专题10 全等三角形模型之倍长中线与截长补短模型的二类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

专题10 全等三角形模型之倍长中线与截长补短模型的二类综合题型 目录 典例详解 类型一、全等三角形模型之倍长中线模型 类型二、全等三角形模型之截长补短模型 压轴专练 类型一、全等三角形模型之倍长中线模型 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 【常见模型及证法】 1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线. 证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则；若连结EC，则； 2、中点型:如图2，为的中点. 证明思路：若延长至点，使得，连结，则; 若延长至点，使得，连结，则. 3、中点+平行线型：如图3, ，点为线段的中点. 证明思路：延长交于点 (或交延长线于点)，则. 例1．（25-26八年级上·山东济宁·期中）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：________； (2)如图，，点为的中点，连接．求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）由可得，再根据三角形三边关系解答即可求解； （）延长至，使，连接，则，同理可证，即得，，再证明，得到，即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，延长至，使，连接，则， 同理可证， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1-1】（25-26八年级上·陕西商洛·期末）（1）问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题：如图，是的中线，若，，求长和长的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了长的取值范围为______； （2）方法探究：但是他们怎么也算不出长的取值范围，经小组讨论后发现：延长至点．使，连接，如图．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出长的取值范围，请写出解答过程； （3）方法应用：如图，在中，点在上，且，过点作，交于点，且．求证：平分． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，角平分线的判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定． （1）根据三角形的三边关系即可解答； （2）延长至点，使，连接，可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围； （3）延长，取，连接，可证出，则，，证明，得出，根据平行线的性质得出，证明，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， 即； 故答案为：； （2）解：如图，延长至点，使，连接， 是的中线， ， ，，， ， ， 在中，， ，即， ， ； （3）证明：如图所示，延长，取，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 【变式1-2】（25-26八年级上·江西赣州·期末）【发现问题】数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图①，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】 （1）第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到， 使得； ②连接， 通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为， 从而得到的取值范围是 ； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2） 如图②， ， 与互补， 连接， ， 是的中点，求证： （3） 如图③， 在（2） 的条件下， 若， 延长交于点， ，求的面积． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键； （1）根据提示证即可求解； （2）延长到，使得，连接，通过论证两组三角形的全等即可得出结论； （3）由前一问可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴（） ∴， ∵ ∴ 即： ∵ ∴ 故答案为：； （2）证明：延长到，使得，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴（）， ，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（）， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得：， ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴． 类型二、全等三角形模型之截长补短模型 【模型解读】 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。 【常见模型及证法】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例2．（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）（1）如图1，在四边形中，分别是上的点，且，试猜想图中与的数量关系．小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____________； （2）如图2，在四边形中，分别是上的点，且，试探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的综合应用． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出，即； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）；理由如下： 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 故答案为：； （2）；理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ； 即； （3）；理由如下： 如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， ． 【变式2-1】（24-25八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不成立，，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握利用半角模型去截长补短是解题的关键． （1）延长至点，使，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明； （2）在上截取，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明． 【详解】（1）证明：如图，延长至点，使， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，在上截取， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：． 【变式2-2】（25-26八年级上·陕西延安·期末）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见详解； (2)，理由见详解 【分析】（1）延长到点，使，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到． （2）在的延长线上取一点，使得，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到，根据圆周角为，得到． 【详解】（1）解：线段之间的数量关系为：，理由： 如图，延长到点，使，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由： 如图，在的延长线上取一点，使得，连接， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 即， ． 1．在中，，是边上的中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，熟练掌握是解题的关键． 延长到E，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． 【详解】解： 延长到E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，在中，， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，在长方形中，E为的中点，F为上一点，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形的面积公式，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长交延长线于点，通过证明得到，，由，可设，则，得到，利用三角形的面积公式得到，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长交延长线于点， 长方形， ， E为的中点， ， 又， ， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 3．已知，中，，，为的中点，则中线的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了添加辅助线，全等三等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系，延长到，使，连接，可证明，根据全等三角形的性质可得，在中利用三角形三边关系可求得的范围，可求得的取值范围． 【详解】解：如图，延长到，使，连接，   为的中点， ， 在和中， ， （）， ， 在中，由三角形三边关系可得， 即， ， ， ， 故答案为：． 4．如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，延长到使，连接，通过，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，由等腰三角形的性质得到，推出即可得解决问题． 【详解】解：如图，延长到使，连接， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ，即， ， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，为的中线． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，解题的关键是通过倍长中线法构造全等三角形，将线段进行转化，把分散的线段集中到同一个三角形中利用三边关系解决问题． （1）倍长中线至使，连接，利用证明，得到，再在中运用三角形三边关系推导出； （2）由（1）的全等结论得，结合三角形三边关系，代入及边长数值，计算得出的取值范围． 【详解】（1）证明：延长到点，使，连接． 为的中线， 在和中， ） 在中，根据三角形的三边关系，得，即 （2）解：由（1）知： 所以，即． 6．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）综合与实践 【问题情境】 补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长，相交于点，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】 （1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由； 【自主探究】 （2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，，试说明． 【答案】（1），见解析；（2）见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）延长、相交于点F，证明和全等得，再根据平分得，则，由此可得出，，之间的等量关系； （2）延长至点H，使，连接，证明和全等得，，再根据，得，进而得，由此即可得出结论； 【详解】解：（1），，之间的等量关系是：，理由如下： 如图，延长，相交于点， ， ，． 是的中点， ． 在和中，， ， ． 平分， ． ， ， ， ； （2）证明：如图，延长至点，使，连接， 是的中点， ， 在和中，， ， ，． ， ， ． （对顶角相等）， ． ， ． 7．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造手拉手旋转型全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积． 解：延长线段到，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形的面积． (1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 ． (2)请你用上面学到的方法完成下题． 如图2，已知，，求五边形的面积． 【答案】(1)； (2)五边形的面积是． 【分析】（1）根据三角形的面积公式求得的面积，即可求解； （2）连接、，延长到，截取，证明，，根据三角形的面积公式求得的面积，即可得出的面积，进而求得四边形的面积． 【详解】（1）解：由题意可得， ，， 则的面积是：， 即四边形的面积为， 故答案为：； （2）连接、，延长到，截取， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， 的面积是：， 的面积是， 四边形的面积是， 五边形的面积是． 8．（25-26八年级上·云南昆明·期中）为等腰直角三角形，，点D在边上（不与点A、B重合），以为腰作等腰直角，． (1)如图1，作，求证：； (2)在图2中，连接交于M，若，，求的值． (3)如图3，过点E作交的延长线于点H，过点D作，交于点G，连接，当点D在边上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值：若变化请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3)不变，1 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是选择恰当的判定条件证明三角形全等，并添加适当辅助线构造全等三角形． （1）根据等腰直角三角形的性质得到，再利用等角的余角相等得到，然后根据“”可证明； （2）由得到，再利用等腰直角三角形得到，得到，，接着利用“”证明，得到即可求解； （3）在上截取，先利用“”证明得到，，然后由，得到，进而求得，从而利用“”证明，得到，然后即可计算出的值． 【详解】（1）证明：为等腰直角三角形，． ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：为等腰直角三角形， ， 由（1）可知，， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3）解：的值不会发生变化，且， 在上截取，如图， 在和中， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 9．（25-26八年级上·山东滨州·期末）【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： 【历史文献】倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究．古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础．数学文献中，倍长中线作为标准术语被确立于世纪，成为初等几何常见技巧． (1)【问题背景】 如图，中，，，是中线，则的取值范围是______； (2)【变式思考】 如图，中，是中线，分别以，为腰在外作等腰和等腰，，，，连接，求证：； (3)【探究延伸】 如图，在四边形中，对角线，相交于点，将沿着翻折，点的对应点为，，点是的中点，，当时，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）通过倍长中线法，构造全等三角形，将、与转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求解的取值范围． （2）延长至点，使，连接，先证，再证，从而得到 （3）延长到点，使，连接，先证，再结合翻折性质和角的关系证，进而得到 【详解】（1）解：延长到点，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：延长至点，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长到点，使，连接， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， 由翻折性质可知：，，， ∵， ∴， ∴、、三点共线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 10．（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 【答案】(1)图见解析，，， (2)成立，证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：补全图形，如图： 解题思路为：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：，，； （2）解：成立，证明如下： 延长到点，使，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10全等三角形模型之倍长中线与截长补短模 型的二类综合题型 目录 典例详解 类型一、全等三角形模型之倍长中线模型 类型二、全等三角形模型之截长补短模型 压轴专练 物 典例详解 类型一、全等三角形模型之倍长中线模型 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法” 添加辅助线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等 三角形的有关知识来解决问题的方法，（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候） 【常见模型及证法】 1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线 证明思路：延长AD至点E,使得AD=DE.若连结BE,则△BDE兰△CDA;若连结EC,则 △ABD=△ECD: :D E (1) (2) G (1) (2) 图1 图2 1/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1 (2 图3 2、中点型：如图2，C为AB的中点 证明思路：若延长EC至点F,使得CF=EC,连结AF,则△BCE兰△ACF； 若延长DC至点G,使得CG=DC,连结BG,则△ACD三△BCG. 3、中点+平行线型：如图3，AB∥CD,点E为线段AD的中点 证明思路：延长CE交AB于点F(或交BA延长线于点F),则△EDC兰△EAF. 例1.(25-26八年级上山东济宁·期中)在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法， D B 图(1) 图(2) (I)如图1，AD是ABC的中线，AB=8,AC=5,求AD的取值范围.我们可以延长AD到点E,使 DE=AD,连接BE,根据SAS可证△ADC≌△EDB,所以BE=AC,接下来，在△ABE中利用三角形的 三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线AD的取值范围是： (2)如图2，AB=AE,AC=AF,LBAE=LCAF=90°，点D为BC的中点，连接AD,求证：EF=2AD. 【变式1-1】(25-26八年级上陕西商洛期末)(1)问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问 题：如图①，AD是ABC的中线，若AB=7,AC=5,求BC长和AD长的取值范围.他们利用所学知识 很快计算出了BC长的取值范围为； (2)方法探究：但是他们怎么也算不出AD长的取值范围，经小组讨论后发现：延长AD至点E,使 DE=AD,连接BE,如图①，可证出△ACD≌△EBD,利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化 到△ABE中，进而求出AD长的取值范围，请写出解答过程； (3)方法应用：如图②，在ABC中，点E在BC上，且DE=DC,过点E作EF‖AB,交AD于点F, 且EF=AC,求证：AD平分∠BAC. 2/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B E 图① 图② 【变式1-2】(25-26八年级上江西赣州期末)【发现问题】数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图①， AB=5,AC=3,中线AD的取值范围是多少？ 【探究方法】 (1)第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长AD到E,使得DE=AD;②连接BE,通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中；③ 利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB-BE<AE<AB+BE,从而得到AD的取值范围是_； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形。 【问题拓展】 (2)如图②，OA=0B,OC=OD,∠AOB与∠COD互补，连接AC，,BD,E是AC的中点，求证： 0e=0 (3)如图③，在(2)的条件下，若∠A0B=90°，延长EO交BD于点F,0F=2,0E=5,求 △AOC的面积. B 图① 图② 图③ 类型二、全等三角形模型之截长补短模型 【模型解读】 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句， 可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。 3/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。 【常见模型及证法】 (1)截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①在AD上取一点F,使得AF=BE,证DF=DC;②在AD上取一点F,使DF=DC,证AF=BE (2)补短：将短线段延长，证与长线段相等 例2.(25-26八年级上·湖北省直辖县级单位期末)(1)如图1，在四边形ABCD中， AB=AD,∠B=∠ADC=90°，E,F分别是BC,CD上的点，且EF=BE+FD,试猜想图中∠BAD与∠EAF的 数量关系.小王同学解决此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明 △ABE≌△ADG,，再证明aAEF≌△AGF,可得出结论，他的结论应是 (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°E,F分别是BC,CD上的点，且EF=BE+FD, 试探究∠BAD与∠EAF的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,若点E在CB的延长线上，点F在CD的 延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD,请写出∠BAD与∠EAF的数量关系，并说明理由. G A B B E B E 图1 图2 图3 【变式2-1】(24-25八年级上·山东威海期末)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,点E,点F分别在 边BC,CD上，已知∠EAF=∠DAB,∠ABC+∠HDC=180°. 2 4/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D A E B B F 图1 图2 (I)求证：EF=BE+DF; (2)如图2，若点E,点F分别在边CB,DC的延长线上，其它条件不变，(1)中的结论还成立吗？若成立， 请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由. 【变式2-2】(25-26八年级上·陕西延安期末)“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加 方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数 量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD,E,F分别是直线BC,CD上的点. G B F D 图① 图② ()如图O,若LABC=LADC=90°，E,F分别在线段BC,CD上，且满足∠EF=∠BAD,试探究线段 EF,BE,DF之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长CB到点G,使BG=DF,连接AG ,请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若∠ABC+∠ADC=180°，点E在CB的延长线上，且BE>CD,点F在CD的延长线上，若 EF=BE+DF,请探究∠EAF与∠BAD之间的数量关系，并说明理由. 5/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9w 压轴专练 1.在ABC中，AB=5,AC=7,AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是() A.0<AD<12B.1<AD<6 C.0<AD<6 D.2<AD<12 2.如图，在长方形ABCD中，E为BC的中点，F为CD上一点，若Sr:SCr=4:1,则AB与CF的数量 关系是() D B E A.AB=5CF B.AB=4CF C.AB=3CF D.AB=2CF 3.己知，△ABC中，AB=10,BC=14,D为AC的中点，则中线BD的取值范围为 4.如图，ABC中，D为BC的中点，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于F.若BE=AC,AF=2 ,CF=8,那么BF的长度为 5.(25-26八年级上安徽安庆·期末)如图，AD为ABC的中线. A B D (I)求证：AB+AC>2AD: (2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围 6.(25-26八年级上甘肃陇南·期末)综合与实践 【问题情境】 补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某 6/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题 例：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC,E是AD的中点，BE平分∠ABC,试判断BC,CD,AB之 间的等量关系 小颖的方法：如图②，延长BE,CD相交于点F,构造ABE≌DFE和等腰三角形BCF即可判断. D E E D 图① 图② 图③ 【问题解决】 (1)按照小颖的方法，判断BC,CD,AB之间的等量关系，并说明理由； 【自主探究】 (2)如图③，在ABC中，D是BC的中点，点E在AC上，连接BE交AD于点F,AE=EF,试说明 AC=BF. 7.(24-25八年级下，辽宁沈阳·期中)阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造 手拉手旋转型全等三角形解决问题.请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°， AB=AD,若AC=5cm,求四边形ABCD的面积. 解：延长线段CB到E,使得BE=CD,连接AE,我们可以证明△BAE≌△DAC,根据全等三角形的性质 得AE=AC=5,∠EAB=∠CAD,则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得 S蒂4BCD=S,ABc+SDc=SBC+SABE=S,Ec,这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC的 面积. G 图1 图2 (1I)根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为_cm?. (②)请你用上面学到的方法完成下题， 如图2，己知FG=FN=HM=GH+MN=5cm,∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN的面积. 7/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8.(25-26八年级上·云南昆明·期中)ABC为等腰直角三角形，LABC=90°，点D在AB边上（不与点A、 B重合)，以CD为腰作等腰直角aCDE,∠DCE=90°， 图1 图2 图3 (I)如图1，作EF⊥BC,求证：△DBC≌aCFE; 2)在图2中，连接AE交BC于M,若AB=BC=6,AD=4,求BM的值. (3)如图3，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H,过点D作DG⊥DC,交AC于点G,连接GH,当 点D在边AB上运动时，式子匹-GD的值会发生变化吗？若不变，求出该值：若变化请说明理由。 GH 9.(25-26八年级上·山东滨州期末)【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个 问题作如下探究： 【历史文献】倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究.古希腊数学家欧几里得《几何原本》 虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础.数学文献中，倍长中线作为标准术 语被确立于20世纪，成为初等几何常见技巧， D 图1 图2 图3 (1)【问题背景】 如图1，ABC中，AB=8,AC=6,AD是中线，则AD的取值范围是 (2)【变式思考】 如图2，ABC中，AD是中线，分别以AB,AC为腰在外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,AB=AE, AC=AF,∠BAE=∠CAF=90°，连接EF,求证：EF=2AD; (3)【探究延伸】 如图3，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点E,将△ABD沿着AB翻折，点D的对应点为H, 8/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 LBAC+LBAD=180°，点F是BC的中点，∠CEF=∠ADB,当EF=6时，求BD的长 10.(24-25八年级上北京海淀期中)已知，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E、F分 别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD 2 A E 图1 图2 图3 (I)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当∠B=∠ADC=90°时. 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG. 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路. 小明的解题思路：先证明△ABE≌；再证明了△AEF≌，即可得出BE,EF,FD之间的数量 关系为 (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当∠B+∠ADC=180°时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的 结论，如果不成立，请说明理由 (3)如图3，若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段EF,BE,FD之间 的数量关系为·（不用证明） 9/9