数学二模模拟卷（辽宁专用）学易金卷：2026年中考第二次模拟考试

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 学易金卷：2026年中考第二次模拟考试 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．深圳南山博物馆典藏一批琉璃和陶瓷珍品，下面四个珍品中，从正面、左面看到的形状图不一样的是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．书法是我国传统文化的重要组成部分，下列用小篆书写的“志存高远”四个字，其中可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．不透明的口袋中装有2个黄球、1个红球和个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同．课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在，则的值最可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．“乡村振兴”是党的十九大作出的重大决策部署．为了推动农业耕种现代化，甲市有某型号智能农业耕种机器12台，现决定支援给A村和B村．已知从甲市调运一台机器到A村、B村的运费分别为400元和600元．设甲市运往A村的机器为x台，则总运费y关于x的关系式为（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知与位似，点为位似中心，，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． （第6题） （第8题） 7．在平面直角坐标系中，将点向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点A重合，则点A的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．如图，四边形内接于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意是：今有若干人乘车，每3人共乘一辆车，最终剩余2辆空车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9个人无车可乘．问有多少人，多少辆车?下面是甲、乙两位同学列出的方程： 甲：设共有人，根据题意得：； 乙：设共有辆车，根据题意得：． 其中正确的是（   ） A．甲错乙对 B．甲对乙错 C．甲乙都对 D．甲乙都错 10．如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论中不正确的是（   ） A． B．垂直平分线段 C． D． 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．粮食安全是“国之大者”， 2025年我国粮食总产量再创新高，达706520000吨，将数字706520000用科学记数法表示为_____． 12．分解因式： _________． 13．如图，和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把以A为中心顺时针旋转，点M为射线的交点．若，．在旋转过程中，当线段最短时，的面积为______． 14．深圳某校数学创新小组使用圭表测量正午太阳高度角，圭表由铅垂的表（高2.0米）和水平的圭组成．冬至日正午，测得太阳光线与圭的夹角，则冬至日正午表落在圭面的影长为____________米．（精确到0.1米，参考数据：） 15．如图，矩形中，，过对角线交点O作交于点E，则的长是______． 三、解答题：本题共8小题，共75分。其中：16题10分，17-21题每题8分，22题12分，23题13分。 16．计算： (1)； (2)． 17．如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的、两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，，点B的纵坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式： (2)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围； (3)连接、．若点P为图中双曲线上的一点，且，请直接写出点P的坐标． 18．由粤港澳大湾区承办的第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州盛大开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”备受大众喜爱，现有两种包含吉祥物的礼盒供顾客选购： (1)已知礼盒的单价比礼盒的单价贵30元，若用880元购买礼盒的数量恰好是用290元购买礼盒数量的2倍．设礼盒的单价为元，则礼盒的单价为______元（直接用含的代数式表示），根据题意可列方程______； (2)某玩具厂承担6000个“喜洋洋”和4000个“乐融融”的生产任务，受产能限制，每天只能安排生产其中一种吉祥物．已知每天生产“喜洋洋”的数量是生产“乐融融”数量的倍，该工厂完成这批订单总共用了10天．求该工厂每天分别生产“喜洋洋”和“乐融融”多少个？ 19．某校学生会准备在校艺术活动月中组织“唱歌”“舞蹈”“演讲”“书法”四项活动．策划阶段，学生会随机调研了若干名学生的参与意向，被调研学生每人都选出了自己“最想参加的一项活动”，学生会统计并绘制了如图统计图（均不完整）． 请根据统计图，回答下列问题： (1)这次抽样调查的总人数为 人． (2)在扇形统计图中，“书法”所在扇形的圆心角度数为 ． (3)活动结束后，学生会从参加“演讲”的学生中初选出4名同学（两男两女），并准备从中随机选取2名同学主持“艺术活动月汇报展演”活动，请用列表或画树状图的方法求主持人恰为一男一女的概率． 20．某企业投入万元（只计入第一年成本）生产某种电子产品，按订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品每年的销售量（万件）与售价（元/件）之间满足函数关系式，第一年除万元外其他成本为元件． (1)求该产品第一年的利润（万元）与售价之间的函数关系式； (2)该产品第一年利润为万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降元件． 求该产品第一年的售价； 若第二年售价不高于第一年，销售量不超过万件，则第二年利润最少是多少万元？ 21．如图，在中，直径，，是的切线，点为切点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，线段交于点，连结，若，求的长； (3)如图3，线段交于点，连结，若，求的长． 22．在四边形中，，，分别为边，上的两点，连接，相交于点，且满足． (1)如图1，如果四边形为矩形时，求证：． (2)如图2，如果四边形为平行四边形时，试问（）的结论是否依然成立？并说明理由． (3)如图3，在四边形中，，，，点M、N分别在边、上，且，求的值 ． 23．定义：点是平面直角坐标系内一点，将函数的图像位于直线左侧部分，以直线为对称轴翻折，得到新的函数的图像，我们称函数是函数的相关函数，函数的图像记作，函数的图像未翻折的部分记作，图像和合起来记作图像． 例如：函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为． (1)如图，函数的解析式为，当时，求它的相关函数的解析式． (2)函数的解析式为，当时，图像上某点的纵坐标为，求该点的横坐标． (3)已知函数的解析式为，点、的坐标分别为、，图像与线段只有一个公共点时，结合函数图像，直接写出的取值范围. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 学易金卷：2026年中考第二次模拟考试 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．深圳南山博物馆典藏一批琉璃和陶瓷珍品，下面四个珍品中，从正面、左面看到的形状图不一样的是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．书法是我国传统文化的重要组成部分，下列用小篆书写的“志存高远”四个字，其中可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．不透明的口袋中装有2个黄球、1个红球和个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同．课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在，则的值最可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．“乡村振兴”是党的十九大作出的重大决策部署．为了推动农业耕种现代化，甲市有某型号智能农业耕种机器12台，现决定支援给A村和B村．已知从甲市调运一台机器到A村、B村的运费分别为400元和600元．设甲市运往A村的机器为x台，则总运费y关于x的关系式为（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知与位似，点为位似中心，，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，将点向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点A重合，则点A的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．如图，四边形内接于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意是：今有若干人乘车，每3人共乘一辆车，最终剩余2辆空车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9个人无车可乘．问有多少人，多少辆车?下面是甲、乙两位同学列出的方程： 甲：设共有人，根据题意得：； 乙：设共有辆车，根据题意得：． 其中正确的是（   ） A．甲错乙对 B．甲对乙错 C．甲乙都对 D．甲乙都错 10．如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论中不正确的是（   ） A． B．垂直平分线段 C． D． 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．粮食安全是“国之大者”， 2025年我国粮食总产量再创新高，达706520000吨，将数字706520000用科学记数法表示为_____． 12．分解因式： _________． 13．如图，和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把以A为中心顺时针旋转，点M为射线的交点．若，．在旋转过程中，当线段最短时，的面积为______． 14．深圳某校数学创新小组使用圭表测量正午太阳高度角，圭表由铅垂的表（高2.0米）和水平的圭组成．冬至日正午，测得太阳光线与圭的夹角，则冬至日正午表落在圭面的影长为____________米．（精确到0.1米，参考数据：） 15．如图，矩形中，，过对角线交点O作交于点E，则的长是______． 三、解答题：本题共8小题，共75分。其中：16题10分，17-21题每题8分，22题12分，23题13分。 16．计算： (1)； (2)． 17．如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的、两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，，点B的纵坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式： (2)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围； (3)连接、．若点P为图中双曲线上的一点，且，请直接写出点P的坐标． 18．由粤港澳大湾区承办的第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州盛大开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”备受大众喜爱，现有两种包含吉祥物的礼盒供顾客选购： (1)已知礼盒的单价比礼盒的单价贵30元，若用880元购买礼盒的数量恰好是用290元购买礼盒数量的2倍．设礼盒的单价为元，则礼盒的单价为______元（直接用含的代数式表示），根据题意可列方程______； (2)某玩具厂承担6000个“喜洋洋”和4000个“乐融融”的生产任务，受产能限制，每天只能安排生产其中一种吉祥物．已知每天生产“喜洋洋”的数量是生产“乐融融”数量的倍，该工厂完成这批订单总共用了10天．求该工厂每天分别生产“喜洋洋”和“乐融融”多少个？ 19．某校学生会准备在校艺术活动月中组织“唱歌”“舞蹈”“演讲”“书法”四项活动．策划阶段，学生会随机调研了若干名学生的参与意向，被调研学生每人都选出了自己“最想参加的一项活动”，学生会统计并绘制了如图统计图（均不完整）． 请根据统计图，回答下列问题： (1)这次抽样调查的总人数为 人． (2)在扇形统计图中，“书法”所在扇形的圆心角度数为 ． (3)活动结束后，学生会从参加“演讲”的学生中初选出4名同学（两男两女），并准备从中随机选取2名同学主持“艺术活动月汇报展演”活动，请用列表或画树状图的方法求主持人恰为一男一女的概率． 20．某企业投入万元（只计入第一年成本）生产某种电子产品，按订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品每年的销售量（万件）与售价（元/件）之间满足函数关系式，第一年除万元外其他成本为元件． (1)求该产品第一年的利润（万元）与售价之间的函数关系式； (2)该产品第一年利润为万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降元件． 求该产品第一年的售价； 若第二年售价不高于第一年，销售量不超过万件，则第二年利润最少是多少万元？ 21．如图，在中，直径，，是的切线，点为切点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，线段交于点，连结，若，求的长； (3)如图3，线段交于点，连结，若，求的长． 22．在四边形中，，，分别为边，上的两点，连接，相交于点，且满足． (1)如图1，如果四边形为矩形时，求证：． (2)如图2，如果四边形为平行四边形时，试问（）的结论是否依然成立？并说明理由． (3)如图3，在四边形中，，，，点M、N分别在边、上，且，求的值 ． 23．定义：点是平面直角坐标系内一点，将函数的图像位于直线左侧部分，以直线为对称轴翻折，得到新的函数的图像，我们称函数是函数的相关函数，函数的图像记作，函数的图像未翻折的部分记作，图像和合起来记作图像．    例如：函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为． (1)如图，函数的解析式为，当时，求它的相关函数的解析式． (2)函数的解析式为，当时，图像上某点的纵坐标为，求该点的横坐标． (3)已知函数的解析式为，点、的坐标分别为、，图像与线段只有一个公共点时，结合函数图像，直接写出的取值范围． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D1 9.[A1[B][CI1[D1 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[CI[D1 4.A][B1[CI[D] 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共15分） 12. 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.(10分) 17.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(8分) 个人数1人 60 15% 50 48 演讲 40 舞蹈 30 24 书法 20 18 10 唱歌 0 唱歌 舞蹈演讲书法项自 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 21.(8分) 4 A D D D CB CB 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) A D D N C M 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(13分) ---- P --------2 F F 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2026年中考第二次模拟考试 三 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 12 13 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(10分) 17.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(8分)》 不人数/人 60 15% 50 48 40 演讲 舞蹈 30 24 书法 2 18 10 唱歌 0 唱歌舞蹈演讲书法项目 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 21.(8分) A D D 0 E CB 0 0 0 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) A B B D M D M 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(13分) P F F 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学易金卷：2026年中考第二次模拟考试 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．深圳南山博物馆典藏一批琉璃和陶瓷珍品，下面四个珍品中，从正面、左面看到的形状图不一样的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是数形结合．根据几何体的三视图逐一判断即可． 【详解】解：A、从正面、左面看到的都是一样的，故该选项不符合题意； B、从正面、左面看到的都是一样的，故该选项不符合题意； C、从正面、左面看到的形状图不一样，故该选项符合题意； D、从正面、左面看到的都是一样的，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方、负整数指数幂，以及合并同类项，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 3．书法是我国传统文化的重要组成部分，下列用小篆书写的“志存高远”四个字，其中可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据各个图形的特征逐项判断即可． 【详解】解：用小篆书写的“志存高远”四个字， 其中可以看作是轴对称图形的是， 故选：C． 4．不透明的口袋中装有2个黄球、1个红球和个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同．课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在，则的值最可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查利用频率估计概率．根据大量重复试验中频率稳定在概率附近，利用概率公式列方程求解的值． 【详解】解：∵大量重复试验后，摸到蓝球的频率稳定在， ∴摸到蓝球的概率约为， ∵口袋中共有个球，蓝球有个， ∴， 解得：， ∴的值最可能是3， 故选：A． 5．“乡村振兴”是党的十九大作出的重大决策部署．为了推动农业耕种现代化，甲市有某型号智能农业耕种机器12台，现决定支援给A村和B村．已知从甲市调运一台机器到A村、B村的运费分别为400元和600元．设甲市运往A村的机器为x台，则总运费y关于x的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是列函数关系式，根据题意，总运费由运往A村和B村的费用组成。设运往A村的机器为x台，则运往B村的机器为台；分别计算两部分的运费并求和，化简后即可得到总运费y关于x的关系式. 【详解】解：运往A村的机器为x台，运费为400元/台，故A村运费为元， 运往B村的机器为台，运费为600元/台，故B村运费为元， ∴总运费y为两部分之和，即：； 故选：D. 6．如图，已知与位似，点为位似中心，，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似的性质，根据位似图形的性质判断解答即可，掌握位似的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵与位似，点为位似中心， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵与位似，点为位似中心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵与位似，点为位似中心， ∴， ∴，原选项错误，符合题意； 、∵， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 故选：． 7．在平面直角坐标系中，将点向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点A重合，则点A的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形的平移变换，要牢记左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加． 让B的横坐标加5，纵坐标减3即可得到所求点A的坐标． 【详解】解：∵将点向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点重合， ∴所求点A的横坐标为：，纵坐标为， ∴所求点的坐标为． 故选A． 8．如图，四边形内接于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据圆周角定理求出，再利用圆内接四边形的性质解答即可． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ， ， 故选A． 9．《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意是：今有若干人乘车，每3人共乘一辆车，最终剩余2辆空车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9个人无车可乘．问有多少人，多少辆车?下面是甲、乙两位同学列出的方程： 甲：设共有人，根据题意得：； 乙：设共有辆车，根据题意得：． 其中正确的是（   ） A．甲错乙对 B．甲对乙错 C．甲乙都对 D．甲乙都错 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，需根据不同设未知数的方式，结合人数或车数相等的关系判断方程是否正确即可． 【详解】解：分析甲的方程：设共有人， ∵每3人共乘一辆车，剩余2辆空车，∴总车数为； ∵每2人共乘一辆车，9人步行，∴总车数为； 根据总车数相等，正确方程应为，而甲列出的是，故甲的方程错误． 分析乙的方程：设共有辆车， ∵每3人共乘一辆车，剩余2辆空车，∴总人数为， ∵每2人共乘一辆车，9人步行，∴总人数为， 根据总人数相等，列出方程，与乙的方程一致，故乙的方程正确． 综上，甲错乙对． 故选：A． 10．如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论中不正确的是（   ） A． B．垂直平分线段 C． D． 【答案】C 【分析】由题中作图方法易证为线段的垂直平分线，点E在上，所以，再根据，，得到是等边三角形，由作图可知平分，则，，且角所对的直角边等于斜边的一半，故，所以垂直平分，证明可得，即可得到结论． 【详解】由题意可得：，点P在线段的垂直平分线上， ， 点A在线段的垂直平分线上， 为线段BD的垂直平分线， 点E在上， ， 故A正确； ，， 且， 为等边三角形且， ， 由作图可知平分， ， ， 垂直平分， 故B正确； ，， ∴， 故C错误； ∵， ∴ ， ， ，故D正确 故选：C． 【点睛】本题考查角的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，掌握这些基础知识为解题关键． 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．粮食安全是“国之大者”， 2025年我国粮食总产量再创新高，达706520000吨，将数字706520000用科学记数法表示为_____． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法表示形式为（其中，为整数），对于数字706520000，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将706520000的小数点向左移动8位，得到，且， 因此表示为． 故答案为：． 12．分解因式： _________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 先提公因式，再用公式法分解即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 13．如图，和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把以A为中心顺时针旋转，点M为射线的交点．若，．在旋转过程中，当线段最短时，的面积为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识．证明，则，推出，由题意知，在以为圆心，1为半径的圆上运动，如图，当在下方且与相切时，线段最短，证明四边形是正方形，则，由勾股定理得，，则，根据，计算即可求解． 【详解】解：∵和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 由题意知，在以为圆心，1为半径的圆上运动，如图， ∵， ∴当在下方且与相切时，线段最短， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．深圳某校数学创新小组使用圭表测量正午太阳高度角，圭表由铅垂的表（高2.0米）和水平的圭组成．冬至日正午，测得太阳光线与圭的夹角，则冬至日正午表落在圭面的影长为____________米．（精确到0.1米，参考数据：） 【答案】2.1 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，根据的正切值求解即可． 【详解】∵，， ∴（米）． ∴冬至日正午表落在圭面的影长为2.1米． 故答案为：2.1． 15．如图，矩形中，，过对角线交点O作交于点E，则的长是______． 【答案】3.125 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，已知、的值，根据勾股定理即可求得的长度，根据对角线互相平分求得的值，再证明求得，已知，，的值即可求得的长． 【详解】解：∵矩形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：3.125． 三、解答题：本题共8小题，共75分。其中：16题10分，17-21题每题8分，22题12分，23题13分。 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算，分式的混合运算法则，掌握零次幂，特殊角的三角函数的计算，分式的性质是关键． （1）先算绝对值，零次幂，特殊角的三角函数值，再根据实数的混合运算法则计算即可； （2）根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的、两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，，点B的纵坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式： (2)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围； (3)连接、．若点P为图中双曲线上的一点，且，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】（1）由，先求出点坐标，然后将点坐标代入，即可求出的值，进而可得反比例函数解析式；由点在反比例函数图象上，且点B的纵坐标为可求出点坐标，将、两点坐标代入，可得二元一次方程组，解方程组即可求出、的值，进而可得一次函数解析式； （2）由（1）得，，根据函数图象及交点坐标，直接写出不等式的解集即可； （3）根据两个三角形面积相等，可推出点一定在正比例函数或直线的图象上，联立方程组求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：设， ，， ，， ， 点在反比例函数图象上， ， ， 反比例函数解析式为， 点在反比例函数图象上，且点B的纵坐标为， ， ， ， 、两点在一次函数的图象上， 将，代入，得： ， 解得：， 一次函数解析式为； （2）解：由（1）得：，， 根据函数图象及交点坐标可知： 不等式时x的取值范围为：或； （3）解：， 根据同底等高可知，点一定在正比例函数的图象上， ， 解得：， 点的坐标为：或； 当点在直线右侧时，根据一次函数图象的平移规律可知，点在直线的图象上， ， 解得：或， 点的坐标为：或； 综上，点的坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合（一次函数与反比例函数的交点问题），求一次函数解析式，求反比例函数解析式，根据交点确定不等式的解集，一次函数图象平移问题，三角形的面积公式，从函数的图象获取信息，解二元一次方程组等知识点，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是解题的关键． 18．由粤港澳大湾区承办的第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州盛大开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”备受大众喜爱，现有两种包含吉祥物的礼盒供顾客选购： (1)已知礼盒的单价比礼盒的单价贵30元，若用880元购买礼盒的数量恰好是用290元购买礼盒数量的2倍．设礼盒的单价为元，则礼盒的单价为______元（直接用含的代数式表示），根据题意可列方程______； (2)某玩具厂承担6000个“喜洋洋”和4000个“乐融融”的生产任务，受产能限制，每天只能安排生产其中一种吉祥物．已知每天生产“喜洋洋”的数量是生产“乐融融”数量的倍，该工厂完成这批订单总共用了10天．求该工厂每天分别生产“喜洋洋”和“乐融融”多少个？ 【答案】(1)； (2)该工厂每天生产“喜洋洋”1200个，“乐融融”800个 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，正确列出方程为解题关键． （1）根据题意设礼盒的单价为元，则礼盒的单价为元，根据用880元购买礼盒的数量恰好是用290元购买礼盒数量的2倍即可列出方程； （2）设该工厂每天生产“乐融融”y个，则生产“喜洋洋”个，该工厂完成这批订单总共用了10天列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设礼盒的单价为元，则礼盒的单价为元， 根据题意得：， 故答案为：；； （2）设该工厂每天生产“乐融融”y个，则生产“喜洋洋”个， 根据题意得：， 解得：， 经验证是原方程的解，符合题意， ， 答：该工厂每天生产“喜洋洋”1200个，“乐融融”800个． 19．某校学生会准备在校艺术活动月中组织“唱歌”“舞蹈”“演讲”“书法”四项活动．策划阶段，学生会随机调研了若干名学生的参与意向，被调研学生每人都选出了自己“最想参加的一项活动”，学生会统计并绘制了如图统计图（均不完整）． 请根据统计图，回答下列问题： (1)这次抽样调查的总人数为 人． (2)在扇形统计图中，“书法”所在扇形的圆心角度数为 ． (3)活动结束后，学生会从参加“演讲”的学生中初选出4名同学（两男两女），并准备从中随机选取2名同学主持“艺术活动月汇报展演”活动，请用列表或画树状图的方法求主持人恰为一男一女的概率． 【答案】(1)120 (2) (3) 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，利用树状图或列表法求概率，根据题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键． （1）利用演讲的人数和所占的百分比求解即可； （2）用360乘以参加“书法”的人数所占的百分比，即可求解； （3）根据题意，列出表格，再根据概率公式计算，即可求解． 【详解】（1）解：（人）． ∴这次抽样调查的总人数为120人． 故答案为：120； （2）解：， ∴“书法”所在扇形的圆心角度数为． 故答案为：； （3）解：列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 （男2，男1） （女1，男1） （女2，男1） 男2 （男1，男2） （女1，男2） （女2，男2） 女1 （男1，女1） （男2，女1） （女2，女1） 女2 （男1，女2） （男2，女2） （女1，女2） 由列表可得共有12种等可能结果，其中恰好选取一男一女的结果有8种． ∴选取的两人恰为一男一女的概率． 20．某企业投入万元（只计入第一年成本）生产某种电子产品，按订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品每年的销售量（万件）与售价（元/件）之间满足函数关系式，第一年除万元外其他成本为元件． (1)求该产品第一年的利润（万元）与售价之间的函数关系式； (2)该产品第一年利润为万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降元件． 求该产品第一年的售价； 若第二年售价不高于第一年，销售量不超过万件，则第二年利润最少是多少万元？ 【答案】(1)； (2)元件；万元． 【分析】（）根据总利润每件利润销售量投资成本，列出式子即可求解； （）构建方程即可求出该产品第一年的售价；根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或函数解决问题． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即； （2）解：∵该产品第一年利润为万元， ∴， 解得， 答：该产品第一年的售价是元件； ∵第二年产品售价不超过第一年的售价，销售量不超过万件， ∴， 解得， 设第二年利润是万元， 则， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， 又∵， ∴时，有最小值，最小值为(万元)， 答：第二年的利润至少为万元． 21．如图，在中，直径，，是的切线，点为切点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，线段交于点，连结，若，求的长； (3)如图3，线段交于点，连结，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3) 【分析】（1）由是的直径，且，可知是的切线．根据切线长定理可得． （2）连结， 根据可得，则，又由及可得，进而可得，根据三角函数可求出，进而可得． （3）连结，，，，易得，则可得．由同角的余角相等可得，又由圆周角定理及可得，进而可得．易得，则可求得，再根据勾股定理求出的长为，再根据，求出的长，进而可得的长． 【详解】（1）证明：∵是的直径，， ∴是的切线． 又∵是的切线， ∴． （2）解：如图，连结， ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，连结，，，， ∵，且， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质以及三角函数．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 22．在四边形中，，，分别为边，上的两点，连接，相交于点，且满足． (1)如图1，如果四边形为矩形时，求证：． (2)如图2，如果四边形为平行四边形时，试问（）的结论是否依然成立？并说明理由． (3)如图3，在四边形中，，，，点M、N分别在边、上，且，求的值 ． 【答案】(1)见解析 (2)结论仍然成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）由四边形为矩形，，可得，，结合，即可求解， （2）由已知可得，进而得到，由，可得，通过等量代换，即可求解， （3）过点 C 作 于 点H，通过证明，然后根据相似三角形的性质进行推理计算． 【详解】（1）解：四边形为矩形，， ， ， ， ， ， ， ， ， （2）解：仍然成立，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， （3）解：过点 C 作 于 点H ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ， ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了，矩形的性质、平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练应用相似三角形的性质进行求解． 23．定义：点是平面直角坐标系内一点，将函数的图像位于直线左侧部分，以直线为对称轴翻折，得到新的函数的图像，我们称函数是函数的相关函数，函数的图像记作，函数的图像未翻折的部分记作，图像和合起来记作图像．    例如：函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为． (1)如图，函数的解析式为，当时，求它的相关函数的解析式． (2)函数的解析式为，当时，图像上某点的纵坐标为，求该点的横坐标． (3)已知函数的解析式为，点、的坐标分别为、，图像与线段只有一个公共点时，结合函数图像，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)，或 【分析】（1）运用“相关函数”的定义结合待定系数法解答即可； （2）先写出图像的解析式，再分别将代入，解得值，即可得出该点的横坐标； （3）先根据“相关函数”的定义得出图像的解析式，再运用二次函数图像和性质分类讨论：当经过点时，当经过点时，当经过点时，当经过点时，综合得出结论即可． 【详解】（1）解：根据题意，将函数的解析式为的图像沿直线翻折， 设所得函数的解析式为， 在的图像上取两点，， 可得到这两点关于直线的对称点和， 把和分别代入， 可得，解得， ∴函数的解析式为； （2）根据题意，可得图像的解析式为， 当时，可有，， 解得，， ∴该点的横坐标为或； （3）根据题意，得图像的解析式为， 当经过点或当时，， 解得； 当经过点或当时，， 解得：或5； 当经过点时，， 解得：； 当经过点时，， 解得：； 如下图，    随着的增大，图像的左端点先落在上（两个交点），的端点落在上（一个交点），图像经过点（两个交点），图像的左端点再次落在上（一个交点），图像的端点落在上（无交点），图像经过点（一个交点）， ∴的取值范围为，或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了新定义在函数中的应用、抛物线的图像与线段的交点个数问题、二次函数的图像与性质、求一次函数解析式、反比例函数的图像与性质等知识，解题的关键是读懂定义并熟练掌握二次函数的图像与性质，并运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学易金卷：2026年中考第二次模拟考试 参考答案 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C A D C A A A C 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11． 12． 13．/ 14．2.1 15．3.125 三、解答题：本题共8小题，共75分。其中：16题10分，17-21题每题8分，22题12分，23题13分。 16．(1) (2) 【详解】（1）解： …………………………3 ；……………………5 （2）解： …………………………8 ．…………………………10 17．(1)， (2)或 (3)或或或 【详解】（1）解：设， ，， ，， ， 点在反比例函数图象上， ， ， 反比例函数解析式为，………………2 点在反比例函数图象上，且点B的纵坐标为， ， ， ， 、两点在一次函数的图象上， 将，代入，得： ， 解得：， 一次函数解析式为；…………………………4 （2）解：由（1）得：，， 根据函数图象及交点坐标可知： 不等式时x的取值范围为：或；……………………6 （3）解：， 根据同底等高可知，点一定在正比例函数的图象上， ， 解得：， 点的坐标为：或； 当点在直线右侧时，根据一次函数图象的平移规律可知，点在直线的图象上， ， 解得：或， 点的坐标为：或； 综上，点的坐标为：或或或．………………8 18．(1)； (2)该工厂每天生产“喜洋洋”1200个，“乐融融”800个 【详解】（1）解：设礼盒的单价为元，则礼盒的单价为元， 根据题意得：， 故答案为：；；…………………………4 （2）设该工厂每天生产“乐融融”y个，则生产“喜洋洋”个， 根据题意得：，……………………6 解得：， 经验证是原方程的解，符合题意， ， 答：该工厂每天生产“喜洋洋”1200个，“乐融融”800个．……………………8 19．(1)120 (2) (3) 【详解】（1）解：（人）． ∴这次抽样调查的总人数为120人． 故答案为：120；…………………………2 （2）解：， ∴“书法”所在扇形的圆心角度数为． 故答案为：；………………………………4 （3）解：列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 （男2，男1） （女1，男1） （女2，男1） 男2 （男1，男2） （女1，男2） （女2，男2） 女1 （男1，女1） （男2，女1） （女2，女1） 女2 （男1，女2） （男2，女2） （女1，女2） 由列表可得共有12种等可能结果，其中恰好选取一男一女的结果有8种． ∴选取的两人恰为一男一女的概率．………………………………8 20．(1)； (2)元件；万元． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即；…………………………2 （2）解：∵该产品第一年利润为万元， ∴， 解得， 答：该产品第一年的售价是元件；…………………………4 ∵第二年产品售价不超过第一年的售价，销售量不超过万件， ∴， 解得，………………………………6 设第二年利润是万元， 则， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， 又∵， ∴时，有最小值，最小值为(万元)， 答：第二年的利润至少为万元．………………………………8 21．(1)见解析 (2)3 (3) 【详解】（1）证明：∵是的直径，， ∴是的切线． 又∵是的切线， ∴．…………………………………………2 （2）解：如图，连结， ∵，，， ∴， ∴．……………………4 ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴， ∴．…………………………6 （3）解：如图，连结，，，， ∵，且， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴．…………………………8 22．(1)见解析 (2)结论仍然成立，理由见解析 (3) 【详解】（1）解：四边形为矩形，， ， ， ，………………………………2 ， ， ， ， ，……………………………………4 （2）解：仍然成立，理由如下： ， ， ， ， ，……………………6 ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴，……………………8 （3）解：过点 C 作 于 点H ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ …………………………10 ∵ ， ∴ ∴ ∴．………………………………12 23．(1) (2)或 (3)，或 【详解】（1）解：根据题意，将函数的解析式为的图像沿直线翻折， 设所得函数的解析式为， 在的图像上取两点，， 可得到这两点关于直线的对称点和， 把和分别代入， 可得，解得， ∴函数的解析式为；………………………………2 （2）根据题意，可得图像的解析式为， 当时，可有，， 解得，， ∴该点的横坐标为或； ………………………………5 （3）根据题意，得图像的解析式为， 当经过点或当时，， 解得；………………………………7 当经过点或当时，， 解得：或5；…………………………………9 当经过点时，， 解得：； 当经过点时，， 解得：；………………………………11 如下图，    随着的增大，图像的左端点先落在上（两个交点），的端点落在上（一个交点），图像经过点（两个交点），图像的左端点再次落在上（一个交点），图像的端点落在上（无交点），图像经过点（一个交点）， ∴的取值范围为，或．…………………………13 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $