第 13 讲 极坐标系与参数方程讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第 13 讲 极坐标系与参数方程 1. 直线方程的参数式 参数式: 为参数, 为直线的倾斜角) 2. 圆锥曲线的参数方程 椭圆: ( 为参数) 双曲线 为参数) 3. 极坐标和直角坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点, 轴的正半轴作为极轴,取相同的长度单位. 若 是平面内任意一点,它的直角坐标是 ,极坐标是 ,则它们之间的关系如下: 4. 圆锥曲线的统一极坐标方程 以圆锥曲线的焦点 (椭圆的左焦点, 双曲线的右焦点, 抛物线的焦点) 为极点, 过极点引相应准线的垂线的反向延长线为极轴,则圆锥曲线的统一极坐标方程为 ,其中 为离心率, 是焦点到相应准线的距离. 5. 相交曲线系 已知曲线 ,曲线 ,那么过曲线 与 的公共点的曲线方程为 和 . 热点课堂 【例 1 】已知正方形 与点 在同一平面内,该正方形的边长为 1,且 ，则 的最大值为( ) A. B. C. D. 前三个答案都不对 【分析】要求 的最大值,关键要得到点 的轨迹,从几何角度判断轨迹有一定的难度,不如建系用代数的方法通过轨迹方程获得点 的轨迹. 如图所示建立直角坐标系,则 . 因为 , 所以 , 即 , 即点 的轨迹是以 为圆心, 为半径的圆, 因此 的最大值为 . 【解答】A 【例 2】在极坐标系中,曲线 上的点与曲线 上的点的距离最大值是多少？ 【分析】要求解曲线 和曲线 上动点之间的距离最值问题,首先将两个曲线的极坐标方程转化为普通方程, 进而判断曲线为圆, 故只要将圆心距加两个半径即可得到最大值. 【解答】将极坐标方程转化为普通方程. 令 所以曲线 ,曲线 , 则两个动点的距离最大值为圆心距加两个半径,即 . 【例 3】已知椭圆 ，过点 的直线交椭圆于 ， 两点，点 在直线 上,若 为正三角形,求 的面积. 【分析】因为 为正三角形,所以 与高之比为 ,利用这一条件就可求出 的斜率,进而可得 的面积. 由于点 恰为焦点,所以亦可以利用焦半径公式求解 的长度. 【解答】解法一: 设直线 的中点为 , 联立 整理可得 , 则 , 而 ,解得 ,所以 , 则 的面积为 . 解法二: 如图,设直线 的倾斜角为 的中点为 ,分别过点 作直线 的垂线,垂足分别为 ,不妨设 为锐角, 由焦半径公式可得 , 由几何条件可得 , 所以 ,可得 , 所以 , 所以 的面积为 . 【例 4】已知一条直线与双曲线交于 两点,与此双曲线的渐近线交于 两点, 证明: 线段 与 的长度相等. 【分析】以双曲线的中心为原点,以实轴所在直线为 轴建立平面直角坐标系,则双曲线与对应的渐近线方程可以表示为 ,其中当 时为双曲线,当 时为渐近线. 要证明线段 与 的长度相等,由于双曲线的对称性,只需要 的中点与 的中点重合即可. 【解答】解法一: 设 ，与 联立可得， 所以 ,与 无关, 可得 的中点与 的中点重合. 故线段 与 的长度相等, 当直线斜率 存在且不为零时,显然成立. 解法二: 设 , 则有 两式相减得, , 同理有, . 因为 四点共线,当此直线斜率不存在或斜率为 0 时,由双曲线的对称性得 , 当此直线斜率 存在且不为零时,由 得 , 即 的中点与 的中点在过原点的同一条直线上,所以它们重合,从而有 . 【例 5】已知点 在椭圆 上,求 的最大值与最小值的和. 【分析】因为点 在椭圆上,可以用参数方程将 转化为角 的三角函数最值问题，或令 转化为直线的截距问题，不过联立方程的运算量较大. 【解答】根据题意可设 (其中 为参数), 则 , 所以 的最大值与最小值的和为 8 . 【例 6】已知椭圆 ，过点 且斜率为 的直线 交椭圆 于 ， 两点. 过点 作直线 的垂线与椭圆相交于 ， 两点. 试判断是否存在这样的 ，使得 ， 四点在同一个圆上? 并说明理由. 【分析】圆锥曲线中的四点共圆,可以利用相交弦定理转化为弦长问题,即 四点共圆,则有 ,然后通过弦长求直线的斜率. 【解答】解法一: 设 . 将直线 的方程代入 并整理得 , 所以 所以 同理将 用 代替可得 , 由 得 ,所以 . 解法二: (利用直线的参数方程) 设直线 代入椭圆方程 可得 , 即 , 所以 , 同理可得 . 因为 ,所以 ,即 . 解法三: 由题意可得 四点必在曲线 . 上, 展开可得 . 因为上式是圆方程,所以 解得 所以圆方程为 . 评注: 若二次曲线 上四点共圆,则其中两点连线斜率和另两点连线斜率之和为常数 “ 0 ”，这个也可以替代 这一条件. 学科网（北京）股份有限公司 $