第04讲 圆讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学单元学案以“圆的几何性质与综合应用”为核心，围绕圆的方程、位置关系、切线、距离及轨迹等六大模块设计课时递进任务，通过例题精讲与变式训练形成闭环学习路径，帮助学生从概念理解到问题解决逐步建构知识体系，实现从单一知识点掌握到多维能力融合的跃升。 亮点在于“圆的几何意义探究”项目化学习设计，学生需结合直线与圆的位置关系、点到圆的距离最值等问题开展小组合作探究，运用数形结合思想分析动态变化规律，发展直观想象与逻辑推理素养。每课时均设置“思维导图梳理”和“易错点辨析”环节，强化结构化认知，提升解题策略意识。该学案既支持学生自主构建知识网络，也为教师实施大单元教学提供清晰的教学支架与评价依据。

第04讲 圆 考向一 圆的方程及其判断 【例1-1】（25-26高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求圆的标准方程： (1)圆心在点，且过点； (2)过点和点，半径为； (3)过三点. 【例1-2】（24-25高一下·重庆·期末）下列方程一定表示圆的是（    ）． A． B． C． D． 【例1-3】（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【例1-4】（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（24-25高二上·北京密云·期末）圆心为且过原点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川眉山）方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河南周口·期中）已知圆心在轴上的圆过点且与轴相切，则该圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江嘉兴）“”是“圆不经过第三象限”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考向二 点与圆的位置关系 【例2-1】（24-25高二上·甘肃白银·期中）点在圆的（   ） A．外部 B．内部 C．圆周上 D．无法确定 【例2-2】（23-24高二上·广东惠州·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值有关 【例2-3】（24-25高二上·安徽·期末）已知点在圆的外部，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式】 1．（24-25高二上·湖北宜昌）已知点，圆，则（    ） A．A，B都在C内 B．A在C外，B在C内 C．A，B都在C外 D．A在C内，B在C外 2．（2024湖北）已知点，与圆O：，则（    ） A．点A与点B都在圆O外 B．点A在圆O外，点B在圆O内 C．点A在圆O内，点B在圆O外 D．点A与点B都在圆O内 3．（24-25高二上·福建福州·期中）已知点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D．∪ 考向三 直线与圆的位置关系 【例3-1】（24-25高二下·广东深圳·期末）直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 【例3-2】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．与有关，不能确定 【例3-3（24-25高二下·贵州毕节·期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（　　） A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相离 C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交 2．（2025·陕西西安·模拟预测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 3．（24-25云南曲靖）若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考向四 圆与圆的位置关系 【例4-1】（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【例4-2】（24-25高二下·湖南娄底·期中）圆与圆的公切线有且仅有（   ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【变式】 1．（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 2．（24-25 辽宁·期中）圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系不可能为（ ） A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 考向五 直线与圆的距离问题 【例5-1】（25-26高二上·全国·课后作业）直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（2025高三·全国·专题练习）已知P是：上的动点，则P到直线l：距离的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【例5-3】（24-25高二下·浙江衢州·期中）已知直线（其中为常数），圆，则直线被圆截得的弦长最小值为（   ） A． B． C． D． 【例5-4】（2025·湖北恩施）直线，圆，则圆上的点到直线的距离等于的点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式】 1．（24-25高二下·安徽滁州）圆上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 2．（24-25高二上·浙江衢州·期末）已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的最短弦长为（    ） A． B．2 C． D．4 3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知直线：，是圆：上的一动点，则点到直线的距离的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·重庆·开学考试）直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为 5．（24-25高二下·上海杨浦·期末）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是 ． 考向六 圆与圆的公共弦长 【例6】（24-25高二上·湖北荆州）（多选）已知圆：与圆：，下列说法正确的是（   ） A．与的公切线恰有4条 B．与相交弦的方程为 C．与相交弦的弦长为 D．若，分别是圆，上的动点，则 【变式】 1．（24-25高一上·广东·阶段练习）圆与圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26湖北）（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．两圆相交 B．直线的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段的长为 3．（25-26海南）（多选）圆和圆的交点为A，B，则有（    ） A．公共弦AB所在直线的方程为 B．公共弦AB所在直线的方程为 C．公共弦AB的长为 D．若P为圆上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为 考向七 切线方程 【例7-1】（24-25高二下·上海闵行·期末）已知点在圆上，则过点M的圆C的切线方程为 ． 【例7-2】（24-25高二上·广东茂名·期末）过点作圆的切线，则直线的方程为 .（写出一条方程即可） 【例7-3】（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）（多选）与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2025高三·全国·专题练习）圆过点的切线方程为 ． 2．（24-25内蒙古包头）过点且与圆相切的一条直线方程为 . 3．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 考向八 （公）切线长 【例8-1】（24-25高二下·甘肃甘南·期末）过圆外的点作O的一条切线，切点为A，则（   ） A． B． C． D．5 【例8-2】（2025·四川成都·模拟预测）过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【例8-3】（24-25高二上·湖南·阶段练习）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【变式】 1．（2025·重庆）过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（    ） A．2 B． C． D．4 2．（24-25高二上·河南焦作·期末）过直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（    ） A．6 B．4 C． D． 3．（24-25高二上·河南郑州·期末）已知是直线 上一动点，过点作圆 的两条切线，切点分别为 ，则四边形周长的最小值为（    ） A． B． C． D．8 4．（24-25高二上·广西钦州·期末）（多选）已知圆，点是直线上的点，则（    ） A．圆上有两个点到直线的距离为2 B．圆上只有一个点到直线的距离为2 C．从点向圆引切线，切线长的最小值为 D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 考向九 切点直线方程及切点弦长 【例9-1】（2023高三·全国·专题练习）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【例9-2】（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知是上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，当直线与平行时，（    ） A． B． C． D．4 【变式】 1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆的圆心为，且经过点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南漯河·期末）设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·模拟预测）已知点是直线上任意一点，过点作圆的两条切线，切点坐标分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 考向十 轨迹方程 【例10】（2025·江苏连云港）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（25-26高二上·重庆·开学考试）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·北京大兴·期中）已知圆经过点和点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 考向十一 直线与圆的几何意义 【例11】（2025广东）点是曲线上的动点，求下列各式的取值范围． (1)；(2)；(3)；(4)． 【变式】 1．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知实数x，y满足方程，则的最大值为 ，的取值范围是 ． 3．（23-24高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知，是实数，且． (1)求的最值； (2)求的取值范围； (3)求的最值． 考向十二 直线与圆的综合运用 【例12-1】（24-25高二上·湖北黄冈）（多选）已知圆，直线，点P在直线l上运动，直线，分别切圆C于点A，B.则下列说法正确的是（    ） A．四边形的面积最小值为 B．M为圆C上一动点，则最小值为 C．最短时，弦直线方程为 D．最短时，弦长为   【例12-2】（24-25高二上·浙江丽水·期末）（多选）已知圆，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，圆与圆相离 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆相交 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线方程是 【变式】 1．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）（多选）已知圆：，过直线：上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则（    ） A．若点，则直线的方程为 B．面积的最小值为 C．直线过定点 D．以线段为直径的圆可能不经过点 2（24-25高二上·广东清远·期中）（多选）已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．当时，圆与圆相离 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆有一条公切线是 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 3．（23-24高三上·湖南·阶段练习）（多选）若圆：和：（）有且仅有一条公切线l，则下列结论正确的是（    ） A．圆与圆内切 B． C．公切线l的方程为 D．公切线l的方程为 题组一 圆的方程及其判断 1．（24-25高二下·甘肃白银·期末）圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·课后作业）圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·贵州黔南）“关于，的方程：表示圆”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（23-24高二上·辽宁抚顺·期中）已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·河南周口·开学考试）已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的标准方程是 ． 8．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，则圆的标准方程是 . 9．（2025·河南·模拟预测）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，，则圆的方程是 . 10．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若圆的方程为，则实数的取值范围为 . 11．（2025高三·全国·专题练习）曲线与曲线关于直线对称，则曲线的方程为 ． 12．（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 13．（2025上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 14．（25-26高二上·全国·课后作业）圆关于直线对称，则 ． 15．（2025高二·全国·专题练习）已知圆，斜率为1的直线与交于，，以为直径的圆过原点，则直线的方程为 ． 题组二 点与圆的位置关系 1．（24-25高二上·河北唐山·期末）已知圆，则下列各点在圆上的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·陕西铜川·期中）已知点，圆，则（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．点与圆的位置关系不确定 3．（2025安徽六安·期中）点P（0，1）与圆位置关系是（    ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不确定 题组三 直线与圆的位置关系 1．（25-26高二上·全国·单元测试）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交且直线过圆心 D．相交但直线不过圆心 2．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知直线与圆，则（   ） A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 3．（24-25高二上·广东肇庆·期中）直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切或相离 6．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，直线，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 7．（24-25高二下·湖北荆门·期末）设直线，圆，则与圆C（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 8．（24-25高二下·湖南娄底·期中）已知直线和圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 9．（2025·陕西·三模）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与有关，不能确定 10．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（25-26湖北）（多选）已知直线，圆，点，则（    ） A．若在圆上，则直线与圆相交 B．若在圆内，则直线与圆相离 C．若在圆外，则直线与圆相交 D．若在直线上，则直线与圆相离 12．（24-25高二上·吉林通化）（多选）能使圆：恰有四个点到直线：距离等于1，则的值可能为（   ） A．0 B．1 C． D． 题组四 圆与圆的位置关系 1．（24-25高二上·北京密云·期末）已知圆和圆，则它们的位置关系是（    ） A．外离 B．相切 C．内含 D．相交 2．（24-25高二下·上海浦东新·期中）圆和与圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 3．（25-26河南）圆：与圆的公切线条数是 ． 4．（24-25高二下·江苏南京）圆与圆的公切线的条数是 条． 5．（24-25高二下·广西崇左·期末）圆与圆的位置关系是 ． 6．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知圆与圆，则两圆的位置关系是 . 题组五 直线与圆的距离 1．（24-25高二下·广西桂林·期末）直线与圆交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·天津·期中）已知圆O的方程是，则圆O中过点的最短弦所在的直线方程是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建莆田）（多选）已知直线被圆截得的弦为，则（   ） A．半径为5 B．圆心 C．圆心C到直线距离为 D． 4．（2025·北京）经过点，半径为2的圆的圆心为A，则点A到直线的距离最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广东肇庆）设直线与圆相交于两点，且，则为（    ） A．2 B． C．3 D． 6．（24-25高二下·河南周口）（多选）已知圆，直线，则下列说法正确的是（   ） A．当时，被圆截得的弦长为 B．恒过点 C．当被圆截得的弦长最大时，的斜率为 D．被圆截得的弦长的最小值为 7．（25-26高二上·全国·单元测试）已知点及圆：，若为上动点，则点到直线AB的距离的最大值为 ． 8．（24-25高二下·湖南·期末）已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的取值范围为 ． 9．（2025·全国·模拟预测）已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有 条. 10．（24-25高二下·上海奉贤·期末）已知直线与圆相交于、两点，则 . 11．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ． 题组六 圆与圆的公共弦长 1．（25-26高二上·全国·单元测试）（多选）已知圆，圆．则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当圆和圆有三条公切线时，若P，Q分别是圆上的动点，则 C．若圆和圆共有2条公切线，则 D．当时，圆与圆相交弦的弦长为 2．（2025·贵州毕节）（多选）已知圆，圆，则（    ） A．当时，圆与圆相切 B．当时，圆与圆相交于两点，且直线的方程为 C．当时，圆与圆相交 D．当时，圆与圆相交于两点，且 3．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）（多选）已知圆和圆，则（    ） A．相交 B．相离 C．公共弦所在的方程式 D．公共弦长是 4．（24-25高二上·江苏镇江·期中）（多选）圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．圆与圆的公切线段长为1 D．线段的中垂线方程为 5．（23-24高二上·江苏苏州·期中）（多选）已知圆与直线，点在直线上运动，直线，分别与圆切于点，，则下列说法正确的是（    ） A．四边形的面积最小值为 B．最短时，弦长为 C．最短时，弦直线方程为 D．直线过定点 题组七 切线方程 1．（24-25高二上·湖南怀化·期末）过点作圆的切线，则切线的斜率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河北邯郸）（多选）已知直线过点，且直线与圆相切，则直线的方程可能是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26 安徽阜阳·开学考试）过点与圆相切的直线方程为 . 5．（24-25上海·阶段练习）已知为圆上一点，过点的圆的切线的方程为 . 6．（2025·甘肃平凉）过点与圆：相切的直线方程为 . 7．（24-25高二下·上海·阶段练习）圆的过点的切线的一般式方程为 . 8．（24-25高二上·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程 . 9．（24-25高二上·广东·阶段练习）已知圆，圆，则的公切线方程为 ．（写出一条即可） 10．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知圆O：与圆C关于直线l：对称，则圆O与圆C的一条公切线方程为 （写出其中一条公切线方程即可）. 11．（24-25高二上·福建南平·期中）写出与圆和圆都相切的一条切线方程 . 12．（24-25高二上·河北张家口·期中）已知圆与圆，则圆和圆的一条公切线的方程为 . 13．（24-25高二上·山西·阶段练习）圆和圆的公切线的方程为 . 题组八 （公）切线长 1．（2025·江西萍乡）过点作圆的切线，记其中一个切点为，则（   ） A．16 B．4 C．21 D． 2．（2024海南）经过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025湖南）已知圆，点是直线上的点，则（ ） A．圆上有两个点到直线的距离为2 B．圆上不存在点到直线的距离为2 C．从点向圆引切线，切线长的最小值为 D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 4．（2025·山东烟台）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（    ）． A．5 B． C． D．10 5．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 题组九 切点直线方程 1．（24-25高二上·广东肇庆·期末）（多选）已知圆和圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为、，则（   ） A．线段的最小值为 B．线段的最大值为 C．当直线与圆相切时，原点到直线的距离为 D．当直线平分圆的周长时，原点到直线的距离为 2．（2024·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 3．（25-26高二上·全国·单元测试）过点作圆的两条切线，设切点分别为A，B，则 ． 4．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为 ． 5．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，圆，点为直线上一动点，过动点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为 ，直线所经过的定点的坐标为 ． 6．（25-26高二上·全国·课后作业）过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 ． 7．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知圆，是x轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点 ． 8．（23-24 重庆·阶段练习）过直线上任意一点作圆：的两条切线，则切点分别是，则面积的最大值为 . 9．（23-24高二上·四川南充·阶段练习）已知圆，点为轴上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为 . 10．（24-25 黑龙江牡丹江）过原点作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为 . 题组十 轨迹方程 1．（24-25高二上·青海西宁·期中）已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为 . 2（2025高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知两个定点，，若动点满足，则动点的轨迹为 ． 题组十一 直线与圆的几何意义 1．（25-26高三上·浙江温州·阶段练习）在平面直角坐标系中，存在圆，点和点，M为圆O上的动点，则下列说法中正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 2．（25-26 山东泰安 ）已知圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·广东揭阳·开学考试）已知点为直线上位于第一象限内的动点，则下列结论正确的是（   ） A．ab的最小值为2 B．的最小值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 4．（2025·湖南益阳）在中，为的中点，为平面内一点，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 5．（25-26 河北）若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26 安徽合肥 ）已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26湖南）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 8．（2025海南）函数的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 9．（2025湖北）已知，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．（25-26四川绵阳）（多选）已知实数x，y满足，设，则（   ） A．的最小值 B．的最大值 C．存在使得 D．对于任意，存在使得 11．（2025·陕西西安）已知，满足，则的最小值为 . 题组十二 直线与圆的综合运用 1．（23-24高二上·山东青岛·期中）（多选）已知圆，圆，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆内 B．圆上的点到直线的最小距离为1 C．圆和圆的公切线长为2 D．圆和圆的公共弦所在的直线方程为 2．（23-24高二上·江苏镇江·开学考试）（多选）已知圆M：，圆N：，则下列选项正确的是（    ） A．直线MN的方程为 B．若P､Q两点分别是圆M和圆N上的动点，则的最大值为5 C．圆M和圆N的一条公切线长为 D．经过点M､N两点的所有圆中面积最小的圆的面积为 3．（2025·江苏徐州）（多选）已知圆，P为圆O上的动点，则（    ） A．圆心O关于直线AB的对称点为 B．动点P到直线AB的距离最大值为 C．以AB为直径的圆与圆O有2条公切线 D．分别过A，B两点所作的圆O的切线长相等 4．（24-25高二上·广西贵港·期末）（多选）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（   ） A．圆上有两个点到直线的距离为2 B．圆上只有一个点到直线的距离为2 C． D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 5．（24-25高二上·福建漳州·阶段练习）（多选）已知圆，点P是直线上一动点，过点P作圆M的切线，切点分别是A、B，下列说法正确的有（   ） A．圆M上恰有一个点到直线l的距离为 B．切线长的最小值为1 C．四边形面积的最小值为1 D．直线恒过定点 6．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）（多选）已知圆O：，点是圆O上的点，直线l：，则（    ） A．圆O上恰有3个点到直线l的距离等于1 B．直线l与圆O相交弦长 C．过点P的圆O的切线方程是 D．过点P向圆M：引切线，A为切点．则最小值为 7．（24-25高二上·广东·阶段练习）（多选）已知圆是直线上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆C相切于点A，B，则（    ） A．圆C上恰有1个点到直线l的距离为 B．|PA|的最小值是 C．|AB|存在最大值 D．|AB|的最小值是 8．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）（多选）已知点及圆，点是圆上的动点，则（    ） A．过原点与点的直线被圆截得的弦长为 B．过点作圆的切线，则切线方程为 C．当点到直线的距离最大时，过点与平行的一条直线的方程为 D．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 9．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）（多选）对于直线l：与圆C：的以下说法正确的有（    ） A．l过定点 B．l被C截得的弦长最长时， C．l与C相切时，或 D．l与C相切时，记两种情形下的两个切点分别为A、B，则 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 圆 考向一 圆的方程及其判断 【例1-1】（25-26高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求圆的标准方程： (1)圆心在点，且过点； (2)过点和点，半径为； (3)过三点. 【答案】(1) (2)或 (3) 【解析】（1）所求圆的半径.又因为圆心为， 所以所求圆的方程为. （2）设圆心坐标为，则圆的方程为. 因为是圆上的点，所以解得或， 因此，所求圆的方程为或. （3）设圆的标准方程为， 得，得， 所以圆的标准方程是. 【例1-2】（24-25高一下·重庆·期末）下列方程一定表示圆的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，方程表示点，A不是； 对于B，方程化为，此方程表示圆，B是； 对于C，当时，方程表示点，C不是； 对于D，方程化为表示两条平行直线，D不是. 故选：B 【例1-3】（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，由可得， 所以，即，解得或， 当时，方程为，可化为，不合题意； 当时，方程为，可化为，符合题意， 所以. 故选：. 【例1-4】（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的方程化为， 由得或，故圆恒过定点．故选：D． 【变式】 1．（24-25高二上·北京密云·期末）圆心为且过原点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆心为的圆的方程为，又因为原点在圆上，则， 所以.故选：D. 2．（2025·四川眉山）方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若方程表示圆，则，解得， 因此，实数的取值范围是.故选：D. 3．（24-25高二下·河南周口·期中）已知圆心在轴上的圆过点且与轴相切，则该圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆心坐标为：由题意可知圆的标准方程为：，由圆过点， 所以，解得：，所以圆的标准方程为，故选：C 4．（2025·浙江嘉兴）“”是“圆不经过第三象限”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】圆整理可得， 可知圆心为，半径，且， 若圆不经过第三象限， 等价于原点不在圆内，则，可得， 且是的真子集， 所以“”是“圆不经过第三象限”的必要不充分条件. 故选：B. 考向二 点与圆的位置关系 【例2-1】（24-25高二上·甘肃白银·期中）点在圆的（   ） A．外部 B．内部 C．圆周上 D．无法确定 【答案】A 【解析】因为，所以点在圆的外部．故选：A. 【例2-2】（23-24高二上·广东惠州·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值有关 【答案】A 【解析】，在圆外，故选：A. 【例2-3】（24-25高二上·安徽·期末）已知点在圆的外部，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，圆，则①， 由点在圆外，则有②，联立①②得：或 所以实数m的取值范围为故选：C 【变式】 1．（24-25高二上·湖北宜昌）已知点，圆，则（    ） A．A，B都在C内 B．A在C外，B在C内 C．A，B都在C外 D．A在C内，B在C外 【答案】D 【解析】由题意，，所以A在C内，B在C外.故选：D. 2．（2024湖北）已知点，与圆O：，则（    ） A．点A与点B都在圆O外 B．点A在圆O外，点B在圆O内 C．点A在圆O内，点B在圆O外 D．点A与点B都在圆O内 【答案】C 【解析】将代入圆的方程，可得，所以点A在圆O内；将代入圆的方程，可得，所以点B在圆O外．故选：C． 3．（24-25高二上·福建福州·期中）已知点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D．∪ 【答案】B 【解析】圆的方程可化为，则，可得， 又点在圆外，则，可得，所以.故选：B 考向三 直线与圆的位置关系 【例3-1】（24-25高二下·广东深圳·期末）直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 【答案】A 【解析】的圆心和半径分别为， 则圆心到直线的距离为，故直线与圆相交但不经过圆心，故选：A 【例3-2】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．与有关，不能确定 【答案】C 【解析】直线，即， 令，解得，即直线过点，又， 则点在圆内，所以直线与圆相交，有个公共点，故选：C. 【例3-3（24-25高二下·贵州毕节·期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得， 直线经过定点，如图， 当直线与半圆相切时，， 所以恰有两个公共点时，由图可知，，故选：D． 【变式】 1．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（　　） A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相离 C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交 【答案】A 【解析】圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切， 因为，故点在圆上.故选：A. 2．（2025·陕西西安·模拟预测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【答案】C 【解析】因直线过定点， 由配方得：，可得圆心为，半径为， 因为，所以点在圆内，故直线与圆相交. 故选：C. 3．（24-25云南曲靖）若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆C的圆心为，半径， 到直线的距离，解得， 又，所以.故选：B. 考向四 圆与圆的位置关系 【例4-1】（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【解析】，圆心，半径，可化简为， 则圆的圆心为，半径，，所以两圆相交.故选：C. 【例4-2】（24-25高二下·湖南娄底·期中）圆与圆的公切线有且仅有（   ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】A 【解析】圆：，所以，.圆：，所以，. 因为，，所以.所以圆与圆相离.所以两圆有4条公切线.故选：A 【变式】 1．（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【解析】由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 则，，， 由，则两圆相交. 故选：C. 2．（24-25 辽宁·期中）圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】圆的方程等价于，所以圆是以为圆心，为半径的圆， 圆 是以为圆心，为半径的圆，所以圆，圆的圆心距为， 圆，圆半径之和为，即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切， 所以圆，圆有3条公切线．故选：C 3．（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系不可能为（ ） A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 【答案】C 【解析】，故的圆心为，半径为， ，故的圆心为，半径为， 故，当且仅当时，等号成立，而， 当时，两圆外离或相交，时，两圆内切，故两圆不可能内含.故选：C 考向五 直线与圆的距离问题 【例5-1】（25-26高二上·全国·课后作业）直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径为3，则圆心到直线的距离为，则直线被圆截得的弦长为．故选：B. 【例5-2】（2025高三·全国·专题练习）已知P是：上的动点，则P到直线l：距离的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】圆C的方程可化为，所以，半径， 则C到直线l：的距离为，所以所求距离的最小值为． 故选：C 【例5-3】（24-25高二下·浙江衢州·期中）已知直线（其中为常数），圆，则直线被圆截得的弦长最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线，整理可得， 令，解得，故直线过定点， 又圆，则圆心，半径圆， 根据圆的性质，当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短， 结合，可得直线被圆截得的最短弦长等于. 故选：C. 【例5-4】（2025·湖北恩施）直线，圆，则圆上的点到直线的距离等于的点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【解析】因为直线，圆，所以，， 由于圆的半径为2，所以恰好有3个对应的点到直线的距离等于.故选：D. 【变式】 1．（24-25高二下·安徽滁州）圆上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】已知圆的标准方程为：，则其圆心,半径. 直线方程为，根据点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离为：. 因为，那么圆与直线相离. 因此，圆上点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径，即： 故选:A. 2．（24-25高二上·浙江衢州·期末）已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的最短弦长为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【解析】由题意，直线l：过定点，圆心，半径， 因为，所以点P在圆内， 当直线CP与弦垂直时，弦长最短， 且， 所以最短弦长为故选：C 3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知直线：，是圆：上的一动点，则点到直线的距离的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线：，可化为， 由，解得，，所以过定点， 又因为点在圆上，且，圆的圆心为，半径， 所以当，且，，三点共线时，点到直线的距离最大，最大为， 此时，所以直线的斜率为1，即，无解， 故直线不存在，所以； 当直线与圆相交或相切时，点到直线的距离最小，最小为0， 故点到直线的距离的取值范围为．故选：B． 4．（25-26高二上·重庆·开学考试）直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为 【答案】3 【解析】，故圆心为，半径为3， 到的距离为， 又，故过点作垂直与圆交于点，在上取点，使得， 过点作⊥，交圆于点，所以圆上到直线距离为1的点的个数为3，分别为. 5．（24-25高二下·上海杨浦·期末）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】圆心到直线的距离，又圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，即，解得.故答案为：. 考向六 圆与圆的公共弦长 【例6】（24-25高二上·湖北荆州）（多选）已知圆：与圆：，下列说法正确的是（   ） A．与的公切线恰有4条 B．与相交弦的方程为 C．与相交弦的弦长为 D．若，分别是圆，上的动点，则 【答案】BD 【解析】对于A，由已知得圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， ，， 故两圆相交，所以与的公切线恰有2条，故A错误； 对于B，做差可得与相交弦的方程为，故B正确； 对于C，到相交弦的距离为， 故相交弦的弦长为，故C错误；对于D，若，分别是圆，上的动点， 因为，则，故D正确.故选：BD 【变式】 1．（24-25高一上·广东·阶段练习）圆与圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆与圆，相减得， 圆心到直线的距离，，则公共弦长为． 故选：C． 2．（25-26湖北）（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．两圆相交 B．直线的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段的长为 【答案】ACD 【解析】对于AC，圆的圆心是，半径为2；圆的圆心是，半径为1， 圆心距为，所以两圆相交，公切线有两条．故AC正确； 对于B，将两圆方程相减，整理得．故B不正确； 对于D，点到直线的距离为， 所以．故D正确. 故选：ACD 3．（25-26海南）（多选）圆和圆的交点为A，B，则有（    ） A．公共弦AB所在直线的方程为 B．公共弦AB所在直线的方程为 C．公共弦AB的长为 D．若P为圆上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为 【答案】AD 【解析】由两圆的方程作差可知公共弦AB所在直线的方程为，即；故A正确，B错误， 由， 易知，半径， 则点到直线的距离， 故弦长；故C正确， 当，并在如图所示位置时， P到直线AB的距离最大，为； 故选：AD. 考向七 切线方程 【例7-1】（24-25高二下·上海闵行·期末）已知点在圆上，则过点M的圆C的切线方程为 ． 【答案】 【解析】由于点在圆上，所以，所以圆， 所以圆心，，所以过点M的圆C的切线的斜率为， 所以过点M的圆C的切线方程为，化简得.故答案为： 【例7-2】（24-25高二上·广东茂名·期末）过点作圆的切线，则直线的方程为 .（写出一条方程即可） 【答案】或（写出一条即可） 【解析】由可知：直线一定有斜率，故设：， 则，化简可得，故或， 当时，切线方程为，当时，切线方程为， 故切线方程为：或，故答案为：或 【例7-3】（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）（多选）与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切， 则两圆有三条公切线，如图， 的中点为两圆外切切点， 当公切线过的中点，且与垂直时， 因为，所以公切线的方程为，即； 当公切线与平行，且到公切线的距离为时， 设公切线的方程为， 所以，解得或， 所以公切线的方程为或． 综上所述，公切线的方程为或或. 故选：BCD． 【变式】 1．（2025高三·全国·专题练习）圆过点的切线方程为 ． 【答案】 【解析】解法一由知点在圆上，连接， 设切线为，则，如图，，则， 则切线的斜率为，所以切线方程为， 整理得． 故答案为：. 解法二  由知点在圆上， 则所求切线的方程为， 整理得． 故答案为：. 2．（24-25内蒙古包头）过点且与圆相切的一条直线方程为 . 【答案】或 【解析】由知在圆外， 当切线斜率不存在时，切线方程为，满足题意； 当切线斜率存在时，设斜率为，所以切线方程为，所以， 所以，所以，所以切线方程为． 综上，切线方程为或. 故答案为：或. 3．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得，故选：. 考向八 （公）切线长 【例8-1】（24-25高二下·甘肃甘南·期末）过圆外的点作O的一条切线，切点为A，则（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【解析】由题意可知：圆O的圆心为，半径，所以，即．故选：B. 【例8-2】（2025·四川成都·模拟预测）过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【解析】已知圆的方程为，可得圆心，半径. 因为PQ为圆的切线，所以，在中，根据勾股定理可得. 已知，则. 点，根据两点间距离公式，可得. 因为，当且仅当时，，此时取得最小值，. 因为，当取最小值时，，则. 的最小值为.故选：A. 【例8-3】（24-25高二上·湖南·阶段练习）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【解析】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴，则公切线的长为， 方法二：，所以内公切线的长为：故选：D 【变式】 1．（2025·重庆）过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【解析】由题意有，即.故选：B. 2．（24-25高二上·河南焦作·期末）过直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（    ） A．6 B．4 C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心，半径， 由题意可得，则， 则当取得最小值时，线段长度的最小， 则，所以. 故选：B. 3．（24-25高二上·河南郑州·期末）已知是直线 上一动点，过点作圆 的两条切线，切点分别为 ，则四边形周长的最小值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】B 【解析】圆，即， 由对称性可知，四边形的周长为， 而，的最小值为点到直线的距离为， 所以的最小值为，则四边形的周长的最小值为.故选：B 4．（24-25高二上·广西钦州·期末）（多选）已知圆，点是直线上的点，则（    ） A．圆上有两个点到直线的距离为2 B．圆上只有一个点到直线的距离为2 C．从点向圆引切线，切线长的最小值为 D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】BC 【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径. 圆心到直线的距离，所以A不正确，B正确. 从点向圆引一条切线，设切点为，连接，    则，则， 当时，取得最小值，此时取得最小值， 即，故C正确，D不正确.故选：BC 考向九 切点直线方程及切点弦长 【例9-1】（2023高三·全国·专题练习）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，可知圆的圆心为，半径， 过点作圆的两条切线，设切点分别为、， 而，则， 则以为圆心，为半径为圆为，即圆， 所以为两圆的公共弦所在的直线，则有， 作差变形可得：；即直线的方程为.故选：B. 【例9-2】（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知是上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，当直线与平行时，（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【解析】连接，由切圆于知，， 因为直线与平行，则，，而圆半径为， 于是，由四边形面积，得， 所以.   故选：C 【变式】 1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆的圆心为，且经过点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，圆的半径为圆的标准方程为． 当斜率不存在时，过点的直线为，与圆相切于点． 由圆的切线的性质可知，， 直线AB的方程为，即． 故选：A. 2．（24-25高二下·河南漯河·期末）设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，连接，， 根据题意，设为直线上的一点，则， 由于为圆的切线，则有，， 则点、在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为，半径， 则其方程为，变形可得， 联立可得直线AB：， 又由，则有AB：， 变形可得， 则有，解可得，故直线恒过定点. 故选：B. 3．（2023·全国·模拟预测）已知点是直线上任意一点，过点作圆的两条切线，切点坐标分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知当最小时，不经过点， 此时①， ②， 由①②可得，即， 所以当最小时，最小， 又因为点是直线上任意一点， 所以当时，取得最小值，且， 所以. 故选：B．    考向十 轨迹方程 【例10】（2025·江苏连云港）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，由为的中点，则，即， 由点在圆上，则，即，化简可得. 故选：D. 【变式】 1．（25-26高二上·重庆·开学考试）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点，，因为为的中点，所以，则，即， 又因为动点在圆上，所以，则，即， 则点轨迹方程为.故选：A. 2．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，由题意可知，所以， 又因为，所以，化简可得， 所以的轨迹方程为，故选：A. 3．（23-24高二上·北京大兴·期中）已知圆经过点和点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解：设圆的方程为， 故圆心为， 由题意得，解得，所以圆的方程为； （2）设点的坐标是，点的坐标是． 因为点的坐标是，且是线段的中点，所以．故．   ① 因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即．     ② 把①代入②，得，整理，得． 考向十一 直线与圆的几何意义 【例11】（2025广东）点是曲线上的动点，求下列各式的取值范围． (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【解析】（1）点在以为圆心，为半径的半圆上，记， 表示点到点的距离平方减1，如图1． 因为， ，所以． （2）设直线，为直线在轴上的截距，如图2． 圆心到直线的距离为，解得． 当过点时，有，结合图象可知． （3）令，表示过点和的直线斜率， 将点代入，得． 又由，得． 圆心到直线的距离为1，即，即， 化简并整理得． 解得． 由图3可知，取，故． （4）如图4，令，化简得，即． 表示过点和的直线斜率加2， 由得． 令，即， 由得， 化简并整理得，解得． 由图4可知，故． 【变式】 1．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，问题可转化为直线与圆有公共点． 由，得，所以的取值范围为，故选：A 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知实数x，y满足方程，则的最大值为 ，的取值范围是 ． 【答案】 【解析】方法一  可化为，此方程表示圆心为，半径为1的圆． 设，则直线与圆有公共点（将所求问题转化为直线与圆有公共点进行求解是解题的关键）， 所以，解得，所以的最大值为． 表示圆上的点到直线的距离， 因为圆心到直线的距离为， 所以，即． 方法二  可化为，此方程表示圆心为，半径为1的圆， 所以可以看作是圆：上一点与原点连线的斜率， 如图所示，OA，OB与圆分别相切于A，B，所以，连接MA，OM， 所以，所以， 所以圆上一点与原点连线的斜率的最大值为．设 所以 且， 所以．    故答案为：，. 3．（23-24高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知，是实数，且． (1)求的最值； (2)求的取值范围； (3)求的最值． 【答案】(1)21 (2) (3)最小值为，最大值为 【解析】（1）设，化为， 可知直线与圆有交点，圆心，半径为2， 有，解得， 可得的最小值为1，最大值为21； （2）设，化为， 可知直线与圆有交点， 有，解得或， 故的取值范围为； （3）的几何意义为坐标原点到圆上任意一点的距离， 圆的圆心到坐标原点的距离为， 故的最小值为，最大值为． 考向十二 直线与圆的综合运用 【例12-1】（24-25高二上·湖北黄冈）（多选）已知圆，直线，点P在直线l上运动，直线，分别切圆C于点A，B.则下列说法正确的是（    ） A．四边形的面积最小值为 B．M为圆C上一动点，则最小值为 C．最短时，弦直线方程为 D．最短时，弦长为 【答案】ACD 【解析】对于A，由切线长定理可得，又因为，所以， 所以四边形的面积， 因为，当时，取最小值，且， 所以四边形的面积的最小值为，故A正确； 对于B，因为，所以最小值为，故B错误； 对于C，由题意可知点，，在以为直径的圆上，设， 其圆的方程为：， 化简为，与方程相减可得：， 则直线的方程为，当最短时，，则， 解得，故直线的方程为，故C正确； 对于D，当最短时，圆心C到直线的距离， 所以弦长为，故D正确. 故选：ACD.    【例12-2】（24-25高二上·浙江丽水·期末）（多选）已知圆，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，圆与圆相离 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆相交 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线方程是 【答案】ABD 【解析】圆的圆心坐标为，半径；圆的圆心坐标为，半径为. 则两圆的圆心距. 对于A，当时，.，知圆与圆相离，A正确； 对于B，当时，，由可得两圆相离. 因圆心到的距离为；圆心到的距离为， 故是圆与圆的一条公切线，B正确； 对于C，当时，，因为，两圆相离，C错误； 对于D，当时，将两圆方程相减得：， 整理得，即圆与圆的公共弦所在直线方程是，D正确. 故选：ABD. 【变式】 1．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）（多选）已知圆：，过直线：上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则（    ） A．若点，则直线的方程为 B．面积的最小值为 C．直线过定点 D．以线段为直径的圆可能不经过点 【答案】BCD 【解析】】A选项，若，则直线的方程为，，以P为圆心，4为半径的圆的方程为，即，    由，两式相减得，，故A错误； B选项，到直线：的距离为， 而，所以的最小值为， 所以面积的最小值为，故B正确； C选项，设，， 线段的中点坐标为， 所以以为直径的圆的方程为， 化简得：， 由，两式相减得， 即， 由，解得， 所以直线过定点，故C正确； D选项，由A选项，由， 解得或, 即，，， 即此时以线段为直径的圆不经过点，故D正确． 故选：BCD. 2（24-25高二上·广东清远·期中）（多选）已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．当时，圆与圆相离 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆有一条公切线是 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】ACD 【解析】由可知圆心为，半径为1， 由可知圆心为， 半径为，两圆圆心距为， 对于A，当时，，圆与圆相离，故A正确； 对于B，当时，与圆相切，圆心到的距离为3， 即与圆不相切，所以不是圆与圆的一条公切线，故B错误； 对于C，当时，，圆与圆外切，公切线有三种情况： ①易知公切线的方程为. ②另一条公切线与公切线关于过两圆圆心的直线对称. 易知过两圆圆心的直线的方程为，由，得， 由对称性可知公切线过点， 设公切线的方程为，则点到的距离为1， 所以，解得，所以公切线的方程为， 即. ③还有一条公切线与直线垂直，设公切线的方程为， 易知，则点到的距离为1， 所以，解得或（舍去）， 所以公切线的方程为，即. 综上，所求直线方程为或或，故C正确； 对于D，当时，，此时两圆相交， 圆的一般方程为， 与圆的方程相减可得，故D正确. 故选：ACD. 3．（23-24高三上·湖南·阶段练习）（多选）若圆：和：（）有且仅有一条公切线l，则下列结论正确的是（    ） A．圆与圆内切 B． C．公切线l的方程为 D．公切线l的方程为 【答案】ABD 【解析】圆与圆有且仅有一条公切线l，两圆相切. 圆：的圆心为，半径为， 圆：（）， 即，圆心，半径为. A项，将代入方程左边得， 则圆心在圆内，故两圆不可能外切，所以与内切，故A正确； B项，圆， 由圆与内切，所以， 由，即，解得，故B正确； CD项， ，得，则公切线斜率为， 法一：联立方程和，解得， 所以切点的坐标为， 故所求公切线的方程为，即． 法二： ①；②， 两圆方程作差得，即． 设两圆切点，则点的坐标适合方程①②，则也适合方程， 又直线斜率为，即与两圆圆心连线垂直， 故直线是过点且垂直于的直线，即为两圆公切线. 故C错误，D正确．故选：ABD．    题组一 圆的方程及其判断 1．（24-25高二下·甘肃白银·期末）圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设所求圆的方程为，因为该圆过点，，所以解得，所以该圆的方程为.故选：A. 2．（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设的外接圆方程为，因为，，， 所以，解得，所以的外接圆方程为. 故选：D. 3．（25-26高二上·全国·课后作业）圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径． 圆心关于原点的对称点为，即所求圆的圆心为，半径为5， 所以所求圆的方程为．故选：B. 4．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为方程可变形为， 由题知，得到，故选：C. 5．（2025·贵州黔南）“关于，的方程：表示圆”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若关于，的方程：表示圆，则，解得或， 因为真包含于， 所以“关于，的方程：表示圆”是“”的必要不充分条件. 故选：B 6．（23-24高二上·辽宁抚顺·期中）已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，在圆中，，∴圆心坐标为，半径为3．    ∵圆上所有点都在第二象限， ∴，解得．故选：C. 7．（24-25高二下·河南周口·开学考试）已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的标准方程是 ． 【答案】 【解析】因圆心在直线上，设圆心坐标为， 圆标准方程为：， 则，解得：， 所以圆C的标准方程为． 故答案为： 8．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，则圆的标准方程是 . 【答案】 【解析】设圆的标准方程为， 则，解得， 所以圆的标准方程为. 故答案为： 9．（2025·河南·模拟预测）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，，则圆的方程是 . 【答案】 【解析】点和点的中点为， 点和点的斜率为， 则点和点的垂直平分线的斜率为， 可得点和点的垂直平分线的方程为 设圆心为，由题意联立方程： 解得，，半径，圆方程为. 故答案为：. 10．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若圆的方程为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为圆的方程为，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 11．（2025高三·全国·专题练习）曲线与曲线关于直线对称，则曲线的方程为 ． 【答案】 【解析】在曲线上任取一点，则点关于直线的对称点为， 因为点在曲线上，则有， 即为. 故曲线的方程为. 故答案为：. 12．（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 【答案】（0，－2）和（0，1） 【解析】方程x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0可化为（x2＋y2＋2x＋y－2）＋mx＝0.由得所以定点坐标是（0，－2）和（0，1）. 13．（2025上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【答案】或 【解析】，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 14．（25-26高二上·全国·课后作业）圆关于直线对称，则 ． 【答案】3 【解析】由题意得直线过圆心，代入直线方程有， 解得， 故答案为：3． 15．（2025高二·全国·专题练习）已知圆，斜率为1的直线与交于，，以为直径的圆过原点，则直线的方程为 ． 【答案】或 【解析】直线的斜率为1，设直线的方程为，联立，得， 设，，则，， 又直线与圆有两个交点，判别式，解得， 以为直径的圆过原点，，，即， ，即，解得或， 符合题意的直线有两条，其方程分别为或． 故答案为：或. 题组二 点与圆的位置关系 1．（24-25高二上·河北唐山·期末）已知圆，则下列各点在圆上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将选项中的各点代入方程，显然ABD均不满足该方程，只有C选项满足该方程. 故选：C 2．（24-25高二上·陕西铜川·期中）已知点，圆，则（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．点与圆的位置关系不确定 【答案】C 【解析】因为，所以点在圆外.故选：C. 3．（2025安徽六安·期中）点P（0，1）与圆位置关系是（    ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不确定 【答案】B 【解析】将点代入圆方程可得，故点在圆上.故选：B. 题组三 直线与圆的位置关系 1．（25-26高二上·全国·单元测试）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交且直线过圆心 D．相交但直线不过圆心 【答案】C 【解析】圆的圆心为，圆心到直线的距离为：，     所以直线过圆心，所以直线与圆相交且过圆心． 故选：C. 2．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知直线与圆，则（   ） A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 【答案】C 【解析】因为圆的圆心为， 直线过点，所以直线平分， 故选：C. 3．（24-25高二上·广东肇庆·期中）直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切或相离 【答案】D 【解析】直线方程可变形为，恒过点.圆，是以为圆心，半径为1的圆. ，故P在圆外，直线与圆的位置关系示意如下：    设圆心到直线：的距离为d，则. 当时，，，解得：， 即当时，直线与圆相切. 当时，即时，直线与圆相交. 当时，即时，直线与圆相离. 综上，随着的变化，直线和圆可能相交、相切或相离. 故选：D. 6．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，直线，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【解析】由可得， 直线的方程整理为， 则直线恒过点，又点在圆上， 故直线与圆相交或相切． 故选：D 7．（24-25高二下·湖北荆门·期末）设直线，圆，则与圆C（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径， 则圆心C到直线l的距离， 故直线与圆C相离． 故选：C. 8．（24-25高二下·湖南娄底·期中）已知直线和圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【解析】由题意，直线可化为：， 直线过定点，代入圆中， 易知该点为圆上一点，所以直线1与圆相交或相切. 故选：D. 9．（2025·陕西·三模）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与有关，不能确定 【答案】C 【解析】直线， 令，得，即直线恒过定点． 由知，点A在圆内，故直线恒与圆相交， 所以直线与圆的公共点个数为2个. 故选:C． 10．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】易知圆的圆心为，半径为2， 圆心到的距离， 所以直线与圆相交，结合圆半径为2，到直线的距离为1的直线有两条， 可得一条与圆相切，一条与圆相交， 因此圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1. 故选：C. 11．（25-26湖北）（多选）已知直线，圆，点，则（    ） A．若在圆上，则直线与圆相交 B．若在圆内，则直线与圆相离 C．若在圆外，则直线与圆相交 D．若在直线上，则直线与圆相离 【答案】BC 【解析】由圆，得圆心，半径． 对于A，若在圆上，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相切，故A错误． 对于B，若在圆内，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相离，故B正确． 对于C，若在圆外，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相交，故C正确． 对于D，若在直线上，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相切，故D错误． 故选：BC. 12．（24-25高二上·吉林通化）（多选）能使圆：恰有四个点到直线：距离等于1，则的值可能为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】AB 【解析】因为圆的方程为：，所以圆心，半径. 若圆上恰有4个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离等于. 即，解得.显然0和1在该区间内.故选：AB. 题组四 圆与圆的位置关系 1．（24-25高二上·北京密云·期末）已知圆和圆，则它们的位置关系是（    ） A．外离 B．相切 C．内含 D．相交 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆化简为标准方程为，故其圆心为，半径为， 故，故圆与圆的位置关系为相切.故选：B. 2．（24-25高二下·上海浦东新·期中）圆和与圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为，所以， 故圆与圆相交.故选：B. 3．（25-26河南）圆：与圆的公切线条数是 ． 【答案】3 【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径． 因为，所以两圆外切， 所以圆与圆的公切线有3条． 4．（24-25高二下·江苏南京）圆与圆的公切线的条数是 条． 【答案】3 【解析】圆的圆心，半径；圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以两圆的公切线条数是3.故答案为：3 5．（24-25高二下·广西崇左·期末）圆与圆的位置关系是 ． 【答案】相交 【解析】由题设，且对应半径为，且对应半径为， 所以，故，即两圆相交. 故答案为：相交 6．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知圆与圆，则两圆的位置关系是 . 【答案】内切 【解析】因为圆，圆，所以圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径，所以，所以两圆的位置关系为内切. 故答案为：内切. 题组五 直线与圆的距离 1．（24-25高二下·广西桂林·期末）直线与圆交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知圆，圆心为，半径所以圆心到直线的距离 所以故选： 2．（24-25高二上·天津·期中）已知圆O的方程是，则圆O中过点的最短弦所在的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，圆心为，圆心与连线所在直线斜率为：， 因为，所以点在圆内， 所以当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短. 所以，最短弦所在的直线斜率满足：，所以， 由点斜式方程得，最短弦所在的直线为：，整理得： 故选：B 3．（24-25高二上·福建莆田）（多选）已知直线被圆截得的弦为，则（   ） A．半径为5 B．圆心 C．圆心C到直线距离为 D． 【答案】BD 【解析】将圆的方程化为标准方程得， 所以，半径，A选项错误，B选项正确； 所以圆心到直线的距离，C选项错误； 弦的长，D选项正确； 故选：BD． 4．（2025·北京）经过点，半径为2的圆的圆心为A，则点A到直线的距离最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知圆经过点，半径为，设圆心的坐标为， 可得圆心到点的距离为， 即，化简可得， 所以圆心的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆. 可得原点到直线的距离为：， 所以点到直线的距离最大值为原点到直线的距离加上圆的半径，即. 故选：B. 5．（24-25高二上·广东肇庆）设直线与圆相交于两点，且，则为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】由题意， 在中， 在中，，半径为， 直线与圆相交于两点，且， 设中点为C，连接，， 由几何知识得，，， 在Rt中，， 由勾股定理得，，即，解得， 故选：B. 6．（24-25高二下·河南周口）（多选）已知圆，直线，则下列说法正确的是（   ） A．当时，被圆截得的弦长为 B．恒过点 C．当被圆截得的弦长最大时，的斜率为 D．被圆截得的弦长的最小值为 【答案】BCD 【解析】对于A选项，圆的圆心为，半径为， 当时，直线的方程为，则圆心到直线的距离为， 此时，被圆截得的弦长为，A错； 对于B选项，将直线的方程可化为， 由，解得，因此，恒过点，B对； 对于C选项，当被圆截得的弦长最大时，直线过圆心， 则，解得， 此时，直线的方程为，即，即直线的斜率为，C对； 对于D选项，记点，则， 当时，且直线的斜率为，此时，即当时， 圆心到直线距离取最大值，被圆截得的弦长取最小值，且 因为，弦长的最小值为，D对. 故选：BCD. 7．（25-26高二上·全国·单元测试）已知点及圆：，若为上动点，则点到直线AB的距离的最大值为 ． 【答案】 【解析】由得直线AB的方程为，即． 圆化为标准形式为， 圆心的坐标为，半径，圆心到直线AB的距离， 所以直线AB与圆相离，所以点到直线AB的距离的最大值为． 故答案为： 8．（24-25高二下·湖南·期末）已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】依题意，圆，圆心，半径为， 直线过定点，，故点在圆内， 当直线过圆心时，弦长最大，为直径， 当直线与垂直时，弦长最小， 此时的最小值为，故的取值范围为． 故答案为：． 9．（2025·全国·模拟预测）已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有 条. 【答案】8 【解析】方法一：直线可化为， 由可得，即直线过定点， 因为，所以点在圆内， 当点为直线被圆截得的弦的中点时，弦长最短，点到圆心的距离， 所以直线被圆截得的最短弦长为， 最长的弦为直径，长度为10，所以弦长的取值范围是. 由圆的对称性可知弦长为7，8，9的直线各两条， 弦长为6，10的直线各一条， 所以截得的弦中长度为整数的直线共有8条. 方法二：方程法. 圆的圆心到直线的距离， 故弦长为， 要使弦长为整数，令（为平方数）， 整理得，令， 整理得（*）， ， 解得，即， 则，即， 当或100时，，方程（*）各有一解， 当时，，方程（*）各有两个不同的解， 即方程（*）共有8个不同的解，因此符合题意的直线有8条. 故答案为：8. 10．（24-25高二下·上海奉贤·期末）已知直线与圆相交于、两点，则 . 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离， 所以.故答案为： 11．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ． 【答案】或 【解析】圆的圆心，半径，圆心到直线的距离为3， 此直线与圆相切，因此直线的斜率存在． 设直线的方程为，即， 由，得圆心到直线的距离， 于是，解得或，所以直线的方程为或． 故答案为：或． 题组六 圆与圆的公共弦长 1．（25-26高二上·全国·单元测试）（多选）已知圆，圆．则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当圆和圆有三条公切线时，若P，Q分别是圆上的动点，则 C．若圆和圆共有2条公切线，则 D．当时，圆与圆相交弦的弦长为 【答案】ABD 【解析】对于A，由圆，， 可知，故直线的方程为， 即，即得直线恒过定点，A正确； 对于B，即， 当圆和圆有三条公切线时，圆和圆外切，则， 解得， 当时，如图示，当共线时,； 同理求得当时，，B正确； 对于C，若圆和圆共有2条公切线，则两圆相交， 则，即，解得，C错误 对于D，当时，两圆相交， ，， 将两方程相减可得公共弦方程， 则到的距离为， 则圆与圆相交弦的弦长为，D正确， 故选：ABD. 2．（2025·贵州毕节）（多选）已知圆，圆，则（    ） A．当时，圆与圆相切 B．当时，圆与圆相交于两点，且直线的方程为 C．当时，圆与圆相交 D．当时，圆与圆相交于两点，且 【答案】AB 【解析】圆，则， 圆的圆心，半径为；圆的圆心，半径为， 则，，， 对于A，当时， ，，则，故两圆内切，故A正确； 对于B， 当时，，，则，故两圆相交，又圆，故直线的方程为，故B正确； 对于D，由选项B可知，此时圆心到直线的距离为，则，故D错误； 对于C，两圆相交，则，即，解得，故C错误. 故选：AB. 3．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）（多选）已知圆和圆，则（    ） A．相交 B．相离 C．公共弦所在的方程式 D．公共弦长是 【答案】ACD 【解析】圆即，圆心，半径， 圆即，圆心，半径， 圆心距，又因为，， 所以，所以两圆相交，故A正确，B错误； 两圆相减得：，故两圆的公共弦所在直线方程为，C正确； 圆心到的距离为， 由垂径定理得：两圆的公共弦长为，D正确. 故选：ACD. 4．（24-25高二上·江苏镇江·期中）（多选）圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．圆与圆的公切线段长为1 D．线段的中垂线方程为 【答案】AC 【解析】由，得，则，半径， 由，得，则，半径， 对于A，公共弦所在的直线方程为， 即，所以A正确， 对于B，到直线的距离， 所以公共弦的长为，所以B错误， 对于C，因为，，， 所以圆与圆的公切线长为，所以C正确， 对于D，根据题意可知线段的中垂线就是直线，因为， 所以直线为，即，所以D错误， 故选：AC. 5．（23-24高二上·江苏苏州·期中）（多选）已知圆与直线，点在直线上运动，直线，分别与圆切于点，，则下列说法正确的是（    ） A．四边形的面积最小值为 B．最短时，弦长为 C．最短时，弦直线方程为 D．直线过定点 【答案】ACD 【解析】 由题意得四边形PAMB的面积，， 因为，，所以当长度最小时，四边形的面积最小， 最小为点到直线的距离，所以， 所以四边形的面积最小值为，故A正确； 由圆的性质得， 由A选项可得，最短时，四边形的面积最小，， 所以，故B错； 由题意得，，所以为以为直径的圆上的点， 所以直线为两圆公共弦所在的直线， ，直线：，即， 联立得，所以最短时，，中点坐标为， 此时以为直径的圆的方程为， 联立得，所以弦所在直线的方程为，故C正确； 设，则，即， 以为直径的圆的方程为， 联立得， 所以直线的方程为， 将代入得， 令，解得， 所以直线过定点，故D正确. 故选：ACD. 题组七 切线方程 1．（24-25高二上·湖南怀化·期末）过点作圆的切线，则切线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，可知该圆是以为圆心，3为半径的圆， 当过点的直线斜率不存在，即为时，与圆显然不相切； 设过点的圆的切线为，即， 故圆心到切线的距离，解得， 故选：C 2．（24-25高二下·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】原点在圆上，而圆心， 直线斜率为，因此切线的斜率为，方程为，即. 故选：A 3．（2025·河北邯郸）（多选）已知直线过点，且直线与圆相切，则直线的方程可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】圆的圆心，半径， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，点到直线的距离为1，不符合题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由直线与圆相切得：，解得或， 所以直线的方程为：或. 故选：AC 4．（25-26 安徽阜阳·开学考试）过点与圆相切的直线方程为 . 【答案】或. 【解析】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径， 过点，斜率不存在的直线方程为，圆心到直线的距离为2，该直线为圆的切线； 过点的直线斜率存在时，设直线方程为，即， 当直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，即， 解得，此时切线方程为. 故答案为：或. 5．（24-25上海·阶段练习）已知为圆上一点，过点的圆的切线的方程为 . 【答案】 【解析】由圆，可得圆心坐标为，则， 则过点的圆的切线的斜率为，且 所以过点的圆的切线的切线方程为， 即，即. 故答案为：. 6．（2025·甘肃平凉）过点与圆：相切的直线方程为 . 【答案】 【解析】易知点在圆上，故所求切线与直线垂直， 又，所以所求切线斜率， 故所求切线方程为，即. 故答案为：. 7．（24-25高二下·上海·阶段练习）圆的过点的切线的一般式方程为 . 【答案】 【解析】根据题意，圆的圆心为，半径，点在圆上,则， 则切线的斜率，则切线的方程为,变形可得; 故答案为: 8．（24-25高二上·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程 . 【答案】（或或，任写一条即可，答案不唯一） 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆心距为，故两圆外切， 两圆圆心所在直线的方程为，即，中点为， 切线垂直于直线，且经过中点，所以切线的方程为； 切线平行于直线，且到直线的距离为， 设平行于直线切线方程为， 则或， 所以切线的方程分别为.    故答案为：（或或，任写一条即可，答案不唯一）. 9．（24-25高二上·广东·阶段练习）已知圆，圆，则的公切线方程为 ．（写出一条即可） 【答案】，，（三个方程写出一个即给满分） 【解析】因为，的半径均为1，则外切，结合图像可知，的公切线方程为，，． 故答案为：，， 10．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知圆O：与圆C关于直线l：对称，则圆O与圆C的一条公切线方程为 （写出其中一条公切线方程即可）. 【答案】或或或（写出其中一个即可） 【解析】如图：任意圆与圆关于直线对称，为圆与圆的一条公切线， ∵圆与圆关于直线对称，∴， ∵为圆与圆的公切线，∴，∴， 由圆与圆关于直线对称，∴圆与圆的半径相等，即， ∴，且到的距离为， ∵，∴，，∴， 设其中一条公切线，则，即， 故圆与圆的公切线. ∵圆心到直线的距离，∴圆与圆相离， ∴圆与圆有4条公切线，由对称性可知公切线与交于一点， 设与圆相切与点，则， ∵，，∴， ∵，∴轴，轴， ∴故圆与圆的公切线或. 故答案为：或或或（写出其中一个即可）. 11．（24-25高二上·福建南平·期中）写出与圆和圆都相切的一条切线方程 . 【答案】（答案不唯一，或均可以） 【解析】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为， 圆心距为，所以两圆外切，如图，有三条切线， 易得切线的方程为， 因为，且，所以，设，即， 则到的距离，解得（舍去）或，所以， 又和关于对称，联立，解得，且在上， 在上任取一点，设其关于的对称点为， 则，解得， 则，所以直线，即， 综上，切线方程为或或． 故答案为：（答案不唯一，或均可以）． 12．（24-25高二上·河北张家口·期中）已知圆与圆，则圆和圆的一条公切线的方程为 . 【答案】；；（三个任意一个都算正确） 【解析】由题可知： 所以 两个圆的半径和为 所以两个圆外切，所以有三条公切线, 设公切线为 由圆心到切线的距离等于半径得 解得 或或 所以切线方程为，或 故答案为：；； 13．（24-25高二上·山西·阶段练习）圆和圆的公切线的方程为 . 【答案】或或 【解析】圆，圆心坐标，半径， 圆，圆心坐标，半径， 由，则两圆相外切， 由圆心和半径可知，两圆均与直线相切， 直线的方程为，直线与直线的交点为， 设过的另外一条切线为，由点到切线距离为1，故， 解得，或，故另外一条切线为. 因为直线的斜率为，故过两圆切点的切线斜率为， 设过公切点的切线方程为，由点到切线距离为1，则， 所以，故.      故答案为：或或. 题组八 （公）切线长 1．（2025·江西萍乡）过点作圆的切线，记其中一个切点为，则（   ） A．16 B．4 C．21 D． 【答案】B 【解析】圆的圆心，半径，则， 所以.故选：B 2．（2024海南）经过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线上任取一点作圆的切线， 设切点为，由圆，得，圆心，半径为， 由圆的几何性质可得，所以切线长为． 当与直线垂直时，取最小值， 因为，所以切线长的最小值为. 故选：A. 3．（2025湖南）已知圆，点是直线上的点，则（ ） A．圆上有两个点到直线的距离为2 B．圆上不存在点到直线的距离为2 C．从点向圆引切线，切线长的最小值为 D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】C 【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径. 圆心到直线的距离，所以A不正确，B不正确. 从点向圆引一条切线，设切点为，连接， 则，则， 当时，取得最小值，此时取得最小值， 即，故C正确，D不正确. 故选：C. 4．（2025·山东烟台）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（    ）． A．5 B． C． D．10 【答案】A 【解析】，，， 由，解得，或， 则， 因为，所以四边形的面积为. 故选：A. 5．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由圆的方程知：圆心，半径， 四边形的面积，则当最小时，四边形的面积最小， 点到直线的距离，，此时.故选：A 题组九 切点直线方程 1．（24-25高二上·广东肇庆·期末）（多选）已知圆和圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为、，则（   ） A．线段的最小值为 B．线段的最大值为 C．当直线与圆相切时，原点到直线的距离为 D．当直线平分圆的周长时，原点到直线的距离为 【答案】AD 【解析】如图示：、，    根据直角三角形的等面积方法可得，， 因为，，即， 故，故A正确，B错误； 当直线与圆相切时，由题意可知的斜率存在， 故设的方程为，则有 ，即， 即或， 设原点到直线的距离为，则， 当时， ；当时，，故C错误； 当直线平分圆的周长时，即直线过点, 则直线斜率存在，设直线方程为，即 ， 则 ，即，则， 故原点到直线的距离为,则 ，故D正确. 故选：AD. 2．（2024·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 【答案】 【解析】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，由，    所以两圆相交，则. 故答案为： 3．（25-26高二上·全国·单元测试）过点作圆的两条切线，设切点分别为A，B，则 ． 【答案】/ 【解析】，即，故圆心为，半径为． 如图，连接，因为，所以， 故切线长． 连接，由（等面积法）， 解得． 故答案为：. 4．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为 ． 【答案】 【解析】设圆的圆心为，半径为1， 由切线长定理可得， 又因为，，则，所以， 所以，则四边形面积为， 所以， 当的长最小时，弦长最小， 而的最小值为圆心到直线的距离， 所以，所以． 故答案为：. 5．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，圆，点为直线上一动点，过动点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为 ，直线所经过的定点的坐标为 ． 【答案】 【解析】如图，连接， 方法一 ：因为都是圆的切线，所以，，所以四点共圆， 且为直径，所以切点弦实际上是以为直径的圆与圆的公共弦， 则以为直径的圆的圆心为，半径为， 故以为直径的圆的方程为， 两圆方程相减得直线的方程为， 令，则，所以直线过定点． 方法二：实际上是以为圆心，为半径的圆与圆的相交弦． ，，所以， 在中，， 所以以为圆心，为半径的圆的方程为， 两圆方程相减，可得圆和圆的公共弦所在直线的方程为， 即，令，则，所以直线过定点． 方法三：直线的方程为，即， 令，得，所以直线过定点． 故答案为：； 6．（25-26高二上·全国·课后作业）过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 ． 【答案】 【解析】 方法一：直接在一般式方程里用“留一代一”：需注意“Ey”要代成“”，切点弦所在直线方程为，整理得．   方法二：将方程化为标准形式得，根据“留一代一”可知，所求切点弦所在直线方程为，即． 方法三：将方程化为标准形式得，观察圆的方程和点坐标可知， 过点且与圆相切的两条直线中，有一条斜率不存在，此时切线方程为， 将代入圆的方程中得，故此直线与圆相切于点． 由圆的切线的性质可知，，． 又直线过点，直线的方程为，即． 故答案为：． 7．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知圆，是x轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点 ． 【答案】 【解析】设,，易知 由平面向量数量积的几何意义可知， 所以有 所以点在直线上 故直线的方程为，过定点 故答案为： 8．（23-24 重庆·阶段练习）过直线上任意一点作圆：的两条切线，则切点分别是，则面积的最大值为 . 【答案】/ 【解析】 如图，设点，因,故点在以为直径的圆上， 因圆心，半径为，故圆的方程为：， 又圆：，将两式左右分别相减，整理得直线的方程为：， 于是，点到直线的距离为：，， 故的面积为：， 不妨设则，且，故， 因在上单调递增，故，此时， 即时，点时，面积的最大值为. 故答案为：. 9．（23-24高二上·四川南充·阶段练习）已知圆，点为轴上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为 . 【答案】 【解析】易知圆的圆心为，半径为，如图所示： 易知，设，则 由图可得，又， 可得，因为， 所以当时，的最小值为. 故答案为： 10．（24-25 黑龙江牡丹江）过原点作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为 . 【答案】 【解析】圆配方可得，其圆心为，半径， 过原点作圆的两条切线，切点分别为， 则，又点在圆上， 则直线为圆与圆的公共弦所在的直线， 两圆方程相减可得，即直线的方程为.故答案为：. 题组十 轨迹方程 1．（24-25高二上·青海西宁·期中）已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设，M为线段的中点，， 而A是圆C上一动点，故，整理得：， 即，故动点M的轨迹方程为.故答案为： 2（2025高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知两个定点，，若动点满足，则动点的轨迹为 ． 【答案】以为圆心、4为半径的圆 【解析】解法1：设点，则由得，整理得， 即，故动点的轨迹是以为圆心、4为半径的圆． 解法2：由题意设上有一点满足，可得， 在的延迟线上有一点，满足，可得， 所以根据阿氏圆的几何性质可知动点的轨迹为以为圆心、4为半径的圆，证明如下： 阿氏圆定义：平面内到两定点的距离之比为常数且的点的轨迹是一个圆，这个圆就叫做阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆. 证明：设上有一点满足，在的延长线上有一点，满足，    设，，则，，解得， 以中点为圆心，为直径画圆， 可得，，， 在圆上任取一点，连接， 则，，所以， 又，所以， 所以. 题组十一 直线与圆的几何意义 1．（25-26高三上·浙江温州·阶段练习）在平面直角坐标系中，存在圆，点和点，M为圆O上的动点，则下列说法中正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】C 【解析】设点，由圆，点和点， 可得， 其中，点在圆外，点在圆内， 如图所示，可得， 当且仅当为的延长线与圆的交点时，取得等号， 所以的最大值为； 又由， 当且仅当为与圆的交点 时，取得等号， 所以的最小值为. 故选：C. 2．（25-26 山东泰安 ）已知圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意：圆心坐标为，半径为，要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于， 所以 ， ，解得 故选：A 3．（25-26高三上·广东揭阳·开学考试）已知点为直线上位于第一象限内的动点，则下列结论正确的是（   ） A．ab的最小值为2 B．的最小值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】C 【解析】由题知，即，且， 对于A，，当，即时取等， 所以ab的最大值为2，故A错误； 对于B，，又，所以，故B错误； 对于C，， 当时取等，所以的最小值为，故C正确； 对于D，， 当时，即时取等，所以的最小值为，故D错误. 故选：C. 4．（2025·湖南益阳）在中，为的中点，为平面内一点，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】A 【解析】 以为坐标原点，，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 所以，设， 所以， 因为， 所以，即，即， 所以为以为圆心，半径为圆上一点， 对于A，，所以，几何意义为到原点的距离， 所以的最大值为到原点的距离的最大值， 最大值为原点到圆心距离加上半径，即，故A正确； 对于B，，，几何意义为到的距离， 所以的最大值为到的距离的最大值， 最大值为到圆心距离加上半径，即，故B错误； 对于C，，令，即， 即，当与圆相切时有最值，即， 解得，所以的最大值为，即的最大值为5，故C错误； 对于D，，因为为以为圆心，半径为圆上一点， 所以的最大值为，所以的最大值为，故D错误， 故选：A. 5．（25-26 河北）若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知圆，半径，圆，半径. ∵圆与圆有且仅有2条公切线，∴圆与圆相交，∴， ∴点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）. 又，∴代表点到直线的距离的5倍. ∵圆心到直线的距离为1， ∴圆环内的点到直线的距离， ∴的取值范围为.    故选：C. 6．（25-26 安徽合肥 ）已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，依题意，直线与圆有公共点， 而圆的圆心为，半径为，则，解得， 所以的取值范围为. 故选：A 7．（25-26湖南）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】由所求的式子的形式想到距离之差， ， 可转化成轴上一点到点的距离与到点的距离之差， 则（当且仅当三点共线时取等号）， 所以的最大值为． 故选：B. 8．（2025海南）函数的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可得的定义域为，又，所以可以看作是x轴上的动点分别与两点，的距离之和，如图，点关于x轴对称的点为，则当与，三点共线时，距离之和最小，则． 故选：B 9．（2025湖北）已知，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】因为， 所以问题可转化为求直线上的点到点的距离的最小值， 故求点到直线的距离即可，因为距离， 所以． 故选：D. 10．（25-26四川绵阳）（多选）已知实数x，y满足，设，则（   ） A．的最小值 B．的最大值 C．存在使得 D．对于任意，存在使得 【答案】AC 【解析】令， 则由直线与圆有公共点， 可得，解得， 又，可得， 所以，其中， 所以当时，，当时，，故A正确，B错误； 因为，故存在使得，故C正确； 因为，故当，不存在使得，故D错误. 故选：AC 11．（2025·陕西西安）已知，满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为， 所以. 所以表示圆上的点到与到的距离和. 如图：    所以（当为线段与圆的交点时取等号）. 故答案为： 题组十二 直线与圆的综合运用 1．（23-24高二上·山东青岛·期中）（多选）已知圆，圆，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆内 B．圆上的点到直线的最小距离为1 C．圆和圆的公切线长为2 D．圆和圆的公共弦所在的直线方程为 【答案】BCD 【解析】圆的圆心和半径分别为,圆的圆心和半径为， 对于A，由于，故点在圆外，故A错误， 对于B，到的距离为，所以圆上的点到直线的最小距离为，B正确， 对于D,由于,故两圆相交， 两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为：，故D正确， 对于C，由于两圆相交，所以外公切线的长度为，C正确， 故选：BCD 2．（23-24高二上·江苏镇江·开学考试）（多选）已知圆M：，圆N：，则下列选项正确的是（    ） A．直线MN的方程为 B．若P､Q两点分别是圆M和圆N上的动点，则的最大值为5 C．圆M和圆N的一条公切线长为 D．经过点M､N两点的所有圆中面积最小的圆的面积为 【答案】AD 【解析】由题意可知：圆M：的圆心，半径， 圆N：，的圆心，半径， 对于选项A：直线MN的方程为，即，故A正确； 对于选项B：因为， 所以的最大值为，故B错误； 对于选项C：因为，可知圆M与圆N外切， 如图，直线为两圆的公切线，为切点坐标，过A作，交NB于，    则为平行四边形，可得， 所以公切线长为，故C错误； 对于选项D：当为直径的圆时，经过点M､N两点的所有圆中面积最小， 此时圆的面积为，故D正确； 故选：AD. 3．（2025·江苏徐州）（多选）已知圆，P为圆O上的动点，则（    ） A．圆心O关于直线AB的对称点为 B．动点P到直线AB的距离最大值为 C．以AB为直径的圆与圆O有2条公切线 D．分别过A，B两点所作的圆O的切线长相等 【答案】AC 【解析】直线的斜率，直线的方程为， 对于A，设圆心关于直线对称点为，则，解得，A正确； 对于B，圆心到直线的距离，因此动点P到直线AB的距离最大值为，B错误； 对于C，，线段中点，则，以AB为直径的圆半径为， 而圆半径为，且，即以AB为直径的圆与圆O相交，有2条公切线，C正确； 对于D，过点作圆的切线长为，过点作圆的切线长为，D错误. 故选：AC 4．（24-25高二上·广西贵港·期末）（多选）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（   ） A．圆上有两个点到直线的距离为2 B．圆上只有一个点到直线的距离为2 C． D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】BC 【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径， 对于AB，圆心到直线的距离， 则，故A错误，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，由切线的性质，得切线长为，D错误. 故选：BC 5．（24-25高二上·福建漳州·阶段练习）（多选）已知圆，点P是直线上一动点，过点P作圆M的切线，切点分别是A、B，下列说法正确的有（   ） A．圆M上恰有一个点到直线l的距离为 B．切线长的最小值为1 C．四边形面积的最小值为1 D．直线恒过定点 【答案】BCD 【解析】对于A，由圆，可知圆心，半径， 所以圆心到直线的距离为， 圆上的点到直线的最小和最大距离分别为和， 由于，圆上有两个点到直线的距离距离为，故A错误； 对于B，由圆的性质可得切线长， 所以当最小时，有最小值，又， ，故B正确； 对于C，因为四边形面积为， 所以四边形面积的最小值为1，故C正确； 对于D，设，由题可知点，，在以为直径的圆上，又， 所以，即， 又圆，即， 两式子相减得：直线的方程为：，即， 由，得，即直线恒过定点，故D正确． 故选：BCD. 6．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）（多选）已知圆O：，点是圆O上的点，直线l：，则（    ） A．圆O上恰有3个点到直线l的距离等于1 B．直线l与圆O相交弦长 C．过点P的圆O的切线方程是 D．过点P向圆M：引切线，A为切点．则最小值为 【答案】ABD 【解析】A选项：如图所示，由已知圆，则圆心，半径， 圆心到直线的距离， 则，，所以圆上恰有个点到直线的距离等于，A选项正确； B选项：由A知弦长为，B选项正确； C选项：当直线的斜率存在且不为0时，此时斜率为， 则切线斜率为，此时切线方程为， 即，即， 当直线的斜率不存在或为0时，切线方程适合上式， 故过点P的圆O的切线方程是，故C错误； D选项：由圆可知圆心，半径， 由切线长可知， 所以当取得最小值时，取最小值， 又，即的最小值为， 当三点共线，且P在O，M之间时取等号， 所以的最小值为，D选项正确； 故选：ABD. 7．（24-25高二上·广东·阶段练习）（多选）已知圆是直线上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆C相切于点A，B，则（    ） A．圆C上恰有1个点到直线l的距离为 B．|PA|的最小值是 C．|AB|存在最大值 D．|AB|的最小值是 【答案】ABD 【解析】圆的圆心，半径， 对于A，点到直线的距离，点到直线的距离的最小值为， 因此圆C上恰有1个点到直线l的距离为 ，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于CD，由垂直平分得，， 则，当且仅当时取等号，D正确，C错误. 故选：ABD 8．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）（多选）已知点及圆，点是圆上的动点，则（    ） A．过原点与点的直线被圆截得的弦长为 B．过点作圆的切线，则切线方程为 C．当点到直线的距离最大时，过点与平行的一条直线的方程为 D．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 【答案】ACD 【解析】圆的标准方程为，圆的半径. 对于，如图，直线的方程为0，过点作于点， 则点到直线的距离为， 故直线被圆截得的弦长为故A正确； 对于B，如图，圆的过点的切线斜率存在时，设其方程为， 即，由，解得，此时切线方程为，另一条切线是斜率不存在的直线故B错误； 对于C，如图，当点到直线的距离最大时，过点与平行的一条直线， 即为与直线距离为2的圆的切线. 因直线的斜率为2，可设该切线方程为，又直线的直线方程为， 则可得解得故C正确； 对于D，如图，连接,易得过点的切线所在直线方程为，故， 又由圆的对称性可知,因,则, 故直线的方程为，即，故D正确. 故选：ACD. 9．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）（多选）对于直线l：与圆C：的以下说法正确的有（    ） A．l过定点 B．l被C截得的弦长最长时， C．l与C相切时，或 D．l与C相切时，记两种情形下的两个切点分别为A、B，则 【答案】AD 【解析】由 ，即直线恒过定点，A对； 要使C被l截得的弦长最长，只需直线过圆心，即，B错； l与C相切时，则，可得或，C错； 如图，，，则，故， 故，D对. 故选：AD 1 学科网（北京）股份有限公司 $