精品解析：河南信阳市浉河中学2025-2026学年九年级上学期数学学情自测卷1.26

九年级数学2026.1.26 1. 下列博物馆标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解∶A．是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； B、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； C、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； D、当时，无法得到，故此选项符合题意． 故选：D． 3. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据二次函数图象平移规则，“左加右减，上加下减”，直接计算平移后的解析式即可． 【详解】解：∵抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位， ∴平移后解析式为， 故选：A． 4. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，当时，先判断的正负，再利用在各自的象限内随着的增大而增大进行判断即可． 【详解】解：，， ， ， 故选：C． 5. 阿拉伯数学著作《算术之钥》书中记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少人?设这群人共有x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，利用倒序相加的方法求出的和，根据题意即可列出方程． 【详解】解：设这群人共有人，则这群人摘的石榴数依次为，设总的石榴数为S， 则①， 又∵② ∴由得， ∴， 又∵平均每人分得10个石榴， ∴总石榴数S也可表示， 因此方程为， 故选：C． 6. 如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=25°，则∠AOD等于（ ） A. 155° B. 140° C. 130° D. 110° 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB， ∴， ∵∠CAB=25°， ∴∠BOD=50°， ∴∠AOD=130°． 故选：C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，轴，轴，，分别以点、点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，若点在双曲线上，则的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了正方形的性质和判定，反比例函数的图象和性质，先证明四边形是正方形，得出，再根据点在双曲线上，求解即可． 【详解】解：根据题意可得， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∵点在双曲线上， ∴， 解得：或， ∵点在第一象限内， ∴， 故选：A． 8. 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距的取值范围是（ ） A. 0米米 B. 米 C. 0米米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再利用反比例函数的性质即可得． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 由题意，将点代入得：， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， 在范围内，y随x的增大而减小， 当时，， 即若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距的取值范围是米． 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象与系数的关系，利用图象特征判断字母系数的符号是解题的关键． 根据每个选项中的图象特征，分别判断一次函数和二次函数中的符号，再对比是否一致即可得出答案． 【详解】解：A、由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 矛盾，故A选项不符合题意； B、由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 矛盾，故B选项不符合题意 C、由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 故C选项符合题意； D、由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 矛盾，故D选项不符合题意； 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，线段轴，，连接，以和延长线为边构造菱形，若将四边形绕点O逆时针每次旋转，则第2025次旋转后，点C此时的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标旋转中的规律探究，解直角三角形，根据点的坐标求出的长，进而得到为的中点，求出点坐标，进而求出点坐标，根据每经过次，回到原位置，求出第2025次旋转后的位置，进行求解即可． 【详解】解：∵点A的坐标为，线段轴，， ∴， ∵以和延长线为边构造菱形， ∴轴， ∴为的中点， ∴， ∴， ∵将四边形绕点O逆时针每次旋转，则每经过次，回到原位置， ∵， ∴第次旋转后跟第3次旋转后的位置相同， ∵， ∴四边形绕点O逆时针旋转了，此时与原位置关于原点对称， ∴旋转后的点坐标为：； 故选A． 11. 已知方程的一根为，则方程的另一根为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设方程的另一个根为c，再根据根与系数的关系即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为c， ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查的是根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此题的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点A的对应点的坐标为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此求解即可． 【详解】解：由题意，和以原点O为位似中心，相似比为， ∵， ∴点A的对应点的坐标是或， 即或． 故答案为：或． 13. 如图1，扇形中，，，点C为弧上一点，以为对角线构造正方形，点D，E分别在上．如图2，将正方形沿方向平移得到正方形，若点E的对应点Q恰好与点B重合时，则图中阴影部分面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不规则图形的面积，平移的性质，正方形的性质；连接，利用梯形的面积减去扇形的面积，进行求解即可． 【详解】解：连接，则：， ∵正方形， ∴，， ∵平移， ∴，， ∴阴影部分面积； 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，点P是对角线上一个动点，连接，以为直角边在右侧作等腰直角三角形，连接． （1）当点E落在上时，的长为________． （2）的最小值是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，等腰三角形的性质等知识，确定点E的运动轨迹是解题的关键与难点． （1）由勾股定理求得的长，利用面积关系求得的长，利用勾股定理求出，则可求得； （2）确定点E的轨迹为线段；连接，过点D作于点N，则的最小值为线段的长；利用勾股定理求得的长，再利用面积关系即可求得的长，从而求得最小值． 【详解】解：（1）如图，在矩形中，，， ∴； ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴； 故答案为：； （2）如图，当点P与点B重合时，，即点E与点M重合，；当点P与点D重合时，绕D顺时针旋转后得，点E的轨迹为线段； 连接，过点D作于点N，则的最小值为线段的长； ∵， ∴点F在线段的延长线上，且； ∵， ∴， ∵， ∴ 即的最小值为； 故答案为：． 15. 若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是180°，则称这两个顶点关于这条底边互为“唯美点”．在矩形中，为线段上一动点（不与端点重合），为平面内一点，点与点关于互为“唯美点”，直线交直线于点，在点运动过程中，当时，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论：当点在线段上；当点在线段的延长线上，分别进行解答即可． 【详解】当点在线段上时，如解图所示，连接， 点与点关于互为“唯美点”， ， ， 又， ， 设， ，， ， ， 在中，， 即， 解得， ； 当点在线段的延长线上时，如解图所示，连接， 同理，可得， 设，则， ， 在中，， 即， 解得， ， 综上所述，的长为或． 16. 解决下列问题： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算立方根，绝对值，零指数，负指数幂，乘方运算，特殊角的三角函数值，再进行加减运算； （2）将方程整理为一元二次方程的一般形式后，利用因式分解的方法解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ， ， ． 17. 为了解某校学生每月参加社团活动的时间（单位：h），随机调查了该校a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为_____，图①中m的值为_____，统计的这组学生每月参加社团活动的时间数据的众数为_____，中位数为_____； （2）求统计的这组学生每月参加社团活动的时间数据的平均数； （3）已知每月参加社团活动的时间是的被调查的学生中有2名男生和3名女生，若从中随机抽取2人，则抽到的2人都是男生的概率为_____． 【答案】（1）50，32，， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的关联，求众数，中位数，平均数，用列表法求事件的概率，熟练掌握相关知识是关键． （1）利用求总数，部分的百分比，众数，中位数的计算方法求解即可； （2）利用加权平均数计算方法求解即可； （3）先列表法求事件所以等可能结果，再找出抽到的2人都是男生的等可能结果，即可根据概率的计算公式计算． 【小问1详解】 解：由图形可知，； ， ； 由条形统计图可知，统计的这组学生每月参加社团活动的时间数据的众数为； 将50个数据从小到大排列，其中中间两个数都为4，所以中位数为． 故答案为：50，32，，． 【小问2详解】 解：， 所以这组学生每月参加社团活动的时间数据的平均数为； 【小问3详解】 解：记2名男生为，，3名女生为，，， 将抽到的等可能结果列表如下： 由表中信息可知，共有20种等可能结果，其中抽到的2人都是男生的等可能结果有2种，分别是和， 所以抽到的2人都是男生的概率为． 故答案为：． 18. 如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长交反比例函数的图象于点，以为对角线作正方形，以为直径画弧． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的长度； （3）请直接写出阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由反比例函数的图象经过点，得到，求得反比例函数的表达式为； （2）根据正方形的性质得到点是四边形的中心，连接，得到，，求得所对圆心角的度数为，根据勾股定理得到所在圆的半径为，再求出弧长即可； （3）设所在圆的圆心为，与轴交于，与轴交于，连接，求得，根据全等三角形的判定得到，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：四边形是正方形，为对角线，， 点是四边形的中心， 连接， ，， ，为所在圆的直径， 所对圆心角的度数为：， ， ∴， ， ∴； 【小问3详解】 解：设所在圆的圆心为，与轴交于，与轴交于，连接， ， ，，， ， ∴， 弓形的面积扇形的面积三角形的面积 ， 图中阴影部分面积之和半圆的面积弓形的面积 ． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，扇形面积的计算，勾股定理，圆周角定理，弧长计算，待定系数法求函数的解析式，正确地识别图形是解题的关键． 19. 如图，在中，，以为直径的⊙与交于点，连接． （1）求证：； （2）若⊙与相切，求的度数； （3）用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）证明见详解 （2） （3）作图见详解 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的三线合一即可证明； （2）根据切线的性质可以得到，然后在等腰直角三角形中即可求解； （3）根据等弧所对的圆周角相等，可知可以作出AD的垂直平分线，的角平分线，的角平分线等方法均可得到结论． 小问1详解】 证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 ∵与相切， ∴， 又∵， ∴． 【小问3详解】 如下图，点就是所要作的的中点． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、切线的性质、以及尺规作图、等弧所对的圆周角相等，理解圆的相关知识并掌握基本的尺规作图方法是解题的关键． 20. 如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线． （1）如图1，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度； （2）如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】（1）14分米 （2）2分米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）可证明四边形是矩形，得到；在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案； （2）过点E作于H，延长交于T，则四边形是矩形，可得；解求出的长，进而求出的长，据此求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，分米，分米， ∴分米， ∴分米， ∴分米， 答：该连衣裙的长度为14分米； 【小问2详解】 如图所示，过点E作于H，延长交于T， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，分米，，， ∴分米， 分米， ∴分米， ∴分米， 分米， ∴分米； 答：此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为2分米． 21. 【定义】若二次函数的顶点在直线上，则此二次函数叫做直线的开心函数．例如：二次函数的顶点为在直线上，所以二次函数是直线的开心函数． （1）若二次函数是直线的开心函数，求的值； （2）若二次函数是直线的开心函数． ①求（用含的代数式表示）； ②若当时，的最小值为，则n的值为______． 【答案】（1） （2）①②2或 【解析】 【分析】（1）由函数的表达式知，顶点坐标为：，将代入，即可求解； （2）①由函数的表达式知，顶点坐标为：，将代入得：，即可求解； ②分类讨论当时，则在时，函数取最小值；当时，函数最小值取在顶点处，即顶点纵坐标为；当时，则在时，函数取最小值；分别代入求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴顶点坐标为， 将代入得： ， 则； 【小问2详解】 解：①， ∴顶点坐标为， 将代入得， 则； ②由①知，抛物线的表达式为：， ∴顶点坐标为：， 当时，， 当时，， 当即时，则在时函数取最小值， 即， 解得（舍去）或3， 即， 此时； 当即时， 函数最小值取在抛物线顶点处， 即， 解得， 此时； 当即时， 则当时函数取得最小值， 即， 此方程无解； 综上，或． 22. 春耕期间，农户老张购买了一套农田喷灌系统为田地浇灌（如图1），喷水从距离地面的位置喷出，经测量，当喷水距离喷杆的位置时，水流达到最高点，水流路径近似为抛物线，老张的儿子小明为研究喷水过程，以喷杆的位置为y轴，以喷杆与地面的交点为原点O，以与水流在同一平面内的水平地面为x轴建立了如图2的平面直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式； （2）当启动该装置时，小明恰好站在距离喷杆的田地中，若小明身高，试判断水流能否越过小明的头顶，并说明理由； （3）为保证喷灌效果，老张调整了喷头的设置，此时水流的路线满足表达式．当时，y的值总大于3，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）不能，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意，抛物线顶点坐标为，据此把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出当时的函数值即可得到结论； （3）根据解析式可得抛物线开口向下，则离对称轴越远函数值越大，要保证当时，y的值总大于3，则要保证当时，函数的最小值要大于3，据此求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，抛物线顶点坐标为， 可设该抛物线的表达式为． 将点代入，得， ， 该抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：水流不能越过小明的头顶，理由如下： 在中，当时，． ， 水流不能越过小明的头顶． 【小问3详解】 解：由题意得抛物线的对称轴为直线， ∵二次项系数小于0， ∴函数开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ①当，即时， 将代入得， ∴此时函数的最小值为， ∵当时，y的值总大于3， ∴， ，不符合题意； ②当，即时， 将代入得，， ∴此时函数的最小值为， ∵当时，y的值总大于3， ∴， ． 综上所述，m的取值范围为． 23. 在综合与实践课上，老师以“正方形的旋转”为主题，开展数学活动，如图1， 已知正方形和正方形，当点在对角线上时，在老师提出：猜想线段与的数量关系时，大家一致认为，并且有两个小组给出如下的证明思路： 奋进组：要想证明，可以构造并证明等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的斜边与底角的三角函数，然后通过等量代换，便可证明； 创新组：要想证明，可利用平行线分线段成比例定理，对比例式进行变形，然后利用等腰直角三角形的斜边与底角的三角函数．便可证明； （1）请你根据“奋进组”和“创新组”提出的思路对下面问题做出选择（ ） A．“奋进组”的思路正确，“创新组”的思路不正确 B．“创新组”的思路正确，“奋进组”的思路不正确 C．“奋进组”和“创新组”的思路都正确 D．“奋进组”和“创新组”的思路都不正确 （2）将正方形EBGF绕着点B顺时针旋转；（），当正方形旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立，若成立请加以证明；若不成立，请写出正确的数量关系，并加以证明； （3）如图3，将正方形绕着点B顺时针旋转（）的过程中，当A，E，G三点共线时，直线BF与射线DC相交于点H，当，线段的长为______． 【答案】（1）C （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据两组思路求出结果即可判断； （2）连接，，易证，则，即可得解； （3）过作于点，已知，由正方形性质可求得，再由勾股定理可解得，可证明，求出，进而求出，再证明，即可证明，则可证明，则可证， 分两种情况讨论，当在之间时，当在之间时，利用平行线分线段成比例即可得解． 【小问1详解】 解：奋进组思路：如图，延长交于点， 则四边形是矩形， ， ∵在正方形和正方形中， ， 是等腰直角三角形， ∵， ；故奋进组思路正确； 创新组思路：如图， 由题可得， ， ∵在正方形和正方形中， ， 是等腰直角三角形， ∴ ， ，故创新组思路也正确； 【小问2详解】 解：判断：（1）中的结论成立；证明如下： 如图，连接，， 正方形和正方形， ，，， ，都是等腰直角三角形， ， ，即：， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ； 【小问3详解】 解：当点在之间时，如图，过作于点， 在正方形中， ， ∴ ∵， ∴ ， 在中，， 在正方形中，，， ， ， ， ， ，， ∵， ∴， ， ∵， ， ， ， ∴ ， ， ； 当点在之间时，如图， 过作， 同理可得， 在中，， 在正方形中，，， ， ， ， ， ，， ∵， ∴， ， ∵， ， ， ， ∴， ， ∴， ； 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学2026.1.26 1. 下列博物馆标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 4. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 阿拉伯数学著作《算术之钥》书中记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少人?设这群人共有x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=25°，则∠AOD等于（ ） A. 155° B. 140° C. 130° D. 110° 7. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，轴，轴，，分别以点、点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，若点在双曲线上，则的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 近视眼镜度数（度）与镜片焦距（米）之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距的取值范围是（ ） A. 0米米 B. 米 C. 0米米 D. 米 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（    ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，线段轴，，连接，以和延长线为边构造菱形，若将四边形绕点O逆时针每次旋转，则第2025次旋转后，点C此时的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 已知方程的一根为，则方程的另一根为_______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点A的对应点的坐标为_________． 13. 如图1，扇形中，，，点C为弧上一点，以为对角线构造正方形，点D，E分别在上．如图2，将正方形沿方向平移得到正方形，若点E的对应点Q恰好与点B重合时，则图中阴影部分面积为______． 14. 如图，在矩形中，，点P对角线上一个动点，连接，以为直角边在右侧作等腰直角三角形，连接． （1）当点E落在上时，的长为________． （2）的最小值是________． 15. 若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是180°，则称这两个顶点关于这条底边互为“唯美点”．在矩形中，为线段上一动点（不与端点重合），为平面内一点，点与点关于互为“唯美点”，直线交直线于点，在点运动过程中，当时，则的长为______． 16. 解决下列问题： （1）； （2）． 17. 为了解某校学生每月参加社团活动的时间（单位：h），随机调查了该校a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为_____，图①中m的值为_____，统计的这组学生每月参加社团活动的时间数据的众数为_____，中位数为_____； （2）求统计的这组学生每月参加社团活动的时间数据的平均数； （3）已知每月参加社团活动的时间是的被调查的学生中有2名男生和3名女生，若从中随机抽取2人，则抽到的2人都是男生的概率为_____． 18. 如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长交反比例函数的图象于点，以为对角线作正方形，以为直径画弧． （1）求反比例函数的表达式； （2）求长度； （3）请直接写出阴影部分的面积． 19. 如图，在中，，以为直径的⊙与交于点，连接． （1）求证：； （2）若⊙与相切，求的度数； （3）用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 20. 如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线． （1）如图1，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度； （2）如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，，） 21. 【定义】若二次函数的顶点在直线上，则此二次函数叫做直线的开心函数．例如：二次函数的顶点为在直线上，所以二次函数是直线的开心函数． （1）若二次函数是直线的开心函数，求的值； （2）若二次函数是直线的开心函数． ①求（用含的代数式表示）； ②若当时，的最小值为，则n的值为______． 22. 春耕期间，农户老张购买了一套农田喷灌系统为田地浇灌（如图1），喷水从距离地面位置喷出，经测量，当喷水距离喷杆的位置时，水流达到最高点，水流路径近似为抛物线，老张的儿子小明为研究喷水过程，以喷杆的位置为y轴，以喷杆与地面的交点为原点O，以与水流在同一平面内的水平地面为x轴建立了如图2的平面直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式； （2）当启动该装置时，小明恰好站在距离喷杆的田地中，若小明身高，试判断水流能否越过小明的头顶，并说明理由； （3）为保证喷灌效果，老张调整了喷头的设置，此时水流的路线满足表达式．当时，y的值总大于3，请直接写出m的取值范围． 23. 在综合与实践课上，老师以“正方形的旋转”为主题，开展数学活动，如图1， 已知正方形和正方形，当点在对角线上时，在老师提出：猜想线段与的数量关系时，大家一致认为，并且有两个小组给出如下的证明思路： 奋进组：要想证明，可以构造并证明等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的斜边与底角的三角函数，然后通过等量代换，便可证明； 创新组：要想证明，可利用平行线分线段成比例定理，对比例式进行变形，然后利用等腰直角三角形的斜边与底角的三角函数．便可证明； （1）请你根据“奋进组”和“创新组”提出的思路对下面问题做出选择（ ） A．“奋进组”的思路正确，“创新组”的思路不正确 B．“创新组”的思路正确，“奋进组”的思路不正确 C．“奋进组”和“创新组”的思路都正确 D．“奋进组”和“创新组”的思路都不正确 （2）将正方形EBGF绕着点B顺时针旋转；（），当正方形旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立，若成立请加以证明；若不成立，请写出正确的数量关系，并加以证明； （3）如图3，将正方形绕着点B顺时针旋转（）的过程中，当A，E，G三点共线时，直线BF与射线DC相交于点H，当，线段的长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $