第 18 讲 平面几何托勒密定理数学竞赛讲义

第18讲平面几何托勒密定理 1.托勒密定理 若四边形ABCD有外接圆，则AB.CD+AD.BC=AC·BD. 2.推论：三弦定理 若四边 形 ABCD 有外接圆，则 AC·sin BAD=AB·sin CAD+AD·sinBAC· 热点课堂 【例1】在圆周上逆时针摆放了A,B,C,D四个点，已知 BA=1BC=2BD=3,∠ABD=∠DBC,则该圆的直径为( ) A.2W5 B.2W6 c.27 D.前三个答案都不对 【分析】从四点共圆出发，借助托勒密定理可获得边的关系」 解法一：（托勒密定理） 由∠ABD=∠DBC得AD=DC, 而A,B,C,D四点共圆， 故AB.CD+BC·AD=BD·AC, 所以CD+2AD=3AC, 所以AC=CD=AD, 所以∠ABD=∠CBD=60°· 在 △ABC 中，由 余弦定理可得 AC=VAB2+BC2-2AB·BC·cos120°=V7, 再由正弦定理得直径2R=5 3 解法二：（三弦定理） 如图，设∠ABD=∠DBC=日， 由三弦定理得BD·S∠ABC=AB·sinDBC+BC·sin ABD, 所以3sin20=3sin0, 所以0s0=寺，解得日=60°， 在 △ABC 中 ,由 余弦定理可得 AC=VAB2+BC2-2AB·BC.cos120°=V7 再由正弦定理得直径2R=-2吗 3 【解答】D 【例2】如图，在锐角△ABC中，∠B=60,P为AB的中点，Q为外 接圆上弧AC(不包含点B)的中点，H为△ABC的垂心，如果P,H,Q三 点共线，求∠A的度数。 【分析】直接求∠A存在困难，可以考虑转化为求∠A的余角∠HBA,从 圆心出发添辅助线， 【解答】如图，取圆心O,连结C0并延长交圆于D点，连结 BD,DA,AH,BH,PD,OB,则由H为垂心得BH⊥AC, 由CD为直径得∠CAD=90°，即DA⊥CA, 得BH/IDA,同理得BD//AH, 即得四边形BHAD为平行四边形，则D,P,H三点共线， 进而D,P,H,Q四点共线 因为∠B=60°，所以∠CDA=60°， 所以AD=CD=R,所以OQ=AD=BH. 又因为BH,OQ均与AC垂直，得OQ//BH, 所以四边形OBHQ为平行四边形 又因为OQ=OB,所以四边形OBHQ为菱形，所以∠OBQ=∠HBQ. 因为∠OBQ=∠BQD=∠BCD=∠BAD=∠ABH,且∠BCO=∠CB0, 可得∠CB0=LOBQ=∠QBH=∠HBA=主LCBA=15°， 所以∠A=90°-∠HBA=75· 【例3】如图，AB是圆O的直径，弦CD1AB于点M,E是CD延长 线上一点，AB=10,CD=8,3ED=40M,EF切圆0于点F,BF交CD 于点G (1)求线段EG的长； (2)连结DF,判断DF与AB是否平行，并加以证明. 【分析】要求EG,根据圆的性质，可以将求EG转化为求EF,再通过切 割线定理求得EF的长度。 【解答】(1)由AB=10,CD=8，得0M=V52-4=3, 所以ED=专0M=4. 连结AF,因为EF为切线，所以∠EFB=∠BAF· 由∠AMG=∠AFG=90°可得A,M,GF四点共圆，所以 ∠FGE=∠MAF, 所以∠FGE=∠GFE,即EF=EG, 再由切割线定理可得EF2=ED.EC=4×12,所以EF=4V5, 所以EG=45 (3)假设DF与AB平行，则FD LCD,所以CF为直径， 可得DF2=102-82=36, 在Rt△EFD中，由EF2=DE2+DF2可得DF2=48-42=32, 显然36≠32，矛盾，假设不成立，故DF与AB不平行. 【例4】在菱形ABCD中，∠BAD=60,P是BC延长线上一点， APnCD=E,BE∩PD=Q,AP与△ABD外接圆交于点F,则O A.E,F,D,Q四点共圆 B.B,F,P,Q四点共圆 B.B,F,C,E四点共圆 D.C,P,F,D四点共圆 【分析】从四点共圆的条件出发来考虑」 如图，∠ADB=∠AFB=∠ECB=60°， 则B,F,C,E四点共圆，故C正确. 同时∠DFP=∠DCP=120°，则C,P,F,D四点共圆，故D正确. 因为B,F,C,E四点共圆，所以∠EBC=∠EFC· 又因为C,P,F,D四点共圆，所以∠PDC=∠PFC=∠EFC, 因此∠EBC=∠PDC,所以D,B,C,Q四点共圆， 则∠DQB=∠DFA=∠DCB=60°，则E,F,D,Q四点共圆，故A正确： 则∠BFP=∠BQP=120°，则B,F,P,Q四点共圆，故B正确. 【解答】ABCD 【例5】设AB,CD是圆O的两条互相垂直的直径，弦DF交AB于点 E,DE=24,EF=18,则0E=() A.4V6 B.55 C.62 D.前三个答案都不对 【分析】OE的长度显然和DE有关，根据相交弦定理可得OE和半径 R的关系. 记圆0的半径为R, 因为AE·EB=DE·EF=(R+OE)·(R-OE), 所以R2-0E2=24×18=432· 在Rt△D0E中，R2+0E2=DE2=576, 则20E2=576-432=144,解得0E=6N2 【解答】C 【例6】如图，△ABC内接于⊙0，过BC的中点D作平行于边 AC的直线↓1交AB于点E,交⊙0于点G,F,与⊙0在点A处的 切线交于点P,若PE=3,ED=2EF=3,则PA= 【分析】因为1//AC且D为BC的中点， 故ED是△ABC的中位线，所以AE=BE· 又因为PA为切线，可得∠PAE=∠ACB=∠EDB, 且∠AEP=∠BED,故△PAE∽△BDE, 于是器=器，且AE=BE, 所以AE2=PE·ED=3X2=6· 由相交弦定理可得AE·EB=GE,EF=6,解得GE=2, 再由切割线定理可得PA2=PGPF=1×6,则PA=V6·. 【解答】