第 8 讲 积化和差恒等变形数学竞赛讲义

第8讲积化和差恒等变形 1.积化和差公式 sinacosf=[sin(a+β)+sin(a-β)]；cosasinβ=[sin(a+β)-sin(a-β)] cosacosB=[cos(a+B)+cos(a-B)];sinasinB=-[cos(a+B)-cos(a-B)] 2.和差化积公式 s咖m0+sin0=2sin生yc0s°号；dn0-sin0=2c0s牛号sinm2号；c0s0+ccs0=2cos9ycog 6+9 3.三倍角公式 sin3a =3sina-4sin'a;cos3a 4cos3a-3cosa. 4.利用正边形中心与各顶点构成的向量之和为零向量，再利用坐标化即可 sina+si(a+2答)+.+sim(a+25)+…+si(a+2r)=0;cos+cos(a+祭) 典例分析 【例1】已知W=号，求cos-c0s2a+cos3a的值. 【分析】把《=马代入后观察式子特点，结合知识点4可得解法一. 因为原式为角度成等差数列的余弦值求和，可以利用积化和差公式得到解 法二。 【 解 答】 解 法 利 用 0s号+c0s3钙+c0s号+c0sF+c0s牙+c0s7+c0s7=0 ,可得 2c0s+2c0s钙+2c0s7+c0s牙=0，故0s号+c0s钙+c0s钙=专，所以 c0sQ-c0s2m+c0s3Q=c0S号-c0s2牙+c0s39=c0s号+c0s号+c0s3号=专. 解法二：原式=c0s+c0S9+c0S乎=nos+9+os) sin _4血号-H山等-】_子-分 n sin 评 注 ∑os(x+kd)=cosx+cos(x+d)+…+cos(x+nd=学红+@ sing ,si血(x+kd)=sinx+sin(x+d)+…+sin(x+d)）=半+型， sin号 【例2】（1+cos)(1+c0s3号)(1+cos钙)的值为( A.昌B.日C. D.前三个答案都不对 【分析】因为原式为角度成等差数列的余弦值求和，可以考虑利用积化和 差公式 (1+c0s号)(1+c0s3钙)(1+c0s号)=1+c0s号+c0s9+c0s9+c0s号c0s9+c0s号( 【解答】B 【例3】使得sny2+s2W2+…+smW2>2成立的正整数n的个 数为() A.0 B.1 C.无穷多个 D.以上均不对 【分析】因为是角度成等差数列的正弦值求和，可以考虑利用积化和差公 式 54恤2E+回an是_学E-且>2 sin 等价于 (co2-cos)>2sin ,即 sin(n+1)V2·sinn2>2sin号 需要对上式进行估算，左式=si(n+1)y2·siW2≤1，右式 -2sin 2sin 1. 所以不存在这样的正整数n· 【解答】A 【例4】试计算sm18°· 【分析】s18°刚好是黄金分割的一半，18°=吉×90°，所以可以借助二 倍角和三倍角公式解决该问题 【解答】解法一：利用 c0s36°=si54 得 1-2sin218=3sin18°-4sin318°， 化简得4si318°-2sim218°-3sim18°+1=0 记x=si血18°，可得4x3-2x2-3x+1=(x-1)(4x2+2x-1)=0, 解得x=1或x=2区-共5所以s1g-5 4 4 解法二：因为5in18cos36°=18018as3f=子·m7话 cos18 记x=s18°，可得8x3-4x+1=0,即(2x-1)(4x2+2x-1)=0, 解得x=支或x=2当=柜所以s18=5學 8 4 【例5】cos5钙+c0s5g+c0s5g的值为() A.B.C.是D. 【分析】可以从cos号+cos号+c0s号=0入手. 解法一：因为c0s号+c0s号+c0sg=2c0sc0S2g+c0sg=0, 记a=cos5,b=c0s号，c=cosg, 所 以 cos55+cos55+cos575=a5+b5-(a+b)5=-(5b+10a3b+10a2b3+5ab)=-5 所以abc=c0s暗ms晋c0s4=cos5cos子cos年=5eoia登=青， in +b+ab=+学+4学+os5cos号=1+3(cos年+co）+co95cos晋 2 =1+c0scos+(c0s+cos钙)=是， 所以cos55+cos55+c0s5g=5×音×星=尧. 解法二：下面我们寻求a,=cos吗+cos晋+cos马更一般的解法，不作 具体求解， 构造三次方程(x-cos号)(x-cos号)(x-cos否)=0， 展 开 分 得 x3-(cosg +cos+cos )x2+(cos cos+cos cos+cos cos)x-cos cos 记 a=cos+cos+cos 2cos'cos+cos=0 b=0s号cosg+cos5cosg+cos号c0sg=c0s5·2(cos·cos5)+(cos努+cos2g) c=05coS乎c0s9=00950s于o9-n5 o暗-京. sing 所以方程x3=x2-bx+c=是x+启的三个根分别为 c0s5,c0sg,c0s号 令X=C0s5,可得c0s3号=c0s号+日， 两边同乘以C0s晋，可得c0s+3号=c0s+1号+日c0s号， 同 理 可 得 c0s+35g=是c09+1g+音c0smg,c0s+32g-c09+1马+青c0sm25， 三式相加可得a+3=年a+1+言a:· 又可算出=3a1=0,2=是，所以=，4=，=》 【解答】A 【例6】已知单位圆上有三点A(x,y1),B(x2y2),C(x3y3)满足 X1+X2+X3=0 以及 y1+y2+y3=0 ,求证： ++x=y+y+y肾=是. 【分析】借助单位圆进行三角换元，将坐标问题转化为三角函数问题. 【解答】设A(cos,sina),B(cosβ，sinS),C(cosy,siy),不妨设 0<a<B<Y<2π， cosa cosB+cosy=0, 则由题意可得 sina+sinB+siny=0, coS+c0sβ=-c0Sy, 即 sina+sinβ=-siny, 两式平方并相加可得cos(B-α)=-竞， 同理cos(y-β)=-，c0s(y-a)=-竞， 所以B-a=y-B=牙， 所以x+号+x=cos2a+cos(+a)+cos2(誓+a) 1+oos2a+1+c0号+2a叶1+co(等+2a 2 升m2c+cc2aHo24里= 由好++++号+肾=3，可得+y+y肾= 评注：求解B-《=Y-B=牙时，也可以利用点0既是△ABC的重 心，又是△ABC的外心，因此△ABC是正三角形.同时有下列三个恒等式成 立： sinx+sin(x+号)+sin(x+誓)=0， sn2x+sin2(x+牙)+sin2(x+誓)=， sin'x+sin4(x+牙)+sim4(x+)=号， 将余弦换成正弦也一样