第06讲 数学归纳法（知识清单+6题型讲解举三反三+强化训练）讲义-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（人教A版选择性必修二）数学高二重难点讲义与测试

第06讲 数学归纳法 知识清单 知识点01：归纳法 知识点02：数学归纳法 知识点03：数学归纳法的重要结论及适用范围 题型讲解 （举三反三） 题型1：数学归纳法的证明步骤 题型2：数学归纳法证明恒等式 题型3：数学归纳法证明数列问题 题型4：数学归纳法证明整除问题 题型5：用数学归纳法证明不等式 题型6：数学归纳法证明几何问题 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01归纳法 由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想 的一种方法. 归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法. 知识点02数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值()时命题成立； 第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥,k)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法称为数学归纳法. 知识点03数学归纳法的重要结论及适用范围 数学归纳法的重要结论 适用范围 只适用于证明与正整数有关的数学命题 题型1：数学归纳法的证明步骤 【例1-1】（24-25高二下·四川绵阳·月考）用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数学归纳法的定义可得结论. 【详解】由数学归纳法证明时，结论成立， 即需证明成立， 即必须证得右边为. 故选C. 【例1-2】（24-25高二上·甘肃庆阳·月考）若用数学归纳法证明是31的倍数，在验证成立时，原式为 ． 【答案】 【分析】将代入计算可得结果. 【详解】当时，. 故答案为： 【例1-3】（24-25高二下·全国·课后作业）求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先证明时，等式成立，再假设时，等式成立，再证明时，等式也成立即可. 【详解】当时，左边，右边，等式成立； 假设时，等式成立， 即； 当时， ， 所以时，等式也成立． 综上所述，等式对任何都成立． 【变式1-1】（24-25高二下·全国·课后作业）某个与正整数有关的命题：如果当时命题成立，则可以推出当时该命题也成立．现已知时命题不成立，那么可以推得（    ） A．当时命题不成立 B．当时命题不成立 C．当时命题成立 D．当时命题成立 【答案】A 【分析】运用数学归纳法证明即可. 【详解】因为当时命题成立，则可以推出当时该命题也成立，所以假设当时命题成立，那么时命题也成立，这与已知矛盾，所以当时命题不成立． 故选：A. 【变式1-2】（24-25高二上·全国·随堂练习）以下是一个证明的全部过程：假设当时等式成立，即，则当时，，即当时，等式也成立．因此等式对于任何都成立．则用数学归纳法证明“”的过程中的错误为 ． 【答案】缺少当时命题成立的证明 【分析】根据数学归纳法的使用步骤即可求解. 【详解】根据数学归纳法的一般步骤，知其缺少时命题成立的说明. 故答案为：缺少当时命题成立的证明 【变式1-3】（24-25高二上·福建莆田·月考）用数学归纳法证明： 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法的证明步骤进行证明即可. 【详解】①当时，左边，左边右边，不等式成立； ②假设时不等式成立，即， 则当时，左边 ， 即当时，不等式也成立. 由①②可知，原不等式成立. 题型2：数学归纳法证明恒等式 【例2-1】用数学归纳法证明：的过程中，由递推到时等式左边增加的项数为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入不等式左边，比较两式即可求解. 【详解】当时，等式为， 当时，， 增加的项数为, 故选:B. 【例2-2】用数学归纳法证明对任意都成立，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】化简可得，再从正整数开始逐个代入判断即可 【详解】由题得，即，当时，，不符合；当时，，不符合；当时，，不等式成立；当时，25，不等式成立，当时根据指数函数与一次函数的性质可得.所以满足题意的的最小值为3. 故答案为：3 【例2-3】（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 【答案】证明见解析. 【分析】根据给定条件，求出等差数列的通项，前项和为，再利用数学归纳法证明. 【详解】等差数列中，，， 当时，，，原等式成立； 假设当时，原等式成立，即，， 则 ， 即当时，原等式成立， 所以对一切，等式成立. 【变式2-1】利用数学归纳法证明等式：，当时，左边的和记作，则当时左边的和记作，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过分别写出与的表达式，对应相减即得结论． 【详解】解：依题意，， 则， ， 故选：． 【变式2-2】用数学归纳法证明“”时，当时，应证明的等式为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用数学归纳法的定义及证明命题的方法步骤直接写出结论作答. 【详解】依题意，当时，应证明的等式为： . 故答案为： 【变式2-3】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知． (1)是否存在常数使得对任意的都成立？若存在，求出； (2)若（1）中存在，用数学归纳法证明． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据数学归纳法的证明步骤证明． 【详解】（1）存在， 由题可得，解得， 所以存在，； （2）证明： 当时，， 假设时，等式成立， 时， 成立， 综上，成立． 题型3：数学归纳法证明数列问题 【例3-1】（24-25高二上·全国·单元测试）用数学归纳法证明能被14整除的过程中，当时，应变形为 . 【答案】 【分析】根据数学归纳法规则计算即可. 【详解】当时，. 故答案为：  . 【例3-2】（24-25高二下·河南·月考）在数列中，，. (1)求，，猜想数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据递推公式求，，进而猜想通项公式； （2）根据（1）中结果，利用数学归纳法分析证明. 【详解】（1）因为，， 可得，， 因此可猜想. （2）当时，，等式成立； 假设当时，等式成立，即， 则当时，， 即当时，等式也成立. 综上所述，对任意，. 【例3-3】（24-25高二上·上海·月考）已知数列的每一项均为正数，记的前项和为，，尝试通过计算数列的前四项，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 【答案】；证明见解析 【分析】根据递推关系先求前四项，再猜想数列的通项，验证基础成立，证明递推成立即可. 【详解】因，当时，由可得，因，故； 当时，，即，即，故； 当时，即，即，故； 当时，，即， 即，故. 由，，，，可猜测. 证明如下： 当时，猜想成立； 设当（）时，猜想成立，即； 则当时，依题意，①，② 由①-②，可得，，即， 即，因，故得，即猜想也成立. 综上，由数学归纳法就可以断定对任何正整数都成立，这就是该数列的通项公式． 【变式3-1】（24-25高二下·四川绵阳·月考）已知数列满足，，则数列通项公式为 . 【答案】， 【分析】根据数列的递推公式，变形后对进行赋值，猜想数列的通项公式，再用数学归纳法证明即得. 【详解】由可得（*）， 因，则，，，，…… 归纳这个规律，猜想：，. 下面用数学归纳法证明这个猜想. （1）当时，，猜想成立； （2）假设当时，猜想成立，即， 则当时，由（*）可得， 即当时，猜想也成立， 由（1）（2）可知，猜想对任何都成立. 故答案为：，. 【变式3-2】（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【答案】证明见解析 【分析】应用数学归纳法证明即可. 【详解】当时，左边右边； 假设时，原等式成立，则时， 等式左边，因此时原等式也成立． 综上，都有． 【变式3-3】（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，是它的前项和，当时，． (1)求，，的值，并推测的通项公式； (2)用数学归纳法证明所得的结论． 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 【分析】（1）由已知条件求出的值，归纳猜想通项； （2）用数学归纳法证明. 【详解】（1）因为，所以，解得． 这时，，所以，解得． 这时，，所以，解得． 由，，，猜想时，， 所以推测数列的通项公式是. （2）用数学归纳法证明： （i）当时结论成立； （ii）假设当时结论成立，即， 这时 ， 所以. 当时，由得， 得，所以，即时结论成立. 由（i），（ii）可知对时结论都成立. 题型4：数学归纳法证明整除问题 【例4-1】已知，存在自然数，使得对任意，都能使整除，则最大的的值为 ． 【答案】36 【分析】求出，归纳出，然后用数学归纳法证明． 【详解】，，，都能被带除，猜想能被36带除， （1）时，是36的整数倍， （2）假设时，是36的整数倍，即（）， 时， ， 由假设是36的整数倍，又是偶数，是36的整数倍， 所以是36的整数倍， 综上，对一切正整数，是36的整数倍，即能被36整除，而， 所以是最大的数，即． 故答案为：36． 【例4-2】（2025高三·全国·专题练习）用数学归纳法证明：能被64整除． 【答案】证明见解析 【分析】按照数学归纳法的步骤证明即可. 【详解】（i）当时，，能被64整除，故时命题成立； （ii）假设当时命题成立，即能被64整除， 则当时，能被64整除， 故当时命题成立． 由（i）（ii）可知对，都能被64整除． 【例4-3】（24-25高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除． 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法的证明步骤，结合条件，即可求解. 【详解】（1）时，，能被整除， （2）假设时，能被36整除， 当时，， ， 因为是偶数，所以能被整除， 又因为能被整除，所以能被整除， 由（1）（2）知，对一切，能被整除． 【变式4-1】对任意n∈N*，34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝ . 【答案】5 【分析】当n＝1时，求出a＝3或5，再由当a＝3且n＝2时，不能被14整除，即可得出答案. 【详解】当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5； 当a＝3且n＝2时，310＋35不能被14整除，故a＝5. 故答案为：5 【变式4-2】（25-26高二上·全国·单元测试）（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除． 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法证明整除问题，首先证明时结论成立，再假设时结论成立，利用假设证明时结论也成立即可得出结论成立． 【详解】①当时，能被133整除，所以当时结论成立； ②假设当时，能被133整除， 那么当时， ， 由假设可知能被133整除，即能被133整除， 所以当时结论也成立； 综上，能被133整除． 【变式4-3】设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法来证明，当时，命题成立，再假设当时，能够被64整除，证明当时，命题也成立． 【详解】（1）当时， 能被64整除，命题成立． （2）假设当时，能够被64整除． 当时，， 能够被64整除， 能够被64整除． 即当时，命题也成立． 由（1）（2）可知，能被64整除， 即是64的倍数． 题型5：用数学归纳法证明不等式 【例5-1】（24-25高二上·上海青浦·月考）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 【答案】B 【分析】根据给定条件，探讨从变到不等式左边增加的部分即可得解. 【详解】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 增加的项为，共有项. 故选：B 【例5-2】（24-25高二上·上海·课后作业）用数学归纳法证明（且），第一步要证的不等式是 ． 【答案】 【分析】由题意时，，即可得到第一步需要验证的不等式． 【详解】由题意可知，当时，， 所以第一步需验证的不等式为“”． 故答案为：. 【例5-3】用数学归纳法证明：对于任意大于1的正整数n，不等式都成立． 【答案】证明见解析 【分析】由n＝2时成立，再假设当n＝k（k∈N*，k≥2）时，不等式成立，然后论证n＝k+1时成立即可. 【详解】证明：（1）当n＝2时，左边＝，右边，左边＜右边，成立； （2）假设当n＝k（k∈N*，k≥2）时，不等式都成立． 则当n＝k+1时，左边＝， ＝右边． ∴当n＝k+1时，不等式成立． 综上可得：对于任意大于1的正整数n，不等式都成立． 【变式5-1】利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【答案】D 【分析】根据题意，结合变到时，左边由项增加到项，即可求解. 【详解】由题意，不等式的左边中分子都为1，分母是从1开始到，故共有项， 又由变到时，左边由项增加到项， 从而左边增加了项. 故选：D. 【变式5-2】用数学归纳法证明：，从到时，不等式左边需增加的代数式为 . 【答案】 【分析】利用数学归纳法的概念、步骤求解即可. 【详解】当时，不等式为， 当时，不等式为. 故答案为：. 【变式5-3】（2025高三·全国·专题练习）用数学归纳法证明不等式：． 【答案】证明见解析 【分析】（i）当时，不等式成立；（ii）假设当时不等式成立，验证当时不等式也成立，此处采用“取差法”证明不等关系成立． 【详解】（i）当时，左边，右边，显然，左边右边，原不等式成立； （ii）假设当时不等式成立， 即， 那么当时， ． 又， 所以， 即时，不等式也成立． 由（i）（ii）可知，对任意，不等式都成立． 题型6：数学归纳法证明几何问题 【例6-1】证明：凸n边形的内角和等于． 【答案】见解析 【分析】验证当时，结论成立；假设当时，结论成立，分析可知凸边形边形可以在以为边的与凸k边形拼接而成，即可得出成立，这说明当时，结论成立，再由归纳原理可证得结论成立. 【详解】设， 当时，三角形的内角和为，即，结论成立； 假设当时，结论成立，即， 假设凸边形，如下图所示： 则凸边形边形可以在以为边的与凸边形拼接而成， 所以，， 这说明当时，结论成立， 故凸边形的内角和. 【例6-2】在平面上画n条直线，且任何2条直线都相交，其中任何3条直线不共点.问：这n条直线将平面分成多少个部分？ 【答案】 【分析】先通过，2，3，4，5的结果归纳出，再用数学归纳法证明即可. 【详解】记n条直线把平面分成个部分，我们通过，2，3，4，5，画出图形观察的情况（如图）    从图中可以看出， ， ， ， ， . 由此猜想. 接下来用数学归纳法证明这个猜想. （1）当，2时，结论均成立. （2）假设当时结论成立，即. 那么，当时，第k+1条直线与前面的k条直线都相交，有k个交点， 这k个交点将这条直线分成k+1段，且每一段将原有的平面部分分成两个部分， 所以，结论也成立. 根据（1）和（2）可知，对，都有， 即. 【例6-3】（2025高三·全国·专题练习）已知平面上有个圆，其中任意两圆都相交，任意三圆不共点，试推测个圆把平面分为几部分？用数学归纳法证明你的结论． 【答案】，证明见解析 【分析】用不完全归纳法猜想出结论，然后利用数学归纳法证明. 【详解】设这些圆将平面分成的区域数为， ，，，， 猜想. 数学归纳法证明如下： （1）当 时，一个圆将平面分为内部和外部两部分，即 ，结论成立； （2）假设当 （）时，结论成立， 即 个圆将平面分为的区域数为：. 考虑 个圆，添加第 个圆，该圆与已有的 个圆都相交， 由于任意两圆相交于两点，且任意三圆不共点，第 个圆与每个已有圆相交于两点，且这些交点互异. 因此，第 个圆上共有 个交点， 这 个交点将第 个圆分为 段弧（因为 个互异点将圆分为 段弧）， 每段弧穿过一个已有的区域，并将该区域分割成两个新区域，因此每段弧增加一个新区域， 所以添加第 个圆增加的区域数为 . 于是区域总数：， 代入归纳假设：， 故当时，结论也 成立. 由（1）（2）知对任意正整数 ， 个圆（任意两圆相交于两点，任意三圆不共点）将平面分为的区域数为：. 【变式6-1】求证：n棱柱中过侧棱的对角面(即过棱柱的两条不相邻的侧棱的截面)的个数是f(n)＝n(n－3)，其中n≥4，n∈N*. 【答案】证明见解析 【分析】用数学归纳法证明即可. 【详解】证明:（1）当n＝4时，四棱柱有2个对角面， 此时f(4)＝×4×(4－3)＝2，命题成立. （2）假设当n＝k(k≥4，k∈N*)时，命题成立. 即k棱柱中过侧棱的对角面有f(k)＝k(k－3)个. 现在考虑n＝k＋1时的情形. 对于(k＋1)棱柱A1A2…Ak＋1－B1B2…Bk＋1，棱Ak＋1Bk＋1与其余和它不相邻的(k－2)条棱共增加了(k－2)个对角面，而面A1B1BkAk变成了对角面.因此对角面的个数为f(k)＋(k－2)＋1＝k(k－3)＋k－1＝(k－2)(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－3]，即f(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－3]成立. 由（1）和（2），可知原结论成立. 【变式6-2】已知，且平面内有n条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，证明这些直线的交点的个数为． 【答案】证明见解析. 【分析】按照数学归纳法证明步骤证明即可. 【详解】证明：（1）当时，两条直线的交点只有1个，又， 所以时，命题成立； （2）假设且时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数， 那么，当时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线的交点个数为， 因为任意两条直线不平行，所以直线l与其他k条直线的交点个数为k，又任意三条不过同一点， 所以上面k个交点两两不同，且与平面内其他的个交点也两两不同，从而k+1条直线共有个交点， 即， 所以当时，命题成立. 综上，原命题成立. 【变式6-3】平面内有n(n∈N*)个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n2－n＋2部分. 【答案】证明见解析. 【分析】利用数学归纳法的证明方法与步骤即可证明. 【详解】证明：(1)当n＝1时，n2－n＋2＝2，即一个圆把平面分成两部分，故结论成立. (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时命题成立， 即k个圆把平面分成k2－k＋2部分. 则当n＝k＋1时，这k＋1个圆中的k个圆把平面分成k2－k＋2个部分， 第k＋1个圆被前k个圆分成2k条弧， 这2k条弧中的每一条把它所在的平面部分都分成两部分，这样共增加2k个部分， 故k＋1个圆把平面分成k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2部分， 即n＝k＋1时命题也成立. 综上所述，对一切n∈N*，命题都成立 一、单选题 1．用数学归纳法证明，第一步应验证 （    ） A．当时，不等式成立 B．当时，不等式成立 C．当时，不等式成立 D．当时，不等式成立 【答案】C 【分析】利用数学归纳法的定义可得出结论. 【详解】由题意知的最小值为，所以第一步应验证当时，不等式成立， 故选：C. 2．（24-25高二·上海·随堂练习）用数学归纳法证明：，时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列出增加的项，即可得解. 【详解】从到成立时，左边增加的项为，，…，， 因此增加的项数是. 故选：A． 3．利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了（    ） A．1项 B．k项 C．项 D．项 【答案】D 【分析】利用数学归纳法，分别写出和的式子，作差能够得到增加的项. 【详解】当时，左边， 当时，左边， 左边增加的项为，共项. 故选：D 4．（2024高二下·全国·专题练习）用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（    ） A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 【答案】D 【分析】根据题意可得为偶数，结合数学归纳法的证明步骤即可得出答案. 【详解】因为为正偶数，所以第二步的假设应写为： 假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立， 即当（为正整数）时，能被整除， 再证时，能被整除. 故选：D 5．在正项数列中，，，则（ ） A．为递减数列 B．为递增数列 C．先递减后递增 D．先递增后递减 【答案】A 【分析】先判断大小关系，进而假设数列单调性，利用数学归纳法证明即可得结论. 【详解】由，且， 显然成立， 假设，成立， 当时，则， 所以，故为递减数列. 故选：A 6．（25-26高二上·陕西咸阳·月考）用数学归纳法证明的过程中，时的左边比的左边增加了的量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果． 【详解】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： . 故选：D． 7．（24-25高二上·全国·课后作业）数列满足：，则除以7的余数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．以上都不对 【答案】B 【分析】构造数列满足，由猜测并运用数学归纳法证得；再由利用累乘法求得，从而得到，由结合为3的倍数、为7的倍数可求除以7的余数. 【详解】设数列满足，则， 当时，若，则， 因此，对任意，均有. 由，两边取对数，可得， 则有，即， 可得，此时也符合，所以. 因为，故若为3的倍数，则必有为3的倍数， 而时，为3的倍数，故为3的倍数，依次有为3的倍数， 因为且时，为7的倍数， 故同理可得为7的倍数. 又， 故被7除余数为1，故除以7的余数为2. 故选：B. 8．（24-25高二下·辽宁沈阳·月考）下列命题错误的个数是（   ） ①用数学归纳法证明时，正整数的第一个取值是1. ②用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是. ③设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，若成立，则当时，均有成立. ④对于不等式，用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时， ， 所以当时，不等式成立. 综上. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据数学归纳法证明的要求和步骤判断各选项即可. 【详解】对于①，时，成立,而时,,不满足题意， 根据数学归纳法证明的要求可知，正整数的第一个取值不是1，故①错误； 对于②，当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： ，故②错误； 对于③，由题意，无法推出时，均有成立，故③错误； 对于④，在时，没有用到的假设结论，故④错误. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高二·上海·随堂练习）已知数列满足，且（n为正整数），利用数列的递推公式猜想数列的通项公式为．下面是用数学归纳法的证明过程： （1）当时，满足，命题成立； （2）假设（k为正整数）时命题成立，即成立，则当时，由得，即是以为首项，1为公差的等差数列，所以，即，所以，命题也成立． 由（1）（2）知． 判断以下评述：（    ） A．猜想正确，推理（1）正确 B．猜想不正确 C．猜想正确，推理（1）（2）都正确 D．猜想正确，推理（2）不正确 【答案】AD 【分析】根据数学归纳法的步骤判断即可. 【详解】由化递推公式为通项公式知命题正确，推理(1)正确，故A正确；推理(2)不正确， 错在证明时，没用假设时的结论即， 所以D正确． 故选：AD 10．（24-25高二·上海·随堂练习）已知一个命题，这里，当时，成立，并且当时它也成立，下列命题中错误的是（    ） A．对于成立 B．对于每一个自然数k成立 C．对于每一个偶数k成立 D．对于某些偶数可能不成立 【答案】ABC 【分析】由已知中命题，，当时，成立，并且当时它也成立，可得对于内的偶数均成立，而对于其它数不一定成立，据此判断四个答案的真假即可 【详解】由于命题，这里， 当时，成立，并且当时它也成立， 可得对于内的偶数均成立，而对于其它数不一定成立， 故对于不一定成立， 对于每一个自然数k不一定成立， 对于每一个偶数k不一定成立， 对于某些偶数可能不成立． 故选：ABC． 11．已知为数列的前项和，且，则（    ） A．存在，使得 B．可能是常数列 C．可能是递增数列 D．可能是递减数列 【答案】ABD 【分析】取，可判断AB选项；利用反证法可判断C选项；取，求出数列的通项公式，结合数列的单调性可判断D选项. 【详解】因为为数列的前项和，且， 对于A选项，取，则，则，A对； 对于B选项，取，则，，， 以此类推可知，对任意的，，所以，可能是常数列，B对； 对于C选项，假设数列为递增数列，则对任意的，， 即，所以，对任意的恒成立， 但当时，，矛盾，故数列不可能是递增数列，C错； 对于D选项，取，则，，， 猜想，， 当时，猜想成立， 假设当时，猜想成立，即， 则当时，， 这说明当时，猜想也成立，故对任意的，， 此时，数列为单调递减数列，D对. 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明对任意的都成立，则k的最小值为 . 【答案】3 【分析】化简可得，再从正整数开始逐个代入判断即可 【详解】由题得，即， 当时，，不符合； 当时，，不符合； 当时，，不等式成立； 当时，，不等式成立， 当时，根据指数函数与一次函数的性质可得. 所以满足题意k的最小值为3. 故答案为：3. 13．用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是 . 【答案】 【分析】由题意时，，即可得到第一步需要验证的不等式． 【详解】因为，且可知：的第一个取值为， 由题意可知，当时，， 所以第一步需验证的不等式为． 故答案为：. 14．在数列中，，且，则 ． 【答案】 【分析】利用递推公式求出数列的前4项，由此猜想．再用数学归纳法证明，由此能求出． 【详解】在数列中，，且， ， ， ， 由此猜想． 下面用数学归纳法证明： ①，成立， ②假设成立， 则成立， 由①②得， 则． 故答案为：． 四、解答题 15．有下列命题：；使用数学归纳法证明 【答案】证明见解析 【分析】 利用数学归纳法证明给定等式即可. 【详解】当时，左边，右边，则原等式成立； 假设当时，原不等式成立，即成立， 则当时，，即当时原等式成立， 所以对于任意成立. 16．（2025高三·全国·专题练习）已知为正整数，用数学归纳法证明：当时，． 【答案】证明见解析 【分析】先分析得到当或时，原不等式中等号成立；再利用数学归纳法证明当，且，时，，即可完成证明. 【详解】当或时，原不等式中等号显然成立． 下面用数学归纳法证明： 当，且，时，． （i）当时，左边，右边， 因为，所以，即左边右边，成立； （ii）假设当时，不等式成立，即， 则当时，因为，所以． 又因为，，所以． 于是在不等式两边同乘以得 ， 所以， 即当时，不等式也成立． 综上所述，所证不等式成立． 17．（24-25高二上·上海·随堂练习）在数列中，，（n为正整数）． (1)求，的值； (2)证明：． 【答案】(1)0， (2)证明见解析 【分析】（1）代值计算即可； （2）由数学归纳法和数列与函数的性质即可证明； 【详解】（1）在数列中，，， ，． （2）证明：设，则， ①当时，命题成立． ②假设时，命题成立，即． 当时，易知在上为减函数， 从而，即， 所以当时结论成立， 由①②可知命题成立，即． 18．（24-25高二下·北京房山·月考）已知数列满足，， (1)计算，，，并推测的通项公式； (2)证明你所得到的结论. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由递推公式计算，，，即可推测通项公式； （2）利用数学归纳法可完成证明. 【详解】（1）由题，； ；. 则推测； （2）证明：. 当时，结论显然成立； 假设成立，则， 则. 即成立时，也成立，又时，结论成立， 则结论对所有正整数均成立，则. 19．（24-25高二下·辽宁鞍山·期中）定义连乘积运算. (1)用数学归纳法证明伯努利不等式：对任意实数，有； (2)证明： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）运用数学归纳法易规范证明不等式恒成立； （2）运用数学归纳法，利用可证，故只需证即可. 【详解】（1）当时，左式右式等号成立； 假设当时，不等式成立，即， 则当时，， 因，则，又，则得. 综上，，归纳得证. （2）当时，左式>右式，得证； 假设当时，不等式成立，即， 则当时，， 根据归纳假设，左边大于，故只需证明：， 即需证， 而因显然成立，因此不等式成立，归纳得证. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 数学归纳法 知识清单 知识点01：归纳法 知识点02：数学归纳法 知识点03：数学归纳法的重要结论及适用范围 题型讲解 （举三反三） 题型1：数学归纳法的证明步骤 题型2：数学归纳法证明恒等式 题型3：数学归纳法证明数列问题 题型4：数学归纳法证明整除问题 题型5：用数学归纳法证明不等式 题型6：数学归纳法证明几何问题 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01归纳法 由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想 的一种方法. 归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法. 知识点02数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值()时命题成立； 第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥,k)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法称为数学归纳法. 知识点03数学归纳法的重要结论及适用范围 数学归纳法的重要结论 适用范围 只适用于证明与正整数有关的数学命题 题型1：数学归纳法的证明步骤 【例1-1】（24-25高二下·四川绵阳·月考）用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25高二上·甘肃庆阳·月考）若用数学归纳法证明是31的倍数，在验证成立时，原式为 ． 【例1-3】（24-25高二下·全国·课后作业）求证：． 【变式1-1】（24-25高二下·全国·课后作业）某个与正整数有关的命题：如果当时命题成立，则可以推出当时该命题也成立．现已知时命题不成立，那么可以推得（    ） A．当时命题不成立 B．当时命题不成立 C．当时命题成立 D．当时命题成立 【变式1-2】（24-25高二上·全国·随堂练习）以下是一个证明的全部过程：假设当时等式成立，即，则当时，，即当时，等式也成立．因此等式对于任何都成立．则用数学归纳法证明“”的过程中的错误为 ． 【变式1-3】（24-25高二上·福建莆田·月考）用数学归纳法证明： 题型2：数学归纳法证明恒等式 【例2-1】用数学归纳法证明：的过程中，由递推到时等式左边增加的项数为（    ） A．1 B． C． D． 【例2-2】用数学归纳法证明对任意都成立，则的最小值为 . 【例2-3】（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 【变式2-1】利用数学归纳法证明等式：，当时，左边的和记作，则当时左边的和记作，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】用数学归纳法证明“”时，当时，应证明的等式为 ． 【变式2-3】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知． (1)是否存在常数使得对任意的都成立？若存在，求出； (2)若（1）中存在，用数学归纳法证明． 题型3：数学归纳法证明数列问题 【例3-1】（24-25高二上·全国·单元测试）用数学归纳法证明能被14整除的过程中，当时，应变形为 . 【例3-2】（24-25高二下·河南·月考）在数列中，，. (1)求，，猜想数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想. 【例3-3】（24-25高二上·上海·月考）已知数列的每一项均为正数，记的前项和为，，尝试通过计算数列的前四项，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 【变式3-1】（24-25高二下·四川绵阳·月考）已知数列满足，，则数列通项公式为 . 【变式3-2】（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【变式3-3】（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，是它的前项和，当时，． (1)求，，的值，并推测的通项公式； (2)用数学归纳法证明所得的结论． 题型4：数学归纳法证明整除问题 【例4-1】已知，存在自然数，使得对任意，都能使整除，则最大的的值为 ． 【例4-2】（2025高三·全国·专题练习）用数学归纳法证明：能被64整除． 【例4-3】（24-25高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除． 【变式4-1】对任意n∈N*，34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝ . 【变式4-2】（25-26高二上·全国·单元测试）（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除． 【变式4-3】设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 题型5：用数学归纳法证明不等式 【例5-1】（24-25高二上·上海青浦·月考）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 【例5-2】（24-25高二上·上海·课后作业）用数学归纳法证明（且），第一步要证的不等式是 ． 【例5-3】用数学归纳法证明：对于任意大于1的正整数n，不等式都成立． 【变式5-1】利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【变式5-2】用数学归纳法证明：，从到时，不等式左边需增加的代数式为 . 【变式5-3】（2025高三·全国·专题练习）用数学归纳法证明不等式：． 题型6：数学归纳法证明几何问题 【例6-1】证明：凸n边形的内角和等于． 【例6-2】在平面上画n条直线，且任何2条直线都相交，其中任何3条直线不共点.问：这n条直线将平面分成多少个部分？ 【例6-3】（2025高三·全国·专题练习）已知平面上有个圆，其中任意两圆都相交，任意三圆不共点，试推测个圆把平面分为几部分？用数学归纳法证明你的结论． 【变式6-1】求证：n棱柱中过侧棱的对角面(即过棱柱的两条不相邻的侧棱的截面)的个数是f(n)＝n(n－3)，其中n≥4，n∈N*. 【变式6-2】已知，且平面内有n条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，证明这些直线的交点的个数为． 【变式6-3】平面内有n(n∈N*)个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n2－n＋2部分. 一、单选题 1．用数学归纳法证明，第一步应验证 （    ） A．当时，不等式成立 B．当时，不等式成立 C．当时，不等式成立 D．当时，不等式成立 2．（24-25高二·上海·随堂练习）用数学归纳法证明：，时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（    ） A． B． C． D． 3．利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了（    ） A．1项 B．k项 C．项 D．项 4．（2024高二下·全国·专题练习）用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（    ） A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 5．在正项数列中，，，则（ ） A．为递减数列 B．为递增数列 C．先递减后递增 D．先递增后递减 6．（25-26高二上·陕西咸阳·月考）用数学归纳法证明的过程中，时的左边比的左边增加了的量为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·全国·课后作业）数列满足：，则除以7的余数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．以上都不对 8．（24-25高二下·辽宁沈阳·月考）下列命题错误的个数是（   ） ①用数学归纳法证明时，正整数的第一个取值是1. ②用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是. ③设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，若成立，则当时，均有成立. ④对于不等式，用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时， ， 所以当时，不等式成立. 综上. A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．（24-25高二·上海·随堂练习）已知数列满足，且（n为正整数），利用数列的递推公式猜想数列的通项公式为．下面是用数学归纳法的证明过程： （1）当时，满足，命题成立； （2）假设（k为正整数）时命题成立，即成立，则当时，由得，即是以为首项，1为公差的等差数列，所以，即，所以，命题也成立． 由（1）（2）知． 判断以下评述：（    ） A．猜想正确，推理（1）正确 B．猜想不正确 C．猜想正确，推理（1）（2）都正确 D．猜想正确，推理（2）不正确 10．（24-25高二·上海·随堂练习）已知一个命题，这里，当时，成立，并且当时它也成立，下列命题中错误的是（    ） A．对于成立 B．对于每一个自然数k成立 C．对于每一个偶数k成立 D．对于某些偶数可能不成立 11．已知为数列的前项和，且，则（    ） A．存在，使得 B．可能是常数列 C．可能是递增数列 D．可能是递减数列 三、填空题 12．（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明对任意的都成立，则k的最小值为 . 13．用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是 . 14．在数列中，，且，则 ． 四、解答题 15．有下列命题：；使用数学归纳法证明 16．（2025高三·全国·专题练习）已知为正整数，用数学归纳法证明：当时，． 17．（24-25高二上·上海·随堂练习）在数列中，，（n为正整数）． (1)求，的值； (2)证明：． 18．（24-25高二下·北京房山·月考）已知数列满足，， (1)计算，，，并推测的通项公式； (2)证明你所得到的结论. 19．（24-25高二下·辽宁鞍山·期中）定义连乘积运算. (1)用数学归纳法证明伯努利不等式：对任意实数，有； (2)证明： 1 学科网（北京）股份有限公司 $