小升初应用专练：比（奥数篇）-2025-2026学年数学六年级下册人教版

小升初应用专练：比（奥数篇）-2025-2026学年数学六年级下册人教版 1．五（2）班上学期男生占，这学期又转进3名女生，因此男、女生人数比变为3∶5。现在女生有几人？ 2．加工一批零件，师傅单独加工15天完成，徒弟每天能加工30个。现在先由师傅单独加工3天，然后两人共同加工，完成任务时，师徒加工零件个数的比是3∶2。这批零件一共有多少个？ 3．小明看一本童话书，第一天看了全书的，第二天看了45页，这时已看的和未看的页数比为，全书共多少页？ 4．甲、乙、丙三位同学共有图书108本，乙比甲多18本，乙与丙的图书数之比是5∶4，甲、乙各有多少本？ 5．甲、乙两款奶制品2022春节期间卖得很火，公司决定和某公司合作扩大业务，雀巢公司投资了6000万元人民币，另一家公司投资了4000万元人民币。如果第一个年，利润为550万元，以后每年比前一年多赚20万元。 （1）合伙人之间应该如何分配利润？ （2）合作后的第三年利润应该如何分配？第五年呢？ （3）照上面的利润计算，几年后两家公司就可以收回最初的投资？（利润总是按同样的比例分配） 6．向阳小学进行书法比赛，比赛的学生共有125人。低年级人数是中年级的，中年级与高年级人数比是2∶3，中年级参加书法比赛的有多少人？ 7．“双减”课后服务活动中，数学文化研究小组有42人，其中男、女生人数的比是6∶1。后来又加入一些女生，这时男、女生数的比为4∶3。这个小组增加了多少名女生？ 8．客、货两车分别从A、B两地同时出发相向而行，客、货两车的速度比是4∶3，相遇后，客车的速度减少20%，货车的速度增加，这样，当客车到达B地时，货车离A地还有25千米，A、B两地相距多少千米？ 9．六一班原来有48人，其中女生有18人，本期转入若干名女生后，现在女生人数与全班人数的比是2∶5，本期转入了多少名女生？ 10．一个直角三角形，三条边的比是3∶4∶5，已知两条直角边长度的和是2.8米，这个三角形的面积是多少平方米？ 11．甲、乙两人各带了一些钱去买书，甲买书用去24元，乙买书用去36元，这时两人剩下的总钱数与原来总钱数的比是4∶7，问：原来两人共带了多少元钱？ 12．一方有难，八方支援，近来西安疫情也是受到四面八方支援。秦晋之好。绵延千年，抗击疫情，让我们认识了真正的英雄。他们有“遥知百战胜，定扫鬼方还”的决绝，他们有“谓我不愧君，青鸟明丹心”的赤诚，他们有“驰驱一世豪杰，相与济时艰”的担当，山西省医护工作队720人，咸阳市医护工作队560人，星夜兼程，支援西安疫情防控。从山西省调出几人到咸阳市医护工作队，才能使两工作队人数的比达到2∶3？ 13．“人与自然和谐共生”是2021年世界环境日的活动主题，学校准备招募有书画才艺的同学参加实践活动。原计划招募32名有绘画才艺和24名有书法才艺的学生，现在打算将有绘画才艺和书法才艺的人数比调整为3∶1。 （1）请判断下面两位同学设计的方案是否可行。如果可行，请算出增加或减少的人数。 （2）请你再设计一种可行的方案，并算出结果。 14．汉服是传承四千多年的传统民族服装，以清淡平易为主，讲究天人合一。某服装厂生产一批汉服，生产20天，已完成的与未完成的套数比是1∶2。如果再生产600套，已完成的比未完成的少，这批汉服有多少套？ 15．研究表明：当人的下半身长与身高的比越接近黄金比（大约为3∶5）时，越给人一种美感。李老师未穿鞋时量得身高是160厘米，下半身长94厘米。为了尽可能达到好的美感比例，她穿的高跟鞋的最佳高度大约为多少厘米？ 16．某工厂有甲、乙两个车间，甲、乙两个车间职工人数的比是4∶3，把甲车间职工的调入乙车间，这时乙车间职工比甲车间多2人，原来甲、乙两车间各有职工多少人？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《小升初应用专练：比（奥数篇）-2025-2026学年数学六年级下册人教版》参考答案 1．30人 【分析】设上学期全班有x人，则上学期男生有x人；这学期又转进3名女生，则这学期全班有（x＋3）人，男、女生人数比变为3∶5，则男生占全班人数的，那么男生有（x＋3）×人。根据题意，这两个学期男生人数不变，据此可得：x＝（x＋3）×，根据等式的性质解出方程，即可求出上学期全班人数，再乘求出上学期的男生人数，然后用上学期的全班人数减去男生人数即可求出上学期的女生人数，最后加上3即可求出现在女生有几人。 【详解】解：设上学期全班有x人。 x＝（x＋3）× x＝（x＋3）× x＝x＋ x－x＝ x＝ x＝×40 x＝45 45－45×＋3 ＝45－18＋3 ＝27＋3 ＝30（人） 答：现在女生有30人。 【点睛】明确男生人数不变后，用含有x的式子分别表示两个学期的男生人数是解题的关键。 2．450个 【分析】将零件总个数看作单位“1”，时间分之一可以看作效率，根据完成任务时，师徒加工零件个数的比是3∶2，师傅完成总个数的，徒弟完成总个数的，根据工作总量÷工作效率＝工作时间，求出师傅加工总天数，师傅加工总天数－师傅单独加工的天数＝两人合作天数，即徒弟加工天数，徒弟每天加工个数×徒弟加工天数＝徒弟加工个数，徒弟加工个数÷对应分率＝零件总个数，据此列式解答。 【详解】（天） 9－3＝6（天） 30×6÷ ＝180÷ ＝180× ＝450（个） 答：这批零件一共有450个。 【点睛】关键是确定单位“1”，理解工作效率、工作时间、工作总量之间的关系，部分数量÷对应分率＝整体数量。 3．675页 【分析】将总页数看作单位“1”，根据已看的和未看的页数比为，可以确定已看页数是总页数的，第二天看了总页数的（－），第二天看的页数÷对应分率＝总页数，据此列式解答。 【详解】45÷（－） ＝45÷（－） ＝45÷ ＝45×15 ＝675（页） 答：全书共675页。 【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数除法和比的意义，根据比的意义，确定已看页数的对应分率。 4．甲27本；乙45本 【分析】因为乙比甲多18本，如果甲再增加18本，则甲乙的本数就是相等的，同时总本数变为108＋18＝126（本），再根据乙与丙的图书数之比是5∶4，可得甲∶乙∶丙＝5∶5∶4，所以总份数为：5＋5＋4＝14，把总本数126本看作单位“1”，甲占总数的，乙占总数的，丙占总数的，根据乘法的意义，用单位“1”乘乙所占的分率即可求出乙现在有多少本，最后用求出的乙的本数减去18本，可得甲的本数。 【详解】由分析可得： 假设甲增加18本：108＋18＝126（本） 所以甲∶乙∶丙＝5∶5∶4， 乙：126×＝126×＝45（本） 45－18＝27（本） 答：甲有27本，乙有45本。 【点睛】本题是比较复杂的按比例分配问题，关键是通过假设甲再增加18本，转化成中间量的份数，由此得到甲、乙、丙的本数连比。 5．（1）3∶2 （2）第三年：雀巢354万元，另一家公司236万元； 第五年：雀巢378万元，另一家公司252万元。 （3）15年 【分析】（1）应按投资比进行分配； （2）分别算出第三年和第五年的利润，然后按比分配即可； （3）算出两家公司投资之和，算出几年后利润之和与投资之和相等即可。 【详解】（1）6000∶4000＝3∶2 答：雀巢公司和另一家公司应该按3∶2分配利润。 （2）550＋2×20 ＝550＋40 ＝590（万元） 590× ＝590× ＝354（万元） 590× ＝590× ＝236（万元） 答：第三年雀巢公司分配354万元，另一家公司分配236万元。 550＋4×20 ＝550＋80 ＝630（万元） 630× ＝630× ＝378（万元） 630× ＝630× ＝252（万元） 答：第五年雀巢公司分配378万元，另一家公司分配252万元。 （3）6000＋4000＝10000（万元） 第一年的利润：550万元 第二年的利润：550＋20＝570万元 第三年的利润：570＋20＝590万元 第四年的利润：590＋20＝610万元 第五年的利润：610＋20＝630万元 第六年的利润：630＋20＝650万元 … 第十五年的利润：810＋20＝830万元 550＋570＋590＋610＋630＋650＋……＋830＝10350万元 答：15年后两家公司就可以收回最初的投资。 【点睛】掌握比的应用是解决此题的关键。 6．40人 【分析】根据题意，低年级人数是中年级的，即低年级与中年级人数比是5∶8； 已知中年级与高年级人数比是2∶3，根据比的基本性质把中年级与高年级人数比的前、后项都乘4，即可得出低、中、高年级人数的连比； 根据连比求出中年级人数占比赛总人数的分率，然后根据分数乘法的意义解答。 【详解】低、中年级人数的比是＝5∶8 中、高年级人数的比是2∶3＝（2×4）∶（3×4）＝8∶12 低、中、高年级人数的比是5∶8∶12。 125× ＝125× ＝40（人） 答：中年级参加书法比赛的有40人。 【点睛】关键是写出低、中、高三个年级人数的连比，再根据按比分配的解题方法，把比转化成分数，根据分数乘法的意义解答。 7．21人 【分析】根据题意可知，男生人数不变，有42×＝36（名），女生有42－36＝6（名），后来女生人数占男生人数的，根据分数乘法的意义，用36×即可求出变化后的女生人数，再减去原来的女生人数即可。 【详解】42×＝36（名） 42－36＝6（名） 36×－6 ＝27－6 ＝21（名） 答：这个小组增加了21名女生。 【点睛】解答本题的关键是明确男生人数不变，进而根据分数乘法的意义求出后来女生人数。 8．700千米 【分析】客、货两车的速度比是4∶3，可将客、货车速度分别看作4、3，则相遇后客车速度为4－4×20%，火车速度为3＋3×，根据比的基本性质：比的前项、后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变，得出相遇后客、货车的速度比。根据按比分配的原则，当客车到达B地时，货车离A地还有25千米，则此时客车行驶路程－货车行驶路程＝25千米，运用路程差÷速度差＝路程总长，据此可得出答案。 【详解】根据题意，相遇后客车和货车的速度比是： （4－4×20%）：（3＋3×） ＝3.2∶4 ＝4∶5 25÷（） ＝25÷（） ＝25÷（） ＝25÷ ＝25×28 ＝700（千米） 答：A、B两地相距700千米。 【点睛】本题主要考查的是相遇问题及比的应用，解题的关键是得出相遇后的速度比，运用相遇问题相关知识点得出答案。 9．2名 【分析】根据题意可知，男生的人数不变，先用原来全班人数减去原来女生人数，求出男生人数； 已知转入若干名女生后，现在女生人数与全班人数的比是2∶5，即现在女生人数占现在全班人数的，把现在全班人数看作单位“1”，那么男生人数占现在全班人数的（1－）； 根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用男生人数除以（1－），即可求出现在全班人数，再减去原来全班人数，即是转入的女生人数。 【详解】男生：48－18＝30（人） 男生人数占现在全班人数的：1－＝ 现在全班人数： 30÷ ＝30× ＝50（人） 转入女生：50－48＝2（名） 答：本期转入了2名女生。 【点睛】本题考查分数除法的应用，找出单位“1”，抓住男生人数不变，把比转化成分数，求出男生人数以及男生人数占现在全班人数的几分之几，然后根据分数除法的意义解答。 10．0.96平方米 【分析】根据“直角三角形的斜边最长”可知，这个直角三角形的两条直角边的比是3∶4，把这两条直角边分别看作3份、4份，一共是（3＋4）份；用两条直角边长度的和除以（3＋4）份，求出一份数，再用一份数分别乘3、乘4，求出两条直角边的长度，也就是这个直角三角形的底和高；再根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算，求出这个三角形的面积。 【详解】2.8÷（3＋4） ＝2.8÷7 ＝0.4（米） 0.4×3＝1.2（米） 0.4×4＝1.6（米） 1.2×1.6÷2 ＝1.92÷2 ＝0.96（平方米） 答：这个三角形的面积是0.96平方米。 【点睛】先根据直角三角形的特征，确定直角三角形的两条直角边的比，然后根据按比分配问题的解题方法，把比看作份数，求出一份数，进而求出这个三角形的底和高，最后根据三角形的面积公式解答。 11．140元 【分析】根据题意，甲、乙买书一共用去了（24＋36）元，已知剩下的总钱数与原来总钱数的比是4∶7，即剩下的总钱数占原来总钱数的；把甲、乙两人原来的总钱数看作单位“1”，那么用去的钱数占原来总钱数的（1－），单位“1”未知，用除法计算，即可求出两人原来的总钱数。 【详解】（24＋36）÷（1－） ＝60÷ ＝60× ＝140（元） 答：原来两人共带了140元。 【点睛】关键是把比转化成分数，找出单位“1”，单位“1”未知，分析出两人用去的钱数占原来总钱数的几分之几，然后根据分数除法的意义解答。 12．208人 【分析】根据题意，设从山西省调出人到咸阳市医护工作队，使两工作队人数的比达到2∶3，即咸阳市医护工作队的人数是山西省的，由此得出等量关系：原来咸阳市医护工作队的人数＋调进的人数＝（原来山西省医护工作队的人数－调出的人数）×，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设从山西省调出人到咸阳市医护工作队，才能使两工作队人数的比达到2∶3。 560＋＝（720－）× 560＋＝1080－1.5 ＋1.5＝1080－560 2.5＝520 ＝520÷2.5 ＝208 答：从山西省调出208人到咸阳市医护工作队，才能使两工作队人数的比达到2∶3。 【点睛】本题考查列方程解决问题，将比转化成分数，从题目中找到等量关系，按等量关系列出方程。 13．（1）奇思的方案不可行，妙想的方案可行；绘画才艺增加40人 （2）总人数不变，招募有绘画才艺的人数增加10人，招募有绘画才艺的人数减少10人。 【分析】（1）招募有绘画才艺的人32名不变，有绘画才艺和书法才艺的人数比调整为3∶1，如果算出有书法才艺的人数为整数，则奇思的方案可行，如果算出有书法才艺的人数不为整数，则奇思的方案不可行；招募有书法才艺的人数24名不变，有绘画才艺和书法才艺的人数比调整为3∶1，如果算出有绘画才艺的人数为整数，则妙想的方案可行，如果算出有绘画才艺的人数不为整数，则妙想的方案不可行。 （2）设计一种可行方案并计算出结果，答案不唯一。 【详解】（1）32的结果不是整数，所以奇思的方案不可行。 24×3＝72（人） 72－32＝40（人） 答：奇思的方案不可行，妙想的方案可行，按妙想的方案，招募有绘画才艺的数应增加40人。 （2）总人数不变，增加招募有绘画才艺的人数，减少招募有书法才艺的人数。 32＋24＝56（人） 56×－32 ＝56×－32 ＝42－32 ＝10（人） 答：总人数不变，招募有绘画才艺的人数增加10人，招募有绘画才艺的人数减少10人。（答案不唯一） 【点睛】此题主要考查解决比的应用能力，解答时注意人数必须为整数。 14．9000套 【分析】设这批汉服一共有x套，已完成的与未完成的套数比是1∶2，则已完成占总套数的，未完成的占总套数的，所以已完成的套数是x×套，未完成的套数是x×套；如果再生产600套，已完成的套数加600套，未完成的套数减去600套，再根据等量关系：已完成的套数＝未完成的套数×（1－），列方程解答即可。 【详解】解：设这批汉服有x套， x×＋600＝（x×－600）×（1－） x＋600＝（x－600）× x＋600＝x×－600× x＋600＝x－400 600＋400＝x－x 1000＝x－x x＝1000 x＝1000÷ x＝1000×9 x＝9000 答：这批汉服有9000套。 【点睛】此题的解题关键是根据比的应用，把这批汉服的总套数设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。 15．5厘米 【分析】根据题意，人的下半身长与身高的黄金比大约为3∶5，即人的下半身长是身高的；得出等量关系：李老师的下半身长＋高跟鞋的高度＝（李老师的身高＋高跟鞋的高度）×，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设她穿的高跟鞋的最佳高度大约为厘米。 94＋＝（160＋）× 94＋＝96＋ 94＋－＝96＋－ 94＋＝96 94＋－94＝96－94 ＝2 ÷＝2÷ ＝2× ＝5 答：她穿的高跟鞋的最佳高度大约为5厘米。 【点睛】把比转化成分数，然后从题目中找到等量关系，按等量关系列出方程是解题的关键。 16．甲：24人；乙：18人 【分析】结合题意，可把甲乙两个车间的职工总人数看作单位“1”，则甲车间职工人数占总人数的，乙车间职工人数占总人数的；因为把甲车间职工的调入乙车间，甲车间职工人数的就是：×＝； 此时，甲车间职工人数占总人数的（－），乙车间职工人数占总人数的（＋）；又已知乙车间职工比甲车间多2人，则2人对应的分率应是乙车间职工人数占比与甲车间职工人数占比之差，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，可列式为：2÷[（＋）－（－）]，求得的结果是甲乙两个车间职工总人数，再分别乘原来甲乙车间职工人数占总人数的分率，可得到原来甲、乙两车间各有职工多少人。 【详解】4÷（4＋3） ＝4÷7 ＝ 3÷（4＋3） ＝3÷7 ＝ ×＝ 2÷[（＋）－（－）] ＝2÷[－] ＝2÷ ＝42（人） 42×＝24（人） 42×＝18（人） 答：原来甲车间有职工24人，乙车间有职工18人。 【点睛】综合考查了有关比的应用、分数除法的应用，其中，分数除法列式前，要先考虑单位“1”，以及把具体数量与分率相对应。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $