第 17 讲 数论基础解决拓展性问题竞赛数学讲义

第 17 讲 数论基础解决拓展性问题 1. 高斯取整函数 表示不超过 的最大整数. ① ； ②若 ，则 ；若 ，则 ； ③ ！的标准分解中，素数 的最高次数 . 热点课堂 【例 1】已知 均为素数，且 为整数，则( ) A. 中一定有一个是 2 B. 中一定有一个是 3 B. 中一定有两个数相等 D. 也为素数 【分析】特殊值探路:2,5,7满足条件,3,5,7也满足条件,所以排除 ABC,故答案为 D. 下面采用反证法证明 也为素数: 假设 不是素数,则 为素数, 则 ,因此 只能是 中的一个,故与假设矛盾. 【解答】D 【例 2】已知 60 支球队两两比赛,且一定有胜负,每队赢的概率均为 ,设没有两队赢相同场数的概率为 ,其中 为互质的正整数,则使得 可整除 的最大正整数 是( ) A. 1768 B. 1746 C. 1714 D. 1702 【分析】要求整数 的最大值,首先应求出 的值,根据概率公式可得. 由题意可得每个队均比赛 59 场,总共比赛 场, 由于每两队赢的场数均不相同，所以可得 60 支球队赢的场数分别为 场, 所以 . 而 60 ! 的标准分解中 2 的次数为 , 即得 ,其中 ,且 , 得到所求整数 的最大值为 1714 . 【解答】C 【例 3】设 是 中的 4 个互不相同的数,满足 . ,则这样的有序数组 的个数为_____. 【分析】由柯西不等式知, ,等号成立的充分必要条件是 ,即 成等比数列. 于是问题等价于计算满足 的等比数列 的个数. 设等比数列的公比 ,且 为有理数. 记 ,其中 为互质的正整数,且 . 先考虑 的情况. 此时 ,注意到 与 互素,故 为正整数. 相应地, 分别等于 ,它们均为正整数. 这表明,对任意给定的 ,满足条件并以 为公比的等比数列 的个数, 即为满足不等式 的正整数 的个数,即 . 由于 ,故仅需考虑 这些情况,相应的等比数列的个数为 当 时,由对称性可知,亦有 20 个满足条件的等比数列 . 综上可知, 共有 40 个满足条件的有序数组. 【解答】 40 【例 4】若 ! 除以 100 所得余数为( ) A. 3 B. 13 C. 27 D. 前三个答案都不对 【分析】某数除以 100 所得的余数就是这个数的末两位数字. 因为当 时, , 而 , 所以原式除以 100 的余数为 13. 【解答】B 【例 5】关于 的不定方程 的正整数解有( ) A. 0 组 B. 1 组 C. 2 组 D. 3 组 【分析】如果将式子变成一个数等于另两个数之积, 则可求解该问题. 当 时 ，当 3 不整除 时 ， 显然 , 可得 不是 3 的倍数, 两边模 3 得 ,则 是偶数. 设 ,则 , 因为 , 所以 或 或 或 只有第三组有正整数解 故 ,只有一组解. 【解答】B 【例 6】证明: 存在无穷多个正整数组 ,满足 , . 【分析】可以从整除的特殊情形出发, 找到满足条件的数组. 【解答】考虑特殊情况 ,此时 成立. 由 知, ,故 ①, 由 知, ,故 ②, 为满足 ①、②，取 ，此时 . 当正整数 时, 均符合条件, 因此满足条件的正整数组 有无穷多个. 学科网（北京）股份有限公司 $