第 10 讲 了解数列极限熟悉蛛网与夹逼讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第 10 讲 了解数列极限熟悉蛛网与夹逼 1. 数列极限的定义 一般地，当项数 无限增大时，如果无穷数列 的项 无限地趋近于某个常数 ，那么就说数列 以 为极限. 2. 单调有界定理 单调有界数列必收敛 (有极限). 3. 夹逼定理 如果数列 以及 满足下列条件: (1) 从某项起,即当 (其中 ) 时,有 ; (2) 且 ; 那么数列 的极限也存在,且 . 4. 单调性与蛛网工作法 对于 迭代生成的数列的大致情况,往往不需要作很多计算,即可通过图象来观察. 此类数列主要有以下两个变化规律. 命题 1 (第一律) 设数列 满足递推公式 . 若有 ,同时 成立,则极限 一定是方程 的根 (这时称 为函数 的不动点). 命题 2 (第二律)设数列 满足递推公式 ,其中的函数 在区间 上单调,同时数列 的每一项都在区间 中,则只有以下两种可能: (1)当 单调递增时， 为单调数列； (2)当 单调递减时， 的两个子列 和 分别为单调数列，且具有相反的单调性. 根据命题 2 可作出下列四种图象: (a) 单调收敛 (b) 单调发散 (c) 振荡收敛 (d) 振荡发散 若要严格建立这些结论,可能需要结合数学归纳法等方法进行分析证明,但以上的几何观察在发现规律、提供思路和命题时是很有用的. 热点课堂 【例 1】若数列 满足 ，则()) A. 单调递增 B. 无上界 C. D. 以上答案都不对 【分析】要判断 型数列的增减变化,借助不动点用蛛网法判断,也可以通过 来判断. 由 ,得 , 故 (若 ,则 ,这与 矛盾). 由此可知 正确. 又因为 ,所以 ,故 B 正确. 利用蛛网法容易判断 是正确的，如图. 因为 , 所以 ,即 , 故 , 故 . 所以 正确. 【解答】 【例 2】已知数列 满足 ,则数列 ( ) A. 单调递增且有界 B. 单调递减且无界 C. 没有单调性 D. 以上全错 【分析】要判断递推数列的单调性和有界性, 可利用单调有界定理, 结合反证法说明. 由数学归纳法易得 ， 所以 ,所以 为递增数列. 假设 是有界数列,则 必有极限,设 , 对 两边取极限,得 ,即 ,矛盾, 所以假设不成立. 故数列 无界,所以选 D. 【解答】D 【例 3】已知数列 满足 ,求 的十分位和百分位. 【分析】利用叠加和放缩两边夹估计 的大概范围. 【解答】由题意易得数列 是递增数列,即 , 将 两边平方得, , 所以当 时有 , 故 ,且 , 所以 . 再由 可得 , 所以 , 所以 , 所以 . 因为 , 所以 , 所以 . 即 , 所以 的十分位是 0,百分位是 2 . 评注: 的估计也可以利用积分放缩, 【例 4】设数列 满足 ,则() A. B. 中的项都是整数 C. D. 中与 2015 最接近的项为 【分析】二阶分式递推数列转化成二阶常系数递推数列. 由题意得 ,因为 , 所以 , 所以 ,故 是常数数列, 因此 ,所以 ,所以 正确. 由数学归纳法易得 是正确的. 因为特征方程 的两根为 2 或 3,所以 , 由 ,解得 所以 , 计算可得 中与 2015 最接近的项为 ,所以 正确. 【解答】ABD 【例 5】如果数列 满足 那么( ) A. 数列 一定是等比数列 B. 当 时, C. 当数列 各项均为正数时, D. 当存在正整数 使得 时, 【分析】特征根在二阶递推数列中求通项的应用. 对于选项 ,当 时,数列 不是等比数列,故 错. 对于选项 ,当 时, , 于是由数列通项的特征根法,特征方程为 ,两根为 , 可得 , 因为 ,代入解得 ,故 正确. 对于选项 ,因为数列 的各项均为正数,所以 ,所以 , 故 也满足，故 错. 对于选项 ,因为 若 ,则可得 ,所以 正确. 【解答】BD 【例 6】已知数列 满足 . 求证:(1) ； (2)对于任意给定的 ，总存在正整数 ，当 时， . 【分析】夹逼求极限,单调有界必有极限. 【解答】(1) 假设存在 ,使得 , 则 , 出现矛盾,所以 . (2)显然 ，又因为 ， 所以 ,故 . 由于数列 单调递减且有下界,所以当 时,数列 存在极限,设 . 又因为 ,所以 ,即 , 故 ,所以 , 所以对于任意给定的 ,总存在正整数 ,当 时, . 学科网（北京）股份有限公司 $