第28讲：数列的求和【知识梳理+6个题型归纳】期末常考题型讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学讲义通过框架图系统梳理数列求和的知识体系，将公式法、分组转化等六种方法按“原理-适用场景-技巧”分层呈现，用表格归纳七类裂项模型及适用条件，清晰展现方法间的内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“题型-策略-例题”三阶设计，如错位相减求和明确四步操作及符号易错点，裂项相消提供根式、指数等模型表格，培养数学思维与模型观念。经典例题与小试牛刀分层设置，助力学生从理解到应用，教师可据此实施精准化复习教学。

2025-2026年人教A版高二数学上学期常考题型归纳 【第28讲：数列的求和】 总览 题型梳理 1.公式法 (1)等差数列的前项和为： 推导方法为倒序相加法。 (2)等比数列的前项和为： 推导方法为乘公比与错位相减法。 (3)一些常见的数列的前项和： ①；. ②. ③. ④. 2.几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，求和时可用分组求和法，分别求和后再相加. (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前项和. (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解. (4)倒序相加法：如果一个数列与首末两端“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解. 常见的裂项技巧： ①； ； ； ； ②； ； ； ③； ； ④； ； ⑤； 常见裂项公式： ； ； 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1:倒序相加求和】 【解题策略】 核心适用场景 适用于“与首末项距离相等的两项之和为定值”的对称数列（如等差数列），是等差数列前项和公式的推导核心方法. 方法技巧 1.设数列的前项和为，写出； 2.将倒序书写，得到； 3.两式相加，得（共组，每组和为定值）； 4.整理得（等差数列前项和公式即由此推导）. 核心技巧 识别数列的“对称和”特征，遇首末等距项和为定值时，优先采用倒序相加. （2025高三·全国·专题练习）已知函数．经典例题1例题 (1)求； (2)若，，，求； (3)令，记为数列的前项和，若对一切都成立，试求的取值范围． （23-24高二下·四川绵阳·月考）已知数列是公比为的等比数列，且，若，则（   ）经典例题2例题 A．4046 B．4045 C．2024 D．2023 （24-25高二下·北京丰台·期中）高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则 .经典例题3例题 （24-25高二上·山东临沂·月考）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法. 已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则 .小试牛刀1 （2025高三下·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且，设函数，则 ．小试牛刀2 （24-25高二上·上海·月考）已知函数，数列是正项等比数列，且，小试牛刀3 (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【题型2：分组并项求和】 【解题策略】 核心适用场景 适用于通项可拆分为多个基本数列（等差数列、等比数列、常数列等）和（差）的数列，或含周期性重复项的数列. 方法技巧 1.拆分通项：将原数列通项拆分为若干基本数列的通项之和（或差）； 2.分别求和：对每个基本数列，用对应求和公式求其前项和； 3.合并结果：将各基本数列的前项和相加（减），得到原数列和； 4.周期数列处理：先确定周期长度，按周期分组后再求和. 核心技巧 准确拆分通项，周期数列需先明确周期，避免分组错误. （25-26高二上·天津蓟州·月考）已知数列，，将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，则 .经典例题1例题 （25-26高二上·福建厦门·月考）在数列中，，.记是数列的前项和，则（   ）经典例题2例题 A．1325 B．1300 C．1350 D．1375 （25-26高二上·山东青岛·月考）已知数列的前项和为，且经典例题3例题 (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，为数列的前项和，求. （25-26高三上·福建福州·月考）已知数列满足：，．小试牛刀1 (1)求，并判断是否恒成立； (2)设，证明：是等差数列； (3)数列的前项和为，求． （2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知正项等差数列满足，且成等比数列.小试牛刀2 (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. （2025高三上·重庆·专题练习）数列的前项和为，，则（    ）小试牛刀3 A． B．0 C． D． 【题型3：错位相减求和】 【解题策略】 核心适用场景 适用于通项为“等差数列×等比数列”形式的数列，即（为常数，），是高考数列解答题高频考点. 方法技巧 1.设前项和为，写出： 2.两边同乘公比，得： 3.错位相减（对齐项）： 4.化简右边（中间为等比数列），解出. 易错提醒 相减时注意符号，准确判断等比数列项数，避免漏项/多算项. （25-26高三上·云南楚雄·月考）设数列满足，．经典例题1例题 (1)求的通项公式； (2)求的前n项和. （25-26高二上·湖南·月考）已知是递增的等差数列，且.经典例题2例题 (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. （25-26高二上·浙江杭州·月考） 欧拉函数 (n∈)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数.例如：，，，，两个正整数互质：除了 1 以外没有公因数，如：2 和3，2 的 因 数 1 和2，3 的 因 数 1 和3，所以 2和 3 互质；5 和7也是互质的.经典例题3例题 (1)求，； (2)猜测的值（不要求证明）； (3)令，求数列的前n项和． （25-26高三上·山东济宁·月考）已知等差数列满足，数列满足，则的前项和为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·天津滨海新·期中）已知数列是等差数列，设为数列的前n项和，数列是等比数列，，若，，，．小试牛刀2 (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，求数列的前项和． （25-26高二上·江苏常州·月考）设数列是等差数列，是等比数列.已知，，.小试牛刀3 (1)求和的通项公式； (2)设（），求数列的前项和； 【题型4：裂项相消求和】 【解题策略】 三、常用裂项模型（分类型汇总） 1.基础分式类（高考最常用） 通项形式 裂项结果 适用条件 示例 （为正整数） 2.二次分式类（高考高频考点） 通项形式 裂项结果 适用条件 （即） （即） （即） 3.根式类（常考化简求和） 通项形式 裂项结果 适用条件 （为正整数） 4.阶乘与排列组合类（拓展考点） 通项形式 裂项结果 适用条件 组合数（为固定正整数） 5.三角函数类（选考/压轴题） 通项形式 裂项结果 适用条件 6.指数类（进阶压轴题） 通项形式 裂项结果 适用条件 （且） 示例： 7.多阶分式类（复杂裂项） 通项形式 裂项结果 适用条件 四、标准操作流程（高考规范步骤） 1.分析通项结构：判断的形式（分式、根式等），确定是否可拆分为“差”的形式； 2.匹配并验证模型：选择对应裂项模型，反向通分验证裂项等价性（如裂项后通分需还原为原通项）； 3.展开前项和：写出，代入裂项结果并按“相邻差”排列； 4.消项整理：标记可抵消的中间项，保留首尾未抵消的项，化简得到； 5.验证特殊项：若裂项模型有的限制，需单独计算的项，再与的和合并. 五、高考常考变形技巧 1.系数调整技巧：若通项含系数（如），需先提取系数再裂项：； 2.隔项裂项剩余规律：若，则； 3.多阶裂项嵌套：如可先拆为，再对内部分式二次裂项. 六、高频易错点汇总 1.遗漏裂项系数：如易漏乘，正确裂项为； 2.剩余项判断错误：如裂项后，，而非仅； 3.忽略定义域限制：如根式类模型中的条件，直接从裂项会出现无效根式； 4.符号错误：三角函数类裂项需注意的顺序，不可颠倒. （25-26高三上·河南郑州·月考）在数列中，，．经典例题1例题 (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，若，求的前项和． （25-26高二上·江苏泰州·月考）设正项数列的前项和为，.经典例题2例题 (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和，求证： （25-26高三上·广西桂林·月考）已知是等差数列的前项和，且，.经典例题3例题 (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，证明. （25-26高三上·江苏·月考）记为数列的前项和，已知，且为等比数列.小试牛刀1 (1)求的值. (2)设，证明：. （25-26高三上·安徽·月考）在数列中，.小试牛刀2 (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和. （2025·江西宜春·模拟预测）已知数列满足.小试牛刀3 (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)记，数列的前项和为，证明：. 【题型5：先放缩再求和】 【解题策略】 核心放缩策略 证：将通项放大为等比/裂项可消数列； 证：将通项缩小为可求和数列. 常用放缩模型 1.等比放缩：（） 2.分式放缩：（） 3.根式放缩：（） 操作步骤 1.明确证明目标，确定放缩方向； 2.选择放缩模型，验证不等关系； 3.对放缩后数列求和； 4.推导原数列和的范围，单独验证的情况. 易错提醒 放缩过度（如直接放缩为需调整起点为）； 忽略放缩前提条件（如的放缩，首项需单独计算）. （25-26高三上·天津南开·期中）已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且.经典例题1例题 (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. （2025·甘肃·模拟预测）已知无穷数列满足：对于 .（为常数）.经典例题2例题 (1)若，设，求数列的前项和； (2)若，求证：. （2025·吉林长春·三模）记为数列的前项和，已知，．经典例题3例题 (1)判断是否为等比数列，并求出的通项公式； (2)设递增的等差数列满足，且、、成等比数列．设，证明：． （2025高三·全国·专题练习）已知在正项数列中，，其前项和满足．小试牛刀1 (1)求与； (2)令，数列的前项和为，求证：对于任意的，都有． （2025高三·全国·专题练习）（1）求证：；小试牛刀2 （2）求证：； （3）求证：． （2025高三·全国·专题练习）已知对于任意的，数列都满足.小试牛刀3 (1)求数列的通项公式； (2)求证：时，. 【题型6：奇偶项通项公式后求和】 【解题策略】 核心适用场景 适用于“奇偶时通项不同”的数列，常结合等差、等比数列考查（中档题占比约30%）. 常见通项类型 1.奇偶项分属不同基本数列（如奇数项为等差，偶数项为等比）； 2.奇偶项含递推关系（如）. 操作步骤 1.拆分和式：； 2.确定项数： ：奇数项项，偶数项项； ：奇数项项，偶数项项； 3.分析奇偶项的数列类型（首项、公差/公比）； 4.分别求、，分奇偶整理. 易错提醒 项数计算错误（如时，奇数项数为）； 奇偶项的首项/公差判断错误（如偶数项首项是而非）. （25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列中，经典例题1例题 (1)求的值； (2)求证：数列是等比数列； (3)求数列的前项和． （2025·福建莆田·模拟预测）已知数列满足，经典例题2例题 (1)记，求，，并证明数列是等比数列； (2)记，求满足的所有正整数的值. （2023·福建宁德·模拟预测）已知数列，，，，．经典例题3例题 (1)求证：数列是等比数列，并求数列的前n项和； (2)求数列的前n项和． （2023·福建·模拟预测）已知数列满足：，，，.小试牛刀1 (1)证明：是等差数列： (2)记的前n项和为，，求n的最小值. （2022·广东韶关·二模）已知数列的前n项和为，，，．小试牛刀2 (1)证明：； (2)设，求数列的前2n项和． （2026·云南·模拟预测）已知数列满足，且是的等差中项，是数列的前项和，则 ， .小试牛刀3 课后针对训练 一、解答题 1．（2025·江苏南京·模拟预测）已知是无穷正整数数列，定义操作为删除数列中除以余数为的项，剩下的项按原先后顺序不变得到新数列．若，，进行操作后剩余项组成新数列，设数列的前项和为． (1)求； (2)设数列满足，求数列的前项和． 2．（23-24高二上·福建龙岩·期末）在数列中，，且分别是等差数列的第1，3项. (1)求数列和的通项公式； (2)记，求的前n项和. 3．（24-25高二上·福建宁德·期末）已知是等差数列，是正项等比数列，且，，， (1)求数列，的通项公式： (2)记 （i）求数列的前2n项和； （ii）记，求数列的前n项和 4．（2023·湖北·一模）已知正项数列的前项和，满足：． (1)求数列的通项公式； (2)记，设数列的前项和为，求证． 5．（2024·湖北·模拟预测）若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质，欧拉函数是指，对于一个正整数n，小于或等于n的正整数中与n互质的正整数（包括1）的个数，记作，例如，． (1)求，，； (2)设，，求数列的前项和； (3)设，，数列的前项和为，证明：， 6．（2024·湖北·一模）已知数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)令，求数列的前项和. 7．（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 8．（24-25高三上·山东青岛·月考）已知数列是等差数列，其前和为，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)若对数列，在与之间插入个1，组成一个新数列，求数列的前2025项的和． 9．（2024·江苏淮安·模拟预测）已知数列的首项为，前项和为，且. (1)当时，记，求数列的通项公式； (2)若，求的取值范围. 10．（2025·江苏·一模）在①；②；③这三个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下题横线上（只要写序号），并解答该题． 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有______． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 11．（24-25高三下·江苏南通·月考）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 12．（2025·江苏苏州·二模）在数列中，已知，且当为奇数时，；当为偶数时，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 13．（2025·江苏·三模）已知数列是等差数列，记其前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)将数列与的所有项从小到大排列得到数列． ①求的前20项和； ②证明：． 14．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 15．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 16．（2025·江苏·模拟预测）已知数列的前n项和为，其中，． (1)求数列的通项公式． (2)若数列的通项，其前n项和为，求（用n表示）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年人教A版高二数学上学期常考题型归纳 【第28讲：数列的求和】 总览 题型梳理 1.公式法 (1)等差数列的前项和为： 推导方法为倒序相加法。 (2)等比数列的前项和为： 推导方法为乘公比与错位相减法。 (3)一些常见的数列的前项和： ①；. ②. ③. ④. 2.几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，求和时可用分组求和法，分别求和后再相加. (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前项和. (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解. (4)倒序相加法：如果一个数列与首末两端“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解. 常见的裂项技巧： ①； ； ； ； ②； ； ； ③； ； ④； ； ⑤； 常见裂项公式： ； ； 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1:倒序相加求和】 【解题策略】 核心适用场景 适用于“与首末项距离相等的两项之和为定值”的对称数列（如等差数列），是等差数列前项和公式的推导核心方法. 方法技巧 1.设数列的前项和为，写出； 2.将倒序书写，得到； 3.两式相加，得（共组，每组和为定值）； 4.整理得（等差数列前项和公式即由此推导）. 核心技巧 识别数列的“对称和”特征，遇首末等距项和为定值时，优先采用倒序相加. （2025高三·全国·专题练习）已知函数．经典例题1例题 (1)求； (2)若，，，求； (3)令，记为数列的前项和，若对一切都成立，试求的取值范围． 【答案】(1)1010； (2)； (3). 【分析】（1）由解析式可得，利用对称性求函数值的和； （2）首先有，，再应用倒序求和即可得； （3）由题设，再累加得，进而化为恒成立，即可求. 【详解】（1）根据题意 ， 所以； （2）由，， ， ， 相加得 ， 故； （3）． ， ， 因为，又因为，当且仅当时，等号成立， 所以，得. （23-24高二下·四川绵阳·月考）已知数列是公比为的等比数列，且，若，则（   ）经典例题2例题 A．4046 B．4045 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】由题可得，利用等比数列性质可得，继而可计算. 【详解】由题可得， 又数列为等比数列，且，所以， 即， 所以， 故选：A （24-25高二下·北京丰台·期中）高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则 .经典例题3例题 【答案】1012 【分析】首先根据函数解析式得到，再根据等比数列的性质，即可求解. 【详解】由，则，则， ， 因为，由等比数列的性质可知，，，，……， 所以上式. 故答案为： （24-25高二上·山东临沂·月考）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法. 已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则 .小试牛刀1 【答案】1012 【分析】利用高斯算法可推出，再利用等比数列性质即可类比得出. 【详解】根据可得， 所以； 由等比数列性质可得， 因此可得 . 故答案为： 【点睛】方法点睛： 本题运用了类比的方法，类比高斯算法中首尾相加和相等的思路，先求出的值，再利用等比数列的性质找到其他和为1的组合.对于类似的数列求和问题，当数列具有一定的规律（如等比数列的性质）时，可以尝试通过分组的方式，将和相等的项组合在一起，简化求和过程.在计算时，运用了分式的通分运算，这是处理分式相加问题的常用方法.在解决涉及函数与数列结合的问题时，要善于根据函数的表达式和数列的性质进行运算和推理. （2025高三下·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且，设函数，则 ．小试牛刀2 【答案】/ 【分析】先根据题干递推式求得，然后根据作差即可求得，再结合诱导公式化简得，最后利用倒序相加法求和即可. 【详解】，① 当时，，② ①-②得； 当时，，此时仍然成立，． 当时，； 当时，， 当时，上式也成立，故． 由于， 设 ， 则， ． 故答案为： （24-25高二上·上海·月考）已知函数，数列是正项等比数列，且，小试牛刀3 (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【答案】(1)1； (2). 【分析】（1）直接代入化简即可； （2）由（1），结合等比数列性质，即可求解. 【详解】（1）因为函数， 所以 （2）因数列是正项等比数列，且，则， 所以， 同理， 令， 又， 则有，故， 所以. 【题型2：分组并项求和】 【解题策略】 核心适用场景 适用于通项可拆分为多个基本数列（等差数列、等比数列、常数列等）和（差）的数列，或含周期性重复项的数列. 方法技巧 1.拆分通项：将原数列通项拆分为若干基本数列的通项之和（或差）； 2.分别求和：对每个基本数列，用对应求和公式求其前项和； 3.合并结果：将各基本数列的前项和相加（减），得到原数列和； 4.周期数列处理：先确定周期长度，按周期分组后再求和. 核心技巧 准确拆分通项，周期数列需先明确周期，避免分组错误. （25-26高二上·天津蓟州·月考）已知数列，，将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，则 .经典例题1例题 【答案】 【分析】由题意可知的前项中有项，有项，利用分组求和法即可求出答案. 【详解】由题意可得中间插入项，中间插入项， 中间插入项，中间插入项， 中间插入项，中间插入项， 所以的前项中有项，有项， 所以 . 故答案为：. （25-26高二上·福建厦门·月考）在数列中，，.记是数列的前项和，则（   ）经典例题2例题 A．1325 B．1300 C．1350 D．1375 【答案】B 【分析】按n为奇数，偶数分类，然后结合等差数列求和公式可得答案. 【详解】当为奇数，由题可得，即数列所有奇数项为首项为1，公差为1的等差数列， 则； 当为偶数，由题可得，即数列所有相邻偶数项和为1， 则， 从而. 故选：B （25-26高二上·山东青岛·月考）已知数列的前项和为，且经典例题3例题 (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，为数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，即可求解； （2）利用（1）中结果得，再分组利用等差数列、等比数列的前项和公式，即可求解 【详解】（1）因为①，当时，②， 由①②得到， 又时，，不满足， 所以 （2）由（1）知， 所以 . （25-26高三上·福建福州·月考）已知数列满足：，．小试牛刀1 (1)求，并判断是否恒成立； (2)设，证明：是等差数列； (3)数列的前项和为，求． 【答案】(1)，不恒成立 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用数列递推式求出数列的前5项，即可判断结论； （2）将数列递推式分和，展开相加，推得，进而得到，利用等差数列的定义证明即可； （3）由数列递推式可得，结合，将的展开式按照各项的下标的奇偶分成两类，再并项求和，利用等差数列的求和公式即可求得. 【详解】（1）因为，所以，，；       又，，故不恒成立． （2）当，，；      当，，；    两式相加，可得，故， 由，可得是等差数列． （3）当时，，又，      所以，则在偶数项的和中，每对，均满足此条件．   又由（2）可得 ，      则                    （2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知正项等差数列满足，且成等比数列.小试牛刀2 (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式进行求解即可. （2）根据数列的性质分组求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则 解得或 依题意得，则， 所以. （2）因为 ， 所以. （2025高三上·重庆·专题练习）数列的前项和为，，则（    ）小试牛刀3 A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】由题可知当为奇数时，.易得.根据的周期性，可求得. 【详解】当为奇数时，. 因为函数的最小正周期为. 所以当为奇数时，. ， . 所以. 所以. 故选：C. 【题型3：错位相减求和】 【解题策略】 核心适用场景 适用于通项为“等差数列×等比数列”形式的数列，即（为常数，），是高考数列解答题高频考点. 方法技巧 1.设前项和为，写出： 2.两边同乘公比，得： 3.错位相减（对齐项）： 4.化简右边（中间为等比数列），解出. 易错提醒 相减时注意符号，准确判断等比数列项数，避免漏项/多算项. （25-26高三上·云南楚雄·月考）设数列满足，．经典例题1例题 (1)求的通项公式； (2)求的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）构造数列为常数数列，进而求数列的通项公式. （2）根据错位相减求和法求数列的前项和. 【详解】（1）由，当时，解得. 当时，，即， 所以数列为常数数列，且，得到， 又当时，，所以对也成立. 故可得的通项公式为． （2）设， 设数列的前项和为，则 ， ， 两式相减得到 . 所以. （25-26高二上·湖南·月考）已知是递增的等差数列，且.经典例题2例题 (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用等差数列的性质列方程计算结合通项公式计算即可； （2）利用错位相减法计算即可. 【详解】（1）设的公差为，由题可知. 因为，所以①， 因为，所以②， 由①②，得. 所以. （2）由（1）可得. 所以③， ③，得④， ③④，得 所以. （25-26高二上·浙江杭州·月考） 欧拉函数 (n∈)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数.例如：，，，，两个正整数互质：除了 1 以外没有公因数，如：2 和3，2 的 因 数 1 和2，3 的 因 数 1 和3，所以 2和 3 互质；5 和7也是互质的.经典例题3例题 (1)求，； (2)猜测的值（不要求证明）； (3)令，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据欧拉函数的定义，采用枚举法即可求解； （2）根据任意相邻的三个正整数均有两个数与互为质数可求出； （3）先求得的通项公式，根据通项公式的特征，采用错位相减法即可求出其前n项和. 【详解】（1）不超过，且与其互质的数即为中排除掉剩下的正整数，则， 不超过，且与其互质的数即为中排除掉剩下的正整数，则. （2）表示相邻的三个正整数，其中与互质的为与两个， 故分别取可得中与互质的正整数个数为， 所以. （3）由以上可得，， 设数列的前n项和为， ， ， 两式相减得： ， 则. （25-26高三上·山东济宁·月考）已知等差数列满足，数列满足，则的前项和为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据条件求解出的通项公式，再利用构造法求解出的通项公式，最后根据错位相减法求解出. 【详解】设的公差为，因为，所以，所以， 所以，所以， 所以且，所以是首项为公差为的等差数列， 所以，所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：D. （25-26高三上·天津滨海新·期中）已知数列是等差数列，设为数列的前n项和，数列是等比数列，，若，，，．小试牛刀2 (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由已知列出方程组，求得公差和公比，然后求的数列的通项公式． （2）由（1）先求出，利用错位相减法，先写出的表达式，再乘以公比得到，两式相减后，将等比数列求和公式化简即可. （3）将的前项和拆分为奇数项和与偶数项和，分别对（裂项相消）、（等比数列求和）进行计算，最后合并结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，，则由， 即，得， 解得或，又，所以舍去， 所以，. （2）由（1）得，，所以， 所以， 即， ， 两式相减得， 则 整理得. （3）由，，得， 所以， 设， 则 设， 则 所以． （25-26高二上·江苏常州·月考）设数列是等差数列，是等比数列.已知，，.小试牛刀3 (1)求和的通项公式； (2)设（），求数列的前项和； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意可列方程组，解方程组即可求解通项公式； （2）将分为奇数项之和与偶数项之和，利用求和公式分别进行求和再相加即可求得. 【详解】（1）设的公差为，的公比为（）， 因为，所以，又，所以， ，解得； 所以，； （2）当为奇数时，， 数列的前项中所有奇数项之和 ； 当为偶数时，， 数列的前项中所有偶数项之和 ，① ，② ①-②得 . ； . 【题型4：裂项相消求和】 【解题策略】 三、常用裂项模型（分类型汇总） 1.基础分式类（高考最常用） 通项形式 裂项结果 适用条件 示例 （为正整数） 2.二次分式类（高考高频考点） 通项形式 裂项结果 适用条件 （即） （即） （即） 3.根式类（常考化简求和） 通项形式 裂项结果 适用条件 （为正整数） 4.阶乘与排列组合类（拓展考点） 通项形式 裂项结果 适用条件 组合数（为固定正整数） 5.三角函数类（选考/压轴题） 通项形式 裂项结果 适用条件 6.指数类（进阶压轴题） 通项形式 裂项结果 适用条件 （且） 示例： 7.多阶分式类（复杂裂项） 通项形式 裂项结果 适用条件 四、标准操作流程（高考规范步骤） 1.分析通项结构：判断的形式（分式、根式等），确定是否可拆分为“差”的形式； 2.匹配并验证模型：选择对应裂项模型，反向通分验证裂项等价性（如裂项后通分需还原为原通项）； 3.展开前项和：写出，代入裂项结果并按“相邻差”排列； 4.消项整理：标记可抵消的中间项，保留首尾未抵消的项，化简得到； 5.验证特殊项：若裂项模型有的限制，需单独计算的项，再与的和合并. 五、高考常考变形技巧 1.系数调整技巧：若通项含系数（如），需先提取系数再裂项：； 2.隔项裂项剩余规律：若，则； 3.多阶裂项嵌套：如可先拆为，再对内部分式二次裂项. 六、高频易错点汇总 1.遗漏裂项系数：如易漏乘，正确裂项为； 2.剩余项判断错误：如裂项后，，而非仅； 3.忽略定义域限制：如根式类模型中的条件，直接从裂项会出现无效根式； 4.符号错误：三角函数类裂项需注意的顺序，不可颠倒. （25-26高三上·河南郑州·月考）在数列中，，．经典例题1例题 (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，若，求的前项和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）构造等比数列，利用等比数列的通项公式得； （2）由错位相减法求得，然后用裂项相消法求得和． 【详解】（1）因为，所以，又，所以数列是等比数列且公比为， 所以，即； （2）， ， 所以， 两式相减得， 所以， ， 所以． （25-26高二上·江苏泰州·月考）设正项数列的前项和为，.经典例题2例题 (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和，求证： 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）应用关系及已知递推关系得，结合等差数列的定义写出通项公式； （2）由（1）及裂项相消法求，即可证. 【详解】（1）当时，由，得，，得， 又，，且，作差得， 所以，，则且， 故数列是公差为1的等差数列，故数列的通项公式为； （2） ∴. 又，所以. （25-26高三上·广西桂林·月考）已知是等差数列的前项和，且，.经典例题3例题 (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，证明. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用等差数列基本量的计算可求数列的通项公式； （2）由（1）得，进而利用裂项相消法可求，可证结论. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由题意得，解得：， 所以. （2）由（1）得， 所以， ， 因为，所以，所以， 所以. （25-26高三上·江苏·月考）记为数列的前项和，已知，且为等比数列.小试牛刀1 (1)求的值. (2)设，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）先根据，，成等比数列列式得或，再检验即可得答案； （2）结合（1）得，进而根据裂项求和法求解即可得证明. 【详解】（1）因为，， 所以，， 因为为等比数列， 所以，即，解得或， 当时，，与等比数列的项不为矛盾，故不满足题意，舍去； 当时，，， 故，即，又，， 所以，即为等比数列，满足题意. 综上，. （2）由（1）知是以为公比，为首项的等比数列， 所以，即， 所以 ， 所以 因为，，所以， 所以，即 （25-26高三上·安徽·月考）在数列中，.小试牛刀2 (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用题干条件构造恒等式，从而得出通项公式，注意检验时是否满足通项公式. （2）由（1）得出，再将进行奇偶讨论，先算出项数为偶数时的和，再计算项数为奇数的和，可以简化运算. 【详解】（1）因为， 所以当时，，即， 所以当时，， 所以， 在中，令时，，解得. 对于，，当时，， 符合上式，所以通项公式为. （2）由（1）得， 当为偶数时， ； 当为奇数时， 所以. （2025·江西宜春·模拟预测）已知数列满足.小试牛刀3 (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)记，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）分析递推式，利用等比数列的定义证明； （2）通过累加法求通项； （3）利用裂项相消法求和并证明不等式. 【详解】（1）由，得， 又，所以， 所以， 即是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）知， 当时， . 当时，也成立， 所以的通项公式为； （3）由（2）得， 所以， 所以， 显然是递增数列，所以. 因为，所以， 所以. 【题型5：先放缩再求和】 【解题策略】 核心放缩策略 证：将通项放大为等比/裂项可消数列； 证：将通项缩小为可求和数列. 常用放缩模型 1.等比放缩：（） 2.分式放缩：（） 3.根式放缩：（） 操作步骤 1.明确证明目标，确定放缩方向； 2.选择放缩模型，验证不等关系； 3.对放缩后数列求和； 4.推导原数列和的范围，单独验证的情况. 易错提醒 放缩过度（如直接放缩为需调整起点为）； 忽略放缩前提条件（如的放缩，首项需单独计算）. （25-26高三上·天津南开·期中）已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且.经典例题1例题 (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据与的关系求解； （2）利用错位相减法求解； （3）利用放缩求和证明. 【详解】（1）当时，； 当时，； 又， 所以 （2）因为，，所以. 所以. 所以①， 所以②， 所以①②得 ， 所以 （3）因为，所以， 又当时，，即，所以， 所以， 所以 ，得证. （2025·甘肃·模拟预测）已知无穷数列满足：对于 .（为常数）.经典例题2例题 (1)若，设，求数列的前项和； (2)若，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的定义及通项公式求出，进而，然后利用裂项相消法求出数列的前项和； （2）根据等差数列的定义及通项公式求出，进而，先证明和不等式成立，当时，，然后求和化简即可证明. 【详解】（1）由题意得，数列是首项为，公差为的等差数列. 当时，等差数列的首项为1，公差为2， 所以，所以. 所以， 所以 . （2）当时，等差数列的首项为1，公差为1， 所以，所以. 因为，所以当时，； 当时，； 当时，， 可得. 综上， . （2025·吉林长春·三模）记为数列的前项和，已知，．经典例题3例题 (1)判断是否为等比数列，并求出的通项公式； (2)设递增的等差数列满足，且、、成等比数列．设，证明：． 【答案】(1)不是等比数列，且 (2)证明见解析 【分析】（1）当时，求出的值，当时，由可得，两式作差可得出，结合可得出结论，结合等比数列的通项公式可得出数列的通项公式； （2）设等差数列的公差为，由题意可知，根据题中条件可得出关于的方程，解出的值，可得出数列的通项公式，放缩可得，结合裂项相消法可证得所证不等式成立. 【详解】（1）因为，且对任意的，， 当时，， 当时，由可得， 上述两个等式作差得，即，所以， 又因为， 故数列不是等比数列，且该数列是从第项开始成公比为的等比数列， 当时，，即， 综上所述，. （2）设等差数列的公差为，由题意可知，且，， ，， 所以，，， 因为、、成等比数列，所以， 整理得，解得或（舍去）， 所以， 所以， 所以 ，故原不等式得 （2025高三·全国·专题练习）已知在正项数列中，，其前项和满足．小试牛刀1 (1)求与； (2)令，数列的前项和为，求证：对于任意的，都有． 【答案】(1)；． (2)证明见解析 【分析】（1）应用十字相乘法分解因式计算得出，再应用计算求解； （2）应用放缩法结合裂项相消法证明即可. 【详解】（1）由，得． 由于是正项数列，，所以． 当时，， 所以，． 又，，则， ，所以， 综上，数列的通项， 当时，， 当时，合适上式， 所以，． （2）由于，由（1）得， 则当，，，时，有 ， 所以，当时， ． 又时，， 所以，对于任意的，都有． （2025高三·全国·专题练习）（1）求证：；小试牛刀2 （2）求证：； （3）求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）利用放缩法，将放缩为，通过裂项相消，叠加后结合不等式性质即可证明. （2）将分母化为，可得，裂项相消后，利用极限思想即可得证. （3）沿用（2）的放缩形式，调整起始项处理，保留首项，后续项裂项相消计算常数项和并结合极限即可得证. 【详解】（1）因为，则， 所以 ． （2）因为， 则， ． （3）因为，则， ． （2025高三·全国·专题练习）已知对于任意的，数列都满足.小试牛刀3 (1)求数列的通项公式； (2)求证：时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据即可求解； （2）由（1）可知：当时，，结合等比数列的前项和公式即可证明. 【详解】（1）由题设有①， 当时，②， ①－②得，所以. 又当时，由得，不符合上式， 综上，数列的通项公式为. （2）由（1）可知：当时，， 所以， 所以当时，. 【题型6：奇偶项通项公式后求和】 【解题策略】 核心适用场景 适用于“奇偶时通项不同”的数列，常结合等差、等比数列考查（中档题占比约30%）. 常见通项类型 1.奇偶项分属不同基本数列（如奇数项为等差，偶数项为等比）； 2.奇偶项含递推关系（如）. 操作步骤 1.拆分和式：； 2.确定项数： ：奇数项项，偶数项项； ：奇数项项，偶数项项； 3.分析奇偶项的数列类型（首项、公差/公比）； 4.分别求、，分奇偶整理. 易错提醒 项数计算错误（如时，奇数项数为）； 奇偶项的首项/公差判断错误（如偶数项首项是而非）. （25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列中，经典例题1例题 (1)求的值； (2)求证：数列是等比数列； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由数列的递推关系，令、和即可求出答案； （2）由递推公式求出 ，再利用等比数列定义判断作答. （3）利用（2）的结论求出的通项公式，再结合递推关系得到的表达式，最后借助分组求和法求和作答. 【详解】（1）由， 令，则；令，则， 令，则， 所以，，. （2）依题意，设， 则 ， 而， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （3）由（2）知，， 因此， 当时，，又， 则， ， 因此 . （2025·福建莆田·模拟预测）已知数列满足，经典例题2例题 (1)记，求，，并证明数列是等比数列； (2)记，求满足的所有正整数的值. 【答案】(1)，，证明见解析 (2)1，2，3，4. 【分析】（1）利用递推关系来证明等比数列即可； （2）利用通项公式可求等比数列前项和，然后通过赋值结合单调性可作出判断. 【详解】（1）由题意，，，， 所以，， 又因为， 所以数列是首项为5，公比为2的等比数列； （2）由（1）知，所以， 所以， 因为单调递增， 且， 所以正整数的所有取值为1，2，3，4. （2023·福建宁德·模拟预测）已知数列，，，，．经典例题3例题 (1)求证：数列是等比数列，并求数列的前n项和； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据递推关系式可得，根据累加法对进行分奇偶讨论，确定，即可证明数列为等差数列，从而求解前n项和即可； （2）根据裂项相消法求解数列前n项和即可． 【详解】（1）因为，所以， 当时， 当时， 所以 则当为偶数时， 累加得：，所以 当为奇数时，为偶数，则，则此时， 综上可得 所以，则数列是以为首项，为公比的等比数列， 其前n项和 （2）由（1）可得 则 故其前n项和 ． （2023·福建·模拟预测）已知数列满足：，，，.小试牛刀1 (1)证明：是等差数列： (2)记的前n项和为，，求n的最小值. 【答案】(1)证明见解析； (2)最小值为10. 【分析】（1）解法一：（指数运算）由已知可推得，，相乘结合已知，即可得出，进而证明；解法二：（对数运算）由已知可得，结合已知即可得出，进而证明； （2）解法一：先根据（1）推出，然后结合已知条件得到，然后计算得到，即可得出答案；解法二：同解法一，先求出，，然后分组求和得出，进而得出，求解即可得出答案；解法三：同解法一，先求出，，然后分组求和得出，求解即可得出答案. 【详解】（1）解法一： 由，得，则， 从而. 又， 所以， 即，所以是等差数列. 解法二： 由，且， 则， 得， 因为，， 所以， 即，所以是等差数列. （2）解法一： 设等差数列的公差为d. 当时，，即， 所以，所以， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以. 又. 所以， ， 又； 又，则，且， 所以n的最小值为10. 解法二： 设等差数列的公差为d. 当时，，即， 所以，所以， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以. 又，所以. 当时， ， ， 所以， ， 又，则，且， 所以n的最小值为10. 解法三： 设等差数列的公差为d. 当时，，即， 所以，所以， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以. 又. 当时， ， 所以，. 又，则，且， 所以n的最小值为10. （2022·广东韶关·二模）已知数列的前n项和为，，，．小试牛刀2 (1)证明：； (2)设，求数列的前2n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据进行求解； （2）在（1）基础上，得到，从而得到，分组求和，结合等差数列和等比数列求和公式得到答案. 【详解】（1）证明：由题可知， 当时，解得． 又因为，将其与 两式相减得：， 因为，所以． （2）当n为大于1的奇数时，有，，，…，， 累加得． 又满足上式，所以n为奇数时，； 当n为大于2的偶数时，有，，，…，， 累加得．又满足上式． 综上可知，． 所以， . 【点睛】数列中的奇偶项问题考查方向大致有：①等差，等比数列中的奇偶项求和问题；②数列中连续两项和或积问题；③含有的问题；④通项公式分奇偶项有不同表达式问题；含三角函数问题，需要对分奇偶讨论，寻找奇数项，偶数项之间的关系，分组求和，期间可能会涉及错位相减和求和或裂项相消法求和. （2026·云南·模拟预测）已知数列满足，且是的等差中项，是数列的前项和，则 ， .小试牛刀3 【答案】 171 【分析】先求出，分和，求出通项公式，进而分组求和，得到答案. 【详解】由题知，解得， 当是偶数，是奇数，故， 所以，因为， 故是首项为，公比为2的等比数列， 故，. 所以当时，， 所以 ； . 故答案为：171； 课后针对训练 一、解答题 1．（2025·江苏南京·模拟预测）已知是无穷正整数数列，定义操作为删除数列中除以余数为的项，剩下的项按原先后顺序不变得到新数列．若，，进行操作后剩余项组成新数列，设数列的前项和为． (1)求； (2)设数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据定义可确定，进而得到的通项公式，结合等差数列求和公式可求得结果； （2）由（1）可得，采用裂项相消法可求得结果. 【详解】（1）当时，，即能被整除；当时，的余数为； 由题意可知：，， . （2）由（1）知：，， 的前项和为. 2．（23-24高二上·福建龙岩·期末）在数列中，，且分别是等差数列的第1，3项. (1)求数列和的通项公式； (2)记，求的前n项和. 【答案】(1), (2) 【分析】（1）由等比数列的定义、等差数列基本量的计算即可得解； （2）由裂项法求和结合对分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题意得，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以， 又因为，解得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. （2）由题意， 若， 则， 若， 则， 所以的前n项和. 3．（24-25高二上·福建宁德·期末）已知是等差数列，是正项等比数列，且，，， (1)求数列，的通项公式： (2)记 （i）求数列的前2n项和； （ii）记，求数列的前n项和 【答案】(1)， (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式，解方程求得公差和公比，进而得到所求； （2）（i）利用并项求和法，结合等差数列的求和公式计算即可； （ii）由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，可得所求． 【详解】（1）由题意，是等差数列，设公差为d， 是正项等比数列，设公比为q，， 由，，，， 可得，， 解得， 则，. （2）（i）由（1）可得，， 则， 则数列的前2n项和； （ii）， 则数列的前n项和 4．（2023·湖北·一模）已知正项数列的前项和，满足：． (1)求数列的通项公式； (2)记，设数列的前项和为，求证． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由，把用1代入算出首项，再用退位相减法发现其为等差数列，则数列通项可求； （2）由（1）可先算出，代入求得通项并裂项，再求和即可证明. 【详解】（1）当时，，解得． 当时，由①，可得，② ①②得：，即． ， ． 是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列的通项公式． （2）由（1）可得， ， ，，，，， ， . 5．（2024·湖北·模拟预测）若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质，欧拉函数是指，对于一个正整数n，小于或等于n的正整数中与n互质的正整数（包括1）的个数，记作，例如，． (1)求，，； (2)设，，求数列的前项和； (3)设，，数列的前项和为，证明：， 【答案】(1)；；． (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据的定义，结合小于等于和的数的特征，即可求解； （2）由（1）的结果可知，，再利用裂项相消法，即可求解； （3）由（1）知，，再利用放缩法，转化为等比数列求和. 【详解】（1）1到6中与6互质的只有1和5，所以； 1到中，被3整除余1和被3整除余2的数都与互质，所以； 1到中，所有奇数都与互质，所以． （2），从而． （3）证明：， 从而，证毕． 6．（2024·湖北·一模）已知数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知可得，进而结合已知可得，可得结论； （2）结合（1）可得，令，对照系数可得，进而利用累加法可求得. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以， 又，所以是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）可知 令， 对照系数可得（其中）， . 7．（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据已知递推式结合等比数列的定义证明即可； （2）由（1）得，然后结合递推式和可求出，再利用错位相减法可求得结果. 【详解】（1）因为， 所以 ， 则数列是首项为1，公比为2的等比数列； （2）由（2）可得，即， ， 所以， 前项和， ， 两式相减可得， 化简可得． 8．（24-25高三上·山东青岛·月考）已知数列是等差数列，其前和为，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)若对数列，在与之间插入个1，组成一个新数列，求数列的前2025项的和． 【答案】(1)，； (2)2080 【分析】（1）设出公差，结合题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到，根据题目条件得到时，，两式相减求出，，经过检验，得到； （2）在中，从开始到项为止，计算出项数为，从而确定数列前2025项是项之后，还有项为1，分组求和即可. 【详解】（1）为等差数列，设其公差为， 则，解得， 故； ①， 故当时，②， 两式相减得， 故，所以，， 又，故，满足， 从而； （2）由（1）知，，， 所以在中，从开始到项为止， 共有项数为， 当时，， 当时，， 所以数列前2025项是项之后，还有项为1， 故. 9．（2024·江苏淮安·模拟预测）已知数列的首项为，前项和为，且. (1)当时，记，求数列的通项公式； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推公式化简证明出是等比数列，再应用通项公式计算即可； （2）先由等比数列计算通项，再应用分组求和结合等比数列求和公式计算不等式求解. 【详解】（1），. ， 则. ，构成以4为首项，2为公比的等比数列， ，则. （2）当时，， ，，，不合题意，. 由（1）得构成以为首项，2为公比的等比数列，. 由题意得， ， ，解之得， 的取值范围是. 10．（2025·江苏·一模）在①；②；③这三个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下题横线上（只要写序号），并解答该题． 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有______． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）条件①不符合题意.如果选条件②，则可根据及条件②，得到，从而可判断是等差数列，求得的通项公式，进而得到的通项公式，最后得到的通项公式.如果选条件③，可直接得到与的关系，进而可得到的通项公式. （2）由已知条件，可求得的通项公式，从而得到的表达式，即可证明. 【详解】（1）对于条件①，当时，，不符合题意．（如果选条件①，不得分） 如选②：， ，， 则是公差为1的等差数列， 则，则． 当时，， 当时，满足上式． 所以的通项公式为． 如选③：因为，则， 当时，，解得：． 当时，， 即，因为，所以， 则是首项为1，公差为2的等差数列， 所以的通项公式为． （2）因为， ． 因为，且在时单调减小， 所以，且在时单调增加，并在时取最小值， 所以． 11．（24-25高三下·江苏南通·月考）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由与的关系式，可得数列的递推公式，利用累乘法，可得答案； （2）整理数列通项，利用错位相减法，可得答案. 【详解】（1）当时，，显然成立； 当时，，，相减可得， 化简可得，由累乘法可得， 显然满足上式，故数列的通项公式. （2）由， 则， ， 两式相减可得 ， 所以. 12．（2025·江苏苏州·二模）在数列中，已知，且当为奇数时，；当为偶数时，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）求为奇数时的通项公式，再代入条件求为偶数时的通项公式，并分段表示出. （2）根据（1）的结论，利用并项求和法及等比数列前项和公式求解即得. 【详解】（1）依题意，， 当为偶数时，，则数列的奇数项是首项为2，公比为2的等比数列， 于是，即当为奇数时，，当为偶数时，， 所以的通项公式是. （2）由（1）知，， . 13．（2025·江苏·三模）已知数列是等差数列，记其前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)将数列与的所有项从小到大排列得到数列． ①求的前20项和； ②证明：． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意可得，对于取，即可求出、，从而求出通项公式； （2）①首先求出，即可得到，从而求出其前20项和；②由，分及两种情况讨论，当时利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，得，即， 由，取，得，即， 解得，，所以； （2）①由（1）知，，所以， 因为， 所以，所以的前20项和为； ②证明：因为，所以， 所以当时，； 当时， ， 综上可得. 14．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答. 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时， ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 15．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用退位法可求的通项公式． （2）利用错位相减法可求. 【详解】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 16．（2025·江苏·模拟预测）已知数列的前n项和为，其中，． (1)求数列的通项公式． (2)若数列的通项，其前n项和为，求（用n表示）． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）通过累乘求前项和，再由与的关系得通项； （2）化简后，利用余弦函数的周期性分组，详细计算每个周期内的和，再分三种情况累加剩余项，得到前项和. 【详解】（1）由得，结合， 累乘得 . 当时，， 时符合上式，故. （2）由三角恒等式，得， 结合，故. 因余弦函数周期为，故，即的周期为3. 时，； 时，； 时，. 分3种情况求前项和： ①当（）时，前项分为个周期， 每个周期含（）. 计算一个周期的和： ， 前项和为个周期的和累加： ， 代入，得. ②当（）时，前项是前项加第项（）： ， 代入，得. ③当（）时，前项是前项加第项（）： ， 代入，得. 综上所述，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $