专题12 全等三角形中的动点问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

专题12 全等三角形中的动点问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用全等三角形求解动点边、角问题 类型二、利用分类讨论思想求解动点中全等三角形问题 类型三、利用全等三角形求证线段之间的关系问题 类型四、利用全等三角形求证角之间的关系问题 压轴专练 类型一、利用全等三角形求解动点边、角问题 1. 对应关系混乱：动点运动导致三角形形状变化，错将不同位置的点对应为全等条件。 2. 分类讨论遗漏：点在线段、延长线等不同位置时三角形全等情况不同，常漏解。 3. 时间范围忽略：用速度表示路程时，未考虑动点运动时间范围，导致无解或无效解。 4. 多解未验证：求出多组解后，未检验是否满足三角形全等条件（如夹角对应）。 注意事项： - 明确对应顶点：先根据全等条件确定对应点，再列方程。 - 分情况画图：动点在不同位置分别画出图形，分类讨论。 - 边角对应准确：用SAS、ASA等判定时，确保对应边、角正确。 - 检验取舍：将解代入原题，验证是否符合运动范围及全等条件。 例1．如图，在中，，是线段上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．当时，的度数为 ． 【答案】/90度 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 由，证明，再证明 ，得，即可解决问题． 【详解】解∶ ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即的度数为． 故答案为： 【变式1-1】如图，在中，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，当最小时，的度数是 ． 【答案】53 【知识点】垂线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，解答中涉及两点之间线段最短，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，在上取一点，使，连接，，过点C作于点H，交于点，过点作于点，推出当最小时，点P，点Q分别位于点，点处，的度数为的度数，再求出的度数即可解决问题． 【详解】解：在上取一点，使，连接，，过点C作于点H，交于点，过点作于点， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴最小值为， ∴当最小时，点P位于点处，点Q位于点处，的度数为的度数， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当最小时，的度数是， 故答案为：53． 【变式1-2】如图，在中，，P、Q分别为边上两个动点，在运动过程中始终保持，连接和，当值达到最小时，的值为 ． 【答案】1 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：过点B作，且，在上截取，连接，由可证，可得，由“”可证，可得，则，即当点C，点E，点H三点共线时，有最小值，由“”可证，可得，即可求解，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：如图：过点B作，且，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点C，点E，点H三点共线时，有最小值， 此时，∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点H是的中点， ∴， ∴点P与点H重合， ∴， ∴， 故答案为：1． 类型二、利用分类讨论思想求解动点中全等三角形问题 1. 分类标准混乱：未按动点位置、运动方向、对应顶点顺序等统一标准分类，导致重复或遗漏。 2. 对应边误配：全等三角形对应边不确定时，只考虑一种对应关系，漏掉其他配对方式。 3. 边界情况忽略：动点在端点或特殊位置时，全等条件可能变化，未单独讨论。 4. 解后检验缺失：求出参数后，未检验是否满足运动范围、边长为正等条件。 注意事项： - 先定分类依据：按动点位置（在线段/延长线上）、对应顶点顺序分类。 - 每种情况画图：画出草图，标出已知边角，列出全等方程。 - 列全等方程：根据对应边相等或夹角相等列方程求解。 - 验证合理性：将解代回原题，确保符合几何约束。 例2．（25-26八年级上·福建龙岩·月考）如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持．若点的运动时间为秒，则当____秒时，与全等． 【答案】3或7或10 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分点E在线段上和点E在线段上两种情况，分别分成两种情况求解即可． 【详解】解：①点E在线段上，点E与点A重合时此时，当时，，则，不符合题意，舍去； 点E在线段上，，则， ， ∵动点从点出发以的速度沿射线运动， ； ②当点E在线段上，，则， ， ∵动点从点出发以的速度沿射线运动， ； 当点E在线段上，，则， ， ∵动点从点出发以的速度沿射线运动， ． 综上，当为3或7或10秒时，与全等． 故答案为：3或7或10． 【变式2-1】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，，在中，，，，．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则v的值为________． 【答案】或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，能根据点和点的位置进行正确的分类讨论是解题的关键．根据题意画出图形，对点和点的位置进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵在中，，，，， ∴， 假设运动的时间为， 当时，即点在上，如图， 若， 则， ， ； 若， 则， ， ； 当时，即点在上， 若， 则， ， ； 若， 则， ， 所以， 当时，即点在上， 此时， ∴所以不存在和全等， 综上所述，点的运动速度为：或或， 故答案为：或或． 【变式2-2】（25-26八年级上·河南商丘·月考）如图，的高线与交于点，在直线上取点，使得．动点从点出发，以的速度从点向点运动，同时动点从点出发，沿射线以的速度运动，到达点时，P，Q两点都停止运动．已知，若两点移动过程中，存在与全等，则的值为_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分情况讨论点F分别在延长线上或在之间时，再用t表示相关线段，根据全等三角形对应边相等列一元一次方程求解即可． 【详解】解：①当点F在延长线上时：设t秒时，P、Q分别运动到如图位置时． ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴，解得：； ②当点F在之间时：设t秒时，P、Q分别运动到如图位置时． ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴，解得：． 综上，的值为或． 故答案为或． 类型三、利用全等三角形求证线段之间的关系问题 1. 辅助线构造不当：需构造全等时（如倍长中线、截长补短），作辅助线后未证明三角形全等。 2. 对应边找错：复杂图形中，全等三角形的对应边识别错误，导致关系结论错误。 3. 关系类型误判：线段关系有“和差”“倍分”“相等”等，题目要求证的关系判断不清。 4. 隐含条件遗漏：图形中公共边、对顶角、等腰三角形等隐含条件未充分利用。 注意事项： - 明确目标：先分析要证的和、差、倍、分关系，选择合适构造法。 - 规范全等证明：构造后标出对应边、角，用SAS、ASA等严格证明全等。 - 转化线段：利用全等将目标线段转移到同一三角形中。 - 综合几何性质：结合中位线、直角三角形斜边中线等定理辅助证明。 例3．【问题背景】如图1，在中，已知，，是的高，，，过点的直线，动点从点开始沿射线方向以的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以的速度向远离点的方向运动，连接、，设运动时间为秒． 【思考尝试】 （Ⅰ）请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）：________，________． （Ⅱ）当为多少时，的面积为？ 【深入探究】 （Ⅲ）如图2，当点D在线段上，且时，是否与全等？说明理由：此时的值为多少？ （Ⅳ）请利用备用图探究，当点在线段的延长线上，且时，与有什么数量关系？请说明理由． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ）， （Ⅳ） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、几何问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查了列代数式，解一元一次方程，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （Ⅰ）根据题意列代数式即可； （Ⅱ）分点在线段上，点在延长线上两种情况计算即可； （Ⅲ）由得到，根据得到，再根据得到，得出，即可得到； （Ⅳ）证明，即可得到． 【详解】解：（Ⅰ）由题意得， ，， 故答案为：； （Ⅱ）由题意得，当点在线段上时，， ， ， ， ； 当点在延长线上时， ， ， ； 当为或时，的面积为； （Ⅲ），， 理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （Ⅳ），理由如下， 如图，， ， ， , ，， ， ， ， ， ． 【变式3-1】已知等腰三角形，，为射线上一动点，连接，以为边在直线的右侧作等腰三角形，，，连接． (1)如图1，当点在边上时，请探究，，之间的数量关系． (2)如图2，当点在的延长线上时，（1）中，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你写出新的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2)不成立． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）证明．再证明，可得，再进一步可得结论； （2）证明．再证明，可得，再进一步可得结论； 【详解】（1）解：∵， ∴， 即． 在与中，， ∴， ∴， ∴． （2）不成立．． 理由：∵， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． 【变式3-2】如图为等腰三角形，， D为直线上一动点，以为腰向右侧作等腰三角形且，连接直线． (1)求证：； (2)若D恰好在的中点上(如图)，求证：； (3) ①若点D为线段上任一点(B，C点除外)时，试探究与的位置关系． ②若点D为直线线除点B，C外任意一点，与的位置关系是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①；②，证明见解析 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形外角的性质等知识，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先说明，再利用即可证明结论； （2）根据等腰三角形三线合一的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，即；然后运用等腰三角形三线合一的性质可得是线段的垂直平分线，最后根据垂直平分线的性质即可证明结论； （3）①先说明是等边三角形可得，进而得到，根据同旁内角互补、两直线平行即可证明结论；②如图：当点D在的延长线上，先说明可得，再说明是等边三角形可得，由三角形外角的性质可得，即；再结合可得，最后根据内错角相等、两直线平行即可证明结论；同理可证点D在的延长线上的情况． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即：， 在和中，， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即是线段的垂直平分线， ∴． （3）解：①∵, ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ②，证明如下： 证明:a.如图：点D在的延长线上， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； b.如图：点D在的延长线上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴、是等边三角形， ∴，， ∴，，即, ∴， ∵, ∴； 类型四、利用全等三角形求证角之间的关系问题 1. 对应角找错：复杂图形中全等三角形对应顶点不对应，导致角相等关系误判。 2. 隐含角未用：公共角、对顶角、平行线性质等隐含条件遗漏，无法建立角联系。 3. 等量代换混乱：需多次全等传递角相等时，中间角找错或代换步骤颠倒。 4. 结论目标不清：题目要证“相等”“互补”还是“倍分”，证明方向偏离。 注意事项： - 定对应顶点：根据全等判定条件，准确写出对应顶点顺序。 - 标已知角：在图上标出已知相等角，挖掘隐含角关系。 - 逐步代换：用等量代换将目标角与已知角建立等式。 - 灵活转化：结合平角、三角形内角和等定理进行角度计算。 例4．在中，，，点D为上一动点．    (1)如图1，点E、点F均是射线BD上的点并且满足，．求证：； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)由（1）我们知道，如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作于F，连接AF．那么的度数是否发生变化？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，不变化，理由见解析 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的性质进行推导． （1）根据，得出，即可根据证明； （2）易得，根据，得出，则，进而得出，则，即可求证； （3）过点A作的垂线交于点E，易得，，即可得出，通过求证得出，则是等腰直角三角形，即可求出． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在和中 ， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：，不变化，理由如下：    过点A作的垂线交于点E ∵ ∴ ∴ 同理 ∵ ∴ 同（1）理得 在和中 ， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴． 【变式4-1】点P、Q分别是边长为的等边的边、上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s．    (1)连接、交于点M，则在P、Q运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数； (2)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为M，则变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数． 【答案】(1)不变， (2)不变， 【分析】（1）因为点从顶点、点从顶点同时出发，且它们的速度都为cm/s，所以，，，因而运用边角边定理可知．再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得的度数． （2）首先利用边角边定理证得，再利用全等三角形的性质定理得到，再运用三角形角间的关系求得的度数． 【详解】（1）解：不变． 等边三角形中，，， 又由条件得， ， ， ； （2）解：不变． 在等边三角形中，， ，又由条件得，， ， ， 又， ． 【变式4-2】在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【答案】(1) (2)的大小不变， (3) 【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案； （2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，； （3）作交于点G，作于点H，可证明，得，由，得，则，由，得，则，所以，即可推导出． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）的大小不改变， 如图①，作交于点F，则，    ∴， 由（1）得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． （3）E， 理由：如图②，作交于点G，作于点H，则    ∴， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．（25-26八年级下·北京·开学考试）如图，在锐角中，的面积为15，平分，若，分别是上的动点，当的最小值为6时，的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】在上截取，证明，所以，则，当三点共线，且时，的值最小，为长，然后通过三角形面积公式求出长即可． 【详解】解：如图，在上截取， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小，为长，如图， 即， ∵的面积为15， ∴，即， ∴． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·月考）如图，在中，已知，，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒的速度运动，连接，，设运动时间为秒．当时，的值应为（        ） A．2或5 B．5或12 C．2或10 D．5或10 【答案】C 【分析】本题是一道数学动点问题，考查了全等三角形的性质的运用，一元一次方程的运用，解答时分类讨论是重点也是难点．分两种情况讨论，如图，当点在射线上时，在上，，如图，当点在的反向延长线上时，由全等三角形的性质求出其解即可． 【详解】解：∵， ∴ 如图，当点在射线上时，在上，， ∵ ∴， ∴． 如图，当点在的反向延长线上时， ∵， ∴， ∴． 综上所述，当或时，， 故选：． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点A出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点A运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为，则当的值为多少时，与全等？（   ） A．2 B．2或6 C．或6 D．2或或6 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；点在上、点在上，点未到达终点A时，或点到达终点A时，继续运动；三种情况，根据列方程计算即可，舍去不合题意情况 【详解】∵，， ∴， ∴与全等分三种情况讨论： ①如图①，当，且点在上、点在上运动时， ． 此时，， ∴， 解得； ②如图②，当，且点与点重合时， ． 此时，， ∴， 解得； ③当，且点在上、点在上运动时，． 此时，． 当点未到达终点A时， ， 解得， 不符合题意，舍去． 当点到达终点A时，继续运动，如图③． 此时点与点A重合，， ∴， 解得． 综上所述，当的值为2或或6时，与全等． 故选：D．            二、填空题 4．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为______． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，设运动时间为，则，，再分和两种情况，利用全等三角形的性质解答即可求解，掌握全等三角形的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：设运动时间为，则， ∴， ∵， 当时，，， ∴，， 解得，， ∴点的运动速度为； 当时，，， ∴，， 解得， ∴点的运动速度为； 综上，点的运动速度为或， 故答案为：或． 5．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，在中，，，，AD平分交BC于点D，过点D作交AB于点E，点P是DE上的动点，点Q是BD上的动点，则的最小值为______． 【答案】10 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，轴对称，角平分线的定义，过点D作于H，并延长，先判断出，再判断出，在上取一点，使，连接，进而判断出，得出，即可判断出时，最小，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点D作于H，并延长， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在上取一点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴（假设点Q是定点，点共线时，取最小）， ∵点Q是动点， ∴当时，即点与点H重合，的最小值为， 故答案为：10． 6．（24-25八年级上·浙江金华·月考）如图所示，在等腰中，，点为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点，若，则与的比值为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，分两种情况讨论，构造全等三角形解决问题． 作，交(或的延长线)于H，利用证明，得，，再证明，得，从而解决问题．注意分两种情况讨论，即点D在线段外和在线段上． 【详解】解：①当点在线段的延长线上时，作，交的延长线于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴，， ∴， ∴ ∴； 当点在上时，作，交于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴ ∴； 故答案为：或． 三、解答题 7．（25-26八年级上·安徽蚌埠·月考）如图，在中，平分，，，，，动点以的速度从点向点运动，动点以的速度从点向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为． (1)求的长． (2)当时，求的值． (3)求证：在运动过程中，不管t取何值，都有． 【答案】(1) (2)当时， (3)见解析 【分析】本题主要综合考查了全等三角形的判定与性质，动点问题的分类讨论思想，三角形面积公式的应用． ()通过角平分线性质得，根据证明 ，得到线段相等，再结合已知线段长度计算目标线段； ()分两种情况讨论，根据动点运动的不同阶段(点在上)分类列方程，由全等三角形的性质可求解，舍去不合题意的解后确定值； ()利用三角形面积公式，结合全等得到的高相等的条件，将面积比转化为底的比，再根据动点速度表示出底的长度，推导出面积的固定比例关系． 【详解】（1）解：平分， ． ，， ． 在和中， ， ， ． ，， ． （2）， ． ①当时，点G在线段上运动，点E在线段上运动， ，， ， 解得（不合题意，舍去）； ②当时，点在线段上运动，点在线段上运动， ，， ， ． 综上所述，当时，． （3），，， ． 点以的速度从点向点F运动，动点以的速度从点向点运动， ，， ，即， 即， 在运动过程中，不管取何值，都有． 8．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，与相交于点，，．动点从点出发，沿方向以每秒5个单位的速度匀速运动，返回到终点；同时动点从点出发，沿方向以每秒3个单位的速度匀速运动到终点，设点的运动时间为． (1)求证：； (2)用含的代数式表示的长； (3)当点到点时，求的长； (4)连接，当点在线段上时，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)当时，；当时， (3) (4)或 【分析】本题是全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，证明三角形全等是解题的关键． （1）证明，即可求证； （2）根据题意分两种情况表示即可； （3）根据题意可得，即可； （4）证明，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：根据题意得：点P从点A运动到点B所用时间为秒， 当时，； 当时，； （3）解：根据题意得：点Q从点D运动到点E所用时间为秒， 此时， ∴； （4）解：如图， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 根据题意得：， 当时，， 此时，解得：； 当时，， 此时，解得：（不符合题意）； 当点Q到达终点E，点P返回到点A时，此时过点C， 此时； 综上所述，t的值为或． 