DF,EF.若AD=x,△DEF 的面积为y，则下面四个选项中最能反映y与x之间的函数关系图象的是( ) 5. (2025·宿迁泗阳一模)如图1,在正方形AB- CD中,AB=m,以点 B 为圆心,AB 长为半径作弧AC，F 为弧 AC 上一动点，作矩形DEFG,点 E,G 在正方形 ABCD 的边上,设EF=x,矩形 DEFG的面积为y,y关于x的函数图象如图2所示，点 P 的坐标为(2，8)，则m= . 6.(2025·河南中考)定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”.如图，在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,P 为边 BC上一点，若△APC 为“反直角三角形”，则BP的长为 . 题组训练2 建议用时：30分钟 打卡日期： 19 学科网（北京）股份有限公司 1.新考法新定义问题(2025·郑州中原区校级三模)对于实数a,b,定义 min{a,b}的含义为当a<b 时, min{a,b}=a;当a>b 时,min{a,b}=b.例如: min{1,-2}=-2.已知 且x和y 为两个连续正整数，则4x+y的算术平方根为 ( ) A.16 B.8 C.4 D.2 2.(2023·德阳中考)在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动，对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作： 第1次操作后得到整式串m，n，n-m； 第2次操作后得到整式串m，n，n-m，-m；…… 操作规则：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏. 该“回头差”游戏第 2 023 次操作后得到的整式串各项之和是 ( ) A. m+n B. m C. n-m D.2n 3.(2025·潮州四模)如图,在△ABC 中, AC = BC,∠ACB = 90°, S△ABC =4 cm².正方形 CDEF 的顶点 D,F 分别在边 AC,BC上,设CD=CF=x cm,△ABC 与正方形CDEF 重叠部分的面积为y cm²，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是( ) 4.(2025·烟台模拟)如图1,在平行四边形 ABCD中,∠C=60°,已知动点 P 以 1 cm/s的速度从点 A 向点 B 运动，动点 Q 的速度是点P 的 倍，从点 B 向点C 运动，若点 P，Q同时出发，当点 P 到达点 B 时，点 Q 恰好到达点C 处，此时两点都停止运动.图2是△BPQ的面积y(cm²)与点 P 的运动时间t(s)之间的函数关系图象(M为图象的最高点)，则平行四边形 ABCD 的面积为 cm². 5.新考法新定义问题(2025·成都青羊区模拟)如图，P，Q为△ABC 三条边上的任意两点，若线段 PQ 同时平分该三角形的周长和面积，则称 PQ 为该三角形的“完全等分线段”.在 Rt△ABC 中,∠C =90°,AC =3,BC=4,则 Rt△ABC 的“完全等分线段”PQ的长为 . 20 学科网（北京）股份有限公司 答案 题型2 新定义 考法 1 新定义————数与式 【例】15【解析】∵k⊗A=, ∴当k=1时, 当k=2时,2⊗A=A⊕A=2A+A=3A=(2²-1)A; 当k=3时,3⊗A=A⊕A⊕A=3A⊕A=2×3A+A= 当k=4时,4⊗A=A⊕A⊕A⊕A=3A⊕A⊕A=7A⊕A=15A=(2'-1)A: , ∴当k=m时,m⊗A=(2°-1)A,当k=n时,n⊗A=(2"-1)A, , 1)] xy. ∵M⊕N 不含 xy项, 设2"=a,2"=b, 则31a-7b=24, ∵a，b均为2的整数幂，为偶数， ∴2"=8,2"=32, ∴m=3,n=5,∴mn=15. 1. B【解析】由题意可得， 2.C【解析】2)是完美方根数对，故①正确. ∴(9,91)不是完美方根数对，故②错误.