第 14 讲 圆与椭圆性质类比讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第 14 讲 类比椭圆与圆相得益彰均受益 1. 椭圆化圆及性质 在椭圆 中,令 把椭圆进行伸缩变换,转化为圆 (也可以有其他转化方法), 这实质上是一种仿射变换. 因此, 经过变换有以下性质: 变换前后两曲线的位置关系保持不变，即两相交(相切、相离)曲线变换后仍然是相交(相切、相离)的，两平行直线变换后仍然是平行的. 2. 类比圆的一些性质方法应用到椭圆问题上 实际上，由于圆、椭圆、双曲线、抛物线都是二次曲线，很多性质还可应用于全体圆锥曲线. 热点课堂 【例 1】已知椭圆 的两个顶点分别为 为椭圆上异于 的点,设直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 ,且 . (1) 求椭圆 的离心率； (2) 若 ，设直线 与 轴交于点 ，与椭圆交于 ， 两点，求 的面积的最大值. 【分析】对于第(1)小题, 如果对椭圆的 “第三定义” (见后面结论) 比较熟悉, 可轻松解决, 如果不熟悉也可通过设点 的坐标直接求解. 对于第(2)小题,这是一个关于封闭图形的面积问题, 可尝试将椭圆转化为圆进行求解. 【解答】(1)解法一: 设 ,则 ,所以有 . 又因为 ，所以 ， 由 得 . 解法二: 由椭圆 “第三定义”得 ,所以 . (3) 由题意知,椭圆方程为 ,令 进行伸缩变换得圆 , 设点 变换后的对应点分别为 , 则 是两腰长度为圆 的半径的等腰三角形,其面积的最大值为 , 所以 . 评注:椭圆化圆的本质是仿射变换，在具体解题中的做法是先利用伸缩变换把椭圆方程变成圆方程，再研究解决该圆的相关问题，然后结合仿射变换的一些性质来解决椭圆问题，仿射变换在高考与自招中均有用武之地. 此题的通法是: 令 封闭图形变换前的面积 与变换后的面积 满足 . 【例 2】已知椭圆 ，直线 不过原点且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ,线段 的中点为 . (1) 证明:直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值; (2) 若 过点 ，延长线段 与 交于点 ，四边形 能否为平行四边形? 若能，求此时 的斜率；若不能，说明理由. 【分析】本题可用点差法或韦达定理等常规方法进行处理，但计算上有难度，如果将椭圆转化为圆进行处理，则可以避免复杂的运算，除此之外，此方法还可用于椭圆中的定点、定值、垂直、弦长、面积等问题，如果结合虚数，还可用于双曲线相关问题. 【解答】解法一: (1) 设直线 . 将 代入 得 , 故 , 于是直线 的斜率 ,即 , 所以直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值. (3) 四边形 为平行四边形. 因为直线 过点 ,所以 不过原点且与 有两个交点的充要条件是 , 由 (1) 得直线 的方程为 ,设点 的横坐标为 , 由 得 ,即 , 将点 的坐标代入直线 的方程得 ，因此 . 四边形 为平行四边形当且仅当线段 与线段 互相平分,即 . 于是 ,解得 . 因为 , 所以当 的斜率为 或 时，四边形 为平行四边形. 解法二: (椭圆化圆) (1) 令 则椭圆 变为圆 , 点 变换后的对应点为 , 由仿射变换的性质可知, . 由圆的垂径定理可知 . 即 ,所以 为定值. (2) 若四边形 为平行四边形，则四边形 也为平行四边形， 则点 为 的中点，所以点 为 的中点， 由垂径定理知,点 到 的距离 , 又直线 过点 ,则 过点 , 设直线 的斜率为 ,则其方程为 ,所以 , 解得 ,所以直线 的斜率 , 所以符合条件的直线存在,其斜率为 . 【例 3】已知椭圆 的离心率 的取值范围为 ,直线 交椭圆于点 和 为坐标原点且 ,则椭圆长轴长的取值范围是( ) A. B. C. D. 【分析】由条件 联想到椭圆的基圆的性质,可以通过椭圆的基圆的几何性质成功地把椭圆的计算问题转化成几何问题, 从而减少计算量,本题也可利用结论 进行快速求解. 如图，设椭圆右顶点为 ，上顶点为 ，连结 ，过点 作 于点 ,记 . 又因为 ,根据椭圆的基圆性质,可知基圆方程为 . 因为 ,所以 与基圆 相切,所以有 . 又因为原点 到直线 的距离 ，所以 . 又因为 ,所以 ,即 , 于是 ,所以 . 【解答】A 【例 4】( 1 )已知圆 ，若直线 上总存在点 ，使得过点 作圆 的两条切线相互垂直，则实数 的取值范围是_____； (3) 已知动点 为椭圆 外一点，且过点 引椭圆 的两条切线相互垂直，则点 的轨迹方程为_____. 【分析】“基圆”与“蒙日圆”也是诸多考试的命题背景之一，这两题的条件中均有相互垂直的两条切线，所以可以考虑用 “蒙日圆” 直接求解. (1) 由题意知,点 在圆 的蒙日圆 上, 所以原条件等价于直线 与蒙日圆 有公共点, 所以 ,解得 或 . (2) 由题意知,点 的轨迹是椭圆 的蒙日圆,所以得到轨迹方程 . 【解答】 或 ; . 【例 5】已知 是椭圆 的左、右顶点,直线 交椭圆 于 两点, 记 的斜率为 的斜率为 ,且 . 求证: 直线 过定点. 【分析】二次曲线的极点、极线常作为命题背景出现在高考、自招、竞赛中, 熟悉这一内容将会使解题更有方向性、简洁性, 结合图象容易联想到这是椭圆的极点、极线问题. 【解答】设 与 交于点 与 交于点 ,则点 对应的极线过点 . 由题意，直线 的方程为 ，直线 的方程为 . 由 解得 . 设 ,则对应的极线方程为 ,即 . 又因为点 在极线上,所以 , 所以 ,直线 过定点 . 【例 6】已知 是椭圆 的焦点. (1) 设 是该椭圆的一条切线， ， 分别是 ， 在 上的垂足，证明: . (2) 设 是该椭圆过椭圆外的一点 的两条切线，切点分别为 ，证明: 【分析】利用椭圆的切线方程与光学性质. 【解答】(1)解法一: 设切点 ,则 , 所以 ,证毕. 解法二: 如图 1,设切点为 ,由椭圆的光学性质可设 , 则 . 在 中,由余弦定理得, 所以 ,即得 . 图 1 图 2 (3) 如图2，分别作 ， 关于切线 ， 对称的点 ， . 因为 , 所以 ,于是 , 从而 ,即 , 因此 ,证毕. 学科网（北京）股份有限公司 $