9．（25-26八年级上·吉林延边·期中）如图①，线段，，，垂足分别为A，B，，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿向终点B 运动；同时动点Q从点B 出发，沿射线 运动、当点P 停止时，点Q 也随之停止运动．设点P 的运动的时间为， (1)当时 ， ， ． (2)若点Q的运动速度和点P 的运动速度相等，时， ①求证：； ②求证：． (3)如图②，若点Q 的运动速度为每秒a个单位，将“，”改为“”， 其它条件不变．若与全等，直接写出a 的值． 【答案】(1)2，4 (2)①见解析；②见解析 (3)或． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定． （1）根据路程等于速度乘以时间可得的长，进而可得的长； （2）①可证明，再由垂线的定义可得，据此可证明结论； ②由全等三角形的性质得到，则可证明，再由平角的定义即可证明结论； （3）分和两种情况，根据全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，当时，， ∴， 故答案为：2，4； （2）证明：①由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，或． 10．（25-26七年级上·山西长治·期中）综合与探究 【问题情境】 如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，连接，．设运动时间为（单位；）． 【初步探究】 （1）如图①，若，求的值． 【拓展延伸】 （2）如图②，当点开始运动时，另一动点同时从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①在，运动的过程中，若与全等，请求出此时和的值． ②如图③，当点开始运动时，动点同时从点出发，以的速度沿方向向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请直接写出此时的值． 【答案】（1）；（2）①，或，；②． 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质可知，所以，根据即可求出运动的时间； ①当与全等时，有两种情况，一种情况是，即；另一种情况是，即时．根据对应相等的线段的长度求出运动时间的值，再根据运动的时间和路程求出即可； ②根据三角形的面积公式，可得：，可以求出的长度，即点的运动路程，根据点的运动路程和速度求出运动时间，根据运动的时间和点运动的路程的长度求出值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）①解：若， ，， ， ， ， ， ， ， 若， ，， ， ， ， ； 综上所述：，或，； ②解：如下图所示，连接，过点作于，过点作于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 11．（24-25八年级上·吉林长春·期末）在中，为锐角，点M为射线上一动点，连结，以点C为直角顶点，以为直角边在右侧作等腰直角，连结． (1)当是等腰直角三角形且时． ①问题初现：如图①，若点M为线段上不与点A重合的一个动点，则与所在直线的位置关系是______； ②深入探究：如图②，若点M在线段的延长线上，判断与所在直线的位置关系，并说明理由； (2)当不是等腰三角形且时，如图③．若点M为线段上不与点A重合的一个动点，，判断与所在直线的位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1)①垂直；②，见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形． （1）①利用等腰直角三角形的性质得到，再证明，即可得出结论；②同理①证明，即可得出结论； （2）过点C作交的延长线于点D，同理证明，即可得出结论 【详解】（1）①问题初现：垂直；理由如下： 和都是等腰直角三角形， ． ． ． ． ． ． ； ②深入探究： 和都是等腰直角三角形， ． ． ． ， ． ． ． ． （2）解：，理由如下： 如图，过点C作交的延长线于点D， ． ． ． ． ． ， ． ． ， ． ． ． ． 12．（25-26八年级上·广西南宁·期末）综合与实践： 【问题情境】在综合与实践课上，老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，垂足分别为点．请证明：． 【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，请证明：点为的中点． 【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，熟练掌握全等三角形的判定及性质，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）利用证得，即可求证结论； （2）过作于，由（1）得，进而可得，再利用可证，则可证，根据数量关系可得，，进而可求证结论； （3）分如图，当在延长线上时，如图，当在线段上时，过点作于两种情况分析求解即可． 【详解】解：（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：过作于，如图： 由（1）得：， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ，， 是的中点； （3），理由如下： 如图，当在延长线上时，过点作于， 同（）理得：，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当在线段上时，过点作于， 同（）理得：，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上可得：或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 全等三角形中的动点问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用全等三角形求解动点边、角问题 类型二、利用分类讨论思想求解动点中全等三角形问题 类型三、利用全等三角形求证线段之间的关系问题 类型四、利用全等三角形求证角之间的关系问题 压轴专练 类型一、利用全等三角形求解动点边、角问题 1. 对应关系混乱：动点运动导致三角形形状变化，错将不同位置的点对应为全等条件。 2. 分类讨论遗漏：点在线段、延长线等不同位置时三角形全等情况不同，常漏解。 3. 时间范围忽略：用速度表示路程时，未考虑动点运动时间范围，导致无解或无效解。 4. 多解未验证：求出多组解后，未检验是否满足三角形全等条件（如夹角对应）。 注意事项： - 明确对应顶点：先根据全等条件确定对应点，再列方程。 - 分情况画图：动点在不同位置分别画出图形，分类讨论。 - 边角对应准确：用SAS、ASA等判定时，确保对应边、角正确。 - 检验取舍：将解代入原题，验证是否符合运动范围及全等条件。 例1．如图，在中，，是线段上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．当时，的度数为 ． 【变式1-1】如图，在中，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，当最小时，的度数是 ． 【变式1-2】如图，在中，，P、Q分别为边上两个动点，在运动过程中始终保持，连接和，当值达到最小时，的值为 ． 类型二、利用分类讨论思想求解动点中全等三角形问题 1. 分类标准混乱：未按动点位置、运动方向、对应顶点顺序等统一标准分类，导致重复或遗漏。 2. 对应边误配：全等三角形对应边不确定时，只考虑一种对应关系，漏掉其他配对方式。 3. 边界情况忽略：动点在端点或特殊位置时，全等条件可能变化，未单独讨论。 4. 解后检验缺失：求出参数后，未检验是否满足运动范围、边长为正等条件。 注意事项： - 先定分类依据：按动点位置（在线段/延长线上）、对应顶点顺序分类。 - 每种情况画图：画出草图，标出已知边角，列出全等方程。 - 列全等方程：根据对应边相等或夹角相等列方程求解。 - 验证合理性：将解代回原题，确保符合几何约束。 例2．（25-26八年级上·福建龙岩·月考）如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持．若点的运动时间为秒，则当____秒时，与全等． 【变式2-1】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，，在中，，，，．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则v的值为________． 【变式2-2】（25-26八年级上·河南商丘·月考）如图，的高线与交于点，在直线上取点，使得．动点从点出发，以的速度从点向点运动，同时动点从点出发，沿射线以的速度运动，到达点时，P，Q两点都停止运动．已知，若两点移动过程中，存在与全等，则的值为_______． 类型三、利用全等三角形求证线段之间的关系问题 1. 辅助线构造不当：需构造全等时（如倍长中线、截长补短），作辅助线后未证明三角形全等。 2. 对应边找错：复杂图形中，全等三角形的对应边识别错误，导致关系结论错误。 3. 关系类型误判：线段关系有“和差”“倍分”“相等”等，题目要求证的关系判断不清。 4. 隐含条件遗漏：图形中公共边、对顶角、等腰三角形等隐含条件未充分利用。 注意事项： - 明确目标：先分析要证的和、差、倍、分关系，选择合适构造法。 - 规范全等证明：构造后标出对应边、角，用SAS、ASA等严格证明全等。 - 转化线段：利用全等将目标线段转移到同一三角形中。 - 综合几何性质：结合中位线、直角三角形斜边中线等定理辅助证明。 例3．【问题背景】如图1，在中，已知，，是的高，，，过点的直线，动点从点开始沿射线方向以的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以的速度向远离点的方向运动，连接、，设运动时间为秒． 【思考尝试】 （Ⅰ）请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）：________，________． （Ⅱ）当为多少时，的面积为？ 【深入探究】 （Ⅲ）如图2，当点D在线段上，且时，是否与全等？说明理由：此时的值为多少？ （Ⅳ）请利用备用图探究，当点在线段的延长线上，且时，与有什么数量关系？请说明理由． 【变式3-1】已知等腰三角形，，为射线上一动点，连接，以为边在直线的右侧作等腰三角形，，，连接． (1)如图1，当点在边上时，请探究，，之间的数量关系． (2)如图2，当点在的延长线上时，（1）中，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你写出新的结论，并说明理由． 【变式3-2】如图为等腰三角形，， D为直线上一动点，以为腰向右侧作等腰三角形且，连接直线． (1)求证：； (2)若D恰好在的中点上(如图)，求证：； (3) ①若点D为线段上任一点(B，C点除外)时，试探究与的位置关系． ②若点D为直线线除点B，C外任意一点，与的位置关系是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 类型四、利用全等三角形求证角之间的关系问题 1. 对应角找错：复杂图形中全等三角形对应顶点不对应，导致角相等关系误判。 2. 隐含角未用：公共角、对顶角、平行线性质等隐含条件遗漏，无法建立角联系。 3. 等量代换混乱：需多次全等传递角相等时，中间角找错或代换步骤颠倒。 4. 结论目标不清：题目要证“相等”“互补”还是“倍分”，证明方向偏离。 注意事项： - 定对应顶点：根据全等判定条件，准确写出对应顶点顺序。 - 标已知角：在图上标出已知相等角，挖掘隐含角关系。 - 逐步代换：用等量代换将目标角与已知角建立等式。 - 灵活转化：结合平角、三角形内角和等定理进行角度计算。 例4．在中，，，点D为上一动点．    (1)如图1，点E、点F均是射线BD上的点并且满足，．求证：； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)由（1）我们知道，如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作于F，连接AF．那么的度数是否发生变化？请证明你的结论． 【变式4-1】点P、Q分别是边长为的等边的边、上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s．    (1)连接、交于点M，则在P、Q运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数； (2)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为M，则变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数． 【变式4-2】在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 一、单选题 1．（25-26八年级下·北京·开学考试）如图，在锐角中，的面积为15，平分，若，分别是上的动点，当的最小值为6时，的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·月考）如图，在中，已知，，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒的速度运动，连接，，设运动时间为秒．当时，的值应为（        ） A．2或5 B．5或12 C．2或10 D．5或10 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点A出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点A运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为，则当的值为多少时，与全等？（   ） A．2 B．2或6 C．或6 D．2或或6 二、填空题 4．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为______． 5．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，在中，，，，AD平分交BC于点D，过点D作交AB于点E，点P是DE上的动点，点Q是BD上的动点，则的最小值为______． 6．（24-25八年级上·浙江金华·月考）如图所示，在等腰中，，点为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点，若，则与的比值为______． 三、解答题 7．（25-26八年级上·安徽蚌埠·月考）如图，在中，平分，，，，，动点以的速度从点向点运动，动点以的速度从点向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为． (1)求的长． (2)当时，求的值． (3)求证：在运动过程中，不管t取何值，都有． 8．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，与相交于点，，．动点从点出发，沿方向以每秒5个单位的速度匀速运动，返回到终点；同时动点从点出发，沿方向以每秒3个单位的速度匀速运动到终点，设点的运动时间为． (1)求证：； (2)用含的代数式表示的长； (3)当点到点时，求的长； (4)连接，当点在线段上时，直接写出的值． 9．（25-26八年级上·吉林延边·期中）如图①，线段，，，垂足分别为A，B，，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿向终点B 运动；同时动点Q从点B 出发，沿射线 运动、当点P 停止时，点Q 也随之停止运动．设点P 的运动的时间为， (1)当时 ， ， ． (2)若点Q的运动速度和点P 的运动速度相等，时， ①求证：； ②求证：． (3)如图②，若点Q 的运动速度为每秒a个单位，将“，”改为“”， 其它条件不变．若与全等，直接写出a 的值． 10．（25-26七年级上·山西长治·期中）综合与探究 【问题情境】 如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，连接，．设运动时间为（单位；）． 【初步探究】 （1）如图①，若，求的值． 【拓展延伸】 （2）如图②，当点开始运动时，另一动点同时从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①在，运动的过程中，若与全等，请求出此时和的值． ②如图③，当点开始运动时，动点同时从点出发，以的速度沿方向向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请直接写出此时的值． 11．（24-25八年级上·吉林长春·期末）在中，为锐角，点M为射线上一动点，连结，以点C为直角顶点，以为直角边在右侧作等腰直角，连结． (1)当是等腰直角三角形且时． ①问题初现：如图①，若点M为线段上不与点A重合的一个动点，则与所在直线的位置关系是______； ②深入探究：如图②，若点M在线段的延长线上，判断与所在直线的位置关系，并说明理由； (2)当不是等腰三角形且时，如图③．若点M为线段上不与点A重合的一个动点，，判断与所在直线的位置关系，并证明你的结论． 12．（25-26八年级上·广西南宁·期末）综合与实践： 【问题情境】在综合与实践课上，老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，垂足分别为点．请证明：． 【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，请证明：点为的中点． 【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出与的数量关系． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $