第14讲：椭圆的标准方程【知识梳理+8个题型归纳+方法总结】讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2025-2026年高二数学上学期常考题型归纳 【第14讲：椭圆的标准方程】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、椭圆方程的概念 （一）定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，记为，定义中提到的常数记为（），另外设（）。 （二）标准方程 1.焦点在x轴上：（），此时焦点坐标为，。 教材例题：已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，椭圆上一点到两焦点的距离之和等于，求椭圆的标准方程。 解析：由焦点坐标可知，又因为，所以。根据，可得。因为焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为。 2.焦点在y轴上：（），此时焦点坐标为，。 高考真题（节选）：（2022全国乙卷）已知椭圆C的焦点在y轴上，离心率为，且过点，求椭圆C的标准方程。 解析：设椭圆方程为（），离心率，即。又因为，所以。椭圆过点，代入方程得，即，解得，则，所以椭圆方程为。 （三）椭圆的几何性质（基于标准方程） 以焦点在x轴上的椭圆（）为例： 1.范围：，。椭圆位于由直线和围成的矩形内。 例：椭圆中，x的取值范围是，y的取值范围是，矩形的长为，宽为。 2.对称性：关于x轴、y轴成轴对称，关于原点成中心对称。 验证：若点在椭圆上，则（关于y轴对称）、（关于x轴对称）、（关于原点对称）均在椭圆上。 3.顶点：椭圆与坐标轴的交点称为顶点，共4个，分别为、（长轴顶点）、、（短轴顶点）。 长轴长：；短轴长：；长半轴长为，短半轴长为。 4.离心率的几何意义：离心率（），反映椭圆的“扁平程度”。 越接近1，越接近，越小，椭圆越扁； 越接近0，越接近0，越接近，椭圆越接近圆； 当时，，椭圆退化为圆（圆是椭圆的特殊形式）。 （四）椭圆的一般方程 当椭圆的中心在原点，但焦点未明确在x轴或y轴上时，其一般方程为：（其中，，，）。 化为标准方程的方法：两边同时除以，得。 若（即），则，，焦点在x轴上； 若（即），则，，焦点在y轴上。 例题：将椭圆一般方程化为标准方程，并判断焦点位置。 解析：两边除以6，得。因为，所以，，焦点在x轴上，，焦点坐标为。 （五）a、b、c的几何意义与关系深化 1.几何意义：在椭圆中，（长半轴长）、（短半轴长）、（半焦距）构成直角三角形，其中为斜边，和为直角边，即满足“”（核心关系式，需熟记）。 直观理解：以焦点在x轴的椭圆为例，短轴顶点到焦点的距离为，验证了该直角三角形关系。 2.常见变形：、，可用于已知任意两个量求第三个量（如求焦距、短半轴长等）。 例：已知椭圆，则（），（），，焦距。 二、焦点三角形 （一）定义 椭圆上任意一点与两焦点构成的三角形叫做焦点三角形。 （二）重要性质 1.周长：。 2.面积公式：设，则。 推导过程：在中，由余弦定理得。又因为，所以，代入余弦定理公式得，整理得。再根据三角形面积公式，代入可得。 3.角度最值：当点在短轴端点时，最大。 教材例题：已知椭圆，点在椭圆上，求的最大面积及此时的大小。 解析：由椭圆方程可知，，则。当点在短轴端点时，的高最大，最大高为，，所以最大面积。此时，则。 三、椭圆上的点到焦点的距离最值 设椭圆方程为（），焦点，，椭圆上任意一点。 （一）距离表达式 ，结合椭圆方程，化简可得，（其中为椭圆离心率）。 （二）最值情况 1.当时，，此时点为椭圆右顶点；当时，，此时点为椭圆左顶点。 2.同理，（点为椭圆左顶点），（点为椭圆右顶点）。 高考真题（节选）：（2021全国甲卷）已知椭圆（）的左、右焦点分别为，离心率为，为上一点，且的周长为，求椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值。 解析：由离心率得。又因为的周长为，将代入得，解得，。所以椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为。 四、椭圆中线段的和差最值 （一）线段和的最值 1.利用椭圆定义转化：若所求线段和与椭圆上点到两焦点距离相关，可利用转化。 教材例题：已知椭圆，为左、右焦点，点在椭圆内，求的最大值和最小值。 解析：由椭圆定义得，则，所以。根据三角形两边之差小于第三边，。计算，所以，即最大值为，最小值为。 2.利用对称性转化：对于椭圆外一点与椭圆上一点连线和椭圆上该点与另一焦点连线的和，可通过对称点转化为两点间距离。 （二）线段差的最值 一般利用三角形两边之差小于第三边，结合椭圆定义转化求解，如上述教材例题中涉及线段差的分析。 高考真题（节选）：（2020新高考Ⅰ卷）已知椭圆（）的离心率为，且过点，点在椭圆上，为椭圆焦点，求的最大值。 解析：由离心率得，又。椭圆过点，代入方程得，解得，。根据三角形两边之差小于第三边，，，所以，当且仅当在椭圆的长轴端点时取等号，故最大值为。 五、椭圆的轨迹方程 （一）求轨迹方程的常用方法 1.定义法：若动点轨迹符合椭圆定义，可直接根据定义求出椭圆方程。 教材例题：已知动点到两定点，的距离之和等于，求动点的轨迹方程。 解析：因为，所以动点的轨迹是椭圆，其中，，，则，焦点在x轴上，所以轨迹方程为。 2.代入法（相关点法）：若动点依赖于已知轨迹上的另一点，可先求出与的关系，再代入点轨迹方程。 高考真题（节选）：（2019全国Ⅰ卷）已知点，椭圆（）的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点，设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程及此时两点构成的轨迹方程（此处仅求两点构成的轨迹方程相关部分）。 解析：先求出椭圆的方程为。设，，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立得，则，。设的中点为，则，。消去，由得，代入，令（），则，，代入得。又因为，所以，整理得（，因中点在椭圆内且直线与椭圆相交）。当直线斜率不存在时，中点为，代入方程也成立，故中点的轨迹方程为（）。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：利用椭圆方程的定义求椭圆的标准方程】 例题精选 【例题1】（25-26高三上·山东青岛·开学考试）已知圆的方程为，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件可得点在以，为焦点，的椭圆上，即可求解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 由题知，又，则， 所以点在以，为焦点，的椭圆上， 由，得，所以点的轨迹方程为， 故选：B. 【例题2】（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆与圆的位置关系及椭圆的定义和标准方程可得结果. 【详解】设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、， 将圆的方程配方得：，圆心，半径为， 圆同理化为，圆心，半径为， 当动圆与圆相外切时，有① 当动圆与圆相内切时，有② 将①②两式相加，得 动圆圆心到点和的距离和是常数， 所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆， 故，，，. 故选：A. 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·陕西西安·期末）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】设，分析可知动点M的轨迹是以为焦点的椭圆，进而可得和方程. 【详解】设， 因为，可得， 可知动点M的轨迹是以为焦点的椭圆， 且，则， 所以动点M的轨迹方程是. 故答案为：. 【相似题2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知动圆P与圆：相切，且与圆：内切，记圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，所以圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为8的椭圆，进而可求其方程； 【详解】由已知得，圆半径为9，圆半径为1， 设动圆圆心，半径为，易知圆在圆内， 由于动圆与圆相切，且与圆相内切， 所以动圆与圆只能内切，且动圆在圆内， 故，所以， 所以圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为8的椭圆， 则，所以， 所以曲线的方程为. 故答案为： 【解题策略】 一、核心原则：几何条件→代数方程 椭圆轨迹方程的求解本质是：将动点满足的几何条件（如距离关系、位置依赖、比例关系等）转化为关于动点坐标的代数方程，最终整理为椭圆的标准形式或一般形式，同时需验证轨迹的“纯粹性”（方程的解均为符合条件的动点）和“完备性”（符合条件的动点均为方程的解）。 二、分方法解题步骤与思路 方法1：定义法（最核心，适用于“距离之和为常数”的条件） 适用场景 已知动点到两个定点（焦点）的距离之和为常数，且两定点间距离（满足椭圆定义）。 解题思路 先识别焦点（定点）、确定（距离之和），再通过求，最终按焦点位置写方程。 详细步骤 1.找焦点：确定两定点、，计算焦距，得； 2.定：根据题设条件（如“动点到距离之和为”），确定，得； 3.验定义：验证（若不满足，则轨迹不是椭圆，可能是线段或无轨迹）； 4.求：由核心关系计算； 5.写方程：根据焦点位置（x轴/y轴），代入椭圆标准方程形式。 例题演示 题目：动点到定点、的距离之和为6，求的轨迹方程。 解题过程： 1.焦点、，焦距，故； 2.距离之和，故，； 3.验证，符合椭圆定义； 4.求； 5.焦点在x轴上，轨迹方程为。 方法2：代入法（相关点法，适用于“动点依赖已知轨迹点”） 适用场景 动点的坐标依赖于另一个已知轨迹的点（相关点），且在椭圆或其他已知曲线（如直线、圆）上。 解题思路 通过“用动点的坐标表示相关点的坐标”，再将的坐标代入其已知轨迹方程，整理得的轨迹。 详细步骤 1.设坐标：设动点，相关点； 2.找关系：根据题设条件（如“是的中点”“在某直线上且垂直某轴”），列出与的关系式（如中点：，）； 3.表相关点：解出，（用的坐标表示）； 4.代入已知：将，代入的已知轨迹方程； 5.整理化简：化简方程，得到动点的轨迹方程。 例题演示 题目：已知点在椭圆上，动点是与原点连线的中点，求的轨迹方程。 解题过程： 1.设，； 2.因是中点，故，（中点关系）； 3.解出相关点：，； 4.代入的椭圆方程：； 5.化简：，即（的轨迹方程）。 方法3：直译法（直接法，适用于“几何条件可直接翻译为代数等式”） 适用场景 已知动点满足的具体几何条件（如“到两定点距离的平方和为常数”“到定点距离与到定直线距离的比为离心率”），且条件可直接转化为关于的等式。 解题思路 直接将几何条件中的“距离”“垂直”“比例”等用坐标公式（如两点间距离公式、点到直线距离公式）翻译为代数方程，再化简为椭圆形式。 详细步骤 1.设动点：设动点坐标为； 2.译条件：根据题设几何条件，用坐标公式写出代数等式（如“到和的距离平方和为10”，翻译为）； 3.化简方程：展开、合并同类项，整理为椭圆的标准方程或一般方程（需保证系数为正且不相等）； 4.验轨迹：删除方程中不符合原几何条件的解（纯粹性），补充遗漏的解（完备性）。 例题演示 题目：动点满足到定点的距离与到定直线的距离之比为（，符合椭圆离心率），求的轨迹方程。 解题过程： 1.设； 2.翻译条件：，即； 3.化简方程： 两边平方得， 交叉相乘：， 展开：， 整理：， 即，化为标准式：； 4.验证：所有解均满足，轨迹完备。 方法4：参数法（适用于“动点坐标可由参数表示”） 适用场景 动点的运动依赖于某个参数（如角度、斜率、时间等），且参数与坐标的关系可明确表示。 解题思路 用参数表示动点的横、纵坐标（即参数方程），再消去参数，得到关于的普通方程（椭圆形式）。 详细步骤 1.选参数：根据动点运动规律选择合适的参数（如椭圆上的点常用角度为参数）； 2.写参数方程：用参数表示，（如椭圆标准方程对应的参数方程：，，为参数）； 3.消参数：利用三角恒等式（如）或代数方法消去参数； 4.得普通方程：整理为椭圆的标准方程。 例题演示 题目：动点满足，（为参数），求的轨迹方程。 解题过程： 1.选参数（角度参数）； 2.参数方程：，； 3.消参数：由得，由得，代入，得； 4.整理：（椭圆普通方程）。 三、方法选择技巧与注意事项 1.方法选择口诀 见“距离之和为常数”→用定义法； 见“动点依赖另一点”→用代入法； 见“直接给几何条件（如距离比、平方和）”→用直译法； 见“参数表示坐标”→用参数法。 2.关键注意事项 焦点位置判断：无论哪种方法，最终写标准方程时，需根据的位置（分母大则焦点在x轴，分母大则在y轴）； 范围与验证：化简后需检查方程对应的点是否都符合原几何条件（如直译法中平方可能引入增根，需删除）； 特殊情况：若化简后方程为（且），需先化为标准式（两边除以），再判断椭圆类型。 【题型二：椭圆方程的判断】 例题精选 【例题1】（2025·湖北黄冈·二模）设，“曲线为椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据椭圆的标准方程判断充分性是否成立，再根据判断必要性是否成立，进而确定“曲线为椭圆”与“”之间的条件关系. 【详解】若曲线为椭圆，则椭圆的标准方程为（）. 因为椭圆中分母须大于，所以且，又因为，那么且，所以由“曲线为椭圆”可以推出“”，充分性成立； 当时，比如，，此时曲线方程为，它表示的是圆，而不是椭圆，所以由“”不能推出“曲线为椭圆”，必要性不成立； 所以“曲线为椭圆”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【例题2】【多选题】（24-25高二上·广东佛山·期中）已知曲线，则下列结论正确的有（   ） A．若，则C是焦点在轴上的椭圆 B．若，则C是圆 C．若，则C是焦点在轴上的椭圆 D．若，则C是两条平行于y轴的直线 【答案】ABD 【分析】根据椭圆和圆的方程，逐一分析判断即可. 【详解】对于A，若，则， 所以C是焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则曲线， 所以C是圆，故B正确； 对于C，若，则， 所以C是焦点在轴上的椭圆，故C错误； 对于D，若，则， 所以C是两条平行于y轴的直线，故D正确. 故选：ABD. 相似练习 【相似题1】【多选题】（24-25高三上·河南·期中）关于，的方程，下列说法正确的是（   ） A．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 B．若，则该方程表示圆，其半径为 C．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 D．若，，则该方程表示两条直线 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，结合椭圆方程及圆的方程特征，逐项分析判断. 【详解】对于A，当时，，， 方程表示椭圆，其焦点在轴上，A正确； 对于B，当时，方程表示圆，其半径为，B错误； 对于C，当时，，， 方程表示椭圆，其焦点在轴上，C正确； 对于D，，，方程表示两条直线，D正确. 故选：ACD 【相似题2】【多选题】（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）已知曲线，则（    ） A．若，则曲线表示圆，其半径为 B．若，则曲线是椭圆，其焦点在轴上 C．若曲线过点，则是椭圆 D．若，则曲线不表示任何图形 【答案】AC 【分析】分别根据的范围及圆，椭圆，直线的解析式特征判断各个选项即可. 【详解】若，曲线可化为，其表示半径为的圆，A正确； 当时，曲线可化为，表示椭圆，因为，所以其焦点在轴上，B错误； 对于C，依题意得解得则曲线为椭圆，C正确； 取，此时曲线，其表示两条直线，D错误. 故选：AC. 【解题策略】 一、核心目标 1.判断给定方程是否为椭圆方程； 2.若为椭圆，确定焦点位置及（长半轴、短半轴、半焦距）。 二、解题步骤（两步法） 步骤1：判断是否为椭圆方程 1.整理方程：化为（无交叉项），两边同除以得； 2.验证条件： ①、、； ②（若为圆）； ③方程为整式（无分式、根号含变量）。 三条件全满足→是椭圆，否则非椭圆。 步骤2：分析椭圆核心特征 1.定焦点位置： 设标准式为（，）： 若→焦点在轴，坐标； 若→焦点在轴，坐标。 2.算： （长半轴）； （短半轴）； （半焦距，）。 三、易错提醒 1.圆（）≠椭圆（需）； 2.分母为负→非椭圆（可能为双曲线）； 3.计算必用，确保。 【题型三：根据a，b，c求椭圆的标准方程】 例题精选 【例题1】（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义即可求得，设，由求得，进而求解. 【详解】由的周长为，由椭圆的定义得，解得， 所以，，设，则，可得， 则，解得， 所以椭圆C的方程， 故选：A. 【例题2】（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，左右顶点分别为，过的直线l交C于A，B两点（异于点），的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义即可求得，设，由求得，进而求解. 【详解】由的周长为，由椭圆的定义得，解得， 所以，，设，则，可得， 则，解得， 所以椭圆C的方程， 故选：A. 相似练习 【相似题1】（25-26高二上·全国·课后作业）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可设椭圆方程为，且，利用椭圆定义及两点间的距离公式求得，结合隐含条件求得，则可求出椭圆方程． 【详解】由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 根据椭圆定义知，故，．因此所求椭圆方程为． 故选：B. 另解  由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 直接代入 因为椭圆过点，所以，解得，所以所求椭圆方程为． 故选： 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，焦距为2，过点且斜率不为0的直线与交于两点，若为的上顶点，且，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件得，进而求得点的坐标，代入到椭圆方程计算得到答案． 【详解】由题知，，，设，由， 所以，即，得，． 由在椭圆上，得，得， 因为，所以， 故E：． 故选：A. 【解题策略】 一、核心前提 先验证参数关系：必须满足（，），否则参数无效（非椭圆的a、b、c）。 二、解题步骤（2步） 步骤1：判断焦点位置（关键） 焦点位置由“对应的变量”决定（a是长半轴，始终为分母中较大的项）： 若对应（即方程中的分母为）→焦点在x轴； 若对应（即方程中的分母为）→焦点在y轴。 步骤2：代入标准方程形式 焦点在x轴：标准方程为； 焦点在y轴：标准方程为。 三、关键提醒 1.无需比较b与c的大小，只需保证且； 2.若未明确焦点位置，但已知a、b，直接根据的分母位置定方程（在哪一变量下，焦点就在对应轴上）。 【题型四：根据椭圆方程求a，b，c】 例题精选 【例题1】（25-26高三上·浙江·阶段练习）已知椭圆的一个焦点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据焦点坐标可直接构造方程组求得结果. 【详解】由题意知：，解得：. 故选：D. 【例题2】（23-24高二上·重庆·期中）椭圆的焦距为，则的值为 【答案】23 【分析】利用椭圆标准方程和焦距的定义即可列式求解. 【详解】因为，椭圆的焦距为， 所以，解得. 故答案为：23. 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知椭圆的焦点在轴上，焦距为，求实数的值为 . 【答案】5 【分析】根据椭圆的定义和性质进行求解即可. 【详解】椭圆的焦点在轴上，焦距为 所以. 可得，解得. 故答案为：5. 【相似题2】（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则等于（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】由椭圆标准方程，根据椭圆焦点的位置，建立方程，可得答案. 【详解】由条件可知，，即，，解得. 故选：B. 【解题策略】 一、核心前提 先将椭圆方程化为标准形式：（其中，，） 二、三步解题流程 步骤1：化标准式（非标准方程需先整理） 若方程为（），两边同除以，得，此时，； 若方程含分母系数，直接整理为“分子平方+分子平方=1”的形式（如已为标准式）。 步骤2：定a²和b² 找标准式中分母的最大值和最小值：设，； 长半轴平方（因，对应更长半轴，分母更大）； 短半轴平方； 计算，。 步骤3：算c（半焦距） 利用椭圆核心关系：（注意：是，非）； 计算（）。 三、关键注意事项 1.若，方程为圆（非椭圆），此时，； 2.若方程中或系数为负，非椭圆（可能为双曲线）； 3.若方程含交叉项，需先消去交叉项（旋转坐标系）再化为标准式，再求。 【题型五：椭圆上的点到焦点的距离及最值】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的几何性质结合求解即可. 【详解】分别为椭圆的两个焦点，则， 所以，当且仅当位于椭圆的右顶点时取等号， 故的最大值为. 故答案为：. 【例题2】（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则的最大值是（   ） A． B．9 C．16 D．25 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义及基本不等式可求答案. 【详解】解：由题意，，， ，当且仅当时，等号成立， 的最大值是25． 故选：D． 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，点是上的一点，点是线段的中点，为坐标原点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记椭圆的左焦点为，连接，利用中位线的性质求出，再利用椭圆的定义可求得. 【详解】记椭圆的左焦点为，连接， 又点是线段的中点，为的中点，所以， 又，所以， 在椭圆中，， 又点是上的一点，所以，所以． 故选：A． 【相似题2】（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆心为的中点，利用向量运算将用来表示，转化为椭圆上一点到焦点的距离范围求解即可. 【详解】，即的圆心，半径为， 椭圆方程中，，， 则圆心为椭圆的右焦点，线段为的直径，连接， 因此 ，点为椭圆上任意一点， 则，，即， 所以. 故选：A 【解题策略】 一、核心前提：明确椭圆基本参数 设椭圆标准方程为： 1.焦点在x轴：（），焦点、； 2.焦点在y轴：（），焦点、； 其中（半焦距），（离心率，）。 二、求“椭圆上的点到焦点的距离”思路 1.距离表达式推导（分轴） 设椭圆上任意一点，利用椭圆方程消元+两点间距离公式化简： 焦点在x轴： 由椭圆方程得，代入，化简得： ，（）； 焦点在y轴： 由椭圆方程得，代入，化简得： ，（）。 三、求“距离最值”思路 1.核心依据：距离表达式的单调性+椭圆上点的坐标范围 焦点在x轴： ：，随增大而增大； 最大值：（右顶点）时，； 最小值：（左顶点）时，； ：，随增大而减小； 最大值：（左顶点）时，； 最小值：（右顶点）时，； 焦点在y轴： ：，随增大而增大； 最大值：（上顶点）时，； 最小值：（下顶点）时，； ：，随增大而减小； 最大值：（下顶点）时，； 最小值：（上顶点）时，。 2.结论总结 无论焦点在哪个轴： 椭圆上点到焦点的最大距离均为（对应远离该焦点的长轴端点）； 最小距离均为（对应靠近该焦点的长轴端点）。 【题型六：椭圆上的点到定点的距离之和与差的最值】 例题精选 【例题1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目条件求椭圆的方程，进而由椭圆的定义及两点间线段最短求两线段长度之和的最大值 【详解】设半焦距为，因为，故. 又过点，故. 由椭圆得，代入解得，.即，. 所以的方程为.    设的左焦点为，故. 根据椭圆的几何性质可知， 由于两点之间线段最短，所以. 因此. 当且仅当，，在一条直线上时，等号成立. 故选： 【例题2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程得到，然后借助定义转化为求的最小值和的最大值，即可得解． 【详解】设右焦点为，椭圆中，，则，所以焦点坐标分别为，，由椭圆的定义得． 将点的坐标代入椭圆方程得，所以点在椭圆外，连接，如图所示． ， 将代换为，转移到中， 连接，因为， 所以，当且仅当点为线段与椭圆的交点（点）时，取等号， 所以的最小值为． 因为，当点为线段的延长线与椭圆的交点时， 取得最大值，故的最大值为． 故答案为：；． 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·河南·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，为上任意一点，点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义，将转化为，当在线段上时，取最大值即，再利用两点距离公式就可求解. 【详解】由题意，椭圆的左焦点为，由椭圆定义可得， 所以，因为，故在椭圆内， 所以， 当在线段上时，等号成立. 故选：B. 【相似题2】（24-25高二下·上海·期末）直线与椭圆交于，两点，为椭圆左焦点.则周长最大值是 . 【答案】8 【分析】设椭圆右焦点为，连接，.根据三角形三边关系可得，当且仅当，，三点共线时等号成立.故周长.根据椭圆的定义及椭圆的标准方程，即可求解周长最大值为. 【详解】    如图所示，设椭圆右焦点为，直线交轴于点，连接，. 则根据三角形三边关系可得，当且仅当，，三点共线时等号成立，即点与点重合. ∴周长. 根据椭圆的定义及椭圆的标准方程可知：， ∴，即周长最大值为. 故答案为：. 【解题策略】 一、核心原则 以椭圆定义（为椭圆上任意点，为焦点，）为转化工具，结合三角形三边关系（）或对称性，将“椭圆上点到定点的距离”与“椭圆焦点距离”关联，避免直接求距离的复杂运算。 二、距离之和的最值（，为定点，在椭圆上） 1.含一个焦点的和（如） 转化逻辑 用椭圆定义替换焦点距离：，则 求最值依据 三角形三边关系：（当共线时取等号） 结果范围 最大值：（在延长线与椭圆交点） 最小值：（在延长线与椭圆交点） 2.不含焦点的和（如，均非焦点） 分情况处理 若在椭圆内：找关于椭圆的对称点，则（两点间线段最短，为与椭圆交点时取最小） 若在椭圆外：直接用三角形三边关系（为与椭圆交点时取最小），最大值需结合椭圆范围（在长轴端点附近） 三、距离差的最值（或，在椭圆上） 1.含一个焦点的差（如） 转化逻辑 用椭圆定义替换：，则 求最值依据 三角形三边关系：（在与椭圆交点取等），（椭圆上点到两定点距离和的上限） 结果范围 最大值：（时，？此处修正：应为，最大值为，最小值为） 2.不含焦点的差（如） 求最值依据 三角形三边关系：（当在延长线或反向延长线与椭圆交点时取等号） 关键注意 最大值为，最小值需结合椭圆范围（通常为负，具体看位置） 四、通用步骤 1.定关系：判断定点是否含椭圆焦点，确定是否用椭圆定义转化； 2.做转化：用替换焦点距离，将目标式化为“定点间距离”相关形式； 3.用性质：套用三角形三边关系或对称性求范围； 4.找等号：明确取最值时的位置（三点共线、对称点连线与椭圆交点）。 【题型七：椭圆焦点三角形问题】 例题精选 【例题1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义得，进而得的周长，设的内切圆半径为，利用等面积法即可求解. 【详解】如图，不妨令分别为椭圆的左、右焦点，由，得， 所以，所以． 设的内切圆半径为， 因为， 所以，得． 故选：C. 【例题2】【多选题】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．点纵坐标为 B．的周长为 C． D．的内切圆半径为 【答案】BCD 【分析】利用三角形的面积公式可判断A选项；利用椭圆的定义可判断B选项；设，利用三角形的面积公式、余弦定理、同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程，解出的值，可判断C选项；利用等面积法可判断D选项. 【详解】对于A选项，在椭圆中，，，， ，则、， 设点，，，故选项A错误； 对于B选项，由椭圆的定义可知， 的周长为，故选项B正确； 对于C选项，设，，可得， 由余弦定理可得 ， 所以， 所以，解得，故选项C正确， 对于D选项，设的内切圆半径为， 则， ，故选项D正确. 故选：BCD. 相似练习 【相似题1】【多选题】（2025·山东烟台·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，则下列说法正确的有（    ）． A．的面积的最大值为12 B．的平分线必过椭圆的中心 C．若，则 D．设，椭圆C上存在点P，使得 【答案】ACD 【分析】利用椭圆焦点三角形的性质计算面积的最大值后判断A，利用反证法判断B，；利用椭圆的定义结合余弦定理计算CD后可判断它们的正误. 【详解】由题设有椭圆的长半轴长，短半轴长， 半焦距，故， 对于A，当为短轴顶点时，的面积的最大， 此时面积为，故A正确； 对于B，若的平分线必过椭圆的中心， 因为，则此时为等腰三角形，故， 故此时为短轴顶点，故当不为短轴顶点时，的平分线不过椭圆的中心， 故B错误； 对于C，因为，故， 由余弦定理可得， 故，故， 所以，故，故C正确； 对于D，设，则， 故， 所以， 而，故， 所以即，故， 所以，因为，故符号该不等式， 故椭圆C上存在点P，使得，故D正确； 故选：ACD. 【相似题2】（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知椭圆：的左右焦点分别是，，点在椭圆上，则 ；若，则点的横坐标的取值范围是 . 【答案】 【分析】由椭圆方程求，结合椭圆的定义求，求点的坐标，设，由条件列方程和不等式，化简求解即可. 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 则，，， 所以，， 由椭圆的定义可得， 设，则，， 因为，所以，即，， 解得，所以点的横坐标的取值范围是. 故答案为：；. 【解题策略】 一、核心前提：明确焦点三角形构成与椭圆参数 1.焦点三角形定义：椭圆上任意一点与两焦点构成的（记顶角，两腰，）； 2.先定椭圆参数：从椭圆方程（或已知条件）中提取（长半轴）、（短半轴），计算（半焦距），明确，且由椭圆定义得（核心边长关系）。 二、通用解题步骤（3步核心法） 步骤1：用椭圆定义建立边长关系 核心等式：（必用，用于转化或）； 推导延伸：（常结合余弦定理用）。 步骤2：根据问题类型选对应公式 1.求面积（高频题型） 公式1：常规面积公式（已知底/高） （为到直线的距离，即点纵坐标绝对值，适用于已知坐标）； 公式2：顶角关联公式（已知或） （推导核心：余弦定理+三角形面积公式），也可写作（需结合与余弦定理求）。 2.求角度（顶角或底角） 求顶角：用余弦定理 ，代入和，得； （若求范围：由（均值不等式，时取等），得，即，当在短轴端点时最大）； 求底角：用正弦定理 （结合可求底角关系）。 3.求周长或边长最值 周长：直接用（固定值，无最值）； 边长最值：，（为离心率，为横坐标），故、（在长轴端点），可结合此求最值（，时）。 步骤3：代入参数计算，验证合理性 代入椭圆的（或已知的、坐标等），结合上述公式求解； 验证：确保、，符合三角形三边关系（）。 三、易错提醒 1.勿漏椭圆定义：所有焦点三角形问题均需用到，忘记则无法建立边长关系； 2.面积公式适用场景：已知用，已知坐标用“底×高/2”，避免混淆； 3.角度最大位置：仅当在短轴端点时，顶角最大，勿误认为长轴端点。 【题型八：椭圆标准方程中其他最值问题】 例题精选 【例题1】（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知为坐标原点，是椭圆：上异于顶点的动点，圆：与直线：交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，且，则面积的取值范围为 . 【答案】 【分析】先求出，，再应用及点在椭圆上得出，最后求出三角形的面积结合二次函数值域计算求解. 【详解】由题可知与轴、轴分别交于，两点，，. 由，可得. 因为是上的点，所以，则. 又，所以. 设到的距离为，则，则. 由，可得，， 则，所以. 故答案为：. 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）过椭圆内一点的直线与椭圆交于点和，且.点满足，若为坐标原点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得到点的轨迹是直线，再转化为点到直线上一点距离的最小值问题. 【详解】设，， 因为，， 化简可得，， 于是，， 整理得， 因为点、在椭圆上，则， 所以， 即，所以点的轨迹是直线，即为原点到直线的距离， 所以， 故选：D. 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）已知点是椭圆上除顶点以外的动点，为椭圆的两个焦点，是坐标原点，若是的平分线上的一点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线，，相交于点，由三角形全等得到为的中点，，由中位线用表示，从而得到取值范围. 【详解】设直线，，相交于点，    因为，所以，即，又因为，是公共边， 所以与全等，所以为的中点，， 又为线段的中点，所以. 在中，， 因为存在，所以不共线，所以不能取等号， 又因为不是顶点，所以，即，所以， 所以. 故选：C. 【相似题2】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的定义可得，利用基本不等式即可求得的最小值. 【详解】是椭圆的两个焦点，点在上，， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 【解题策略】 一、核心前提 设椭圆标准方程为： 焦点在x轴：（）； 焦点在y轴：（）； 通用工具：椭圆参数方程（为参数）、二次函数最值、三角函数有界性、直线与椭圆相切条件（）。 二、分类型解题思路 类型1：椭圆上一点到定直线的距离最值 核心思路 将“点到直线距离”转化为三角函数或二次函数的最值（参数方程简化二元问题）。 解题步骤 1.设点坐标：用参数方程设椭圆上任意一点（焦点在x轴，y轴同理调整）； 2.代入距离公式：设定直线为，则到直线的距离为： 3.化简求最值： 令，，则分子化为； 利用三角函数辅助角公式：（为辅助角）； 由，得分子最值为； 最终，（需结合符号判断）。 关键技巧 参数方程将二元变量转化为一元变量，避免联立方程的复杂计算。 类型2：椭圆内接多边形的面积最值（以矩形为例） 核心思路 利用椭圆对称性设顶点坐标，将面积表示为三角函数或二次函数，求极值。 解题步骤 1.设顶点坐标：由椭圆对称性，设内接矩形顶点为、、、； 2.表示面积：矩形长，宽，面积； 3.求最值：由，得（当时），（退化情况）。 关键技巧 内接三角形、菱形等可类比：利用对称性简化顶点坐标，面积表达式紧扣三角函数有界性。 类型3：椭圆上两点连线的斜率最值（定点与椭圆上点的斜率） 核心思路 设直线方程与椭圆联立，利用判别式（直线与椭圆相切时，斜率取极值）。 解题步骤 1.设直线方程：设定点为，椭圆上动点为，直线斜率为，方程为； 2.联立椭圆方程：将直线方程代入椭圆标准方程，整理为关于的一元二次方程：； 3.用相切条件求：当直线与椭圆相切时，为切点，此时斜率取最值，故令； 4.解斜率范围：解对应的一元二次方程（关于），得的最大值与最小值。 关键技巧 若定点在椭圆内，斜率无最值（直线可绕定点旋转360°）；若在椭圆外，斜率有两个极值（两条切线斜率）。 类型4：椭圆内过定点的弦长最值 核心思路 用弦长公式+韦达定理表示弦长，结合二次函数求最值，或利用椭圆几何性质（最长弦为长轴）。 解题步骤 1.分类讨论弦的方向： 当弦过椭圆中心时：最长弦为长轴（长度），最短弦为短轴（长度）； 当弦过椭圆内定点（非中心）： ①设弦所在直线斜率为，方程为，联立椭圆得； ②设弦端点为、，由韦达定理得，； ③弦长公式：，整理为关于的函数； ④求的最值（二次函数或分式函数极值），或用参数法简化计算。 关键技巧 过定点的最短弦：与“定点和椭圆中心连线”垂直的弦；最长弦：过定点的直径（若定点在中心）或过定点且沿长轴方向的弦。 三、通用总结 1.参数法优先：涉及椭圆上“单点”的最值（如点到直线距离、单点与定点斜率），用参数方程转化为三角函数最值，计算更简； 2.代数法兜底：涉及“两点”的最值（如弦长、斜率），联立直线与椭圆，用韦达定理、判别式转化为二次函数最值； 3.几何性质辅助：利用椭圆对称性、切线性质、直径性质，快速判断最值位置（如内接矩形最值在，切线斜率对应极值）。 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知点为椭圆上一点，直线过：的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点（第一象限）在椭圆上，若为坐标原点，则的取值范围为（   ）    A． B． C． D．（0，1） 二、多选题 4．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知曲线．下列结论正确的有（    ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是椭圆，其焦点在轴上 C．若，则是圆，其半径为 D．若，，则是两条直线 5．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知点是椭圆上的一点，是椭圆的左、右焦点，， 则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．最小值为2 D．最小值为3 三、填空题 6．（2025·甘肃金昌·二模）已知是椭圆上的动点，，且，则 . 7．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）若表示椭圆，则实数的取值范围为 . 8．（2025高三·全国·专题练习）已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点的坐标为，为椭圆上的一个动点，则的最大值是 ． 9．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上点满足，记的外接圆和内切圆半径分别是、，则的值为 ． 10．（25-26高二上·山西吕梁·阶段练习）已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，且，则的面积是 . 11．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知P为椭圆上一点，分别为圆和圆上的点．则的最小值为 ，最大值为 ． 12．（24-25高三下·安徽合肥·阶段练习）已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程 ． 四、解答题 13．（24-25高二上·福建莆田·开学考试）求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)经过点，两点． 14．（2025高三·全国·专题练习）已知定点，动点满足直线的斜率，求点的轨迹方程. 15．（25-26高二上·全国·课后作业）已知的周长为18，，． (1)求顶点的轨迹的标准方程； (2)当时，求点的纵坐标． 16．（25-26高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）（1）如图，已知圆，点是圆上任意一点.线段的垂直平分线和半径相交于，求动点的轨迹的方程；    （2）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上运动.若点是线段上靠近的三等分点，求点的轨迹方程； 参考答案 题号 1 2 3 4 5 答案 D B D AD BD 1．D 【分析】根据椭圆方程求出，再根据椭圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆的方程，知， 所以，，， 所以， 由椭圆的定义，得， 所以的周长. 故选：D. 2．B 【分析】连接，由为的中点可得 ，由在椭圆上可知，由此得到的取值范围. 【详解】：的圆心为，半径为1. 椭圆中，，，， 所以，，所以圆心为椭圆的右焦点. 由题意，是圆的直径，所以为的中点， 且，所以. 如图，连接，可得 . 因为点为椭圆上任意一点， 所以，. 由，得. 故选：B. 3．D 【分析】根据对称可得，．设点．由两点间的距离公式转化求解的表达式，然后根据椭圆范围求解取值范围． 【详解】如图所示，点在轴右边，    因为为的垂直平分线，所以，． 由中位线定理可得． 设点．由两点间的距离公式， 得 ， 同理可得， 所以，故， 因为，，所以，故， 所以． 因为，所以，故的取值范围为． 故选：D． 4．AD 【分析】将方程，转化为，判断选项ABC，再根据，判断选项D. 【详解】方程，化为，表示椭圆，且其焦点在轴上，则，即，故A正确； 若，表示椭圆，且其焦点在x轴上，则，即，故B错误； ，表示圆，即，其半径为故C错误； 当，时，，则是两条直线，故D正确， 故选：AD 5．BD 【分析】对于A，由余弦定理和基本不等式得到，结合的单调性得到，进而判断即可；对于B，先假设存在点，结合椭圆定义可得，设，建立方程求出，进而代入椭圆方程检验即可判断；对于C，由，结合三角形性质求解判断即可；对于D，，结合三角形性质求解判断即可. 【详解】由椭圆，则，即. 对于A，由余弦定理得 ， 因为，当且仅当时等号成立， 所以， 因为在上单调递减，且， 所以，则不存在点P，使得，故A错误； 对于B，假设存在点，使得， 由于，则，设， 则，解得，即， 将代入椭圆方程得， 则存在点，使得，故B正确； 对于C，， 当且仅当三点共线，且在之间时取等号， 则最小值为，故C错误； 对于D，， 由，则， 则， 当且仅当三点共线，且在以为起点，过的射线上时取等号， 则最小值为3，故D正确. 故选：BD. 6．5 【详解】根据椭圆的定义确定点的轨迹，进而得到椭圆参数，再由椭圆参数关系求参数值. 【分析】因为， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆. 易知，即， 所以. 故答案为：5 7． 【分析】根据椭圆标准方程列不等式，解不等式即得答案. 【详解】将原方程变形： ， 依题意，需满足： ， 解得：. 故答案为： 8．30 【分析】根据定义，再利用求解即可. 【详解】由椭圆的定义得，， 则，又点在椭圆内部，， 所以， 即，当点在的延长线上时，等号成立， 所以的最大值为30. 故答案为：30. 9．3 【分析】利用正弦定理、余弦定理结合等积法可求的值. 【详解】 由椭圆的标准方程可得. 设，则, 在中，由余弦定理有， 故，故， 故， 而，故即， 由正弦定理可得，故. 故答案为：. 10．/ 【分析】利用椭圆的定义、余弦定理求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】在椭圆中，，，， 由椭圆的定义可得，， 在中，， 由余弦定理得 ，解得， 因此，. 故答案为：. 11． 7 13 【分析】首先根据椭圆方程求出，由此可知两圆的圆心分别为椭圆的左、右焦点，，进而根据椭圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆方程知，两圆的圆心分别为椭圆的左、右焦点，， 设两圆半径分别为，，则，. ∴，|， ，|， 故的最小值为； 的最大值为.    故答案为：7；13 12． 【分析】利用椭圆的定义，确定点到两点的距离之和为常数，从而得到椭圆的方程，并排除导致三点共线的情况. 【详解】因为，而， 所以， 则顶点的轨迹为以为焦点的椭圆（除去与共线的两点）， 其中，得， 得， 由于椭圆的焦点在轴上， 则椭圆的标准方程为：， 故答案为： 13．(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的性质，由b，c求出a，结合焦点位置即可求解椭圆标准方程． （2）根据与两条坐标值的交点坐标，确定焦点位置及a，b，即可得解． 【详解】（1）因为，，所以， 因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为：； （2）由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，由得椭圆的焦点在x轴上， 所以，， 所以椭圆的标准方程为. 14． 【分析】令，写出和的表达式，根据题意，即可得到一个关于的方程，最后进行化简即为点的轨迹方程. 【详解】如图，令，则，， 因为，所以，即， 交叉相乘可得，即，, 所以点的轨迹方程为，点的轨迹为椭圆（不包括端点）. 故答案为：. 15．(1)． (2)． 【分析】（1）根据周长可得动点满足的几何性质，根据椭圆的定义可得动点的轨迹方程； （2）设点， 可得，与椭圆方程联立可得答案. 【详解】（1）设，易得，则， 由椭圆定义可得点的轨迹是以，为焦点的椭圆（不含轴上两点）， 且，， 所以，，， 所以所求轨迹方程为． （2）当动点满足时，可得在以为直径的圆上， 所以该圆圆心为，半径为，即圆的方程为， 设点， 可得， 又点在椭圆上，所以， 即， 解得，，则的纵坐标为．      16．（1）；（2） 【分析】（1）连接，根据题意，，由椭圆的定义知动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆即可求解； （2）根据，利用向量坐标运算，得出坐标间的关系，由转移法求出点的轨迹方程即可. 【详解】（1）连接，根据题意，，    则， 故动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆. 设其方程为， 可知，则， 点的轨迹的方程为. （2）依题意，，点， 则，即， 故，即， 而，即， 所以点的轨迹方程为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高二数学上学期常考题型归纳 【第14讲：椭圆的标准方程】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、椭圆方程的概念 （一）定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，记为，定义中提到的常数记为（），另外设（）。 （二）标准方程 1.焦点在x轴上：（），此时焦点坐标为，。 教材例题：已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，椭圆上一点到两焦点的距离之和等于，求椭圆的标准方程。 解析：由焦点坐标可知，又因为，所以。根据，可得。因为焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为。 2.焦点在y轴上：（），此时焦点坐标为，。 高考真题（节选）：（2022全国乙卷）已知椭圆C的焦点在y轴上，离心率为，且过点，求椭圆C的标准方程。 解析：设椭圆方程为（），离心率，即。又因为，所以。椭圆过点，代入方程得，即，解得，则，所以椭圆方程为。 （三）椭圆的几何性质（基于标准方程） 以焦点在x轴上的椭圆（）为例： 1.范围：，。椭圆位于由直线和围成的矩形内。 例：椭圆中，x的取值范围是，y的取值范围是，矩形的长为，宽为。 2.对称性：关于x轴、y轴成轴对称，关于原点成中心对称。 验证：若点在椭圆上，则（关于y轴对称）、（关于x轴对称）、（关于原点对称）均在椭圆上。 3.顶点：椭圆与坐标轴的交点称为顶点，共4个，分别为、（长轴顶点）、、（短轴顶点）。 长轴长：；短轴长：；长半轴长为，短半轴长为。 4.离心率的几何意义：离心率（），反映椭圆的“扁平程度”。 越接近1，越接近，越小，椭圆越扁； 越接近0，越接近0，越接近，椭圆越接近圆； 当时，，椭圆退化为圆（圆是椭圆的特殊形式）。 （四）椭圆的一般方程 当椭圆的中心在原点，但焦点未明确在x轴或y轴上时，其一般方程为：（其中，，，）。 化为标准方程的方法：两边同时除以，得。 若（即），则，，焦点在x轴上； 若（即），则，，焦点在y轴上。 例题：将椭圆一般方程化为标准方程，并判断焦点位置。 解析：两边除以6，得。因为，所以，，焦点在x轴上，，焦点坐标为。 （五）a、b、c的几何意义与关系深化 1.几何意义：在椭圆中，（长半轴长）、（短半轴长）、（半焦距）构成直角三角形，其中为斜边，和为直角边，即满足“”（核心关系式，需熟记）。 直观理解：以焦点在x轴的椭圆为例，短轴顶点到焦点的距离为，验证了该直角三角形关系。 2.常见变形：、，可用于已知任意两个量求第三个量（如求焦距、短半轴长等）。 例：已知椭圆，则（），（），，焦距。 二、焦点三角形 （一）定义 椭圆上任意一点与两焦点构成的三角形叫做焦点三角形。 （二）重要性质 1.周长：。 2.面积公式：设，则。 推导过程：在中，由余弦定理得。又因为，所以，代入余弦定理公式得，整理得。再根据三角形面积公式，代入可得。 3.角度最值：当点在短轴端点时，最大。 教材例题：已知椭圆，点在椭圆上，求的最大面积及此时的大小。 解析：由椭圆方程可知，，则。当点在短轴端点时，的高最大，最大高为，，所以最大面积。此时，则。 三、椭圆上的点到焦点的距离最值 设椭圆方程为（），焦点，，椭圆上任意一点。 （一）距离表达式 ，结合椭圆方程，化简可得，（其中为椭圆离心率）。 （二）最值情况 1.当时，，此时点为椭圆右顶点；当时，，此时点为椭圆左顶点。 2.同理，（点为椭圆左顶点），（点为椭圆右顶点）。 高考真题（节选）：（2021全国甲卷）已知椭圆（）的左、右焦点分别为，离心率为，为上一点，且的周长为，求椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值。 解析：由离心率得。又因为的周长为，将代入得，解得，。所以椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为。 四、椭圆中线段的和差最值 （一）线段和的最值 1.利用椭圆定义转化：若所求线段和与椭圆上点到两焦点距离相关，可利用转化。 教材例题：已知椭圆，为左、右焦点，点在椭圆内，求的最大值和最小值。 解析：由椭圆定义得，则，所以。根据三角形两边之差小于第三边，。计算，所以，即最大值为，最小值为。 2.利用对称性转化：对于椭圆外一点与椭圆上一点连线和椭圆上该点与另一焦点连线的和，可通过对称点转化为两点间距离。 （二）线段差的最值 一般利用三角形两边之差小于第三边，结合椭圆定义转化求解，如上述教材例题中涉及线段差的分析。 高考真题（节选）：（2020新高考Ⅰ卷）已知椭圆（）的离心率为，且过点，点在椭圆上，为椭圆焦点，求的最大值。 解析：由离心率得，又。椭圆过点，代入方程得，解得，。根据三角形两边之差小于第三边，，，所以，当且仅当在椭圆的长轴端点时取等号，故最大值为。 五、椭圆的轨迹方程 （一）求轨迹方程的常用方法 1.定义法：若动点轨迹符合椭圆定义，可直接根据定义求出椭圆方程。 教材例题：已知动点到两定点，的距离之和等于，求动点的轨迹方程。 解析：因为，所以动点的轨迹是椭圆，其中，，，则，焦点在x轴上，所以轨迹方程为。 2.代入法（相关点法）：若动点依赖于已知轨迹上的另一点，可先求出与的关系，再代入点轨迹方程。 高考真题（节选）：（2019全国Ⅰ卷）已知点，椭圆（）的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点，设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程及此时两点构成的轨迹方程（此处仅求两点构成的轨迹方程相关部分）。 解析：先求出椭圆的方程为。设，，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立得，则，。设的中点为，则，。消去，由得，代入，令（），则，，代入得。又因为，所以，整理得（，因中点在椭圆内且直线与椭圆相交）。当直线斜率不存在时，中点为，代入方程也成立，故中点的轨迹方程为（）。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：利用椭圆方程的定义求椭圆的标准方程】 例题精选 【例题1】（25-26高三上·山东青岛·开学考试）已知圆的方程为，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·陕西西安·期末）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ． 【相似题2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知动圆P与圆：相切，且与圆：内切，记圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 【解题策略】 一、核心原则：几何条件→代数方程 椭圆轨迹方程的求解本质是：将动点满足的几何条件（如距离关系、位置依赖、比例关系等）转化为关于动点坐标的代数方程，最终整理为椭圆的标准形式或一般形式，同时需验证轨迹的“纯粹性”（方程的解均为符合条件的动点）和“完备性”（符合条件的动点均为方程的解）。 二、分方法解题步骤与思路 方法1：定义法（最核心，适用于“距离之和为常数”的条件） 适用场景 已知动点到两个定点（焦点）的距离之和为常数，且两定点间距离（满足椭圆定义）。 解题思路 先识别焦点（定点）、确定（距离之和），再通过求，最终按焦点位置写方程。 详细步骤 1.找焦点：确定两定点、，计算焦距，得； 2.定：根据题设条件（如“动点到距离之和为”），确定，得； 3.验定义：验证（若不满足，则轨迹不是椭圆，可能是线段或无轨迹）； 4.求：由核心关系计算； 5.写方程：根据焦点位置（x轴/y轴），代入椭圆标准方程形式。 例题演示 题目：动点到定点、的距离之和为6，求的轨迹方程。 解题过程： 1.焦点、，焦距，故； 2.距离之和，故，； 3.验证，符合椭圆定义； 4.求； 5.焦点在x轴上，轨迹方程为。 方法2：代入法（相关点法，适用于“动点依赖已知轨迹点”） 适用场景 动点的坐标依赖于另一个已知轨迹的点（相关点），且在椭圆或其他已知曲线（如直线、圆）上。 解题思路 通过“用动点的坐标表示相关点的坐标”，再将的坐标代入其已知轨迹方程，整理得的轨迹。 详细步骤 1.设坐标：设动点，相关点； 2.找关系：根据题设条件（如“是的中点”“在某直线上且垂直某轴”），列出与的关系式（如中点：，）； 3.表相关点：解出，（用的坐标表示）； 4.代入已知：将，代入的已知轨迹方程； 5.整理化简：化简方程，得到动点的轨迹方程。 例题演示 题目：已知点在椭圆上，动点是与原点连线的中点，求的轨迹方程。 解题过程： 1.设，； 2.因是中点，故，（中点关系）； 3.解出相关点：，； 4.代入的椭圆方程：； 5.化简：，即（的轨迹方程）。 方法3：直译法（直接法，适用于“几何条件可直接翻译为代数等式”） 适用场景 已知动点满足的具体几何条件（如“到两定点距离的平方和为常数”“到定点距离与到定直线距离的比为离心率”），且条件可直接转化为关于的等式。 解题思路 直接将几何条件中的“距离”“垂直”“比例”等用坐标公式（如两点间距离公式、点到直线距离公式）翻译为代数方程，再化简为椭圆形式。 详细步骤 1.设动点：设动点坐标为； 2.译条件：根据题设几何条件，用坐标公式写出代数等式（如“到和的距离平方和为10”，翻译为）； 3.化简方程：展开、合并同类项，整理为椭圆的标准方程或一般方程（需保证系数为正且不相等）； 4.验轨迹：删除方程中不符合原几何条件的解（纯粹性），补充遗漏的解（完备性）。 例题演示 题目：动点满足到定点的距离与到定直线的距离之比为（，符合椭圆离心率），求的轨迹方程。 解题过程： 1.设； 2.翻译条件：，即； 3.化简方程： 两边平方得， 交叉相乘：， 展开：， 整理：， 即，化为标准式：； 4.验证：所有解均满足，轨迹完备。 方法4：参数法（适用于“动点坐标可由参数表示”） 适用场景 动点的运动依赖于某个参数（如角度、斜率、时间等），且参数与坐标的关系可明确表示。 解题思路 用参数表示动点的横、纵坐标（即参数方程），再消去参数，得到关于的普通方程（椭圆形式）。 详细步骤 1.选参数：根据动点运动规律选择合适的参数（如椭圆上的点常用角度为参数）； 2.写参数方程：用参数表示，（如椭圆标准方程对应的参数方程：，，为参数）； 3.消参数：利用三角恒等式（如）或代数方法消去参数； 4.得普通方程：整理为椭圆的标准方程。 例题演示 题目：动点满足，（为参数），求的轨迹方程。 解题过程： 1.选参数（角度参数）； 2.参数方程：，； 3.消参数：由得，由得，代入，得； 4.整理：（椭圆普通方程）。 三、方法选择技巧与注意事项 1.方法选择口诀 见“距离之和为常数”→用定义法； 见“动点依赖另一点”→用代入法； 见“直接给几何条件（如距离比、平方和）”→用直译法； 见“参数表示坐标”→用参数法。 2.关键注意事项 焦点位置判断：无论哪种方法，最终写标准方程时，需根据的位置（分母大则焦点在x轴，分母大则在y轴）； 范围与验证：化简后需检查方程对应的点是否都符合原几何条件（如直译法中平方可能引入增根，需删除）； 特殊情况：若化简后方程为（且），需先化为标准式（两边除以），再判断椭圆类型。 【题型二：椭圆方程的判断】 例题精选 【例题1】（2025·湖北黄冈·二模）设，“曲线为椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题2】【多选题】（24-25高二上·广东佛山·期中）已知曲线，则下列结论正确的有（   ） A．若，则C是焦点在轴上的椭圆 B．若，则C是圆 C．若，则C是焦点在轴上的椭圆 D．若，则C是两条平行于y轴的直线 相似练习 【相似题1】【多选题】（24-25高三上·河南·期中）关于，的方程，下列说法正确的是（   ） A．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 B．若，则该方程表示圆，其半径为 C．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 D．若，，则该方程表示两条直线 【相似题2】【多选题】（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）已知曲线，则（    ） A．若，则曲线表示圆，其半径为 B．若，则曲线是椭圆，其焦点在轴上 C．若曲线过点，则是椭圆 D．若，则曲线不表示任何图形 【解题策略】 一、核心目标 1.判断给定方程是否为椭圆方程； 2.若为椭圆，确定焦点位置及（长半轴、短半轴、半焦距）。 二、解题步骤（两步法） 步骤1：判断是否为椭圆方程 1.整理方程：化为（无交叉项），两边同除以得； 2.验证条件： ①、、； ②（若为圆）； ③方程为整式（无分式、根号含变量）。 三条件全满足→是椭圆，否则非椭圆。 步骤2：分析椭圆核心特征 1.定焦点位置： 设标准式为（，）： 若→焦点在轴，坐标； 若→焦点在轴，坐标。 2.算： （长半轴）； （短半轴）； （半焦距，）。 三、易错提醒 1.圆（）≠椭圆（需）； 2.分母为负→非椭圆（可能为双曲线）； 3.计算必用，确保。 【题型三：根据a，b，c求椭圆的标准方程】 例题精选 【例题1】（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （    ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，左右顶点分别为，过的直线l交C于A，B两点（异于点），的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（25-26高二上·全国·课后作业）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，焦距为2，过点且斜率不为0的直线与交于两点，若为的上顶点，且，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、核心前提 先验证参数关系：必须满足（，），否则参数无效（非椭圆的a、b、c）。 二、解题步骤（2步） 步骤1：判断焦点位置（关键） 焦点位置由“对应的变量”决定（a是长半轴，始终为分母中较大的项）： 若对应（即方程中的分母为）→焦点在x轴； 若对应（即方程中的分母为）→焦点在y轴。 步骤2：代入标准方程形式 焦点在x轴：标准方程为； 焦点在y轴：标准方程为。 三、关键提醒 1.无需比较b与c的大小，只需保证且； 2.若未明确焦点位置，但已知a、b，直接根据的分母位置定方程（在哪一变量下，焦点就在对应轴上）。 【题型四：根据椭圆方程求a，b，c】 例题精选 【例题1】（25-26高三上·浙江·阶段练习）已知椭圆的一个焦点为，则（   ） A． B． C． D． 【例题2】（23-24高二上·重庆·期中）椭圆的焦距为，则的值为 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知椭圆的焦点在轴上，焦距为，求实数的值为 . 【相似题2】（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则等于（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【解题策略】 一、核心前提 先将椭圆方程化为标准形式：（其中，，） 二、三步解题流程 步骤1：化标准式（非标准方程需先整理） 若方程为（），两边同除以，得，此时，； 若方程含分母系数，直接整理为“分子平方+分子平方=1”的形式（如已为标准式）。 步骤2：定a²和b² 找标准式中分母的最大值和最小值：设，； 长半轴平方（因，对应更长半轴，分母更大）； 短半轴平方； 计算，。 步骤3：算c（半焦距） 利用椭圆核心关系：（注意：是，非）； 计算（）。 三、关键注意事项 1.若，方程为圆（非椭圆），此时，； 2.若方程中或系数为负，非椭圆（可能为双曲线）； 3.若方程含交叉项，需先消去交叉项（旋转坐标系）再化为标准式，再求。 【题型五：椭圆上的点到焦点的距离及最值】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为 . 【例题2】（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则的最大值是（   ） A． B．9 C．16 D．25 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，点是上的一点，点是线段的中点，为坐标原点，若，则（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、核心前提：明确椭圆基本参数 设椭圆标准方程为： 1.焦点在x轴：（），焦点、； 2.焦点在y轴：（），焦点、； 其中（半焦距），（离心率，）。 二、求“椭圆上的点到焦点的距离”思路 1.距离表达式推导（分轴） 设椭圆上任意一点，利用椭圆方程消元+两点间距离公式化简： 焦点在x轴： 由椭圆方程得，代入，化简得： ，（）； 焦点在y轴： 由椭圆方程得，代入，化简得： ，（）。 三、求“距离最值”思路 1.核心依据：距离表达式的单调性+椭圆上点的坐标范围 焦点在x轴： ：，随增大而增大； 最大值：（右顶点）时，； 最小值：（左顶点）时，； ：，随增大而减小； 最大值：（左顶点）时，； 最小值：（右顶点）时，； 焦点在y轴： ：，随增大而增大； 最大值：（上顶点）时，； 最小值：（下顶点）时，； ：，随增大而减小； 最大值：（下顶点）时，； 最小值：（上顶点）时，。 2.结论总结 无论焦点在哪个轴： 椭圆上点到焦点的最大距离均为（对应远离该焦点的长轴端点）； 最小距离均为（对应靠近该焦点的长轴端点）。 【题型六：椭圆上的点到定点的距离之和与差的最值】 例题精选 【例题1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最小值为 ，的最大值为 ． 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·河南·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，为上任意一点，点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【相似题2】（24-25高二下·上海·期末）直线与椭圆交于，两点，为椭圆左焦点.则周长最大值是 . 【解题策略】 一、核心原则 以椭圆定义（为椭圆上任意点，为焦点，）为转化工具，结合三角形三边关系（）或对称性，将“椭圆上点到定点的距离”与“椭圆焦点距离”关联，避免直接求距离的复杂运算。 二、距离之和的最值（，为定点，在椭圆上） 1.含一个焦点的和（如） 转化逻辑 用椭圆定义替换焦点距离：，则 求最值依据 三角形三边关系：（当共线时取等号） 结果范围 最大值：（在延长线与椭圆交点） 最小值：（在延长线与椭圆交点） 2.不含焦点的和（如，均非焦点） 分情况处理 若在椭圆内：找关于椭圆的对称点，则（两点间线段最短，为与椭圆交点时取最小） 若在椭圆外：直接用三角形三边关系（为与椭圆交点时取最小），最大值需结合椭圆范围（在长轴端点附近） 三、距离差的最值（或，在椭圆上） 1.含一个焦点的差（如） 转化逻辑 用椭圆定义替换：，则 求最值依据 三角形三边关系：（在与椭圆交点取等），（椭圆上点到两定点距离和的上限） 结果范围 最大值：（时，？此处修正：应为，最大值为，最小值为） 2.不含焦点的差（如） 求最值依据 三角形三边关系：（当在延长线或反向延长线与椭圆交点时取等号） 关键注意 最大值为，最小值需结合椭圆范围（通常为负，具体看位置） 四、通用步骤 1.定关系：判断定点是否含椭圆焦点，确定是否用椭圆定义转化； 2.做转化：用替换焦点距离，将目标式化为“定点间距离”相关形式； 3.用性质：套用三角形三边关系或对称性求范围； 4.找等号：明确取最值时的位置（三点共线、对称点连线与椭圆交点）。 【题型七：椭圆焦点三角形问题】 例题精选 【例题1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 【例题2】【多选题】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．点纵坐标为 B．的周长为 C． D．的内切圆半径为 相似练习 【相似题1】【多选题】（2025·山东烟台·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，则下列说法正确的有（    ）． A．的面积的最大值为12 B．的平分线必过椭圆的中心 C．若，则 D．设，椭圆C上存在点P，使得 【相似题2】（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知椭圆：的左右焦点分别是，，点在椭圆上，则 ；若，则点的横坐标的取值范围是 . 【解题策略】 一、核心前提：明确焦点三角形构成与椭圆参数 1.焦点三角形定义：椭圆上任意一点与两焦点构成的（记顶角，两腰，）； 2.先定椭圆参数：从椭圆方程（或已知条件）中提取（长半轴）、（短半轴），计算（半焦距），明确，且由椭圆定义得（核心边长关系）。 二、通用解题步骤（3步核心法） 步骤1：用椭圆定义建立边长关系 核心等式：（必用，用于转化或）； 推导延伸：（常结合余弦定理用）。 步骤2：根据问题类型选对应公式 1.求面积（高频题型） 公式1：常规面积公式（已知底/高） （为到直线的距离，即点纵坐标绝对值，适用于已知坐标）； 公式2：顶角关联公式（已知或） （推导核心：余弦定理+三角形面积公式），也可写作（需结合与余弦定理求）。 2.求角度（顶角或底角） 求顶角：用余弦定理 ，代入和，得； （若求范围：由（均值不等式，时取等），得，即，当在短轴端点时最大）； 求底角：用正弦定理 （结合可求底角关系）。 3.求周长或边长最值 周长：直接用（固定值，无最值）； 边长最值：，（为离心率，为横坐标），故、（在长轴端点），可结合此求最值（，时）。 步骤3：代入参数计算，验证合理性 代入椭圆的（或已知的、坐标等），结合上述公式求解； 验证：确保、，符合三角形三边关系（）。 三、易错提醒 1.勿漏椭圆定义：所有焦点三角形问题均需用到，忘记则无法建立边长关系； 2.面积公式适用场景：已知用，已知坐标用“底×高/2”，避免混淆； 3.角度最大位置：仅当在短轴端点时，顶角最大，勿误认为长轴端点。 【题型八：椭圆标准方程中其他最值问题】 例题精选 【例题1】（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知为坐标原点，是椭圆：上异于顶点的动点，圆：与直线：交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，且，则面积的取值范围为 . 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）过椭圆内一点的直线与椭圆交于点和，且.点满足，若为坐标原点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）已知点是椭圆上除顶点以外的动点，为椭圆的两个焦点，是坐标原点，若是的平分线上的一点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最小值为 . 【解题策略】 一、核心前提 设椭圆标准方程为： 焦点在x轴：（）； 焦点在y轴：（）； 通用工具：椭圆参数方程（为参数）、二次函数最值、三角函数有界性、直线与椭圆相切条件（）。 二、分类型解题思路 类型1：椭圆上一点到定直线的距离最值 核心思路 将“点到直线距离”转化为三角函数或二次函数的最值（参数方程简化二元问题）。 解题步骤 1.设点坐标：用参数方程设椭圆上任意一点（焦点在x轴，y轴同理调整）； 2.代入距离公式：设定直线为，则到直线的距离为： 3.化简求最值： 令，，则分子化为； 利用三角函数辅助角公式：（为辅助角）； 由，得分子最值为； 最终，（需结合符号判断）。 关键技巧 参数方程将二元变量转化为一元变量，避免联立方程的复杂计算。 类型2：椭圆内接多边形的面积最值（以矩形为例） 核心思路 利用椭圆对称性设顶点坐标，将面积表示为三角函数或二次函数，求极值。 解题步骤 1.设顶点坐标：由椭圆对称性，设内接矩形顶点为、、、； 2.表示面积：矩形长，宽，面积； 3.求最值：由，得（当时），（退化情况）。 关键技巧 内接三角形、菱形等可类比：利用对称性简化顶点坐标，面积表达式紧扣三角函数有界性。 类型3：椭圆上两点连线的斜率最值（定点与椭圆上点的斜率） 核心思路 设直线方程与椭圆联立，利用判别式（直线与椭圆相切时，斜率取极值）。 解题步骤 1.设直线方程：设定点为，椭圆上动点为，直线斜率为，方程为； 2.联立椭圆方程：将直线方程代入椭圆标准方程，整理为关于的一元二次方程：； 3.用相切条件求：当直线与椭圆相切时，为切点，此时斜率取最值，故令； 4.解斜率范围：解对应的一元二次方程（关于），得的最大值与最小值。 关键技巧 若定点在椭圆内，斜率无最值（直线可绕定点旋转360°）；若在椭圆外，斜率有两个极值（两条切线斜率）。 类型4：椭圆内过定点的弦长最值 核心思路 用弦长公式+韦达定理表示弦长，结合二次函数求最值，或利用椭圆几何性质（最长弦为长轴）。 解题步骤 1.分类讨论弦的方向： 当弦过椭圆中心时：最长弦为长轴（长度），最短弦为短轴（长度）； 当弦过椭圆内定点（非中心）： ①设弦所在直线斜率为，方程为，联立椭圆得； ②设弦端点为、，由韦达定理得，； ③弦长公式：，整理为关于的函数； ④求的最值（二次函数或分式函数极值），或用参数法简化计算。 关键技巧 过定点的最短弦：与“定点和椭圆中心连线”垂直的弦；最长弦：过定点的直径（若定点在中心）或过定点且沿长轴方向的弦。 三、通用总结 1.参数法优先：涉及椭圆上“单点”的最值（如点到直线距离、单点与定点斜率），用参数方程转化为三角函数最值，计算更简； 2.代数法兜底：涉及“两点”的最值（如弦长、斜率），联立直线与椭圆，用韦达定理、判别式转化为二次函数最值； 3.几何性质辅助：利用椭圆对称性、切线性质、直径性质，快速判断最值位置（如内接矩形最值在，切线斜率对应极值）。 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知点为椭圆上一点，直线过：的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点（第一象限）在椭圆上，若为坐标原点，则的取值范围为（   ）    A． B． C． D．（0，1） 二、多选题 4．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知曲线．下列结论正确的有（    ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是椭圆，其焦点在轴上 C．若，则是圆，其半径为 D．若，，则是两条直线 5．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知点是椭圆上的一点，是椭圆的左、右焦点，， 则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．最小值为2 D．最小值为3 三、填空题 6．（2025·甘肃金昌·二模）已知是椭圆上的动点，，且，则 . 7．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）若表示椭圆，则实数的取值范围为 . 8．（2025高三·全国·专题练习）已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点的坐标为，为椭圆上的一个动点，则的最大值是 ． 9．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上点满足，记的外接圆和内切圆半径分别是、，则的值为 ． 10．（25-26高二上·山西吕梁·阶段练习）已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，且，则的面积是 . 11．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知P为椭圆上一点，分别为圆和圆上的点．则的最小值为 ，最大值为 ． 12．（24-25高三下·安徽合肥·阶段练习）已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程 ． 四、解答题 13．（24-25高二上·福建莆田·开学考试）求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)经过点，两点． 14．（2025高三·全国·专题练习）已知定点，动点满足直线的斜率，求点的轨迹方程. 15．（25-26高二上·全国·课后作业）已知的周长为18，，． (1)求顶点的轨迹的标准方程； (2)当时，求点的纵坐标． 16．（25-26高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）（1）如图，已知圆，点是圆上任意一点.线段的垂直平分线和半径相交于，求动点的轨迹的方程；    （2）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上运动.若点是线段上靠近的三等分点，求点的轨迹方程； 1 学科网（北京）股份有限公司 $