∵(a，380)是完美方根数对， 解得a=20或a=-19(舍去),故③正确.若(x，y)是完美方根数对，则 整理，得 ∴点 P(x,y)在抛物线 上，故④正确.综上所述，正确的结论有①③④，共3个. 3. C【解析】∵ 和一1 是“智慧数”，故①正确； 根据“智慧数”的定义,得3-☆=3☆, 解得☆ 故②正确； 根据“智慧数”的定义,得x-y= xy, ∴(x+1)y=x,当x≠-1时, 故③错误： 根据“智慧数”的定义，得x-y=xy、 解得 令x+1=m, 则 ∴y-1是关于m的反比例函数，且-1<0、 ∴当x>0,即m>1时,y-1随m的增大而增大,即当 x>0时，y随x的增大而增大，故④正确. 综上所述，正确的结论有①②④，共3个. 4. B 【解析】①当2x≥x-1,即x≥-1时、 则 解得x=0或x=-1; 当2x<x-1,即x<-1时, 则 解得x=1(不符合题意)或x=-1(不符合题意). 综上所述，方程 的解为x=0或x=-1.故①的结论正确. ②由①可得,当2x≥x-1,即x≥-1时, 则要使方程有两个解， 则 当2x<x-1,即x<-1时, 则1-m>0,即m<1,∴x=- -m或 (不符合题意)， ∴1-m>1,∴m<0. 综上，关于 x 的方程2x·(x-1)=m有三个解，则 故②的结论不正确. 当x<-1时, ∵-1<0, ∴抛物线的开口方向向下，x<0，y随x的增大而增大. 故当x<-1时，y随x的增大而增大. 故③的结论正确. 当x>-1时，函数 ∵2>0, ∴抛物线的开口方向向上，当 时,函数y=2x* (x-1)有最小值，最小值为 没有最大值. 故④的结论不正确. 综上，正确的结论有①③. 5.56 【解析】设4"=8,4*=7. ∵(4,8)+(4,7)=(4,x), ∴m+n=(4,x), ∴8×7=x, ∴x=56. 6.(1) 211 (2) 2"⁺¹-m-2 【解析](1)11=2²+2²+2¹+2². 故11=(211)。. (2)“闲愁数”只有一种初二进制分解，如 诸如此类每一次都都有且只能出现一次. 1=2-1,3=2²-1,7=2³-1,……,故第 m个“闲愁数”为2"-1.前m个“闲愁数”的和为 ②-①,得 7.—Ⅰ或 Ⅰ 【解析】第一种情况:∵f(1)=1, ∴f(16)=f(4·4)=f(4)-f(4)=0, ∴f(64)=f(4·16)=f(4)-f(16)=1, ∴f(1024)=f(16·64)=f(16)-f(64)=0-1=-1;第二种情况:∵f(4)=1, ∴f(16)=f(4·4)=f(4)-f(4)=0, ∴f(256)=f(16·16)=f(16)-f(16)=0, ∴f(1024)=f(4·256)=f(4)-f(256)=1-0=1. 故 f(1024)的结果为-1或1. 8.257 048 【解析】设两个连续的正奇数分别是2n+1,2n-1(n≥1). =8n.由题意,得8n≤2024,即 n≤253. 因为n是正整数， 当n=253时,2n+1=2×253+1=507, 2n-1=2×253-1=505, 所以不超过2024的所有“登高数”的和是 257048. 考法2 新定义————程序图表 【例】2 【解析】输入x=5(奇数),第一次输出:5+3=8; 第二次输入x=8(偶数)，输出： 第三次输入x=4(偶数)，输出： 第四次输入x=2(偶数)，输出： 第五次输入x=1(奇数)，输出：1+3=4; 第六次输入x=4(偶数)，输出： 第七次输入x=2(偶数)，输出： 第八次输入x=1(奇数)，输出：1+3=4; ……, 从第二次输出开始，输出结果依次为4，2，1，4，2，1，…，周期为3. 2025-1=2024(次). 2024÷3=674……2,其中余数为2. 这意味着在4，2，1循环节中，第2025次输出对应的是循环节里的第2个数， 所以第2025次输出的结果为2. 