第09讲 圆锥曲线经典问题讲义（思维导图+1大知识点+8大题型+过关测试）-2025-2026学年高二数学上学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版）

该高中数学讲义通过思维导图系统梳理圆锥曲线知识体系，结合15条常用结论进行知识点梳理，按椭圆、抛物线、双曲线的内在逻辑呈现，突出定点、定值等核心重难点，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于“题型归纳举一反三”设计，涵盖斜率和、斜率积等8类经典题型，如斜率和问题中结合例题与变式题引导推理，培养数学思维与运算能力。过关测试分层设置，基础生掌握方法，优秀生深化探究，助力教师精准教学。

第09讲 圆锥曲线经典问题 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：常用结论 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：斜率和问题 6 题型二：斜率积问题 11 题型三：斜率比问题 17 题型四：数量积问题 24 题型五：单共线与双共线问题 31 题型六：弦中点过定点问题 36 题型七：定直线问题 42 题型八：转韦达结构 50 05 过关测试 55 知识点一：常用结论 1、过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点． 2、过椭圆的长轴上任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点． 3、过椭圆的短轴上任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点． 4、过椭圆内的任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点． 5、以为直角定点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点 6、以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上． 7、以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上． 8、以为直角定点的抛物线内接直角三角形的斜边必过定点， 9、以为直角定点的双曲线内接直角三角形的斜边必过定点 10、已知是椭圆上的定点，直线（不过点）与椭圆交于，两点，且，则直线斜率为定值． 11、已知是双曲线上的定点，直线（不过点）与双曲线交于，两点，且，直线斜率为定值． 12、已知是抛物线上的定点，直线（不过点）与抛物线交于，两点，若，则直线斜率为定值． 13、为椭圆上一定点，过点作斜率为，的两条直线分别与椭圆交于两点． （1）若，则直线过定点； （2）若，则直线过定点． 14、设是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过作两条直线，交椭圆于、、、，直线，的斜率分别为，，弦，的中点记为，． （1）若，则直线过定点； （2）若，则直线过定点． 15、过抛物线上任一点引两条弦，，直线，斜率存在，分别记为，即，则直线经过定点． 题型一：斜率和问题 【例1】（2025·高二·安徽·月考）已知椭圆的上顶点和两个焦点都在圆上． (1)求C的方程； (2)若过C的右焦点F与圆E相切的直线与C交于A，B两点，求； (3)若过C的右焦点F作两条直线与C在x轴下方分别交于M、N两点，且直线FM，FN的斜率互为相反数，记直线MN的斜率为m，求证：． 【解析】（1）对于圆， 令，可得，解得或，可知椭圆的上顶点为； 令，可得，解得，可知椭圆的焦点为； 则，，则， 所以椭圆C的标准方程为. （2）由题意可知：，圆的圆心为，直线与椭圆C必相交， 则，可得直线的斜率， 则直线的方程为， 设， 联立方程，消去y可得，解得或， 所以. （3）由题意可知：直线的斜率存在且不为0， 设直线，则直线， 联立方程，消去x可得，解得， 即，同理可得， 则，， 可得， 因为，则， 所以. 【变式1-1】（2025·高二·安徽安庆·月考）在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，焦距． (1)求的方程； (2)双曲线左、右顶点分别为，，直线与的左、右两支分别交于点，，记直线，的斜率分别为，且． （i）求证：直线过定点； （ii），直线与交于点，判断并证明直线与的位置关系． 【解析】（1）设双曲线的焦距为2c，则，且，解得， 所以，所以的方程为. （2）（i）设直线的方程为， 联立与，消去，得， 所以， 由，得， 整理得， 所以， 整理得，所以或， 当时，直线的方程为，过点，不符，故舍去； 当时，直线l的方程为，过点， 所以直线l过定点； （ⅱ）直线AQ与直线BC的位置关系是平行，理由如下： 因为，所以直线OP方程为：， 又直线BD方程为：，联立与， 解得，即， 因为，所以直线AQ的斜率为，由， 得直线BC的斜率，所以． 【变式1-2】（2025·高二·山东烟台·期末）过抛物线的顶点O，作两条直线交抛物线于异于点O的两点A，B (1)当，互相垂直时，求证：直线过定点． (2)当斜率之积为定值s时，求证：直线过定点． (3)当斜率之和为定值时，求证：直线过定点． 【解析】（1）由题意得，抛物线方程为：，设， ①直线斜率不存在时，设直线的方程为：，， 解得，，由，即，得， 此时直线恒过点； ②直线斜率存在时，设直线的方程为：， 与抛物线方程联立得，需满足， 则，，，， 由互相垂直得，，即，解得： 直线的方程为：，直线恒过点， 综上，直线恒过点； （2）①直线斜率不存在时，设直线的方程为：，， 将与抛物线联立，得：， 由，即，得，则直线恒过点 ②直线斜率存在时，设，，直线的方程为：， 与抛物线方程联立得，需满足， 则，，，， 由得，，，即，解得： 直线的方程为：，直线恒过点 综上，直线恒过点； （3）由题意知，，结合（2）可知直线斜率存在， 否则直线斜率不存在时，关于x轴对称，则，不符合题意； 设，，直线AB的方程为：， 与抛物线方程联立得， 且，，， 由得，即， 即，， 即，整理得：，即直线AB的方程为：， 直线AB恒过点. 【变式1-3】（2025·高二·甘肃兰州·期末）已知椭圆的离心率为，长轴长为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)点在上，过点的直线交椭圆于，两点（异于点），设直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 【解析】（1）因为长轴长为4，所以，解得， 又离心率，解得， 所以，则椭圆的标准方程为. （2）证明：由题意，直线的斜率存在，且设为k，则直线的方程为， 联立，得， ，解得， 设，由韦达定理得， 又，则 ， 所以为定值. 题型二：斜率积问题 【例2】（2025·高二·贵州遵义·期末）设椭圆过点，且离心率. (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆的上顶点，MN为上异于的两点，若直线AM，AN的斜率为，且.求证：以线段MN为直径的圆经过一个定点，并求出该定点的坐标. 【解析】（1）由椭圆的离心率及，知. 又椭圆过点，所以，解得. 所以椭圆的方程为. （2）法一：证明：由题意知直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为. 联立方程得. 设，则. 所以 化简得，解得或（舍去）. 所以. 所以. 设该圆过一个定点，则， 所以，即. 将代入化简有对任意实数成立， 所以解得. 故以线段MN为直径的圆过定点. 法二：同法一求出直线在y轴上的截距m得直线MN过定点， 以及，. 题目情境关于轴对称，故若以线段MN为直径的动圆过定点，则该定点在轴上. 设定点为，则. 所以，即. 将代入，得. 化简有对任意实数都成立， 即解得. 故以线段MN为直径的圆过定点. 【变式2-1】（2025·高三·山东泰安·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，长轴长是焦距的2倍，短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若是椭圆上的两个不同的动点，直线的斜率分别为． （i）求坐标原点到直线的距离的取值范围； （ii）设的中点为，点满足，过作轴，过作轴，直线与直线交于点，以为邻边作，求线段长度的取值范围． 【解析】（1）椭圆长轴是焦距的2倍，短轴长为， ，又，， 椭圆的标准方程为， （2）（i）当直线的斜率不存在时，设直线的方程为 由得 ，， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 由，得 化简得：，，且 （或）， 由且（或由且）， 得 综上所述，； （ii）由（i）， 点在以原点为圆心，以为半径的圆上 由， ，， 的取值范围为 【变式2-2】（2025·高二·浙江·月考）已知抛物线（），焦点为，对于抛物线上一点，记，已知的最小值为1，将点向上平移个单位长度，得到点. (1)求抛物线的方程； (2)若为坐标原点，直线与的另一个交点为，设直线的斜率分别为，，求的值； (3)记点到直线的距离为，证明：以为圆心，为半径的圆始终经过定点. 【解析】（1）如下图所示： 设点，则， 因为，所以最小值为，则， 故抛物线的方程为. （2）由题意可知，直线斜率不为0， 设直线， 联立方程，则. 又， 所以. （3）设，则，故，所以， 得圆. 化简得， 令， 解得， 所以以为圆心，为半径的圆始终经过定点. 【变式2-3】（2025·高三·安徽·月考）已知椭圆的右焦点为，的上顶点到点的距离为3. (1)求的方程. (2)动直线与交于，两点，的中点为. （i）求点的轨迹方程； （ii）记点到轴的距离为，点是轴上的定点，的斜率为，的斜率为，若为定值，求点的坐标. 【解析】（1）由已知可得的半焦距， 因为的上顶点到点的距离为3，即，     所以， 故的方程为. （2）（i）设，，. 由得， 则，， 则点的纵坐标为，横坐标为.     ，所以， 代入的表达式，得，整理得， 所以点的轨迹方程为.    （ii）由（i）可知. 设，则，     将，代入上式，     分母为， 所以， 所以.     要使该表达式为定值，必须有，解得， 即点的坐标为. 题型三：斜率比问题 【例3】（2025·高三·浙江·期中）已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离为是双曲线上关于原点对称的两点，且点在第一象限，点的坐标为. (1)求双曲线的方程； (2)若，求的面积； (3)记直线与双曲线的另一个交点分别为，直线的斜率分别为，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由题可知焦点到渐近线的距离为， 又，所以， 则，所以双曲线方程为； （2）当时，由于是中点，可知， 设，因为 所以， 因为在双曲线上，所以，联立，解得， 则的面积； （3）由题意：直线， 联立方程组：， 可得：， 由韦达定理：， 由于，即，代入化简得：， 可知的坐标为：， 同理可得，的坐标为：， 则， 即存在实数满足题意. 【变式3-1】（2025·高二·广西·月考）已知是椭圆的右焦点，椭圆的离心率，斜率不为0的直线经过点且与椭圆交于两点.当直线与轴垂直时，弦的长为. (1)求椭圆的方程； (2)设分别为椭圆的左､右顶点，设直线的斜率分别为，求； (3)轴上是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求定点的坐标，若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由题可知，， 所以， 故椭圆的方程为； （2）设直线的方程为设， 由得，， 故， ， ， 注意到，即， 故. （3）假设轴上存在满足条件的定点， 设其坐标为，则， ， 因为为定值，故， 得，定值为， 故轴上存在定点，使得为定值. 【变式3-2】（2025·江苏·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，上顶点为是上异于顶点的两点. (1)求的方程； (2)若在第一象限，的面积是面积的2倍，求的坐标； (3)若直线的斜率是直线的斜率的3倍，证明：直线经过定点. 【解析】（1）因为，所以， 因为，所以， 所以的方程为. （2） 设，则，① 因为的面积是的面积的2倍， 所以，即，② 联立①②，解得， 所以. （3）显然直线PQ与轴不垂直，设其方程为， 联立消去得， 设，则， 由题意，即. 即. 则 则， 即直线PQ过定点. 【变式3-3】（2025·高二·浙江·期中）已知椭圆的离心率为，左焦点为，左､右顶点分别为，上顶点为，且的外接圆半径为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设斜率存在的直线交椭圆于两点（位于轴的两侧），记直线的斜率分别为，若. （i）试判断直线是否过定点，若是，求出此定点坐标；若不是，请说明理由； （ii）设直线与轴的交点为，记与的面积分别为，求的取值范围. 【解析】（1） 如图，连接，因椭圆的离心率为，则，即， 在中，，则， 在中，，由正弦定理得， 解得故，则椭圆的标准方程为. （2）（i）由题知直线的斜率存在，且不为0，设直线， 联立，消去，可得， 依题意，，即， 设，则， 设直线的斜率为，因为，且， 则，即， 又因为，故， 即有，即（*）， 又，所以， 代入（*），可得， 化简得，解得或， 又位于轴的两侧，所以，解得， 所以，故直线的方程，故必过定点. （ii）由（i）已得直线过定点， 则，， 于是，令，则，由（i）可得， 由，解得， 再代入，可得， 化简得， 因为，所以，即：， 解得，即， 则，故. 【变式3-4】（2025·高二·山东日照·期中）已知椭圆的两个焦点，，过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点，的周长等于8. (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，设直线，的斜率为别为，，求证：为定值. 【解析】（1）因椭圆的两个焦点，，所以， 由的周长等于8，得， 即，得. 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）可知，设直线的方程为，. 将方程代入椭圆方程，得， 化简整理得，， . 所以，同理. 所以， 若，则，代入根与系数关系得， 即，再消去得，得无解， 故. 所以. 故为定值. 题型四：数量积问题 【例4】（2025·高二·上海浦东新·月考）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，短轴长为2，点是上位于第一象限内的一点． (1)求椭圆的方程； (2)设，，三角形的面积为，三角形的面积为，若，求点的坐标； (3)设直线与交于另外一点，直线与交于另外一点，为直线上一点，问是否存在实数满足，使得为定值？若存在，求出和定值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由椭圆的短轴长为2可得，， 由离心率为可得，， 又，所以，， 椭圆的方程为． （2）由（1）可知，，， 所以直线的方程为，即. 设，则……①，且， ， 点到直线的距离， ， 因为，所以……②， 联立①②，且，解得，. 故点的坐标为． （3）设，，，. 直线的方程为， 由，得， 有，解得，， 所以， 当时，直线的方程为， 由，得， 所以，解得，， 所以，经检验，当时，结论也成立， 由，得， ， ， . 所以 ， 令，解得， 此时， 故存在满足条件，此时，定值为． 【变式4-1】（2025·高二·浙江宁波·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上的点，且轴. (1)求椭圆的方程； (2)若点是椭圆的右顶点，过点的直线交椭圆于另一点，且，求直线的方程； (3)设过点的动直线（不与轴重合）与椭圆有两个交点，在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）因为轴，点是椭圆上的点， 所以，解得，所以椭圆的方程为. （2）如图，因为， 所以直线，且. 因为，所以点到直线的距离为. 设点所在直线为， 则，解得或12. 联立得方程组，消去可得，该方程无实数解； 联立得方程组，解得或，即或. 又由两点式可得直线的方程为或. （3）存在.如图，设动直线的方程为，. 联立得方程组，消去得. 则. 又， 所以 因为对任意的实数恒成立，故， 解得， 故点纵坐标的取值范围为. 【变式4-2】（2025·高二·河南·月考）已知动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数． (1)设动点M的轨迹是曲线C，求曲线C的方程并指出曲线C是什么曲线； (2)已知点P为曲线C上任意一点，是圆的直径，求的取值范围． 【解析】（1）因为，，， 所以由题意得 ， 两边平方并化简，得，所以， 所以曲线C的方程为，曲线C是椭圆； （2）由圆N的方程知，圆N的圆心为，半径为2， 设，则，所以， 因为是圆N的直径，所以， 所以， 因为， 所以， 因为，所以， 即的取值范围是. 【变式4-3】（2025·高三·河南·月考）设椭圆：的两焦点分别为，，其中是坐标原点，为半焦距． (1)若为椭圆的右端点，且满足，求的值． (2)若直线：与椭圆存在交点，求使取得最小值时椭圆的方程． (3)已知点，对（2）中求得的椭圆，是否存在斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点，，且线段的中点满足？若存在，求出该直线斜率的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）因为椭圆，由于，可得：椭圆的焦点在轴， 即得：，，因此半焦距， 又椭圆的右端点的坐标为，由，可得：. （2）根据椭圆定义，，因此要使最小，只需最小，即取得最小值. 联立方程：，得：，整理得：. 由于直线：与椭圆存在交点，因此可得：， 整理得：，令，则不等式变为， 解得：或，又，所以，即，可得. 综上可得：，当且仅当时等号成立. 所以当取得最小值时椭圆的方程为. （3）由（2）可知椭圆方程为， 如图，设直线方程为，，，为的中点. 联立方程：，得：， 由于直线与椭圆交于不同两点， ， 所以. 由韦达定理可得：，则，又，得：. 由于，所以， 即，整理得：， 若时，恒不成立，故. 又，代入可得，整理得， 即，解得（无解）或，即得或. 综上可得：直线斜率的取值范围. 题型五：单共线与双共线问题 【例5】（2025·云南·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆的方程为，点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设与轴交于.两点（点在点上方），过点的直线（不与轴重合）与交于两点，直线与直线交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）设，，求的最大值. 【解析】（1） 如图，由题意知，，可知，所以， 可得点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 设椭圆的方程为，则， 所以的方程为； （2）①： 由题知，可设直线方程为，. 联立，得，且， 所以， 所以， 如图，，直线的方程为， 直线方程为， 联立两方程得， 所以，则点的纵坐标恒为4，即点在定直线上. ②： 由①有，设，又，且， 则，则， ， 故当时，的最大值为1. 【变式5-1】（2025·高二·江苏宿迁·月考）如图，已知椭圆，记分别是的左､右焦点，是的上顶点，连接并延长交椭圆于点，过作轴的垂线交椭圆于另一点，连接. (1)若，求； (2)若点的坐标为，且，求直线的斜率. 【解析】（1）由条件可知，，，则， 因为，所以, 由对称性可知，； （2）设，，， 由，可知， 所以，得， 因为点，则， 所以，所以，则， 所以， 所以直线的斜率为； 【变式5-2】（2025·高二·湖北荆州·月考）已知椭圆过点，左焦点为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，线段的中点为，点在椭圆上，满足（为坐标原点），求证：的面积为定值，并求出该定值. 【解析】（1）由题意知：，解得：，， 椭圆的方程为：. （2） 设，，， 由得：， ，，， ，，即； ，， 在椭圆上，，； ， 原点到直线的距离， ， 的面积为定值，定值为. 【变式5-3】（2025·四川南充·模拟预测）如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，长轴长为．    (1)求的方程； (2)过焦点的直线交于，两点，过焦点的直线交于，两点，且轴，. （i）求的值； （ii）设线段的中点为为坐标原点，求的取值范围． 【解析】（1）由椭圆的长轴长为，得，由离心率为，得椭圆的半焦距， 则，所以椭圆的方程为. （2）（i）设，则，且，而， 依题意，，直线方程为， 由消去得， 则，解得，由，得； 直线方程为，由，得， 则，解得，由，得， 所以. （ii）由（i）得， 则线段的中点，， 令，则，， 所以的取值范围是. 题型六：弦中点过定点问题 【例6】（2025·高二·甘肃酒泉·月考）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交C于A，B两点，过点F与l垂直的直线交C于D，E两点，M，N分别为AB，DE的中点，证明：直线MN过定点． 【解析】因为抛物线的焦点为F，所以，    由题意可知：直线l与直线DE的斜率都存在，且均不为0， 设直线l的方程为，，， 联立方程，消去x化简得， 则，， 可得，，即， 同理可得：， 若点M，N的横坐标相等，即，解得， 此时直线MN的斜率不存在，直线MN的方程为； 若点M，N的横坐标不相等，即， 则直线MN的斜率， 可得直线MN的方程为， 所以直线MN过点． 综上所述：直线MN过定点． 【变式6-1】（2025·高二·江苏连云港·期中）在直角坐标系中，点到直线的距离比到点的距离大1，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过的直线交曲线于两点，过与直线垂直的直线交曲线于，两点，其中在轴上方，，分别为，的中点． 求证：（ⅰ）直线过定点； （ⅱ）直线，的交点在定直线上． 【解析】（1）因为直线和距离为1， 由题意点到直线的距离与到点的距离相等， 由抛物线的定义可得动点的轨迹方程为： （2） 设，，，， （ⅰ）设直线的方程为，的方程为，因为直线与直线垂直，所以， 联立得， 则，，，， 所以， 同理可得 当时，：， 即 ， 因为，所以直线的方程为， 故当时，，此时过定点， 当时，由得，此时直线的方程为，同样经过点， 所以直线过定点，该定点为. （ⅱ）由抛物线方程得，， 则：， 同理可得：， 联立得， 即， 由，同理， 故， 所以， 即直线，的交点在定直线上. 【变式6-2】（2025·高三·黑龙江哈尔滨·月考）已知椭圆的离心率为，过点，为坐标原点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交曲线于，两点，过点与垂直的直线交曲线于，两点，其中，在轴上方，，分别为，的中点. （i）证明：直线过定点； （ii）求面积的最大值. 【解析】（1）由题意可得，，，， 解得， 故椭圆的标准方程为； （2）（i）由题意可知，直线斜率存在且不为，则设， 故， 联立，得，， 设， 则，， 则，， 则，， 则直线的斜率的倒数为， 则直线的方程为 ， 则直线恒过定点； （ii）由（i）可得， 令，则，求导得 令，则 对称轴为，，故存在使得， 则得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 因， 则当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 因此，当时，面积有最大值. 【变式6-3】已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，过F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为AB，DE的中点．    (1)证明：直线MN过定点； (2)设G为直线AE与直线BD的交点，求面积的最小值． 【解析】（1）证明：由，故，由直线AB与直线CD垂直， 故两直线斜率都存在且不为0， 设、、、、、， 则，且同时满足， 同理，且同时满足， 所以，则， 所以， 又直线MN方程为， 所以 ， 所以直线MN过定点. （2）由（1）知，直线AB的方程为， 即， 又直线AB过点，所以， 同理，，又直线DE过点，所以， 直线AE的方程为①， 直线BD的方程为②， 将直线AE的方程转化为，即， 和直线BD的方程，联立得：． 所以点G的横坐标为，即直线AE与BD的交点在定直线上． 由于，故，且， 同理，所以MN轨迹方程为， 过点G作轴，交直线MN于点Q，    则， 故，当且仅当时等号成立， 此时，，， 下证，即证，， 由抛物线的对称性，不妨设，则， 当时，有，则点G在x轴上方，点Q亦在x轴上方，有， 由直线MN过定点，此时， 同理，当时，有点G在x轴下方，点Q亦在x轴下方，有， 故此时， 当且仅当时，，故恒成立， 故， 题型七：定直线问题 【例7】（2025·高二·河北·月考）平面直角坐标系中，已知圆的半径为2，圆心在轴的非负半轴上，直线与圆相切. (1)求圆的方程； (2)设，过点作斜率为的直线，交圆于、两点，设、是圆与轴的两个交点（在的上方）. ①求四边形面积的最大值； ②证明：直线与的交点在定直线上. 【解析】（1）设圆心为，，则圆的方程为， 圆心到直线的距离，解得或（舍去）， 所以圆的方程为. （2）由（1）可知，，设的方程为，，， 联立，消去并整理得， 则，， ①四边形的面积， 令，则，所以， 易知函数在单调递增，所以当（即时），取到最小值，此时面积取到最大值，故. ②证明：直线的方程为，直线的方程为， 消去得：， 由韦达定理可知，将此式代入上式得，， 即，解得， 即直线与的交点在定直线上. 【变式7-1】（2025·高二·山西阳泉·期末）已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点，求证：的内心在一条定直线上. 【解析】（1）因为椭圆两个焦点为，所以，则， 又点在椭圆上，所以，即， 两式联立，解得，所以椭圆的标准方程为. （2）由题意可知直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为， 联立，得， 则，得， 设，则， 设直线的斜率分别为. 所以， 因为， 所以恒成立，则直线的倾斜角互补，即的平分线总垂直于轴， 所以的内心在定直线上. 【变式7-2】（2025·高二·云南·期末）已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由. 【解析】（1）因为双曲线的离心率为，可得，则， 则，可得，则， 因此，双曲线的方程为. （2）若直线与轴重合，则点、为双曲线实轴的端点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则，可得， 由韦达定理可得， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得 ，解得. 因此，点在定直线上. 【变式7-3】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期末）一个动圆Q与圆外切，与圆内切，设圆心Q的轨迹为曲线C，过点作斜率为k的直线l交曲线C于A，B两点． (1)求曲线C的方程； (2)在y轴上求异于的点P，使得对于任意的直线l，都有； (3)设，分别为曲线C的上、下顶点，直线与直线交于点M，若曲线C在点A处的切线交y轴于点N，试判断直线AB与直线MN的交点H是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由． 【解析】（1）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 设动圆的半径为， 圆与圆外切，与圆内切， ，， ，， ，的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，即，， 的轨迹方程为.    （2）在y轴上求异于的点P，设， 当时，两点关于轴对称，满足，故符合题意； 当时，设过点作斜率为的直线的方程为， 将代入中得到， 整理得， 设， 则， 对于任意的直线l，都有，为的角平分线， ， ， ，， ，， ，， ，， ，， 综上可知，在y轴上存在异于的点，使得对于任意的直线l，都有；    （3），，分别为曲线C的上、下顶点， ，设， 则在点处的切线方程为， 将代入，解得，则， 将代入得，则 ，直线的方程为， ，直线的方程为， 将代入，得， 解得，即， 即，即为的横坐标， 将代入， 即， 即， 即，即为的纵坐标， 故，， ， ，，， 将代入， 得， 直线的方程为， 直线的方程为，解得， 将代入直线得， ， ， ， ， ， ， 将代入， 得， ，， 直线AB与直线MN的交点的纵坐标为定值， 直线AB与直线MN的交点在定直线上. 题型八：转韦达结构 【例8】（2025·高二·辽宁·月考）已知动点到定点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于A，B两点，点，直线，直线的斜率分别为，．若，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 【解析】（1）因为动点到定点的距离比它到直线的距离小， 所以动点到直线的距离与到点的距离相等， 根据抛物线的定义，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 设抛物线方程为，所以，则， 所以曲线的方程为． （2）由题意知直线的斜率存在，设，，直线的方程为， 联立，消去得， 则，，． 所以 ， 又，所以，即， 即直线的方程为，即， 令，解得，所以直线过定点． 【变式8-1】（2025·高二·山东·月考）如图，椭圆，且过，离心率．圆，点P为直线上一个动点． (1)求椭圆W的标准方程； (2)过点P作椭圆W的两条切线，切点分别为，证明：直线过定点；（参考公式：若为椭圆上的点，则椭圆在Q处的切线方程为） (3)若直线与圆O相切于点M，且交椭圆W于两点，证明：为定值． 【解析】（1）由题意，得，解得，所以椭圆W的标准方程为． （2）设点， 则切线的方程分别为． 将代入，得到， 点的坐标满足方程，则直线的方程为． 对于任意实数t，当时，恒有，即直线过定点， 所以直线过定点． （3）圆，圆心为，半径为， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为． 由直线与圆O相切于点M，得， 圆心到直线的距离， 又因为，，所以，解得． 由，整理得． 则， ， 所以 ． 当直线的斜率不存在时，直线的方程为或， 联立解得， 所以，所以． 所以为定值． 【变式8-2】（2025·高二·江苏淮安·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于A，B两点（A，B两点均在y轴左侧）. (1)求曲线C的方程； (2)若点A在x轴上方，且，求直线l的方程； (3)过点A作x轴的平行线m，直线m与直线交于点M，线段的中点为N，若直线l与直线交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上. 【解析】（1）因为， 所以点P的轨迹是以为焦点的双曲线，且焦距为，实轴长为， 所以，则， 因此双曲线C的方程为； （2）设，则， 因为点A在x轴上方，且，所以易知直线的斜率存在，且斜率大于零， 因此可设直线的方程为：， 由，得，即， 所以①，②，， 又，所以③ 由①③得，代入②可得，即，解得（负值舍去）， 因此直线的方程为：，即； （3）同（2）设，直线的方程为：， 则； 因为直线m过点A与x轴平行，所以直线的方程为； 又，则直线的方程为， 由，得， 则，所以， 即， 所以， 因此直线的方程为：， 因为点Q是直线l与直线的交点， 由，得，解得， 所以点Q的横坐标是，因此点Q恒在定直线上. 1．（2025·重庆·模拟预测）已知平面内一定点，定直线，现有一动点满足到直线的距离与到点的距离之比为2 . (1)求动点的轨迹的标准方程； (2)已知点在上，动直线与轨迹交于，Q两点（不同于H），记的斜率分别为，若，求证:直线过定点 【解析】（1）设点，由题意有，整理得， 化简得，所以动点的轨迹标准方程为； （2）先考察直线，此时，且，满足题意， 若该定点存在，则必在轴上，记为， 设为，，联立直线与椭圆的方程， 所以，则， 所以，， 所以 所以，则分子、分母中关于的系数对应成比例， 所以，可得，该定点为. 2．（2025·高二·北京·月考）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为且短轴长为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)过定点的直线与椭圆交于，两点，若，求直线与直线的斜率之积. 【解析】（1）由得 ∴椭圆C的标准方程为 （2）若直线的斜率不存在，即直线方程为：， 易得， ，又 此时点与点重合，故直线不存在，不符合题意； 故直线的斜率必存在. 设，，， 联立得：， ，则， ∴，， ∵， 代入，， ， 即直线与直线的斜率之积为. 3．（2025·高三·湖北·月考）在平面直角坐标系中，已知，动点满足直线和直线的斜率之积是． (1)求动点的轨迹方程，并指出该轨迹是什么曲线； (2)当时，为的轨迹上的两个动点，记直线的斜率分别为，若，试判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由． 【解析】（1）设点，则由题意可得：，整理可得 所以点的轨迹方程为：. 当时，该轨迹表示双曲线（去掉点）； 当或时，该轨迹表示椭圆（去掉点）； 当时，该轨迹表示圆（去掉点）. （2）当时，点的轨迹方程为， 由点在双曲线上得，由轨迹定义可知， 则，又，所以. 方法一：依题直线斜率不为0， 设直线方程为 联立方程组， 整理得 则 又 即， 代入韦达定理可得：， 解得或（舍去）；所以直线的方程为， 即直线过定点. 方法二：依题直线不过点，则设直线方程为 方程化为， 整理有 联立直线方程，利用代换1齐次化： 整理可得：， 从而，解得， 所以直线的方程为，即 所以直线过定点. 4．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知双曲线的渐近线方程为，与轴的正、负半轴分别交于，两点，过点的直线与的右支交于，两点． (1)若直线的斜率存在，求出直线斜率的取值范围； (2)探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中，分别表示直线，的斜率）； (3)若直线，交于点，且，求直线斜率的取值范围． 【解析】（1）双曲线的渐近线方程为， 又双曲线的渐近线方程为，所以， 易知直线的斜率不为，设，，直线的方程为， 联立双曲线与直线消元整理得， 所以，解得， 再由斜率存在以及可得，的取值范围为； （2）依题意，，，结合（1）由韦达定理可知， ，， 于是， 因此 ， 即是定值，定值为； （3）由（2）可知，， 令，则， 所以直线与直线的方程分别为，， 由，解得，即交点的横坐标为， 故 ， 又，即，即， 又，即，解得或， 又，所以， 故的取值范围为. 5．如图，椭圆有两顶点、，过其焦点的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．当点P异于A，B两点时，求证：为定值．    【解析】由题意，，则， 所以椭圆标准方程为，设P的坐标为，Q的坐标为， 设，，， 因为椭圆过二次曲线AC，BD与二次曲线AB，CD的四个交点A，C，B，D有： 四点的曲线系方程为， xy的系数：，y的系数：， 联立，解得，， 则，为定值． 6．（2025·高三·北京东城·月考）如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，长轴长为． (1)求E的方程； (2)过焦点的直线交E于A，B两点，过焦点的直线交E于C，D两点，且轴，，，求的值． 【解析】（1）由椭圆的长轴长为，得，所以， 因为离心率为，所以，所以， 则，所以椭圆的方程为. （2）设，因为轴，则，且，而，， 依题意，，直线方程为， 由消去得， 则，解得， 因为，所以； 直线方程为，由，得， 则，解得， 因为，所以， 所以. 7．（2025·湖南永州·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点和右顶点分别为，. (1)求的方程. (2)已知过点的直线与交于两点，过点且与垂直的直线与交于两点，在轴的上方，分别为的中点，直线与交于点. （i）求证：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 【解析】（1）设的半焦距为，由题意知， 由椭圆的几何性质知，， ，则， ， ，故的方程为. （2）（i）由（1）知，，由题意知，直线与坐标轴不垂直， 设，直线， 将代入，整理得， ， ， ，同理可得， ， ∴直线，即， ∴直线过定点. （ii）如图，连接，设为线段的中点，直线分别与相交于点，连接. 分别为的中点， ，则， ，故. 由（i）知，， 同理可得，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 面积的最小值为. 8．（2025·高三·河南新乡·开学考试）已知抛物线仅经过中的一点. (1)求的方程； (2)过的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点. 【解析】（1）抛物线关于轴对称，而点关于轴对称， 若点之一在抛物线上，则另一点必在该抛物线上，不符合题意， 因此点必在抛物线上，，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）知，抛物线的焦点，显然直线都不垂直坐标轴， 设直线的方程为，则直线的方程为， 由消去得，设， 则，线段的中点， 同理得线段的中点，当时，直线斜率， 直线方程为，整理得，直线过定点， 当时，或，直线过定点， 所以直线过定点.       9．（2025·新疆·模拟预测）已知双曲线：的两条渐近线互相垂直，，分别为左右焦点，过的直线分别交双曲线左支于A，B两点，当轴时，. (1)求双曲线G的方程； (2)过点A作直线的垂线，垂足为D. （i）求证：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 【解析】（1）的两渐近线方程为， 由题意得，故， ，中，令得，故， 又，故，结合得， 所以双曲线G的方程为； （2）由题意得，故， 过的直线分别交双曲线左支于A，B两点，故过的直线斜率不为0， 设过的直线方程为，联立得， 设，， 故，， 需满足，解得， ，故直线的斜率为，直线方程为， 由对称性分析可知直线过的定点在轴上， 故中，令得 ， 又，将其代入上式中得， 故直线过定点； （ii），由于直线过定点，， 其中， 所以 ， 令，因为，所以，故，， 所以，由于在上单调递减， 故在上单调递增，故当时，取得最小值， 最小值为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 圆锥曲线经典问题 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：常用结论 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：斜率和问题 6 题型二：斜率积问题 7 题型三：斜率比问题 8 题型四：数量积问题 10 题型五：单共线与双共线问题 11 题型六：弦中点过定点问题 13 题型七：定直线问题 14 题型八：转韦达结构 16 05 过关测试 18 知识点一：常用结论 1、过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点． 2、过椭圆的长轴上任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点． 3、过椭圆的短轴上任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点． 4、过椭圆内的任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点． 5、以为直角定点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点 6、以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上． 7、以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上． 8、以为直角定点的抛物线内接直角三角形的斜边必过定点， 9、以为直角定点的双曲线内接直角三角形的斜边必过定点 10、已知是椭圆上的定点，直线（不过点）与椭圆交于，两点，且，则直线斜率为定值． 11、已知是双曲线上的定点，直线（不过点）与双曲线交于，两点，且，直线斜率为定值． 12、已知是抛物线上的定点，直线（不过点）与抛物线交于，两点，若，则直线斜率为定值． 13、为椭圆上一定点，过点作斜率为，的两条直线分别与椭圆交于两点． （1）若，则直线过定点； （2）若，则直线过定点． 14、设是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过作两条直线，交椭圆于、、、，直线，的斜率分别为，，弦，的中点记为，． （1）若，则直线过定点； （2）若，则直线过定点． 15、过抛物线上任一点引两条弦，，直线，斜率存在，分别记为，即，则直线经过定点． 题型一：斜率和问题 【例1】（2025·高二·安徽·月考）已知椭圆的上顶点和两个焦点都在圆上． (1)求C的方程； (2)若过C的右焦点F与圆E相切的直线与C交于A，B两点，求； (3)若过C的右焦点F作两条直线与C在x轴下方分别交于M、N两点，且直线FM，FN的斜率互为相反数，记直线MN的斜率为m，求证：． 【变式1-1】（2025·高二·安徽安庆·月考）在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，焦距． (1)求的方程； (2)双曲线左、右顶点分别为，，直线与的左、右两支分别交于点，，记直线，的斜率分别为，且． （i）求证：直线过定点； （ii），直线与交于点，判断并证明直线与的位置关系． 【变式1-2】（2025·高二·山东烟台·期末）过抛物线的顶点O，作两条直线交抛物线于异于点O的两点A，B (1)当，互相垂直时，求证：直线过定点． (2)当斜率之积为定值s时，求证：直线过定点． (3)当斜率之和为定值时，求证：直线过定点． 【变式1-3】（2025·高二·甘肃兰州·期末）已知椭圆的离心率为，长轴长为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)点在上，过点的直线交椭圆于，两点（异于点），设直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 题型二：斜率积问题 【例2】（2025·高二·贵州遵义·期末）设椭圆过点，且离心率. (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆的上顶点，MN为上异于的两点，若直线AM，AN的斜率为，且.求证：以线段MN为直径的圆经过一个定点，并求出该定点的坐标. 【变式2-1】（2025·高三·山东泰安·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，长轴长是焦距的2倍，短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若是椭圆上的两个不同的动点，直线的斜率分别为． （i）求坐标原点到直线的距离的取值范围； （ii）设的中点为，点满足，过作轴，过作轴，直线与直线交于点，以为邻边作，求线段长度的取值范围． 【变式2-2】（2025·高二·浙江·月考）已知抛物线（），焦点为，对于抛物线上一点，记，已知的最小值为1，将点向上平移个单位长度，得到点. (1)求抛物线的方程； (2)若为坐标原点，直线与的另一个交点为，设直线的斜率分别为，，求的值； (3)记点到直线的距离为，证明：以为圆心，为半径的圆始终经过定点. 【变式2-3】（2025·高三·安徽·月考）已知椭圆的右焦点为，的上顶点到点的距离为3. (1)求的方程. (2)动直线与交于，两点，的中点为. （i）求点的轨迹方程； （ii）记点到轴的距离为，点是轴上的定点，的斜率为，的斜率为，若为定值，求点的坐标. 题型三：斜率比问题 【例3】（2025·高三·浙江·期中）已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离为是双曲线上关于原点对称的两点，且点在第一象限，点的坐标为. (1)求双曲线的方程； (2)若，求的面积； (3)记直线与双曲线的另一个交点分别为，直线的斜率分别为，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式3-1】（2025·高二·广西·月考）已知是椭圆的右焦点，椭圆的离心率，斜率不为0的直线经过点且与椭圆交于两点.当直线与轴垂直时，弦的长为. (1)求椭圆的方程； (2)设分别为椭圆的左､右顶点，设直线的斜率分别为，求； (3)轴上是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求定点的坐标，若不存在，请说明理由. 【变式3-2】（2025·江苏·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，上顶点为是上异于顶点的两点. (1)求的方程； (2)若在第一象限，的面积是面积的2倍，求的坐标； (3)若直线的斜率是直线的斜率的3倍，证明：直线经过定点. 【变式3-3】（2025·高二·浙江·期中）已知椭圆的离心率为，左焦点为，左､右顶点分别为，上顶点为，且的外接圆半径为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设斜率存在的直线交椭圆于两点（位于轴的两侧），记直线的斜率分别为，若. （i）试判断直线是否过定点，若是，求出此定点坐标；若不是，请说明理由； （ii）设直线与轴的交点为，记与的面积分别为，求的取值范围. 【变式3-4】（2025·高二·山东日照·期中）已知椭圆的两个焦点，，过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点，的周长等于8. (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，设直线，的斜率为别为，，求证：为定值. 题型四：数量积问题 【例4】（2025·高二·上海浦东新·月考）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，短轴长为2，点是上位于第一象限内的一点． (1)求椭圆的方程； (2)设，，三角形的面积为，三角形的面积为，若，求点的坐标； (3)设直线与交于另外一点，直线与交于另外一点，为直线上一点，问是否存在实数满足，使得为定值？若存在，求出和定值；若不存在，请说明理由． 【变式4-1】（2025·高二·浙江宁波·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上的点，且轴. (1)求椭圆的方程； (2)若点是椭圆的右顶点，过点的直线交椭圆于另一点，且，求直线的方程； (3)设过点的动直线（不与轴重合）与椭圆有两个交点，在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由. 【变式4-2】（2025·高二·河南·月考）已知动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数． (1)设动点M的轨迹是曲线C，求曲线C的方程并指出曲线C是什么曲线； (2)已知点P为曲线C上任意一点，是圆的直径，求的取值范围． 【变式4-3】（2025·高三·河南·月考）设椭圆：的两焦点分别为，，其中是坐标原点，为半焦距． (1)若为椭圆的右端点，且满足，求的值． (2)若直线：与椭圆存在交点，求使取得最小值时椭圆的方程． (3)已知点，对（2）中求得的椭圆，是否存在斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点，，且线段的中点满足？若存在，求出该直线斜率的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型五：单共线与双共线问题 【例5】（2025·云南·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆的方程为，点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设与轴交于.两点（点在点上方），过点的直线（不与轴重合）与交于两点，直线与直线交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）设，，求的最大值. 【变式5-1】（2025·高二·江苏宿迁·月考）如图，已知椭圆，记分别是的左､右焦点，是的上顶点，连接并延长交椭圆于点，过作轴的垂线交椭圆于另一点，连接. (1)若，求； (2)若点的坐标为，且，求直线的斜率. 【变式5-2】（2025·高二·湖北荆州·月考）已知椭圆过点，左焦点为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，线段的中点为，点在椭圆上，满足（为坐标原点），求证：的面积为定值，并求出该定值. 【变式5-3】（2025·四川南充·模拟预测）如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，长轴长为．    (1)求的方程； (2)过焦点的直线交于，两点，过焦点的直线交于，两点，且轴，. （i）求的值； （ii）设线段的中点为为坐标原点，求的取值范围． 题型六：弦中点过定点问题 【例6】（2025·高二·甘肃酒泉·月考）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交C于A，B两点，过点F与l垂直的直线交C于D，E两点，M，N分别为AB，DE的中点，证明：直线MN过定点． 【变式6-1】（2025·高二·江苏连云港·期中）在直角坐标系中，点到直线的距离比到点的距离大1，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过的直线交曲线于两点，过与直线垂直的直线交曲线于，两点，其中在轴上方，，分别为，的中点． 求证：（ⅰ）直线过定点； （ⅱ）直线，的交点在定直线上． 【变式6-2】（2025·高三·黑龙江哈尔滨·月考）已知椭圆的离心率为，过点，为坐标原点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交曲线于，两点，过点与垂直的直线交曲线于，两点，其中，在轴上方，，分别为，的中点. （i）证明：直线过定点； （ii）求面积的最大值. 【变式6-3】已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，过F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为AB，DE的中点．    (1)证明：直线MN过定点； (2)设G为直线AE与直线BD的交点，求面积的最小值． 题型七：定直线问题 【例7】（2025·高二·河北·月考）平面直角坐标系中，已知圆的半径为2，圆心在轴的非负半轴上，直线与圆相切. (1)求圆的方程； (2)设，过点作斜率为的直线，交圆于、两点，设、是圆与轴的两个交点（在的上方）. ①求四边形面积的最大值； ②证明：直线与的交点在定直线上. 【变式7-1】（2025·高二·山西阳泉·期末）已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点，求证：的内心在一条定直线上. 【变式7-2】（2025·高二·云南·期末）已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由. 【变式7-3】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期末）一个动圆Q与圆外切，与圆内切，设圆心Q的轨迹为曲线C，过点作斜率为k的直线l交曲线C于A，B两点． (1)求曲线C的方程； (2)在y轴上求异于的点P，使得对于任意的直线l，都有； (3)设，分别为曲线C的上、下顶点，直线与直线交于点M，若曲线C在点A处的切线交y轴于点N，试判断直线AB与直线MN的交点H是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由． 题型八：转韦达结构 【例8】（2025·高二·辽宁·月考）已知动点到定点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于A，B两点，点，直线，直线的斜率分别为，．若，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 【变式8-1】（2025·高二·山东·月考）如图，椭圆，且过，离心率．圆，点P为直线上一个动点． (1)求椭圆W的标准方程； (2)过点P作椭圆W的两条切线，切点分别为，证明：直线过定点；（参考公式：若为椭圆上的点，则椭圆在Q处的切线方程为） (3)若直线与圆O相切于点M，且交椭圆W于两点，证明：为定值． 【变式8-2】（2025·高二·江苏淮安·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于A，B两点（A，B两点均在y轴左侧）. (1)求曲线C的方程； (2)若点A在x轴上方，且，求直线l的方程； (3)过点A作x轴的平行线m，直线m与直线交于点M，线段的中点为N，若直线l与直线交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上. 1．（2025·重庆·模拟预测）已知平面内一定点，定直线，现有一动点满足到直线的距离与到点的距离之比为2 . (1)求动点的轨迹的标准方程； (2)已知点在上，动直线与轨迹交于，Q两点（不同于H），记的斜率分别为，若，求证:直线过定点 2．（2025·高二·北京·月考）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为且短轴长为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)过定点的直线与椭圆交于，两点，若，求直线与直线的斜率之积. 3．（2025·高三·湖北·月考）在平面直角坐标系中，已知，动点满足直线和直线的斜率之积是． (1)求动点的轨迹方程，并指出该轨迹是什么曲线； (2)当时，为的轨迹上的两个动点，记直线的斜率分别为，若，试判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由． 4．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知双曲线的渐近线方程为，与轴的正、负半轴分别交于，两点，过点的直线与的右支交于，两点． (1)若直线的斜率存在，求出直线斜率的取值范围； (2)探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中，分别表示直线，的斜率）； (3)若直线，交于点，且，求直线斜率的取值范围． 5．如图，椭圆有两顶点、，过其焦点的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．当点P异于A，B两点时，求证：为定值．    6．（2025·高三·北京东城·月考）如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，长轴长为． (1)求E的方程； (2)过焦点的直线交E于A，B两点，过焦点的直线交E于C，D两点，且轴，，，求的值． 7．（2025·湖南永州·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点和右顶点分别为，. (1)求的方程. (2)已知过点的直线与交于两点，过点且与垂直的直线与交于两点，在轴的上方，分别为的中点，直线与交于点. （i）求证：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 8．（2025·高三·河南新乡·开学考试）已知抛物线仅经过中的一点. (1)求的方程； (2)过的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点. 9．（2025·新疆·模拟预测）已知双曲线：的两条渐近线互相垂直，，分别为左右焦点，过的直线分别交双曲线左支于A，B两点，当轴时，. (1)求双曲线G的方程； (2)过点A作直线的垂线，垂足为D. （i）求证：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $