第四章 三角形 暑假复习巩固 2025--2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦北师大版七年级数学下册第四章三角形暑假复习，覆盖三角形性质、全等判定等核心知识，融合基础巩固与动态探究，适配暑假复习需求，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三边关系、高的定义、全等判定|第8题结合尺规作图考全等依据，体现技能应用| |填空题|5/15|三角形稳定性、等腰三角形边长、动点问题|第11题联系平板支架，渗透数学眼光| |解答题（一）|3/21|尺规作图、全等证明|第16题作图与证明结合，培养动手与推理能力| |解答题（二）|3/27|概率、数轴化简、四边形综合|第21题综合四边形与三角形，提升应用意识| |解答题（三）|2/27|钟摆实验探究、等边三角形动态问题|第23题动态探究最小值，发展创新思维|

第四章 三角形 暑假复习巩固 2025--2026学年北师大版七年级数学下册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．1、2、3 B．4、5、19 C．20、15、8 D．5、15、8 2．下面四个图形中，线段能表示的高的是（  ） A． B． C． D． 3．已知，若，，，则（   ） A． B． C． D．无法确定 4．如图，在四边形中，对角线相交于点．若，则的度数为（ ） A．60° B．65° C． D． 5．已知三角形的两边长分别是3和5，则第三边长a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知，，添加下列一个条件后，仍然不能证明，这个条件是（    ）    A． B． C． D． 7．等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（     ） A． B． C． D．或 8．如图是用尺规作图“作一个角等于已知角”，通过判定得到，其中判定的依据是（   ） A． B． C． D． 9．如图，交于点E，，添加以下四个条件中的一个，其中不能使的条件是（    ） A． B． C． D． 10．如图，把等腰Rt和等腰Rt放在一起，三点在一条直线上，其中，点在上，延长交于点．若，则的面积为（   ） A．27.9 B．28.7 C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．如图，在上网课时把平板放在三角形支架上用到的数学道理是______．    12．等腰三角形一边长是，另一边长是，则第三边的长是______． 13．如图，已知于点B，于点D，且与相交于点O．已知，，，则的长为______． 14．如图所示，厘米，长方形中的厘米，阴影的面积是18平方厘米，则的面积是___________平方厘米． 15．如图，中，，，，点P从B出发．以的速度沿向C运动，设P运动时间为t秒，当P从B开始运动的同时，Q从C出发以的速度，沿向A运动，当与全等时，_____． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．如图，已知， (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点D，交于点M；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接延长到点E，使得，连接，求证：． 17．如图，点在线段上，．试说明：． 18．如图，点在线段上，，求证： 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．2026年春节期间电影《飞驰人生》火热上映，现有一张《飞驰人生》电影票，小明和小颖都想获得．小明为他们出了一个主意：从印有数字2，3，4，5，5，6，7，8的8个小球（除数字外都相同）中任意摸出一个，记下数字． (1)摸到球面数字为奇数的概率为___________； (2)若球面上数字比5大，则小颖得到电影票；若球面上数字比5小，小明得到电影票．你认为这种方法公平吗？请说明理由． 20．有理数、、在数轴上的位置如图： (1)用“”或“”填空：________0，________0，________0，________0； (2)化简：． 21．如图，已知四边形中，，，，是中点，与相交于点，连接． (1)判断线段与关系，并说明理由； (2)若，求面积． 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23小题14分，共27分）22．【实践主题】从数学角度探究钟摆过程中的规律． 【素材准备】实验支架，细绳，小球，卷尺等． 【实践操作】在支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动．如图1，点表示小球静止时的位置．小明将小球从摆到的位置，并向右推动小球，是小球在摆动过程中某一瞬间的位置，且与恰好垂直，在同一平面上． 【数学建模】如图2是小球摆动过程的示意图，，过点B作于点D．过点C作于点E， 【数据测量】， 【问题解决】 (1)求证：； (2)求的长． 23．【问题呈现】 已知为等边三角形，点为射线上一动点（点不与点，点重合）． （1）连接，以为边向右侧作等边，连接． ①如图1，当点在边上时，求证：； 【类比探究】 ②如图2，若点在边的延长线上，随着动点的运动位置不同，求证：． 【拓展应用】 （2）如图3，在等边中，，点是边上一定点且，若点为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接．直接写出的最小值． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共6页 ◎ 第4页 共6页 第5页 共6页 ◎ 第6页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A A C D C D D A 11．三角形具有稳定性 12．或 13．4 14．9 15．或 16．(1)画图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，作线段的垂直平分线. （1）根据垂直平分线的作图方法作图即可. （2）根据线段垂直平分线的性质得到，结合，，可得，进一步可得结论. 【详解】（1）解：如图，直线即为所求. （2）解：如图， ∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴. 17．见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 由“”可证． 【详解】证明：因为， 所以，即． 在和中， 所以． 18．见解析； 【分析】本题主要考查了全等的判定和性质，平行线的判定，解决此题的关键是熟练掌握判定三角形全等的方法；根据题意先得到边相等，再根据证明全等，根据全等三角形的性质得到角相等，进而判断平行即可； 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 19．(1) (2)这种方法公平，理由见解析 【分析】（1）根据概率计算公式求解即可； （2）分别计算出两人获得电影票的概率，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一共有8个小球，其中球面数字为奇数的小球有4个，且每个小球被摸到的概率相同， ∴摸到球面数字为奇数的概率为； （2）解：这种方法公平，理由如下： 由题意得，球面上数字比5大的情形有种，则小颖得到电影票的概率为， 球面上数字比5小的情形有种，小明得到电影票的概率为， ∴这种方法公平． 20．(1) (2) 【分析】本题考查有理数与数轴，化简绝对值： （1）根据点在数轴上的位置，判断出数的符号，式子的符号即可； （2）根据绝对值的意义，化简绝对值即可． 【详解】（1）解：由数轴可知：，， ∴； 故答案为：； （2）解：由（1）可知：， ∴． 21．(1) 解：，，理由如下 ，是的中点， ，， ， ，， ， ， 在和中 ； ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； (2) 【分析】此题考查是平行线的性质和全等三角形的判定， （1）先根据已知条件和中点定义证出：，然后根据平行线的性质证出：，最后利用即可证出：，根据全等三角形的性质即可得，再由角的转化可得，即可证明； （2）根据计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ∵，， ． 22．(1) 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识； （1）证，，即可得出结论； （2）先证，得出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）由题意得： 由（1）得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）8． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，利用证明即可； （2）证明，得出，结合，则； （3）在射线上截取，连接，易证，则，，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值． 【详解】（1）①证明：和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ②证明：和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ， ， ． （2）解：在射线上截取，连接， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴， 是等边三角形， ， ∴，， 即点E在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值， ∵，， ∴， ∴ 的最小值为8． 答案第8页，共8页 答案第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $