第 12 讲 圆锥曲线的光学性质讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第 12 讲 圆锥曲线的光学性质 1. 圆锥曲线的光学性质 (1) 椭圆的光学性质:从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都会聚到椭圆的另一个焦点上; (2) 双曲线的光学性质:从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都会聚到双曲线的另一个焦点上; (3) 抛物线的光学性质:从抛物线的焦点发出的光, 经过抛物线反射后, 反射光线都平行于抛物线的对称轴. (若把抛物线的另一焦点也看作在无穷远处, 也可认为交于另一焦点) 2. 过圆锥曲线的焦点 作倾斜角为 的直线交曲线于 两点,记焦点到相应准线的距离为 . (1) ; (2) 为常数. 热点课堂 【例 1】已知 为椭圆 上的动点,则 的最小值为 ( ) A. B. C. D. 以上选项都不对 【分析】 表示点 到两定点 的距离之和,即转化为求 的最小值问题. 如图,设椭圆的左、右焦点分别为 , 则 当点 在 的延长线时取最小值. 【解答】B 评注:此题也可以用圆锥曲线的光学性质来解决. 如图，由“光行最短原理”得光线由点 到点 的路径是所有路径中距离最短的路径. 由椭圆的光学性质可得由点 发出的光线经椭圆反射，过另一个焦点 ，所以当点 在线段 上时， 最小， 此时 ,即 的最小值为 . 【例 2】已知 的顶点 ， ，其内心在直线 上，且 ， 则顶点 的轨迹方程为_____. 【分析】若熟练掌握圆锥曲线第一定义，可结合图形，很自然地把三角形内心与三角形内切圆联系起来，再根据切线长相等，从而得出解法. 如图，设内心为 ，过点 作 的垂线，垂足分别为 ， 则 , 所以点 的轨迹为双曲线的一支去掉顶点,且 , 所以顶点 的轨迹方程为 . 【解答】 评注:圆锥曲线的定义其实也是一种解题工具，掌握好定义对于处理解析几何问题往往能起到以简驭繁的目的，如在本题中轻易化解了轨迹问题中的繁杂计算. 【例 3】设椭圆 的左、右焦点分别为 ,离心率为 ,双曲线 的渐近线交椭圆 于点 ,则双曲线 的离心率是( ) A. B. C. D. 【分析】由 “椭圆上的点 满足 ” 联想到焦点三角形的常用处理方法,对于求双曲线的离心率可联系渐近线. 对于 “点 在渐近线上” 这一条件，可以考虑代入方程，也可考虑渐近线斜率与倾斜角之间的关系. 设 为坐标原点,点 在第一象限. 不失一般性,在这里我们取 ,即 . 解法一:求解点 的坐标，然后求出双曲线渐近线的斜率. 由 得点 在圆 上, 与椭圆 联立方程组解得 , 所以 ,则 . 解法二: 利用定义得 , 由 得 , 则 , 所以 ,解得 . 因为 , 所以 , 则 . 解法三: 不妨设 为坐标原点,则 . 记点 的纵坐标为 , 根据椭圆的焦点三角形面积公式得 ,所以 . 不妨设渐近线的倾斜角为 ,则 ,所以 . 因此,双曲线 的离心率 . 【解答】B 评注:焦点三角形的应用往往结合了圆锥曲线的定义与几何、三角等知识，在高考和强基考试中较为常见，而对于双曲线的渐近线也不要忽视它的倾斜角这一几何属性，有时再从几何角度或解三角形角度研究也可以减少计算量. 【例 4】已知椭圆 上一点 与两焦点 形成的夹角 ,求 的面积. 【分析】焦点三角形问题的求解方法是椭圆定义结合正余弦定理. 【解答】设 则 由 ②得 ， 所以 . 评注: 若条件改为双曲线 ,则 . 【例 5】已知抛物线 ,过焦点 且斜率为 的直线与 相交于 两点,且 两点在准线上的投影分别为点 ,则 的面积为 ( ) A. B. C. D. 【分析】若由“ 为焦点弦”联想到抛物线性质 ,则考虑设点,得到解法一; 若注意到 的斜率已知，即倾斜角已知，则可考虑用倾斜角表示的焦点弦公式，得到解法二. 解法一: 设 , 因为 过焦点,所以 ,即 , 直线 的斜率为 ,此时, , 于是 的面积为 . 解法二: 由焦半径公式得 , 所以 . 因此, 的面积为 . 【解答】B 评注:解法一是解析法求解，属于常规方法；而已知过焦点的直线的斜率，是解法二产生的一个重要因素, 对于抛物线来说本题的两种方法是需要掌握的. 【例 6】已知圆 ，定点 ， 是圆周上任一点，线段 的垂直平分线与 交于点 . (1) 求点 的轨迹 的方程； (2) 直线 过点 且不与 轴重合,直线 交曲线 于 ， 两点，过点 且与 垂直的直线交圆 于 两点,求四边形 MDNE 面积的取值范围. 【分析】( 1 )结合图形自然联想到圆锥曲线的定义,( 2 )在解答第( 1 )问后可知这是关于两条垂直的焦点弦的长度问题，可考虑用倾斜角表示的焦点弦公式. 【解答】(1) 由题意知 , 因此点 的轨迹是以 为焦点,4 为长轴长的椭圆, 所以点 的轨迹方程为 . (3) 设直线 的倾斜角为 ，则 ，且 ， 则直线 的方程可以表示为 , 所以点 到直线 的距离为 , 从而 . 又根据椭圆的焦点弦公式, ,其中 , 所以 , 于是四边形 的面积为 , 又因为 ,所以四边形 面积的取值范围是 . 评注:焦点弦问题有时可考虑用倾斜角表示的焦点弦公式 (极坐标形式), 尤其本题中又有垂直这一条件, 设角为变量更具灵活性. 学科网（北京）股份有限公司 $