1. B【解析】若输入的数经过一次运算就能输出结果， 则3x+2=215、解得x=71; 若输入的数经过两次运算才能输出结果、 则3x+2=71,解得x=23; 若输入的数经过三次运算才能输出结果， 则3x+2=23,解得x=7; 若输入的数经过四次运算才能输出结果， 则3x+2=7,解得 此时x不是正整数. 综上所述，输入的x的值可能是7、23、71. 2. D 【解析】当x>0时,2x+1=2023、解得x=1011;当x≤0时、 解得x=-45或x=45(舍去).综上所述,x的值为1011或-45. 3. A [解析]输入数字5、 第1次输出的结果为 第2次输出的结果为 第3次输出的结果为 第4次输出的结果为 第5次输出的结果为 第6次输出的结果为 ∵100÷3=33……1,∴第100次输出的结果为 4.-4 【解析】: ∴m-2=0,n+3=0. 解得m=2,n=-3. 则m+n=2-3=-1<0. 那么y=2+2×(-3)=2-6=-4. 5.2【解析】由运算程序可知，依次输出的结果是50，25，32,16,8,4,2,1,8,4,2,1,…,我们发现从8开始循环,每4次一循环,则2023-4=2019,2019÷4=504……3,故第2023次输出的结果为2. 6.3【解析】将36 按照题目给出的定义进行运算求解.2.∴对36 只需进行3次操作后变为2. 【解析】 【解析】∵输出 y 的值是 或 当 时,解得x=-1或x=-2. ∵-1<0,-2<0,∴不符合程序判断条件. 当 时，解得 经检验，是原方程的解). 符合程序判断条件，∴输入x 的值是 考法3 新定义————函数 【例】 【解析】∵抛物线C₁:y= 为常数，且a<0)的“孪生抛物线”为C₁， 依据“孪生抛物线”的定义，得抛物线 C₂ 的解析式为 y= ∴A(-1,4). 设B(x₁,0),C(x₂,0). 当y=0时, 由抛物线的对称性，得AB=AC， ∴△ABC 为等腰直角三角形， 解得 或a=0(不合题意,舍去), ∴抛物线 1. D 【解析】将(k,2k)代入 得 整理，得( 是关于k 的一元二次方程，且总有两个不同的实数根， 令 即16s(s+1)<0,解得-1<s<0. 2. B【解析】由题意可知， 令y=0,则 ∴抛物线 )与x轴有两个交点. 3. B【解析】由条件可知，完美点的坐标为(-m，m)，(-m,-m),(m,m),(m,-m). 当完美点为(m,m)时,m=3m-2,解得m=1,符合题意;当完美点为(m,-m)时,-m=3m-2,解得 符合题意；当完美点为(-m,m)时, 整理，得 解得 或m=-1(舍去); 当完美点为(-m,-m)时, 2，整理、得 解得 或 (舍去). 故符合题意的m 的值有3个，分别为 4.③ 【解析】(1)①对于y=x+2, 因为m≠m+2. 所以y=x+2不是“不动点函数”，原说法错误； ②对于y=-3x+2,代入点(m,m)、 得m=-3m+2.解得 所以y=-3x+2是“不动点函数”，且其图象上的不动点是 原说法错误； ③y=x是“不动点函数”，且其图象上有无数个不动点，说法正确. 5.4 【解析】∵抛物线 0，解得 抛物线 的“开口大小”为 【解析】∵抛物线 ax+9a-4(a>0)的“关联抛物线”为C₂, ∴C₂的解析式为 ∴对称轴为 ∴顶点 P 的坐标为(-3,-4). ∵点 P 关于x轴的对称点为Q， ∴点Q 的坐标为(-3,4). ∵四边形 PMQN 是正方形，抛物线 C₂ 与x 轴相交于M,N 两点, ∴MN=PQ=8,PQ与MN互相平分,PQ 的中点坐标为(-3,0). 设点 N 在点M 的右边,∴点 N 的横坐标为-3+4=1.∴点N 的坐标为(1,0). ∴a+6a+9a-4=0,解得 ∴抛物线C₁的解析式为 7.(1)-7 (2)3<k<4 【解析】(1)∵P(3,m)是“和谐点 ①-②,得 ,解得m=-7或m=3. ∵x≠y,∴m=-7. (2)∵双曲线 存在“和谐点”， ①-②,得( 整理、得 ∵当x=-2时,k=4,此时 则x=y. ∴x≠-2. ∵-3<x<-1,且x≠-2,∴3<k<4. 8.(1) A 和B 或 【解析】(1)∵P(1,2),Q(4,2), ∴在点A(1.0),B( ,4).(C(0.3)中,点 A(1,0). 到 PQ 的距离均为2. ∴PQ 的“等高点”是点 A 和B. (2)如图,过PQ 的“等高点” M作MN⊥PQ 于点 N. 由题意,得 PQ=2,MN=2. 设PN=m,则NQ=2-m. 在 Rt△MNP 和 Rt△MNQ 中,由勾股定理，得 ∴当 最小时,MP+MQ也最小,此时m=1,即PN=NQ, ∴△MPQ 为等腰三角形, 设点 Q 的坐标为(x,y),过点 Q 作QE⊥y轴于点E,则在Rt△PQE 和 Rt△MEQ中,由勾股定理,得 解得 当点 Q 在第一象限时， 当点 Q 在第二象限时 或 考法4 新定义————几何 【例】 或 【解析】∵∠B=90°,AB=3,BC=4, ∵四边形ABMN 是邻等对补四边形， ∴∠ANM+∠ABC=180°. ∴∠ANM=90°. 一题多解 方法① 当AB=BM=3时,CM=BC-BM=1，如图1所示. 在 △CNM 和 △CBA 中, ∠CNM =∠CBA=90°,∠C=∠C. 过点 N 作NH⊥BC,交 BC 于点 H.在△HCN 中,sin C= 当AN=NM时. 设△CMN 的三边长从小到大依次为3a,4a,5a,则AC=7a=5,解得 同理可求得 方法② 当AB=BM=3时. 如图2,连接AM,过点 B 作BP⊥AN,交AN 于点 P. ∵∠ANM+∠ABM = 180°,∴A, B. M、N 四点共圆,则∠ANB = ∵在△ABN中, ∴设AP=3t,则 BP=4t,AB=5t= 如图3,当AN=NM 时,连接AM,过点 N 作NQ⊥AB. 同理,设AQ=3m,则QN=QB=4m,AB=7m=3,解得 综上所述，BN 的长度为 或 1. B 【解析】如图,设AC与BD交于点O. 在△ABC 和△ADC 中, ∴△ABC≌△ADC(SSS), ∴∠ABC=∠ADC. 当∠ABC=90°时,∠ADC=90°,∠ACB+∠BAO=90°. ∵AB=AD,BC=DC, ∴AC⊥BD. ∴∠ABO+∠BAO=90°. ∴∠ABO=∠ACB. ∵∠AOB=∠BOC=90°. ∴△AOB∽△BOC.同法可证△AOD∽△DOC. 故选项B符合题意. 当∠BAD=90°或∠BCD=90°或. 时不符合题意. 2.1) 【解析】如图1,EH 是△EFG 的中线, ∴∠HEF=∠F,∠HEG=∠G, ∴∠FEG =∠HEF +∠HEG =∠F +∠G= ∴“智慧三角形”是直角三角形. 如图2,△CMP 为“智慧三角形”,且∠PMC=90°. ∵四边形OABC 是矩形,OA=6,OC=8,点 M(4,0), ∴∠PAM=∠MOC=90°,OM=4,AM=2, ∴△AMP∽△OCM, ∴P(6,1). 如图3、图4,△CMP 为“智慧三角形”,且∠MPC=90°. ∵∠PAM=∠B=90°, ∴∠APM=∠BCP=90°-∠BPC, ∴△APM∽△BCP, ∵BC=OA=6,AB=OC=8, ∴BP=8-AP, 解得AP=2或AP=6, ∴P(6,2)或 P(6,6). ∵点 M 在边OA 上,点 P 在边AB 上, ∴∠PCM<∠BCO, ∴△CMP 不是以∠PCM 为直角的“智慧三角形”.综上所述,点 P 的坐标为(6、1)或(6、2)或(6、6). 3. 【解析】当 D(P,△ABC)≤1时，图形如图所示. 4. 【解析】过点 B 作BH⊥AC 于点 H、如图所示.设BH=x. ∵∠A=45°, ∴△ABH 是等腰直角三角形、 ∵∠C=30°. ∴BC=2BH=2x, 或 【解析】由已知条件不能确定点C在线段AB 上的位置，故要分情况讨论：AC<BC 或AC>BC. ①当AC<BC 时. 根据题意设AC=a，则. ∵AC+BC=AB=4. 解得 即. ②当AC>BC时. 同理可得.. 综上， 或 6.(1)C₂ 45 【解析】(1)反过来思考，由相对运动理解，作出⊙O关于AB 的对称圆⊙O'，如图1所示. ∵若点 C 关于直线AB 的对称点C'在⊙O上或其内部,且∠ACB=a,则称点C 是弦AB的“α可及点”， ∴点C 应在⊙O'上或其内部. ∵点A(0,1),B(1,0), ∴OA=OB=1. ∵∠AOB=90°, ∴∠ABO=∠OAB=45°. 由对称的性质，得 ∴△O'BA 为等腰直角三角形， ∴O'(1,1),∠AO'B=90°. 故点 C₁ 在⊙O'外,不符合题意； C:O'=2-1=1,故点C：在⊙O'上，符合题意； 故点 C,在⊙O'外,不符合题意， ∴点C₂是弦AB 的“α可及点”, (2)取AB 的中点 H,连接 DH,如图2所示. ∵∠ADB=90°, ∴HD=HA=HB. ∴点 D 在以点 H 为圆心，HA 为半径的AB 上方的半圆上运动(不包括端点A，B). 当 DH∥x轴时，点 D 的横坐标最大. ∵OA=OB=1,∠AOB=90°, ∵点A(0,1),B(1,0). ∴点 D 的横坐标的最大值为 题型3 函数图象分析 考法 1 函数图象的识别 【例】A【解析】当点E 在AB 上时,如图1所示. ∵∠A=60°,l⊥AD, ∴∠AEF=30°, EF = ∴此时图象为开口向上的抛物线的一部分，排除C，D选项.当点E 在BC 上且l与AD 相交时,过点 B 作BH⊥AD 于点 H，如图2所示. ∵∠A=60°,BH⊥AD, ∴∠ABH=30°, ∴此时图象为直线的一部分. 当点 E 在BC上且l与CD 相交时，如图3所示. ∵∠C=∠A=60°,l⊥BC,CE=AB+BC-x=8-x, ∴此时图象为开口向下的抛物线的一部分，排除B选项. 1. C【解析】由题图可知，注水过程中，水面的高度变化是先快后慢再快，且第三段的上升速度比第一段慢，故 选项C正确. 2. D [解析]如图1,连接EG,HF 交于点O. ∵ 四 边 形 EFGH 是 菱 形,∠HEF=60°. ∴ HG = GF, ∠HGF =∠HEF=60°、 ∴△HFG 是等边三角形, ∴∠OEF=30°. 设 HG,FG 分别与 AB 交于点N,M. 当0≤t≤3 时，重合部分为△MNG,如图2所示. 依题意，知△MNG 为等边三角形、运动时间为t，则 设 EH,EG,EF 分别与 AB 交于点K,M,J. 当3<t≤6时，如图3所示.依题意，得EM=EG-t=(6-t) cm,则 EK= ∵EG=6cm<BC, ∴当6<t≤8时, 如图4,当8<t≤11时,同理可得, 如图5,当11<t≤14 时,同理可得, 综上所述，当0≤t≤3时，函数图象为开口向上的一段抛物线；当3<t≤6时，函数图象为开口向下的一段抛物线；当6<t≤8时，函数图象为一条线段；当8<t≤11时，函 数图象为开口向下的一段抛物线；当11<t≤14时，函数图象为开口向上的一段抛物线. 3. A【解析】如图，画出一次函数y=-x-1,y=x,y=3x-4的图象. 一次函数y=-x-1与y=x 图象的交点 横 坐标为x=-0.5,一次函数y=x与y=3x-4图象的交点横坐标为x=2.由图象可知， 当x<-0.5时,y= max|-x-1,x,3x-4|=-x-1;当-0.5<x<2时,y= max|-x-1,x,3x-4|=x;当x>2时,y= max|-x-1,x,3x-4|=3x-4. 综上所述,函数y= max|-x-1,x,3x-4|的图象大致为A 选项. 4. A 【解析】在菱形 ABCD 中,AB=AD=2,OA= ，所以 ,即OB=1,OC=1+2=3. ①当点 M 的横坐标在0~1 之间时.在△PMN 中,点 P的坐标为(-1,-1),MN 平行于y轴,点 M 的横坐标为x，所以底边 MN上的高为1+x.设直线AB 的函数解析式为y= kx+b.将A(0, ),B(1,0)代入解析式,得到 所以解析式为 又因为MN平行于 y轴，所以点 N 的横坐标为x，代入 y= ，得点 N 的坐标为( 所以 所以 所以当点 M 的横坐标在0~1之间时，图象为开口向上的抛物线. ②当点 M 的横坐标在1~2 之间时.在△PMN 中,底为 高为1+x，所以 所以当点M 的横坐标在1~2之间时，图象为直线. ③当点M 的横坐标在2~3之间时.在△PMN 中,高为1+x.设直线 CD 的函数解析式为.y=k'x+b'.将C(3,0),D(2 )代入解析式，得到. 将点 M 的横坐标x代入解析式，得到纵坐标为 所以 所以当点 M 的横坐标在2~3之间时，图象为开口向下的抛物线. 考法 2 函数图象的分析 【例】C【解析】根据题意可知， ∵四边形ABCD 为菱形,∠ABC=60°, ∴∠DBC=30°. 过点 M 作MH⊥BC 于点 H,连接AC 交 BD 于点O,如图所示， 则 设菱形的边长为a cm. ∴当点 M 和点 N 同时到达点 D 和点C 时,△BMN 的面积最大. 解得x=4(负值舍去). ∴BC=4 cm. 1. A【解析】根据题意，知动点 P 从点 A出发，沿边 AC→CB 方向匀速运动的过程中，△APD 的面积先增大，后减小.当点 P 运动到点 C 时，如图 1 所示.△APD 的面积最大. 根据函数图象可得，此时△APD 的面积为4. ∵D 为边AB 的中点，△ABC 为等腰直角三角形， ∴AC=4. 当点 P 运动到CB 的中点时，如图2所示. ∵D 为边AB 的中点, 2. C【解析】如图，连接BE.由题意可知，当点 P 在边AB 上运动时，y的值先减小后增大.当点 P 在边 BC 上运动时，y的值逐渐减小. ∴点 M 的横坐标为AB 的长度，纵坐标为 BE 的长度. 3. D 【解析】由题图,得 BE=BC=5,DE=7-5=2, 在矩形ABCD中,AD=BC=5,∠ABC=∠C=90°,AD∥BC, ∴BE=AD=5,∠AEB=∠EBC, ∴AE=AD-DE=3. ∴当0≤t≤5时, 当t=9 时,点 P 在 CD 上, 9)=5; 当 时,点 P 在CD 上,点 Q 与点C 重合,CP=4- 又∵∠A=∠C. ∴△ABE 与△QBP 相似. 故正确的有①②④⑤. 4.48 【解析】根据题图2中的曲线可知，当点 P 从△ABC的顶点A 处运动到点B 处时，AP 的长度有最大值10，所以题图1中的AB=AC=10.当点 P 运动到 BC 的中点时，此时CP⊥AP.根据题图2中M 为曲线部分的最低点,得 AP =8,所以根据勾股定理,得此时 BP = 所以 BC=2BP=12,所以△ABC 的面积为 【解析】如图1,过点 D 作DE⊥AB,垂足为 E. 在 Rt△ADE 中, ∵∠AED=90°,∠EAD=45°. ∵点 P 的速度为 点 Q 的速度为2cm/s, 在△APQ 和△AED中, ∴△AED∽△APQ, ∴当点Q在AD上运动时，△APQ 为等腰直角三角形， 由题图2可知，当y=9时，△APQ的面积最大，此时x=3或x=-3(舍去), ∴AD=2x=2×3=6(cm). 当3<x≤4时,如图 2,过点 P 作PF⊥AD 于点F, 此时 S△AAO. 在 Rt △APF 中, ∠PAF=45°, ∴AF=PF=x cm,∴FD=(6-x) cm,QD=(2x-6) cm, (2x-6),即 ∴当 时 专题综合练 题组训练1 1. B 【解析】由条件可知, 2. C【解析】根据题意，得 解得x=2或x=4. 3. C 【解析】由题图,得AB=3a cm,AD=AC=8a-3a=5a(cm). 如图,过点A 作AH⊥CD 于点H,则∠AHD=90°. ∵AB∥CD,∠B=90°, ∴四边形ABCH 为矩形, ∴AH=BC,AH∥BC,AB=CH. ∵AC=AD, ∴CD=2AB=2×3a=6a(cm). 在 Rt △ADH 中, 由 勾 股 定 理, 得 AH = 当点 E 在点 D 处时, 解得a=2(负值舍去)， 则四边形ABCD 的周长是AB+AD+CD+BC=3a+5a+6a+4a=18a=2×18=36(cm). 4. D 【解析】如图,过点 D 作DG⊥AC 于点G. ∵∠A=30°, ∴在 Rt△ADG中, ∵AB=10, ∴BD=10-x. ∵DE∥AC, ∴△BDE∽△BAC, 即 其中0<x<10. 5.10 【解析】如图,延长 EF 交 BC 于点H,连接BF. ∵四边形 DEFG 为矩形，四边形ABCD 为正方形, ∴EH⊥BC,∠A=∠ABC=∠BCD= ∠D=90°, ∴四边形ABHE,四边形EHCD 均为矩形, ∴EH=AB=m,FG=HC. ∵EF=x, ∴FH=m-x. ∵以点 B 为圆心,AB 长为半径作弧AC,F 为弧AC 上一动点， ∴BF=AB=m. ∴HC=FG=BC-BH=m- mx-x². ∵点 P 的坐标为(2,8), ∴m=10或m=2. 由题图2，知m=2不合题意，舍去， ∴m=10. s 或 【解析】∵AB=AC=5, ∴∠B=∠C. ∵∠APC=∠B+∠BAP. ∴∠APC>∠B, ∴∠APC>∠C. ①如图1,当∠APC-∠C=90°时,过点A 作AD⊥BC 于点 D. ∵AB=AC=5,BC=8, ∵∠B=∠C, ∴∠APC-∠B=∠BAP=90°. ∵∠B=∠B,∠ADB=∠PAB=90°, ∴△ADB∽△PAB, ②如图2,当∠APC-∠CAP=90°时,过点P 作 PM⊥BC 交AC 于点M,过点 A 作AD⊥BC于点 D, ∴ ∠APC - ∠APM =∠CPM=90°, ∴∠CAP=∠APM, ∴AM=PM. ∵PM⊥BC,AD⊥BC, ∴PM∥AD, ∴△CMP∽△CAD, 设CP=x,则BP=8-x, ③当∠CAP=∠C+90°时. 且 ∴∠C>30°. ∴∠BAC<120°. 若∠CAP=∠C+90°,则∠CAP>120°, 即∠CAP>∠BAC. 此种情况不存在. ④当∠CAP=∠APC+90°时. 当点 P 与点 B 重合时,∠APC 最小,此时∠APC= 同理可证，此种情况不存在. 综上可知，BP 的长为 或 题组训练2 1. C[解析]由题意,得 ∴x=3,y=4, ∴4x+y=4×3+4=16. ∴4x+y 的算术平方根为4. 2. D 【解析】第1次操作后得到整式串m,n,n-m; 第2次操作后得到整式串m,n,n-m,-m; 第3次操作后得到整式串m,n,n-m,-m,-n; 第4次操作后得到整式串m,n,n-m,-m,-n,-n+m; 第5次操作后得到整式串m,n,n-m,-m,-n,-n+m,m; 第6次操作后得到整式串m,n,n-m,-m,-n,-n+m,m,n; 第7次操作后得到整式串m,n,n-m,-m,-n,-n+m,m,n,n-m; …… 归纳可得,每6个整式的和为m+n+(n-m)+(-m)+(-n)+(-n+m)=0. ∵第2 023 次操作后得到的整式串有 2 025 个整式，2025÷6=337……3,∴第2 023次操作后得到的整式串各项之和是m+n+(n-m)=2n. 3. A 【解析】在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,S△ABC=4cm², 当 时， 此时图象为开口向上的抛物线. 当 时,设 ED 交AB 于点M,EF 交AB 于点 N,如图所示. ∵CD= xcm, 在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°. ∴∠A=45°. ∵四边形CDEF 是正方形， ∴∠MDA=∠MDC=90°. ∴△AMD 为等腰直角三角形， ∴当 时，图象为开口向下的抛物线. 观察各选项，只有A符合题意. 4.96 【解析】由题意,得 .设AB=a cm(a>0),则 则 由题图2，得 y的最大值为12， 解得a=8(负值舍去). ∴AB=8cm,BC=8 cm, ∴平行四边形ABCD 的面积为 5.2 【解析】 AC=6,C△ABC=3+4+5=12. ①如图 1,设 CP =x,CQ=y,则 可得方程组 解得 (不成立)或 (不成立). ②如图2,过点 P 作PH⊥BC 于点 H.设 BQ=x,BP=y,则x+y=6. 即 xy=10,可得方程组 无解. ③如图3,过点 P 作PH⊥AC 于点 H.设AQ=x,AP=y,则x+y=6. 即 可得方程组 解释 不成立). 综上所述. PQ 的长为2 ∵∠BMN+∠BNM=90°, ∴∠EMN'=∠BNM. 21 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $