第01讲 空间向量及运算讲义(知识点+13题型+巩固练习)-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第01讲 空间向量及运算 思 维 导 图 教 学 目 标 1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的表示方法（包括几何表示和坐标表示）。掌握空间向量的加法、减法、数乘运算的定义和运算律，并能熟练进行相关运算。 2.理解空间向量数量积的概念、性质和运算律，能运用数量积解决空间向量的夹角和垂直问题。掌握空间向量共线、共面的充要条件，并能判断空间向量的共线与共面关系。 3.通过类比平面向量的知识，经历空间向量概念和运算的探究过程，培养类比推理和空间想象能力。 4.在运用空间向量解决问题的过程中，体会向量方法在研究空间几何问题中的作用，提升运用数学工具分析和解决问题的能力。 5.在探究空间向量运算规律的过程中，培养严谨的思维习惯和合作探究精神，体会数学知识的内在联系。 知识点梳理 知识点一．空间向量 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量． (2)模(或长度)：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为，模为||． ②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…． 知识点二．几类特殊的向量 (1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0． (2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量． (3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． (4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量． (5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行． （6）共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面． 注 （1）空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不一定共面． （2）熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键． 注意： 1.零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性. 2.单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1. 3.两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量． 4.空间向量表示空间内具有大小和方向的量,平面向量表示平面内具有大小和方向的量,空间向量是在平面向量基础上进一步学习的知识内容,它们的运算规律完全相同,空间向量的相关定理及公式与平面向量类似,可以类比学习; 5.在空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同; 6.由于向量是由其模和方向确定的,所以解答空间向量有关概念问题时,通常抓住这两点来解决; 7.零向量是一个特殊向量,其方向是任意的,且与任何向量共线,这一点说明向量共线不具有传递性. 8.空间中的向量，除了共线之外，我们还要讨论共面的情形. 一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面. 知识点三.空间向量的加法、减法与数乘运算 名称 运算法则 特点 图示 加法运算 三角形法则 收尾相接收尾连（通过平移） 平行四边形法则 起点相同（共起点）（通过平移） 减法运算 平行四边形法则 起点相同连终点，被减向量定指向。 数乘运算 实数的作用：正负定方向，数值定模比 知识点四.空间向量的加法和数乘的运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： （3）数乘运算律：①λ(μ)＝(λμ)；②(λ＋μ)＝λ＋μv；③λ(＋)＝λ＋λ； 知识点五.共线向量及共线向量定理 1. 共线向量或平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量. 向量a与b平行，记作a//b.规定，零向量与任意向量共线. 2. 共线向量定理 对空间任意两个向量a，b（a≠0），b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b=λa. 知识点六.空间向量的线性运算的理解 类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算． 　 图1　　　　　　　　图2 (1)如图1，＝＋＝a＋b，＝－＝a－b． (2)如图2，＋＋＝． 即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量． (3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa．其中： ①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向： (ⅰ)当λ＞0时，与a的方向相同； (ⅱ)当λ＜0时，与a的方向相反． ②当λ＝0或a＝0时，λa＝0． 知识点七.空间两个向量的夹角 1. 夹角 定义 a,b是空间两个向量，过空间任意一点O，作a，b,∠AOB=（0≤π）叫做向量a,b的夹角。 图示   表示 　〈a,b〉. 范围 [0,π] 2.空间两个向量的关系 （1）若〈a,b〉=0,则向量a,b方向相同; （2）若〈a,b〉=π,则向量a,b方向 　相反; （3）若〈a,b〉=,则向量a,b　互相垂直，记作a⊥b 知识点八.空间两个向量的数量积 1. 空间向量的数量积的定义 定义 已知两个非零向量a,b,则　|a||b|cos〈a,b〉  叫做a,b的数量积,记作    a·b    .即a·b=|a||b|cos〈a,b〉. 规定 零向量与任意向量的数量积为　0    2.空间向量数量积的运算律 交换律 a·b=     b·a     结合律 (λa)·b=⑩     λ(a·b)    ,λ∈R 分配律 a·(b+c)=     a·b+a·c   3.空间向量数量积的性质 ①若a,b为非零向量,则a⊥b⇔     a·b=0    ; ②若a,b同向，a·b=|a||b|；若a,b反向，a·b=-|a||b|；特别的，a·a=|a|2，或|a|= ③若为a,b的夹角，则 ④|a·b|≤|a||b| 4.与数量积有关的2个易错点 ①两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零. ②向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即ab=acb=c，（a·b）·c=a·（b·c）都不成立. 知识点九.向量的投影 （1）向量在向量上的投影向量 ①定义：对于空间任意两个非零向量a，b，设向量=a，=b，如图，过点A作AA1⊥0B，垂足为A1.上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量. ②几何意义：向量a，b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积，即a·b=b （2）向量在平面上的投影向量 ①定义：设向量m=，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量.我们将上述由向量m得到向量的变换称为向量m向平面α投影，向量称为向量 m 在平面α上的投影向量. ②几何意义：空间向量m，n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积，即mn=n （6）求向量的夹角和模长 借助cos〈a，b〉＝，求向量a，b的夹角．借助|a＋b|＝＝求模． 空间向量数量积的注意点 1. 结果：两个向量的数量积，其结果是一个实数，而不是一个向量，它的符号取决于两向量的夹角的余弦值的符号. （2）零向量：空间向量数量积对于a，b是零向量时的情况仍然成立，即零向量与任何向量的数量积均为零. （3）运算律：数量积不满足结合律 在几何体中求空间向量的数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积； (3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模； (4)代入公式a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉求解． 利用数量积求直线夹角或余弦值的方法 ①取向量:根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量 ②角转化:异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题 ③求余弦值:利用数量积求余弦值或角的大小 ④定结果:异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量的夹角求余弦值应将余弦值加上绝对值，继而求角的大小 利用向量的数量积求两点间的距离 可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式||=求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小. 题 型 归 纳 题型01：空间向量的基本概念 1.下列命题中是假命题的是（     ） A．任意向量与它的相反向量不相等 B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小 C．如果，则 D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 【答案】A 【分析】由零向量的定义可判断AC，由向量的性质可判断BD. 【详解】对于A，零向量的相反向量是它本身，A错误； 对于B，空间向量是有向线段，不能比较大小，B正确； 对于C，如果，则，C正确； 对于D，两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，D正确. 故选：A. 2.关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．任意两个空间向量总是共面的 C．零向量没有方向 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】B 【分析】根据空间向量的相关定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，方向相反长度相等的向量是相反向量，故A错误， 对于B，空间中，任意两个向量是共面的，故B正确， 对于C，零向量的方向是任意的，故C错误， 对于D，两个不相等的向量模长可以相等，此时方向不相同，即为不相等的向量.故D错误， 故选：B 3.下列命题中，是真命题的为（    ） A．设，是两个空间向量，则 B．若空间向量，满足，则 C．若空间向量，，满足，，则 D．在正方体中，必有 【答案】ACD 【分析】根据空间向量的相关概念和运算逐项分析判断. 【详解】对于选项A：根据数量积的定义可知：，故A为真命题； 对于选项B：根据向量的定义可知，，但向量的方向无法确定， 所以不一定成立，故B为假命题； 对于选项C：根据向量相等的定义可知：若，，则，故C真命题； 对于选项D：在正方体中，，且方向相同， 所以，故D为真命题. 故选：ACD. 4.给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量满足，则； ③在正方体中，必有 ； ④若空间向量 满足，，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据空间向量的定义，逐个命题进行判断即可. 【详解】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题； 对于②，向量相等即模相等和方向相同，故②为假命题； 对于③，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，，故③为真命题； 对于④，根据向量相等的定义，明显成立，故④为真命题. 对于⑤，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故⑤为假命题 故选：C 5．下列关于空间向量的命题中，正确的个数是（       ） ①在同一条直线上的单位向量都相等； ②只有零向量的模等于0； ③在正方体中，与是相等向量； ④在空间四边形中，与是相反向量； ⑤在三棱柱中，与的模一定相等的向量一共有3个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】 【分析】 根据空间向量的概念及性质，正方体、三棱柱及空间四边形的性质及结构特征，结合各选项的描述判断正误即可. 【详解】 ①错误，在同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，所以不一定相等； ②正确，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量； ③正确，由正方体的性质知：与的模相等，方向相同； ④错误，空间四边形中，与的模不一定相等，方向也不一定相同； ⑤错误，三棱柱中与的模一定相等的向量是共5个. 故选：A 6.下列命题中，正确的是（    ）. A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据向量模长的定义以及向量的定义即可逐一判断. 【详解】对于A;比如,不相等，但，故A错误； 对于B;向量的模长可以有大小之分，但是向量不可以比较大小，所以B错误； 对于C;向量相等，则其模长相等，方向相同，故C正确； 对于D；若，，但不相等，故D错误； 故选：C 7.下列命题中正确的是（　　） A．若，，则与所在直线平行 B．向量、、共面即它们所在直线共面 C．空间任意两个向量共面 D．若，则存在唯一的实数λ，使 【答案】C 【分析】根据空间向量的相关观念逐一判断即可. 【详解】对于A，若，，当时与所在直线可以不平行，因此不正确； 对于B，向量、、共面，则它们所在直线可能共面，也可能不共面，因此不正确； 对于C，根据共面向量基本定理可知：空间任意两个向量共面，正确； 对于D，若且，则存在唯一的实数λ，使，因此不正确． 故选：C． 8.给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则．其中正确的个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由相等向量的定义依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，①错误； 对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量与的方向不一定相同，②错误； 对于③，根据正方体的性质，在正方体中，向量与向量的方向相同，模也相等，则，③正确； 对于④，由向量相等关系可知，④正确． 故选：C. 9．下列命题为真命题的是（       ） A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．若，则､的长度相等且方向相同 C．若向量､满足，且与同向，则 D．若两个非零向量与满足，则. 【答案】D 【解析】 【分析】 由空间向量的模长、共线、共面等相关概念依次判断4个选项即可. 【详解】 空间中任意两个向量必然共面，A错误； 若，则､的长度相等但方向不确定，B错误； 向量不能比较大小，C错误； 由可得向量与长度相等，方向相反，故，D正确. 故选：D. 10.给出下列命题： ①向量的长度与向量的长度相等； ②向量与平行，则与的方向相同或相反； ③两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ④若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】②可举出反例，①③④⑤可用向量的概念进行判断 【详解】对于①，，故①为真命题； 对于②，若与中有一个为零向量时，其方向不确定，故②为假命题； 对于③，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反，所以③为假命题； 对于④，共线向量所在直线可以重合，也可以平行，不能得到点A，B，C，D必在同一条直线上，故④为假命题； 对于⑤，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故⑤为假命题． 故假命题的个数为4. 故选：C 11.给出下列几个命题： ①方向相反的两个向量是相反向量； ②若，则或； ③对于任何向量，，必有． 其中正确命题的序号为 ． 【答案】③ 【分析】根据相反向量的定义可以判断①；两个向量模相等，这两个不一定是相等向量或相反向量可以判断②；通过对，同向，反向，不共线进行分类讨论，结合三角形法则和三边关系则可以判定③. 【详解】对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错； 对于②，若，则与的长度相等，但方向没有任何联系，故②不正确； 对于③，若与同向，则，若与反向，，若与不共线，结合三角形法则和三角形三边关系，两边之和大于第三边，所以，综上必有，所以③正确．      故答案为：③ 12.下列命题为真命题的是（　　） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝ C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中，，，则 【答案】BC 【分析】由向量相等的条件和向量共线的定义判断各个选项. 【详解】对于A，两个向量相等，但方向不一定相同，不能得到，A选项错误； 对于B，由正方体的结构特征可知，与长度相等，方向相同，有＝，B选项正确； 对于C，空间向量，，满足，，即与长度相等方向相同，与长度相等方向相同， 则有与长度相等方向相同，有，C选项正确； 对于D，时，满足，，但不能得到，D选项错误. 故选：BC 13．在平行六面体中，与向量相等（不含）的向量有（       ） A．0个 B．3个 C．6个 D．9个 【答案】B 【解析】 【分析】 根据相等向量的定义判断. 【详解】 由图形可知，. 故选：B 14.如图所示，在长方体中，，，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（    ）    A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个 C．的相反向量有4个 D．模为的向量有4个 【答案】ABC 【分析】根据单位向量、相等向量、相反向量和向量的模的概念逐项分析可得答案. 【详解】由题可知单位向量有，，，，，，，，共8个，故A正确； 与相等的向量有，，，共3个，故B正确； 向量的相反向量有，，，，共4个，故C正确； 模为的向量分别为，，，，，，，，共8个，故D错误． 故选：ABC 15．在平行六面体中，以顶点为向量的起点或终点，且与向量的模相等的向量有（       ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【解析】 【分析】 由平行六面体定义可确定与棱长度相等的棱，由此可确定结果. 【详解】 由平行六面体定义可知几何体各个面均为平行四边形， ， 则与向量的模相等的向量有，，，，，，，共个. 故选：A. 16.如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)试写出与相等的所有向量． (2)试写出的相反向量． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相等向量的定义写出即可； （2）根据相反向量的定义写出即可. 【详解】（1）由题意，与相等有； （2）由题意，的相反向量有. 17.如图，在正方体中，点为棱上任意一点．只考虑图上已画出线段所对应的向量，写出：        (1)的相等向量，的相反向量； (2)用另外两个向量的和或差表示； (3)用三个或三个以上向量的和表示． 【答案】(1)、、；， (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据相等向量以及相反向量的概念即可得答案. （2）根据向量的加减运算即可得答案. （3）利用向量首尾依次相接的规则，即可求得答案. 【详解】（1）根据正方体棱与棱之间的关系，的相等向量有、、， 的相反向量有：、． （2）用“首尾规则”求解，如果只在含的三角形中考虑，有， ，，．（答案不唯一） （3）用“首尾规则”求解，则，． （答案不唯一） 题型02:空间向量的加法、减法与数乘运算 1.化简下列算式： (1)； (2). 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据向量数乘运算即可求得答案； （2）根据向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】（1）. （2）. 2.化简 . 【答案】 【分析】利用空间向量的数乘运算法则即可得解. 【详解】 . 故答案为：. 3.若，，，为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是（    ） ①； ②； ③； ④. A．① B．② C．③ D．④ 【答案】BD 【分析】根据向量加法，减法运算法则，即可求解判断. 【详解】①中，原式，不符合题意； ②中，原式，符合题意； ③中，原式，不符合题意； ④中，原式，符合题意. 故选：BD 4.在空间四边形中下列表达式化简结果与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量运算求得正确答案. 【详解】，A选项错误. ，B选项正确. ，C选项错误. ，D选项错误. 故选：B 5.已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（　　） ①与是一对相反向量； ②与是一对相反向量； ③与是一对相反向量； ④与是一对相反向量． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据向量线性运算、相等向量和相反向量定义依次判断各个选项即可. 【详解】   对于①，，，， 与是一对相反向量，①正确； 对于②，，，又， 与不是相反向量，②错误； 对于③，，，，， , 与是一对相反向量，③正确； 对于④，，，又， 与是一对相反向量，④正确. 故选：C. 6．若A，B，C，D为空间任意四个点，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由已知结合向量的加减运算法则即可直接求解. 【详解】 解：. 故选：A. 7．如图，在空间四边形中，（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 利用空间向量加减法法则直接运算即可. 【详解】 根据向量的加法、减法法则得. 故选：A. 8．在平行六面体中，（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由空间向量的加法的平行四边形法则和三角形法则，可得所求向量． 【详解】 解：连接，可得，又， 所以． 故选：A 9．如图，在平行六面体中，（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 利用向量的加减法法则计算即可. 【详解】 故选：C 10．在空间四边形中，下列表达式结果与相等的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据空间空间向量的加法和减法即可求解． 【详解】 A， B，． C，. D，. 故选：B 11．在空间四边形中，连接，若是正三角形，且E为其重心，则的化简结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 取的中点F，可知，又，再利用空间向量的加法、减法的几何意义即可求解. 【详解】 如图所示，取的中点F，则， 又E为正三角形的重心，即上靠近F的三等分点， 所以， 则 故选：C 【点睛】 本题考查空间向量的加法、减法的几何意义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 12.已知四面体，是的中点，连接，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件作出图形，利用中点的向量的线性关系及向量加法法则即可求解. 【详解】四面体，是的中点，如图所示， 因为是的中点， 所以 所以. 故选：A. 13.如图，在四面体ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，则 .    【答案】 【分析】利用空间向量的加减运算法则求解. 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 14.在三棱锥中，若是正三角形，为其重心，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】首先根据几何关系，转化向量再进行运算可得答案. 【详解】延长交边于点，则， 则有，， 故．    故答案为：. 15．在长方体中，下列各式运算结果为的是（       ） ①   ②   ③   ④ A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】A 【解析】 根据空间向量的运算法则，逐项计算，即可判断出结果. 【详解】 ，①对； ，②对； ，③错； 显然不等于，④错． 故选：A． 题型03:空间向量加减运算的几何表示 1．如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据空间向量的运算法则和空间向量基本定理相关知识求解即可. 【详解】 由题意得，. 故选：D 2．直三棱柱中，若，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据空间向量的线性运算直接可得解. 【详解】 由已知得， 故选：A. 3．在如图所示的正四面体OABC中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点．设，，，则下列说法不正确的是（       ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据空间向量加法、减法的几何意义，结合三角形中位线的性质、平行四边形的性质进行逐一判断即可. 【详解】 因为E，F分别是OA，AB的中点，所以，故A正确； 因为F，G分别是AB，BC的中点，所以，故B正确； 因为四边形EFGH为平行四边形，所以，故C正确； 因为，所以D不正确． 故选：D 4．如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，，，则下列向量中与相等的向量是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量加法和减法法则即可用、、表示出. 【详解】 故选：B. 5．如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，已知，，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 利用空间向量加法法则直接求解． 【详解】 连接BD，如图， 则 故选：A． 6．如图，四面体S-ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE，则=（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由向量线性运算的几何含义知，，，，即可得与的线性关系式. 【详解】 四面体S-ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE， ∴===+=. 故选：B 7．【多选】如图，在三棱柱中，是的中点.下列表达式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据空间向量的加减法法则逐个分析判断即可 【详解】对于A，由题意得，所以A正确， 对于B，由题意得，所以B错误， 对于C，由题意得，所以C正确， 对于D，由题意得，所以D正确， 故选：ACD 8.在空间四边形中，点分别是和的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知可得，代入即可得出答案. 【详解】 因为点G是CD的中点， 所以， 所以. 故选:C. 9．如图.空间四边形OABC中，，点M在OA上，且满足，点N为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由M，N在线段OA，BC上的位置，用，，表示，，进而表示出. 【详解】因为，所以， 又因为点N为BC的中点，所以， 所以. 故选：D. 10.如图所示，在三棱锥中，分别是棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简式子，即可得出结论. 【详解】由题意， 在三棱锥中，分别是棱的中点， , ∴ 故选：A. 11.在四面体中，，，，，为的中点，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算即可得解. 【详解】如图，   因为，为的中点，所以， 又因为， 所以， 又，所以，解得：． 故选：B. 12.在空间四边形 中，连接 ， ，若 是正三角形，且 为其重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加减法运算法则即可求解. 【详解】 取的中点为,则, 又因为 为的重心，即上靠近的三等分点， , 则. 故选:C. 13.在空间四边形中，分别是的中点，为线段上一点，且，设，，，则下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A，由计算即可；对于B，根据题意可得，再由计算即可；对于C，由计算即可；对于D，由计算即可. 【详解】解：对于A，由题意可知：，故正确； 对于B，由题意可得， 又因为， 所以， 所以，故正确； 对于C，由题意可得，故错误； 对于D，由题意可得，故正确. 故选：C. 14.在三棱柱中，D是四边形的中心，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量线性运算计算即可. 【详解】 . 故选：D. 15.（多选）如图，平面内的小方格均为边长是1的正方形，，均为正方形的顶点，为平面外一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，在平面内选取两个互相垂直的单位向量且，再利用空间向量的线性运算逐项计算判断作答. 【详解】在平面内选取两个互相垂直的单位向量，且， ，A正确； ，则 ，B正确； ，则 ，即，C不正确； ，则 ，D正确. 故选：ABD 16.如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算逐项计算判断得解. 【详解】在四棱锥中，为的中点，四边形是平行四边形， ，A正确，B错误； ，D正确，C错误. 故选：AD 17.在三棱锥中，，，，点在直线上，且，是的中点，则下列结论可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，结合点的位置，利用空间向量的线性运算，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，因为是的中点，可得，所以A不正确； 对于B，当点在线段上时，因为，此时， 则，所以B正确； 对于C，当点在线段的延长线上时，因为，此时为的中点， 可得，所以C正确； 对于D，当点在线段上时，可得； 当点在线段的延长线上时，， 当点在线段的延长线上时，不可能成立，所以D不正确. 综上可得，可能正确的结论为BC. 故选：BC. 题型04:加减法与数乘求参 1.在平行六面体中，点在上，且，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加法、减法、数乘运算即可求解. 【详解】 如图， , 所以， 所以， 故选:C. 2.如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，设向量，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出的表达式即可求出的值. 【详解】由题意， 在四面体中， 是四面体 的棱的中点, ∴, ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C. 3.如图，在平行六面体中，与的交点为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知，根据题意，将利用线性运算表示成的关系，然后利用待定系数法即可求解出. 【详解】由已知，在平行六面体中，与的交点为， 所以所以. 故选：C. 4.已知平行六面体，，则m的值为______． 【答案】1 【分析】根据平行六面体的性质和空间向量的线性运算求即可. 【详解】 ，所以. 故答案为：1. 5.如图，在长方体中，是的中点，点分别在上，且．若，则_____． 【答案】1 【分析】根据向量的加法与减法的三角形法则转化即可. 【详解】因为， ， 所以， 所以，，， 所以． 故答案为：1 题型05:空间向量共线 （一）空间向量共线的判断 1.若向量与不共线且，，，则（    ） A．，，共线 B．与共线 C．与共线 D．，，共面 【答案】D 【分析】利用空间向量共线定理和共面定理判断. 【详解】因为，即，即， 又与不共线，所以共面，故D正确A错误； 因为，所以与不共线，与不共线，故BC错误； 故选：D 2.已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 【答案】证明见解析 【分析】求出后可得它们共线，从而可证B，C，D三点共线． 【详解】，而， 所以，故B，C，D三点共线． 3.如图，已知为空间的9个点，且，，，，，. 求证：（1）； （2）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）由题意，，转化，代入结合题干条件运算即得证； （2）由题意，，又，运算即得证 【详解】证明：（1） ∴. （2）. 4．如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若. （1）用表示. （2）求证：E，F，B三点共线. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）由已知得，由此可得答案； （2）由已知得，由此可得证. 【详解】解：（1）因为， ， 所以， 所以； （2） ， 又与相交于B，所以E，F，B三点共线. （二）由空间向量共线求参数值 1.已知，. （1）若与的方向相同，且，则λ的值为 ； （2）若与的方向相反，且，则λ的值为 . 【答案】 【分析】根据向量共线可得答案. 【详解】由于，所以当，同向时，； 当，反向时，. 故答案为：①；②. 2.若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 ． 【答案】/ 【分析】由题存在实数λ使得，解相应方程可得答案. 【详解】由题意知，存在实数λ使得， 即,解得. 故答案为： 3.若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 . 【答案】－/ 【分析】根据空间共线向量可得，建立方程组，解之即可求解. 【详解】由题意知，存在实数λ使得， 即，解得. 故答案为： 4.已知三点共线，为空间任意一点，，则 . 【答案】 【分析】根据向量共线和平面向量基本定理可求出结果. 【详解】因为三点共线，∴， 即，， 又，所以，所以. 故答案为：. 5.设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据A，C，D三点共线，可得，则存在唯一实数，使得，再根据空间向量共线定理即可得解. 【详解】由，， 得， 因为A，C，D三点共线，所以， 则存在唯一实数，使得， 则，解得. 故选：C. 6.设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（    ） A．-8 B．-4 C．-2 D．8 【答案】A 【分析】利用空间向量共线定理求解即可. 【详解】因为A、B、D三点共线，所以使得 又，，， 所以 则 则 解得： 故选：A. 7.已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 【答案】C 【分析】根据，结合，列出方程组，求解即可. 【详解】因为是不共面的空间向量且， 故，则， 解得，所以. 故选：C. 8.已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据向量共线设，从而得到方程组，求出，得到答案. 【详解】因为三点共线，所以， 即，故，解得， 所以. 故选：C 9.若空间中任意四点O，A，B，P满足，其中m＋n＝1，则（    ） A．P∈AB B．P∉AB C．点P可能在直线AB上 D．以上都不对 【答案】A 【分析】由已知化简可得，即可判断. 【详解】因为m＋n＝1，所以m＝1－n， 所以，即， 即，所以与共线． 又，有公共起点A， 所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈AB. 故选：A. （三）空间向量共线定理的推论及应用 1.在空间四边形ABCD中，，，则 . 【答案】 【分析】利用向量的加法法则，及三点共线的推论即可得解. 【详解】， ，即 又，三点共线，，解得 故答案为： 2.（多选题）下列命题中不正确的是（       ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．向量，， 共面，即它们所在的直线共面 C．若两个非零空间向量，，满足，则∥ D．若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ 【答案】ABD 【分析】举反例判断AD，根据共面向量的定义判断B，根据向量共线定理判断C 【详解】对于A，若，则与共线，与共线，但与不一定共线，所以A错误， 对于B，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面，所以B错误， 对于C，因为，所以，所以与共线，所以∥，所以C正确， 对于D，若，，则不存在，使=λ，所以D错误， 故选：ABD 3.(多选)若空间中任意四点O，A，B，P满足=m+n，其中m+n=1，则结论正确的有（    ） A．P∈直线AB B．P∉直线AB C．O，A，B，P四点共面 D．P，A，B三点共线 【答案】ACD 【解析】由题意可得，代入向量式化简可得，可得向量共线，进而可得三点共线，可得结论． 【详解】解:因为，所以， 所以=， 即=n()， 即=n，所以共线. 又有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB. 因为=m+n，故O，A，B，P四点共面. 故答案为：ACD 【点睛】本题考查平面向量的共线问题，熟练表示出向量共线的条件是解决问题的关键，属中档题． 4.在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则 ． 【答案】/ 【分析】设，可得，根据A、E、F三点共线即可求得. 【详解】因为正方体中，， 设，又， 所以，即， 因为A、E、F三点共线，所以，解得，即. 故答案为：. 5．（多选）（23-24高二下·山西长治·阶段练习）如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（    ）    A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为线段 C．存在，使得 D．存在，使得 平面 【答案】ABC 【分析】利用向量的线性运算逐一计算判断即可. 【详解】对于A：由，得点在侧面内（含边界）， 若，则，故点的轨迹为线段，故A正确； 对于B：若，则，所以，即， 又，故点的轨迹为线段，故B正确； 对于C：分别取棱的中点，连接，由题意易证平面， 当点在线段上时，，故存在，使得，故C正确； 对于D：若使 平面，则点必在棱上，此时，故不存在， 使得 平面，故D错误. 故选：ABC.    6.如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若. （1）用表示. （2）求证：E，F，B三点共线. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）由已知得，由此可得答案； （2）由已知得 ，由此可得证. 【详解】解：（1）因为， ， 所以， 所以； （2） ， 又与相交于B，所以E，F，B三点共线. 7.已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 【答案】证明见解析 【分析】将三点共线问题转化为求证向量共线问题求证即可. 【详解】因为，，， 所以， ， 所以， 所以，又为公共点， 所以B，C，D三点共线． 题型06:空间向量共面问题 （一）判断空间向量共面 1.以下能判定空间四点P、M、A、B共面的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的相关概念结合四点共面的结论逐项分析判断. 【详解】对A：若，结合向量基本定理知：为共面向量，故四点P、M、A、B共面，A正确； 对B：若，且，结合向量共面的性质知：四点P、M、A、B共面，B正确； 对C：若，则，可知直线的位置关系：异面或相交，故四点P、M、A、B不一定共面，C错误； 对D：若，可知直线的位置关系：平行或重合，故四点P、M、A、B共面，D正确； 故选：ABD. 2.在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据各项中向量之间的线性关系，应用数形结合法判断M与A，B，C是否存在不共面的情况即可. 【详解】A：，如下图，，    由的关系不定，则不一定在面上，满足； B：，如下图，此时满足上式，      此时，M与A，B，C不共面，满足； C：因为，所以，所以M，A，B，C共面，不满足. D：，如下图，      此时，M与A，B，C不共面，满足； 故选：ABD 3.对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有，则（    ） A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面 C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面 【答案】B 【分析】利用向量加减法，根据空间向量的加减法，可得三个向量共面，可得答案. 【详解】由，得， 即，故共面. 又因为三个向量有同一公共点，所以共面. 故选：B. 4.下列条件能使点与点一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间共面向量定理以及其结论一一判断各选项，即可得答案. 【详解】设，若，则点共面． 对于A，，由于，故A错误； 对于B，，由于，故B错误； 对于C, ，由于，故C错误； 对于D，，由于，得共面，故D正确. 故选：D. 5.若是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据共面向量定理逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，，三个向量共面，所以A错误， 对于B，因为，所以，，三个向量共面，所以B错误， 对于C，假设，，三个向量共面，则存在实数，使， 所以三个向量共面， 因为是空间的一个基底，所以三个向量不共面， 所以假设错误，所以，，三个向量不共面，所以C正确， 对于D，因为，所以，，三个向量共面，所以D错误， 故选：C 6.在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用共面向量定理及推论逐项判断即得. 【详解】对于A，中，，A不是； 对于B，中，，B不是； 对于C，化为，，C不是； 对于D，中，，D是. 故选：D 7.如图，在长方体中，向量，，是 向量(填“共面”或“不共面”)． 【答案】共面 【分析】根据空间向量的运算法则化简得到，即可得到是共面向量. 【详解】由空间向量的运算法则，可得， 又由，可得， 所以是共面向量. 故答案为：共面. 8.已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证： (1)E，F，G，H四点共面； (2)BD∥平面EFGH. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）要证E，F，G，H四点共面，只需证明向量，，共面，结合向量的线性运算及共面向量定理证明即可； （2）由向量共线结合线面平行的判定定理证明． 【详解】（1）如图，连接EG，BG． 因为＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋， 由向量共面的充要条件可知，向量，，共面， 又，，过同一点E，从而E，F，G，H四点共面． （2）因为＝－＝－＝(－)＝， 又E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD， 又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH， 所以BD∥平面EFGH． 9.如图，已知O､A､B､C､D､E､F､G､H为空间的9个点，且，，，，，.求证：A､B､C､D四点共面，E､F､G､H四点共面； 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，由空间向量共面定理分别证得是共面向量，是共面向量，即可得到结果. 【详解】因为，， 所以由共面向量定理可得是共面向量，是共面向量， 因为有公共点，有公共点， 所以A､B､C､D四点共面，E､F､G､H四点共面. （二）由空间向量共面求参数 1.为空间任意一点，若，若、、、四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量共面基本定理的推论可求出的值. 【详解】空间向量共面的基本定理的推论：，且、、不共线， 若、、、四点共面，则， 因为为空间任意一点，若，且、、、四点共面， 所以，，解得. 故选：C. 2.若点平面，且对空间内任意一点满足，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得出，，，四点共面，再根据即可求出的值． 【详解】平面， ，，，四点共面， 又， ，解得． 故选：D． 或者根据平面，，，，四点共面，则存在实数，使得， 即， 又，所以解得 故选：D 3.如图,平面内的小方格均为正方形,点为平面内的一点,为平面外一点,设,则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先将写为,再根据平面向量基本定理,将写为,代入中,利用向量的加减,化为的形式,跟题中对比相等,即可得出结果. 【详解】由题知， 四点共面, 根据平面向量基本定理, 不妨设,， 则 , ， , . 故选:B 4.设平面内不共线的三点A，B，C以及平面外一点P，若平面内存在一点D满足 ，则x的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量共面定理构造方程求得结果. 【详解】空间四点共面，但任意三点不共线， ，解得：. 故选：C 5.已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据共面向量的性质，结合配方法进行求解即可. 【详解】因为，点在确定的平面内， 所以，即，所以， 所以当时，的有最小值2． 故选：D 6.在四面体中，空间的一个点满足，若四点共面，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间四点共面可得，解之即可. 【详解】因为四点共面，， 所以，解得. 故选：B. 7.在空间四面体中，对空间内任意一点，满足，则下列条件中可以确定点与，，共面的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量四点共面列式即可得解. 【详解】因为， 所以点与，，共面等价于，即. 故选：A. 8.已知点为所在平面内一点，为平面外一点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量共面的基本定理化简可得出的值. 【详解】因为点为所在平面内一点，设，其中、， 即， 所以，， 所以，，所以，. 故选：B. 9.已知，，不共面，，则（    ） A．，，A，B，C，M四点共面 B．，，A，B，C，M四点不共面 C．，，A，B，C，P四点共面 D．，，A，B，C，四点共面 【答案】A 【分析】根据共面的推论即可求解. 【详解】，，，A，B，C，M四点共面. 故选:A. 10.已知点在平面内，并且对空间任一点，，则 ． 【答案】 【分析】根据四点共面的知识列方程，由此求得. 【详解】由于平面， 所以，解得. 故答案为： 11.在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则 ． 【答案】 【分析】法一：根据空间向量运算结合共面向量定理即可得到相关方程组，解出即可；法二：利用四点共面的结论即可. 【详解】法一：由题意， ，， 因为，，共面， 所以存在实数唯一实数对，使得， 即， 所以，解得． 法二：由，，共面得四点共面， 则根据四点共面的充要条件可得，，即． 故答案为：. 12.如图，在正方体中，、分别是棱、的中点，是棱上靠近的四等分点，过、、三点的平面交棱于，设，则 . 【答案】/ 【分析】设，，，用基底表示向量、、，设，可出关于、、的方程组，即可得解. 【详解】设，，，则， ， ， 由题意可知，、、共面，设， 即， 所以，，解得. 故答案为：. （三）空间共面向量定理的推论及应用 1.在三棱锥P-ABC中，M是平面ABC上一点，且5=t+2+3，则t=（    ） A．1 B．2 C．3 D．-2 【答案】C 【分析】根据四点共面的性质进行求解即可. 【详解】因为5=t+2+3=t+2+3（-）， 所以8=t+2+3，即=++． 因为M是平面ABC上一点，所以++=1，所以t=3． 故选：C 2.已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据四点共面的充要条件及其推论，即可得出答案. 【详解】由与三点共面以及， 可得，，所以. 故选：C. 3.设向量不共面，空间一点满足，则四点共面的一组数对是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间共面向量定理的推论即可验证得到答案. 【详解】空间一点满足，若四点共面，则 选项A：.判断错误； 选项B：.判断错误； 选项C：.判断正确； 选项D：.判断错误. 故选：C 4.已知为空间任一点，，，，四点满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据空间向量共面定理的推论求解． 【详解】解：，， 又，，，四点满足任意三点不共线，但四点共面， ，， 故选：B． 空间向量的数量积 题型07:数量积的概念 1．【多选】设、为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用空间数量积的定义、运算性质逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，向量不能作除法，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：BD. 2．【多选】若、、是空间任意三个向量，，下列关系中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据数量积的运算律判断A、B，根据向量数乘的运算律判断C，利用反例说明D. 【详解】对于A：，则表示与向量共线的一个向量， ，则表示与向量共线的一个向量， 故A错误； 对于B：，，故B错误； 对于C：根据向量数乘的分配律知，故C正确； 对于D：若与不共线时，不存在使得， 且当，时与共线，但是也不存在使得，故D错误； 故选：ABD 3.设，，都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查空间向量加减法和数量积的运算律，根据运算律判断即可． 【详解】由向量加法的结合律知A项正确；由向量数量积的运算律知B项、D项正确；C项若，不共线且不垂直，则，故C不一定正确． 故选：C. 4．（多选）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据空间向量数量积的定义与运算律一一判断即可； 【详解】解：对于A：，故A正确； 对于B：因为向量不能做除法，即无意义，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：AD 5．（多选）下列四个结论正确的有 （    ） A．对于任意两个向量，若，则或或 B．若空间中点 满足，则三点共线 C．空间中任意三个向量 都满足 D．对于任意两个向量， 都有 【答案】AB 【分析】对选项A，根据得到或或，即可判断A正确，对选项B，根据题意得到和为公共点，即可判断B正确，对选项C，利用特殊向量即可判断C错误，对选项D，根据即可判断D错误. 【详解】对选项A，若，则或或，故A正确. 对选项B，因为， 所以， 所以， 又因为为公共点，所以三点共线，故B正确. 对选项C，若为空间向量中的单位向量，且夹角为， 的夹角为， 则，，，故C错误. 对选项D，因为， 当时，，故D错误. 故选：AB 6．对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】B 【分析】根据空间向量共线的定义判断A，由数量积的运算律判断BCD． 【详解】若，则由且，不能得出，A错； 由数量积对向量加法的分配律知B正确； 若，则，当时就成立，不一定有，C错； 是与平行的向量，是与平行的向量，它们一般不相等，D错． 故选：B． 7．（多选）定义空间两个非零向量的一种运算：，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】BD 【分析】理解新定义，对选项逐一判断 【详解】对于A，若为负数，可知，故A错误， 对于B，由定义知B正确， 对于C，若，则，共线，故C错误， 对于D，由定义知，故D正确． 故选：BD 8．设，，都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查空间向量加减法和数量积的运算律，根据运算律判断即可． 【详解】由向量加法的结合律知A项正确；由向量数量积的运算律知B项、D项正确；C项若，不共线且不垂直，则，故C不一定正确． 故选：C. 题型08:数量积的运算 1.在棱长为2的正方体中，（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据向量数量积定义计算即可. 【详解】 在棱长为2的正方体中, 易知， 因为，与的夹角为， 所以与的夹角为， . 故选：D 2.在空间四边形中，等于（   ） A． B．0 C．1 D．不确定 【答案】B 【分析】令，利用空间向量的数量积运算律求解. 【详解】令， 则， ， . 故选：B 3.已知四面体，所有棱长均为，点分别为棱的中点， 则( ) A． B． C． D． 【解析】四面体，所有棱长均为，四面体为正四面体， 分别为棱的中点， ． 故选：． 【点拨】求空间向量数量积，第一个念头是利用定义；但若两个向量的模或其夹角其一交难求解，可把所求向量的数量积转化为其他具有较多性质向量的数量积，比如本题把转化为，因为，，，四个向量之间数量积易求. 4.平面上有四个互异点，已知，则的形状是(　　) A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定 【答案】 【解析】 ， ，可得．可得． 则的形状是等腰三角形．故选：． 5.在空间四边形中，，　( ) A． B． C． D．不确定 【答案】 【解析】 根据题意，， 故选：． 6.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算运算律可得，在根据数量积的定义求其值. 【详解】由题意，和之间夹角均为，结合平面向量线性运算有     故选：C 7.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，，则（    ）    A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】连接，将待求表达式转化进行运算简化. 【详解】 连接，由棱柱性质，侧棱平面，平面，则， 故，又， . 故选：C 8.定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（    ）    A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据题中条件确定，设底面△ABD的中心为O，则CO⊥平面ABD，可求得，又的方向与相同，代入计算可得答案． 【详解】， ， 设底面△ABD的中心为O，连接CO，AO，则OC⊥平面ABD， 又AO，AB，AD 平面ABD，故OC⊥AO， OC⊥AB，OC⊥AD， ，， 在中，， 则，又的方向与相同， 所以． 故选：A． 9．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算运算律可得，在根据数量积的定义求其值. 【详解】由题意，和之间夹角均为，结合平面向量线性运算有     故选：C 10．在空间四边形中，等于（   ） A． B．0 C．1 D．不确定 【答案】B 【分析】令，利用空间向量的数量积运算律求解. 【详解】令， 则， ， . 故选：B 11.已知点P在棱长为2的正方体的表面上运动，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】取中点，连接，利用向量的线性运算及数量积的运算性质可得. 【详解】取中点，连接，如图， 则， 当在正方体表面上运动时，运动到或处时，最大， 所以, 所以的最大值为8. 故选：C 12.在自然界中，金刚石是天然存在的最硬的物质．如图1，这是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示．这就是说，图2中有AE＝BE＝CE＝DE，若正四面体ABCD的棱长为4，则（    ）    A．＝ B．＋＋＋ C．＝0 D．＝8 【答案】BCD 【分析】由题意得是正四面体ABCD外接球的球心．设点是顶点在底面的射影，取CD的中点G，AB的中点F，求得，，，由可判断A；求得，结合，，可判断B；由AE⊥BC可判断C；求出，进而求得，可判断D． 【详解】由题意得是正四面体ABCD外接球的球心．      设点是顶点在底面的射影，则AO是正四面体ABCD的高，OB是的外接圆半径， 取CD的中点G，AB的中点F，连接BG，GF，则O在BG上，E在FG上， 则，， 因为，即， 则，解得． 对于A，，故A错误； 对于B，因为AG＝BG＝，FG⊥AB，EG⊥CD， 所以，， 则，又，，则， 所以 ，故B正确； 对于C，因为AE⊥底面BCD，CD⊂底面BCD，所以AE⊥BC，所以＝0，故C正确； 对于D，因为， 所以，故D正确． 故选：BCD. 13．已知是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M在正方体的棱上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得的表达式，确定的最小值，即得答案. 【详解】如图，是棱长为8的正方体外接球的一条直径，即正方体的一条体对角线， 由正方体的特征可得其外接球半径为 , 设外接球球心为O，则 , 由于点M在正方体的棱上运动,故的最小值为球心O和棱的中点连线的长， 即为正方体面对角线的一半，为， 所以 的最小值为， 故选：C 14.空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么（    ） A． B． C． D．与的大小不能比较 【答案】C 【分析】利用空间向量加减运算的几何表示及数量积运算进行求解判断. 【详解】   因为， ， 所以． 故选：C． 15.如图，各棱长都为的四面体中 ，，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的运算可得，，由向量数量积的定义即可得到答案. 【详解】由题得夹角，夹角，夹角均为， ， ， ， 故选：A. 16.如图，已知四边形为矩形，平面，连接，，，，，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】逐项判断各选项中向量对应的直线是否垂直即可解答. 【详解】对于A､与不一定垂直，即向量､不一定垂直，则向量､的数量积不一定为0，故A符合题意； 对于B､由于平面，平面，则， 又，平面，则有平面， 而平面，则有，即向量､一定垂直，则向量､的数量积一定为0，故B不符合题意； 对于C､由于平面，平面，则， 又，平面，则有平面， 而平面，则有，即向量､一定垂直，则向量､的数量积一定为0，故C不符合题意； 对于D､由于平面，平面，则，即向量､一定垂直，则向量､的数量积一定为0，故D不符合题意； 故选：A. 17.如图，在四面体中，，，，.则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形，转化向量，利用向量数量积公式，即可求解. 【详解】 故选：C 18.正四面体的棱长为2，点D是的重心，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算和数量积的定义计算即可. 【详解】因为点D是的重心, 正四面体的棱长为2， . 故选：D. 19.如图，在正四棱柱中，，，，，分别是所在棱的中点，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】结合向量投影的概念得，进而再求解即可. 【详解】解：由向量投影的概念，表示向量在上的投影， 因为垂直于平面,所以 因为（其中）， 所以. 故选：D. 20．（多选）已知四面体中，，，两两垂直，则以下结论中一定成立的是（    ） A．； B． C．； D． 【答案】ACD 【分析】利用，，两两垂直，可得，对于A选项，两边平方化简后相等可判断A选项；对于B选项，将，代入化简得到不一定为0，可判断B选项；对于C选项，左边直接平方利用向量垂直数量积为0化简，可判断C选项；对于D选项，将，同理，可判断D选项. 【详解】由题意可知，，，两两垂直，所以， 对于A选项， ， ，故，所以A选项正确； 对于B选项，， 当时，，否则不成立，所以选项B不正确； 对于C选项， ，所以选项C正确； 对于D选项，，同理可得，， 所以，选项D正确， 故选：ACD 21.正四面体的棱长为2，是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦），为正四面体表面上的动点，当弦最长时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正四面体的内切球球心为，为的中心，为的中点，连接，，则在上，连接，根据题意求出内切球的半径，当为内切球的直径时，最长，化简可求得其最大值. 【详解】设正四面体的内切球球心为，为的中心，为的中点，连接，，则在上，连接，则 因为正四面体的棱长为2，所以， 所以，设内切球的半径为，则 ，，解得， 当为内切球的直径时，最长，此时 ， 因为为正四面体表面上的动点，所以当为正四体的顶点时，最长，的最大值为， 所以的最大值为， 故选：B    22.已知空间向量的夹角为，则 ． 【答案】13 【分析】利用向量数量积运算律即可求得的值. 【详解】空间向量的夹角为， 则. 故答案为：13 23.如图，在三棱锥中，两两垂直，，，为的中点，则的值为 . 【答案】 【解析】由题意得， 故． 24在棱长为的正四面体中，点满足，点满足，当最短时， . 【答案】 【解析】 ，， 平面，直线， 当最短时，平面，， 为的中心，为线段的中点， 如图： 又正四面体的棱长为，， 平面，， ． 25.已知三棱锥的顶点在平面内的射影为点，侧棱，点为三棱锥的外接球的球心，，，已知，且，则球的表面积为　　 ． 【答案】 【解析】由于三棱锥的顶点在平面内的射影为点， 为球心，， 即有，， 由，① 则有，即有，② 同理对①两边取点乘，可得，③ 又④ 由②③④解得，，即有． 即有， 即为， 又， 即，⑤ 又在直角三角形中，，即有⑥ 由⑤⑥解得， 则有球的表面积． 26.如图，球为长方体内能放入的体积最大的球，是球的一条直径，为该长方体表面上的动点，且，则的最大值为________. 【答案】10 【分析】根据空间向量的加法运算和数量积的运算律求解. 【详解】根据题意，球的半径为1， 当球与平面相切，点为四边形顶点时， 取得最大值，所以， 故答案为:10. 27.正四面体的棱长为，点、分别是、的中点，则 ． 【答案】/-0.25 【分析】得到，利用向量数量积公式求出答案. 【详解】如图所示，正四面体的棱长为，点、分别是、的中点， 所以， 故 故答案为： 28.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则的值为 . 【答案】/ 【分析】根据向量数量积运算求得正确答案. 【详解】. 故答案为： 29.如图，在三棱锥中，，，分别是的中点，则　　． 【解析】在三棱锥中，连结，取的中点为，连结，则， 异面直线所成的角就是． ，，点分别是的中点， ， 又． ． 由图可知，与所成角为钝角，则． ． 故答案为：． 30.在正方体中，，则 ． 【答案】 【分析】根据即可得出答案. 【详解】解：在正方体中，因为，， 所以． 故答案为：2. 31．平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是__________． 【答案】1 【分析】选定基底，根据空间向量的加减运算表示出，再根据空间向量的数量积的运算，即可求得答案. 【详解】由题意得， ， 则 , 故答案为：1. 32.如图所示，空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F分别是的中点，则 ．    【答案】 【分析】确定向量的夹角，根据空间向量的数量积的定义即可求得答案. 【详解】由题意知为正三角形，则； 因为点E，F分别是的中点，所以，且， 而，的夹角为， 所以，的夹角为，则，的夹角为， 所以， 故答案为 33.平行六面体中，，，，动点在直线上运动，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据题设，，，可选取，，为一组基底，将和分解为，，表示，进而利用数量积进行运算即可求出最小值． 【详解】设，，，    设，则，， 则， 由，，， 可得，， ， 当时，的最小值为． 故答案为：． 34.如图,给定长方体,,,点在棱的延长线上,且.设,,.    (1)试用表示向量; (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得,再由空间向量的线性运算即可求解; （2）先由空间向量的线性运算求得,再根据空间向量的数量积公式求解即可. 【详解】（1）因为点在棱的延长线上,且, 所以, 则. （2）由题意得, 则, 所以. 35.如图所示，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求： (1)·； (2)·； (3)·. 【答案】(1)1 (2)2 (3)0 【分析】分别将，，转化为，，后根据数量积定义计算即可. 【详解】（1）在正四面体ABCD中， （2） （3） 在正四面体ABCD中，， 故 【方法技巧与总结】 1.两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定. 2.两个向量的数量积写成；今后要学到两个向量的外积x，而ab是两个数的积，书写时要严区分. 3.在数量积中，若 ，且，不能推出（），因为其中cosθ有可能为0 4.在实数中，有，但是（）=（ 36．如图，在底面为矩形的四棱锥E-ABCD中，底面ABCD，，G为棱BE的中点. (1)证明：平面BCE. (2)若，，，求. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据已知，利用线面垂直的判定定理可得平面ABE，从而得到，利用等腰三角形的中线性质得到，然后利用线面垂直的判定定理证明平面BCE； （2）以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.求出的坐标，利用空间向量数量积的坐标表示即得解. 【详解】（1）证明：因为底面ABCD，所以， 又，，平面ABE，所以平面ABE， 则. 因为G为棱BE的中点，，所以， 又，平面BCE. 所以平面BCE. （2）以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 依题意可得，，，. 因为，， 所以. 37．如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）正四面体的每个面均为等边三角形，夹角为，再结合空间向量数量积的运算法则，得解； （2）由，代入运算，即可得解； （3）取的中点，连接，，可推出，再在中，利用余弦定理求出的值，从而得解． 【详解】（1） （2）； （3）取的中点，连接，，则，， 在中，，， 由余弦定理知，， 所以． 38．已知向量，向量与的夹角都是，且，试求 (1)； (2)． 【答案】(1)11 (2) 【分析】（1）计算，展开计算得到答案. （2），代入计算得到答案. 【详解】（1）向量，向量与的夹角都是，且， ， ； （2） 39.已知正四面体的棱长为1，如图所示，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】根据向量的线性运算法则，以及向量的数量积的运算公式，逐问运算，即可求解. 【详解】（1）解：在正四面体中，，且， 可得. （2）解：由向量的运算法则，可得 ． （3）解：由. 40．如图，在空间四边形中，，点E为的中点，设，，．    (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把表示出来，然后由点E为的中点得，化简即得结果； （2）把用表示，然后利用数量积的运算律结合已知条件即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 因为点E为的中点，所以. （2）因为，， 所以 . 题型09:利用空间向量的数量积求夹角 1．