第05讲等比数列的前n项和公式（知识清单+7题型讲解举三反三+强化训练）讲义-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（人教A版选择性必修二）数学高二重难点讲义与测试

第05讲等比数列的前n项和公式 知识清单 知识点01：等比数列的前n项和公式 知识点02：等比数列前n项和公式与指数函数的关系 知识点03：等比数列前n项和的性质 题型讲解 （举三反三） 题型1：求等比数列前n项和 题型2：等比数列前n项和的基本量计算 题型3：等比数列片段和性质及应用 题型4：等比数列前n项和的其他性质 题型5：前n项和与通项关系 题型6：等比数列的简单应用 题型7：数列的求和 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01等比数列的前n项和公式 若等比数列{}的首项为，公比为q，则等比数列{}的前n项和公式为 =. 知识点02等比数列前n项和公式与指数函数的关系 (1)当q=1时，=是关于n的正比例函数，点(n,)是直线y=x上的一群孤立的点. (2)当q≠1时，=.记A=，则=+A是一个指数式与一个常 数的和.当q>0且q≠1时，y=是指数函数，此时，点(n,)是指数型函数y=+A图象上的一群孤立的点. 知识点03等比数列前n项和的性质 已知等比数列{}的公比为q，前n项和为，则有如下性质： (1). (2)若(k)均不为0，则成等比数列，且公比为. (3)若{}共有2n(n)项，则=q； 若{}共有(2n+1)(n)项，则=q. 题型1：求等比数列前n项和 【例1-1】（25-26高二上·西藏拉萨·期末）《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍.要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 【例1-2】（25-26高二上·陕西西安·月考）已知数列满足则其前n项和为 . 【例1-3】（2026高二上·全国·专题练习）设等比数列的首项为1，公比为，前项和为，若也是等比数列，求的值 【变式1-1】（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知是等比数列的前n项和，若，则（   ） A．1022 B．1023 C．1024 D．1025 【变式1-2】（24-25高二下·辽宁葫芦岛·月考）欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如时，满足的为1，2，4，5，7，8，则．数列满足，则的前项和大于1000的最小整数 ． 【变式1-3】（24-25高二下·四川眉山·期末）在等差数列中，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 题型2：等比数列前n项和的基本量计算 【例2-1】（25-26高二上·海南·期末）记等比数列的前项和为，若，则公比（    ） A． B． C．2 D．3 【例2-2】（24-25高二上·山东烟台·期末）已知为等比数列的前n项和，且，，则的值为 ． 【例2-3】（25-26高二上·甘肃兰州·月考）已知等比数列的各项均为正数，，为其前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值. 【变式2-1】（25-26高二上·甘肃兰州·月考）已知等比数列的前项和为，若，则公比（    ） A． B．2 C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·陕西·月考）设等比数列的公比为，前n项和，则的取值范围是 ． 【变式2-3】（24-25高二上·广西南宁·月考）（1）在等差数列中，已知求公差； （2）一个等比数列的首项是，项数是偶数，其奇数项的和为，偶数项的和为，求此数列的公比和项数. 题型3：等比数列片段和性质及应用 【例3-1】（25-26高二上·天津津南·月考）已知为等比数列的前项和，，，则（   ） A． B． C． D． 【例3-2】（25-26高二上·甘肃白银·期末）已知等比数列的前项和为，若，且，则 . 【例3-3】（2024高二下·全国·专题练习）在等比数列中，若，，求. 【变式3-1】（25-26高二上·江西·月考）已知等比数列的前n项和为，若，且，则（   ） A．17 B．18 C． D． 【变式3-2】（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）设等比数列的前项和为，若，则 ． 【变式3-3】（2024高二·全国·专题练习）已知等比数列的前项和为．求证：． 题型4：等比数列前n项和的其他性质 【例4-1】在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则（    ） A．786 B．240 C．486 D．726 【例4-2】正项等比数列的前项和为，，，则等于（　　） A．90 B．50 C．40 D．30 【例4-3】已知等比数列的前项和为，若，则 . 【变式4-1】在等比数列中，，公比，记其前项的和为，则对于，使得都成立的最小整数等于（    ） A．6 B．3 C．4 D．2 【变式4-2】记为等比数列的前项和．若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】设等比数列的前n项和为，若，则 ． 题型5：前n项和与通项关系 【例5-1】（24-25高二上·河南新乡·期末）已知是等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（24-25高二下·浙江·月考）已知等比数列的前项和是，则 . 【例5-3】（24-25高二下·陕西·期中）已知等比数列的前项和. (1)求实数的值； (2)若，求. 【变式5-1】（24-25高二下·陕西渭南·月考）等比数列的前n项和，则（    ）. A． B． C． D． 【变式5-2】在等比数列中，前项和，则实数的值为 ． 【变式5-3】已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 题型6：等比数列的简单应用 【例6-1】（25-26高二上·福建漳州·期中）一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟上升高度的80%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（    ）米. A．29 B．45 C．61 D．77 【例6-2】（24-25高二下·江西南昌·期中）已知数列的通项公式，在其相邻两项，之间插入个3（），得到新的数列，记的前n项和为，则使成立的n的最小值为 ． 【例6-3】（24-25高二上·全国·课后作业）某公司的月销售额近几年下跌严重，从某年的6月销售额128万元，到8月跌至32万元，你能求出该公司该年7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，什么时候月销售额跌至8万元？ 【变式6-1】（25-26高二上·山东济南·月考）从年起到年，某人每年的月日到银行存入元的定期储蓄，若年利率为且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到年月日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】一个乒乓球从 高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的 ，在第3次着地时，乒乓球经过的总路程为 . 【变式6-3】某工厂2016年产值为200万元，计划从2017年开始，每年的产值比上一年增长20%．问至少从哪年开始，该厂的年产值可超过1200万元？ 题型7：数列的求和 【例7-1】（25-26高二上·河北衡水·月考） （    ） A． B． C． D． 【例7-2】（24-25高二上·海南·期末）记数列的前项和为，若，则 . 【例7-3】（25-26高二上·山东·月考）记为等差数列的前项和，已知，. (1)求和的通项公式； (2)求. 【变式7-1】（25-26高二上·吉林·期末）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·四川达州·月考）设函数，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求得的值为 . 【变式7-3】（25-26高二上·天津津南·月考）设正项等比数列，，且、的等差中项为 (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项为，数列满足，数列的前项和为，求. (3)在（2）的条件下，设，求数列的前项和. 一、单选题 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知等比数列的前项和为，则（    ） A．14 B．18 C．20 D．30 2．（24-25高二上·重庆长寿·期末）已知为等比数列，且，则（    ） A．189 B．93 C．63 D．33 3．（25-26高二上·吉林长春·期末）已知等比数列的前项和为，，，则（   ） A．10 B．15 C．18 D．20 4．（25-26高二上·福建宁德·期中）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．85 B．15 C． D． 5．（25-26高二上·重庆·月考）已知为等比数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列是等比数列，若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．1013 B． C．2023 D．1022 7．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知数列是等比数列，且，公比为2，则数列的前5项之和为（    ） A．62 B．66 C．56 D．46 8．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）高二学生小张计划将每年的压岁钱存入银行，从2025年起，每年3月1日到银行新存入2000元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2035年3月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（   ）（单位：万元） 参考数据：，， A．2.5 B．2.0 C．2.2 D．2.6 二、多选题 9．下列说法正确的是（   ） A．非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B．等比数列是递增数列，则的公比 C．若数列的前项和为，则数列是等差数列 D．若为等比数列，为其前项和，则，，，仍为等比数列 10．（24-25高二下·辽宁辽阳·月考）公比为的等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·河南·月考）已知公比为的正项等比数列的前3项和为，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．数列是递减数列 D． 三、填空题 12．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知为正项等比数列的前项和，且，，则的值为 . 13．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知数列满足，数列的前n项和为，则 ． 14．（25-26高二上·天津·月考）已知数列中，a1＝1，，记Sn为{an}的前n项和，则 ． 四、解答题 15．（25-26高二上·河北承德·月考）已知等差数列的公差为，等比数列的公比为且，满足条件：． (1)求数列和的通项公式； 16．（2025高二上·福建福州·专题练习）已知数列的通项公式为. 数列满足，. (1)求数列的前n项和. (2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式. (3)求数列的前n项和. 17．（25-26高二上·广西·月考）已知数列满足. (1)证明是等比数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列前项的和. 18．（25-26高二上·河北·月考）已知数列的通项公式为，数列为公比大于0的等比数列，且，. (1)求数列的前n项和，数列的通项公式及前n项和； (2)令，求数列的前n项和. 19．（25-26高二上·湖南·月考）已知数列满足． (1)求的值； (2)证明是等比数列，并求的通项公式； (3)设的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲等比数列的前n项和公式 知识清单 知识点01：等比数列的前n项和公式 知识点02：等比数列前n项和公式与指数函数的关系 知识点03：等比数列前n项和的性质 题型讲解 （举三反三） 题型1：求等比数列前n项和 题型2：等比数列前n项和的基本量计算 题型3：等比数列片段和性质及应用 题型4：等比数列前n项和的其他性质 题型5：前n项和与通项关系 题型6：等比数列的简单应用 题型7：数列的求和 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01等比数列的前n项和公式 若等比数列{}的首项为，公比为q，则等比数列{}的前n项和公式为 =. 知识点02等比数列前n项和公式与指数函数的关系 (1)当q=1时，=是关于n的正比例函数，点(n,)是直线y=x上的一群孤立的点. (2)当q≠1时，=.记A=，则=+A是一个指数式与一个常 数的和.当q>0且q≠1时，y=是指数函数，此时，点(n,)是指数型函数y=+A图象上的一群孤立的点. 知识点03等比数列前n项和的性质 已知等比数列{}的公比为q，前n项和为，则有如下性质： (1). (2)若(k)均不为0，则成等比数列，且公比为. (3)若{}共有2n(n)项，则=q； 若{}共有(2n+1)(n)项，则=q. 题型1：求等比数列前n项和 【例1-1】（25-26高二上·西藏拉萨·期末）《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍.要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】A 【分析】根据题干确定各等比数列，结合等比数列求和公式，列不等式，解不等式即可. 【详解】由题意，蒲第一天长高尺，以后蒲每天长高为前一天的一半， 所以蒲每天生长的高构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和， 又由莞第一天长高尺，以后每天长高为前一天的两倍， 所以莞每天生长的高构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和，令， 解得或， 因为，所以， 故选：A. 【例1-2】（25-26高二上·陕西西安·月考）已知数列满足则其前n项和为 . 【答案】 【分析】本题数列为分段数列，需对分类讨论，结合等比数列求和公式求解即可. 【详解】当时，， 当时， 经检验，当时，也成立，故. 故答案为： 【例1-3】（2026高二上·全国·专题练习）设等比数列的首项为1，公比为，前项和为，若也是等比数列，求的值 【答案】 【分析】分析和两种情况，利用等比数列的前项公式，及等比中项的定义列出关于的方程，求解方程可得的值. 【详解】由题意可知，，，， 若为常数列，即，则，不为等比数列，与题意不合； 所以，. 若也是等比数列，则 ，. 即，所以， 即，解得或（舍去）,或（舍去）. 所以的值为. 【变式1-1】（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知是等比数列的前n项和，若，则（   ） A．1022 B．1023 C．1024 D．1025 【答案】B 【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到方程组，解得首项和公比，代入等比数列的前n项和公式可求； 【详解】设等比数列的公比为，由题意可得解得 则 故选：B. 【变式1-2】（24-25高二下·辽宁葫芦岛·月考）欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如时，满足的为1，2，4，5，7，8，则．数列满足，则的前项和大于1000的最小整数 ． 【答案】7 【分析】根据欧拉函数定义得出，然后由等比数列求和计算，进而得到答案． 【详解】 因为与互素的数为1，2，4，5，7，8，10，11，，，共有， 所以，则， 于是， 所以，即， 所以最小整数. 故答案为：7． 【变式1-3】（24-25高二下·四川眉山·期末）在等差数列中，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式得到关于、的方程组，解方程组即可求解； （2）根据（1）中结果跑确定数列的通项公式，通过等比数列前项和公式即可求解. 【详解】（1）设数列的公差为，则，解得， . （2）由（1）得，数列是首相为，公比为的等比数列， . 题型2：等比数列前n项和的基本量计算 【例2-1】（25-26高二上·海南·期末）记等比数列的前项和为，若，则公比（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质列式求解. 【详解】在等比数列中，由，得，则，所以. 故选：B 【例2-2】（24-25高二上·山东烟台·期末）已知为等比数列的前n项和，且，，则的值为 ． 【答案】4 【分析】根据等比数列的求和公式，即可利用比例求解. 【详解】由可知公比， 若,则公比,此时,这与条件矛盾，因此不等于0，因此，因此， 进而，解得或（舍去）， 又，故， 故答案为：4 【例2-3】（25-26高二上·甘肃兰州·月考）已知等比数列的各项均为正数，，为其前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）根据题意得到关于的方程，解出即可得解； （2）根据等比数列求和公式列方程求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为，， 由，得， 整理得， 即. 又，则，解得或. 由题知，所以， 所以数列的通项公式. （2）由题知， 令，得， 故. 【变式2-1】（25-26高二上·甘肃兰州·月考）已知等比数列的前项和为，若，则公比（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列求和公式列方程求解即可. 【详解】由题知，所以. 故选：C. 【变式2-2】（25-26高二上·陕西·月考）设等比数列的公比为，前n项和，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据的情况分类讨论，进而求解. 【详解】由等比数列的前n项和， 所以， 当时，满足题意， 当时，， 所以， 所以或， 当，由，所以， 当， 综上所述，或， 故答案为：. 【变式2-3】（24-25高二上·广西南宁·月考）（1）在等差数列中，已知求公差； （2）一个等比数列的首项是，项数是偶数，其奇数项的和为，偶数项的和为，求此数列的公比和项数. 【答案】（1）；（2）2；. 【分析】（1）由等差数列的通项公式和求和公式求解； （2）由等比数列前项和的性质得到公比，再利用等比数列前项和公式求解即可. 【详解】（1）由，解得. 又， 即，解得. （2）由于 所以. 又， 所以， 即，解得， 故公比为，项数为. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和求和公式，考查等比数列前项和，属于中档题. 题型3：等比数列片段和性质及应用 【例3-1】（25-26高二上·天津津南·月考）已知为等比数列的前项和，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等比数列的片段和的性质可得出、、成等比数列，可求得的值. 【详解】设等比数列的公比为， 若，则 ，与题意矛盾， 因为为等比数列的前项和，所以、、成等比数列， 所以， 又因为，，则，整理可得， 解得或（舍去）， 故选：A. 【例3-2】（25-26高二上·甘肃白银·期末）已知等比数列的前项和为，若，且，则 . 【答案】17 【分析】根据等比数列的前n项和性质得，从而利用求解即可. 【详解】设的公比为，则，解得， 所以. 故答案为：17 【例3-3】（2024高二下·全国·专题练习）在等比数列中，若，，求. 【答案】70 【分析】根据条件，利用等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为为等比数列，根据等比数列前项和的性质，可得：，，仍成等比数列， 所以，又，， 所以，解得. 【变式3-1】（25-26高二上·江西·月考）已知等比数列的前n项和为，若，且，则（   ） A．17 B．18 C． D． 【答案】A 【分析】利用等比数列的性质和前项和公式结合已知条件求解. 【详解】设的公比为q，， ， ， ，， ，，， 解得，或（舍去）， . 故选：A. 【变式3-2】（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）设等比数列的前项和为，若，则 ． 【答案】31 【分析】设，根据等比数列的前项和的性质列式求解即可. 【详解】因为为等比数列，且，所以，，成等比数列． 设，则． 因则有，即，所以． 故． 故答案为：31. 【变式3-3】（2024高二·全国·专题练习）已知等比数列的前项和为．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据条件可得，，代入，化简即可证明结果. 【详解】设等比数列的公比为q， 因为，， 所以 ． 题型4：等比数列前n项和的其他性质 【例4-1】在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则（    ） A．786 B．240 C．486 D．726 【答案】D 【分析】根据等比数列前n项和的性质可得，，，…成等比数列．结合等比中项的应用计算即可求解. 【详解】因为为等比数列，所以，，，…仍为等比数列． 设，因为，，所以6，，成等比数列． 由，解得或（舍去）， 所以数列，，…的公比为3． 因为，，， 所以，， 故，. 故选：D 【例4-2】正项等比数列的前项和为，，，则等于（　　） A．90 B．50 C．40 D．30 【答案】B 【分析】由，可得，由等比数列前n项和的性质可得，代入求解即可. 【详解】解：因为是正项等比数列的前项和， 所以， 所以， 又因为，， 所以， 所以， 解得或(舍). 故选：B. 【例4-3】已知等比数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【分析】根据等比数列前项和公式特征求解即可. 【详解】设等比数列公比为，则， 即等比数列的前项和要满足， 又因为， 所以. 故答案为： 【变式4-1】在等比数列中，，公比，记其前项的和为，则对于，使得都成立的最小整数等于（    ） A．6 B．3 C．4 D．2 【答案】A 【分析】由题可得，即可得答案. 【详解】由题，，则. 故选：A 【变式4-2】记为等比数列的前项和．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列前项和公式，即可求解. 【详解】解：由题可知，公比不为1，等比数列的首项为，公比为，则 ， 解得：，所以，所以， 故选：A. 【变式4-3】设等比数列的前n项和为，若，则 ． 【答案】 【分析】根据等比数列前项和的基本量计算，或根据等比数列的性质来求得. 【详解】法一：设等比数列的公比为q，若，则，所以； 由，得，即， 所以，解得， 则． 法二：由等比数列的性质知，，，…成等比数列， 其公比为，设，显然， 则，，所以，所以． 故答案为： 题型5：前n项和与通项关系 【例5-1】（24-25高二上·河南新乡·期末）已知是等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等比中项和前n项和与通项之间的关系求解. 【详解】解；. 故选：B 【例5-2】（24-25高二下·浙江·月考）已知等比数列的前项和是，则 . 【答案】 【分析】利用与通项的关系求出数列通项，由首项得到方程，计算即得. 【详解】因，当时， 当时，， 因数列为等比数列，故当时，，解得. 故答案为： 【例5-3】（24-25高二下·陕西·期中）已知等比数列的前项和. (1)求实数的值； (2)若，求. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）根据给定的前n项和，求出数列的通项，即可计算作答； （2）由（1）可知，，求解即可. 【详解】（1）当时，， 数列是等比数列，满足， ，解得. （2）由（1）可知，， ， ，解得. 【变式5-1】（24-25高二下·陕西渭南·月考）等比数列的前n项和，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等比数列的前n项和求出首项，再求出时的通项公式，代入即可得到结论. 【详解】在等比数列中，由前n项和，则， 当时，由， 所以，即. 故选：D 【变式5-2】在等比数列中，前项和，则实数的值为 ． 【答案】/ 【分析】利用与的关系求出的通项，可解出的值，再验证此时数列是等比数列即可. 【详解】，当时，， 依题意，也应满足，所以有，得． 此时，，，满足是等比数列，所以. 故答案为： 【变式5-3】已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可得，利用当时，可得，进而求出数列的通项公式； （2）求得，根据等比数列的求和公式求得结果. 【详解】（1）依题意，当时，由，可知， 由，可得两式相减可知，，即， 因此时，， 即 （2）由（1）可知，，当时，， 因此也适合，， 故， 故的前项和 题型6：等比数列的简单应用 【例6-1】（25-26高二上·福建漳州·期中）一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟上升高度的80%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（    ）米. A．29 B．45 C．61 D．77 【答案】C 【分析】根据等比数列求和公式即可求解. 【详解】由题意可知，热气球每分钟上升的高度构成等比数列，且首项，公比， 则该热气球在前3分钟里上升的总高度为米. 故选：C 【例6-2】（24-25高二下·江西南昌·期中）已知数列的通项公式，在其相邻两项，之间插入个3（），得到新的数列，记的前n项和为，则使成立的n的最小值为 ． 【答案】30 【分析】根据题意分析得的项的情况，求出当时和当时的，并结合数列的增减性找出的最小值. 【详解】由题意得数列的前项依次为： ，3，，，3，3，3，，，个，，个，，， 当时，， 当时，， 因，则数列为递增数列， 所以使成立的的最小值为. 故答案为： 【例6-3】（24-25高二上·全国·课后作业）某公司的月销售额近几年下跌严重，从某年的6月销售额128万元，到8月跌至32万元，你能求出该公司该年7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，什么时候月销售额跌至8万元？ 【答案】每月平均下降，10月销售额跌至8万元 【分析】由题意每月的销售额构成了等比数列，根据题目数据求出通项公式，然后列式求解即可. 【详解】设每月平均下降的百分比为x，则每月的销售额构成了等比数列，且， 则，，解得. 设，即，解得， 即从该年6月算起第5个月，也就是在该年的10月，该公司的月销售额跌至8万元. 【变式6-1】（25-26高二上·山东济南·月考）从年起到年，某人每年的月日到银行存入元的定期储蓄，若年利率为且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到年月日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出每年存入的本息和，利用等比数列求和公式可得答案. 【详解】年月日到银行存入元，则一年后存款及利息是， 则到年月日存款及利息是 年月日到银行存入元，则一年后存款及利息是， 则到年月日存款及利息是 年月日到银行存入元，则一年后存款及利息是， 则到年月日存款及利息是 年月日到银行存入元，则一年后存款及利息是， 则到年月日存款及利息是 到年月日将所有存款及利息全部取出: . 故选：D. 【变式6-2】一个乒乓球从 高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的 ，在第3次着地时，乒乓球经过的总路程为 . 【答案】/ 【分析】由已知条件列算式计算数据. 【详解】依题意可得，第3次着地时，乒乓球经过的总路程为. 故答案为： 【变式6-3】某工厂2016年产值为200万元，计划从2017年开始，每年的产值比上一年增长20%．问至少从哪年开始，该厂的年产值可超过1200万元？ 【答案】2026 【分析】每年的产值构成等比数列，由首项和公比得到通项公式，进而得到不等式，求出答案. 【详解】每年的产值构成等比数列，首项，公比， 则，令，即， 解得，取， ， 故从2026年开始，该厂的年产值可超过1200万元. 题型7：数列的求和 【例7-1】（25-26高二上·河北衡水·月考） （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用裂项相消法求解即可. 【详解】由题知 . 故选：C. 【例7-2】（24-25高二上·海南·期末）记数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【分析】首先根据等差数列求和公式求出，即可得到，再利用裂项相消法计算可得. 【详解】因为，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 【例7-3】（25-26高二上·山东·月考）记为等差数列的前项和，已知，. (1)求和的通项公式； (2)求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列的性质求解； （2）令，分段求数列的前项和即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以等差数列的公差， 所以， 所以. （2）令，为数列的前项和，则， ， . 当时，， 当时，. 综上，. 【变式7-1】（25-26高二上·吉林·期末）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据裂项相消法、累加法求出通项公式即可. 【详解】由可得，. ，，，，， 所以（）， ， 又当时，依然成立， 所以. 故选：B. 【变式7-2】（25-26高二上·四川达州·月考）设函数，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求得的值为 . 【答案】13 【分析】根据函数解析式推出，再利用倒序相加法即可求得答案. 【详解】由，因， 则 . 故答案为：13. 【变式7-3】（25-26高二上·天津津南·月考）设正项等比数列，，且、的等差中项为 (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项为，数列满足，数列的前项和为，求. (3)在（2）的条件下，设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等差中项的性质求出数列的公比，结合等比数列的通项公式可得出数列的通项公式； （2）求出数列的通项公式，利用等差数列的求和公式可求得的表达式，然后利用裂项求和法可求得； （3）求出数列的通项公式，利用错位相减法可求得的表达式. 【详解】（1）设等比数列的公比为，由题意可知， 因为、的等差中项为，则， 对任意的，，所以，所以，解得或（舍去）， 所以. （2）因为，且， 所以数列是公差为的等差数列，所以， 故， 所以. （3）因为，所以①， 可得②， ①②得 ， 故. 一、单选题 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知等比数列的前项和为，则（    ） A．14 B．18 C．20 D．30 【答案】D 【分析】根据等比数列的前项和的片段和性质得到新的等比数列即可求解. 【详解】是等比数列，， 成首项为2，公比为2的等比数列， ，故. 故选：D. 2．（24-25高二上·重庆长寿·期末）已知为等比数列，且，则（    ） A．189 B．93 C．63 D．33 【答案】A 【分析】应用等比数列的前n项和公式计算求解. 【详解】因为为等比数列，且， 则. 故选：A. 3．（25-26高二上·吉林长春·期末）已知等比数列的前项和为，，，则（   ） A．10 B．15 C．18 D．20 【答案】B 【分析】根据成等比数列，得到方程，求出，. 【详解】由题意得成等比数列， 故，其中，，故， 解得， 又，即，解得. 故选：B 4．（25-26高二上·福建宁德·期中）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．85 B．15 C． D． 【答案】D 【分析】根据成等比数列得到方程，求出或，分两种情况进行求解，舍去不符合要求的根，得到答案. 【详解】由题意得成等比数列， 设，则成等比数列，即， 解得或， 若，则，， 设的公比为，则，舍去； 若，则，，， 则，满足要求， 由于成等比数列， 故成等比数列，故，解得， 故选：D 5．（25-26高二上·重庆·月考）已知为等比数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题意先求出基本量，再把目标式转化为等比数列求和，进而利用公式法求解即可. 【详解】由题意得为等比数列，则设首项为，公比为， 因为，，所以， 联立方程组，解得， 结合题意可得是首项为1，公比为4的等比数列的前50项和， 由求和公式得前50项和为，故D正确. 故选：D 6．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列是等比数列，若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．1013 B． C．2023 D．1022 【答案】A 【分析】先根据韦达定理得到，再利用等比数列的性质得到，最后利用倒序相加法求和. 【详解】由题设及韦达定理，得， 由等比数列性质，得， 设， 所以， 则， 得， 所以. 故选：A 7．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知数列是等比数列，且，公比为2，则数列的前5项之和为（    ） A．62 B．66 C．56 D．46 【答案】D 【分析】根据题意，求得，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由数列是首项为，公比为2的等比数列， 可得，所以， 所以数列的前5项之和为. 故选：D. 8．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）高二学生小张计划将每年的压岁钱存入银行，从2025年起，每年3月1日到银行新存入2000元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2035年3月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（   ）（单位：万元） 参考数据：，， A．2.5 B．2.0 C．2.2 D．2.6 【答案】C 【分析】本题是复利计息问题，逐年分析寻找规律，然后根据等比数列的求和公式即可求解. 【详解】由题意，2025年存的2000元共存了10年，本息和为万元， 2026年存的2000元共存了9年，本息和为万元， 2034年存的2000元共存了1年，本息和为万元， 所以到2035年3月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为万元， 故选：C. 二、多选题 9．下列说法正确的是（   ） A．非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B．等比数列是递增数列，则的公比 C．若数列的前项和为，则数列是等差数列 D．若为等比数列，为其前项和，则，，，仍为等比数列 【答案】AC 【分析】根据数列中特殊常数列的性质，等比数列单调性的判断方法，利用前项和求出通项证明等差数列，和等比数列前项和的性质，判断各选项正误. 【详解】非零常数列，后一项减前一项是0， 后一项除前一项是1，所以A正确. 等比数列单调递增则由或，所以B错误. 由可知当时， 且，符合等式，所以数列通项为，则，所以是等差数列，所以C正确. 当，为偶数时， 可知不满足等比数列各项不为0的要求，所以D错误. 故选：AC. 10．（24-25高二下·辽宁辽阳·月考）公比为的等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用等比数列的通项公式列方程，解方程可得首项与公比，进而判断个选项. 【详解】由已知等比数列的公比为，且，， 则，解得， 所以，， 故选：ABD. 11．（25-26高二上·河南·月考）已知公比为的正项等比数列的前3项和为，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．数列是递减数列 D． 【答案】ABD 【分析】对于AB，根据题意列出方程组求解即可；对于CD，由求出的等比数列通项公式即可判断． 【详解】对于AB，由题意得且，， 由得，由得， 所以，化简得， 解得或（舍），将2代入，解得，故AB正确； 对于C，由AB选项可知，，所以数列是递增数列，故C错误； 对于D，法一：由等比数列的性质，得，因为，所以； 法二：因为，所以，所以； 故D正确． 故选：ABD． 三、填空题 12．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知为正项等比数列的前项和，且，，则的值为 . 【答案】4 【分析】根据题意，利用等比数列的性质，得到也成等比数列，列出方程，即可求解． 【详解】由正项等比数列满足， 当等比数列的公比时，，解得， 则，，故不满足题意； 所以，根据等比数列的性质，可得也成等比数列， 即， 得， 解得或（舍去）． 故答案为：4. 13．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知数列满足，数列的前n项和为，则 ． 【答案】 【分析】根据与的关系结合题设可求得，再结合裂项相消法求解即可，注意验证的情况即可. 【详解】由， 当时，， 两式相减，可得，即， 此时，； 当时，，则； 当时，， 显然满足上式，则. 故答案为：. 14．（25-26高二上·天津·月考）已知数列中，a1＝1，，记Sn为{an}的前n项和，则 ． 【答案】 【分析】先由，a1＝1，得到数列周期为4，计算出一个周期内的和为，所以. 【详解】因为数列中， ，； 所以，， ，， 与相同， 所以数列的周期为4 一个周期内的和为， 因为 所以； 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·河北承德·月考）已知等差数列的公差为，等比数列的公比为且，满足条件：． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）结合等差数列和等比数列的通项公式，得方程组即可求解； （2）结合等差数列和等比数列的前项和公式，用分组求和法求出即可. 【详解】（1）由于，故 等比数列的通项公式：，故． 根据题意列方程组：， 得，即． 解得（舍去，因）或，故． 因此等差数列的通项公式为：； 等比数列通项公式为：; （2）根据题意得：， 由（1）得． ， 故． 16．（2025高二上·福建福州·专题练习）已知数列的通项公式为. 数列满足，. (1)求数列的前n项和. (2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式. (3)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）根据给定条件，利用裂项相消法求和即得. （2）利用构造法，结合等比数列定义推理得证，进而求出通项公式. （3）利用分组求和法，结合等差数列、等比数列前n项和计算得解. 【详解】（1）由，得， 所以. （2）依题意，，由，得，得， 而，则， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，，即. （3）由（2）知， 所以. 17．（25-26高二上·广西·月考）已知数列满足. (1)证明是等比数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列前项的和. 【答案】(1)证明见解析，； (2) 【分析】（1）根据条件可得，利用等比数列的定义推理得证，再求出等比数列通项公式. （2）由（1）得，再利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）由，得，而， 所以是首项为5，公比为5的等比数列，则，即. （2）由（1）得， 则， 于是， 两式相减得 ，则， 所以数列前项的和. 18．（25-26高二上·河北·月考）已知数列的通项公式为，数列为公比大于0的等比数列，且，. (1)求数列的前n项和，数列的通项公式及前n项和； (2)令，求数列的前n项和. 【答案】(1)，，； (2). 【分析】（1）根据等差数列前项和公式即可求出，求出公比，再利用等比数列通项公式和求和公式即可得到； （2）写出，再利用错位相减法即可得到答案. 【详解】（1）因为数列的通项公式为，故， 所以数列是首项和公差均为1的等差数列， 所以． 因为数列为公比大于0的等比数列，且， 设公比为，则，解得或（舍去）， 所以． 所以． （2）由（1）可得， 所以①． ②． ①②得， 所以． 19．（25-26高二上·湖南·月考）已知数列满足． (1)求的值； (2)证明是等比数列，并求的通项公式； (3)设的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）根据递推公式即可求解； （2）由得出，即可证明，进而得出通项公式； （3）由（2）得，再分类讨论为正奇数或正偶数，解不等式即可求解． 【详解】（1）因为， 所以． （2）因为， 所以， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，即． （3）由（2）得， ①当为正奇数时， ， 由，得， 即， 因为，所以对任意的正奇数都成立， 当时，有最小值1， 所以． ②当为正偶数时， ， 由，得， 即， 因为，所以对任意的正偶数都成立， 当时，有最小值，所以， 综上，可知，即实数的取值范围是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $