第 9 讲 二阶递推数列的特征方程讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第9讲二阶递推数列的特征方程 递推公式为a+2=paH1+qana1=aa2=B(其中p,9均为常数)， (1)待定系数法 先把原递推公式转化为aH2一Sa+1=t(a+1一san),构造等比数列，其中 (s+t=p, s,t满足 st=-q. (2)特征根法 方程x2-Px-9=0叫做数列的特征方程，若x1x2是特征方程的两个 根， 当x1≠2时，数列{an}的通项为an=A1+B1，其中A, B由a1=%,a2=B确定； 当&1=x2时，数列{an}的通项为an=(An+B)1,其中AB由 a1=必a2=阝确定， 热点课堂 【例1】已知数列{a}满足a=1S+1=4an+3,求2019-2a2018 的值 【分析】本题考查的是a,与Sn之间的关系，利用a+1=S+1-S得到 递推式，转化为等比数列获得通项公式，本题亦可用特征根法获得通项公式. 【解答】解法一：易知 a+1=4a-4a-1 ,则 d+1-2an=2(d-2an-1), 所以019-2018=(a2-2a)×22017, 则019-22018=2019 解法二：易知a+1=4a,-4a-1, 根据特征方程x2-4x+4=0的特征根为2，可得a=(n-)×22, 所以五019-2018=2019. 【例2】已知数列{xa}满足名=3，x=x源，若x,∈Z,求n的 最小值， 【分析】对于高次递推公式，可以通过对递推公式两边同时取对数降次，然 后转化为等比数列！ 【解答】因为为1=3，xn=x5,所以x>0, 因此nx=3hnxr-1,所以hnXn=hn3×3ie-, 因此Xn=3×e-b=3ia内， 若8m∈Z,则n的最小值为4. 【例3】已知数列(a,}满足出=×1=m,则9米= 【分析】求解一次分式递推型的数列，常用的方法是两边减去不动点再取 倒数 取倒数得点=叶立=京+2(n+1), 叠加可得意=（是-太)+（太-)+…+（高-房）+守 =2n+2(n-1)+…+2×2+2=n(n+1)(n≥2)， 所以Xn=而， 所以0名=(1-)+（佳-）+…+(-应)=器 【解答】器 2019 【例4】已知数列{a}满足a+1+a=4+3(k=123,…),求 a2+a2019· 【分析】待定系数法构造等差或等比数列也是求解数列通项公式的常用方 法。 【解答】解法一：因为+1+k=4k+3,所以+2十+1=4k+7, 两式相减得+2-ak=4, 所以019=a1+4×(20斗-1)=4036+a, 所以3+a2019=4036+a+a2=4043. 解法二：因为4+1+4=4k+3,所以4+1=-4+4k+3, 变形得+1-[2(k+1)+]=-[a-（2k+)], 所以019-(4038+号)=(a1-)(-1)2018, 解得2019=a1+4036, 所以+a2019=4036+a+a2=4043. 【例5】已知=1a=122=441+则 【分析】由a+2=a+1+aa得a+2a=(a+1+a)·an, 所 以 =t=京（宝-）=一4a=一 1 1 所以=（城-京）+（京京）+（敏-京）+…=1 【解答】1 【例6】已知两个严格递增的正整数数列{a},{b},满足 a0=b0<2017,并且对于任意的正整数n，都有 a+2=a+1+amb+1=2ba,则a+b1的所有可能值为 【分析】因为{a}是斐波那契数列，{b}是等比数列， 则40=21a1+34a2b10=512b1,首先估计ab1· 因为b0=512b,<2017,所以b<器， 所以b1能取的值只有1,2,3 又55a<a0=21a1+34a=512b1, 所以品<安 又由a0=b10,可以得到21a+34a2=512b1=(34×15+2)b1· 由整除的性质可以得到21a=2b(mod34), 2×13b1≡21×13a≡(34×8+1)a1三a1(m0d34), 即a=26b(mod34). 接下来对b1=1,23代入检验， 当b1=1时，a不存在；当b=2时，a=18;当b=3时， a=10. 【解答】13,20