第 11 讲 三余弦定理转化几何维度讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第 11 讲 三余弦定理转化几何维度 三余弦定理 在空间图形 中,如果有 ,则点 在平面 上的投影 在 的平分线上,且有三余弦定理 可以应用. 热点课堂 【例 1】已知空间内有一球, 为其直径且 为球上两点,满足 ，且 ，则四面体 的体积为_____. 【分析】因为 ,所以可用三余弦定理得到点 在平面 的射影位置. 因为 是球的直径, ,故可得 . 如图,作 平面 ,因为 ,可得点 在 的角平分线上. 在等腰 中, , 由 可得 , 所以 ,故 , 所以 . 【解答】 【例 2 】有 4 条长为 2 的线段和 2 条长为 的线段,用这 6 条线段作为棱,构成一个三棱锥,问当 为何值时,可构成一个体积最大的三棱锥,最大值为多少? 【分析】显然存在两种情况,边长为 的两条棱可能在同一个三角形中,也可能不在同一个三角形中. 在求对称几何体的体积时, 分割求和是常见的方法. 由两角相等可知投影在角平分线上,然后借助三余弦定理,常可达到很好的效果. 图 1 【解答】(1)当边长为 的两条棱在同一个三角形中时, 如图 1,不妨设 , 当且仅当 平面 时体积有最大值,此时 . (2)当边长为 的两条棱不在同一个三角形中时有以下三种解法. 解法一: (三余弦定理) 不妨设 ，由题意得 ， 如图 2,作 平面 ,则点 在 的平分线 上， 图 2 所以 , 在等腰 与等腰 中, ， 代入可得 ， ， 所以 因为 ，所以三棱锥体积的最大值为 . 图 3 解法二: 如图 3,不妨设 ,取 的中点 ,连结 , 易得 且 平面 , 所以 , 所以 因为 ，所以三棱锥体积的最大值为 . 解法三: (构造长方体) 如图 4,设长方体的三边长 , 则 解得 图 4 所以 因为 ，所以三棱锥体积的最大值为 . 评注:本题的三种方法也是处理四面体相关问题的常用方法. 【例 3】已知三棱锥 的体积为 分别是 上的点,满足 为平面 、平面 、平面 的交点,求三棱锥 的体积. 【分析】本题关键是先确定点 的位置,进而找到三棱锥 与三棱锥 的相应元素的比值关系,从而得到三棱锥 的体积. 【解答】设 与 交于点 ， 与 交于点 ，则 与 的交点为 ，延长 交 于点 . 设三棱锥 的高为 ,三棱锥 的高为 ,三棱锥 的高为 . 由 得 , 在 中, ,同理 , 在 中, ,所以有 ,于是 . 又因为三棱锥 的体积为 1,所以三棱锥 的体积为 . 评注:本题多次通过不同的三角形进行计算，把三维立体问题的计算转移至二维平面中，颇具代表性. 【例 4】如图,正方体 的一个截面经过顶点 及棱 上的点 , 且将正方体分成体积比为3:1的两部分，则 _____. 【分析】在处理三个平面两两相交的问题时,要注意交线的特点有三种可能:① 相交于同一直线; ② 三条交线相互平行; ③ 三条交线相交于一点. 而求解几何体的体积, 关键是判断这个几何体的形状. 如图，延长 ， 交于点 ，则点 在平面 与平面 的交线上. 又因为点 也在平面 与平面 的交线上, 所以 平面 ,设 ,则几何体 为棱台. 设正方体的棱长为 1,则正方体的体积为 1,结合条件可知 . 设 ,根据相似可得 ,所以 , 所以 化简可得 ，所以 ，所以 . 【解答】 【例 5】在棱长为 1 的正方体 中, 为正方体的中心,点 在 上， ，点 在 上， ，则四面体 的体积为( ) A. B. C. D. 【分析】体积问题往往需要考虑载体, 若在长方体或正方体中, 建坐标系是通法; 利用图形变换转换成容易计算的几何体，则可使计算量大大降低. 解法一: (利用体积转换) 如图 1,因为 为正方体的中心,连结 并延长交 于点 ,则由题意可得 . 图 1 所以 . 解法二: 利用坐标系,先算出点 到平面 的距离与 的面积即可. 如图 2,以 为原点建立坐标系,则 , 图 2 所以 . 设平面 的一个法向量为 , 则 解得 , 所以点 到平面 的距离 . 因为 , 所以 , 所以 . 【解答】A 【例 6】设三棱锥 的底面是正三角形，侧棱长均相等， 是棱 上的点(不含端点). 记直线 与直线 所成的角为 ，直线 与平面 所成的角为 ，二面角 的平面角为 ,则( ) A. B. C. D. 【分析】本题是三种空间角的大小比较问题. 根据最小角定理，即平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角,所以有 . 由题意知三棱锥 是正三棱锥，因此，二面角 的大小与二面角 的大小相等. 如图,过点 作 底面 ,过点 作 于点 , 连结 ,则 为二面角 的平面角,所以 , 连结 ,则 ,因为 ,所以 . 【解答】B 学科网（北京）股份有限公司 $