第05讲 空间向量与立体几何解答题归纳讲义(13题型)-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第05讲 空间向量与立体几何解答题 全归纳思 维 导 图 学 习 目 标 1.理解空间向量的概念、运算（包括线性运算、数量积）及运算律，明确空间向量在立体几何中的作用，如用向量描述空间中点、线、面的位置关系。掌握空间直角坐标系的建立方法，能根据几何体特点合理建立坐标系，将空间中的点、向量用坐标表示。熟悉空间中直线的方向向量和平面的法向量的定义及求法，理解它们与线、面位置关系的联系。 2.能运用空间向量的数量积解决空间中两条直线的夹角问题，包括计算异面直线所成角的大小。会利用直线的方向向量和平面的法向量，求解直线与平面所成的角以及二面角的大小，掌握相关公式和计算步骤。能够运用空间向量判断空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直关系，将几何位置关系转化为向量运算问题。熟练运用空间向量解决立体几何中的距离问题，如点到平面的距离等。 3. 培养空间想象能力，在运用空间向量解决立体几何问题时，能结合几何体的直观图理解向量关系。提升转化与化归的思维能力，将立体几何中抽象的位置关系和度量问题转化为具体的向量运算问题，体会向量法的优越性。 4.能综合运用空间向量知识解决复杂的立体几何解答题，包括含动态元素或多面体的问题，规范书写解题步骤，确保逻辑严谨。结合实际问题情境（如空间几何体的度量、位置设计等），运用空间向量知识进行分析和求解，增强知识的实际应用意识。 题 型 归 纳 题型01：异面直线所成角 1.如图，直三棱柱中，，，是棱的中点， (1)求异面直线所成角的余弦值； (2)求二面角的余弦值． 2.如图，在直三棱柱中，，. (1)求证：平面； (2)求直线与所成角的余弦值. 3.如图，在直三棱柱中，侧面侧面分别为的中点，； (1)求证：直线面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 4.如图所示，已知空间四边形的各边和对角线的长都等于，点、分别是、的中点。 (1)求证：，； (2)求的长； (3)求异面直线与夹角的余弦值。 5.如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且是等边三角形，. (1)求证：平面； (2)若是等腰三角形，求异面直线与所成角的余弦值. 6.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，，，，，是棱的中点． (1)求证：面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得直线和平面所成角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 7.如图，圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，是底面圆周上一点，. (1)求的值； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 题型02：直线与平面所成角 1.在三棱柱中，，，，，为中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 2.如图，平行六面体的体积为6，截面的面积为6．    (1)求点到平面的距离； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 3.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧棱底面，.点是棱的中点，点为棱上的一点，且. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 4.如图，在四棱锥中，底面是矩形，，分别是，的中点． (1)证明：平面； (2)若是边长为的等边三角形，，平面平面，求直线与平面所成角的正弦值． 5.在四棱锥中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，，直线PA与底面ABCD成角，点M，N分别是PA，PB的中点. (1)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值； (2)求二面角的大小的余弦值. 6.如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，，，，，，    (1)求证：平面⊥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 7.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且平面，，，分别是，的中点，是上一点，且.    (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的余弦值. 8.如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，，，且.    (1)记线段的中点为，在平面内过点作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 9.如图，在底面为正方形的四棱台中，已知，，，A到平面的距离为.    (1)求到平面的距离； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 10.四边形ABCD是平行四边形，，四边形ABEF是梯形，，且，，，平面平面． (1)求证：； (2)求直线EC与平面EFD所成角的正弦值． 11.在直角梯形中，，A为线段的中点，四边形为正方形．将四边形沿折叠，使得，得到如图（2）所示的几何体． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)当F为线段的中点时，求二面角的余弦值． 12.如图，在梯形ABCD中，已知AB＝4，AD＝DC＝BC＝2，M为AB的中点.将沿DM翻折至，连接PC，PB． (1)证明：DM⊥PC. (2)若二面角P－DM－C的大小为60°，求PB与平面ABCD所成角的正弦值. 13.如图，为圆锥的顶点，A，为底面圆上两点，，为中点，点在线段上，且.    (1)证明：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 题型03：二面角 1.如图，在三棱柱中，，．    (1)证明：； (2)若，，，求二面角的余弦值． 2．如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，，.    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 3.如图，直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值． 4.如图，在三棱锥中，平面ABC，，，M是PA的中点. (1)证明：； (2)若，求平面PBC与平面BCM所成角的大小. 5.如图，在三棱锥中，，平面，，. (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面的夹角大小. 6.如图，在三棱锥中，侧面为等边三角形，，，平面平面，为的中点. (1)求证：； (2)若，求二面角的大小. 7.如图，在四棱锥中，平面ABCD，M，N分别为PB，PD的中点，底面ABCD为正方形，且． (1)若，证明：平面AMN． (2)若平面MNA与底面ABCD所成锐二面角的大小为45°，求PC的长． 8.如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为菱形，．    (1)若四棱锥的体积为1，求的长； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值． 9.如图，在多面体中，四边形是菱形，且有，，，平面，．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 10.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，点E为PC的中点，AB∥CD，CD⊥AD，CD＝2AB＝2，PA＝AD＝1，PA⊥AD． (1)证明：BE⊥平面PCD； (2)求二面角P−BD−E的余弦值． 11.如图，在四棱锥中，底面，E､分别为棱的中点 (1)作出平面与平面BFE的交线，并说明理由. (2)求二面角的余弦值. 12.如图，在四棱锥中，∥,，,为边的中点，异面直线与所成的角为90°． (1)在直线上找一点，使得直线平面PBE，并求的值； (2)若直线CD到平面PBE的距离为，求平面PBE与平面PBC夹角的余弦值． 13.如图，OP为圆锥的高，AB为底面圆O的直径，C为圆O上一点，并且，E为劣弧上的一点，且，. (1)若E为劣弧的中点，求证：平面POE； (2)若E为劣弧的三等分点（靠近点），求平面PEO与平面PEB的夹角的余弦值. 14.如图，平面五边形由等边三角形与直角梯形组成，其中，，，，将沿折起，使点到达点的位置，且.    (1)当时，证明并求四棱锥的体积； (2)已知点为棱上靠近点的三等分点，当时，求平面与平面夹角的余弦值. 15.如图是一个四棱柱被一个平面所截的几何体，底面是正方形，是的中点，，，． (1)证明：； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值． 16.如图，点O是正方形ABCD的中心，，，，． (1)证明：平面ABCD； (2)若直线OE与平面ABCD所成角的正弦值为，求二面角的余弦值． 17.已知底面ABCD为菱形的直四棱柱，被平面AEFG所截几何体如图所示. (1)若，求证：； (2)若，，三棱锥GACD的体积为，直线AF与底面ABCD所成角的正切值为，求锐二面角的余弦值. 题型04：空间长度 1.如图，在四棱锥中，，，点在上，且． (1)点在线段上，且平面，证明：为线段的中点； (2)若平面与平面所成的角的余弦值为，求的长度． 2.如图，在正三棱柱中，，，点为的中点，点为上一点.    (1)若平面平面直线，求证：； (2)当平面平面时，求CP的长度. 3.在三棱锥中，，，，异面直线与所成角为60°，点分别是线段的中点.    (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 4.如图，在三棱锥中，平面分别是的中点．    (1)求证：平面平面； (2)若，三棱锥的体积为，且，求的长度． 题型05：空间几何体的表面积和体积 1.如图，在三棱锥中，已知为锐角三角形，平面平面，，点是的中点． (1)求证：； (2)若，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积． 2.如图，在四面体ABCD中，是正三角形，是直角三角形，，．    (1)证明：平面平面； (2)若二面角的正切值为，求四面体与四面体的体积之比． 3.如图，在三棱台中，平面平面，，，. (1)证明：； (2)当直线与平面所成的角最大时，求三棱台的体积. 4.如图1，在高为6的等腰梯形中，，且，将它沿对称轴折起，使平面平面，如图2，点为的中点，点在线段上（不同于两点），连接并延长至点，使.    (1)证明：平面； (2)若，求三棱锥 的体积． 5.在三棱台中，为中点，，，．    (1)求证：平面； (2)若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积． 6.四棱锥中，，，，，，点是棱上靠近点的三等分点． (1)证明：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求四棱锥的体积． 题型06：空间的距离 1.如图所示，在直三棱柱中，，，，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 2.如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，O为BD的中点.    (1)证明：. (2)若是等腰直角三角形，，，点E在棱AD上（与A，D不重合），若二面角的大小为，求点D到面BCE的距离. 3.如图，三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点P，Q分别在上，且． (1)求证：平面； (2)当点P是边的中点时，求点到直线的距离． 4.如图，已知三棱锥中，，，平面平面ABC，，，.    (1)求点到平面的距离； (2)若为AC的中点，求PQ与平面所成角的正弦值. 5.如图，在四棱锥中，平面平面， ，，，. (1)证明：是等腰三角形. (2)若平面平面，求点到平面的距离. 6.如图，在四棱锥中，平面，是线段上的动点. (1)当是线段中点时，求证： 平面； (2)设是的中点，当二面角的余弦值为时，求点到平面的距离. 7.如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，，，点为棱的中点. （1）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由； （2）若，二面角的余弦值为时，求点到平面的距离. 8.如图，四棱台中，底面是边长为4的菱形，，． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)若该四棱台的体积等于，且，求直线到平面的距离． 9.在如图所示的圆锥中，已知为圆锥的顶点，为底面的圆心，其母线长为6，边长为的等边内接于圆锥底面，且.      (1)证明：平面平面； (2)若为中点，射线与底面圆周交于点，当二面角的余弦值为时，求点到平面的距离. 10.在多面体中，四边形是边长为4的正方形，，△ABC是正三角形．    (1)若为AB的中点，求证：直线平面； (2)若点在棱上且，求点C到平面的距离． 11.如图，圆锥是由直角旋转而成，母线，底面圆的半径为1，D是AB的中点，为底面圆上的一点且， (1)求点到平面ABC的距离； (2)求直线CD与平面AOB所成的角的正弦值； (3)求点O到直线CD的距离， 12.如图，已知四棱柱中，四棱锥是正四棱锥，，，分别为的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)若平面经过且与平行，求点到平面的距离． 13.在矩形ABCD中，，点E是线段AD的中点，将△ABE沿BE折起到△PBE位置（如图），点F是线段CP的中点． (1)求证：DF∥平面PBE： (2)若二面角的大小为，求点A到平面PCD的距离． 题型07：空间截面问题 1.如图，已知在正三棱柱中，，且点分别为棱的中点.    (1)过点作三棱柱截面交于点，求线段长度； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 2.如图（1），正方形的边长为，是的中点，点在边上且.将沿折起到图（2）中的位置，使得平面平面. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)如图（2），点在线段上，过点、的平面截四棱锥所得的截面是一个直角三角形，在图中画出这个直角三角形.（请在答题卡指定位置作图，不必说明画法和理由） 3.如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，分别为的中点. (1)在答题卡的图中作出平面截四棱锥所得的截面，写出作法（不需说明理由）； (2)若底面，平面与交于点，求异面直线与所成角的余弦值. 4.已知，四棱锥的底面是菱形，平面，，，点在上，且． (1)过点作截面，使其与均平行，求该截面的面积； (2)求二面角的正弦值． 题型08：翻折问题 1．如图，在平行四边形中，为的中点，沿将翻折至位置得到四棱锥为上一动点.    (1)若为的中点，证明：在翻折过程中均有平面； (2)若，①证明：平面平面； ②记四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，若，求点到平面的距离. 2.如图，在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将翻折成，使平面平面. (1)证明：； (2)求二面角的余弦值； (3)点，分别在线段、上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长. 3.如图1，菱形的边长为4，，是的中点，将沿着翻折，使点到点处，连接，得到如图2所示的四棱锥. (1)证明：； (2)当时，求平面与平面的夹角的正弦值. 4.在平面四边形中，，，，将沿翻折至，得到如图所示的三棱锥． (1)证明：； (2)当三棱锥的体积为12时，求二面角的余弦值． 5.如图（1），在等腰梯形ABCD中，M，N分别是AD，AE的中点，，，将沿着DE折起，使得点A到达点P的位置，平面PDE⊥平面BCDE，如图（2）．    (1)若平面MNF，求的值； (2)若，平面DEQ⊥平面MNF，求的值； (3)若平面MNF与平面BCDE所成角的余弦值为，求的值； (4)若点C到平面MNF的距离为，求的值． 6.图①是直角梯形，，，四边形是边长为的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且.    (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由. 7.如图，在中，，，，E为AB中点，过点E作ED垂直AC于D，将沿ED翻折，使得面面，点M是棱AC上一点，且面．    (1)求的值； (2)求二面角的余弦值． 8.图1是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中，，.将其沿，折起使得与重合，连接，如图2.    (1)证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面； (2)求图2中与平面所成角的正弦值. 9.如图1，在四边形中，，为上一点，，，，将四边形沿折起，使得二面角的大小为，连接，，得到如图2．    (1)证明：平面平面； (2)点是线段上一点，设，且二面角为，求的值． 题型09：探索问题 1． 动点的设法 1.如图，在正四棱锥P－ABCD中，AC，BD交于点O，，． (1)求二面角的大小； (2)在线段AD上是否存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为？若存在，指出点Q的位置；若不存在，说明理由． 2.如图，已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面，矩形SADE的对角线交于点F，G为SB的中点，，. (1)求证：平面AEG； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段EG上是否存在一点H，使得BH与平面SCD所成角的大小为？若存在，求出GH的长；若不存在，说明理由. 3.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，，，且，，点E为棱PC的动点. (1)当点E是棱PC的中点时，求直线BE与平面PBD所成角的正弦值； (2)若E为棱PC上任一点，满足，求二面角P-AB-E的余弦值. 2． 异面直线成角的探索问题 1.如图1，在中，，分别为，的中点，，.将沿折起到的位置，使得，如图2. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 2.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，. (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)棱上是否存在点，它与点到平面的距离相等，若存在，求线段的长；若不存在，说明理由. 3． 直线和平面成角的探索问题 1.如图，正三棱柱中，，点为的中点. (1)证明：平面平面 (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 2.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，，，，，是棱的中点． (1)求证：面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得直线和平面所成角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 3.已知直角三角形ABC中，D、E分别是AC、BC边中点，将△CDE和△BAE分别沿着DE，AE翻折，形成三棱锥，M是AD中点．    (1)证明：PM⊥平面ADE； (2)若直线PM上存在一点Q，使得QE与平面PAE所成角的正弦值为，求QM的值． 4.如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点，为的中 点，，.    (1)求证：平面. (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出 的长：若不存在，说明理由． 5.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点.    (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 6.如图（1），在正三角形中，分别为中点，将沿折起，使二面角为直二面角，如图（2），连接，过点E作平面与平面平行，分别交于. (1)证明：平面； (2)点H在线段上运动，当与平面所成角的正弦值为时，求的值. 7.如图，在多面体中，四边形和四边形均是等腰梯形，底面为矩形，与的交点为，平面，且与底面的距离为， (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为．若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 8.如图，四棱锥的底面为菱形，，，底面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，G是线段PC上的一点． (1)若，证明直线AG在平面AEF内； (2)若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为，试确定的值． 4． 二面角的探索问题 1.在长方体中，，点P为棱上任意一点.    (1)求证：平面⊥平面； (2)若点E为棱上靠近点C的三等分点，求点P在棱上什么位置时，平面与平面夹角的余弦值为. 2.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形ABB1A1为正方形，四边形AA1C1C为菱形，且∠AA1C＝60°，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，点D为棱BB1的中点． (1)求证：AA1⊥CD； (2)棱B1C1（除两端点外）上是否存在点M，使得二面角B－A1M－B1的余弦值为？若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由． 3.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD为矩形，，AB=2，，平面，，，E是SA的中点． (1)求直线EF与平面SCD所成角的正弦值； (2)在直线SC上是否存在点M，使得平面MEF平面SCD？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由． 4.如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得点为的中点，连接，如图乙. (1)求证：； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若不存在，说明理由；若存在，求出的长度. 5.如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，，． (1)证明：平面； (2)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由． 6.如图，已知直角梯形与，，，，AD⊥AB，，G是线段上一点. (1)平面⊥平面ABF (2)若平面⊥平面，设平面与平面所成角为，是否存在点G，使得，若存在确定G点位置；若不存在，请说明理由. 7.已知和所在的平面互相垂直，，，，，是线段的中点，. (1)求证：； (2)设，在线段上是否存在点（异于点），使得二面角的大小为. 8.如图，已知多面体EACBD中，EB⊥底面ACBD，EB=1，AB=2，其中底面由以AB为直径的半圆ACB及正三角形ABD组成    (1)若BC=1，求证:BC∥平面ADE. (2)半圆AB上是否存在点M，使得二面角是直二面角?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 9.如图（1），平面四边形由正三角形和等腰直角三角形组成，其中，．现将三角形绕着所在直线翻折到三角形位置（如图（2）），且满足平面平面．    (1)证明：平面； (2)若点满足，当平面与平面夹角的余弦值为时，求的值． 10.如图（1）所示的四边形中，，，，，沿将进行翻折，使得，得到如图（2）所示的四棱锥.四棱锥的体积为，点为线段上的动点（与端点，不重合）. (1)求证：平面； (2)探求是否存在大小为的二面角.如果存在，求出此时线段的长度；若不存在，请说明理由. 11.如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，点为母线的中点，为上一点，且平面，． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)在线段上是否存在一点，使得二面角为直二面角？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 题型10：空间动点最值和取值范围 一．直线和平面所成角最值和取值范围 1.如图，在长方体中，底面是边长为1的正方形，侧棱长为2，且动点P在线段AC上运动． (1)若Q为的中点，求点Q到平面的距离； (2)设直线与平面所成角为，求的取值范围． 2.如图，四棱锥中，，，平面平面.    (1)证明：平面平面； (2)若，，，与平面所成的角为，求的最大值. 3．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，点在棱上，且，点是棱上的动点（不含端点）. (1)若是棱的中点，求的余弦值； (2)求与平面所成角的正弦值的最大值. 4．已知体积为1的四面体，其四个面均为全等的等腰三角形. (1)求四面体的外接球表面积的最小值； (2)若，的面积为，设点为线段（含端点）上一动点，求直线与面所成角的正弦值的取值范围. 5.已知四棱锥的底面为正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，，平面平面ABCD，平面平面． (1)求证：平面PAD； (2)设M为l上一点，求PC与平面MAD所成角正弦值的最小值． 6.如图，三棱台中，，D是AC的中点，E是棱BC上的动点．    (1)若平面，确定的位置. (2)已知平面ABC，且．设直线与平面所成的角为，试在（1）的条件下，求的最大值． 7.如图，在六面体中，是等边三角形，二面角的平面角为30°，. (1)证明：； (2)若点E为线段BD上一动点，求直线CE与平面所成角的正切的最大值. 8.如图，在梯形ABCD中，，点M在边AD上，，，以CM为折痕将翻折到的位置，使得点S在平面ABCD内的射影恰为线段CD的中点．    (1)求四棱锥体积： (2)若点P为线段SB上的动点，求直线CP与平面MBS所成角的正弦值的最大值． 二面角的最值和取值范围 1.已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点，. (1)证明：； (2)求当面与面所成的二面角的正弦值最小时，三棱锥的体积. 2.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，分别在棱，上．    (1)当为棱中点时，求证：； (2)当为棱中点时，求平面与平面所成的二面角余弦值的最大值． 3.如图1，在等边中，点，分别为边，上的动点，且满足，记.将沿翻折到位置，使得平面平面，连接，得到图2，点为的中点.    (1)当平面时，求的值； (2)试探究：随着值的变化，二面角的大小是否为定值？如果是，请求出二面角的正弦值；如果不是，请求出二面角的余弦值的取值范围. 4.如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，点E是线段AD的中点，点F在线段AP上且满足，面ABCD. (1)当时，证明：//平面； (2)当为何值时，平面BFE与平面PBD所成的二面角的正弦值最小？ 5.如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥． (1)求四棱锥的体积的最大值； (2)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 6.某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱，其底面边长为4，高为1，工作台的上半部分是一个底面半径为的圆柱体的四分之一，点为圆弧（包括端点）上的动点． (1)若平面时，求点与的最短距离． (2)若，当点在圆弧（包括端点）上移动时，求平面与平面所成的锐二面角的正切值的取值范围． 题型11：空间动点轨迹 1.如图，在直三棱柱中，是侧面内的动点（包括边界），D为的中点，． (1)求证：点E的轨迹为线段； (2)求平面与平面夹角的大小． 2.在三棱锥中，平面，，点在平面内，且满足平面平面垂直于． (1)当时，求点的轨迹长度； (2)当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积． 3.如图所示，四边形为直角梯形，且，，，，．为等边三角形，平面平面．    (1)线段上是否存在一点，使得平面，若存在，请说明点的位置；若不存在，请说明理由； (2)空间中有一动点，满足，且．求点的轨迹长度． 4.如图，四面体的每条棱长都等于2，分别是棱的中点，分别为面，面，面的重心. (1)求证：面面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)保持点位置不变，在内（包括边界）拖动点，使直线与平面平行，求点轨迹长度； 题型12：不好建系的处理 1.如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为a，，平行于和的平面分别与交于四点． (1)证明：四边形是矩形； (2)求三棱锥的体积（用含a的式子表示）； (3)当实数a变化时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 2.如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，分别为的中点，为上一点，过和的平面交于，交于． （1）证明：平面； （2）设为的中心，若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值． 3.《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥中，平面.    （1）从三棱锥中选择合适的两条棱填空：________________，则三棱锥为“鳖臑”； （2）如图，已知，垂足为，，垂足为，. （i）证明：平面平面； （ii）设平面与平面交线为，若，，求二面角的大小. 4．四面体，． (1)求的面积； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求四面体的外接球半径． 题型12：空间向量与立体几何新定义 1.空间中，我们将至少两条坐标轴不垂直的坐标系称为“空间斜坐标系”．类比空间直角坐标系，分别为“空间斜坐标系”中三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．如图，在平行六面体中，，，，．以为基底建立“空间斜坐标系”． (1)若点在平面内，且平面，求的斜坐标； (2)若的斜坐标为，求平面与平面的夹角的余弦值． 2.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与P相邻的顶点，且平面…平面和平面为多面体M的所有以P为顶点的面．现给出如图所示的三棱锥． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若PA⊥平面ABC，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度 3.三余弦定理：设A为平面内一点，过点A的斜线在平面上的正投影为直线．为平面内的一条直线，记斜线与直线的夹角（即直线与平面所成角）为，直线与直线的夹角为，直线与直线的夹角为，则．三余弦定理描述了线面角是斜线与平面内任意直线所成角的最小值，又称最小角定理． (1)证明三余弦定理； (2)如图，已知三棱柱，为正三角形，，求直线与底面所成角的正弦值； (3)已知平行六面体，记为平行六面体体积，为平行六面体表面积，为平行六面体棱长总和，求证：． 4．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为.、、为球面上三点，劣弧的弧长记为，设，表示以为圆心，且过、的圆，同理，圆，的劣弧、的弧长分别记为、，曲面（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为、、，则球面三角形的面积为. (1)若平面、平面、平面两两垂直，求球面三角形的面积； (2)若平面三角形为直角三角形，，设，，.则： ①求证： ②延长与球交于点.若直线，与平面所成的角分别为，，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值，及此时平面截球的面积. 5.蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥，，，再分别以，，为轴将，，分别向上翻转，使，，三点重合为点所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为. (1)求蜂房曲顶空间的弯曲度； (2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设 （i）用表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积； （ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点的曲率的余弦值. 6.已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为上一点，. (1)求的长； (2)若为的中点，求二面角的余弦值； (3)若为上一点，且满足，求. 7.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与P相邻的顶点，且平面…平面和平面为多面体M的所有以P为顶点的面．现给出如图所示的三棱锥． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若PA⊥平面ABC，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度 8.我们规定：在四面体中，取其异面的两条棱的中点连线称为的一条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”.    (1)如左图，在四面体中，分别为所在棱的中点，证明：的三条内棱交于一点. (2)同左图，若为垂棱四面体，，求直线与平面所成角的正弦值. (3)如右图，在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，为其下焦点，经过的直线与交于两点，为平面下方一点，若为垂棱四面体，则其外接球表面积是的函数，求的定义域与最小值. 9．已知正方体的棱长为1． (1)证明：平面； (2)已知点为平面内一动点，且与所成角为，求线段所形成的曲面面积S； (3)在棱上分别取点（均不与端点重合），二面角，分别记为，求的取值范围． 10．如图，在空间直角坐标系中，点分别在轴上（点异于点），且. (1)当（表示面积）取得最大值时，求点到平面的距离. (2)若，动点在线段上（含端点），探究：是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. (3)记平面与平面、平面、平面的夹角分别为，比较与1的大小关系，并说明理由. 11．如图，半径为2的半球面O，底面设为，AB是半球面O的直径，点C在半球面上，且，平面平面. 过点C的平面与半球面O相交形成圆S，CD为圆S的一条直径，且D在平面ABC上，且平面与的夹角为，点C，D均在平面的同侧，记，. (1)求证：平面； (2)点P在圆S上，设，. 且，Q在平面上. （i）用表示PQ的长； （ii）当DQ与平面ABC所成角最大时，求. 12．球面几何学是非欧几何的例子，是在球表面上的几何学.对于半径为的球，过球面上一点作两条大圆的弧，，它们构成的图形叫做球面角，记作（或），其值为二面角的大小，其中点称为球面角的顶点，大圆弧称为球面角的边.不在同一大圆上的三点，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧，这三条劣弧组成的图形称为球面，这三条劣弧称为球面的边，三点称为球面的顶点；三个球面角称为球面的三个内角. 已知球心为的单位球面上有不同在一个大圆上的三点. (1)球面的三条边相等（称为等边球面三角形），若，请直接写出球面的内角和（无需证明）； (2)与二面角类比，我们称从点出发的三条射线组成的图形为三面角，记为.其中点称为三面角的顶点，称为它的棱，称为它的面角.若三面角的三个面角的余弦值分别为. ①求球面的三个内角的余弦值； ②求球面的面积. 13．我国南北朝数学家祖暅于5世纪末提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”.这就是“祖暅原理”，意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. (1)如图1，左边是半径为R的半球，右边是底面半径和高都等于R的圆柱，它们的底面在同一个平面上，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到的一个新几何体，现在用平行于平面的平面去截半球和新几何体，得到如图所示两个阴影面，设底面圆心O到截面的距离为d，分别求图中的两个阴影面积及新几何体的体积. (2)如图2，一个球体被平面截下的部分叫做球缺.截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高.根据祖暅原理，推导半径为R，高为H的球缺的体积公式. (3)若正方体棱长为，求该正方体与以A为球心，2为半径的球的公共部分的体积. 14．平面内有椭圆与点，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，椭圆的焦距为，且，过点M的直线交椭圆于两点，直线交轴于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求直线斜率的取值范围； (3)将平面沿轴翻折成大小为的二面角，若，求直线与平面所成角的正弦值. 15．已知椭圆 的上顶点为 ，且过点 .    (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为 的直线 与椭圆交于 、 两点（直线 斜率为正），直线 、 （若 、 重合， 直线 即为椭圆 在 点处的切线） 分别与 轴交于 两点， 为 中点. （i） 求 的最大值; （ii）当 最大时，将坐标平面沿 轴折成二面角 ，在二面角 大小变化过程中，求三棱锥 外接球表面积取得最小值时三棱锥 的内切球的半径. 16．若简单多面体可以被分割成个完全相同的小多面体，则称该简单多面体为“等和多面体”，其中分别表示简单多面体的顶点数、棱数、面数.记每个小多面体的顶点数、棱数、面数分别为，，，，（为与分割方式有关的正整数）. (1)已知长方体是“等和多面体”，按分割方式：过长方体共顶点的三条棱的中点，各作一个与该棱垂直的平面，将长方体分割成若干个完全相同的小长方体，求该分割方式下的值； (2)判断正四面体是否为“等和多面体”.若是，请先描述一种分割方式，再求出该分割方式下的值；若不是，请说明理由； (3)若简单多面体是“等和多面体”，求分割后小多面体的个数与的等量关系. 参考公式：多面体欧拉定理可表示为“顶点数棱数面数”，即. 17．在空间直角坐标系中，已知向量，点.若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为. (1)若平面，平面，直线为平面和平面的交线，求直线的单位方向向量（写出一个即可）； (2)若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为、、，其中平面经过点，点，点，平面，平面，求出点到平面的距离； (3)已知集合，，.记集合中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，集合中所有点构成的几何体为. （ⅰ）求和的值； （ⅱ）求几何体的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值. 18．在空间直角坐标系中，已知向量，点.若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为. (1)若平面，直线的方向向量为，求直线与平面所角的正弦值； (2)已知集合，记集合中所有点构成的几何体体积为，集合，记集合中所有点构成的几何体为，求的值及几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值. 18.若在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，且过点，直线的方向向量为，且过点，则与方向向量的叉积为与的混合积为．若，则与共面；若，则与异面．已知直线的一个方向向量为，且过点，直线的一个方向向量为，且过点． (1)证明：与是异面直线． (2)若点，求的长的最小值． (3)若为坐标原点，直线，求的坐标． 19．炎炎夏日，上学路上若有一支冰淇淋该多么美妙啊！小明同学酷爱甜筒冰淇淋（图1），他想动手做一个甜筒模型（图2），若根据设计稿已知为直角三角形，四边形为直角梯形，，，曲线是以为圆心的四分之一圆弧，，，，，将平面图形旋转一周得到小明设计的甜筒． (1)求该甜筒的体积； (2)小明准备将矩形旋转所形成的几何体都用来盛装冰淇淋（如图2所示），该矩形内接于图形，在弧上（不与端点重合），点在线段上，与所在的直线重合，设，求： ①盛装冰淇淋容器的体积；（用表示） ②炎热的天气下，若冰淇淋融化的时间与盛装的体积满足关系，请计算这个冰淇淋完全融化需要的最长时间． (3)小明想给甜筒一些新的装饰，如果修改后的甜筒俯视图如图3所示，且通过拼装后可以变成一个正四棱锥（即俯视图可以看作一个正四棱锥的展开图），我们记侧棱的长为1，，正四棱锥的表面积记作，体积记作．求（将其表示为的形式，其中为常数）． 20．阅读下列材料，回答问题： 如图，在空间直角坐标系中，过原点与轴成角的直线绕轴一周，生成以为顶点轴为对称轴的两个圆锥形的几何体，不经过原点与轴成角的平面截几何体的表面得到的截口曲线称为圆锥曲线.    当时，平面截几何体的表面得到的截口曲线在一个圆锥上，以下证明它是椭圆：如图，在该圆锥内放置两球和，使它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切，切点分别形成圆和圆）且与平面相切（位于平面上下两侧），切点分别为和，在截口曲线上任取一点P，作直线交圆于点，连接和，因为和都是大球的切线段，所以，同理，所以，因为两球外离，和分别是两球的内外公切线段，都为定值且，所以此时平面截圆锥得到的圆锥曲线满足椭圆定义，应为椭圆.依据上述材料所述，请回答：    (1)当时，对应的圆锥曲线是什么曲线？（直接回答不必证明） (2)当，对应的圆锥曲线是什么曲线？并根据所给图形利用材料所提供的思路进行证明；    (3)如图，将等边绕边旋转至，并且使二面角为直二面角，动点在平面上并且，判断动点的轨迹，并求其离心率.    2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 空间向量与立体几何解答题 全归纳思 维 导 图 学 习 目 标 1.理解空间向量的概念、运算（包括线性运算、数量积）及运算律，明确空间向量在立体几何中的作用，如用向量描述空间中点、线、面的位置关系。掌握空间直角坐标系的建立方法，能根据几何体特点合理建立坐标系，将空间中的点、向量用坐标表示。熟悉空间中直线的方向向量和平面的法向量的定义及求法，理解它们与线、面位置关系的联系。 2.能运用空间向量的数量积解决空间中两条直线的夹角问题，包括计算异面直线所成角的大小。会利用直线的方向向量和平面的法向量，求解直线与平面所成的角以及二面角的大小，掌握相关公式和计算步骤。能够运用空间向量判断空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直关系，将几何位置关系转化为向量运算问题。熟练运用空间向量解决立体几何中的距离问题，如点到平面的距离等。 3. 培养空间想象能力，在运用空间向量解决立体几何问题时，能结合几何体的直观图理解向量关系。提升转化与化归的思维能力，将立体几何中抽象的位置关系和度量问题转化为具体的向量运算问题，体会向量法的优越性。 4.能综合运用空间向量知识解决复杂的立体几何解答题，包括含动态元素或多面体的问题，规范书写解题步骤，确保逻辑严谨。结合实际问题情境（如空间几何体的度量、位置设计等），运用空间向量知识进行分析和求解，增强知识的实际应用意识。 题 型 归 纳 题型01：异面直线所成角 1.如图，直三棱柱中，，，是棱的中点， (1)求异面直线所成角的余弦值； (2)求二面角的余弦值． 【解题思路】(1)建立空间直角坐标系,求出相关各点的坐标,求出,利用向量的夹角公式求得答案; (2)求出平面平面和平面的一个法向量,利用向量夹角公式求得答案. 【解题过程】(1)以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系, 则, , 所以， 所以直线所成角的余弦值为； (2)设为平面的一个法向量， , 则 ， ， 同理, 则, 可取平面的一个法向量为， 则, 由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为 . 2.如图，在直三棱柱中，，. (1)求证：平面； (2)求直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由题知面，又面，所以， 又，，面，所以面， 又面，所以， 又，所以四边形是正方形，得到， 又，面，所以平面. （2）如图，建立空间直角坐标系，因为， 则，， 得到，， 设直线与所成角为，则， 所以直线与所成角的余弦值为. 3.如图，在直三棱柱中，侧面侧面分别为的中点，； (1)求证：直线面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【解题思路】（1）证明平行四边形得线线平行，进而根据线面平行的判定定理即可证明.（2）根据空间直角坐标系根据向量的夹角求线线角. 【解题过程】(1)证明：取的中点P，连 因为分别为的中点，所以 且，又在直三棱柱中， 且，所以且 . 所以四边形为平行四边形，所以 因为平面平面， 所以直线平面； (2)解：在直三棱柱中平面，所以，又侧面侧面，平面平面，所以平面，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意可知，所以； 所以． 所以异面直线MC1与BN所成角的余弦值为． 4.如图所示，已知空间四边形的各边和对角线的长都等于，点、分别是、的中点。 (1)求证：，； (2)求的长； (3)求异面直线与夹角的余弦值。 【解析】(1)由题意可知三棱锥为正四面体， 过做底面的垂线，垂足为，连接，则在上， 过做直线，分别交、于、两点， 则、、相互垂足，以为原点，为轴，为轴，为轴，建系， 则，，，，， ，， 则，，， ， ，∴，； (2)； (3)，， ， 从而异面直线与夹角的余弦值为。 5.如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且是等边三角形，. (1)求证：平面； (2)若是等腰三角形，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）因为底面是平行四边形，且是等边三角形， 所以四边形是菱形，则有， 又平面，平面，所以， 又，平面，平面，所以平面； （2）设， ∵是等腰三角形， ∴，， 以O为坐标原点，射线，分别为x轴，y轴的正半轴建立空间直角坐标系， 如图， 则，，，， 所以，， 设与所成角为， 所以， 即与所成角的余弦值为. 6.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，，，，，是棱的中点． (1)求证：面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得直线和平面所成角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，, , ，且平面平面 （2）由（1）得，， 异面直线与所成角的余弦值为． （3）由（1）得，,． 设平面的法向量， 由得，， 令，则， 设， ． 整理得，，解得或存在点或． 7.如图，圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，是底面圆周上一点，. (1)求的值； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）中，，，， 根据余弦定理，. （2）如图，以点为原点，为轴和轴， 过点作为轴，建立空间直角坐标系， ，，，， ,， 设异面直线与所成角为， 则 所以异面直线与所成角的余弦值为. 题型02：直线与平面所成角 1.在三棱柱中，，，，，为中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）连接， 因为，为中点，所以， 因为，所以，所以， 又，所以，所以， 又，平面，所以平面； （2）以为坐标原点，所在直线为， 过作的平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又，所以， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 2.如图，平行六面体的体积为6，截面的面积为6．    (1)求点到平面的距离； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）在平行六面体中，是三棱柱， ， 设点到平面的距离为，则，所以， 即点到平面的距离为1． （2）在中，，所以是菱形，连接交于，则， 由（1）知点到平面的距离为1，所以平面． 设点在直线上射影为点， 则，且， 所以和重合，即． 以为坐标原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则， 根据，则， ，设平面的一法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角正弦值为．    3.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧棱底面，.点是棱的中点，点为棱上的一点，且. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）在中，，即， 又，则有，即， 因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面 （2）由（1）可知，，，， 故以D为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意得，，，，，， 设点，由，，三点共线，则有， 又，， ，解得，，，故， 设平面的法向量为，，， 由，得，即， 取平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则，， 所以，，， 故， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 4.如图，在四棱锥中，底面是矩形，，分别是，的中点． (1)证明：平面； (2)若是边长为的等边三角形，，平面平面，求直线与平面所成角的正弦值． 【解题思路】（1）由线面平行的判定定理求解即可； （2）建立坐标系，用向量法求解即可 【解题过程】(1)取的中点，连接，， 在△中，，且， 又，， 所以，且. 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. (2)取的中点为，连接，则. 又平面平面，则平面. 建立如图空间直角坐标系.由已知得 ，，，，. 所以，，. 设是平面的法向量，则 即，令，则 设直线与平面所成的角为. 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 5.在四棱锥中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，，直线PA与底面ABCD成角，点M，N分别是PA，PB的中点. (1)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值； (2)求二面角的大小的余弦值. 【解题思路】（1）以为原点，向量､､的方向为､､轴的正方向，建立坐标系，设，设面的法向量为，直线与面所成的角为，求出法向量和，再代入公式计算； （2）由（1）知面的法向量为，设面的法向量为，求出再代入公式计算； 【解题过程】(1)以为原点，向量､､的方向为､､轴的正方向，建立坐标系， 设，则， ∵底面，∴为直线与平面所成的角， ∴，∴， ∴，，，，，，， ，，设面的法向量为， 直线与面所成的角为， 则且， 取，则，，∴，∴. (2)由（1）知面的法向量为，设面的法向量为， ∵，，， ∴且， 取，则，，则， ∴， 又∵，， ∴二面角的大小的余弦值为. 6.如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，，，，，，    (1)求证：平面⊥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为平面平面，且平面平面， 且，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又，且，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面； （2） 取中点为，连接，， 又因为，所以，则， 因为，所以，则， 以O为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设是平面的一个法向量， 则，得， 令，则，，所以， 设与平面所成的角为， 则， 所以与平面所成的角的正弦值为. 7.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且平面，，，分别是，的中点，是上一点，且.    (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：，分别为，中点，， 又平面，平面， 平面； （2）底面是边长为2的菱形，所以，又平面，平面， 所以， 如图所示，以为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，    ，底面是边长为2的菱形，， 则，，． ， 又，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，令，所以， 设直线与平面所成角为． 则，故有， 所以直线与平面所成角的余弦值. 8.如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，，，且.    (1)记线段的中点为，在平面内过点作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）延长，设其交点为，连接， 则为平面与平面的交线， 取线段CD的中点M，连接KM，直线KM即为所求． 证明如下：延长，设其交点为，连接， 则为平面与平面的交线， 因为，所以，又， 所以， 所以，又， 所以四边形为平行四边形，所以， 取的中点，连接， ∵分别为的中点， ∴，∴． ∵平面， 平面， ∴平面．    （2）以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图.由已知可得， 所以， 设平面的法向量为， 则得， 取得，， 平面的一个法向量. 设直线与平面所成的角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为.    9.如图，在底面为正方形的四棱台中，已知，，，A到平面的距离为.    (1)求到平面的距离； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在正方形中，，则， 在中，由条件可知，即， 所以， 因为A到平面的距离为，所以， 因为，记到平面的距离为， 所以由，得， 即到平面的距离为； （2）在四棱台中，∥平面， 则到平面的距离即为到平面的距离， 假设不垂直于平面，则，与矛盾， 所以平面， 又因为平面平面，所以平面， 由平面， 所以在直角梯形中，如图所示，过D1作D1M⊥AD于M点，    则， 以A为原点，方向为轴的正方向，如图建立空间直角坐标系，    则，， 设是平面的一个法向量， 由，取，则，所以， 设直线与平面所成角为，则. 10.四边形ABCD是平行四边形，，四边形ABEF是梯形，，且，，，平面平面． (1)求证：； (2)求直线EC与平面EFD所成角的正弦值． 【解题思路】（1）利用余弦定理求出，即可得到，由面面垂直的性质得到平面，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得； 【解题过程】(1)证明：因为，，， 由余弦定理， 所以，则，所以，即， 又平面平面，平面平面，平面 所以平面，又平面，所以； (2)解：如图建立空间直角坐标系，则、、、， 所以，，， 设平面的法向量为，所以，令，则， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为； 11.在直角梯形中，，A为线段的中点，四边形为正方形．将四边形沿折叠，使得，得到如图（2）所示的几何体． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)当F为线段的中点时，求二面角的余弦值． 【解题分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用即可向量法计算可得； 【解题过程】(1)解：依题意可得、，，如图建立空间直角坐标系， 则、、、、、， 所以，，， 设平面的法向量为，所以，令，则，，所以， 设直线与平面所成角为，则 (2)解：依题意可得，则， 设平面的法向量为，所以，令，则， 则，显然二面角的锐二面角， 所以二面角的余弦值为； 12.如图，在梯形ABCD中，已知AB＝4，AD＝DC＝BC＝2，M为AB的中点.将沿DM翻折至，连接PC，PB． (1)证明：DM⊥PC. (2)若二面角P－DM－C的大小为60°，求PB与平面ABCD所成角的正弦值. 【解题思路】（1）连接AC，交DM于点O，连接PO，根据线段长度关系可得四边形AMCD为菱形，从而得到DM⊥AC，再根据等腰三角形证明DM⊥PO即可证明DM⊥平面PCO ，从而得到DM⊥PC. （2）以O点为坐标原点，建立空间直角坐标系，再由（1）可得∠POC＝60°，进而得到，再根据线面角的向量求法求解即可 【解题过程】(1)证明：连接AC，交DM于点O，连接PO. 因为AB＝4，AD＝DC＝BC＝2，M为AB的中点，所以AM＝AD＝CD. 又四边形ABCD为梯形，则四边形AMCD为菱形，所以DM⊥AC. 又PD＝PM，O是DM的中点，所以DM⊥PO. 因为AC⊂平面PCO，PO⊂平面PCO，AC∩PO＝O，所以DM⊥平面PCO 又PC⊂平面PCO，所以DM⊥PC. (2)以O点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为二面角P－DM－C的大小为60°，由（1）DM⊥平面PCO ，所以∠POC＝60°， 易得∠BAD＝60°，则. 平面ABCD的一个法向量，设PB与平面ABCD所成的角为， 则，即PB与平面ABCD所成角的正弦值为 13.如图，为圆锥的顶点，A，为底面圆上两点，，为中点，点在线段上，且.    (1)证明：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）设圆O的半径为r， 在中，，，， 故，又，故， 在中，由余弦定理得， 所以，即； 圆锥中，底面，底面，故， 又，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 有，即，解得， 设直线与平面所成角为， 则.    题型03：二面角 1.如图，在三棱柱中，，．    (1)证明：； (2)若，，，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点，连接，， ，，，， 又，平面，平面， 而平面， ；    （2）在中，，， 可得，， 在中，，，可得， 在中，，，， 可得，即， 由（1）知，平面，平面，所以平面平面， 又平面平面，平面， 平面，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面与平面的一个法向量分别为，， 由，取，得， 由，取，得． ． 由图可知，二面角的平面角为钝角， 二面角的余弦值为． 2．如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，，.    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）如图，连接，交于，连接. 因为侧面为菱形，所以，且为的中点.又，故. 又，且，所以，所以.又，所以，所以. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面.    （2）由（1）知，两两互相垂直，因此以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，. 故，，. 设为平面的一个法向量，则有，即，令，则. 设为平面的一个法向量，则有，即，令，则.因为平面平面，所以也是平面的一个法向量. 所以. 所以平面与平面夹角的余弦值.    3.如图，直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【解题思路】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）连接，由（1）知⊥平面，又直线与平面所成的角的正切值为，可得，以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用二面角的坐标公式计算大小可得答案． 【解题过程】（1）是正三角形，为的中点， ． 又是直三棱柱， 平面ABC， ． 又， 平面． （2）连接，由（1）知平面， ∴直线与平面所成的角为， ． 是边长为2的正三角形，则， ． 在直角中，，， ． 建立如图所示坐标系，则，，，，． ，，设平面的法向量为，则，即，解得平面的法向量为． ，，设平面的法向量为，则，即，解得平面的法向量为． 设平面与平面夹角为，则 ． 平面与平面夹角的余弦值为． 4.如图，在三棱锥中，平面ABC，，，M是PA的中点. (1)证明：； (2)若，求平面PBC与平面BCM所成角的大小. 【解题思路】（1）先证明 平面PAC，再证明 ； （2）建立空间直角坐标系，用向量的方法求二面角. 【解题过程】(1)如图，在中，因为，，由正弦定理得： ，故，又因为，所以， 则，即. 又因为平面ABC，所以， 又，所以平面PAC，又因为平面PAC， 所以； (2)因为平面ABC，，所以CA，CB，CP两两垂直， 如图，建立空间直角坐标系，设， 则，，，， 所以，， 设平面BCM的一个法向量为 由 ，即 ，可取， 可取为平面PBC的一个法向量， 所以， 所以平面PBC与平面BCM所成角的大小为； 综上，平面PBC与平面BCM所成角的大小为. 5.如图，在三棱锥中，，平面，，. (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面的夹角大小. 【解题思路】（1）从所要证明的结论分析：要证平面平面，即证平面，即证平面，即证，进而得到证明思路； （2）方法一：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求二面角的大小；方法二：过作，垂足为，连接，找出二面角的平面角，利用余弦定理求其大小. 【解题分析】(1)证明：因为平面，平面， 所以. 因为，， 所以平面. 因为，， 所以， 故平面. 因为平面， 所以平面平面. (2)方法一：因为，，所以. 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，，，. 设是平面的法向量， 则，即， 令，则，，所以，. 设是平面的法向量， 则，即， 令，则，，所以， 所以. 所以平面与平面的夹角的大小为. 方法二：如图，过作，垂足为，连接. 由（1）中的垂直关系及条件，可计算得 ，， 所以. 所以. 所以为二面角的平面角. ， . . 所以. 在中，由余弦定理可得 . 所以， 所以平面与平面的夹角的大小为. 6.如图，在三棱锥中，侧面为等边三角形，，，平面平面，为的中点. (1)求证：； (2)若，求二面角的大小. 【解题思路】（1）取中点，由面面垂直和线面垂直性质可证得，结合，由线面垂直判定可证得平面，由线面垂直性质可得结论； （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，由向量数乘运算可求得点坐标，利用二面角的向量求法可求得结果. 【解题过程】(1)取中点，连接， 为等边三角形，为中点，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，； 分别为中点，，又，， 平面，，平面， 又平面，. (2)以为坐标原点，为轴可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 设，则，， 由得：，解得：，即， ， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； 又平面的一个法向量，； 由图象知：二面角为锐二面角，二面角的大小为. 7.如图，在四棱锥中，平面ABCD，M，N分别为PB，PD的中点，底面ABCD为正方形，且． (1)若，证明：平面AMN． (2)若平面MNA与底面ABCD所成锐二面角的大小为45°，求PC的长． 【解题思路】（1）根据条件首先证明，再证明，由线面垂直的判定定理即可证明平面. （2）如图，以为一组正交基底，建立空间直角坐标系，设，分别求出平面MNA与底面ABCD的法向量，由二面角公式可求出，即可求出PC的长. 【解题过程】(1)证明：连接BD，因为底面为正方形， 所以． 因为平面，平面， 所以． 又，平面，平面， 所以平面 因为平面，所以． 同理，． 在中，M，N分别为PB，PD的中点，所以． 因为，所以． 又，平面，平面， 所以平面． (2)解：如图，以为一组正交基底，建立空间直角坐标系， 设， 则，，，， 所以，． 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为． 因为平面， 所以平面的一个法向量为， 所以，解得． 所以，． 8.如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为菱形，．    (1)若四棱锥的体积为1，求的长； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）如图，过作于，连接， 因为侧面底面，且侧面底面面， 所以底面， 设，因为， 所以， 在菱形中，，则为等边三角形， 则， 所以四棱锥的体积， 解得； （2）取的中点，连接，则， 以的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则， ， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设平面的法向量为， ，令，得， 则， 故平面与平面所成二面角的正弦值为.    9.如图，在多面体中，四边形是菱形，且有，，，平面，．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为四边形是菱形， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 又因为，平面， 所以平面平面， 又平面， 所以平面． （2）取中点，连接, 因为四边形是菱形，且有，, 所以三角形为正三角形， 又中点为， 所以，, 又菱形中，， 所以， 因为平面，平面， 所以,， 以D为原点，所在直线为轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 因为四边形ABCD是菱形，且，， ，平面ABCD，， 所以，，，，． 所以，，，． 设平面AMP的法向量为， 则有，即． 取，得，， 所以． 设平面的法向量为，则有即， 取，得，， 所以， 所以， 令平面AMP与平面PBC所成的锐二面角为， 则 所以平面AMP与平面PBC所成的锐二面角的余弦值为． 10.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，点E为PC的中点，AB∥CD，CD⊥AD，CD＝2AB＝2，PA＝AD＝1，PA⊥AD． (1)证明：BE⊥平面PCD； (2)求二面角P−BD−E的余弦值． 【解题思路】（1）取PD的中点F，连接AF，EF，根据题意证得，，结合线面垂直的判定定理证得结果；（2）如图建立空间直角坐标系，求得平面PBD的法向量为，平面EBD的法向量为，利用向量所成角的余弦值，进而得到二面角P−BD−E的余弦值 【解题过程】(1)证明：取PD的中点F，连接AF，EF， 则，． 又，，所以，， 所以四边形ABEF为平行四边形，所以． 因为，，所以． 所以 因为平面PAD⊥平面ABCD，， 所以PA⊥平面ABCD，所以， 所以． 又点E为PC的中点，所以 又，所以BE⊥平面PCD． (2) 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（0，0，0），P（0，0，1），B（1，0，0），D（0，1，0），C（2，1，0），E（1，，）． 于是 设平面PBD的法向量为，则 得．取．得 设平面EBD的法向量为，则， 得取．得． 所以， 所以二面角P−BD−E的余弦值为. 11.如图，在四棱锥中，底面，E､分别为棱的中点 (1)作出平面与平面BFE的交线，并说明理由. (2)求二面角的余弦值. 【解题思路】（1）根据证明平行四边形可得平行线，进而可得四点共面，进而根据交点可找交线. （2）根据空间坐标法，利用法向量的夹角求二面角大小. 【解题过程】(1)如图，取的中点，连接交于， 连接，则平面平面 以下为证明过程 ，则四边形为正方 形，四边形为平行四边形，，又，故 为平行四边形，. 则，B､F､E､四点共面，平面， 又平面为平面与平面的公共点，又为平面与平面的公共点 平面平面 (2)因为底面平面，所以， .由题意可知，两两垂直，建立如图所示的空间直角 坐标系，不妨令，则， 所以， 设平面的一个法向量为. 由得：不妨令，得. 故平面的一个法向量， ，所以 设平面的一个法向量为. 由得令，得， 所以. 因为二面角为锐角，所以一面角的余弦值为 12.如图，在四棱锥中，∥,，,为边的中点，异面直线与所成的角为90°． (1)在直线上找一点，使得直线平面PBE，并求的值； (2)若直线CD到平面PBE的距离为，求平面PBE与平面PBC夹角的余弦值． 【解题思路】(1)由题意可得是正方形，平面，建立坐标系，用空间向量求解； (2由题意可得∥平面PBE,于是到平面PBE的距离等于点到平面PBE的距离，由解得，进而得平面的法向量，再求得平面的法向量，即可求解. 【解题过程】(1)解：∥,，,为边的中点，所以四边形是正方形， 因为,异面直线与所成的角为90°, 所以, 又因为在平面内相交， 所以平面,建立如图所示的坐标系： 设，,则， 令， 因为，， 所以是平面PBE的法向量. 要使平面PBE， 只需， 解得：； (2), 因为∥, 又因为平面PBE, 平面PBE, 所以∥平面PBE, 所以到平面PBE的距离等于点到平面PBE的距离， 于是， 解得：， 所以,, 令， 因为， 所以是平面的法向量， 由(1)可知平面的法向量， 因为平面与平面的夹角为锐角， 所以平面PBE与平面PBC夹角的余弦值为：. 13.如图，OP为圆锥的高，AB为底面圆O的直径，C为圆O上一点，并且，E为劣弧上的一点，且，. (1)若E为劣弧的中点，求证：平面POE； (2)若E为劣弧的三等分点（靠近点），求平面PEO与平面PEB的夹角的余弦值. 【解题思路】（1）推导出平面，，，由此能证明平面． （2）推导出，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值． 【解题过程】(1)证明：为圆锥的高， 平面，又平面，， 为劣弧的中点，， ，平面，平面． (2)解：为劣弧的三等分点（靠近点， 为底面圆的直径，为圆上一点，并且，， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，0，，，0，，，，，，0，，，3， ，0，，，，，，，，，3， 设平面的法向量，，， 则，取，得，，， 设平面的法向量，，， 则，取，得，1，， 设二面角的平面角为， 则，． 二面角的余弦值为． 14.如图，平面五边形由等边三角形与直角梯形组成，其中，，，，将沿折起，使点到达点的位置，且.    (1)当时，证明并求四棱锥的体积； (2)已知点为棱上靠近点的三等分点，当时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）如图，取的中点，连结，，    因为为等边三角形，且，则，. 因为，，，， 所以，，那么，则也是等边三角形， 所以，. 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以. 因为，所以， 所以， 因为，，平面， 所以平面. 所以. （2）由（1）知平面，以､所在直线分别为轴､轴，在平面内过作的垂线作为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.    则，， 在中，因为，所以， 由则， 过点作直线的垂线，垂足为，则， 所以，， 所以 设，因为，所以， 所以，，，即 所以，， 设平面的法向量为， 则， 不妨令，则，， 所以 不妨设平面的法向量为，设平面与平面的夹角为 则， 所以平面与平面夹角的余弦值是. 15.如图是一个四棱柱被一个平面所截的几何体，底面是正方形，是的中点，，，． (1)证明：； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值． 【解题思路】（1）由正方体对角线垂直结合可得，结合题意根据线面垂直的判断定理证明； （2）利空空间向量处理面面夹角，． 【解题过程】(1)证明：连，因为，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又，所以， 而，，所以平面， 因为平面，所以． (2)解：取的中点，连、，则，所以、、、四点共面， 又平面，平面，所以， 又，，所以面， 以为原点，过垂直于的向外的射线为轴，为轴，为建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， 由，所以， 所以，又 设为平面的法向量， 由，则，取，可得， 又是平面的一个法向量， 设平面与平面所成的角为， 所以． 16.如图，点O是正方形ABCD的中心，，，，． (1)证明：平面ABCD； (2)若直线OE与平面ABCD所成角的正弦值为，求二面角的余弦值． 【解题思路】（1）由正方形性质和线面垂直判定可知平面，由此可得，结合，由线面垂直的判定可得结论； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据线面角定义可求得，利用二面角的向量求法可求得结果. 【解题过程】(1)四边形为正方形， ，又，，平面， 平面， 平面， ； 又，，平面， 平面. (2) 以为坐标原点，的正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 平面， 直线与平面所成角为， ， 解得：； ，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，， ； 设平面的法向量， 则，令，解得：，， ； ， 二面角为锐二面角， 二面角的余弦值为. 17.已知底面ABCD为菱形的直四棱柱，被平面AEFG所截几何体如图所示. (1)若，求证：； (2)若，，三棱锥GACD的体积为，直线AF与底面ABCD所成角的正切值为，求锐二面角的余弦值. 【解题思路】（1）根据题意可证平面BDG，可得，得证平面ACE，得，再根据面面平行的性质可证；（2）根据题意可得，，利用空间向量求二面角． 【解题过程】(1)连接BD，交AC于点O，底面ABCD为菱形，∴， 由直四棱柱得底面ABCD，又平面ABCD，∴， 又，BD，平面BDG， ∴平面BDG，因为平面BDG， ∴ 已知，又，AC，平面ACE， ∴平面ACE， 因为平面BDG，∴ ∵平面平面CFGD 平面平面，平面平面， ∴，则 (2) 已知，，可求， 由，则 在直四棱柱中，底面ABCD， 所以为直线AF与底面ABCD所成角，，则 在平面ACF内作，可知底面ABCD，如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 则 设平面BCE的法向量为， 则 取，得，，得， 由（1）知平面ACE，所以平面ACE的一个法向量为 则， 所以锐二面角的余弦值为 题型04：空间长度 1.如图，在四棱锥中，，，点在上，且． (1)点在线段上，且平面，证明：为线段的中点； (2)若平面与平面所成的角的余弦值为，求的长度． 【解题思路】（1）过点作交于点，连接，由线面平行的性质定理证明，即可证明； （2）建立空间直角坐标系，设，求出直线的方向向量和平面的法向量，由线面角的向量公式即可得出答案. 【解答过程】（1）连接，过点作交于点，连接， 又因为，所以，所以四点共面， 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以为线段的中点； （2）连接，因为，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面所以平面 又因为，所以建立如图所示的空间直角坐标系， 设， ，设平面的法向量为， ， 所以，令，，所以， 所以与平面所成的角的余弦值为， 所以与平面所成的角的正弦值为， 即， 所以，化简可得：， 解得：或，即或， 所以或. 2.如图，在正三棱柱中，，，点为的中点，点为上一点.    (1)若平面平面直线，求证：； (2)当平面平面时，求CP的长度. 【解题思路】（1）连接交于点，可得平面，再利用线面平行的性质分析证明； （2）建系标点，分别求平面、平面的法向量，根据面面垂直列式求解即可. 【解答过程】（1）连接交于点，连接OQ. 因为，Q分别为，BC中点，则， 且面，面，可得平面， 又因为平面，平面平面直线， 所以. （2）取中点， 以为原点，QC，QA，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，设，则， 可得，，，. 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为平面平面，则， 可得，解之得或2， 所以CP的长度为或2. 3.在三棱锥中，，，，异面直线与所成角为60°，点分别是线段的中点.    (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 【解题思路】（1）过点作，连接、，将三棱锥补形为长方体，易证 得到 再利用勾股定理求解； （2）以点为坐标原点，所在直线为轴，以过点且垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为再由，由求解. 【解答过程】（1）如图所示：    过点作，连接、，将三棱锥补形到长方体中， 为正三角形.    又     又   四边形为平行四边形.      ， ； （2）平面即为平面， 以点为坐标原点，所在直线为轴，以过点且垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，    则，设平面的一个法向量为 ，，          ， 取，则解得：，， 又， ， 直线与平面所成角的余弦值为. 4.如图，在三棱锥中，平面分别是的中点．    (1)求证：平面平面； (2)若，三棱锥的体积为，且，求的长度． 【解题思路】（1）由线面垂直证明面面垂直； （2）利用三棱锥的体积公式即可求得. 【解答过程】（1）因为平面平面，所以， 又，，，平面， 所以平面． 因为平面， 所以平面平面． （2）因为分别是的中点，所以， 由平面知，，所以， 由（1）知，平面， 设，因为，所以， 则， 得，解得或2． 因为，所以，即． 题型05：空间几何体的表面积和体积 1.如图，在三棱锥中，已知为锐角三角形，平面平面，，点是的中点． (1)求证：； (2)若，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积． 【解题思路】（1）过点作于点，由面面垂直的性质得到平面，再根据线面垂直的判定定理与性质证明平面，进而得到. （2）建立空间直角坐标系，求相关点和向量的坐标，分别求平面、平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，根据二面角的余弦值求参数的值，进而求三棱锥的体积. 【解答过程】（1）如图，过点作于点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 又平面，所以． 又，，，平面， 所以平面． 因为平面，所以． （2）由（1）可知，可以以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设，， ∵为锐角三角形，则，，，， 故， 因此，． ∴是平面的一个法向量, 设平面的法向量为， 则，即，化简得， 取，则，，因此． 由题意知，解得， 因此三棱锥的体积为． 2.如图，在四面体ABCD中，是正三角形，是直角三角形，，．    (1)证明：平面平面； (2)若二面角的正切值为，求四面体与四面体的体积之比． 【解题思路】（1）取的中点O，连接，，得到，再由是正三角形，得到，利用面面垂直的判定证明； （2）以O为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立的空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式列出方程，即可求解. 【解答过程】（1）由题设得，，从而. 又是直角三角形，所以. 取AC的中点O，连接DO、BO，则DO⊥AC且， 又是正三角形，故. 则中，，又， 所以，故. 而且都在面，故面， 而面，所以平面ACD⊥平面ABC.    （2）设， ，结合（1）结论， 以O为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，易知平面的法向量为， 设，由，可得，得， 设面的法向量为，则， 取，得，所以， 因为二面角的正切值为，则， 又，解得，所以， 所以到底面的距离与到底面的距离之比为， 所以四面体与四面体的体积之比. 3.如图，在三棱台中，平面平面，，，. (1)证明：； (2)当直线与平面所成的角最大时，求三棱台的体积. 【解题思路】（1）利用面面垂直的性质，线面垂直的判定性质推理得证. （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法，再结合棱台体积公式计算得解. 【解答过程】（1）在三棱台中，取的中点，连接， 由，得，由平面平面，平面平面， 平面，得平面，而平面，则， 又，则四边形是菱形，， 而平面，因此平面，又平面， 所以. （2）取中点，则，由平面平面，平面平面， 平面，则平面，直线两两垂直， 以点原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则，， ， 设平面的法向量，则，取，得， 设直线与平面所成的角为， ，当且仅当，即时取等号， 所以三棱台的体积 . 4.如图1，在高为6的等腰梯形中，，且，将它沿对称轴折起，使平面平面，如图2，点为的中点，点在线段上（不同于两点），连接并延长至点，使.    (1)证明：平面； (2)若，求三棱锥 的体积． 【解题思路】（1）由两两垂直建立空间直角坐标系，由向量坐标运算得到，再根据线面垂直判定定理即可证明； （2）先计算，再计算三棱锥的高，然后根据棱锥体积计算即可. 【解答过程】（1）由题设知两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 则， 因为为中点，所以. 因为， 所以， 即， 又平面,， 所以平面. （2）因为 所以 因为,由题设知，所以， 所以 因为高为6的等腰梯形A中，， 所以三棱锥的高, 所以. 5.在三棱台中，为中点，，，．    (1)求证：平面； (2)若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在三棱台中，为中点，则，又，则， 又，∴四边形为平行四边形，则， ∵，∴，又，， ∴，∵平面，，∴平面． （2）∵，，∴， 又∵，平面，，∴平面， ∵，，为中点，∴． 以为正交基底，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ， 设平面的一个法向量为， 则， 令，，，则，又平面的一个法向量为， 则，∴，即． ∵平面，平面平面，平面， ∴．      6.四棱锥中，，，，，，点是棱上靠近点的三等分点． (1)证明：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）依题意，在中，， 由余弦定理可得, 则，∴， ∵，∴，又平面， ∴平面， ∵平面，∴， 又，平面, 故平面； （2）以A为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设，则，， 由（1）可知，平面, 故平面，∴平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，且，， 则， 取，所以， 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，解得， 所以四棱锥的体积为 题型06：空间的距离 1.如图所示，在直三棱柱中，，，，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用空间向量方法证明即可； （2）利用空间法向量求解点面距离即可. 【详解】（1）证明：如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则 因为，分别是，的中点，所以，， 所以， 平面的一个法向量为， 因为， 又因为平面， 所以平面； （2）由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为. 所以点到平面的距离为， 故点到平面的距离为 2.如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，O为BD的中点.    (1)证明：. (2)若是等腰直角三角形，，，点E在棱AD上（与A，D不重合），若二面角的大小为，求点D到面BCE的距离. 【答案】(1)证明见解析. (2)1. 【详解】（1）证明：因为，O为BD的中点， 所以， 又因为平面平面BCD，平面平面，平面ABD， 所以平面BCD． 又因为平面BCD， 所以. （2）设BC的中点为F，则，又因为，所以. 以O为坐标原点，以OF，OD，OA所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.    因为是等腰直角三角形，，，所以， 又因为，O为BD的中点，根据直角三角形性质可得，， 则，，，，， 设，则. 由题意可知是平面BCD的一个法向量，， 设平面BCE的一个法向量为，，， 则有，即，令，则，， 则平面BCE的一个法向量为. 根据二面角的大小为可得，， 解得，即，又因为， 所以点D到平面BCE的距离. 3.如图，三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点P，Q分别在上，且． (1)求证：平面； (2)当点P是边的中点时，求点到直线的距离． 【解题思路】 （1）作，根据条件证明四边形为平行四边形，然后得到即可； （2）取中点，然后证明平面，进而建立空间直角坐标系，利用坐标法即得. 【解题过程】(1)作，交于点，由，则， ∵， ∴，即， ∴且，连接， 所以四边形为平行四边形， ∴， ∵平面，且平面， ∴平面． (2)取中点，连接、， ∵，，， 根据余弦定理得：， ∴， 则，又平面平面，平面平面， ∴平面， ∵是等边三角形， ∴， 如图建立空间直角坐标系， 则， ∴， ∴， ∴点到直线的距离为. 4.如图，已知三棱锥中，，，平面平面ABC，，，.    (1)求点到平面的距离； (2)若为AC的中点，求PQ与平面所成角的正弦值. 【解题思路】（1）先由平面平面ABC，应用面面垂直性质定理得出平面，再结合边长关系应用计算求解； （2）先建立空间坐标系，再求平面的法向量，最后应用线面角正弦公式即可求解. 【解答过程】（1）    过作， 平面平面ABC，平面平面，平面，平面， 因为，，，所以， 在直角三角形中，，所以， 所以点到平面的距离为； （2）    因为，过作的平行线为轴，以为轴建立直角坐标系， 在中，，，，所以， 在直角三角形中，因为，， ，所以， 所以， 则， 设平面的法向量为，则， 取，所以， 设PQ与平面所成角为， 所以. 5.如图，在四棱锥中，平面平面， ，，，. (1)证明：是等腰三角形. (2)若平面平面，求点到平面的距离. 【解题思路】（1）取为中点，先证平面，即可证，再通过平面平面，证得，再通过线线垂直，证得平面，从而证得，由此即可求证是等腰三角形. （2）设，根据平面平面利用空间向量的方法求得，再利用面面垂直的性质求得到平面的距离即为，由此即可求解. 【解答过程】（1）设为的中点，连接，. 因为，，， 所以，所以， ，即， 又，，平面，，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面平面，平面平面，， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以， 在中，，为的中点，所以，即是等腰三角形. （2）建立如图所示以为坐标原点，为轴，过与平行方向为轴， 为轴的空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则取，则. 设平面的法向量为， 则取，则. 因为平面平面，所以，解得（舍去）， 所以，， ， 所以，，所以， 所以，所以是等腰直角三角形， 取的中点，连接，则. 又因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以的长为点到平面的距离. 因为，所以点到平面的距离为. 6.如图，在四棱锥中，平面，是线段上的动点. (1)当是线段中点时，求证： 平面； (2)设是的中点，当二面角的余弦值为时，求点到平面的距离. 【解题思路】（1）记的中点为，连接，证明四边形为平行四边形即可得证； （2）建立空间直角坐标系，根据二面角求出点坐标，再由向量法求距离即可. 【解答过程】（1）记的中点为，连接， 因为是线段中点，所以且， 又，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为平面平面，所以， 又，所以两两垂直， 以分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 则， 当M与B重合时，二面角为，不合题意， 设，则， 设平面，平面的法向量分别为， 则，， 取，得， 由题可知，解得（负根舍去）， 则，则点到平面的距离为. 7.如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，，，点为棱的中点. （1）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由； （2）若，二面角的余弦值为时，求点到平面的距离. 【解题思路】（1）取的中点，连结、，可以证明得四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理可得点； （2）先证明，，两两互相垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由二面角的余弦值为，求出的长度，进而利用点面距的坐标公式求解即可． 【解题过程】（1）在棱上存在点，使得平面，点为棱的中点. 证明：取的中点，连结、， 由题意，且，且， 故且. 四边形为平行四边形. ，又平面，平面， 平面； （2）取中点， 因为底面为菱形，所以， 又，且， 所以平面，即. 又，即，而 所以平面.又， 所以为正三角形，即，也即 所以，，两两互相垂直（需写出证明过程）. 以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系. 设，则，，，，. 所以，. 设平面的一个法向量为. 由，取，得； 取平面的一个法向量为. 由题意，，解得. . 设点到平面的距离为，则. 即点到平面的距离为 8.如图，四棱台中，底面是边长为4的菱形，，． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)若该四棱台的体积等于，且，求直线到平面的距离． 【解题思路】（1）根据棱台的性质得到平面平面，然后利用面面平行的性质定理得到，然后根据棱台和菱形的性质得到，即可得到，最后证明线面平行即可； （2）利用勾股定理得到，根据等腰三角形的性质得到，然后证明线面垂直即可； （3）解法一：根据棱台的体积公式列方程，得到，然后建系，利用空间向量的方法求距离； 解法二：根据棱台的体积公式列方程，得到，然后构建平面平面，利用面面垂直的性质定理得到为直线到平面的距离，然后利用等面积求距离. 【解答过程】（1） 连结，交于点，连结，则为的中点， 由四棱台，得平面平面， 又平面平面，平面面， 所以， 因为，所以， 因为为的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，故， 又平面平面，所以平面． （2）取的中点，连结， 由四棱台得，，，， 所以四边形为平行四边形，， 则， 所以，所以， 由（1），知，又，所以， 因为，所以， 又平面， 所以平面． （3）解法一：菱形的面积， 由四棱台且， 可得， 四棱台的体积， 从而， 解得， 因为，所以， 故，从而，所以， 所以， 取的中点，则两两垂直，如图，以为坐标原点，分别，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面即平面的法向量， 则即 整理，得令，得， 从而点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为． 解法二： 延长交于点，取的中点，连结交于点，连结，，则的中点均为， 因为平面，所以， 因为，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 过点作于，且平面平面平面，所以平面， 故为点到平面的距离即为直线到平面的距离， 因为，所以点到的距离等于点到的距离， 又中，， 设点到的距离为，则， 所以，解得， 所以直线到平面的距离为． 9.在如图所示的圆锥中，已知为圆锥的顶点，为底面的圆心，其母线长为6，边长为的等边内接于圆锥底面，且.      (1)证明：平面平面； (2)若为中点，射线与底面圆周交于点，当二面角的余弦值为时，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为为圆锥的顶点，为底面的圆心，所以面. 又因为面，所以，即. 因为为外接圆圆心，且为正三角形，所以. 又因为且，面，所以面， 因为面，所以面面. （2）作交于，取中点为. 因为，，所以. 因为面，，面，所以，. 如图，以点为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系. 因为，，所以，， 所以，，，，. 由，得，，， ，. 设面的法向量为，则， 取，则，，所以. 设面的法向量为，则, 取，则，，所以. 由，且， 解得，所以，. 又因为，所以， 所以到面的距离.    10.在多面体中，四边形是边长为4的正方形，，△ABC是正三角形．    (1)若为AB的中点，求证：直线平面； (2)若点在棱上且，求点C到平面的距离． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【详解】（1）连接，设，由题意可得为的中点，连接， 因为分别为的中点，则//， 平面，平面， 所以直线平面.    （2）由题意可得：，，平面， 所以平面， 取的中点，连接， 因为△ABC是正三角形，则， 又因为平面，平面，则， ，平面， 所以平面， 如图，以为坐标原点，为轴，轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，即， 所以点C到平面的距离.    11.如图，圆锥是由直角旋转而成，母线，底面圆的半径为1，D是AB的中点，为底面圆上的一点且， (1)求点到平面ABC的距离； (2)求直线CD与平面AOB所成的角的正弦值； (3)求点O到直线CD的距离， 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标，先求出平面ABC的一个法向量，再根据点到平面距离的向量计算方法即可解答； （2）先求出平面AOB的一个法向量和直线CD的方向向量，再根据直线与平面所成角的向量计算方法即可解答； （3）先求出，，再根据点到直线距离的向量计算方法即可解答. 【详解】（1）在所在平面内作， 由题意可得面OBC，因为面OBC，面OBC， 所以，， 以O为原点，以OM、OB、OA所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 由题意可得：，，， ， 则，， 设平面ABC的一个法向量， 则，即， 令，则 所以点到平面ABC的距离为. （2）设直线CD与平面AOB所成角为， 设平面AOB的一个法向量， 因为， 所以则，即， 令，则， 又因为， 所以. （3）因为，， 所以，， ， 所以. 12.如图，已知四棱柱中，四棱锥是正四棱锥，，，分别为的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)若平面经过且与平行，求点到平面的距离． 【答案】(1); (2). 【分析】（1）连接交于点，连接，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而计算出线面角； （2）设平面的法向量为，利用该法向量与，垂直，从而计算出点面距离. 【详解】（1）如图，连接交于点，连接， 由四棱锥是正四棱锥 易得两两互相垂直， 在正四棱锥中，因为，所以， 因为，且，所以，． 以点为坐标原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，，，． 所以，，． 设平面的法向量为，则， 即'取，得． 设直线与平面所成的角为， 则． 所以直线与平面所成角的正弦值为． （2），． 设平面的法向量为， 则，即 取，得． 所以点到平面的距离. 13.在矩形ABCD中，，点E是线段AD的中点，将△ABE沿BE折起到△PBE位置（如图），点F是线段CP的中点． (1)求证：DF∥平面PBE： (2)若二面角的大小为，求点A到平面PCD的距离． 【解题思路】 （1）利用线面平行的判定定理即得； （2）由题建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离的向量求法即得. 【解题分析】(1)设PB的中点为G点，连接GF和GE， 因为点G、点F分别为PB和PC的中点， 所以且，又且， 所以且， 所以四边形GFDE为平行四边形， 所以，又GE平面PBE，DF平面PBE， 所以DF∥平面PBE； (2)由二面角的大小为可知，平面平面， 取BE得中点O，连接，则，平面， 如图建立空间直角坐标系， 则，， 所以， 设平面PCD的法向量为， 则， 令则，又， 所以点A到平面PCD的距离为. 题型07：空间截面问题 1.如图，已知在正三棱柱中，，且点分别为棱的中点.    (1)过点作三棱柱截面交于点，求线段长度； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【解题思路】（1）将平面延展得到点，再利用相似三角形求解即可. （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量利用夹角公式求解即可. 【解答过程】（1）由正三棱柱中，， 又因为点分别为棱的中点，可得， 如图所示，延长交的延长线于点， 连接交于点，则四边形为所求截面， 过点作的平行线交于， 所以 因此，所以. （2）以点为原点，以所在的直线分别为轴，    以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，可得， 则， 设平面的法向量为，则 取，则，所以， 取的中点，连接.因为△为等边三角形，可得， 又因为平面，且平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又由，可得， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 2.如图（1），正方形的边长为，是的中点，点在边上且.将沿折起到图（2）中的位置，使得平面平面. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)如图（2），点在线段上，过点、的平面截四棱锥所得的截面是一个直角三角形，在图中画出这个直角三角形.（请在答题卡指定位置作图，不必说明画法和理由） 【解题思路】（1）由面面垂直的性质定理可得出平面，可得出，结合以及线面垂直的判定定理可证得平面； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值； （3）在平面内作，交或于点，连接，利用平面，结合，可得出平面，结合线面垂直的性质可得出结论. 【解答过程】（1）因为，平面平面，且平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 又因为，即， 因为，、平面，所以平面. （2）取的中点，连接，过点在平面内作，垂足为， 因为平面平面平面，且平面平面，平面，， 所以，平面， 因为，即，且， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 因为，则， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、. 在中，，，所以， 因为，由勾股定理可得， 所以，，，则，所以， 所以，， 设平面的法向量为，则， 令，可得. 由（1）知平面，故平面的一个法向量为. 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为 （3）所得的截面为直角三角形，如图所示： 作法：在平面内作，交或于点，连接， 因为平面，，则平面， 因为平面，所以，. 3.如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，分别为的中点. (1)在答题卡的图中作出平面截四棱锥所得的截面，写出作法（不需说明理由）； (2)若底面，平面与交于点，求异面直线与所成角的余弦值. 【解题思路】（1）利用延长平面内的直线与直线相交，去找到与另一个平面的交点，再由截面内两确定一条直线得到截面的交线，以此作出截面图形； （2）利用建立空间直角坐标系来求解空间角，对于可用线性运算来求出向量坐标即可. 【解答过程】（1）所作截面如图1所示. 作法：延长交于点，连接交于，连接， 延长交于点，连接交于，连接， 则截面是五边形. （2） 如图2，过点作，垂足为， 在等腰梯形中，因为，， 所以， 由点是的中点，且，，所以点是的中点， 又为的中点，所以为的重心，则， 以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 由 所以， 故异面直线与所成角的余弦值为. 4.已知，四棱锥的底面是菱形，平面，，，点在上，且． (1)过点作截面，使其与均平行，求该截面的面积； (2)求二面角的正弦值． 【解题思路】（1）由已知条件的长度，连接，过点作的平行线，分别于点，分别过点作的平行线，分别交于点，在平面中，过点作的平行线交于点，连接，得截面为五边形，求出相加即得． （2）以A为坐标原点，所在的直线分别为轴，过点A垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的一个法向量，进而求出法向量的夹角余弦，再由同角三角函数关系求出正弦即可 【解答过程】（1） 因为，所以． 在菱形中，，所以． 又，所以． 如图所示，连接，过点作的平行线，分别交于点，再分别过点作的平行线，分别交于点， 在平面中，过点作的平行线交于点，连接，所以该截面为五边形． 因为四边形为菱形，所以，又因为，所以． 又平面，平面，所以． ，，平面，平面，， 所以平面，又平面， 所以，又，所以， 连接交于点，易知四边形为矩形， 在中，， 在中，，所以． 所以， 易求，所以，所以， 所以该截面面积． （2）如图所示，以A为坐标原点，所在的直线分别为轴，过点A垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，， 所以． 设平面的法向量为，则， 令，得，所以． 由题意易得平面的一个法向量为． 设二面角的平面角为，则，所以， 即二面角的正弦值是． 题型08：翻折问题 1．如图，在平行四边形中，为的中点，沿将翻折至位置得到四棱锥为上一动点.    (1)若为的中点，证明：在翻折过程中均有平面； (2)若，①证明：平面平面； ②记四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，若，求点到平面的距离. 【解析】（1）取PA中点G，连FG，EG， 因为分别为的中点，则∥，且， 由题意可知：∥，且， 则∥，且，可知四边形CFGE为平行四边形， 则∥，且平面，平面， 所以∥平面. （2）①在四边形中，连接， 由题意可知：是以边长为2的等边三角形，则， 且，则， 可知，即，且， 若，且，则，可知， 且，平面，可得平面， 又因为平面，所以平面平面； ②取中点，中点，连， 则，∥，可得， 因为为等边三角形，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平行四边形的高即为等边的高， 设点到平面的距离为， 若，则，解得， 即，可知为中点， 以为原点，OA，OH，别为轴建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 所以点到平面的距离. 2.如图，在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将翻折成，使平面平面. (1)证明：； (2)求二面角的余弦值； (3)点，分别在线段、上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长. 【解析】（1） 取中点，连接. ∵，∴，由折叠得. ∵平面，∴平面. ∵平面，∴. （2）∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面. ∵， ∴. 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，， ∴，， 设平面的法向量为，则，取. 由题意得，平面的法向量为， ∴， 由图可得二面角的平面角为锐角，∴二面角的余弦值为. （3）连接. 设，则. ∵翻折后与重合，∴， 由（2）得，，， ∴，解得，即. 3.如图1，菱形的边长为4，，是的中点，将沿着翻折，使点到点处，连接，得到如图2所示的四棱锥. (1)证明：； (2)当时，求平面与平面的夹角的正弦值. 【解析】（1）在菱形中，由，得△是等边三角形，由是的中点，得， 在四棱锥中，由，,平面， 得平面，而平面， 所以. （2）菱形的边长为是的中点，，， 由（1）知平面， 以为坐标原点，以为轴正方向，为轴负方向建立空间直角坐标系（如图） 则，设，， 由，，得，解得，即， ， 设平面的法向量为，则，令，得， 设平面的法向量为，则，令，得， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的正弦值. 4.在平面四边形中，，，，将沿翻折至，得到如图所示的三棱锥． (1)证明：； (2)当三棱锥的体积为12时，求二面角的余弦值． 【解析】（1）如图①，取的中点，连接， 因为，所以， 因为，所以，所以． 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以； （2）过点作平面，垂足为，连接， 因为，， 所以，， 因为三棱锥的体积为12， 所以 ， 解得， 因为，所以， 则，． 解法一：如图①，以为原点，以所在直线分别为轴，轴， 过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， ① 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则即 令，则，， 则平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则即 令，则，， 则平面的一个法向量为， 则， 由图知二面角为钝二面角， 故二面角的余弦值为． 解法二：如图②，易知， 则过分别作的垂线，垂足为， 则即为二面角的平面角，且， 因为平面，且平面， 所以，结合（1）中， 又，所以平面， 因为平面，所以， 所以， 在中，， 在中，由余弦定理得， 则， 由等面积法得， 解得， 则， 则在中，由余弦定理得， 故二面角的余弦值为． ② 5.如图（1），在等腰梯形ABCD中，M，N分别是AD，AE的中点，，，将沿着DE折起，使得点A到达点P的位置，平面PDE⊥平面BCDE，如图（2）．    (1)若平面MNF，求的值； (2)若，平面DEQ⊥平面MNF，求的值； (3)若平面MNF与平面BCDE所成角的余弦值为，求的值； (4)若点C到平面MNF的距离为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）取DE的中点O，连接OC，OA，CE， 由条件可知，四边形AECD和EBCD是平行四边形，且， 所以，，是等边三角形， 所以折起后，OC⊥DE，PO⊥DE． 因为平面PDE⊥平面BCDE，平面平面，平面PDE， 所以PO⊥平面BCDE，因为平面BCDE，所以PO⊥OC， 所以OE，OC，OP两两垂直，则以O为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．    因为，所以，，，，，， 所以，，． 因为，所以， 所以． 设平面MNF的法向量为， 则，令，得． 由平面MNF，得，即，解得． （2）由， 得，． 设平面DEQ的法向量为， 则，令，得． 由平面DEQ⊥平面MNF，得，即，解得． （3）平面BCDE的一个法向量为． 设平面MNF与平面BCDE所成角为θ，则， 因为平面MNF与平面BCDE所成角的余弦值为， 所以，解得或（舍去）． （4）连接NC，如图平面MNF的一个法向量为，， 则点C到平面MNF距离为， 化简得，解得或（舍去）． 6.图①是直角梯形，，，四边形是边长为的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且.    (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，直线与平面所成角的正弦值为 【详解】（1）在图①中，连接，交于， 四边形是边长为的菱形，，，； 在图②中，相交直线均与垂直，是二面角的平面角， ，，，，平面平面. （2）以为坐标原点，正方向为轴可建立如图②所示空间直角坐标系， 则，，，，， ，，，，， 设，， 则， 设平面的一个法向量， 则，令，解得：，，； 点到平面的距离，解得：或（舍）， ，， ， 直线与平面所成角的正弦值为.    7.如图，在中，，，，E为AB中点，过点E作ED垂直AC于D，将沿ED翻折，使得面面，点M是棱AC上一点，且面．    (1)求的值； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为面面，面面， 由题意可知，，，所以， 过点B作BQ垂直CD于点Q，连接QM，    因为，平面ADE，DE⊂平面ADE， 所以平面ADE， 又因为平面ADE，，BQ，平面ADE， 所以平面平面ADE， 又因为面面ADC＝QM，平面平面ADC＝AD，所以， 因为BC＝2，，所以，CQ＝1， 在折叠前的图形中，， ，所以AQ＝3，， 易知D为AQ的中点，所以， 所以，所以； （2）由（1）知，以D为原点，以DE，DC，DA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，， 易知平面BCDE的一个法向量， ， 设平面MBE的法向量为， 所以，令，则，故， 所以， 所以二面角的余弦值为．      8.图1是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中，，.将其沿，折起使得与重合，连接，如图2.    (1)证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面； (2)求图2中与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）依题意，，则，即确定一个平面， 所以四点共面； 显然，平面， 因此平面，又平面 所以平面平面. （2）在平面内作，垂足为，而平面平面， 于是平面，由荾形的边长为，得， 以为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，      则，, 设平面的法向量，则，取，得， 又，设与平面所成的角为，则， 所以与平面所成角的正弦值. 9.如图1，在四边形中，，为上一点，，，，将四边形沿折起，使得二面角的大小为，连接，，得到如图2．    (1)证明：平面平面； (2)点是线段上一点，设，且二面角为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）由题意得，， 又，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面， （2）由，，则∠CEB为二面角B-AE-C的平面角， 所以， 又，，所以． 以E为坐标原点，，分别为x，y轴正方向，在平面BCE内过点E作BE的垂线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，， ，，， 由已知， ． 设平面的法向量为，则， 即， 令，可得， 所以为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 则，即 令，则， 所以为平面的一个法向量， 则， 又由二面角为， 则，即， 即 所以（舍去）或． 所以的值为． 题型09：探索问题 1． 动点的设法 1.如图，在正四棱锥P－ABCD中，AC，BD交于点O，，． (1)求二面角的大小； (2)在线段AD上是否存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为？若存在，指出点Q的位置；若不存在，说明理由． 【解题思路】（1）如图建系，求得各点坐标，进而可得坐标，即可求得平面PAB的法向量，根据线面垂直的性质及判定定理，可证平面，则即为平面的法向量，根据二面角的向量求法，即可得答案. （2）假设存在点Q满足题意，设，因为，即可求得Q点坐标，进而可得坐标，根据线面角的向量求法，代入公式，计算可得值，即可得答案. 【解题过程】(1)由题意得平面ABCD，且， 以O为原点，分别以OA，OB，OP为x，y，z轴正方向建系，如图所示 所以， 所以， 设平面PAB的法向量， 则，即， 令，可得，所以， 因为平面ABCD，平面ABCD， 所以， 又因为，，平面PAC， 所以平面， 所以即为平面的法向量， 所以， 又，由图象可得二面角为锐二面角， 所以二面角的大小为 (2)假设线段AD上存在一点Q，满足题意， 设，因为， 所以，解得， 所以，则， 因为平面PAB的法向量， 设得PQ与平面APB所成角为 所以， 解得或（舍） 所以在线段AD上存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为，此时，即Q为AD上靠近A的四等分点， 2.如图，已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面，矩形SADE的对角线交于点F，G为SB的中点，，. (1)求证：平面AEG； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段EG上是否存在一点H，使得BH与平面SCD所成角的大小为？若存在，求出GH的长；若不存在，说明理由. 【解题思路】（1）利用三角形中位线证明，即可根据线面平行的判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求得平面SCD的一个法向量，即可根据向量的夹角公式求得答案; （3）假设存在点H，设，表示出的坐标，根据BH与平面SCD所成角的大小为,利用向量的夹角公式计算，可得答案. 【解题过程】(1)证明：连接FG，在中，F，G分别为SD，SB的中点， 所以， 又因为平面AEG，平面AEG， 所以平面AEG. (2)因为平面ABCD，AB，平面ABCD， 所以，，又，所以， 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,， ，， 设平面SCD的法向量为， 则 ,即 令，得，， 所以平面SCD的一个法向量为， 又平面ESD的一个法向量为， 所以， 由图形可知，二面角的余弦值为. (3)存在，理由如下： 假设存在点H，设， 则, 由（2）知，平面SCD的一个法向量为， 则， 即，所以，则， 故存在满足题意的点H，此时. 3.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，，，且，，点E为棱PC的动点. (1)当点E是棱PC的中点时，求直线BE与平面PBD所成角的正弦值； (2)若E为棱PC上任一点，满足，求二面角P-AB-E的余弦值. 【解题思路】（1）由题意可得两两垂直，所以以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解， （2）设，表示出点的坐标，然后根据求出的值，从而可得点的坐标，然后利用空间向量求二面角 【解题过程】(1)因为底面ABCD，平面， 所以, 因为， 所以两两垂直，所以以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，，点E为棱PC的动点， 所以， 所以,， 设平面的法向量为，则 ，令，则 设直线BE与平面PBD所成角为，则 ， 所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为， (2)， 因为E为棱PC上任一点，所以设， 所以， 因为， 所以，解得， 所以， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 取平面的一个法向量为， 设二面角P-AB-E的平面角为，由图可知为锐角，则 ， 所以二面角P-AB-E的余弦值为 2． 异面直线成角的探索问题 1.如图1，在中，，分别为，的中点，，.将沿折起到的位置，使得，如图2. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【解析】（1）设是的中点，是的中点，如下图，连接，则， 则，， 由于，所以， 由于平面，所以平面， 由于平面，所以平面平面； （2）由（1）以及已知条件可知两两相互垂直， 则以为坐标原点，正方向为轴正方向， 可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 假设在线段上存在点，使得直线和所成角的余弦值为， 设，则， ， ， 整理可得：，解得：， 存在满足题意的点，此时. 23．（23-24高二上·福建三明·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，. (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)棱上是否存在点，它与点到平面的距离相等，若存在，求线段的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，且 【分析】（1）利用面面垂直的性质可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）推导出，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值； （3）分析可知，平面，设，其中，求出向量的坐标，根据题意可知，与平面的法向量垂直，根据空间向量数量积的坐标运算求出的值，进而可求得线段的长. 【详解】（1）证明：因为平面平面，且平面平面， 因为，且平面，所以平面. 因为平面，所以. （2）解：在中，因为，，， 所以，所以. 又因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 所以，、、、、， 则，， 易知平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为， 则，取，则. 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. （3）解：因为、到平面的距离相等，且、在平面的同侧， 则有平面. 因为点在棱，所以，其中， 因为，则，所以. 又因为平面，为平面的一个法向量， 所以，即，所以. 所以，所以. 3． 直线和平面成角的探索问题 1.如图，正三棱柱中，，点为的中点. (1)证明：平面平面 (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）在正三棱柱中，因为点为的中点， 则， 又平面，平面， 则有， 而，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， （2）在平面内过点作交于点， 因为平面平面，平面， 所以平面，则点即为所要找的点， 如下图所示，因为，， 所以与相似， 因此， 即有，于是，，所以. 2.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，，，，，是棱的中点． (1)求证：面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得直线和平面所成角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，, , ，且平面平面 （2）由（1）得，， 异面直线与所成角的余弦值为． （3）由（1）得，,． 设平面的法向量， 由得，， 令，则， 设， ． 整理得，，解得或存在点或． 3.已知直角三角形ABC中，D、E分别是AC、BC边中点，将△CDE和△BAE分别沿着DE，AE翻折，形成三棱锥，M是AD中点．    (1)证明：PM⊥平面ADE； (2)若直线PM上存在一点Q，使得QE与平面PAE所成角的正弦值为，求QM的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为D，E分别是AC，BC边中点，所以DEAB， 因为∠BAC＝90°，即，所以， 所以DE⊥AD，DE⊥CD，即DE⊥PD， 因为AD∩PD＝D，AD、PD⊂平面PAD，所以DE⊥平面PAD， 又PM⊂平面PAD，所以PM⊥DE， 由题意，，则， 又M为AD中点，所以PM⊥AD， 因为AD∩DE＝D，AD、DE⊂平面ADE， 所以PM⊥平面ADE．    （2）以M为原点，MD、MP分别为x，z轴，作MyDE，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，，则， 所以，设面PAE的法向量为， 则，令，则， 设，则， 因为QE与平面PAE所成角的正弦值为， 所以，解得，则，故． 4.如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点，为的中 点，，.    (1)求证：平面. (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出 的长：若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）连接，因为四边形为矩形，所以为的中点， 在中，分别为，的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为平面，，平面， 所以，， 又，所以， 以，，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系    则，，，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，， 所以平面的一个法向量为， 因为，，，平面， 所以平面 所以平面的一个法向量为 所以， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. （3），， 假设存在点，设， 则， 由（2）知，平面的一个法向量为， 因为与平面所成角的大小为， 所以， 所以，即，所以 故存在满足题意的点，此时. 5.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点.    (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明，因为底面，且底面，所以， 因为为正方形，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 由，为线段的中点，所以， 因为且平面，所以平面. （2）解：因为底面，且， 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，所以， 设，则， 因为轴平面，所以平面的一个法向量为 所以，解得，所以； 又因为，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以. 因为，所以点到平面的距离为.    6.如图（1），在正三角形中，分别为中点，将沿折起，使二面角为直二面角，如图（2），连接，过点E作平面与平面平行，分别交于. (1)证明：平面； (2)点H在线段上运动，当与平面所成角的正弦值为时，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)或1 【详解】（1）作DE中点O，连接， 分别为中点，则, 而二面角为直二面角，且平面平面, 平面，故平面， ∵平面平面ABD，平面平面，平面平面, ∴ 同理， 由分别为中点，，则四边形为平行四边形， 故，∴F为BC中点，∴G为AC的中点， 而，∴， ∵平面，平面，∴， 而，平面，∴平面， 平面，∴，∴， 由于，GE是公共边，∴≌， ∴，即, 又平面，∴平面. （2）由（1）知平面，以O为坐标原点，为轴， 建立如图所示空间直角坐标系, 令，则,,,,, ,,, 设，,,故， ∴，∴， 设平面的法向量，，， 则，取，∴， ，而与平面所成角的正弦值为， ∴，解得或1. 7.如图，在多面体中，四边形和四边形均是等腰梯形，底面为矩形，与的交点为，平面，且与底面的距离为， (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为．若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析; (2)存在；是的中点. 【详解】（1）证明：取中点，连接． ∵是底面对角线与的交点，即的中点   ∴∥，=. ∵∥平面，平面，平面平面，∴. ∵． ∴∥，=，故∥，＝，则四边形是平行四边形. ∴   ∵平面，平面 ∴平面. （2）∵  ∴ ∵， ,且两直线在平面内， ∴平面. ∵平面  ∴平面平面 在平面中，过作. 平面平面  ∴平面. 取中点，取中点，连接,． 以为原点，,，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 如图， 则，，，，，，有，，， 设， ∴  ∴. 设是平面的一个法向量, ∴ 令，则，∴ 设CM与平面ADE所成角为 ∴ 化简得：  ∴或－1（舍） 当M是BF的中点时，使得CM与平面ADE所成角正弦值为 8.如图，四棱锥的底面为菱形，，，底面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，G是线段PC上的一点． (1)若，证明直线AG在平面AEF内； (2)若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为，试确定的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【详解】（1）（1）证明：取BC的中点M，连接，则AM⊥AD，分别以AM，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系, 如图所示． 则，，，，， ， 设，因为，，． 所以，即， ，， 设平面AEF的法向量，则，所以 取， 所以，即． 又因为平面AEF， 所以直线AG在平面AEF内． （2）（2）设，则   则， 解得或，即或． 4． 二面角的探索问题 1.在长方体中，，点P为棱上任意一点.    (1)求证：平面⊥平面； (2)若点E为棱上靠近点C的三等分点，求点P在棱上什么位置时，平面与平面夹角的余弦值为. 【答案】(1)证明见解析 (2)点P为棱上靠近点的第一个六等分点 【详解】（1）在长方体中，，故四边形为正方形， ，又面ABCD，面ABCD，.， ，且AC，面， 面，面，平面平面. （2）   以D为原点，分别以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系. 设，，，，. 设点，，则，， 设面一个法向量为， 则即，令，，，. 设面的一个法向量为， 则即，取，，，. ， ，或， ，， 点P为棱上靠近点的第一个六等分点时， 面与面夹角的余弦值为. 2.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形ABB1A1为正方形，四边形AA1C1C为菱形，且∠AA1C＝60°，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，点D为棱BB1的中点． (1)求证：AA1⊥CD； (2)棱B1C1（除两端点外）上是否存在点M，使得二面角B－A1M－B1的余弦值为？若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）取棱的中点O，由题可得，进而可得平面，即得； （2）利用坐标法，设，利用二面角的向量求法列出方程，即得. 【解题过程】(1)取棱的中点O，连接． 因为四边形是菱形，所以， 又因为， 所以为等边三角形， 所以． 因为四边形为正方形且O、D分别是的中点， 所以，又平面， 所以平面， 因为平面， 所以． (2)因为平面平面，平面平面， 且平面， 所以平面． 以O为坐标原点，以所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系． 不妨设，则点． 设为平面的一个法向量， 则由及， 得，不妨取得． 假设棱上（除端点外）存在点M满足题意， 令得， 设为平面的一个法向量， 则由及， 得，不妨取，得． 由， 解得或， 所以存在点M为棱的中点或者为靠近端的八等分点． 3.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD为矩形，，AB=2，，平面，，，E是SA的中点． (1)求直线EF与平面SCD所成角的正弦值； (2)在直线SC上是否存在点M，使得平面MEF平面SCD？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）分别取AB，BC中点M，N，易证两两互相垂直，以为正交基底，建立空间直角坐标系，先求得平面SCD的一个法向量 ，再由求解； （2）假设存在点M，使得平面MEF平面SCD，再求得平面MEF的一个法向量，然后由求解. 【解题过程】(1)解：分别取AB，BC中点M，N，则， 又平面则两两互相垂直， 以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，           ， 所以， 设平面SCD的一个法向量为 ， ，， 则， ， 直线EF与平面SBC所成角的正弦值为. (2)假设存在点M，使得平面MEF平面SCD， ，    ， 设平面MEF的一个法向量 ， ， 令，则 ， 平面MEF平面SCD， ， ， 存在点，此时M与S重合. 4.如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得点为的中点，连接，如图乙. (1)求证：； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若不存在，说明理由；若存在，求出的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）结合余弦定理求得，结合勾股定理即可证明. （2）以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，应用向量法即可求解. 【详解】（1）取线段的中点，连接，    在中，，， ， 在中，， 由余弦定理可得：， ， 在中，， ； （2）因为平面，所以平面， 过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    ， 平面的法向量， 在平面直角坐标系中，直线的方程为， 设的坐标为， 则， 设平面的法向量为， 所以， 令，则， 由已知， 解之得：或4（舍去），. 5.如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，，． (1)证明：平面； (2)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）由面面垂直性质定理证明平面，由此证明，再证明，结合线面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，假设存在点，满足条件，求平面和平面的法向量，结合向量夹角公式列方程求，由此可得结论. 【详解】（1）正方形中，， 平面平面，平面平面，平面， ∴平面，又平面，所以，， 又，，则， 又，，则，即， 又，则，，平面， ∴平面； （2）由（1）知，平面，， 以为坐标原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设点，，， ∴， ∴，故， ∴，， 设平面的法向量为， ∴， 令，则，， ∴为平面的一个法向量， 又，设平面的法向量为， ∴， 令，则，， 所以为平面的一个法向量， ∴，解得或， 则线段（不含端点）上不存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为． 6.如图，已知直角梯形与，，，，AD⊥AB，，G是线段上一点. (1)平面⊥平面ABF (2)若平面⊥平面，设平面与平面所成角为，是否存在点G，使得，若存在确定G点位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点G为BF中点 【详解】（1）因为，，，AF、AB平面ABF， 所以AD⊥平面ABF，又AD平面ABCD， 所以平面⊥平面ABF. （2）由面⊥面，，面面，面， 所以平面，AB在面ABCD内，则，结合已知建立如下空间直角坐标系， 则，设，得， 平面的法向量为，又， 设平面的法向量为，则， 取，则， 故=，解得=，（舍）， 所以点G的坐标为，故存在点G为BF中点时使得. 7.已知和所在的平面互相垂直，，，，，是线段的中点，. (1)求证：； (2)设，在线段上是否存在点（异于点），使得二面角的大小为. 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【详解】（1），故， ，则，故， 又，平面，，故平面， 平面，故，    （2）△和△所在的平面互相垂直，则平面平面， 且平面，故平面， 如图所示：以分别为轴建立空间直角坐标系，    则，，，设，， 平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，则， 取得到， 则，解得，不满足题意. 综上所述：不存在点，使二面角的大小为. 8.如图，已知多面体EACBD中，EB⊥底面ACBD，EB=1，AB=2，其中底面由以AB为直径的半圆ACB及正三角形ABD组成    (1)若BC=1，求证:BC∥平面ADE. (2)半圆AB上是否存在点M，使得二面角是直二面角?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2)存在， 【详解】（1）由题意可得：，则， 且为锐角，则， 因为三角形ABD为正三角形，则， 可得，即， 所以//， 平面ADE，平面ADE， 可得BC∥平面ADE. （2）如图，以的中点为坐标原点，为x轴，的中垂线为y轴建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，即， 设，平面的法向量， 因为，则， 令，则，即， 若二面角是直二面角，则， 整理得， 联立方程，解得或， 因为，则，可得，即 所以， 可得当时，二面角是直二面角.    9.如图（1），平面四边形由正三角形和等腰直角三角形组成，其中，．现将三角形绕着所在直线翻折到三角形位置（如图（2）），且满足平面平面．    (1)证明：平面； (2)若点满足，当平面与平面夹角的余弦值为时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：取的中点，连结，在正三角形中，有， 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面，           又因为平面，所以， 在等腰直角三角形中，有， 又因为，且平面， 所以平面．    （2）取的中点，连结，在正三角形中，有， 由（1）可知平面，又因为平面，所以， 又因为，且平面，所以平面． 取的中点，连结，因为点是的中点，所以， 又因为，所以，           因为平面，平面， 所以，，           以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 因为，所以，所以， 所以， 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 则 设平面的法向量为， 则， 令，则，，所以， 由题意可知，，           整理得，所以，， 又因为，所以．      10.如图（1）所示的四边形中，，，，，沿将进行翻折，使得，得到如图（2）所示的四棱锥.四棱锥的体积为，点为线段上的动点（与端点，不重合）. (1)求证：平面； (2)探求是否存在大小为的二面角.如果存在，求出此时线段的长度；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）通过和即可证明； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量关系即可求出. 【解题过程】(1)在图（1）中，， 所以，即， 则在图（2）中，因为，即， 因为，所以平面； (2)因为平面，所以是四棱锥的高， 所以，则， 因为，则可以为原点建立如图空间直角坐标系， 假设存在大小为的二面角，设，又， 所以， 则， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，即，令，则，则， 又，即，令，则，则， 则，解得或（舍去）， 因此存在大小为的二面角，此时线段的长度. 11.如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，点为母线的中点，为上一点，且平面，． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)在线段上是否存在一点，使得二面角为直二面角？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由题意可知，平面平面，则，为中点， 又，， ，则． 过作平行线， 如图以此平行线所在直线为轴，，为原点建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面法向量为，则， 则， 取，则直线与平面所成角的正弦值为； （2）不存在 ，， 所以， 设平面法向量为， 则， 则，令，则， 取，平面法向量为． 因为二面角为直二面角，，解得， 又因为，不符题意． 所以在线段上不存在一点，使得二面角为直二面角. 题型10：空间动点最值和取值范围 一．直线和平面所成角最值和取值范围 1.如图，在长方体中，底面是边长为1的正方形，侧棱长为2，且动点P在线段AC上运动． (1)若Q为的中点，求点Q到平面的距离； (2)设直线与平面所成角为，求的取值范围． 【解题思路】(1)以AB，AD，为x，y，z轴正向建立直角坐标系，利用空间向量法求出平面的法向量，结合点到平面的距离的向量求法计算即可； (2)设点，，进而得出的坐标，利用向量的数量积即可列出线面角正弦值的表达式，结合二次函数的性质即可得出结果. 【解题过程】(1)由题意，分别以AB，AD，为x，y，z轴正向建立直角坐标系， 于是，，，． ，，设平面的法向量 所以，解得，， 令得，， 设点Q到平面的距离为d， (2)由（1）可知，平面的法向量， 由P点在线段AC上运动可设点，． 于是， ， 所以，的取值范围是 3.如图，四棱锥中，，，平面平面.    (1)证明：平面平面； (2)若，，，与平面所成的角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：过点A作于，    因为平面平面，平面平面，所以平面， 又平面，所以， 由，，可知， 而，平面 所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）法1：由（1）知平面，平面，所以， 又，所以， 所以，，所以， 由平面ABCD，所以平面． 如图建立空间直角坐标系，则，，，设， 平面的一个法向量为，， ，所以，，即， 得 令，得， ，所以， 显然，当时，取最小值， 综上，当时，的最大值为． 法2：设点到平面的距离为，因为，平面， 所以平面，所以点A到平面的距离也为， 由（1），平面，所以，又，所以， 所以，所以，所以， 由（1），平面，所以， 由，在四边形中，当时，取最小值， 此时四边形显然为矩形，，所以的最大值为． 4．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，点在棱上，且，点是棱上的动点（不含端点）. (1)若是棱的中点，求的余弦值； (2)求与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由平面，，平面，所以，， 又，所以、、两两垂直， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 当为棱的中点时，，则，， ， 所以的余弦值为. （2），设，， 则，则，又， 设平面的一个法向量为， 则，即，取， ，设与平面所成角为， ， 令，当时，， 即时，有最大值， 所以与平面所成角的正弦值的最大值为. 5．已知体积为1的四面体，其四个面均为全等的等腰三角形. (1)求四面体的外接球表面积的最小值； (2)若，的面积为，设点为线段（含端点）上一动点，求直线与面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为在四面体，其四个面均为全等的等腰三角形， 所以，将四面体放置于如图所示的长方体中，其中，则，， 所以，在长方体中，底面为正方形，设，， 因为四面体的体积为1， 所以，四面体的体积为，即， 设四面体的外接球的半径为， 所以，，当且仅当时等号成立， 所以四面体的外接球表面积， 所以，四面体的外接球表面积的最小值为 （2）解：因为，的面积为， 所以，，解得， 所以，， 所以，在中，由余弦定理得，即， 所以，，， 所以，以点为坐标原点，的方向分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示. 所以，，，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则 因为点为线段（含端点）上一动点，故设 所以 设直线与平面所成交为， 所以，， 因为， 所以，，即 所以，直线与面所成角的正弦值的取值范围. 6.已知四棱锥的底面为正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，，平面平面ABCD，平面平面． (1)求证：平面PAD； (2)设M为l上一点，求PC与平面MAD所成角正弦值的最小值． 【解题思路】（1）先由证得CD//平面PAB，再由线面平行的性质得，最后由面面垂直的性质得CD⊥平面PAD，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，表示出平面MAD的法向量，求出，由线面角的向量求法结合二次函数求出最小值即可. 【解题过程】(1)由题意知，因为平面PAB，平面PAB，所以CD//平面PAB．因为平面平面， 平面，所以；因为，平面PAD⊥平面ABCD，平面平面， CD平面ABCD，所以CD⊥平面PAD．又，所以平面PAD； (2) 取AD中点O，连接PO，由△PAD为等腰直角三角形知．又因为平面PAD⊥平面ABCD， 平面平面，平面PAD．所以PO⊥平面ABCD．以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则有，设，则，则有，， 设平面MAD的一个法向量，则有．即，令有，， 设PC与平面MAD所成角为，则，令，， 则，当即时，有最小值， 即PC与平面MAD所成角正弦值的最小值为. 7.如图，三棱台中，，D是AC的中点，E是棱BC上的动点．    (1)若平面，确定的位置. (2)已知平面ABC，且．设直线与平面所成的角为，试在（1）的条件下，求的最大值． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）连接,    由三棱台中，是的中点可得,所以四边形为平行四边形，故, 平面, 平面,故平面, 又平面，且平面， ， 所以平面平面，又平面平面, 平面平面,故, 由于是的中点,故是的中点， 故点在边的中点处，平面; （2）因为平面，平面, 所以,又平面, 故平面,由于平面,所以 , 由（1）知：在边的中点，是的中点, 所以,进而， 连接,由 所以四边形为平行四边形， 故 ,由于平面，因此平面， 故两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系；设，    则， 故 ， 设平面的法向量为， 则，取，则， 又， 故， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 8.如图，在六面体中，是等边三角形，二面角的平面角为30°，. (1)证明：； (2)若点E为线段BD上一动点，求直线CE与平面所成角的正切的最大值. 【解题思路】（1）利用线面垂直的判定定理及性质定理即可证得； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求得线面，满足，利用换元法结合二次函数的最值即可求解. 【解题过程】(1)证明：取中点，连接， 因为，所以，且， 所以平面， 又平面，所以. (2)连接，则，由，可得， 于是，所以， 又，所以平面， 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 由，可得， 平面的法向量为， 设，则， 设与平面所成角为， 则， 令，则， 令，由对称轴知，当，即时，， ，于是 直线与平面所成角的正切的最大值为2. 9.如图，在梯形ABCD中，，点M在边AD上，，，以CM为折痕将翻折到的位置，使得点S在平面ABCD内的射影恰为线段CD的中点．    (1)求四棱锥体积： (2)若点P为线段SB上的动点，求直线CP与平面MBS所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）取CD的中点O，连接SD、SO，取MD的中点F，连接CF． ∵，∴， ∵，∴ ∴，，． 由题意知平面ABCD，平面ABCD，∴ ∵O为CD中点，且，∴，∴ ∴； （2）延长DC到点E，以C为原点，、的方程分别为x轴、y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， ，， ∵，且，∴四边形BCDM为平行四边形， ∴，∴， ∴，．    设， 则 ． 设平面MBS的一个法向量，直线CP与平面MBS所成的解得为． 由得，令，则， 故可取． ∴ ∴当时，取得最大值． 所以直线CP与平面MBS所成角的正弦值的最大值． 二面角的最值和取值范围 1.已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点，. (1)证明：； (2)求当面与面所成的二面角的正弦值最小时，三棱锥的体积. 【解题思路】（1）根据直三棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、性质建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积坐标表示公式进行运算证明即可； （2）利用空间向量夹角公式，结合三棱锥的体积公式进行求解即可. 【解题分析】(1)因为三棱柱是直三棱柱， 所以底面，底面， 所以， 因为，所以， 又，平面， 所以平面. 所以两两垂直. 以B为坐标原点，分别以所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图. 所以. 由题设. （1）因为， 所以， 所以； (2)设平面的法向量为， 因为， 所以，即. 令，则. 因为平面的法向量为， 设平面与平面的二面角的平面角为， 则. 当时，取最小值为， 此时取最大值为， 所以， 此时，三棱锥的体积. 2.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，分别在棱，上．    (1)当为棱中点时，求证：； (2)当为棱中点时，求平面与平面所成的二面角余弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）因为底面为正方形，所以，又因为平面，，平面， 所以，．以为正交基底建立空间坐标系， 则，，，，．      当为棱中点时，，设， 则，， 所以，所以． （2）当为棱中点时，，设， 则，，，． 设平面的法向量为，则 取，则是平面的一个法向量， 设平面的法向量为，则 取，则是平面的一个法向量． 设平面与平面所成角为， 则． 令，则， 所以当，即时，取最大值． 所以平面与平面所成的二面角余弦值的最大值为． 3.如图1，在等边中，点，分别为边，上的动点，且满足，记.将沿翻折到位置，使得平面平面，连接，得到图2，点为的中点.    (1)当平面时，求的值； (2)试探究：随着值的变化，二面角的大小是否为定值？如果是，请求出二面角的正弦值；如果不是，请求出二面角的余弦值的取值范围. 【答案】(1) (2)是， 【详解】（1）取的中点，连接并延长与相交，因为，，所以，即， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，建立如图空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，， 所以，，. 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以即是平面的一个法向量， 因为平面，所以，，解得； （2）   由（1）知，是平面的一个法向量， 同理可求平面的一个法向量为， ，即随着值的变化，二面角的大小为定值. 且，所以二面角的正弦值为. 4.如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，点E是线段AD的中点，点F在线段AP上且满足，面ABCD. (1)当时，证明：//平面； (2)当为何值时，平面BFE与平面PBD所成的二面角的正弦值最小？ 【答案】(1)证明见详解 (2) 【详解】（1）设， 因为//，则， 若，即，可得， 所以//， 平面，平面， 故//平面. （2）连接， 由题意可得：， 在中，由余弦定理， 即，可得，则， 且面ABCD，如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设点，则， 因为，则，解得，即， 可得， 设平面BFE的法向量为，则， 令，则，即， 由题意可得：平面的法向量， 设平面BFE与平面PBD所成的二面角为， 则， 由题意可知：，则有： 当时，则； 当时，则， 因为，则， 关于的二次函数开口向上，对称轴， 当，即时，取到最小值，即， 可得； 综上所述：. 所以当时，取到最大值，取到最小值. 即当时，平面BFE与平面PBD所成的二面角的正弦值最小. 5.如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥． (1)求四棱锥的体积的最大值； (2)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）取的中点，连接，因为，则， 当平面平面时，点到平面的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，此时平面，且， 底面为梯形，， 则四棱锥的体积最大值为. （2）连接，因为，所以，所以为的平面角，即， 过点作平面，以为坐标原点， 分别以DA，DC，DZ所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 过作于点，由题意得平面， 设，因为，所以，，， 所以，， 所以， 所以，， 设平面PAM的法向量为，则， 令，则， 设平面的法向量为， 因为，， 则，令， 可得， 设两平面夹角为， 则 令，，所以， 所以， 因为的对称轴为， 所以当时，有最小值， 所以平面和平面夹角余弦值的最小值为． 6.某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱，其底面边长为4，高为1，工作台的上半部分是一个底面半径为的圆柱体的四分之一，点为圆弧（包括端点）上的动点． (1)若平面时，求点与的最短距离． (2)若，当点在圆弧（包括端点）上移动时，求平面与平面所成的锐二面角的正切值的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图，以为原点，以的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系， 设， 则， ， 平面， ， ， 点在圆弧（包括端点）上移动， 则，， ， ， 即，当且仅当时等号成立， ， 点与的最短距离为. （2）若，由（1）知， 设，，则,,， 所以， 又，， 设平面的法向量为， 则， 令，则， 取平面的一个法向量， 设平面与平面所成的锐二面角的大小为， 则， ， ，， 则， 由，则， 二面角的正切值的取值范围为. 题型11：空间动点轨迹 1.如图，在直三棱柱中，是侧面内的动点（包括边界），D为的中点，． (1)求证：点E的轨迹为线段； (2)求平面与平面夹角的大小． 【解题思路】（1）方法一（几何法）补形为正方体，证明平面，所以在平面内，从而得证； 方法二（坐标法）如图建立空间直角坐标系，设，由条件可得，从而得证； （2）方法一（几何法）平面即平面，由二面角定义可知就是平面与平面所成角，从而可解； 方法二（坐标法）空间向量法求两平面夹角. 【解答过程】（1）方法一（几何法） 补形为正方体，连接， 显然． 由正方体性质，平面，平面，所以， 又，且平面，， 所以平面，而平面，所以， 同理，又平面，， 所以平面，即平面． 因为， 所以在平面内． 又因为平面， 所以点E在平面和平面的交线上． 因为平面平面是侧面内的动点（包括边界）， 所以点E的轨迹为线段． 方法二（坐标法） 如图建立空间直角坐标系，则， 设，则，则． 由得， 所以即， 所以点E的轨迹为线段． （2）方法一（几何法） 因为点E的轨迹为线段， 所以平面即平面． 因为平面平面， 又因为平面， 所以且是锐角， 所以就是平面与平面所成角， 所以平面与平面的夹角为． 方法二（坐标法） 如图建立空间直角坐标系，则， 所以． 因为点E的轨迹为线段， 所以平面与平面所成角，就是平面与平面所成角． 显然平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 由得 令，则， 所以， 所以， 所以平面与平面的夹角为． 2.在三棱锥中，平面，，点在平面内，且满足平面平面垂直于． (1)当时，求点的轨迹长度； (2)当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积． 【解题思路】（1）先通过垂直关系得到，然后建立空间直角坐标系得到点的轨迹，根据角度求轨迹的长； （2）利用向量法求面面角，解方程求出点的坐标，进而利用体积公式求解即可. 【解答过程】（1）作交于， 因为平面平面，且平面平面，面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为平面，且平面，所以， 因为，，、平面，， 所以平面，又因为平面，所以． 分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， 设，因为，所以， 又，， 所以，即， 设中点为，则，如图： 又，所以， 因此，的轨迹为圆弧，其长度为； （2）由（1）知，可设，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令得． 为平面的一个法向量，令二面角为角， ，又， 解得，（舍去）或，， 则或， 从而可得三棱锥的体积． 3.如图所示，四边形为直角梯形，且，，，，．为等边三角形，平面平面．    (1)线段上是否存在一点，使得平面，若存在，请说明点的位置；若不存在，请说明理由； (2)空间中有一动点，满足，且．求点的轨迹长度． 【解题思路】（1）取的中点，的中点，连接，，，即可证明，，从而得到平面平面，即可得到平面； （2）取的中点，连接、，即可证明平面，从而得到平面，又，则点在以为直径的球与平面的交线上，即点的轨迹为圆，取的中点，过点作交于点，则平面，再求出的轨迹圆的半径，即可气求出轨迹长. 【解答过程】（1）线段上存在中点，使得平面，理由如下：    取的中点，的中点，连接，，， 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，平面，平面，所以平面， 又，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面， 即为线段的中点时，平面. （2）取的中点，连接、， 又，为等边三角形，所以，， ，平面，所以平面， 又，所以平面， 又，所以点在以为直径的球上， 所以点在以为直径的球与平面的交线上， 即点的轨迹为圆， 取的中点，由平面，过点作交于点， 则平面， 又，则， 设球的半径为，的轨迹圆的半径为，则，， 所以点的轨迹长度为.   4.如图，四面体的每条棱长都等于2，分别是棱的中点，分别为面，面，面的重心. (1)求证：面面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)保持点位置不变，在内（包括边界）拖动点，使直线与平面平行，求点轨迹长度； 【解题思路】（1）连接，利用平行的传递性可以证明，利用对应成比例可以证明，从而得证面面平行； （2）利用第（1）问的结论，把平面与平面的夹角问题，转化为平面与平面的夹角问题，连接，根据二面角的平面角的定义，为所求二面角的平面角，解三角形即可求； （3）先找一个特殊的点，使得直线与平面平行，然后再延展平面，与底面的交线长度即为所求. 【解答过程】（1）如图，连接,易知三点共线 因为分别为面，面，面的重心， 所以在中，，所以， 在中，所以分别是棱的中点，所以， 所以， 又平面，平面，所以平面， 在中，，所以， 又平面，平面，所以平面， 又因为，平面， 所以面面. （2）由（1）知，平面平面，所以平面与平面的夹角与平面与平面的夹角相等， 如图，连接，因为分别是棱的中点， 所以在等腰中，，在等边中，， 所以是平面的夹角与平面与平面所成角的平面角， 因为面，面，所以, 又，，，平面，所以面， 又面，所以， 所以在中，， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为； （3）如图，取线段靠近点的三等分点P，连接，易知三点共线， 连接，因为点为等边的重心，所以， 所以当点在点P位置时，满足题意， 取线段靠近点G的三等分点Q，连接，易知，又， 所以，所以共面，即当O在线段上运动时，均满足题意， 所以即为点的轨迹长度, 又， 所以点的轨迹长度为. 题型12：不好建系的处理 1.如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为a，，平行于和的平面分别与交于四点． (1)证明：四边形是矩形； (2)求三棱锥的体积（用含a的式子表示）； (3)当实数a变化时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【解析】（1）因为平面，平面平面，平面， 所以，同理，则. 由三棱柱可知，平面平面， 又平面平面，且平面平面， 所以，所以四边形是平行四边形. 由，平面，平面， 所以平面， 又平面，， 又平面，平面， 所以平面平面， 又平面平面，且平面平面， 所以. 过作平面，垂足为，在平面内过作，垂足为， 作，垂足为，连接， 所以平面，，同理，，. 因为平面，平面，， 所以平面，平面， 则，同理. 在与中，为公共边，且， 故与全等，故， 在与中，，又为公共边， 则与全等，则， 所以即为的角平分线， 又为等边三角形，故，又， 因为平面，平面，， 所以平面，平面， 所以，又，， 所以有，故四边形为矩形. （2）由为等边三角形，且边长为，则， 在中，；在中，； 在中，； 所以， 即，则， 则三棱锥的高， . （3）由（1）知，，则， 所以在中，， 过作平面，垂足为， 则三棱柱的高也即，由（2）知， 故即为直线与平面所成角， 则， 由，则. 故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 2.如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，分别为的中点，为上一点，过和的平面交于，交于． （1）证明：平面； （2）设为的中心，若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）因为侧面是矩形，分别为的中点，所以，，从而， 又是正三角形，是中点，所以， 因为，平面，所以平面， 平面，平面，平面平面，所以，而，所以，所以平面，平面， 所以平面； （2），连接， 平面，平面平面，平面，所以，又由三棱柱的性质得，所以是平行四边形，所以， 是的中心，则，所以， 所以， 设，则，， 由三棱柱性质知四边形是等腰梯形，如图，，作于，则，又， 所以，． 由（1）知是平面的一个法向量，而是与的夹角， 所以直线与平面所成角的正弦值等于． 3.《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥中，平面.    （1）从三棱锥中选择合适的两条棱填空：________________，则三棱锥为“鳖臑”； （2）如图，已知，垂足为，，垂足为，. （i）证明：平面平面； （ii）设平面与平面交线为，若，，求二面角的大小. 【解析】（1）因为“鳖臑”是由四个直角三角形组成的四面体，又平面，所以，，；即，为直角三角形； 若，由，平面，可得：平面； 所以，即，为直角三角形；满足四个面都是直角三角形； 同理，可得或或，都能满足四个面都是直角三角形； 故可填：或或或； （2）（i）证明： ∵平面，平面， ∴， 又，，平面， ∴平面， 又平面， ∴， 又，，平面， ∴平面， 又平面， ∴， 又，，平面， ∴平面， 又平面， ∴平面平面. （ii）由题意知，在平面中，直线与直线相交. 如图所示，设，连结，则即为. ∵平面，平面， ∴， ∵平面，平面， ∴， 又，平面， ∴平面， 又平面， ∴，. ∴即为二面角的一个平面角. 在中，，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴二面角的大小为. 4．四面体，． (1)求的面积； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求四面体的外接球半径． 【解析】（1）因为， 所以由余弦定理可得，，， 所以，， ， 所以， 在中，由余弦定理可得， 所以， 所以； （2）过作平面于，过作于，过作于， 连接， 因为平面，所以，因为，平面， 所以平面，又平面，所以，同理可得， 又因为，，所以，所以， 所以，所以是的平分线， 因为，所以，进而在中，可得， 所以， 因为，所以三角形是直角三角形， 设点到平面的距离为，因为， 所以，所以， 所以OC与平面ABC所成角的正弦值为； （3）三角形是直角三角形，则设三角形斜边的中点为，连接， 过作平面，因为四面体的外心在直线上，设球心为， 在中，因为，所以， 由余弦定理可得， 所以，设， 所以，， 因为，所以，整理得， 解得，所以外接球的半径为. 题型12：空间向量与立体几何新定义 1.空间中，我们将至少两条坐标轴不垂直的坐标系称为“空间斜坐标系”．类比空间直角坐标系，分别为“空间斜坐标系”中三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．如图，在平行六面体中，，，，．以为基底建立“空间斜坐标系”． (1)若点在平面内，且平面，求的斜坐标； (2)若的斜坐标为，求平面与平面的夹角的余弦值． 【解析】（1）由题可知，，则（提示：斜坐标的本质是将空间中的向量用基底表示后的系数）， 由题可知，，． 平面， 即 则，， 则的斜坐标为． （2）由题可得，， 设平面的法向量为（提示：设斜坐标系下的法向量，通过求解法向量方程与赋值求得法向量）， 由 得 即 取，可得，， 即． 则． 由（1）可知平面， 且， 则， ， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为． 2.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与P相邻的顶点，且平面…平面和平面为多面体M的所有以P为顶点的面．现给出如图所示的三棱锥． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若PA⊥平面ABC，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度 【解析】（1）根据离散曲率的定义得， ， 又因为 所以． （2）∵平面平面， ∴， 又∵，平面， ∴平面 ∵平面，∴， ∵，即 ∴，∴， 过点作交于，连结， 因为平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 依题意可得，， ， ， 设，则， 在中， ， 又，所以， 则， 所以， 解得：或（舍） 故. 3.三余弦定理：设A为平面内一点，过点A的斜线在平面上的正投影为直线．为平面内的一条直线，记斜线与直线的夹角（即直线与平面所成角）为，直线与直线的夹角为，直线与直线的夹角为，则．三余弦定理描述了线面角是斜线与平面内任意直线所成角的最小值，又称最小角定理． (1)证明三余弦定理； (2)如图，已知三棱柱，为正三角形，，求直线与底面所成角的正弦值； (3)已知平行六面体，记为平行六面体体积，为平行六面体表面积，为平行六面体棱长总和，求证：． 【解析】（1）如图，不妨设在平面的射影为，则，过点作交直线于点，连接， 即为斜线与平面所成角， 即为斜线在平面的射影直线与平面内的直线所成角，即为斜线与平面内的直线所成角， ，，， 又，，，平面， 平面， 平面，， 根据几何关系可得，， ． （2）取中点为，连接，，，，易知， ，． 又，，，平面，平面， 平面， 平面平面， 直线在平面上的射影必在交线上， 直线与底面所成角为， ，， 由三余弦定理得，得， ， 即直线与底面所成角的正弦值为． （3）证明：设，，，，，，直线与底面所成角为，直线在底面投影与AB夹角为，在底面投影与AC夹角． 由平行六面体的对称性，不妨令，， 由三余弦定理， 则. 由题意得， ， ， ， 由，可得： 则 ， 当且仅当且时等号成立． 4．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为.、、为球面上三点，劣弧的弧长记为，设，表示以为圆心，且过、的圆，同理，圆，的劣弧、的弧长分别记为、，曲面（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为、、，则球面三角形的面积为. (1)若平面、平面、平面两两垂直，求球面三角形的面积； (2)若平面三角形为直角三角形，，设，，.则： ①求证： ②延长与球交于点.若直线，与平面所成的角分别为，，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值，及此时平面截球的面积. 【解析】（1）若平面OAB，OAC，OBC两两垂直，有， 所以球面三角形ABC面积为. （2）①由余弦定理有：，且， 消掉，可得； ②由AD是球的直径，则， 且，，平面BCD， 所以平面BCD，且平面BCD，则， 且，平面ABC，可得平面ABC， 由直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，所以， 不妨先令，则， 由，，， 以C为坐标原点，以CB，CA所在直线为x，y轴，过点C作BD的平行线为z轴，建立如图空间直角坐标系， 设，则， 可得，， 则， 设平面OBC法向量，则， 取，则，可得， 设平面EST法向量，则， 取，则，可得， 要使sinθ取最小值时，则取最大值， 因为 ， 令，则， 可得， 当且仅当取等． 则取最大值，为最小值， 此时点，可得，， 设平面AEC中的法向量，则， 取，则，可得， 可得球心O到平面AEC距离为， 设平面AEC截球O圆的半径为r，则， 所以截面圆面积为. 5.蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥，，，再分别以，，为轴将，，分别向上翻转，使，，三点重合为点所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为. (1)求蜂房曲顶空间的弯曲度； (2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设 （i）用表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积； （ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点的曲率的余弦值. 【解题思路】（1）根据弯曲度、曲率的定义求得正确答案. （2）（i）结合多面体的表面积的求法求得；（ii）利用导数求得蜂房表面积最小时的值.令，利用余弦定理求得，结合三角恒等变换的知识求得顶点的曲率的余弦值. 【解答过程】（1）蜂房曲顶空间的弯曲度为顶端三个菱形的7个顶点的曲率之和， 根据定义其度量值等于减去三个菱形的内角和， 再减去6个直角梯形中的两个非直角内角和， 即蜂房曲顶空间的弯曲度为. （2）（i）如图所示，连接AC，SH，则，设点在平面的射影为O， 则，则， 菱形SAHC的面积为， 侧面积， 所以蜂房的表面积为. （ii）， 令得到， 所以在递增；在递增. 所以在处取得极小值，也即是最小值. 此时，在中，令，由余弦定理得， 又顶点的曲率为， . 6.已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为上一点，. (1)求的长； (2)若为的中点，求二面角的余弦值； (3)若为上一点，且满足，求. 【解题思路】（1）证明，为直线与所成的角，设，结合“向量积”的模的定义由条件列方程求可得的长； （2）过点作交的延长线于点，证明为二面角的平面角，解三角形求其大小，结合二面角 与二面角互补可得结论； （3）过点作，证明平面，过点作交于点，证明，结合条件可求. 【解答过程】（1）因为底面为矩形， 所以，， 因为底面，底面， 所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为， 所以为直线与所成的角，即， 设，则，， 在中， 又，所以，解得或（舍去）， 所以； （2）在平面内过点作交的延长线于点，连接， 因为底面，底面，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为为的中点， 所以，， 所以， 设二面角的平面角为，则， 所以， 即二面角的余弦值为； （3）依题意，，又， 所以，，又，所以， 又，平面，所以平面， 在平面内过点作，垂足为， 由平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 在平面内过点作交于点，在上取点，使得，连接， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又，即， 所以. 7.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与P相邻的顶点，且平面…平面和平面为多面体M的所有以P为顶点的面．现给出如图所示的三棱锥． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若PA⊥平面ABC，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度 【解题思路】（1）根据所给的定义，表示，再相加，即可求解； （2）首先根据题设中垂直关系结合点C处的离散曲率求得、，构造线面角，再设，表示出，再利用余弦定理求，再由余弦值，转化为正切值，得到关于的等式求解即可得答案. 【解答过程】（1）根据离散曲率的定义得， ， 又因为 所以． （2）∵平面平面， ∴， 又∵，平面， ∴平面 ∵平面，∴， ∵，即 ∴，∴， 过点作交于，连结， 因为平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 依题意可得，， ， ， 设，则， 在中， ， 又，所以， 则， 所以， 解得：或（舍） 故. 8.我们规定：在四面体中，取其异面的两条棱的中点连线称为的一条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”.    (1)如左图，在四面体中，分别为所在棱的中点，证明：的三条内棱交于一点. (2)同左图，若为垂棱四面体，，求直线与平面所成角的正弦值. (3)如右图，在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，为其下焦点，经过的直线与交于两点，为平面下方一点，若为垂棱四面体，则其外接球表面积是的函数，求的定义域与最小值. 【解题思路】(1)利用两内棱的端点构成四边形为平行四边形，然后证明两个内棱相交且互相平分，然后得到三个内棱相交于同一点且互相平分； （2）由定义易证：四边形为菱形，于是再由中位线定理，其对棱相等，所以可以补形为长方体，然后建立空间直角坐标系求解即可； （3）由（2）易知棱长与外接球表面积的关系，然后设，求得直线方程，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理得， 得 求得 然后利用三角形为锐角三角形求得 最后求最值即可. 【解答过程】（1）如图，连接，    由题可知，平行且等于，平行且等于 所以平行且等于 所以四边形为平行四边形， 所以对角线，为线段中点； 同理，为线段中点； 故的三条内棱交于一点. （2）由（1）可知，四边形为平行四边形， 若为垂棱四面体，则四边形为菱形， 即， 显然， 故， 同理， 如图，将该三棱锥补全为一个长方体，并建立空间直角坐标系，    因为， 所以有， 所以,， 设平面的一个法向量为， 易知， 令，解得， 所以， 直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（2）易知将补成长方体，设长宽高分别设为， 则外接球半径为该长方体的体对角线长的一半即：， 则：， 显然，所以， 设， 因为直线过椭圆焦点， 所以， 联立得， 显然， 由韦达定理可知，， 得， 所以， 所以， 整理得， 得， 所以， 由于为某长方体的三个顶点由余弦定理可知均为锐角， 显然中角均为锐角， 所以只需角锐角，即：， 得， 解得， 由的定义域为， ， 所以当最大时，最小， 不妨令， 所以， 因为， 由对勾函数性质可知，当时，有最大值， 此时， 故的最小值为. 9．已知正方体的棱长为1． (1)证明：平面； (2)已知点为平面内一动点，且与所成角为，求线段所形成的曲面面积S； (3)在棱上分别取点（均不与端点重合），二面角，分别记为，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）以D为原点，分别以DA、DC、所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，空间向量垂直的坐标公式,然后利用线面垂直的判定即可得证； （2）首先得线段所形成的曲面是圆锥的侧面，求出半径和母线长即可得； （3）利用向量法求出二面角的余弦，然后利用均值不等式求出最值即可 【详解】（1）以D为原点，分别以DA、DC、所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 则 所以， ， 因为在平面内相交于点A， 所以平面； （2）在平面中，连接交于点， 由（1）知平面， 因为 是正三角形，边长为，由， 即， 点为平面内一动点，且与所成角为，则， 所以点轨迹为以为圆心，为半径的圆， 线段所形成的曲面是圆锥的侧面，曲面面积； （3）设， 平面DFG的法向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，设平面EFG的法向量为，则， 所以，令，，所以， 所以，，， = ，， ， ，，当且仅当，即时取等号，又， ， 所以的取值范围为. 10．如图，在空间直角坐标系中，点分别在轴上（点异于点），且. (1)当（表示面积）取得最大值时，求点到平面的距离. (2)若，动点在线段上（含端点），探究：是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. (3)记平面与平面、平面、平面的夹角分别为，比较与1的大小关系，并说明理由. 【答案】(1);(2)存在，;(3)，理由见解析. 【分析】（1）利用基本不等式可求得取得最大值时，,再利用三棱锥的等体积法求出点到平面的距离； （2）利用空间向量坐标运算，结合参数表示线面角的正弦值，解方程即可得出参数值，进而得出结论； （3）利用空间向量坐标运算求出平面的法向量，再求出面面角的余弦值，利用基本不等式可得到结论并得证. 【详解】（1）不妨设，则且， 故， 当且仅当时等号成立，取得最大值，此时. 记点到平面的距离为.因为， 又，所以，解得. 所以，点到平面的距离为. （2）由题可知，故. 设，则. 设为平面的法向量，则即可取. 记直线与平面所成的角为，则， 解得，则.所以,存在线段的中点满足题意，此时. （3）结论：.下面给出证明： 同（1）设的长度分别为，则. 显然平面的一个法向量为.设平面的法向量为， 则可取，所以， 同理得，故有.要证.， 即证①. 事实上，有， 化简得， 则①式得证，故， 当且仅当即时等号成立，命题得证. 11．如图，半径为2的半球面O，底面设为，AB是半球面O的直径，点C在半球面上，且，平面平面. 过点C的平面与半球面O相交形成圆S，CD为圆S的一条直径，且D在平面ABC上，且平面与的夹角为，点C，D均在平面的同侧，记，. (1)求证：平面； (2)点P在圆S上，设，. 且，Q在平面上. （i）用表示PQ的长； （ii）当DQ与平面ABC所成角最大时，求. 【答案】(1)证明见解析(2)（i）；（ii） 【分析】（1）记为弧的中点，结合面面垂直与线面垂直性质定理分别证明，再由线面垂直判定定理证明平面，然后结合角度关系求解，得线线垂直，进而证明线面垂直； （2）（i）结合余弦定理、勾股定理、相似性解三角形可得；（ii）由面面垂直性质找二面角的平面角，利用线面平行判定与性质寻求几何性质，利用三角函数运算表示的正切值，利用导函数求最值可得. 【详解】（1）因为，，，又，则. 记为弧的中点，则，又因为平面平面，且平面，平面平面，则，又因为，则.又根据题意知球心为，截面圆圆心为，连接， 则，，则，又平面，平面，且， 则平面，又平面，则，所以为平面与的夹角，即， 又，所以，已知，又为中点，所以，则，即，又平面平面，平面，平面平面， 所以平面． （2）（i）连接，延长交于，由（1）性质可知， ，，如图，在中，， 由余弦定理得，， 则，在中，，，则，由于三点共线， 所以在中，由，又，所以． （ii）如图，过作，垂足为，连接，因为平面，平面平面且交线为， 因此平面，所以即为与平面所成角的平面角． 设平面，连接，过作，垂足为. 由平面，则，平面，平面，则平面，平面，平面平面，则，同理，由可得，则四边形是平行四边形，则，且平面，又平面，则，则，且， 则，则， 故，令，则， 构造函数，则，在上单调递增， 并存在唯一零点，故在上单调递增，在上单调递减． 则当时，有最大值， 由DQ与平面ABC所成角的范围为， 故当与平面所成角最大时，． 12．球面几何学是非欧几何的例子，是在球表面上的几何学.对于半径为的球，过球面上一点作两条大圆的弧，，它们构成的图形叫做球面角，记作（或），其值为二面角的大小，其中点称为球面角的顶点，大圆弧称为球面角的边.不在同一大圆上的三点，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧，这三条劣弧组成的图形称为球面，这三条劣弧称为球面的边，三点称为球面的顶点；三个球面角称为球面的三个内角. 已知球心为的单位球面上有不同在一个大圆上的三点. (1)球面的三条边相等（称为等边球面三角形），若，请直接写出球面的内角和（无需证明）； (2)与二面角类比，我们称从点出发的三条射线组成的图形为三面角，记为.其中点称为三面角的顶点，称为它的棱，称为它的面角.若三面角的三个面角的余弦值分别为. ①求球面的三个内角的余弦值； ②求球面的面积. 【答案】(1)(2)①，，；② 【分析】（1）通过已知条件直接证明三个平面两两垂直，然后由球面角的定义即可得出； （2）使用空间解析几何方法求出球面的三个球面角，再证明球面球面的面积，即可得到结果. 【详解】（1）由可知在两个互相垂直（即交点处切线垂直）的大圆上， 从而，故， 设，则， 从而，注意到到直线的距离均为，故， 所以由知，所以，即，这得到， 从而，又在两个互相垂直的大圆上，故， 从而两两垂直，从而由在平面内交于点，可知垂直于平面， 而在平面和平面内，故平面垂直于平面，同理平面垂直于平面， 平面垂直于平面，所以三个平面两两垂直， 故由球面角的定义知，所以球面的内角和是. （2）①由已知条件，可设， 如图，以为原点，构建空间直角坐标系，则，不妨设， 设，则由可知；；，故， 不妨设，则，所以有， 设平面的法向量分别为，并设， 则即从而，故可以取所以我们有，， ，故球面的三个内角的余弦值分别为. ②先证明一个引理.引理：若在单位球面上的球面的三个球面角， 设该球面的面积为，则，引理的证明： 记球的表面积为，则， 设的对径点分别为， 则所在的大圆和所在的大圆， 它们将球面分成了四个部分， 其中面积较小的两个部分的面积之和等于球的表面积的倍， 即，类似可定义，且同理有， 而根据球面被这三个大圆的划分情况，又有， 所以， 故，引理得证， 回到原题，根据①的结论，有， 再由引理知球面的面积. 【点睛】结论点睛：球面的面积求解定理： 若球面的三个球面角，设该球面的面积为，则. 13．我国南北朝数学家祖暅于5世纪末提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”.这就是“祖暅原理”，意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. (1)如图1，左边是半径为R的半球，右边是底面半径和高都等于R的圆柱，它们的底面在同一个平面上，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到的一个新几何体，现在用平行于平面的平面去截半球和新几何体，得到如图所示两个阴影面，设底面圆心O到截面的距离为d，分别求图中的两个阴影面积及新几何体的体积. (2)如图2，一个球体被平面截下的部分叫做球缺.截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高.根据祖暅原理，推导半径为R，高为H的球缺的体积公式. (3)若正方体棱长为，求该正方体与以A为球心，2为半径的球的公共部分的体积. 【答案】(1),(2)(3) 【分析】（1）结合图形判断两阴影面的形状为一个圆面和一个圆环面，运用面积公式计算即可，根据，利用祖暅原理计算半球体积即得； （2）在时，先利用祖暅原理求出球台体积，加上半球体积整理即得球缺公式，对于时，只需计算另一半大球缺的体积，再用球体积减去其体积，化简整理即得； （3）由题知该正方体与以A为球心，2为半径的球的公共部分是球体的，去掉3个包含点的正方体的面截球所得球缺的，分别求球体和球缺的体积，代入计算即得. 【详解】（1）在图1中的半球中，阴影面为一个圆面， 由球的截面圆性质，可知截面圆半径为，则阴影面积为； 在图1中的圆柱中，阴影面为两个同心圆所夹的圆环面， 因圆柱的底面半径和高都等于R，故小圆的半径为，大圆半径为，则阴影面积为， 因，故新几何体的体积等于半球体的体积，即. （2）不妨设，先用与水平面平行且经过球缺所在球的球心的平面截球缺得到如图所示的球台，则球台的高为，下底面半径为，上底面半径为， 由祖暅原理，球台体积等于与之等高，底面半径相等的圆柱挖去一个与之等高的小圆锥余下的几何体的体积，其中小圆锥的底面半径为，则球台体积为， 将其加上半球的体积，即得球缺的体积：. 若，则可先计算另一半高为的大球缺体积，再用球的体积减去大球缺的体积， 即得小球缺的体积为. （3）依题意，该正方体与以A为球心，2为半径的球的公共部分是球体的，去掉3个包含点的正方体的面截球所得球缺的. 因，高为的球缺体积为：， 故所求的公共部分的体积为：. 14．平面内有椭圆与点，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，椭圆的焦距为，且，过点M的直线交椭圆于两点，直线交轴于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求直线斜率的取值范围； (3)将平面沿轴翻折成大小为的二面角，若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）用表示面积与焦距，利用方程组求解，求得椭圆方程； （2）设直线方程，联立椭圆方程，由直线方程令，表示坐标及，代入韦达定理化简整理，再由不等式求解的范围即可； （3）由题意判断点位置，设坐标，利用已知条件求解，再利用法向量求解线面角. 【详解】（1）由椭圆的焦距为，得，即①； 由，，得，即②； 联立①②解得，故椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，在平面直角坐标系中，， 由题意知直线斜率存在，可设直线方程为，设， 联立，消得，其中. 由韦达定理得，，则直线的方程为，令，得；同理的方程为，令，得； ， 由，即，解得，故直线斜率的取值范围为. （3）由，得，即.如图2，在平面直角坐标系中，设，，则，设，则， 设直线与椭圆交于点，联立，解得，此时， 直线与椭圆另一交点恰为，由，可知点坐标应满足， 即直线的斜率，故直线与椭圆的另一交点在轴下方， 故与轴的交点也在轴下方，且.同理，联立直线与椭圆方程， 解得，又，则， 由（2）知，所以有，化简得③， 因此，如图3，在空间直角坐标系中， 则，设， 由可得，整理得④； 联立③④解得，故，则， 由三点共线，故平面即平面，设平面的法向量， 则，令，得，则平面的法向量， 设直线与平面所成角为，则. 故直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键有二，一是利用韦达定理表示；二是判断点位置，确定坐标，进而求解线面角. 15．已知椭圆 的上顶点为 ，且过点 .    (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为 的直线 与椭圆交于 、 两点（直线 斜率为正），直线 、 （若 、 重合， 直线 即为椭圆 在 点处的切线） 分别与 轴交于 两点， 为 中点. （i） 求 的最大值; （ii）当 最大时，将坐标平面沿 轴折成二面角 ，在二面角 大小变化过程中，求三棱锥 外接球表面积取得最小值时三棱锥 的内切球的半径. 【答案】(1)；(2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即得椭圆方程. （2）（i）设出直线方程，与椭圆方程联立利用韦达定理，结合斜率坐标公式推证得，再利用余弦定理建立函数关系求出正弦最大值；（ii）在（i）的条件下可得过原点，且，再在折后的几何体中补形并探讨外接球最小时的球心位置，并利用体积法求出内切球半径. 【详解】（1）依题意，，，解得，所以所求方程为. （2）（i）设直线，由消去得， 设，则，直线的斜率分别为， 则 ，则，即， 在中，令，则， ，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. （ii）当取最大值时，是边长为2的等边三角形， 过原点， 将沿轴折成三棱锥，将底面补成等腰梯形， 则三棱锥的外接球即为四棱锥的外接球． 过等腰梯形外心即中点作直线平面， 过中心作直线平面，则即为三棱锥外接球球心， 即为三棱锥外接球半径，显然与重合时三棱锥外接球半径最小， 此时平面，三棱锥为正四面休，与交点即为中心， 平面，而平面，则，在等腰梯形中， ，，则，即， 由平面，于是平面，而平面， 因此，因此，， 则三棱锥表面积为，设三棱锥内切球半径为， 则，解得.    【点睛】结论点睛：一个多面体的表面积为S，如果这个多面体有半径为r的内切球，则此多面体的体积V满足：. 16．若简单多面体可以被分割成个完全相同的小多面体，则称该简单多面体为“等和多面体”，其中分别表示简单多面体的顶点数、棱数、面数.记每个小多面体的顶点数、棱数、面数分别为，，，，（为与分割方式有关的正整数）. (1)已知长方体是“等和多面体”，按分割方式：过长方体共顶点的三条棱的中点，各作一个与该棱垂直的平面，将长方体分割成若干个完全相同的小长方体，求该分割方式下的值； (2)判断正四面体是否为“等和多面体”.若是，请先描述一种分割方式，再求出该分割方式下的值；若不是，请说明理由； (3)若简单多面体是“等和多面体”，求分割后小多面体的个数与的等量关系. 参考公式：多面体欧拉定理可表示为“顶点数棱数面数”，即. 【答案】(1)，，，(2)是，将每条棱三等分后分割，，，，，(3) 【分析】（1）先根据分割方法确定，又因为分割成了完全相同的小长方体，所以， ，，最后由，，解出，，即可； （2）由确定分割方式得到的值，，因为分割成了完全相同的小正四面体，所以， ，，最后由，，解出，，即可； （3）借助欧拉公式先得到原多面体，，之间的关系：，同理，对于分割后的每个相同的小多面体也有，再根据，，，将每个小多面体的欧拉公式两边同时乘以，最后相减即可得到答案. 【详解】（1）解：已知过长方体共顶点的三条棱的中点，各作一个与该棱垂直的平面，将长方体分割.在长方体每个维度上都被分割成两份，所以小长方体的个数为； 原长方体顶点数，每个小长方体顶点数，， 又，所以；原长方体棱数，每个小长方体棱数， ，又因为，所以；原长方体面数，每个小长方体面数，，又因为，所以. （2）解：正四面体，，，，正四面体是“等和多面体”. 分割方式：将正四面体的每条棱三等分，连接各分点，可将正四面体分割成个完全相同的小正四面体，所以.每个小正四面体顶点数，，又，所以； 每个小正四面体棱数，， 又因为，所以；每个小正四面体面数，， 又因为，所以. （3）利用欧拉公式建立等式：根据欧拉公式，对于原多面体有， 对于每个小多面体有，对每个小多面体的欧拉公式两边同时乘以有 ，两式相减得， 即.【点睛】关键点点睛：（1）确定是关键，而后抓住， ，，，，进行求解； （2）能否想到分割方法是关键，既要分割成相同的多面体，必定将棱进行等分，继而解出答案； （3）抓住欧拉公式与，，进行求解. 17．在空间直角坐标系中，已知向量，点.若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为. (1)若平面，平面，直线为平面和平面的交线，求直线的单位方向向量（写出一个即可）； (2)若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为、、，其中平面经过点，点，点，平面，平面，求出点到平面的距离； (3)已知集合，，.记集合中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，集合中所有点构成的几何体为. （ⅰ）求和的值； （ⅱ）求几何体的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值. 【答案】(1)(2)(3)（ⅰ）；；（ⅱ）， 【分析】（1）先求出平面和平面的法向量，设平面与平面的交线的方向向量为，利用和求得l的一个方向向量即得； （2）利用条件求得平面的方程，设平面、的交线的方向向量为，与（1）同法求得，利用求得的值，最后利用空间向量的点到平面的距离公式计算即得； （3）（ⅰ）根据分析得到为截去三棱锥所剩下的部分，然后用割补法求解体积即可； （ⅱ）利用题目中给定的定义求出法向量，结合面面角的向量法求解即可． 【详解】（1）因平面的法向量为，平面的法向量为， 设平面与平面的交线的方向向量为，则 故可取，故直线的一个单位方向向量为； （2）设平面，因平面经过点，点，点， 故有，解得，即. 记平面、、的法向量分别为：， 设平面、的交线的方向向量为，则故可取. 依题，，解得， 故得，其法向量为，在平面内取点， 则，于是，点B到平面的距离为； （3）（ⅰ）记集合，中所有点构成的几何体的体积分别为，， 考虑集合的子集， 即为三个坐标平面与围成的四面体， 四面体四个顶点分别为，，，， 此四面体的体积为，由对称性知， 考虑到的子集构成的几何体为棱长为的正方体，即， ，为截去三棱锥后剩下的部分， 的体积，三棱锥的体积为， 的体积为，由对称性知． （ⅱ）①记集合中所有点构成的几何体为，如图， 其中，正方体即为集合所构成的区域，构成了一个正四棱锥，其中到面的距离为，，的体积． ②由题意面的方程为，由题干定义知其法向量为， 面方程为，由题干定义知其法向量为， ，由图知两个相邻面所成的角为钝角，所成二面角的余弦值为：． 【点睛】方法点睛：关于直线的方向向量求法，求出直线上的两个点坐标即可求解；求体积利用割补法，把不规则转规则进行求解：解决二面角的余弦值，利用空间向量来解决． 18．在空间直角坐标系中，已知向量，点.若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为. (1)若平面，直线的方向向量为，求直线与平面所角的正弦值； (2)已知集合，记集合中所有点构成的几何体体积为，集合，记集合中所有点构成的几何体为，求的值及几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值. 【答案】(1)(2)； 【分析】（1）利用题中概念计算出平面法向量，然后利用线面角与直线方向向量和平面法向量所成角的关系计算即可； （2）分析集合P，利用体积公式求体积即可；利用题目中给定的定义求出法向量，结合面面角的向量法求解即可． 【详解】（1）由题可知，直线的方向向量为，平面的法向量为， 直线与平面所角为，则， （2）易知：集合表示的几何体是关于平面xoy，yoz，zox对称的，它们在第一卦限的形状为正三棱锥，如下图其中OA、OB、OC两两垂直，且， 所以，集合Q所表示的几何图形也关于平面xoy，yoz，zox对称， 在第一卦限内的部分如图（1）， 如图2，就是把图1的几何图形进行分割的结果. 由平面的方程为：，其法向量为； 平面的方程为：，其法向量为. 且平面与平面所成的角为钝角，设为，则， 【点睛】关键点点睛：解决该题的关键是：（1）根据空间想象，结合学过的知识，弄清楚三个集合表示的几何图形的形状.（2）根据题设给出的结论，由平面的方程可直接得到平面的法向量.利用法向量求平面所成的角. 19．若在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，且过点，直线的方向向量为，且过点，则与方向向量的叉积为与的混合积为．若，则与共面；若，则与异面．已知直线的一个方向向量为，且过点，直线的一个方向向量为，且过点． (1)证明：与是异面直线． (2)若点，求的长的最小值． (3)若为坐标原点，直线，求的坐标． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）由已知，可得，，则，故与是异面直线； （2）由异面直线的距离向量求法，即可求得的长的最小值； （3）方法一：由题意可设，则，求得平面的一个法向量为，由，解得，可得； 方法二：由题意可设，，则，由（2）得，可得，即可求得． 【详解】（1）由题意得， 因为， 所以，故与是异面直线． （2）设与都垂直的向量，由，可取， 则的长的最小值为．（3）（方法一）由题意可设， 则，设平面的一个法向量为， 则，取，由，解得， 则．（方法二）由题意可设， ，则， 由（2）得，则，解得， 故． 【点睛】关键点点睛：（3）方法一：设，可得由表示出的坐标，求得平面的一个法向量为，由，解出，可得的坐标； 方法二：设，，则的坐标可由表示，由（2），解出，即可求得的坐标． 20．炎炎夏日，上学路上若有一支冰淇淋该多么美妙啊！小明同学酷爱甜筒冰淇淋（图1），他想动手做一个甜筒模型（图2），若根据设计稿已知为直角三角形，四边形为直角梯形，，，曲线是以为圆心的四分之一圆弧，，，，，将平面图形旋转一周得到小明设计的甜筒． (1)求该甜筒的体积； (2)小明准备将矩形旋转所形成的几何体都用来盛装冰淇淋（如图2所示），该矩形内接于图形，在弧上（不与端点重合），点在线段上，与所在的直线重合，设，求： ①盛装冰淇淋容器的体积；（用表示） ②炎热的天气下，若冰淇淋融化的时间与盛装的体积满足关系，请计算这个冰淇淋完全融化需要的最长时间． (3)小明想给甜筒一些新的装饰，如果修改后的甜筒俯视图如图3所示，且通过拼装后可以变成一个正四棱锥（即俯视图可以看作一个正四棱锥的展开图），我们记侧棱的长为1，，正四棱锥的表面积记作，体积记作．求（将其表示为的形式，其中为常数）． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）分别求出圆锥，圆台和半球的体积，相加得到答案； （2）①表达出各边长，求出，； ②表达出，变形得到，换元后得到，利用基本不等式求出最值，得到答案； （3）作出辅助线，利用锥体体积公式和表面积相关计算得到，，表达出. 【详解】（1）由题意得绕旋转一周得到的图形为圆锥，该圆锥的体积为， 直角梯形绕旋转一周得到的图形为圆台，圆台的高为， 此圆台的上底面面积为，下底面面积为， 故圆台体积为， 以为圆心的四分之一圆弧经过旋转得到的为半球，半球半径为， 故半球的体积为， 综上，到小明设计的甜筒体积； （2）①由题意得，，， 过点作⊥于点，则， 故，故，故， 又，故，故， 故，故 ，， ②炎热的天气下，若冰淇淋融化的时间， ， 其中 ， 令，则， ， 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立， 故，故 （3）由题意得，如图，取的中点，连接，则平分， 故，，则， 正四棱锥的高设为，则， 故，故 . 【点睛】关键点点睛：本题表达出后，利用三角恒等变换变形为，结合基本不等式求出最值. 21．阅读下列材料，回答问题： 如图，在空间直角坐标系中，过原点与轴成角的直线绕轴一周，生成以为顶点轴为对称轴的两个圆锥形的几何体，不经过原点与轴成角的平面截几何体的表面得到的截口曲线称为圆锥曲线.    当时，平面截几何体的表面得到的截口曲线在一个圆锥上，以下证明它是椭圆：如图，在该圆锥内放置两球和，使它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切，切点分别形成圆和圆）且与平面相切（位于平面上下两侧），切点分别为和，在截口曲线上任取一点P，作直线交圆于点，连接和，因为和都是大球的切线段，所以，同理，所以，因为两球外离，和分别是两球的内外公切线段，都为定值且，所以此时平面截圆锥得到的圆锥曲线满足椭圆定义，应为椭圆.依据上述材料所述，请回答：    (1)当时，对应的圆锥曲线是什么曲线？（直接回答不必证明） (2)当，对应的圆锥曲线是什么曲线？并根据所给图形利用材料所提供的思路进行证明；    (3)如图，将等边绕边旋转至，并且使二面角为直二面角，动点在平面上并且，判断动点的轨迹，并求其离心率.    【答案】(1)抛物线（直接回答不必证明）(2)双曲线；证明见解析(3)双曲线； 【分析】（1）根据题意条件与空间想象可猜想结论； （2）类比椭圆曲线的证明，可推证双曲线； （3）根据题意条件与空间想象确定旋转轴与截面，得到轴与母线夹角，求出轴与截面所成角，再利用（2）结论可得，然后借助两圆内外公切线求解离心率即可. 【详解】（1）当时，平面截几何体的表面得到的截口曲线在一个圆锥上， 对应的圆锥曲线是抛物线.    如图，由题意可设圆锥的母线与圆锥轴线的夹角为，   作圆锥的一个截面，该截面与轴所成的角也为. 首先证明：圆锥面上存在一条母线与平面平行. 证明：作一平面与圆锥轴线垂直，记平面与轴线的交点为， 则可得截面圆，平面， 过作，垂足为，交圆于两点，则，， 平面，平面，， 则平面，，则有平面. 延长与平面交于一点，则是轴线在平面内的射影， 所以是轴线与平面所成的角，即， 所以，，从而，得证 作一球与圆锥相切，切点轨迹是，同时球与截面切于点. 设是截线上任意一点，则是由点向球所作的切线， 又圆锥过点的母线与球切于点，所在平面为， 作，垂足为，截面与平面交于， 则，过作，垂足为， ，又平面，平面， 所以平面，平面. 则，， 根据空间等角定理，有， 因为，所以， 从而可得与全等， 所以，而，所以， 即点到定点的距离等于到定直线的距离（）， 故此时对应的圆锥曲线是抛物线. （2）当，平面截几何体的表面得到的截口曲线在两个圆锥上各有一支，以下证明它是双曲线： 证明：如图，在该圆锥内放置两球和，使它们都与圆锥相切，    即与圆锥的每条母线相切，切点分别形成圆和圆， 且与平面相切（分别位于上下圆锥平面同侧），切点分别为和. 在截口曲线上任取一点M，作直线交圆于点，连接和， 因为和都是大球的切线段，所以， 同理，所以， 因为两球外离，和分别是两球的内外公切线段，都为定值且， 同理可得，当在圆锥曲线另一支上时， 可得也为定值，且，. 所以有，且，. 此时平面截圆锥得到的圆锥曲线满足双曲线定义， 故当，对应的圆锥曲线是为双曲线. （3）    如图，取中点，连接. 由题意知，与都是正三角形，则，且. 则二面角的平面角为， 由二面角为直二面角，则，即. 又，平面，平面，且， 所以平面. 所以是在平面内的射影， 则即为直线与平面所成角. 在中，，故. 由题意可知，过点与直线成角的射线绕一周， 生成以为顶点，为对称轴的两个圆锥形的几何体与轴成， 不经过点与轴成角的平面， 截几何体的表面得到的截口曲线为圆锥曲线. 因为，平面截几何体的表面得到的截口曲线在两个圆锥上各有一支， 所以由（2）结论可知，动点的轨迹是双曲线的一支（因为射线）， 双曲线的焦距即为外公切线长，实轴长即内公切线长. 如图，为两圆（球）圆（球）心，分别为两圆（球）的内外公切线.    由，则， 在平面中作过作，交于，则. 在中，即为轴平面所成角， ； 由，则， 在平面中过作交于，则. 在中，为直线与所成角， 即直线与直线所成角. . 所以离心率. 【点睛】结论点睛：已知空间中两条相交直线与，夹角为，且，以直线为轴，围绕旋转一周得到以为顶点，为母线的两圆锥面.作圆锥面不过顶点的截面，如果轴与截面所成角为（当与轴平行时，记），那么： （1）当时，截面与圆锥面的截口曲线为椭圆； （2）当时，截面与圆锥面的截口曲线为抛物线； （3）当时，截面与圆锥面的截口曲线为双曲线. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$