专题03平方根同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年湘教版七年级数学下册

专题03平方根同步讲义 1.一眼看懂 平方根 与 算术平方根 的区别，搞定符号±与的 “身份”。 2.会求任意非负数的平方根、算术平方根，熟练开平方，运算零失误。 3.吃透双重非负性，拿下≥0必考题型，秒解和为 0 问题。 4.用夹逼法锁定平方根范围，轻松判断整数部分、小数部分，搞定无理数。 5.能解平方根方程、算面积、做估算，把知识点落地到考题与生活。 必备知识 点梳理 1.平方根的概念与表示 2.算术平方根(重点+难点) 3.无理数与估值(拓展考点) 4.常见题型与易错点 常考题型 精讲精炼 1.平方根概念理解 2.求平方根 3.求算术平方根 4.算术平方根非负性应用 5.算术平方根估值 6.算术平方根规律探索 7.无理数认识 8.无理数大小估算 9.求近似数 10.近似数精确度判断 11.由平方根求原数 12.平方根解方程 13.算术平方根的实际应用 强化巩固 解答题7题 【知识点01.平方根的概念与表示】 1. 定义 如果一个数 x 的平方等于 a（即 x2=a），那么这个数 x 就叫做 a 的平方根（也叫做二次方根）。 2. 表示方法 正数 a 的正平方根记作 ，读作 “根号 a”。 正数 a 的负平方根记作 −​。 合写：正数 a 的所有平方根记作 ±。 3. 特殊情况 0：0 的平方根是 0（即 ±=0）。 负数：负数没有平方根（因为在实数范围内，任何数的平方都是非负数） 【知识点02.算术平方根】 1. 定义 正数 a 的正平方根叫做 a 的算术平方根。 0 的算术平方根还是 0。 2. 符号与双重非负性 符号： 双重非负性（必考考点）： (1)被开方数必须非负：a≥0。 (2)算术平方根结果非负：​≥0。 3. 两个重要公式 1.()2=a （前提 a≥0） 例：()2=5。 2.=∣a∣（注意：结果必须是非负数） 当 a≥0 时，=a。 当 a<0 时，=−a。 【知识点03.开平方运算】 1. 定义 求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。 运算关系：开平方与平方互为逆运算。 2. 运算步骤 (1)先判断：确认被开方数 a 是正数、0 还是负数（负数不能运算）。 (2)找关系：找出哪个数的平方等于 a。 (3)写结果： 求平方根：写出 ±。 求算术平方根：写出 。 【知识点04.无理数与估值】 1. 无理数的认识 无限不循环小数叫做无理数。 常见形式： 含 π 的数：如 π，2π。 开方开不尽的数：如，​。 特定结构的数：如 0.1010010001…（每两个 1 之间 0 的个数依次加 1）。 2. 算术平方根的估算 方法：夹逼法（找邻近的完全平方数）。 示例：估算 的大小。 因为 9<10<16，所以<<。 即 3<<4。 结论：的整数部分是 3，小数部分是−3。 【知识点05.常见题型与易错点】 1. 易错点警示 (1)漏符号：求 16 的平方根是 ±4，不是 4。 (2)混淆概念： 表示 16 的算术平方根，等于 4；±才表示 16 的平方根。 (3)忽视定义域：在求函数值或化简时，务必确认 a≥0。 2. 典型应用 解方程： 例：2x2−18=0⇒x2=9⇒x=±3。 实际应用： 利用算术平方根解决正方形边长与面积的关系、工程长度估算等实际问题 【题型1.平方根概念理解】 【典例】已知一个正数的两个平方根分别为和，则_____ 【答案】3 【分析】根据一个正数有两个平方根，且两个平方根互为相反数，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得． 【跟踪专练1】下列关于的说法错误的是（   ） A．表示10的平方根 B．表示10的算术平方根 C．10叫被开方数 D．是面积为10的正方形的边长 【答案】A 【分析】根据平方根和算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵根据定义，正数a的平方根为，其中正的平方根叫做a的算术平方根， ∴表示10的算术平方根，它是10的一个平方根，但不是10的全部平方根，故A说法错误，B说法正确； ∵对于二次根式，a叫做被开方数， ∴中10是被开方数，C说法正确； ∵正方形面积=边长的平方， ∴面积为10的正方形边长为，D说法正确. 综上，说法错误的是A． 【跟踪专练2】已知正数的平方根为和，若，则的值为_______ 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，根据平方根的定义，正数的两个平方根互为相反数，且平方根的平方等于原数．利用这一性质，将已知方程中的项用表示，进而求解． 【详解】解：∵正数的平方根为和， 故，． 将，代入， 得， 即， 解得， ∵， 故的值为． 故答案为：． 【跟踪专练3】若一个正数的两个不同的平方根分别是与，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题考查平方根的性质，掌握正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．根据正数的两个平方根互为相反数的性质，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得，该正数的两个平方根分别是和， 得 解得：， 将代入与中得，两个不同的平方根分别是和，符合题意， ， 故选：B． 【题型2.求平方根】 【典例】16的平方根是___________． 【答案】 【分析】根据平方根的定义求解即可：若，则，x是a的平方根，注意正数的平方根有2个． 【详解】解：∵， ∴16的平方根是． 【跟踪专练1】5的平方根是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求一个数的平方根，根据平方根的定义求解，即可解题． 【详解】解：∵平方根的定义是：如果，则是的平方根， ∴ 5 的平方根是． 故选：D． 【跟踪专练2】已知，．若，则的值为_____________． 【答案】 【分析】本题考查平方根和代数式求值，根据可知，再根据平方根的定义求解a，b，然后求解的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，或，， ∴当，时，， 当，时，． 故答案为：． 【跟踪专练3】若x是的平方根，则的正的平方根是（    ） A．1 B． C．1或5 D．1或 【答案】D 【分析】先计算的值，再求其平方根得到，然后计算，最后求的正的平方根（算术平方根）． 本题考查平方根的相关概念，熟练掌握是解决本题的关键．注意：一个正数的平方根有两个，一个正数的算术平方根只有一个． 【详解】解：∵， 又∵ 是的平方根， ∴或． 当时，，的正的平方根为； 当时，，的正的平方根为． ∴的正的平方根是1或． 故选：D． 【题型3.求算术平方根】 【典例】4的算术平方根是_______；4的平方根是_______． 【答案】 2 【分析】根据算术平方根与平方根的定义，分别计算得到结果． 【详解】，且， 的算术平方根是， ， 的平方根是． 【跟踪专练1】下列判断不正确的是（   ） A．9的算术平方根是3 B．6是的算术平方根 C．是25的算术平方根 D．19的算术平方根是 【答案】C 【详解】解：A、∵，， ∴9的算术平方根是3，A判断正确； B、∵，，， ∴6是的算术平方根，B判断正确； C、∵，不符合算术平方根为非负数的要求， ∴不是25的算术平方根，C判断不正确； D、∵，， ∴19的算术平方根是，D判断正确． 【跟踪专练2】若的值是有理数，则a的最小偶数值是______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的概念、求一个数的算术平方根，根据有理数的概念和算术平方根的求法进行判断即可． 【详解】∵的值是有理数，且为最小的偶数， ∴，此时是有理数， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知，当x分别取自然数1，2，3，…，时，所对应y值的总和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的性质，绝对值，掌握相关知识是解决问题的．先利用算术平方根的性质进行化简，然后进行加法计算即可． 【详解】解：， ， 当时，， 当时，， ∴当x分别取自然数1，2，3，…，时，所对应y值的总和， ． 故选：A． 【题型4.算术平方根非负性应用】 【典例】（1）在中，被开方数是非负数，即________0； （2）本身是非负数，即________0． 【答案】 ≥ ≥ 【分析】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义，注意算术平方根的被开方数是非负数，算术平方根的值是非负数． （1）根据算术平方根的定义，被开方数必须是非负数进行求解即可； （2）根据算术平方根的性质，算术平方根的结果也是非负数进行求解即可． 【详解】解：（1）在实数范围内，算术平方根有意义的条件是被开方数为非负数，即； （2）表示的算术平方根，即非负平方根，因此． 故答案为：≥；≥． 【跟踪专练1】已知，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，利用算术平方根和绝对值的非负性求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 解得，， ∴， 故选：． 【跟踪专练2】若，则的平方根为___________． 【答案】 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性可得x，y的值，再根据平方根的定义即可得． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根为． 【跟踪专练3】若m，n为实数，且，则的值为（   ） A．1 B．0 C．81 D． 【答案】A 【分析】本题考查平方与算术平方根的非负性，求代数式的值．根据平方和算术平方根的非负性求出m，n的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 【题型5.算术平方根估值】 【典例】若为整数，且，则整数的值为_____． 【答案】5 【分析】本题考查无理数的大小估算，熟练记忆常用的完全平方数是解题关键． 通过比较完全平方数，估算的范围，从而确定的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知一些数的平方如下表所示，则无理数的大小在（   ）         6.8121 6.8644 6.9169 6.9696 7.0225 7.0756 7.1289 A．2.61与2.64之间 B．2.64与2.65之间 C．2.65与2.66之间 D．2.65与2.67之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，根据表格中的数据找到7在哪2个数的平方之间即可得到答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴ 即的大小在2.64与2.65之间， 故选：B． 【跟踪专练2】若m为正整数，且满足，的值是_____ 【答案】16 【分析】本题主要考查了无理数的估算、有理数乘方等知识点，确定m的值是解题的关键． 通过比较与相邻整数的平方，确定m的值，再计算即可解答． 【详解】解：∵ ， ，且， ∴， ∵ ∴，即． 故答案为：16． 【跟踪专练3】大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为4，小正方形的面积为1，则正方形ABCD的边长可能是（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，无理数的大小比较，求得正方形的边长范围是解题的关键 根据算术平方根的定义，求出大小正方形的长，从而得出正方形的边长取值范围，再用估算无理和大小方法求解即可． 【详解】设大正方形的边长为，中正方形的边长为，小正方形的边长为， 根据题意，得，， 故，， ∴， ∵， ∴即， 中正方形的可能值为， 故选：C． 【题型6.算术平方根规律探索】 【典例】已知：，则___________．（精确到0．01） 【答案】 【分析】利用积的算术平方根的性质将变形为与已知相关的形式，再计算结果并按要求取近似值． 【详解】解：∵， ∴． 【跟踪专练1】小明发现根据小明的发现，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B 【跟踪专练2】有一列数按如下规律排列：，，，，…，则第6个数是_____． 【答案】 【分析】先确定序号数为奇数的是负数，序号数为偶数的是正数，且分母为的序号数次方，分子为序号数加上的算术平方根，即可得出第个数． 【详解】解：∵，，，，，…， 序号数为奇数的是负数，序号数为偶数的是正数，且分母为的序号数次方，分子为序号数加上的算术平方根， 第个数为． 【跟踪专练3】现有一组有规律排列的数如下：0，，，1，按此规律排列后，第2025个数为（    ） A． B． C．44 D． 【答案】C 【分析】本题考查了数列规律的探索与应用，先分析数列规律，通过整理可以发现，数列的规律是：第n个数为，再应用规律进行求解即可得到结果． 【详解】解：将数列重写为：，，，1，， 观察规律，第n个数为， 则第2025个数为， 因此，第2025个数为44． 故选：C． 【题型7.无理数认识.】 【典例】在，，，，，，（每两个2之间依次多1个0），中无理数有______个． 【答案】 【分析】此题主要考查了算术平方根，立方根，无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．根据无理数、有理数的定义即可判定． 【详解】解：，是分数，是整数，它们是有理数； 无理数有，，，，（每两个2之间依次多1个0），共5个， 故答案为：． 【跟踪专练1】以下说法错误的是（    ） A．无理数是无限小数 B．0.202202220…（相邻两个0之间依次多一个2）是无理数 C．无理数是带根号的数 D．无理数不可能是分数 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义与性质，解题关键是准确理解无理数“无限不循环”的本质，避免将“带根号”作为无理数的判定标准． 逐一分析每个选项，根据无理数的定义（无限不循环小数）来判断其正确性． 【详解】解：A、无理数是无限不循环小数，属于无限小数，该说法正确，不符合题意； B、（相邻两个之间依次多一个）是无限不循环小数，属于无理数，该说法正确，不符合题意； C、无理数不一定是带根号的数，例如是无理数但不带根号；而像这样带根号的数却是有理数，该说法错误，符合题意； D、分数是有理数，无理数不属于有理数，因此无理数不可能是分数，该说法正确，不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】请写出一个大于而小于的无理数______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的定义和实数的大小比较，能熟记无理数的定义的内容是解此题的关键．本题是一道开放型的题目，答案不唯一，根据无理数的定义和已知写出一个即可． 【详解】解：大于而小于，即 符合题意的有：， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练3】一个数值转换器原理如图所示，当输入时，输出的y的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数的算术平方根的计算方法和有理数、无理数的定义，熟练掌握算术平方根和有理数、无理数的定义是解题的关键． 本题根据程序输入4，运算一次后得到的是有理数，需再循环运算，得出结果即可． 【详解】解：输入，4的算术平方根是2，2是有理数，还需再求2的算术平方根，2的算术平方根是，是无理数，输出的y值是． 故选：D． 【题型8.无理数大小估算】 【典例】若，且是无理数，则可以是_________（写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】估算无理数的大小即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为： （答案不唯一）． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，解题的关键是用有理数夹逼无理数． 【跟踪专练1】若，则正整数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，先确定的取值范围，再得到的取值范围，进而求出正整数的值即可，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 又∵，且为正整数， ∴， 故选：． 【跟踪专练2】司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具，如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为，若介于两个连续整数n和之间，则n的值是_____． 【答案】4 【分析】本题考查了无理数的估算，先估算出，即可得到，即可解答． 【详解】解：， ，即， ， 无理数的值介于两个连续整数和之间， ， 故答案为4． 【跟踪专练3】观察下面表格，结论不正确的是（　　） 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 4.41 4.84 5.29 5.76 6.25 6.76 7.29 7.84 8.41 A．2.1的平方是4.41 B． C．5.76的算术平方根是2.4 D．当时，随着的增大，的值也增大 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，算术平方根的定义，乘方的计算，根据表格数据逐一验证选项的正确性，重点分析平方根的范围及函数单调性． 【详解】解：A、当时，，正确； B、由表格可知，，，因，故，原结论错误； C、，故5.76的算术平方根为2.4，正确； D、表格中x从2.1到2.9时，依次递增，正确， 故选：B． 【题型9.求近似数】 【典例】2025年“江苏城市足球联赛”，又称“苏超”火爆出圈，其“比赛第一，友谊第二”的口号更是火遍网络，13支球队之间的对抗，从场内到场外贡献众多名场面．“苏超”前两轮共进行了12场比赛，共吸引观赛人数达108000人，改写成用“万”作单位的数是__________万人，拉动消费约2678000000元，省略“亿”后面的尾数大约是__________亿元． 【答案】 27 【分析】此题考查了亿以内数的改写与亿以上数求近似数，要求学生掌握． 将一个数改写成用“万”作单位的数，要先找到万位，再在万位的右下角点上一个小数点，再将这个小数进行化简，然后添上“万”字即可；省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，再在数的后面写上“亿”字． 【详解】解：“苏超”前两轮共进行了12场比赛，共吸引观赛人数达108000人，改写成用“万”作单位的数是万人，拉动消费约2678000000元，省略“亿”后面的尾数大约是27亿元． 故答案为：，27． 【跟踪专练1】伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度（米）与下降的时间（秒）的关系可以近似地表示为（不计空气阻力），一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了980米，这段时间大约有（   ）（精确到1秒） A．14秒 B．16秒 C．13秒 D．15秒 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，解题的关键是掌握算术平方根的定义； 将已知下降高度代入给定公式，通过求解算术平方根得到下降时间，再精确到1秒即可选出答案． 【详解】解：根据题意得，， 解得（负值已舍）， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】一种圆筒状包装的保鲜膜，如图所示，其规格为“”，经测量这筒保鲜膜的内径、外径的长分别为，，则该种保鲜膜的厚度约为______（取，结果精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，近似数，正确理解题意是解题的关键．先求圆筒状保鲜膜的平均直径，再求处保鲜膜的层数，最后求保鲜膜的厚度即可． 【详解】解：圆筒状保鲜膜的平均直径是， 而保鲜膜的长是， 因此一共有 （层）， 那么该种保鲜膜的厚度就是：． 故答案为：． 【跟踪专练3】寒假期间，林林窝在家里看《西游记》，电视中“十万天兵对孙悟空兴师问罪”，林林联想到这学期学过的数学知识，提出了如下问题：（1）10万是个自然数，它的作用是什么？（2）10万用科学记数法怎么表示？（3）10万是准确数还是近似数？下列四个选项正确的是（   ） A．测量，，准确数 B．标号，，准确数 C．排列，，近似数 D．计数，，近似数 【答案】D 【分析】本题考查自然数的意义，科学记数法以及近似数与有效数字，掌握自然数的意义，科学记数法以及近似数与有效数字的定义是正确解答关键．根据相关知识逐一判断即可． 【详解】解：（1）10万是个自然数，它的作用是计数， （2）10万用科学记数法表示为， （3）10万是近似数， 故选：D． 【题型10.近似数精确度判断】 【典例】由四舍五入得到近似数万，这个近似数是精确到___________位，有___________个有效数字． 【答案】 百 4/四 【分析】本题考查了近似数的精确度和有效数字，熟记近似数的精确度和有效数字的定义是解题关键．精确度表示一个近似数与准确数的接近程度．一般来说，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数的精确度在哪一位，有效数字是一个近似数从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字，根据近似数的精确度和有效数字的定义求解即可得． 【详解】解：在近似数万中，小数点后边的第二个数字2处在百位，则由四舍五入得到近似数万，这个近似数是精确到百位，有4个有效数字． 故答案为：百，4． 【跟踪专练1】2023年我国低空经济规模达到了5059.5亿元，预计到2035年有望达到3.5万亿元．近似数5059.5亿是精确到（   ） A．十分位 B．百分位 C．千万位 D．亿位 【答案】C 【分析】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． 根据近似数和精确度解答即可． 【详解】解：5059.5亿小数点后一位表示千万位，因此精确到千万位． 故选：C． 【跟踪专练2】将数四舍五入取近似值，精确到个位为________． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了近似数，掌握四舍五入法求近似数是解题的关键． 把十分位上的数字6进行四舍五入即可解答． 【详解】解：． 故答案为：2025． 【跟踪专练3】下列语句中，错误的个数有是（   ） （1）四舍五入得到的近似数0.983，它的精确度是精确到千位； （2）单项式的次数是7； （3）的值总是正的； （4）几个有理数相乘，当负因数的个数为奇数个时，结果为负． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是近似数和有效数字、单项式、偶次方的非负性、有理数的乘法，掌握它们的概念和运算法则是解题的关键．根据近似数、单项式的次数、偶次方的非负性、有理数的分类、有理数的乘法法则判断即可． 【详解】解：（1）四舍五入得到的近似数，它的精确度是精确到千分位，本小题说法错误； （2）单项式的次数是4，本小题说法错误； （3）的值总是正的，本小题说法正确； （4）几个不为0有理数相乘，当负因数的个数为奇数个时，结果为负，本小题说法错误； 错误的个数有3个， 故选：C． 【题型11.由平方根求原数】 【典例】一个正数的两个不同的平方根分别为与，则m的值为_____ ． 【答案】1 【分析】根据一个正数的两个不同的平方根互为相反数列式计算． 【详解】解：由题意得：， ∴． 【跟踪专练1】一个正数的两个不同平方根分别是和，则的值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据一个数的平方根求这个数，一个正数的两个平方根互为相反数，据此建立方程求出a的值，再根据平方根的定义可得x的值． 【详解】解：∵一个正数的两个不同平方根分别是和， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【跟踪专练2】若一个正数的平方根是和，则这个正数是 _____． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的应用，根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求出的值，再代入求出一个平方根，进而根据平方根求出这个正数即可，掌握平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：∵一个正数的平方根是和， ∴， 解得， ∴， ∴这个正数是， 故答案为：． 【跟踪专练3】一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，以及已知一个数的平方根，求这个数，先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的下一个自然数，进而得到其平方根． 【详解】解：由题意可知：该自然数为， 该自然数相邻的下一个自然数为， 的平方根为． 故选：D． 【题型12.平方根解方程】 【典例】， 则___． 【答案】或 【分析】本题考查了利用平方根的性质解方程，熟知一个正数有两个平方根是正确解决本题的关键． 根据题意，得两个一元一次方程，再求解即可． 【详解】解：， ， 即或， 或． 故答案为：或． 【跟踪专练1】定义一种新运算“*” ∶ 则中x的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查新定义，根据新定义运算的规则，将已知条件代入，转化为一元二次方程，运用平方根求解即可． 【详解】解：根据定义，运算“*”的规则为， ∵， ∴， 解得： 故选：D． 【跟踪专练2】如图1，把两个面积都为5的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个如图2所示的大正方形．点P是对角线上一动点，连接，则的最小值为_________． 【答案】5 【分析】本题考查了垂线段最短、利用平方根解方程、实数的运算，熟练掌握垂线段最短是解题关键．设正方形的对角线、相交于点，则根据题意可得，，，利用三角形的面积公式、平方根解方程可得，再根据垂线段最短可知，当，即点与点重合时，取得最小值，由此即可得解． 【详解】解：如图，设正方形的对角线、相交于点， 由题意知，，，， ， 解得，或（舍去） 由垂线段最短可知，当，即点与点重合时，取得最小值， 则的最小值为． 故答案为：5． 【跟踪专练3】我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如表所示，它揭示了为非负整数展开式的各项系数的规律． 有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期二．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查了“杨辉三角”与展开式的规律的应用，熟练掌握“杨辉三角”的规律是解题的关键． 依次对每个结论进行分析判断，利用“杨辉三角”揭示的展开式的规律，结合相关数学知识进行推理． 【详解】解：展开式有项，令，，则系数和为，故结论①错误． ，故结论②正确． ，当时，，解得或，故结论③错误． ，根据二项式定理展开，除最后一项外，其余项都含有因数，所以除以的余数为，今天是星期一，天后是星期日，故结论④错误． 故选：A． 【题型13.算术平方根的实际应用】 【典例】交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：），表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得，，则肇事汽车的车速是________． 【答案】96 【分析】本题考查了代数式求值和算术平方根的计算，掌握代入数值后按运算顺序计算的方法是解题的关键． 将给定的和代入经验公式，先计算 的值，再求算术平方根，最后乘以得到车速． 【详解】解：代入 和 得 ． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图是两个面积为2的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形，则大正方形的边长为（   ）． A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根、正方形的面积公式，根据题意可得大正方形的面积为，再根据正方形的边长等于其面积的算术平方根即可求解． 【详解】解：∵两个面积为2的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． 故选：B． 【跟踪专练2】把四个小正方形摆放在如图的一个大长方形内部，每个小正方形的一个顶点和长方形的一个顶点重合，它们之间即不重叠也无空隙，较小的三个小正方形的面积分为．则图中的阴影部分的周长___________． 【答案】20 【分析】此题考查了算术平方根的应用和长方形的周长公式，关键是认真观察图形，表示出阴影部分水平的边长之和． 根据题意阴影部分所有竖直的边长之和和所有水平的边长之和，然后进行整理即可得出答案． 【详解】解：如图，标注字母如下： 则， ∴， ∴， ∴． 则阴影部分所有竖直的边长之和， 所有水平的边长之和， 则阴影部分的周长， 故答案为：20． 【跟踪专练3】大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，则正方形的边长可能是（   ） A．1 B． C．2 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的应用、无理数的估算、实数的大小比较，设正方形的边长为，先求出大正方形的边长为，小正方形的边长为，从而可得，估算出，即可得出，从而得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵大正方形的面积为25，小正方形的面积为4， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴正方形的边长可能是， 故选：B． 【解答题】 1．王老师给同学们布置了这样一道练习题：一个正数的算术平方根为，它的平方根为，求这个正数． 小达的解法如下：依题意可知，，解得，则，这个正数为4．小达的解法正确吗？请说明理由． 【答案】小达的解法不正确．理由见解析 【分析】是两数中的一个，应该分两种情况分别计算． 【详解】解：小达的解法不正确．理由如下： 依题意可知，为，两数中的一个． 当时， 解得，则，这个正数为； 当时， 解得，则，这个正数为． 综上所述，这个正数为或． 【点睛】本题考查了算术平方根，平方根，算术平方根是平方根中的正数，但是不确定哪个是正数，需要分类讨论，解题的关键是分类讨论． 2．在数学课上“说不完的”探究活动中，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？下面是龙龙探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且，设，画出如图1的示意图： 由图形面积可得． 因为x值很小，所以更小，略去，得方程 ，解得 （保留到0.001），即 ． (2)请仿照上述探究过程探究的大小． 已知：，在图2中画出示意图，并标出相关数据，求出的近似值（保留到0.001）． 【答案】(1)，， (2)见解析， 【分析】本题考查无理数的估算，掌握数形结合的思想，是解题的关键． （1）根据图形中大正方形的面积列方程求解即可； （2）画一个面积为的正方形，类比（1），根据图形中大正方形的面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：设，由图形面积可得， ． 因为x值很小， 所以更小，略去， 得方程， 解得，即． 故答案为：，，； （2）解：如图，设， 由图形面积可得，． 因为y值很小， 所以更小，略去， 得方程， 解得，即． 3．已知，互为相反数，，互为倒数，的算术平方根等于它本身，是平方根等于它本身的实数，求的值． 【答案】2或1 【分析】本题考查了相反数、倒数、算术平方根、平方根的定义以及代数式求值，掌握这些基本概念的性质并分情况讨论是解题的关键． 先根据相反数、倒数、算术平方根、平方根的定义，确定的值，再分情况代入代数式计算． 【详解】解：由题意得，，或1，． 当时，； 当时，． 综上所述：的值为或． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 (5)或18 (6)或 (7)或 (8)或8 (9)或7 (10)或3 【分析】本题主要考查了平方根，等式的性质，熟练掌握平方根的意义是解题的关键． （1）（2）根据等式的性质以及平方根的定义进行解答即可； （3）先把移到方程右边，再根据等式的性质以及平方根的定义进行解答即可； （4）（5）根据平方根的定义进行解答即可； （6）先变形得到，再根据平方根的定义进行解答即可； （7）先变形得到，再根据平方根的定义进行解答即可； （8）先把移到方程右边，再根据等式的性质以及平方根的定义进行解答即可； （9）先把移到方程右边，再根据等式的性质以及平方根的定义进行解答即可； （10）先把移到方程右边，再变形得到，最后根据平方根的定义进行解答即可． 【详解】（1）解： 解得： （2）解： 解得： （3）解： 解得： （4）解： 解得： （5）解： 解得： （6）解： 解得： （7）解： 解得： （8）解： 解得： （9）解： 解得： （10）解： 解得： 5．已知． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件及平方根的计算，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件，列出关于的不等式组，通过解不等式组求出的值； （2）将（1）中求出的值代入原式，求出的值，再计算的结果，最后求该结果的平方根． 【详解】（1）解：∵二次根式的被开方数需非负， ∴​， 解得． （2）解：把，代入原式得， 即， 解得 ∴， 的平方根是， 即的平方根是． 6．先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3)2023 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解； 【详解】（1）解：∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式； ∴根据规律可猜测第五个等式为； （2）解：根据（1）总结规律可得：第n个等式为； （3）解：依题意，根据规律可化简： 原式 ． 7．数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形． 【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为 ，边长为 ． 【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为 ． 【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ 【答案】（1）；；（2）；（3）欢欢的想法不对，理由见解析 【分析】本题主要考查算术平方根的应用． （1）由题意得出大正方形的面积，即可得出答案； （2）根据（1）的方法画出图形，得出大正方形的面积，即可得出答案； （3）设长为，则宽为，则得出，解出，则可得出答案． 【详解】（1）解：∵用5个面积为的小正方形纸片剪拼成一个正方形 ∴这个正方形的面积为的大正方形，边长为； 故答案为：；；． （2）如图， ∵用10个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， 拼成的大正方形的边长为； 故答案为：． （3）欢欢的想法不对，理由如下， 假设能沿着正方形的方向裁出一块面积为的长方形纸片，且它的长宽之比为，设长为，则宽为，则有： ， 解得，， 为长方形的长， ， ， 则长为， 要求长方形的四周至少留出的边框， 长方形的长应当为， ， 假设错误，不能． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题03平方根同步讲义 学习目标 1.一眼看懂平方根与算术平方根的区别，搞定符号±√与√的“身份”。 2.会求任意非负数的平方根、算术平方根，熟练开平方，运算零失误。 3.吃透双重非负性，拿下√≥0必考题型，秒解和为0问题。 4.用夹逼法锁定平方根范围，轻松判断整数部分、小数部分，搞定无理数。 5.能解平方根方程、算面积、做估算，把知识点落地到考题与生活。 学习内容概览 必备知识 1.平方根的概念与表示 2.算术平方根（重点+难点） 点梳理 3.无理数与估值（拓展考点） 4.常见题型与易错点 1.平方根概念理解 2.求平方根 3.求算术平方根 4.算术平方根非负性应用 5.算术平方根估值 6.算术平方根规律探索 常考题型 7.无理数认识 8.无理数大小估算 精讲精炼 9.求近似数 10.近似数精确度判断 11.由平方根求原数 12.平方根解方程 13.算术平方根的实际应用 强化巩固 解答题7题 知识点梳理 【知识点01.平方根的概念与表示】 1.定义 如果一个数x的平方等于a(即x2=a),那么这个数x就叫做a的平方根（也 叫做二次方根)。 2.表示方法 试卷第1页，共3页 正数a的正平方根记作Va,读作根号a。 正数a的负平方根记作一√点。 合写：正数a的所有平方根记作±y。 3.特殊情况 0:0的平方根是0（即V6-0)。 负数：负数没有平方根（因为在实数范围内，任何数的平方都是非负数） 【知识点02.算术平方根】 1.定义 正数a的正平方根叫做a的算术平方根。 0的算术平方根还是0。 2.符号与双重非负性 符号： 双重非负性（必考考点）： (1)被开方数必须非负：a≥0。 (2)算术平方根结果非负：√a≥0。 3.两个重要公式 1.(WP=a(前提a≥0) 例：(W52=5。 2.ya2=a(注意：结果必须是非负数) 当a0时，V2=-a。 当a<0时，Va2=-a. 【知识点03.开平方运算】 1.定义 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。 运算关系：开平方与平方互为逆运算。 试卷第1页，共3页 2.运算步骤 ()先判断：确认被开方数a是正数、0还是负数（负数不能运算）。 (2)找关系：找出哪个数的平方等于a。 (3)写结果： 求平方根：写出士√。 求算术平方根：写出a。 【知识点04.无理数与估值】 1.无理数的认识 无限不循环小数叫做无理数。 常见形式 含元的数：如元，2π。 开方开不尽的数：如2,5。 特定结构的数：如0.1010010001.…（每两个1之间0的个数依次加1）。 2.算术平方根的估算 方法：夹逼法（找邻近的完全平方数）。 示例：估算V10的大小。 因为9<10<16，所以V§<√10<√16。 即3<√10<4。 结论：V10的整数部分是3，小数部分是y10-3。 【知识点05.常见题型与易错点】 1.易错点警示 (1)漏符号：求16的平方根是±4，不是4。 (2)混淆概念：V16 表示16的算术平方根，等于4：±V16才表示16的平方 根。 3)忽视定义域：在求函数值或化简时，务必确认a≥0。 2.典型应用 试卷第1页，共3页 解方程 例：2x2-18=0→x2-9→x=±3。 实际应用： 利用算术平方根解决正方形边长与面积的关系、工程长度估算等实际问题 常考题型精讲精练 【题型1.平方根概念理解】 【典例】已知一个正数的两个平方根分别为3a-1和-5-a,则a= 【跟踪专练1】下列关于√10的说法错误的是() A.表示10的平方根 B.表示10的算术平方根 C.10叫被开方数 D.是面积为10的正方形的边长 【跟踪专练2】已知正数x的平方根为a和a+b,若ax+(a+b)x=8,则x的值为 【跟踪专练3】若一个正数的两个不同的平方根分别是2m-1与4+m,则m的值为() A.-2 B.-1 C.0 D.1 【题型2.求平方根】 【典例】16的平方根是 【跟踪专练1】5的平方根是() A.5 B.±5 C.5 D.±5 【跟踪专练2】已知a2=9,b2=25,若b-a<0,则ab的值为 【跟踪专练3】若x是(-2)的平方根，则x+3的正的平方根是() A.1 B.5 C.1或5 D.1或5 【题型3.求算术平方根】 【典例】4的算术平方根是 ；4的平方根是 【跟踪专练1】下列判断不正确的是() A.9的算术平方根是3 B.6是(6)的算术平方根 C.-5是25的算术平方根 D.19的算术平方根是√9 试卷第1页，共3页 【跟踪专练2】若√3a(a≠0)的值是有理数，则a的最小偶数值是 【跟踪专练3】己知y=V(x-2)2-x+3,当x分别取自然数1,2,3，.，2026时，所对 应y值的总和是() A.2028 B.2027 C.2026 D.2025 【题型4.算术平方根非负性应用】 【典例】(1)在√a中，被开方数a是非负数，即a0: (2)√a本身是非负数，即√a0. 【跟踪专练1】已知Va+2+b-=0,那么(a+b)226的值为() A.-1 B.1 C.32026 D.-32026 【跟踪专练2】若Vx-2y+9+x-3引=0，则x+y的平方根为 【跟踪专练3】若m,n为实数，且(m+4)2+√n-5=0,则(m+n)2的值为() A.1 B.0 C.81 D.-9 【题型5.算术平方根估值】 【典例】若n为整数，且n<√26<n+1,则整数n的值为 【跟踪专练1】已知一些数的平方如下表所示，则无理数√7的大小在() 2.622 2.632 2.642 2.652 2.66 2.672 2.612 6.8121 6.8644 6.9169 6.9696 7.0225 7.0756 7.1289 A.2.61与2.64之间 B.2.64与2.65之间 C.2.65与2.66之间 D.2.65与2.67之间 【跟踪专练2】若m为正整数，且满足m<√19<m+1,m2的值是 【跟踪专练3】大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为4，小正方形的 面积为1，则正方形ABCD的边长可能是() 试卷第1页，共3页 D A A.1 B.2 C.5 D.3 【题型6.算术平方根规律探索】 【典例】已知：V2.019≈1.42091，√20.19≈4.49332，则√2019≈ (精确到0. 01) 【跟踪专练1】小明发现√9=3，√900=30，V90000=300, 根据小明的发现，若 √2026≈45.01，√202.6≈14.23，则√20.26≈() A.0.4501 B.4.501 C.0.1423 D.1.423 【跟踪专练2】有一列数按如下规律排列：2,5,1,5,6 2’4’4’161 -32 …,则第6个数 名 【跟踪专练3】现有一组有规律排列的数如下：0，√2-1，√5-1,1，√5-1…按此规律 排列后，第2025个数为() A.√2023-1 B.V2024-1 C.44 D.V2026-1 【题型7.无理数认识.】 【典例】在314，受侣 -100,0,√3,0.2020020002…（每两个2之间依次多 1个0)，0.15中无理数有 个 【跟踪专练1】以下说法错误的是() A.无理数是无限小数 B.0.202202220…（相邻两个0之间依次多一个2)是无理数 C.无理数是带根号的数 D.无理数不可能是分数 【跟踪专练2】请写出一个大于-4而小于-3的无理数 【跟踪专练3】一个数值转换器原理如图所示，当输入x=4时，输出的y的值是() 试卷第1页，共3页 是无理数 输入x 取算术平方根 输出y 是有理数 A.2 B.2 C.√4 D.√2 【题型8.无理数大小估算】 【典例】若2<x<3,且x是无理数，则x可以是 (写出一种情况即可). 【跟踪专练1】若n<√33-1<n+1,则正整数的值为() A.2 B.3 C.4 D.5 【跟踪专练2】司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具，如图，司南的形状像一把汤 匙，它的长度与最大宽度之比为√26-1，若√26-1介于两个连续整数n和n+1之间，则n 的值是 【跟踪专练3】观察下面表格，结论不正确的是( 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 4.41 4.84 5.29 5.76 6.25 6.76 7.29 7.84 8.41 A.2.1的平方是4.41 B.2.5<√7<2.6 C.5.76的算术平方根是2.4 D.当2.1≤x≤2.9时，随着x的增大，X2的值也增大 【题型9.求近似数】 【典例】2025年“江苏城市足球联赛”，又称“苏超”火爆出圈，其“比赛第一，友谊第二”的口 号更是火遍网络，13支球队之间的对抗，从场内到场外贡献众多名场面.“苏超”前两轮共 进行了12场比赛，共吸引观赛人数达108000人，改写成用“万”作单位的数是 万 人，拉动消费约2678000000元，省略“亿”后面的尾数大约是 亿元 【跟踪专练1】伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度h(米)与下 降的时间t(秒)的关系可以近似地表示为h=4.92(不计空气阻力)，一个伞兵在打开降 试卷第1页，共3页 落伞前的一段时间内下降了980米，这段时间大约有()（精确到1秒） A.14秒 B.16秒 C.13秒 D.15秒 【跟踪专练2】一种圆筒状包装的保鲜膜，如图所示，其规格为“20cm×60m”,经测量这筒 保鲜膜的内径中、外径的长分别为3.2cm,4.0cm,则该种保鲜膜的厚度约为 cm （取3.14，结果精确到0.00001cm), 20cm 【跟踪专练3】寒假期间，林林窝在家里看《西游记》，电视中“十万天兵对孙悟空兴师问 罪”，林林联想到这学期学过的数学知识，提出了如下问题：(1)10万是个自然数，它的 作用是什么？(2)10万用科学记数法怎么表示？(3)10万是准确数还是近似数？下列四 个选项正确的是() A.测量，10×104，准确数 B.标号，105，准确数 C.排列，103，近似数 D.计数，1×10，近似数 【题型10.近似数精确度判断】 【典例】由四舍五入得到近似数20,12万，这个近似数是精确到 位，有 个有效数字. 【跟踪专练1】2023年我国低空经济规模达到了5059.5亿元，预计到2035年有望达到3.5 万亿元.近似数5059.5亿是精确到() A.十分位 B.百分位 C.千万位 D.亿位 【跟踪专练2】将数2024.624四舍五入取近似值，精确到个位为 【跟踪专练3】下列语句中，错误的个数有是() (1)四舍五入得到的近似数0.983，它的精确度是精确到千位； (2)单项式π3y的次数是7； (3)a2+1的值总是正的； (4)几个有理数相乘，当负因数的个数为奇数个时，结果为负. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【题型11.由平方根求原数】 【典例】一个正数的两个不同的平方根分别为4m-2与-1-m,则m的值为 试卷第1页，共3页 【跟踪专练1】一个正数x的两个不同平方根分别是2a-1和-a-3,则x的值为() A.16 B.25 C.36 D.49 【跟踪专练2】若一个正数的平方根是2a-1和-a+2,则这个正数是 【跟踪专练3】一个自然数的一个平方根是α，则与它相邻的下一个自然数的平方根是() A.±√a+1 B.a+1 C.a2+1 D.±Va2+1 【题型12.平方根解方程】 【典例】(2x-3)2=36,则x= 【跟踪专练1】定义一种新运算“*”：a*b=b2-a,则5*x=4中x的值为() A.1 B.±1 C.3 D.3 【跟踪专练2】如图1，把两个面积都为5的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直 角三角形拼在一起，就得到一个如图2所示的大正方形.点P是对角线BD上一动点，连接 AP,则√5AP的最小值为 图1 图2 【跟踪专练3】我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如表 所示，它揭示了(a+b)(n为非负整数)展开式的各项系数的规律.有如下几个结论：① (a+b)展开式有(n+1)项，系数和为21；②993+3×992+3×99+1的结果是10°；③当代数 式a+8a3+24a2+32a+16的值是1时，有理数a的值是-1；④如果今天是星期一，那么 6225天后是星期二.其中正确的有() 111 (a+b)°=1(a+b)'=a+b 121 (a+b)2=a2+2ab+b2 193931 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 试卷第1页，共3页 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【题型13.算术平方根的实际应用】 【典例】交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是 v=I6√f,其中表示车速（单位：kmh),d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m), f表示摩擦因数.在某次交通事故调查中，测得d=20m,f=1.8,则肇事汽车的车速是 km/h 【跟踪专练1】如图是两个面积为2的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形，则大正 方形的边长为()· ① ① ③ ② ④ ② ④ ③ 图1 图2 图3 A.√2 B.2 C.√5 D.4 【跟踪专练2】把四个小正方形摆放在如图的一个大长方形内部，每个小正方形的一个顶点 和长方形的一个顶点重合，它们之间即不重叠也无空隙，较小的三个小正方形的面积分为 4cm,16cm2,25cm2.则图中的阴影部分的周长= cm 4 16 25 【跟踪专练3】大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为25，小正方形 的面积为4，则正方形ABCD的边长可能是() 试卷第1页，共3页