在三棱锥中，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】根据题意得，利用空间向量的运算推导出，即可得出结果． 【详解】∵，∴， ∴，∴ ∴，∴， ∴，∴， 则与的夹角为． 故选：B． 2．已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据，展开后根据空间向量的数量积公式计算即可得到结果. 【详解】由题意可得， . 故选：C 3．（多选）如图所示，平行六面体，其中，，，，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．直线AC与直线是相交直线 D．与AC所成角的余弦值为 【答案】AB 【分析】A选项，利用空间向量运算法则得到，平方后，由向量数量积公式求出，求出，A正确； B选项，求出，，得到B正确； C选项，作出辅助线，得到四边形为平行四边形，点平面，而点平面，从而得到C错误； D选项，先得到，，从而求出，，利用空间向量余弦夹角公式求出答案. 【详解】由空间向量运算法则得到：， 所以 ，故，A正确； 因为，所以， 故，，B正确； 连接， 因为，且，所以四边形为平行四边形， 点平面，而点平面，故直线AC与直线是异面直线，C错误； ，，，又 ，，故，设与AC所成角为，所以故与AC所成角的余弦值为，D错误. 故选：AB 4．如图，三棱锥中，、所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律及余弦定理得到，再根据数量积的定义求出. 【详解】因为 ， 所以. 故选：B. 5.在正四面体ABCD中，与的夹角等于（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 【答案】D 【分析】根据正三角内角为求解. 【详解】由正四面体每个面都是正三角形可知， 故选：D 6．已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和投影向量的概念计算即可求解. 【详解】，，与夹角的余弦值为， 在上的投影向量为 . 故选：D． 7．如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的基本定理和向量的数量积的定义即可求解. 【详解】设，，， 因为向量不共面，故可构成空间的一组基底， 结合，，，，， 所以=0，，， 则，， 可得 ， ， ， 所以， 又因为异面直线所成角的范围是， 所以与所成角的余弦值为. 故选：B. 9．如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，，，则该二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直的条件得，，再由向量的数量积运算可得，根据图示可求得二面角的大小. 【详解】由题意得：，， 因为， 所以， 即，解得：， 又，则， 由图示得，该二面角为为锐角，即该二面角为， 故选：C. 9．在三维空间中，三个非零向量满足，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或锐角三角形 【答案】A 【分析】根据已知条件推出，得为锐角．同理可得也为锐角．由此可得答案. 【详解】因为， 所以， ， 所以， 即知为锐角．同理可知也为锐角． 故是锐角三角形． 故选：A． 10．已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（    ） A． B．133 C． D．61 【答案】A 【分析】利用空间向量的数量积运算、把空间向量的模转化为向量的数量积运算求解问题即可． 【详解】因为，，， 所以 故选：A． 11．（多选）如图，在三棱柱中，分别是上的点，且.设，若，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据空间向量基本定理、空间向量模的公式，结合空间向量数量积运算性质逐一判断即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以故A错误； 因为，，， 所以， 所以，故B正确； 因为， 所以，故C错误； 因为，， 所以 因为， 所以，， 所以， 所以，故D正确. 故选：BD. 12.已知空间单位向量，，两两夹角均为，，，则下列说法中正确的是（    ） A．、、、四点可以共面 B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据向量共面即可判断点共面，进而可判断A，根据数量积的运算律即可求解B，根据模长的计算公式即可判断C，根据夹角公式即可求解D. 【详解】由于单位向量，，两两夹角均为， 所以， 假设、、、四点可以共面，则共面， 所以存在，使得，分别用，，与点乘， 则，由于该方程组无解，所以不存在，使得共面， 故、、、四点不共面，故A错误， 对于B，,故B正确， 对于C，由得， 由得, 所以,则 ,故C正确； 对于D， ，故，故D错误，故选：BC. 13.如图，在平行六面体中，其中以顶点A为端点的三条棱长均为6，且彼此夹角都是，下列说法中不正确的是（    ）    A． B． C．向量与夹角是 D．向量与所成角的余弦值为 【答案】CD 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题进行分析判断，能求出结果. 【详解】在平行六面体中，其中以顶点为端点的三条棱长均为6 ，且彼此夹角都是， . 对于A， ，， A正确； 对于B， ， ，即，B正确； 对于C，连接，由题意可知是等边三角形，则， ，且向量与的夹角是， 向量与夹角是，C错误； 对于D，， ， ， ，D错误. 故选：CD    14.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角． 【答案】45°；135°；60°；120°；90° 【分析】由图形特征求向量夹角. 【详解】连接BD，则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′， 所以， ， ， ， . 15.已知是两个空间向量，若，，则＝ . 【答案】/0.125 【分析】将两边平方，求出的值，利用向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】由题意得，， 则，即，则 则， 故答案为： 16.已知平行六面体的所有棱长都相等，且，则直线与直线所成角的余弦值为 . 【答案】0 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量数量积计算即可得到答案. 【详解】因为，所以四边形为平行四边形， 所以，所以直线与直线所成角和直线与直线所成的角相等， 又因为，所以 ， 所以直线与直线垂直，即直线与直线所成角的余弦值为0. 故答案为：0.    17.如图，在正四面体中，，分别为，的中点，则与的夹角的余弦值为 ．    【答案】 【分析】利用正四面体的性质、向量的线性运算、向量的数量积运算即可得解. 【详解】解：设正四面体棱长为1， 设，，，则， ∵， ∴，，. ∵，分别为，的中点，，是等边三角形， ∴，，， ∴ ． ∴与的夹角的余弦值为． 故答案为：. 18.已知是异面直线，，，且，则与所成的角为 ． 【答案】 【分析】利用，求出，再应用两向量的夹角公式即可求解. 【详解】设，由已知， 得，又， 则 ， 又，. 又，.所以异成直线的夹角为. 故答案为：. 19.如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为_____________ 【答案】 【解析】三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，设棱长为1， 则，， . 又，， 所以 而， ， 所以. 故答案为：. 20.如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为___________. 【答案】 【分析】设,由可得，又，得，利用数量积的运算律可得. 【详解】正三棱锥中，设, 且侧棱长相等， 因为， 所以，又， 所以， 即， 解得，即的余弦值为. 故答案为： 21.如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为 . 【答案】 【分析】设,由可得，又，得，利用数量积的运算律可得. 【详解】正三棱锥中，设, 且侧棱长相等， 因为， 所以，又， 所以， 即， 解得，即的余弦值为. 故答案为： 22．如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为___________. 【答案】 【分析】设,由可得，又，得，利用数量积的运算律可得. 【详解】正三棱锥中，设, 且侧棱长相等， 因为， 所以，又， 所以， 即， 解得，即的余弦值为. 故答案为： 23．已知空间向量，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是____________． 【答案】 【分析】先利用空间向量的数量积运算性质求得，，关于的表达式，再由两向量夹角为钝角得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为， 所以，，， 故， ， ， 因为向量与的夹角为钝角， 所以，即， 则， 解得，即. 故答案为：. 24．如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=8cm.则这个二面角的余弦值为_____________. 【答案】 【分析】根据空间向量数量积的运算律求解. 【详解】∵， ∴， 设二面角为，则， 由题意可得：，则， 故，整理得，即这个二面角的余弦值为. 故答案为：. 25.如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，． （1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）；；（2）. 【解析】 解：（1）， 又， 同理可得， 则． （2）因为， 所以， 因为， 所以． 则异面直线与所成角的余弦值为． 26.如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：       (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量数量积的运算律求解； （2）利用空间向量的数量积的运算律以及夹角公式求解. 【详解】（1） 因为, 所以 . （2）, , , , 所以, 因为直线与所成角， 所以直线与所成角的余弦值为. 27.已知空间四边形中，，求的值. 【答案】0 【分析】根据空间向量的运算，结合空间向量数量积的定义及夹角余弦公式即可得结论. 【详解】， 38.如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值 (3)判断与是否垂直． 【答案】(1) (2) (3)垂直 【分析】 （1）利用数量积的公式可得； （2）先用表示，利用数量积运算律可得、进而利用公式可得与的夹角的余弦值. （3）利用数量积运算律得，进而可得与是否垂直． 【详解】（1）正方体中，， 故. （2）由题意知，， ， ， 故， 故 . （3）由题意， ， ， 故与垂直. 29.已知：正四面体(所有棱长均相等)的棱长为，分别是四面体中各棱的中点，求，的夹角． 【解析】 (1)如图所示， 正四面体的棱长为，分别是四面体中各棱的中点， 设， ，； ， 同理可得； ， 与的夹角为． 30 已知空间四边形各边及对角线长都相等，分别为的中点，求与夹角余弦值． 【答案】 【解析】设，且各长度均为， 则， 因为，，且，， 所以， 所以. 与所成角的余弦值为. 31. 在三棱锥中，已知侧棱，，两两垂直，用空间向量知识证明：底面三角形是锐角三角形． 【证明】两两互相垂直． ， 为锐角，即∠为锐角， 同理∠，∠均为锐角， 为锐角三角形． 32 在平行六面体中，底面是边长为的正方形，，． (1)求侧棱的长； (2)分别为的中点，求及两异面直线和的夹角． 【答案】 (1)；(2) 【解析】(1)设侧棱， 在平行六面体中，底面是边长为的正方形，且， ，，，， 又， ， ，， 即侧棱． (2)， ， 两异面直线和的夹角为． 33.如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值 (3)判断与是否垂直． 【答案】(1) (2) (3)垂直 【分析】（1）利用数量积的公式可得； （2）先用表示，利用数量积运算律可得、进而利用公式可得与的夹角的余弦值. （3）利用数量积运算律得，进而可得与是否垂直． 【详解】（1）正方体中，， 故. （2）由题意知，， ， ， 故， 故 . （3）由题意， ， ， 故与垂直. 题型10:利用数量积证明空间垂直关系 1．在平行六面体中，，，，，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】结合空间向量的数量积的定义及运算律求出和，进而结合余弦定理即可求出结果. 【详解】因为， 则，即， , 则 ， 即， 则 故选：C. 2．在如图所示的平行六面体中，已知，，，N为上一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量基本定理，结合空间向量数量积的定义和运算性质进行求解即可. 【详解】设， 则， ， ， ， 设，， 所以， 解得， 故选：B 3．在如图所示的平行六面体中，已知，，，N为上一点，且.若，则的值为 .    【答案】/ 【分析】设，，，以构成空间的一个基底，根据，可得，将分别用表示，再根据数量积得运算律即可得解. 【详解】设，，， 则构成空间的一个基底， 设， 因为， 所以， 因为，， 所以，即， 即，解得. 故答案为：. 4．已知，是异面直线，，，分别为取自直线，上的单位向量，且，，，则实数的值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】由，可得，再将，代入化简，结合可求得答案. 【详解】因为，是异面直线，，，分别为取自直线，上的单位向量， 所以，则， 因为，所以，即， 所以，所以，解得， 故选：B 5．（多选）已知四边形为矩形，平面，连接，，，，，则下列各组向量中，数量积一定为零的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BCD 【分析】根据题意，若空间非零向量的数量积为0，则这两个向量必然互相垂直，据此依次分析选项，判定所给的向量是否垂直，即可得答案． 【详解】解：对于A：与不一定垂直，即向量、不一定垂直，则向量、的数量积不一定为， 对于B：根据题意，有平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面，平面，所以， 即向量，一定垂直，则向量，的数量积一定为， 对于C：根据题意，有平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面，平面，所以， 即向量，一定垂直，则向量，的数量积一定为， 对于D：根据题意，有平面，平面，所以， 即向量，一定垂直，则向量，的数量积一定为， 故选：BCD． 6．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，M为BC中点，△AMD是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 【答案】C 【分析】可画出图形，根据条件得出，从而可进行数量积的运算求出，进而得出，从而判断出的形状． 【详解】解：如图，根据条件： ； ； 为直角三角形． 故选：C． 7.如图，已知空间四边形每条边长和对角线长都等于1，，，分别是，，的中点．    (1)求证：； (2)求的长； (3)求异面直线和所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）设，，，用、、表示，根据数量积的运算律及定义求出，即可得证； （2）求出即可得解； （3）用、、表达与，利用空间向量夹角公式求解异面直线和所成角的余弦值． 【详解】（1）设，，，则，， 所以， 所以 ， 所以，即. （2）因为， 所以 ， 所以，即的长为. （3）由题意得，，均为等边三角形且边长为， 所以， 又，， 所以 ， 设异面直线和所成角为， 则． 所以异面直线和所成角的余弦值为. 8．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且. (1)求证：共面； (2)当为何值时，. 【答案】(1)证明见解析 (2)时， 【分析】（1）根据空间向量线性运算的几何表示可得，进而即得； （2）设，然后利用表示出，再利用向量的夹角公式可得答案. 【详解】（1）在平行六面体中，连接， 因为， 所以， ， 所以，即且，所以四边形为平行四边形，即共面； （2）当时，，理由如下， 设，且与、与、与的夹角均为， 因为底面为菱形，所以， ， ， 若，则，即 ， 即， 解得或舍去， 即时，. 9．已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点. (1)用表示，并求出； (2)求证：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由向量加法的三角形法则表示，再把平方即可得到答案. （2）用表示，然后证明. 【详解】（1）因为点是的重心，所以 因为点是线段的中点，所以. 因为正四面体的棱长为， 所以, 所以 ， 所以. （2） ， 所以. 10．已知空间四边形ABCD中，，，判断AD与BC的位置关系. 【答案】. 【分析】选取一组基底，设，，，按照空间向量运算即可确定AD与BC的位置关系. 【详解】解：选取一组基底，设，，， ∵，∴，即， 同理，∴，∴， ∴，即. 11．如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D，E分别是OC，AB的中点，记，，. (1)用向量表示向量； (2)求证. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）通过空间向量的加减和数乘运算，结合图形即可得到答案； （2）通过空间向量数量积的运算即可证明. 【详解】（1）根据题意， . （2）根据题意，相互之间的夹角为，且模均为1，由（1） ， 所以. 12．在正方体中，P为上任意一点，则DP与的位置关系是______． 【答案】垂直 【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算以及数量积，即可求解. 【详解】由题意，得，所以，即． 故答案为：垂直. 13．已知空间有A，B，C，D四个点，满足，空间中还有四点，满足，求证：． 【答案】证明见解析. 【分析】利用空间向量的数量积可证明. 【详解】根据题意，有， 根锯余弦定理，有， 从而， 故即， ， . 命题得证． 题型11:利用空间向量的数量积求距离(线段长度) 1.已知，，均为空间单位向量，它们之间的夹角均为，那么（    ） A．2 B． C． D．6 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律、垂直关系的向量表示求解作答. 【详解】因为，，均为空间单位向量，它们之间的夹角均为，， 所以 . 故选：C 2.如图，在平行六面体中，，，，，E为中点，则AE的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】空间向量，平方求模长即可求解. 【详解】由，两边平方得： . 所以. 故选：A. 3.如图，二面角的大小为，四边形、都是边长为的正方形，则、两点间的距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二面角的定义可得出，由空间向量的线性运算可得出，利用空间向量数量积的运算性质可求得，即为所求. 【详解】因为四边形、都是边长为的正方形，则，， 又因为二面角的大小为，即，则， 因为，由图易知，， 所以， . 故选：C. 4.如图，在棱长为2的正四面体中，、分别为、上的动点（不包含端点），为的中点，则下列结论正确的有（    ） A．的最小值为； B．的最小值为； C．若四棱锥的体积为，则的取值范围是 D．若，则 【答案】BC 【分析】A将平面PAC和平面BAC沿AC边展开为平面四边形PABC即可求解； B设，又有△△易得DF⊥PC，根据勾股定理即可求解； C由得，又得又得，再利用余弦定理及均值不等式即可求的取值范围； D由即可求解. 【详解】A：如下展开图，为的中点，易知， 则，又D,E不能是端点，故，没有最小值，错误； B：设，又有△△，所以， 连接DF，则有DF⊥PC，故，正确； C：设等边△ABC的中心为O，连接PO， 易知PO⊥平面ABC，则，为的中点， 所以得：， 所以，又， 则有，又，可得， 所以，结合对勾函数性质可得，正确； D：设，，解得或1，即或1，错误； 故选：BC. 5．（多选）如图，正方体的棱长为2，线段上有两个不重合的动点E，F，则（    ） A．当时， B． C．AE的最小值为 D．二面角为定值 【答案】BCD 【分析】根据数量积的计算可求得，判断A；证明⊥平面，根据下年垂直的性质可判断B；当时，取得最小值，求得其值，判断C；根据正方体性质可知二面角就是二面角，由此判断D. 【详解】连接，，，, 由正方体的性质可知， 则，解得，故A错误, 因为平面，平面，故， 因为，且平面， 所以⊥平面， 平面，所以，即，则B正确. 当时，取得最小值，此时为等腰三角形， 故最小值为，则C正确. 因为平面与平面是同一平面，平面与平面是同一平面， 所以二面角就是二面角， 在正方体中，平面和平面是两个确定的平面， 故二面角是定值，所以二面角为定值，则D正确， 故选： 6．如图，二面角的大小为，四边形、都是边长为的正方形，则、两点间的距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二面角的定义可得出，由空间向量的线性运算可得出，利用空间向量数量积的运算性质可求得，即为所求. 【详解】因为四边形、都是边长为的正方形，则，， 又因为二面角的大小为，即，则， 因为，由图易知，， 所以， . 7.已知，，均为空间单位向量，它们之间的夹角均为，那么（    ） A．2 B． C． D．6 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律、垂直关系的向量表示求解作答. 【详解】因为，，均为空间单位向量，它们之间的夹角均为，， 所以 . 故选：C 8.已知单位向量，，中，，，则（    ） A． B．5 C．6 D． 【答案】D 【分析】根据题意，由空间向量的模长公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，，且，，为单位向量， 则 . 故选：D 9.已知平行六面体的各棱长均为1，，，则（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析得出，利用空间向量数量积可求得的值. 【详解】由已知可得， ，又， 所以， 所以． 故选：D． 10.如图，在三棱锥中，，，，，为的中点，为的中点，为的重心，与相交于点，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算，结合三点共线可得，即可根据模长公式求解. 【详解】设，由题意得， 则 . 设， 则,故. 由得 ， 得， 所以 ， 故选：D 11.如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点A，O和点C，B，使，.已知，，，则线段OC的长为（    ）    A．6 B．8 C． D． 【答案】AC 【分析】依题意，，两边同时平方后，利用空间向量的数量积，代入已知数据计算，即可求解． 【详解】依题意，， 平方得 . 因为a，b所成的角为，或. 当时，，， 代入数据可得， 所以，，所以； 当时，，， 代入数据可得， 所以，，所以. 综上所述，或，即OC的长为6或. 故选：AC. 12．如图已知矩形，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，则B与D之间距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】过和分别作，，根据向量垂直的性质，利用向量数量积进行转化求解即可． 【详解】解：过和分别作，， 在矩形，， ， ， 则，即， 平面与平面所成角的余弦值为， ,， ， ，， 则， 即与之间距离为， 故选：C． 13．如图，二面角的平面角为，，，，，，，若，则长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据式子，根据空间向量数量积的运算律即可求出的长． 【详解】因为，，所以， 因为二面角的余弦值是，所以，即， 所以 ， 所以，即的长为． 故选:C． 14．如图，在平行六面体中，，，，，E为中点，则AE的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】空间向量，平方求模长即可求解. 【详解】由，两边平方得： . 所以. 故选：A. 15．二面角的平面角为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，，且AB=AC=1，BD=2，则CD的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用二面角、空间向量的数量积运算、空间向量的模、夹角与距离求解问题 【详解】∵二面角的平面角为60°， 是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，，， ，，， 故选：D. 16．如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量线性运算可得，利用向量数量积的定义和运算律可求得，进而得到的长度. 【详解】， ， ，即线段的长度为. 故选：D. 17．如图，二面角的大小为，四边形、都是边长为的正方形，则、两点间的距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二面角的定义可得出，由空间向量的线性运算可得出，利用空间向量数量积的运算性质可求得，即为所求. 【详解】因为四边形、都是边长为的正方形，则，， 又因为二面角的大小为，即，则， 因为，由图易知，， 所以， . 故选：C. 18.如图，平行六面体中，，，，，则线段的长为______.    【答案】1 【分析】根据空间向量的数量积运算律求解即可. 【详解】由题可得, ，, 所以,且, 因为, 所以 ， 所以， 故答案为:1. 19．如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设．则______________． 【答案】 【分析】利用空间向量的运算法则，将表示成，两边平方利用向量数量积即可求得. 【详解】由题意可知， 又，所以， 易知，所以 因为底面是正方形，所以，即 又，所以， 即，所以 故答案为： 20.正四面体的棱长为4，中心为点，则以为球心，1为半径的球面上任意一点与该正四面体各顶点间的距离的平方和：__________. 【答案】28 【分析】将正四面体放入正方体中，利用向量的线性运算可得，同理可得到 ，取的中点，可得到，即可求出答案 【详解】因为正四面体的棱长为4，故可将其放入棱长为的正方体中，如图所示， 由题意可得 , 同理可得 , , , 取的中点， 则， 所以 ， 所以，    故答案为：28 21．如图，平行六面体中，，，，，则线段的长为______.    【答案】1 【分析】根据空间向量的数量积运算律求解即可. 【详解】由题可得, ，, 所以,且, 因为, 所以 ， 所以， 故答案为:1. 22．在平行六面体中，，，，，则的长为_______． 【答案】 【分析】由空间向量基本定理得到，平方后得到，得到的长. 【详解】由题意得：， 故 ， 故. 故答案为： 23．如图，已知四棱柱的底面是边长为1的正方形，且，，则______． 【答案】 【分析】记，，，利用基底表示所求向量，然后将向量的模转化为数量积计算即可. 【详解】设 ，，， 则 ， 底面是边长为1的正方形，且，， 则有，，，，，， 则 ， 所以. 故答案为： 24.如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知求的长． 【解析】 方法一 如图过点作，过作，则易得，， 在中， 在中，. 方法二 如图， 的长为． 【点拨】 ① ； ② 方法一利用了二面角的概念和平几的知识进行求解，方法二直接利用向量的运算显得更简洁，也体现了向量的威力！ 25.在平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱中，求的长度. 【答案】 【解析】 则 ． ． 26.如图，在平行四边形中，，∠，将它沿对角线折起，使与成角，求间的距离． 【答案】 或 【解析】由题可知， ，，同理， 与成角，或， 又， 或. 即之间的距离为或. 27.如图所示，已知平面，则 ．    【答案】12 【分析】首先表示向量，平方后，利用数量积公式，即可求解. 【详解】， , 因为平面，平面， 所以，， 所以， 则. 故答案为： 28.已知向量两两夹角为，且，则 ． 【答案】 【分析】利用空间向量数量积公式计算出，从而求出答案. 【详解】由题意可得： ， 故. 故答案为：. 29.在四棱柱中，若底面是边长为1的正方形，，，则四棱柱对角线的长为 ． 【答案】 【分析】由空间向量线性运算及数量积的定义及性质运算即可得答案. 【详解】如图，    可得. 则 . 故答案为： 30.已知空间向量的夹角为，，则 【答案】 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律计算作答. 【详解】由空间向量的夹角为，，得， 所以. 故答案为： 31.已知平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是，则 . 【答案】 【分析】由题可知，，两边平方后，通过空间向量的混合运算可求得. 【详解】， ，． 故答案为：      32.已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则 . 【答案】 【分析】利用空间向量数量积的运算法则计算即得. 【详解】单位向量两两夹角均为，则， 所以 . 故答案为： 33.如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且,设，，．    (1)试用 表示向量； (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意，结合空间向量的运算法则，准确化简、运算，即可求解； （2）根据题意，求得且，结合空间向量的数量积和模的运算，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 根据空间向量的运算法则，可得 . （2）解：因为，，， 可得且， 则 ，所以， 即线段的长． 34.己知二面角为，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面内，，且，设：． (1)试用表示，并求线段CD的长； (2)求：异面直线CD与BA所夹角的余弦值． 【答案】(1)；；(2). 【分析】（1）由已知结合空间向量加法可得，再根据向量模长和数量积的关系可求得CD的长； （2）利用空间向量加法表示，再利用数量积公式求得向量夹角. （1），利用空间向量加法可得； 由已知二面角为，A，B是棱l上的两点，， 所以，，， ， 所以线段CD的长为. （2），， ，又异面直线夹角范围是，所以异面直线CD与BA所夹角的余弦值. 【方法技巧与总结】 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式||=求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小. 35.如图，三棱锥各棱的棱长都是点是棱的中点，点在棱上，且，记，，．求的最小值． 【答案】 【解析】根据题意，连接，，点是棱的中点，点在棱上，且， 记，，． ， 根据题意，点是棱的中点，则|，且， ， 则当时，取得最小值，则的最小值为． 36．如图，在平行六面体中，，且， (1)试用表示向量. (2)若，，，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形法则以及数乘运算得出； （2）计算，得出的长. 【详解】（1） （2） 即，∴. 题型12:投影及投影向量 1.已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和投影向量的概念计算即可求解. 【详解】 ，，与夹角的余弦值为， 在上的投影向量为 . 故选：D． 2.在棱长为 的正方体 中，向量 在向量 方向上的投影向量的模是______． 【答案】 【分析】由正方体的性质可得向量与向量夹角为，先求出的值，进而可得答案. 【详解】棱长为的正方体中向量与向量夹角为， 所以 向量 在向量 方向上的投影向量是 向量 在向量 方向上的投影向量的模是， 故答案为： 3.如图，已知 平面 ， ， ，则向量 在 上的投影向量等于____. 【答案】 【分析】先求出，再根据投影向量的公式计算即可. 【详解】平面， 则， 向量在上的投影向量为 故答案为：. 4.在标准正交基下，已知向量 ，，则向量在上的投影为______，在上的投影之积为______． 【答案】 -12 56 【分析】根据向量的加法求得，即可得在，，上的投影分别为-12，8，7，即可得答案. 【详解】解： 易得， 所以在，，上的投影分别为-12，8，7， 其在，上的投影之积为． 故答案为：-12；56. 5.如图，在长方体中，已知，，，分别求向量在、、方向上的投影数量． 【答案】向量在、、方向上的投影数量分别为、、. 【分析】分析可得，利用投影数量公式可求得向量在、、方向上的投影数量. 【详解】解：非零向量在非零向量方向上的投影数量为， 由空间向量的平行六面体法则可得， 在长方体中，， 因此，向量在方向上的投影数量为， 向量在方向上的投影数量为， 向量在方向上的投影数量为. 6.如图所示，在正六棱柱中，，则向量分别在，方向上的投影向量为 ；向量在方向上的投影数量为 ． 【答案】 ， 【分析】根据向量的投影向量，投影数量的概念结合条件即得. 【详解】根据正六棱柱的性质，知，， 又，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以，所以向量在，方向上的投影向量分别为，． 向量在方向上的投影数量为． 故答案为：，；. 7.如图，在棱长为1的正方体中，向量在向量上的投影向量是 ，向量在直线上的投影向量是 ，向量在平面上的投影向量是 ．    【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据投影向量的定义，结合正方体的几何性质以及线面垂直的判定与性质定理，可得答案. 【详解】（1）方法一：在正方体中，易知，， 向量与向量夹角为45°，，， 所以向量在向量上的投影向量是． 方法二：设，如图，由正方体的性质可得，，， 向量在向量上的投影向量是． （2）如图，连接，过作，垂足为H，则在直线上的投影向量就是， 在正方体中，易知平面，因为平面，所以， 在中，，，，，． 所以向量在直线上的投影向量是． （3）如图，连接AC，交BD于点O，易证，， 由，平面，则平面， 所以在平面上的投影向量就是，易知．    故答案为：；；（答案不唯一） 8.已知，向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影为 ． 【答案】 【分析】根据投影的定义结合已知条件求解即可. 【详解】因为，向量为单位向量，， 所以向量在向量方向上投影为． 故答案为： 9.已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为 . 【答案】2 【分析】利用投影的定义计算然后求模即可. 【详解】解：空间向量在向量方向上的投影为， 所以投影的模为. 故答案为：. 10.已知，为空间单位向量，，则在方向上投影的模为 ． 【答案】 【分析】利用向量投影的概念可求得结果. 【详解】由题意可知，在方向上投影的模为 11.如图，已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，则向量在向量方向上的投影数量的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，利用向量数量积的定义及运算法则可得，知向量在向量方向上投影数量为，进而求得其取值范围. 【详解】由已知E为棱上的动点，设， 因为， 所以 ， 所以向量在向量方向上投影数量为， 又，， ， 所以向量在向量方向上投影的数量的取值范围为 故答案为： 12.已知空间向量，若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据向量间的垂直关系和向量的数量积即可求解. 【详解】由题知，因为，所以， 即 ， 所以. 故答案为： 13.四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为 . 【答案】 【分析】根据线面、线线位置关系，结合投影向量的定义确定在向量上的投影向量. 【详解】四棱锥，底面是矩形，则，即， 且，由底面，底面，则， 由，面，则面， 又面，则，故向量在向量上的投影向量为， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 14.已知，向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影为 ． 【答案】 【分析】 根据投影的定义结合已知条件求解即可. 【详解】 因为，向量为单位向量，， 所以向量在向量方向上投影为． 故答案为： 15．如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为 （用向量来表示）.    【答案】 【分析】写出表达式，求出，即可得出向量在向量上的投影向量. 【详解】由题意， 在三棱锥中，已知平面， , ∵面， ∴， 在中，，， ∴, ， ∴向量在向量上的投影向量为： ， 故答案为：. 故答案为：. 16.已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量在向量方向上的投影数量为，运算即可得解. 【详解】由题意，，，， 则空间向量在向量方向上的投影数量为. 所以所求投影向量的模长为2. 故选：A 17.四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点和点分别作直线的垂线，由垂足确定在向量上的投影向量. 【详解】四棱锥如图所示， 底面是矩形，∴， 底面，底面，∴， 过向量的始点作直线的垂线，垂足为点，过向量的终点作直线的垂线，垂足为点，在向量上的投影向量为，由底面是矩形,， 故选：B 18.在直三棱柱中，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用几何关系作出向量在向量上的投影即可. 【详解】如图，过作，垂足为，过作，垂足为，连接．    因为在直三棱柱中，，平面， 所以平面，且平面，所以． 又平面，，所以平面， 又平面，则． 所以向量在向量上的投影向量为， 由，，得， ，所以 则，即， 即向量在向量上的投影向量为. 故选：D 19.若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设向量的夹角为，根据题意，求得，得到所以在方向上的投影为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，设向量的夹角为， 所以，可得， 解得， 所以在方向上的投影为 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以在方向上的投影的最大值为． 故选：C. 20.《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则（    ）． A． B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【分析】利用空间向量的线性运算可判定A、B选项；利用投影向量的定义可判定C、D选项. 【详解】因为 ，故A不正确，B正确． 如图所示，故D作DU垂直BC，过U作VU垂直AB，UW垂直AC， 故向量在向量上的投影向量为,向量在向量上的投影向量为， 由题意易得故，C不正确． ，D正确． 故选：BD 21.如图，在三棱锥中，平面，，，． (1)确定在平面上的投影向量，并求； (2)确定在上的投影向量，并求． 【答案】(1)在平面上的投影向量为，； (2)在上的投影向量为，. 【分析】（1）根据平面可得在平面上的投影向量，由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算的值即可求解； （2）由投影向量的定义可得在上的投影向量，由数量积的几何意义可得的值. 【详解】（1）因为平面，所以在平面上的投影向量为， 因为平面，面，可得，所以， 因为，所以， 所以 . （2）由（1）知：，， 所以在上的投影向量为： ， 由数量积的几何意义可得：. 【方法技巧与总结】 类比平面向量投影的概念，借助图形，叙述作出向量 在轴l上投影（空间称为射影）的过程. 已知图形向量，l为轴，向量是l上与轴l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A’,作点B在l上的射影B’，则称为向量在轴l上或在的方向上的正射影；可以证明A’B’=||cos<,>。 注意：轴l上的正射影对应的数值A’B’是一个可正可负可零的实数，它的符号代表向量 与l的方向的对应关系，大小代表在l上射影的长度. 22.如图，在三棱锥中，平面，，，． (1)确定在平面上的投影向量，并求； (2)确定在上的投影向量，并求． 【答案】(1)在平面上的投影向量为，； (2)在上的投影向量为，. 【分析】（1）根据平面可得在平面上的投影向量，由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算的值即可求解； （2）由投影向量的定义可得在上的投影向量，由数量积的几何意义可得的值. 【详解】（1）因为平面，所以在平面上的投影向量为， 因为平面，面，可得，所以， 因为，所以， 所以 . （2）由（1）知：，， 所以在上的投影向量为： ， 由数量积的几何意义可得：. 23.如图，在三棱锥中，平面，，，． (1)确定在平面上的投影向量，并求； (2)确定在上的投影向量，并求． 【答案】(1)在平面上的投影向量为，； (2)在上的投影向量为，. 【分析】（1）根据平面可得在平面上的投影向量，由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算的值即可求解； （2）由投影向量的定义可得在上的投影向量，由数量积的几何意义可得的值. 【详解】（1）因为平面，所以在平面上的投影向量为， 因为平面，面，可得，所以， 因为，所以， 所以 . （2）由（1）知：，， 所以在上的投影向量为： ， 由数量积的几何意义可得：. 题型13:最值与范围问题 1.在三棱锥中，已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】以，，为基底，根据已知列方程，结合重要不等式可解. 【详解】设，，，∵， ∴ ， 又∵，∴， ∴， ∴，当且仅当时，等号成立，即的最小值是． 故选：B 2.在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出正方体的外接球的半径，可得出，求出的取值范围，进而可求得的取值范围. 【详解】设正方体的外接球的球心为，设球的半径为， 则，可得，所以，， ， 当点与正方体的侧面或底面垂直时，的长取最小值，即， 当点与正方体的顶点重合时，的长取最大值，即， 所以，，所以，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量数量积取值范围的求解，注意到为的中点，结合向量数量积的运算性质得出，将问题转化为求的取值范围，进而求解. 3.已知正四面体的棱长为6，P是四面体外接球的球面上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得该正四面体的外接球的半径，进而得 ，再根据求解即可. 【详解】如图，设分别为正四面体棱中点， 作平面，垂足为， 所以，由正四面体的性质知三点共线，且，且其外接球的球心在上，记为， 因为正四面体的棱长为6， 所以，， 设四面体外接球的半径为，即， 所以，，即，解得， 所以，， 因为P是四面体外接球的球面上任意一点， 所以， 因为， ， 所以 ， 因为， 所以 故选：B 【点睛】方法点睛：对于立体几何的外接球问题，通常处理方法为，找到球心在某个特殊平面上的投影，进而找到球心的位置，设出未知数，根据半径相等列出方程，求出半径，从而求出表面积或体积. 4.已知正方体的棱长为2，球是正方体的内切球，点是内切球表面上的一个动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，取中点为，则，再结合向量的运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】 取中点为，因为，， 所以， 又，则， 又正方体的棱长为2，则正方体的内切球半径为1，则，， 所以， 所以， 所以当，反向时，，有最小值为； 当，同向时，，有最大值为. 故选：D. 5.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意作出图形，利用面面平行的判定定理可得平面平面，再由线面垂直的判定定理可得平面，进而有，，结合空间向量的数量积运算即可求解. 【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，如图， 易得，，， 因为平面，平面，所以平面， 同理平面， 又因为平面，，所以平面平面. 因为平面，所以H为线段FG上的点. 由平面，平面，得， 又，则， 由平面，得平面， 因为，所以平面，，. 因为， 所以，，. 所以 . 因为，所以. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得H为线段FG上的点，从而利用空间向量数量积的定义得到，从而得解. 6.如图所示，在棱长为1的正方形中，点P是的中点，点M，N是矩形内（包括边界）的任意两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方体的中心为O，连接OP，OM，ON，根据向量的线性运算可得，再分析的范围求解即可. 【详解】设正方体的中心为O，连接OP，OM，ON．由正方体的性质可知，，，那么，又，所以. 当与反向，且时，有最小值，此时； 当与同向，且时，有最大值，此时，即的取值范围为． 故选：B 7．（多选）正四面体中，棱长为．点满足，则的（    ） A．最小值为． B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 【答案】BC 【分析】由题意，确定点在球上，根据空间向量的线性运算和数量积的运算求得的表达式，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】设的中点，则，即， 又，所以， 即点落在以为球心，以1为半径的球上. 因为，所以. 由正四面体的棱长为，得， 所以， 设，则， 又，所以， 即的最大值为，最小值为. 故选：BC 8.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面ACD，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，则，，根据面面平行的判定定理可得平面平面，由线面垂直的判定定理可得平面，进而有，，结合空间向量的数量积运算即可求解. 【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG. 易得，， 因为平面，平面，，，所以平面平面. 因为平面，所以H为线段FG上的点. 由平面，平面，得， 又，则， 由平面，得平面， 因为，所以平面，，. 因为， 所以，. . 因为，所以. 故选：B. 9.已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是，则的取值范围为(　　) A． B． C． D． 【解析】 设正方体内切球球心为，是该内切球的任意一条直径， 则内切球的半径为， 所以． 所以的取值范围是． 故选：． 10．如图，空间四边形的每条边和对角线长都等于，点，，分别是，，的中点，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据空间向量运算求得. 【详解】 依题意，分别是的中点， 所以， 三角形是等边三角形，且边长为. 所以. 故选：B 11．在三棱锥中，，，，则（       ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据已知条件，由，利用向量数量积的定义及运算律即可求解. 【详解】 解：因为三棱锥中，，，， 所以， 故选：A. 12．如图，在平行六面体中，，，，则（       ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可. 【详解】 故选：B 13．已知正四面体的棱长为，点，分别是，的中点，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 利用向量的中点公式表示和，然后利用向量的数量积公式运算即可求解. 【详解】 因为E，F分别是BC，AD的中点， 所以，， 又因为正四面体ABCD的棱长都为1， 所以， 故 ． 故选：C． 14．如图，在边长为的正方体中，（       ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 ，再根据空间向量的数量积，即可得解． 【详解】 解：在正方体中，平面， 所以， 所以． 故选：． 15．已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则（       ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【解析】 【分析】 选定为基向量，利用向量数量积的计算法则求解即可. 【详解】 设，由题意得：，， . 故选：B. 16．已知正四面体的棱长为1，点、分别是、中点，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由已知得，然后再由数量积的定义进行运算可得答案． 【详解】 由题意，四面体是正四面体，每个面都是正三角形，因为点、分别是、中点，所以， 所以． 故选：A. 17．如图在长方体中，设，，则等于（       ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【解析】 利用向量加法化简，结合向量数量积运算求得正确结果. 【详解】 由长方体的性质可知， ， 所以 . 故选：A 18.已知，，是空间中两两不同的三个单位向量，且．则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据向量数量积的定义可设，且，再根据的范围得到关于的不等式，解出即可. 【详解】由题意得， 即， 由题意,可设.则 因为，，是空间中两两不同的三个单位向量，故，即， 则有. 则，即， 于是，即，解得. 而，所以的取值范围是. 故答案为：. 19.已知球的半径为是球的直径，点在球的球面上.若空间中一点与点间的距离为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用向量的四则运算可得，再根据数量积的公式和运算律求解即可. 【详解】由题意可得点在以为球心，为半径的球上， 所以 ， 因为，所以， 所以，所以的最小值为， 故答案为： 20.已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的最大值是 ，最小值是 . 【答案】 【分析】先利用正方体的性质求得的取值范围，再利用空间向量的数量积即可得解. 【详解】设正方体内切球球心为S，是该内切球的任意一条直径，易知该内切球的半径为1， 当点在正方体的面的中心时，取得最小值1； 当点在正方体的顶点时，取得最大值，所以； 故 ， 所以的最大值是，最小值是. 故答案为：；. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用数量积运算，将转化为，从而得解. 21.已知空间三个向量,,的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°．若，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用向量数量积运算求解. 【详解】因为，，的模均为1，他们之间的夹角均为，所以：，. 又 所以： 或. 故答案为： 22.正四面体的棱长为，空间动点满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由向量的线性运算公式化简，结合数量积的运算律化简，由此求出其取值范围即可. 【详解】取的中点为，的中点为， 因为，所以，即， 又， 因为， 所以，当且仅当方向相同或为零向量时等号成立； ，当且仅当方向相反或为零向量时等号成立； 因为正四面体的棱长为， 所以在中，， 所以，即，故， 所以，又， 所以，即. 故答案为：. 23.已知球O是棱长为1的正四面体的内切球，AB为球O的一条直径，点P为正四面体表面上的一个动点，则的取值范围为_______________. 【答案】 【分析】利用等体积法求出内切球的半径，以及正四面体中内切球球心到顶点的距离，从而可得，再根据即可求解. 【详解】 如图所示，在边长为1的正四面体中，设四面体内切球球心为， 内切球半径为，取中点为， 则,,所以， 因为， 所以，所以， 因为点P为正四面体表面上的一个动点， 所以，即， 因为, 因为为球O的一条直径，所以, 所以， 因为，所以， 所以， 故答案为: . 24.如图所示，四边形ABCD是矩形，，AB=4，EF=2，和都是边长为2的等边三角形，G是AD上一动点，求FG的长度的范围． 【答案】 【分析】设，利用向量法求得的表达式，结合二次函数的性质求得的取值范围. 【详解】连接AF，过作，交AB于点，如下图所示，易得四边形EFBH为平行四边形， ∵，，∴， 又，，∴， 设， 则 ， ∴ ， 当时，取得最小值为；当或1时，取得最大值为， ∴FG的长度的范围是． 25.已知球内切于正四面体且正四面体的棱长为2线段是球的一条动直径(是直径的两端点)，点是正四面体的表面上的一个动点，则的最大值是　 　． 【答案】 【解析】由正四面体棱长为，的其内切圆的半径为， 由题意，是直径的两端点，可得，， 则 ， 当点在正四面体顶点时，最大，且最大值为， 则的最大值为. 26.已知球是棱长为的正八面体(八个面都是全等的等边三角形)的内切球，为球的一条直径，点为正八面体表面上的一个动点，则的取值范围是　　． 【答案】 【解析】设球的半径为，则，解得． ． ． 故答案为：． 27.如图，在三棱锥中，已知，，设，，，则的最小值为　 　． 【答案】 【解析】 在三棱锥中，，，设， ， ， ， 又，，① ，② 将①两边平方得， ， ， 代入②中，得， ， ， 又，． 的最小值为． 故答案为：． 巩 固 提 升 一、单选题 1．如图，在正三棱台中，，为中点，为中点，设，，，则可用，，表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量线性运算法则直接计算. 【详解】由题意可得， 而， 故选：B. 2．如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法，减法的几何意义及相等向量的定义进行化简即可. 【详解】解：=，所以D正确，A，B，C错误. 故选：D 3．已知，（，，为两两互相垂直的单位向量），若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的数量积的运算得到方程，解方程即可. 【详解】 ∵，，为两两互相垂直的单位向量， ∴，，，，，， ∴， ∵，∴，∴， 解得， 故选：C. 4．如图，在三棱锥中，设，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，结合空间向量的线性运算即可求解. 【详解】连接， . 故选：C 5．已知，是相互垂直的单位向量，则＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据空间向量数量积公式计算出答案. 【详解】是相互垂直的单位向量，故， 故. 故选：A 6．已知四面体，是的中点，连接，则＝（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件作出图形，利用线段中点的向量表达式及向量加法法则即可求解. 【详解】如图，四面体，是的中点，    因为是的中点，所以 所以. 故选：A. 7．在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】先将用表示，然后再结合数量积的运算律即可得解. 【详解】因为，所以 ， 从而，即的长为． 故选：C. 8．正方体的棱长为1，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】根据空间向量数量积的运算律，结合垂直关系即可求解. 【详解】, 故选：A 二、多选题 9．已知构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BCD 【分析】根据向量共面的定义分别判断各选项. 【详解】A选项：令，则，解得，即，，共面，故A选项不符合题意； B选项：设，则，此方程组无解，即，，不共面，故B选项符合题意； C选项：设，则，此方程组无解，即，，不共面，故C选项符合题意； D选项：设，则，此方程组无解，，，不共面，故D选项符合题意； 故选：BCD. 10．已知，，是平面上的三个非零向量，那么下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则与的夹角为 D．在正方体中， 【答案】BD 【分析】根据向量的定义结合向量模的含义可判断A；根据数量积的运算律判断B；根据向量的夹角公式可判断C；根据正方体的性质可判断D。 【详解】对于A，若，但，的方向不确定，A错误； 对于B，若，两边平方得， 则，B正确； 对于C，，则，即得， 故，， 故， 而，故与的夹角为，C错误； 对于D，在正方体中，， 故四边形为平行四边形，故， 故，D正确， 故选：BD 11．如图，正方体的边长为为的中点，动点在正方形内（包含边界）运动，且.下列结论正确的是（   ） A．动点的轨迹长度为； B．异面直线与所成角的正切值为2； C．的最大值为2； D．三棱锥的外接球表面积为. 【答案】ACD 【分析】取的中点，分析可知平面.对于A：分析可知动点的轨迹是以点为圆心，半径为1的半圆，即可得结果；对于B：分析可知异面直线与所成角即为，即可得结果；对于C：根据数量积的几何意义分析判断；对于D：分析可知，进而求球的半径和表面积. 【详解】取的中点，连接， 因为分别为的中点，则∥，且， 又因为平面，则平面， 由平面，可得. 对于选项A：在中，， 可知动点的轨迹是以点为圆心，半径为1的半圆， 所以动点的轨迹长度为，故A正确 对于选项B：因为∥，∥，则∥， 可知异面直线与所成角即为，其正切值为，故B错误； 对于选项C：因为线段在平面内的投影为， 结合选项A可知：在方向上的投影数量的最大值为1， 所以的最大值为，故C正确； 对于选项D：设三棱锥的外接球的球心为，半径为， 因为平面，且为的外接圆圆心，可知， 则，解得， 所以三棱锥的外接球表面积为，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题 12．已知向量的夹角的余弦值为，则 【答案】 【分析】 先根据数量积的定义可得，结合数量积的运算律分析求解. 【详解】 由题意可得， 所以． 故答案为：. 13．在四面体 中，分别为的中点，则 【答案】 【分析】根据空间向量的运算，将用来表示，即可求得答案. 【详解】由题意得 ， 故答案为： 14．如图所示，在四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形，且，，若异面直线和所成的角的大小是，则的长度是 . 【答案】 【分析】利用基底表示向量和，利用数量积公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，，且， ， ， ， 由题意可知，，所以，所以. 故答案为： 四、解答题 15．如图，在平行六面体中，，，，，，求： (1)； (2)的长. 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）利用数量积的定义即可求解； （2）根据模长公式即可求解. 【详解】（1）． （2）因为， 所以． 16．如图，在空间四边形ABCD中，，，，，. (1)求； (2)求CD的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的定义直接求解即可； （2）先利用加法法则表示，然后利用数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）因为，，， 所以； （2）因为， 所以 ， 所以. 17．如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足. (1)用向量表示； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解； （2）先计算，再开方即可求解. 【详解】（1）因为M是棱BC的中点，点N满足，点P满足. 所以 ； （2）因为正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1， 所以，， 所以， 所以 ，所以. 18．如图，平行六面体的底面是菱形，且，，． (1)求的长． (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用及向量的运算律和数量积求解即可. （2）利用及向量的数量积求夹角即可. 【详解】（1） ， 所以， 即的长为. （2） ， 又由余弦定理得， 所以设所求异面直线所成角为，. 19．如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．        (1)求； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，代入数值直接求得结果； （2）化简可得，然后采用先平方再开方的方法求解出，则的长可知. 【详解】（1）. （2）因为， 所以 ， 所以的长为. 20．如图，在长方形中，为中点，.以为折痕将四边形折起，使，分别达到，，当异面直线，成角为时，异面直线，成角余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的数量积运算即可求解. 【详解】不妨设， 由于，所以即为直线，所成的角, 故, 又， 所以，因此异面直线，成角余弦值为， 故选：A 21．(多选)在正方体中，下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D．正方体的体积为 【答案】ABC 【分析】根据空间向量运算、夹角、体积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设正方体的棱长为， A选项， ，A选项正确； B选项， ，B选项正确； C选项，由于三角形是等边三角形，所以，C选项正确； D选项，，所以D选项错误. 故选：ABC 22.（多选）如图，二面角的大小为，其棱l上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若则两点间的距离为 ．    【答案】 【分析】利用向量的线性关系可得，两边平方可求的长度. 【详解】因为二面角的大小为，， . ,即两点间的距离为. 故答案为： 23．平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，且，为中点，为中点，设，，.    (1)用向量，，表示向量； (2)求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解， （2）根据向量的模长公式，即可代入求解. 【详解】（1）因为为中点，为中点， ，，， 所以 （2）因为平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，且， 所以，，， 所以 所以，即线段PM长为 24．如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算求出即可； （2）根据向量的运算性质代入计算即可. 【详解】（1）， ， 故 ∵点E为AD的中点， 故. （2）由题意得， 故， 故 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 空间向量及运算 思 维 导 图 教 学 目 标 1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的表示方法（包括几何表示和坐标表示）。掌握空间向量的加法、减法、数乘运算的定义和运算律，并能熟练进行相关运算。 2.理解空间向量数量积的概念、性质和运算律，能运用数量积解决空间向量的夹角和垂直问题。掌握空间向量共线、共面的充要条件，并能判断空间向量的共线与共面关系。 3.通过类比平面向量的知识，经历空间向量概念和运算的探究过程，培养类比推理和空间想象能力。 4.在运用空间向量解决问题的过程中，体会向量方法在研究空间几何问题中的作用，提升运用数学工具分析和解决问题的能力。 5.在探究空间向量运算规律的过程中，培养严谨的思维习惯和合作探究精神，体会数学知识的内在联系。 知识点梳理 知识点一．空间向量 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量． (2)模(或长度)：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为，模为||． ②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…． 知识点二．几类特殊的向量 (1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0． (2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量． (3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． (4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量． (5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行． （6）共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面． 注 （1）空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不一定共面． （2）熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键． 注意： 1.零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性. 2.单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1. 3.两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量． 4.空间向量表示空间内具有大小和方向的量,平面向量表示平面内具有大小和方向的量,空间向量是在平面向量基础上进一步学习的知识内容,它们的运算规律完全相同,空间向量的相关定理及公式与平面向量类似,可以类比学习; 5.在空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同; 6.由于向量是由其模和方向确定的,所以解答空间向量有关概念问题时,通常抓住这两点来解决; 7.零向量是一个特殊向量,其方向是任意的,且与任何向量共线,这一点说明向量共线不具有传递性. 8.空间中的向量，除了共线之外，我们还要讨论共面的情形. 一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面. 知识点三.空间向量的加法、减法与数乘运算 名称 运算法则 特点 图示 加法运算 三角形法则 收尾相接收尾连（通过平移） 平行四边形法则 起点相同（共起点）（通过平移） 减法运算 平行四边形法则 起点相同连终点，被减向量定指向。 数乘运算 实数的作用：正负定方向，数值定模比 知识点四.空间向量的加法和数乘的运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： （3）数乘运算律：①λ(μ)＝(λμ)；②(λ＋μ)＝λ＋μv；③λ(＋)＝λ＋λ； 知识点五.共线向量及共线向量定理 1. 共线向量或平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量. 向量a与b平行，记作a//b.规定，零向量与任意向量共线. 2. 共线向量定理 对空间任意两个向量a，b（a≠0），b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b=λa. 知识点六.空间向量的线性运算的理解 类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算． 　 图1　　　　　　　　图2 (1)如图1，＝＋＝a＋b，＝－＝a－b． (2)如图2，＋＋＝． 即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量． (3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa．其中： ①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向： (ⅰ)当λ＞0时，与a的方向相同； (ⅱ)当λ＜0时，与a的方向相反． ②当λ＝0或a＝0时，λa＝0． 知识点七.空间两个向量的夹角 1. 夹角 定义 a,b是空间两个向量，过空间任意一点O，作a，b,∠AOB=（0≤π）叫做向量a,b的夹角。 图示   表示 　〈a,b〉. 范围 [0,π] 2.空间两个向量的关系 （1）若〈a,b〉=0,则向量a,b方向相同; （2）若〈a,b〉=π,则向量a,b方向 　相反; （3）若〈a,b〉=,则向量a,b　互相垂直，记作a⊥b 知识点八.空间两个向量的数量积 1. 空间向量的数量积的定义 定义 已知两个非零向量a,b,则　|a||b|cos〈a,b〉  叫做a,b的数量积,记作    a·b    .即a·b=|a||b|cos〈a,b〉. 规定 零向量与任意向量的数量积为　0    2.空间向量数量积的运算律 交换律 a·b=     b·a     结合律 (λa)·b=⑩     λ(a·b)    ,λ∈R 分配律 a·(b+c)=     a·b+a·c   3.空间向量数量积的性质 ①若a,b为非零向量,则a⊥b⇔     a·b=0    ; ②若a,b同向，a·b=|a||b|；若a,b反向，a·b=-|a||b|；特别的，a·a=|a|2，或|a|= ③若为a,b的夹角，则 ④|a·b|≤|a||b| 4.与数量积有关的2个易错点 ①两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零. ②向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即ab=acb=c，（a·b）·c=a·（b·c）都不成立. 知识点九.向量的投影 （1）向量在向量上的投影向量 ①定义：对于空间任意两个非零向量a，b，设向量=a，=b，如图，过点A作AA1⊥0B，垂足为A1.上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量. ②几何意义：向量a，b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积，即a·b=b （2）向量在平面上的投影向量 ①定义：设向量m=，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量.我们将上述由向量m得到向量的变换称为向量m向平面α投影，向量称为向量 m 在平面α上的投影向量. ②几何意义：空间向量m，n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积，即mn=n （6）求向量的夹角和模长 借助cos〈a，b〉＝，求向量a，b的夹角．借助|a＋b|＝＝求模． 空间向量数量积的注意点 1. 结果：两个向量的数量积，其结果是一个实数，而不是一个向量，它的符号取决于两向量的夹角的余弦值的符号. （2）零向量：空间向量数量积对于a，b是零向量时的情况仍然成立，即零向量与任何向量的数量积均为零. （3）运算律：数量积不满足结合律 在几何体中求空间向量的数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积； (3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模； (4)代入公式a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉求解． 利用数量积求直线夹角或余弦值的方法 ①取向量:根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量 ②角转化:异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题 ③求余弦值:利用数量积求余弦值或角的大小 ④定结果:异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量的夹角求余弦值应将余弦值加上绝对值，继而求角的大小 利用向量的数量积求两点间的距离 可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式||=求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小. 题 型 归 纳 题型01：空间向量的基本概念 1.下列命题中是假命题的是（     ） A．任意向量与它的相反向量不相等 B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小 C．如果，则 D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 2.关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．任意两个空间向量总是共面的 C．零向量没有方向 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 3.下列命题中，是真命题的为（    ） A．设，是两个空间向量，则 B．若空间向量，满足，则 C．若空间向量，，满足，，则 D．在正方体中，必有 4.给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量满足，则； ③在正方体中，必有 ； ④若空间向量 满足，，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．下列关于空间向量的命题中，正确的个数是（       ） ①在同一条直线上的单位向量都相等； ②只有零向量的模等于0； ③在正方体中，与是相等向量； ④在空间四边形中，与是相反向量； ⑤在三棱柱中，与的模一定相等的向量一共有3个 A．2 B．3 C．4 D．5 6.下列命题中，正确的是（    ）. A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7.下列命题中正确的是（　　） A．若，，则与所在直线平行 B．向量、、共面即它们所在直线共面 C．空间任意两个向量共面 D．若，则存在唯一的实数λ，使 8.给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则．其中正确的个数为（    ）． A． B． C． D． 9．下列命题为真命题的是（       ） A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．若，则､的长度相等且方向相同 C．若向量､满足，且与同向，则 D．若两个非零向量与满足，则. 10.给出下列命题： ①向量的长度与向量的长度相等； ②向量与平行，则与的方向相同或相反； ③两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ④若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 11.给出下列几个命题： ①方向相反的两个向量是相反向量； ②若，则或； ③对于任何向量，，必有． 其中正确命题的序号为 ． 12.下列命题为真命题的是（　　） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝ C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中，，，则 13．在平行六面体中，与向量相等（不含）的向量有（       ） A．0个 B．3个 C．6个 D．9个 14.如图所示，在长方体中，，，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（    ）    A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个 C．的相反向量有4个 D．模为的向量有4个 15．在平行六面体中，以顶点为向量的起点或终点，且与向量的模相等的向量有（       ）． A．个 B．个 C．个 D．个 16.如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)试写出与相等的所有向量． (2)试写出的相反向量． 17.如图，在正方体中，点为棱上任意一点．只考虑图上已画出线段所对应的向量，写出：        (1)的相等向量，的相反向量； (2)用另外两个向量的和或差表示； 题型02:空间向量的加法、减法与数乘运算 1.化简下列算式： (1)； (2). 2.化简 . 3.若，，，为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是（    ） ①； ②； ③； ④. A．① B．② C．③ D．④ 4.在空间四边形中下列表达式化简结果与相等的是（    ） A． B． C． D． 5.已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（　　） ①与是一对相反向量； ②与是一对相反向量； ③与是一对相反向量； ④与是一对相反向量． A．个 B．个 C．个 D．个 6．若A，B，C，D为空间任意四个点，则（       ） A． B． C． D． 7．如图，在空间四边形中，（       ） A． B． C． D． 8．在平行六面体中，（       ） A． B． C． D． 9．如图，在平行六面体中，（       ） A． B． C． D． 10．在空间四边形中，下列表达式结果与相等的是（       ） A． B． C． D． 11．在空间四边形中，连接，若是正三角形，且E为其重心，则的化简结果是（       ） A． B． C． D． 12.已知四面体，是的中点，连接，则＝（    ） A． B． C． D． 13.如图，在四面体ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，则 .    14.在三棱锥中，若是正三角形，为其重心，则化简的结果为 ． 15．在长方体中，下列各式运算结果为的是（       ） ①   ②   ③   ④ A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 题型03:空间向量加减运算的几何表示 1．如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（       ） A． B． C． D． 2．直三棱柱中，若，，，则（       ） A． B． C． D． 3．在如图所示的正四面体OABC中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点．设，，，则下列说法不正确的是（       ）． A． B． C． D． 4．如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，，，则下列向量中与相等的向量是（       ） A． B． C． D． 5．如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，已知，，，，则（       ） A． B． C． D． 6．如图，四面体S-ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE，则=（       ） A． B． C． D． 7．【多选】如图，在三棱柱中，是的中点.下列表达式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 8.在空间四边形中，点分别是和的中点，则（ ） A． B． C． D． 9．如图.空间四边形OABC中，，点M在OA上，且满足，点N为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 10.如图所示，在三棱锥中，分别是棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 11.在四面体中，，，，，为的中点，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 12.在空间四边形 中，连接 ， ，若 是正三角形，且 为其重心，则（    ） A． B． C． D． 13.在空间四边形中，分别是的中点，为线段上一点，且，设，，，则下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 14.在三棱柱中，D是四边形的中心，且，，，则（    ） A． B． C． D． 15.（多选）如图，平面内的小方格均为边长是1的正方形，，均为正方形的顶点，为平面外一点，则（    ） A． B． C． D． 16.如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 17.在三棱锥中，，，，点在直线上，且，是的中点，则下列结论可能成立的是（    ） A． B． C． D． 题型04:加减法与数乘求参 1.在平行六面体中，点在上，且，若，则（    ） A． B．1 C． D． 2.如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，设向量，则（    ）    A． B． C． D． 3.如图，在平行六面体中，与的交点为，若，则（    ） A． B． C． D． 4.已知平行六面体，，则m的值为______． 5.如图，在长方体中，是的中点，点分别在上，且．若，则_____． 题型05:空间向量共线 （一）空间向量共线的判断 1.若向量与不共线且，，，则（    ） A．，，共线 B．与共线 C．与共线 D．，，共面 2.已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 3.如图，已知为空间的9个点，且，，，，，. 求证：（1）； （2）. 4．如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若. （1）用表示. （2）求证：E，F，B三点共线. （二）由空间向量共线求参数值 1.已知，. （1）若与的方向相同，且，则λ的值为 ； （2）若与的方向相反，且，则λ的值为 . 2.若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 ． 3.若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 . 4.已知三点共线，为空间任意一点，，则 . 5.设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6.设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（    ） A．-8 B．-4 C．-2 D．8 7.已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 8.已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9.若空间中任意四点O，A，B，P满足，其中m＋n＝1，则（    ） A．P∈AB B．P∉AB C．点P可能在直线AB上 D．以上都不对 （三）空间向量共线定理的推论及应用 1.在空间四边形ABCD中，，，则 . 2.（多选题）下列命题中不正确的是（       ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．向量，， 共面，即它们所在的直线共面 C．若两个非零空间向量，，满足，则∥ D．若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ 3.(多选)若空间中任意四点O，A，B，P满足=m+n，其中m+n=1，则结论正确的有（    ） A．P∈直线AB B．P∉直线AB C．O，A，B，P四点共面 D．P，A，B三点共线 4.在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则 ． 5．（多选）（23-24高二下·山西长治·阶段练习）如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（    ）    A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为线段 C．存在，使得 D．存在，使得 平面 6.如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若. （1）用表示. （2）求证：E，F，B三点共线. 7.已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 题型06:空间向量共面问题 （一）判断空间向量共面 1.以下能判定空间四点P、M、A、B共面的条件是（    ） A． B． C． D． 2.在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（　　） A． B． C． D． 3.对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有，则（    ） A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面 C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面 4.下列条件能使点与点一定共面的是（    ） A． B． C． D． 5.若是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6.在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（    ） A． B． C． D． 7.如图，在长方体中，向量，，是 向量(填“共面”或“不共面”)． 8.已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证： (1)E，F，G，H四点共面； (2)BD∥平面EFGH. 9.如图，已知O､A､B､C､D､E､F､G､H为空间的9个点，且，，，，，.求证：A､B､C､D四点共面，E､F､G､H四点共面； （二）由空间向量共面求参数 1.为空间任意一点，若，若、、、四点共面，则（    ） A． B． C． D． 2.若点平面，且对空间内任意一点满足，则的值是（    ） A． B． C． D． 3.如图,平面内的小方格均为正方形,点为平面内的一点,为平面外一点,设,则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4.设平面内不共线的三点A，B，C以及平面外一点P，若平面内存在一点D满足 ，则x的值为（    ） A．0 B． C． D． 5.已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 6.在四面体中，空间的一个点满足，若四点共面，则等于（    ） A． B． C． D． 7.在空间四面体中，对空间内任意一点，满足，则下列条件中可以确定点与，，共面的为（    ） A． B． C． D． 8.已知点为所在平面内一点，为平面外一点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 9.已知，，不共面，，则（    ） A．，，A，B，C，M四点共面 B．，，A，B，C，M四点不共面 C．，，A，B，C，P四点共面 D．，，A，B，C，四点共面 10.已知点在平面内，并且对空间任一点，，则 ． 11.在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则 ． 12.如图，在正方体中，、分别是棱、的中点，是棱上靠近的四等分点，过、、三点的平面交棱于，设，则 . （三）空间共面向量定理的推论及应用 1.在三棱锥P-ABC中，M是平面ABC上一点，且5=t+2+3，则t=（    ） A．1 B．2 C．3 D．-2 2.已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则等于（    ） A． B． C． D． 3.设向量不共面，空间一点满足，则四点共面的一组数对是（    ） A． B． C． D． 4.已知为空间任一点，，，，四点满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 空间向量的数量积 题型07:数量积的概念 1．【多选】设、为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 2．【多选】若、、是空间任意三个向量，，下列关系中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3.设，，都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 5．（多选）下列四个结论正确的有 （    ） A．对于任意两个向量，若，则或或 B．若空间中点 满足，则三点共线 C．空间中任意三个向量 都满足 D．对于任意两个向量， 都有 6．对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 7．（多选）定义空间两个非零向量的一种运算：，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（    ） A． B． C．若，则 D． 8．设，，都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型08:数量积的运算 1.在棱长为2的正方体中，（    ） A． B． C．2 D．4 2.在空间四边形中，等于（   ） A． B．0 C．1 D．不确定 3.已知四面体，所有棱长均为，点分别为棱的中点， 则( ) A． B． C． D． 4.平面上有四个互异点，已知，则的形状是(　　) A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定 5.在空间四边形中，，　( ) A． B． C． D．不确定 6.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 7.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，，则（    ）    A．4 B．5 C．6 D．8 8.定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（    ）    A． B．4 C． D． 9．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．在空间四边形中，等于（   ） A． B．0 C．1 D．不确定 11.已知点P在棱长为2的正方体的表面上运动，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 12.在自然界中，金刚石是天然存在的最硬的物质．如图1，这是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示．这就是说，图2中有AE＝BE＝CE＝DE，若正四面体ABCD的棱长为4，则（    ）    A．＝ B．＋＋＋ C．＝0 D．＝8 13．已知是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M在正方体的棱上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 14.空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么（    ） A． B． C． D．与的大小不能比较 15.如图，各棱长都为的四面体中 ，，则向量（    ） A． B． C． D． 16.如图，已知四边形为矩形，平面，连接，，，，，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 17.如图，在四面体中，，，，.则（   ）    A． B． C． D． 18.正四面体的棱长为2，点D是的重心，则的值为（    ） A． B． C． D． 19.如图，在正四棱柱中，，，，，分别是所在棱的中点，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 20．（多选）已知四面体中，，，两两垂直，则以下结论中一定成立的是（    ） A．； B． C．； D． 21.正四面体的棱长为2，是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦），为正四面体表面上的动点，当弦最长时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 22.已知空间向量的夹角为，则 ． 23.如图，在三棱锥中，两两垂直，，，为的中点，则的值为 . 24在棱长为的正四面体中，点满足，点满足，当最短时， . 25.已知三棱锥的顶点在平面内的射影为点，侧棱，点为三棱锥的外接球的球心，，，已知，且，则球的表面积为　　 ． 26.如图，球为长方体内能放入的体积最大的球，是球的一条直径，为该长方体表面上的动点，且，则的最大值为________. 27.正四面体的棱长为，点、分别是、的中点，则 ． 28.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则的值为 . 29.如图，在三棱锥中，，，分别是的中点，则　　． 30.在正方体中，，则 ． 31．平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是__________． 32.如图所示，空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F分别是的中点，则 ．    33.平行六面体中，，，，动点在直线上运动，则的最小值为 ． 34.如图,给定长方体,,,点在棱的延长线上,且.设,,.    (1)试用表示向量; (2)求. 35.如图所示，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求： (1)·； (2)·； (3)·. 36．如图，在底面为矩形的四棱锥E-ABCD中，底面ABCD，，G为棱BE的中点. (1)证明：平面BCE. (2)若，，，求. 37．如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积： (1) (2) (3) 38．已知向量，向量与的夹角都是，且，试求 (1)； (2)． 39.已知正四面体的棱长为1，如图所示，求： (1)； (2)； (3)． 40．如图，在空间四边形中，，点E为的中点，设，，．    (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，求的值． 题型09:利用空间向量的数量积求夹角 1．在三棱锥中，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D．不确定 2．已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（    ） A． B． C． D．4 3．（多选）如图所示，平行六面体，其中，，，，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．直线AC与直线是相交直线 D．与AC所成角的余弦值为 4．如图，三棱锥中，、所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 5.在正四面体ABCD中，与的夹角等于（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 6．已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，，，则该二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 9．在三维空间中，三个非零向量满足，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或锐角三角形 10．已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（    ） A． B．133 C． D．61 11．（多选）如图，在三棱柱中，分别是上的点，且.设，若，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 12.已知空间单位向量，，两两夹角均为，，，则下列说法中正确的是（    ） A．、、、四点可以共面 B． C． D． 13.如图，在平行六面体中，其中以顶点A为端点的三条棱长均为6，且彼此夹角都是，下列说法中不正确的是（    ）    A． B． C．向量与夹角是 D．向量与所成角的余弦值为 14.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角． 15.已知是两个空间向量，若，，则＝ . 16.已知平行六面体的所有棱长都相等，且，则直线与直线所成角的余弦值为 . 17.如图，在正四面体中，，分别为，的中点，则与的夹角的余弦值为 ．    18.已知是异面直线，，，且，则与所成的角为 ． 19.如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为_____________ 20.如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为___________. 21.如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为 . 22．如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为___________. 23．已知空间向量，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是____________． 24．如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=8cm.则这个二面角的余弦值为_____________. 【答案】 25.如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，． （1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 26.如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：       (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 27.已知空间四边形中，，求的值. 28.如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值 (3)判断与是否垂直． 29.已知：正四面体(所有棱长均相等)的棱长为，分别是四面体中各棱的中点，求，的夹角． 30 已知空间四边形各边及对角线长都相等，分别为的中点，求与夹角余弦值． 31. 在三棱锥中，已知侧棱，，两两垂直，用空间向量知识证明：底面三角形是锐角三角形． 32 在平行六面体中，底面是边长为的正方形，，． (1)求侧棱的长； (2)分别为的中点，求及两异面直线和的夹角． 33.如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值 (3)判断与是否垂直． 题型10:利用数量积证明空间垂直关系 1．在平行六面体中，，，，，则（    ） A． B． C．0 D． 2．在如图所示的平行六面体中，已知，，，N为上一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 3．在如图所示的平行六面体中，已知，，，N为上一点，且.若，则的值为 .    4．已知，是异面直线，，，分别为取自直线，上的单位向量，且，，，则实数的值为（    ） A． B．6 C．3 D． 5．（多选）已知四边形为矩形，平面，连接，，，，，则下列各组向量中，数量积一定为零的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，M为BC中点，△AMD是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 7.如图，已知空间四边形每条边长和对角线长都等于1，，，分别是，，的中点．    (1)求证：； (2)求的长； (3)求异面直线和所成角的余弦值． 8．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且. (1)求证：共面； (2)当为何值时，. 9．已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点. (1)用表示，并求出； (2)求证：. 10．已知空间四边形ABCD中，，，判断AD与BC的位置关系. 11．如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D，E分别是OC，AB的中点，记，，. (1)用向量表示向量； (2)求证. 12．在正方体中，P为上任意一点，则DP与的位置关系是______． 13．已知空间有A，B，C，D四个点，满足，空间中还有四点，满足，求证：． 题型11:利用空间向量的数量积求距离(线段长度) 1.已知，，均为空间单位向量，它们之间的夹角均为，那么（    ） A．2 B． C． D．6 2.如图，在平行六面体中，，，，，E为中点，则AE的长为（    ）    A． B． C． D． 3.如图，二面角的大小为，四边形、都是边长为的正方形，则、两点间的距离是（    ）    A． B． C． D． 4.如图，在棱长为2的正四面体中，、分别为、上的动点（不包含端点），为的中点，则下列结论正确的有（    ） A．的最小值为； B．的最小值为； C．若四棱锥的体积为，则的取值范围是 D．若，则 5．（多选）如图，正方体的棱长为2，线段上有两个不重合的动点E，F，则（    ） A．当时， B． C．AE的最小值为 D．二面角为定值 6．如图，二面角的大小为，四边形、都是边长为的正方形，则、两点间的距离是（    ）    A． B． C． D． 7.已知，，均为空间单位向量，它们之间的夹角均为，那么（    ） A．2 B． C． D．6 8.已知单位向量，，中，，，则（    ） A． B．5 C．6 D． 9.已知平行六面体的各棱长均为1，，，则（    ）      A． B． C． D． 10.如图，在三棱锥中，，，，，为的中点，为的中点，为的重心，与相交于点，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 11.如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点A，O和点C，B，使，.已知，，，则线段OC的长为（    ）    A．6 B．8 C． D． 12．如图已知矩形，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，则B与D之间距离为（    ） A．1 B． C． D． 13．如图，二面角的平面角为，，，，，，，若，则长为（    ） A． B． C．2 D． 14．如图，在平行六面体中，，，，，E为中点，则AE的长为（    ）    A． B． C． D． 15．二面角的平面角为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，，且AB=AC=1，BD=2，则CD的长为（    ） A． B． C． D．2 16．如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 17．如图，二面角的大小为，四边形、都是边长为的正方形，则、两点间的距离是（    ）    A． B． C． D． 18.如图，平行六面体中，，，，，则线段的长为______.    19．如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设．则______________． 20.正四面体的棱长为4，中心为点，则以为球心，1为半径的球面上任意一点与该正四面体各顶点间的距离的平方和：__________. 21．如图，平行六面体中，，，，，则线段的长为______.    22．在平行六面体中，，，，，则的长为_______． 23．如图，已知四棱柱的底面是边长为1的正方形，且，，则______． 24.如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知求的长． 25.在平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱中，求的长度. 26.如图，在平行四边形中，，∠，将它沿对角线折起，使与成角，求间的距离． 27.如图所示，已知平面，则 ．    28.已知向量两两夹角为，且，则 ． 29.在四棱柱中，若底面是边长为1的正方形，，，则四棱柱对角线的长为 ． 30.已知空间向量的夹角为，，则 31.已知平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是，则 . 32.已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则 . 33.如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且,设，，．    (1)试用 表示向量； (2)若，，，求线段的长． 34.己知二面角为，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面内，，且，设：． (1)试用表示，并求线段CD的长； (2)求：异面直线CD与BA所夹角的余弦值． 35.如图，三棱锥各棱的棱长都是点是棱的中点，点在棱上，且，记，，．求的最小值． 36．如图，在平行六面体中，，且， (1)试用表示向量. (2)若，，，求的长. 题型12:投影及投影向量 1.已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2.在棱长为 的正方体 中，向量 在向量 方向上的投影向量的模是______． 3.如图，已知 平面 ， ， ，则向量 在 上的投影向量等于____. 4.在标准正交基下，已知向量 ，，则向量在上的投影为______，在上的投影之积为______． 5.如图，在长方体中，已知，，，分别求向量在、、方向上的投影数量． 6.如图所示，在正六棱柱中，，则向量分别在，方向上的投影向量为 ；向量在方向上的投影数量为 ． 7.如图，在棱长为1的正方体中，向量在向量上的投影向量是 ，向量在直线上的投影向量是 ，向量在平面上的投影向量是 ．    8.已知，向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影为 ． 9.已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为 . 10.已知，为空间单位向量，，则在方向上投影的模为 ． 11.如图，已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，则向量在向量方向上的投影数量的取值范围为 ． 12.已知空间向量，若，则的值为 ． 13.四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为 . 14.已知，向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影为 ． 15．如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为 （用向量来表示）.    16.已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 17.四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 18.在直三棱柱中，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 19.若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（　　） A． B． C． D． 20.《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则（    ）． A． B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量在向量上的投影向量为 21.如图，在三棱锥中，平面，，，． (1)确定在平面上的投影向量，并求； (2)确定在上的投影向量，并求． 22.如图，在三棱锥中，平面，，，． (1)确定在平面上的投影向量，并求； (2)确定在上的投影向量，并求． 23.如图，在三棱锥中，平面，，，． (1)确定在平面上的投影向量，并求； (2)确定在上的投影向量，并求． 题型13:最值与范围问题 1.在三棱锥中，已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.已知正四面体的棱长为6，P是四面体外接球的球面上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4.已知正方体的棱长为2，球是正方体的内切球，点是内切球表面上的一个动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.如图所示，在棱长为1的正方形中，点P是的中点，点M，N是矩形内（包括边界）的任意两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）正四面体中，棱长为．点满足，则的（    ） A．最小值为． B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 8.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面ACD，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9.已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是，则的取值范围为(　　) A． B． C． D． 10．如图，空间四边形的每条边和对角线长都等于，点，，分别是，，的中点，则（       ） A． B． C． D． 11．在三棱锥中，，，，则（       ） A． B． C．1 D． 12．如图，在平行六面体中，，，，则（       ） A．12 B．8 C．6 D．4 13．已知正四面体的棱长为，点，分别是，的中点，则的值为（       ） A． B． C． D． 14．如图，在边长为的正方体中，（       ） A．2 B．1 C． D． 15．已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则（       ） A． B．3 C． D．2 16．已知正四面体的棱长为1，点、分别是、中点，则（       ） A． B． C． D． 17．如图在长方体中，设，，则等于（       ） A．1 B．2 C．3 D． 18.已知，，是空间中两两不同的三个单位向量，且．则的取值范围是__________． 19.已知球的半径为是球的直径，点在球的球面上.若空间中一点与点间的距离为，则的最小值为 . 20.已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的最大值是 ，最小值是 . 21.已知空间三个向量,,的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°．若，则k的取值范围为 ． 22.正四面体的棱长为，空间动点满足，则的取值范围是 . 23.已知球O是棱长为1的正四面体的内切球，AB为球O的一条直径，点P为正四面体表面上的一个动点，则的取值范围为_______________. 24.如图所示，四边形ABCD是矩形，，AB=4，EF=2，和都是边长为2的等边三角形，G是AD上一动点，求FG的长度的范围． 25.已知球内切于正四面体且正四面体的棱长为2线段是球的一条动直径(是直径的两端点)，点是正四面体的表面上的一个动点，则的最大值是　 　． 26.已知球是棱长为的正八面体(八个面都是全等的等边三角形)的内切球，为球的一条直径，点为正八面体表面上的一个动点，则的取值范围是　　． 27.如图，在三棱锥中，已知，，设，，，则的最小值为　 　． 巩 固 提 升 一、单选题 1．如图，在正三棱台中，，为中点，为中点，设，，，则可用，，表示为（    ） A． B． C． D． 2．如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 3．已知，（，，为两两互相垂直的单位向量），若，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在三棱锥中，设，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，是相互垂直的单位向量，则＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知四面体，是的中点，连接，则＝（ ） A． B． C． D． 7．在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（    ） A． B． C． D．6 8．正方体的棱长为1，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 二、多选题 9．已知构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．已知，，是平面上的三个非零向量，那么下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则与的夹角为 D．在正方体中， 11．如图，正方体的边长为为的中点，动点在正方形内（包含边界）运动，且.下列结论正确的是（   ） A．动点的轨迹长度为； B．异面直线与所成角的正切值为2； C．的最大值为2； D．三棱锥的外接球表面积为. 三、填空题 12．已知向量的夹角的余弦值为，则 13．在四面体 中，分别为的中点，则 14．如图所示，在四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形，且，，若异面直线和所成的角的大小是，则的长度是 . 四、解答题 15．如图，在平行六面体中，，，，，，求： (1)； (2)的长. 16．如图，在空间四边形ABCD中，，，，，. (1)求； (2)求CD的长. 17．如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足. (1)用向量表示； (2)求. 18．如图，平行六面体的底面是菱形，且，，． (1)求的长． (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 19．如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．        (1)求； (2)求的长． 20．如图，在长方形中，为中点，.以为折痕将四边形折起，使，分别达到，，当异面直线，成角为时，异面直线，成角余弦值为（    ） A． B． C． D． 21．(多选)在正方体中，下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D．正方体的体积为 22.（多选）如图，二面角的大小为，其棱l上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若则两点间的距离为 ．    23．平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，且，为中点，为中点，设，，.    (1)用向量，，表示向量； (2)求线段的长度． 24．如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$