第 16 讲 组合原理解决集合与命题讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第 16 讲 组合原理解决集合与命题 1. 容斥原理基本公式 (1) card ; (2) card 2. 抽屉原理基本形式 如果把 个元素分成 个集合,那么不管怎么分,都存在一个集合,其中至少有两个元素. 热点课堂 【例 1】一群学生参加学科夏令营, 每名同学参加至少一个学科考试. 已知有 100 名学生参加了数学考试, 50 名学生参加了物理考试, 48 名学生参加了化学考试. 学生总数是只参加一门考试学生人数的 2 倍, 也是参加三门考试学生人数的 3 倍, 则学生总数为( ) A. 108 名 B. 120 名 C. 125 名 D. 前三个答案都不对 【分析】本质上是容斥原理的使用,设只参加数学、物理、化学考试的学生人数分别为 , ; 参加物理和化学考试的学生人数为 ; 参加化学和数学考试的学生人数为 ; 参加数学和物理考试的学生人数为 ; 同时参加三门学科考试的学生人数为 . 如图,根据题意,有 前三式相加得 , 将 代入上式可得 ,解得 . 故学生总数为 . 【解答】A 【例 2】定义 且 ,集合 ,集合 . (1) 求 ； (2) 已知非整数集 ,求 的最小值. 【分析】(1)要求 的值,首先分析集合 ,由已知可得集合 中为 1 至 2016 的所有正数,集合 中为 2 至 4032 的所有正偶数,所以可得 . (2) 要求 ,需要求集合 ，可以借助韦恩图表示 . 图 1 【解答】 ; (3) 分析 表示 ， 图 2 用韦恩图表示如图 1: , 如图 2,设集合 各个区域内元素个数为 , 由韦恩图可得 所以 的最小值为 2016,当 ,可取得最小值. 【例 3】已知在边长为 1 的等边三角形内 (包括边界) 有任意五个点. 证明: 至少有两个点之间的距离不大于 . 【分析】假设任意两个点之间的距离都大于 ,构造出 4 个抽屉是关键. 【解答】5个点的分布是任意的. 如果要证明 “在边长为 1 的等边三角形内 (包括边界) 有 5 个点，那么这 5 个点中一定有距离不大于 的两点”，则顺次连结三角形三边中点，即三角形的三条中位线可以将等边三角形分为 4 个全等的边长为 的小等边三角形,则 5 个点中必有 2 个点位于同一个小等边三角形中 (包括边界),其距离便不大于 . 【例 4】设集合 ,若 中的任意 3 个元素均不构成等差数列,则 中元素最多有( ) A. 7 个 B. 8 个 C. 9 个 D. 10 个 【分析】首先根据限制条件确定集合元素个数的上限, 其次构造出符合要求的集合. 设 ,不妨设 , 由题意得 ,且 , 所以 ,同理 ,所以 ,所以 , 所以 ,即 . 下面证明 可能取到,取 满足题意, 所以 中元素最多有 8 个. 【解答】B 【例 5】将正整数集合分成两个不相交的子集的并集, 使得每个子集都不包含无穷等差数列的不同方式种数为( ) A. 0 B. 1 种 C. 无穷多种 D. 前三个答案都不对 【分析】这是一个集合的分划问题,主要是集合的构造: 令集合 取 满足题意; 取 满足题意; 取 满足题意; ; 故满足题意的分划有无穷多种. 【解答】C 【例 6】已知 是正整数,任取四个其和组成的集合为 , 则这五个数为_____. 【分析】五个数任取四个应该可以得到 个不同的和,现条件中只有 4 个不同的和,故必有两个和值相同. 而这五个和值之和为 ,是 4 的倍数, 所以这个相同的和值只可能是 46,即 , 故这五个数分别为 , 即10,11,11,12,13. 学科网（北京）股份有限公司 $