第11讲 数列求和综合应用讲义（思维导图+1大知识点+7大题型+过关测试）-2025-2026学年高二数学上学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版）

该高中数学讲义通过思维导图系统梳理数列求和知识体系，将倒序相加、裂项相消等七种常用方法按“原理-适用类型-解题步骤”逻辑呈现，用知识框架图突出方法间的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“题型归纳+变式迁移”的练习设计，如倒序相加法结合高斯算法历史背景引导学生理解原理，裂项相消法通过变式题训练推理能力，培养数学思维与运算能力。分层例题与过关测试满足不同学生需求，助力教师实施精准复习教学。

第11讲 数列求和综合应用 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：几种数列求和的常用方法 4 04 题型归纳，举一反三 5 题型一：倒序相加法 5 题型二：裂项相消法 7 题型三：错位相减法 9 题型四：分组求和 12 题型五：并项求和 14 题型六：绝对值求和 17 题型七：其它求和方法 19 05 过关测试 23 知识点一：几种数列求和的常用方法 （1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． （2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． （4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 题型一：倒序相加法 【例1】（2025·高二·河南南阳·期中）已知，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 故 故答案为： 【变式1-1】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为 ，所以的图像关于点成中心对称． 因为， 所以， 两式相加得，所以． 由，得， 所以． 令， 则当时，在上单调递减； 当时，在单调递增． 又，所以，所以， 即的取值范围是． 故答案为：. 【变式1-2】（2025·高二·北京丰台·期中）高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则 . 【答案】1012 【解析】由，则，则， ， 因为，由等比数列的性质可知，，，，……， 所以上式. 故答案为： 【变式1-3】（2025·高二·辽宁沈阳·月考）已知数列的前项和为，且，设函数，则 . 【答案】 【解析】因为数列的前项和为，且， 当时，则，所以， 当且时，由可得， 上述两个等式作差得， 所以，满足， 故对任意的，， 当且时，，也满足， 故对任意的，， 因为， 记， 则， 所以， ， 故. 故答案为：. 题型二：裂项相消法 【例2】（2025·高二·甘肃兰州·期末）已知数列为等差数列，其中 (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【解析】（1）因为数列为等差数列，设公差为， 所以，解得， 所以数列的通项公式. （2）由（1）知，则， 所以， 得 【变式2-1】（2025·高三·河南郑州·月考）在数列中，，． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，若，求的前项和． 【解析】（1）因为，所以，又，所以数列是等比数列且公比为， 所以，即； （2）， ， 所以， 两式相减得， 所以， ， 所以． 【变式2-2】（2025·高二·甘肃平凉·期末）已知等比数列的各项均为正数，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2026项和. 【解析】（1）设等比数列的公比为，因为，所以， 则. 因为等比数列的各项均为正数，所以. 又因为，所以，解得. 所以. 所以数列的通项公式为. （2）因为， 所以， ， 所以， 故数列的前项和. 【变式2-3】（2025·高二·福建厦门·期中）已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 【解析】（1）因为，且，可得， 即对任意恒成立，可得， 所以. （2）由（1）可知：， 则， 可得， 所以. 题型三：错位相减法 【例3】（2025·高二·甘肃甘南·期末）已知数列中，，. (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和． 【解析】（1）证明：当时，， 所以， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 故，所以，． （2）由题意， 所以， 令，① 则，② ①②得： 故，所以． 【变式3-1】（2025·高二·吉林长春·期末）已知数列满足：，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和； (3)记，其中表示不超过x的最大整数，如，．求数列的前2025项和． 【解析】（1）数列中，由，得，则，而，解得， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得， 则，， 两式相减得， 所以. （3）由（1）得， 当时，，，共有9项； 当时，，，共有90项； 当时，，，共有900项； 当时，，，共有9000项； 而，所以. 【变式3-2】（2025·高二·吉林·期末）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. (3)设求数列的前项和. 【解析】（1）设等差数列的公差为，则， 解得，， . （2）由（1）， 所以①. ②. ①②得 . （3）因为， 所以数列的前项和. 【变式3-3】（2025·高二·河北邢台·月考）在数列中，． (1)求的通项公式． (2)若数列的前项和为，证明：． (3)若，求数列的前项和． 【解析】（1）当时，，得． 当时，， ， 两式相减得，则． 当时，符合上式， 所以． （2）证明：由（1）得， 所以， 故． （3）由（1）得， 则， ， 所以 ， 所以． 题型四：分组求和 【例4】（2025·高二·海南·期末）在数列中，已知. (1)证明：是等比数列； (2)求的前项和. 【解析】（1）由，得 又，所以是首项为3，公比为3的等比数列. （2）由（1）可得，即. 【变式4-1】（2025·高二·吉林·期末）已知数列为递增的等差数列，数列为等比数列，满足，，. (1)求数列，的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【解析】（1）设数列的公差为，数列的公比为， 因为，，所以，， 又，所以，，得，， 所以，， 即数列的通项公式为，数列的通项公式为； （2）因为， 所以由（1）可得， . 【变式4-2】（2025·高二·全国·期末）已知在数列中，，，______，其中.从下列三个条件中，任意选择一个补充在上面的问题中并作答. ①数列的前项和； ②； ③且. (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等比数列； (3)求数列的前项和. 【解析】（1）若选择①：前n项和， 则时，， 当时，，也适合上述式子， 综上所述，数列的通项公式为； 若选择②：，则（常数）， 可知数列构成公差为的等差数列，首项， 所以数列的通项公式为； 若选择③：且，则， 可知数列是等差数列， 设公差为，则由，得，解得. 所以数列的通项公式为. （2）证明：若，则由（1）的结论，可得， 因为（常数），且， 所以数列是首项为，且公比的等比数列； （3）由（1）和（2）得， 所以 ＝. 即. 【变式4-3】（2025·高二·甘肃兰州·期末）在数列中，已知，. (1)证明：是等比数列； (2)求的前项和. 【解析】（1）已知，移项整理得：， 两边同时加上得：, 整理得：， 又，则， 故数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）可得：, . 题型五：并项求和 【例5】（2025·高二·江苏盐城·期中）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足. (1)若，，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列 ①求数列的通项公式； ②求数列的前项和. 【解析】（1）依题意，，， 则，由，得，解得， 而，所以. （2）①由数列是公差为的等差数列，设， 又， 于是对任意恒成立， 即对任意恒成立， 则，又，解得，所以，从而； ②由①知， 故 . 【变式5-1】（2025·高三·湖南·月考）记数列的前n项和为，已知，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【解析】（1）由已知，，即，即，所以数列是公差为3的等差数列 因为，则 因为，所以的通项公式是. （2）因为，则 因为，则 所以. 【变式5-2】（2025·高二·河北·期末）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列，求数列的前n项和； (3)求证：． 【解析】（1）是各项均不为0的等差数列， ， . （2）因为， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 综上可得； （3）当时，， ， 所以； 【变式5-3】（2025·高二·四川成都·月考）已知数列是首项为2且公差不为0的等差数列，为和的等比中项，记数列的前项和为. (1)求和； (2)设，求数列的前2022项的和. 【解析】（1）因为为和的等比中项，所以， 又因为数列是首项为2且公差不为0的等差数列，则，所以，，. （2）因为 所以数列的前2022项的和为： . 题型六：绝对值求和 【例6】（2025·高三·天津南开·月考）已知数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和为； (3)求数列的前项和． 【解析】（1）① ② ①②得   ∴ ∴ 故数列是首项，公差为2的等差数列．∴． （2）令， 所以， （3）令，当时，；当时， 设数列的前项和为， 则， 当时，则， 当时，则 综上：． 【变式6-1】（2025·高三·陕西汉中·期末）设等差数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求. 【解析】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 所以； （2）由（1）知，所以， . 【变式6-2】（2025·高二·青海西宁·期中）在等差数列中，，，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【解析】（1）由题意知在等差数列中，，，设公差为， 则，则， 故，故通项公式． （2），由，得， 即时有，时有， 若，， 若时， ， 综合上述，． 【变式6-3】（2025·高二·辽宁·期中）已知是数列的前项和，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【解析】（1）由数列满足，当时，可得， 两式相减，可得，即，即， 当时，，即，解得， 所以数列是首项为，公比的等比数列. （2）由（1）可得数列的通项公式为， 则， 令，可得数列的前项和为， 当时，可得； 当时，可得 ， 所以数列的前项和. 题型七：其它求和方法 【例7】（2025·广东广州·三模）已知数列满足，且对任意的，都有. (1)设，求数列的通项公式； (2)数列表示不超过的最大整数，求的前350项和. 【解析】（1）由可得， 又，所以，即是以3为公差的等差数列， 又，得，， 所以，解得，故， 所以. （2）由（1）可得， 又 所以， 所以. 【变式7-1】（2025·高二·河南安阳·期中）在数列中，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前12项和，其中表示不超过的最大整数，如，. 【解析】（1）当时，，①， 所以当时，②， ①②得， 即也满足该式，所以. （2）由（1）知， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 依次类推，可知. 所以数列的前12项和为. 【变式7-2】（2025·山东·一模）已知正项数列的前项和为，且，． (1)求； (2)在数列的每相邻两项、之间依次插入、、、，得到数列、、、、、、、、、、，求的前项和． 【解析】（1）对任意的，因为， 当时， ， 因为，所以，故． 当时，适合， 所以，． （2）因为，， 所以当时，， 所以，， 所以，数列的前项分别为：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、， 所以的前项是由个与个组成．所以． 【变式7-3】（2025·高三·湖南长沙·期中）已知数列满足：，． (1)求，； (2)设，，证明数列是等比数列，并求其通项公式； (3)求数列前10项中所有奇数项的和． 【解析】（1）依题意，数列满足：，， 所以. （2）， . 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. （3），， 所以， 所以. 1．（2025·高三·山东济宁·月考）已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为： . 【答案】 【解析】因为函数是上奇函数，所以 ， 所以， ， 两式相加得：， 即. 故答案为： 2．（2025·高二·福建龙岩·期末）已知函数满足，数列满足：. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）函数满足，数列满足， 则， 所以，， 故. （2）由（1）可得， 则， 所以，， 上式下式可得， 所以，，则， 所以，， 由可得，则， 因为， 因为函数在上单调递增， 且，故当时，取最大值，故. 因此，实数的取值范围是. 3．（2025·高一·四川德阳·期末）已知为奇函数． (1)求的值； (2)若， ，求的值； (3)当时，，求证：． 【解析】（1）因为为奇函数，定义域为， 所以，所以. 当时， 故是奇函数．综上． （2）， . 令， 则， 两式相加得：，所以. 故. （3）因为 当时， 所以不等式成立. 当时，因为 所以 综上，当，恒成立． 4．（2025·高二·甘肃武威·期末）已知等差数列的首项为5，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【解析】（1）设等差数列的公差为d，由，， 得，解得， 所以； （2）由（1）知， 所以， 所以， 所以两式相减得 ， 所以． 5．（2025·江西宜春·模拟预测）已知数列满足，，. (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)记，数列的前项和为，证明：. 【解析】（1）由，得， 又，，所以， 所以，， 即是以1为首项，3为公比的等比数列； （2）由（1）知， 当时， . 当时，也成立，所以的通项公式为； （3）由（2）得， 所以， 所以， 显然是递增数列，所以. 因为，所以，所以. 6．（2025·高二·广东·期末）已知数列的前项和，且，，其中. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前20项和. 【解析】（1）证明：对于，， 当时，，， 当时，由，① 得，② ①②两式相减得， 由于， 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列. （2）由（1）得出， 所以当为奇数时， ，， 所以奇数项以为首项，公差为2的等差数列， 又，所以， 当为偶数时，， ， 所以 ， 所以. 7．已知递增数列满足. (1)求； (2)证明：数列为等差数列； (3)令，求数列的前项和. 【解析】（1）由可得：， 代入消元得：，解得或， 因为当时，，不满足递增数列，故舍去， 而当时，，满足递增数列， 所以； （2）由可得：， 又因为，所以是方程的两个根， 而解方程可得：， 根据递增数列，所以 即，所以数列为等差数列； （3）由，可得， 所以. 8．（2025·高二·福建厦门·期中）已知数列各项均为正数，其前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知，，求数列的前项和． 【解析】（1）因为， 当时，则，解得； 当时，则， 两式相减得：，整理可得， 且，则，可得，即， 可知数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以. （2）由题意可知，即， 当，可得，，，， 累加可得， 可得， 且符合上式，则，， 所以. 9．（2025·高三·天津南开·期中）已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【解析】（1）对数列，因为数列为等差数列，可设公差为， 由题意：，所以， 所以； 对数列，因为， 且， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以. （2）因为. ， 所以 . 10．（2025·高三·安徽·月考）已知数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【解析】（1）①， ∴当时，令得②， 由①-②可得，，即， ∴数列从第二项开始为常数列，，可得； 当时，，计算可得，经检验不符合上式， ； （2）∵由（1）知， ， 当为偶数时，， 当为奇数时，． ∴综上，． 11．（2025·高二·四川眉山·月考）已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足. (1)求证：数列为等差数列，并求出； (2)设，求数列的前项和. 【解析】（1）因，则， 即， 又因数列为正项数列，则，则， 又由，则数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，则， （2）由（1）可得，， 又满足上式，所以， 则，， 所以当时，，当时，， 记数列的前项和为，则， 从而当时，； 当时，， 所以. 12．（2025·高二·上海奉贤·月考）已知数列 满足 (1)求数列的通项公式 (2)若数列 满足 ，求数列的前 项和 【解析】（1）由已知可得， 故当时，， ， ， ……. ， 累加后可得， 所以， 当时，代入成立， 所以数列的通项公式为. （2）， 当时，， 此时 ； 当时，， ， 综上 13．（2025·高二·四川凉山·期末）设是公差不为零的等差数列，是的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)求中的最大值和最小值； (3)求的前项和． 【解析】（1）由可得，故，设公差为d，， 由可得，， 故， 由于，所以，因此，因此， 故， （2）， 当且时，，且此时单调递减， 故为最大值，为最小值， 当且时，，且此时单调递减， 故为最大值1，此时无最小值， 综上可得的最大值为1，最小值为， （3）由可得当且时，， 当且时，， 所以当且时，， 当且时， ， 故 14．（2025·高二·山东临沂·期末）在①，；②公差为1，且成等比数列；③，，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答. 问题：已知等差数列的前项和为，且满足___________ (1)求数列的通项公式； (2)令，其中表示不超过的最大整数，求. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【解析】（1）选① 设等差数列中，公差为，因为，， 所以，解得， 所以， 选② 因为等差数列中，公差为1，且成等比数列， 所以，即，解得 所以. 选③ 因为等差数列中，，， 所以，即，解得 所以 （2）由（1）知， 因为，，，， 所以当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以 15．已知各项均为正数的无穷数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）记表示不超过的最大整数，如，. 令，求数列的前项和. 【解析】（1）因为，所以，又， 则数列是以为首项，为公差的等差数列，因此，即. 当时，， 又符合上式， 故.      （2）由（1）知，   当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，.    所以数列的前项和 . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 数列求和综合应用 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：几种数列求和的常用方法 4 04 题型归纳，举一反三 5 题型一：倒序相加法 5 题型二：裂项相消法 5 题型三：错位相减法 6 题型四：分组求和 7 题型五：并项求和 8 题型六：绝对值求和 9 题型七：其它求和方法 10 05 过关测试 12 知识点一：几种数列求和的常用方法 （1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． （2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． （4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 题型一：倒序相加法 【例1】（2025·高二·河南南阳·期中）已知，则 ． 【变式1-1】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是 ． 【变式1-2】（2025·高二·北京丰台·期中）高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则 . 【变式1-3】（2025·高二·辽宁沈阳·月考）已知数列的前项和为，且，设函数，则 . 题型二：裂项相消法 【例2】（2025·高二·甘肃兰州·期末）已知数列为等差数列，其中 (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【变式2-1】（2025·高三·河南郑州·月考）在数列中，，． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，若，求的前项和． 【变式2-2】（2025·高二·甘肃平凉·期末）已知等比数列的各项均为正数，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2026项和. 【变式2-3】（2025·高二·福建厦门·期中）已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 题型三：错位相减法 【例3】（2025·高二·甘肃甘南·期末）已知数列中，，. (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和． 【变式3-1】（2025·高二·吉林长春·期末）已知数列满足：，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和； (3)记，其中表示不超过x的最大整数，如，．求数列的前2025项和． 【变式3-2】（2025·高二·吉林·期末）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. (3)设求数列的前项和. 【变式3-3】（2025·高二·河北邢台·月考）在数列中，． (1)求的通项公式． (2)若数列的前项和为，证明：． (3)若，求数列的前项和． 题型四：分组求和 【例4】（2025·高二·海南·期末）在数列中，已知. (1)证明：是等比数列； (2)求的前项和. 【变式4-1】（2025·高二·吉林·期末）已知数列为递增的等差数列，数列为等比数列，满足，，. (1)求数列，的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【变式4-2】（2025·高二·全国·期末）已知在数列中，，，______，其中.从下列三个条件中，任意选择一个补充在上面的问题中并作答. ①数列的前项和； ②； ③且. (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等比数列； (3)求数列的前项和. 【变式4-3】（2025·高二·甘肃兰州·期末）在数列中，已知，. (1)证明：是等比数列； (2)求的前项和. 题型五：并项求和 【例5】（2025·高二·江苏盐城·期中）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足. (1)若，，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列 ①求数列的通项公式； ②求数列的前项和. 【变式5-1】（2025·高三·湖南·月考）记数列的前n项和为，已知，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式5-2】（2025·高二·河北·期末）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列，求数列的前n项和； (3)求证：． 【变式5-3】（2025·高二·四川成都·月考）已知数列是首项为2且公差不为0的等差数列，为和的等比中项，记数列的前项和为. (1)求和； (2)设，求数列的前2022项的和. 题型六：绝对值求和 【例6】（2025·高三·天津南开·月考）已知数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和为； (3)求数列的前项和． 【变式6-1】（2025·高三·陕西汉中·期末）设等差数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求. 【变式6-2】（2025·高二·青海西宁·期中）在等差数列中，，，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【变式6-3】（2025·高二·辽宁·期中）已知是数列的前项和，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 题型七：其它求和方法 【例7】（2025·广东广州·三模）已知数列满足，且对任意的，都有. (1)设，求数列的通项公式； (2)数列表示不超过的最大整数，求的前350项和. 【变式7-1】（2025·高二·河南安阳·期中）在数列中，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前12项和，其中表示不超过的最大整数，如，. 【变式7-2】（2025·山东·一模）已知正项数列的前项和为，且，． (1)求； (2)在数列的每相邻两项、之间依次插入、、、，得到数列、、、、、、、、、、，求的前项和． 【变式7-3】（2025·高三·湖南长沙·期中）已知数列满足：，． (1)求，； (2)设，，证明数列是等比数列，并求其通项公式； (3)求数列前10项中所有奇数项的和． 1．（2025·高三·山东济宁·月考）已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为： . 2．（2025·高二·福建龙岩·期末）已知函数满足，数列满足：. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 3．（2025·高一·四川德阳·期末）已知为奇函数． (1)求的值； (2)若， ，求的值； (3)当时，，求证：． 4．（2025·高二·甘肃武威·期末）已知等差数列的首项为5，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 5．（2025·江西宜春·模拟预测）已知数列满足，，. (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)记，数列的前项和为，证明：. 6．（2025·高二·广东·期末）已知数列的前项和，且，，其中. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前20项和. 7．已知递增数列满足. (1)求； (2)证明：数列为等差数列； (3)令，求数列的前项和. 8．（2025·高二·福建厦门·期中）已知数列各项均为正数，其前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知，，求数列的前项和． 9．（2025·高三·天津南开·期中）已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 10．（2025·高三·安徽·月考）已知数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 11．（2025·高二·四川眉山·月考）已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足. (1)求证：数列为等差数列，并求出； (2)设，求数列的前项和. 12．（2025·高二·上海奉贤·月考）已知数列 满足 (1)求数列的通项公式 (2)若数列 满足 ，求数列的前 项和 13．（2025·高二·四川凉山·期末）设是公差不为零的等差数列，是的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)求中的最大值和最小值； (3)求的前项和． 14．（2025·高二·山东临沂·期末）在①，；②公差为1，且成等比数列；③，，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答. 问题：已知等差数列的前项和为，且满足___________ (1)求数列的通项公式； (2)令，其中表示不超过的最大整数，求. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 15．已知各项均为正数的无穷数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）记表示不超过的最大整数，如，. 令，求数列的前项和. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $