专题03 一次函数与反比例函数的综合运用（复习讲义）（四川成都专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题03 一次函数与反比例函数的综合应用 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 题型一 一次函数解析式的确定（待定系数法） 题型二 反比例函数解析式的确定（待定系数法） 题型三 一次函数与反比例函数的图像交点问题 题型四 函数图像与几何图形结合的面积计算 题型五 反比例函数的实际应用 必备知识 知识1 一次函数的图像性质 知识2 反比例函数的图像性质 知识3 待定系数法求一次函数、反比例函数解析式 知识4 一次函数与反比例函数交点的求解（联立方程组） 知识5 函数图像与坐标轴围成的三角形/不规则图形的面积计算方法 知识6 利用函数性质解决存在性问题知识7 一次函数与反比例函数实际问题的建模（变量提取、解析式构建） 命题预测 预测1 反比例函数k的几何意义 [2024年18题、2025年18题] 预测2 待定系数法求一次/反比例函数解析式 [2024年18(1)、2025年18(1)] 预测3 一次函数与反比例函数的交点求解 [2025年18(2)] 预测4 函数图像与几何结合的面积计算 [2024年18(2)] 预测5 反比例函数的图像性质判断 [常考题] 预测6 一次函数与反比例函数的实际应用【常考题】 预测7 函数综合与勾股定理/相似三角形结合 [2024年18(3)] 命题 透视 命题形式： 选择题、填空题及解答题（以解答题综合压轴考查为主） 考察能力： 数形结合应用能力、运算求解能力、几何与函数结合的推理能力、实际问题建模能力 热考角度 考点 2025年 2024年 一次函数的图象与性质 T8：一次函数图象分析（行程问题，离家距离与时间的函数关系） T18(1)(2)(3)：一次函数解析式求解、与反比例函数交点分析 T13：一次函数结合轴对称求最短路径问题 T18(1)(2)(3)：一次函数解析式求解、与反比例函数交点综合应用 反比例函数的图象与性质 T12：反比例函数实际应用（电流与电阻的反比例关系） T18：反比例函数解析式求解、图象上点的坐标特征 T18：反比例函数解析式求解、图象上点的坐标特征及几何综合 一次函数与反比例函数的交点问题 T18(1)：求一次函数与反比例函数的交点坐标 T18(2)：根据交点及几何条件求函数解析式 T18(1)：求一次函数与反比例函数的交点坐标 T18(2)：结合交点和平行四边形性质求点的坐标 一次函数与反比例函数结合几何图形 T18(2)：结合勾股定理求反比例函数上的点 T18(3)：结合三角形面积求反比例函数上的点坐标 T18(2)：结合平行四边形性质求反比例函数上的点 T18(3)：结合相似三角形、根的判别式求参数值 函数的实际应用 T8：一次函数图象的实际信息提取 T12：反比例函数的实际应用（物理背景） 未单独考查函数实际应用，侧重函数与几何的纯数学综合 命题预测 1. 考情预测 · 根据2024-2025年成都中考的命题趋势，2026年该专题仍是函数板块的核心考查内容，以解答题18题综合压轴形式考查为主，分值占比高；选择、填空题会侧重考查一次函数或反比例函数的基础图象与性质，或结合简单几何（如最短路径、图象信息提取）考查。综合解答题将延续“求函数解析式→找交点坐标→结合几何图形（三角形面积、平行四边形、相似三角形）求点的坐标/参数值”的命题思路，极少单独考查单一函数，均以“一次函数+反比例函数+几何”综合形式出现，偶尔会结合物理、生活实际背景考查反比例函数的基础应用。 2. 备考建议 · 熟练掌握一次函数、反比例函数的解析式求解方法（待定系数法），牢记两类函数的图象特征与性质（增减性、对称性、图象上点的坐标特征）；强化数形结合思想的运用，能结合函数图象分析几何条件，将几何问题的边长、面积、位置关系转化为函数坐标与解析式的计算；掌握一次函数与反比例函数交点的求解方法（联立方程组），熟练解决与三角形面积、平行四边形、相似三角形结合的综合问题；注重解题步骤的规范性，尤其是待定系数法求解析式、联立方程求交点的书写过程；积累函数与几何综合的常见题型解法，提升从复杂图形中提取函数与几何关联条件的能力。 题型一 一次函数解析式的确定 1. 审题提取条件：明确已知条件类型（两点坐标、图像关键点、实际情境中的两组对应量），标注关键数据。 2. 设解析式：统一设为y=kx+b（k≠0），牢记k≠0的隐含条件，避免遗漏。 3. 代入求解：将两组对应x、y的值代入解析式，列出二元一次方程组，准确计算k、b的值。 4. 检验验证：将求得的k、b代入解析式，检验是否符合已知条件（如代入第三点、匹配图像趋势）。 5. 规范书写：写出完整的一次函数解析式，若有实际情境，补充自变量的取值范围。 6. 易错提醒：避免坐标代入错位、计算失误，图像类题目需准确读取与坐标轴交点、交点等关键点坐标。 1．（2025·四川达州·中考真题）如图，直线与双曲线交于点，点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点P在x轴上，，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2)点的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）先由待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点坐标，再由待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据即可求解． 【详解】（1）解：∵双曲线经过点，， ∴， ∴， ∴，反比例函数解析式为：， ∵直线经过点，点， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为：； （2）解：∵点P在x轴上，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为或． 2．（2024·四川内江·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为    (1)求这两个函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，熟练地掌握待定系数法是解题的关键． （1）用待定系数法求反比例函数解析式以及一次函数解析式即可． （2）根据函数图像即可求解． 【详解】（1）解：把的坐标代入， 得， 解得， ∴反比例函数的解析式为： 把的坐标代入， 得 ∴的坐标 把，代入， 得 解得：， ∴一次函数的解析式为：． （2）∵关于的不等式的解集，即反比例函数的图像在一次函数的图像上方． ∴根据图象，关于的不等式的解集为：或． 题型二 反比例函数解析式的确定 1. 设解析式：设反比例函数解析式为 1. 找已知点：提取图像上的点坐标或题目中一组、对应值 1. 代入求：将点的横、纵坐标代入解析式，计算出的值 1. 写解析式：把求得的代入，写出完整的反比例函数表达式 1. 验证合理性：结合函数图像象限或实际意义，检验的符号与取值是否符合题意 1. 规范作答：明确写出最终解析式，注意的隐含条件 1．（2025·四川德阳·中考真题）如图，已知菱形，点在轴上，反比例函数的图象经过菱形的顶点，连接，与反比例函数图象交于点． (1)求反比例函数解析式； (2)求直线的解析式和点的坐标． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）由得，又四边形是菱形，则，得到，从而求出直线的解析式为，然后联立，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， ∴ ∴直线的解析式为， ∵点是反比例函数与正比例函数的交点， ∴联立解析式， 解得或， ∵， ∴． 2．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式． (2)结合图形，请直接写出不等式的解集． (3)点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，求的值． 【答案】(1)反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为 (2)或 (3)或 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出直线与反比例函数的交点坐标，进而根据函数图象解答即可； （）分和两种情况，利用勾股定理列出方程解答即可； 本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的几何应用，掌握数形结合和分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴反比例函数的关系式为， 把代入，得， ∴， ∴， 把，代入一次函数得， ， 解得， ∴一次函数的关系式为； （2）解：如图，设直线与反比例函数的图象相交于点， 由，解得，， ∴，， 由函数图象可知，当或时，反比例函数图象位于一次函数图象下方，即， ∴不等式的解集为或； （3）解：当时，， 即， 整理得，， ∴； 当时，， 即， 整理得，， ∴； 综上，的值为或． 3．（2025·四川南充·中考真题）如图，一次函数与反比例函数图象交于点，． (1)求一次函数与反比例函数的解析式． (2)点在反比例函数第二象限的图象上，横坐标为，过点作轴的垂线，交于点，，求的值． 【答案】(1)，； (2)或 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式，解一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可； （）由题意可得，，因为，所以， 然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， ∵经过点， ∴． ∴反比例函数为， ∵在图象上，， ∴， 设一次函数解析式为， ∴，解得， ∴一次函数为； （2）解：∵轴， ∴，， ∵， ∴， 解得：或或或 ∵点在第二象限， ∴或． 题型三 一次函数与反比例函数的图像交点问题 1. 联立解析式：将一次函数与反比例函数解析式联立，转化为一元二次方程 2. 判别式判断交点个数：Δ>0有两个交点，Δ=0有一个交点，Δ<0无交点 3. 解方程求坐标：求解一元二次方程得到横坐标，再代入函数求纵坐标 4. 数形结合比较大小：根据图像上下位置，直接判断函数值大小关系 5. 结合象限取舍：根据函数所在象限，排除不符合题意的交点坐标 6. 利用交点求参数：将交点坐标代入函数解析式，列方程求解未知系数 7. 规范书写结果：明确交点坐标、参数值或取值范围，步骤完整 1．（2025·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象的一个交点为，与x轴的交点为． (1)求k的值； (2)直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若，求直线的函数表达式； (3)P为x轴上一点，直线交反比例函数的图象于点E（异于A），连接，若的面积为2，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）把代入，可求出一次函数的解析式，从而得到点A的坐标，即可求解； （2）连接，求出点C的坐标为，可得，设点D的坐标为，可得到，再由勾股定理求出m的值，即可求解； （3）设点E的坐标为，求出直线的解析式，可用t表示点E的坐标，再由三角形的面积公式解答，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与x轴的交点为， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 把代入得： ，解得：， ∴点， 把点代入得：； （2）解：如图，连接， 由（1）得：反比例函数的解析式为， ∵直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点， ∴点C的坐标为， ∴， 设点D的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点D的坐标为， 设直线的函数表达式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为； （3）解：设点E的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点P的坐标为， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴， 解得：或， ∴点E的坐标为或． 2．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上． (1)求，，的值； (2)若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值； (3)过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得与相似，求的值． 【答案】(1)，， (2)点的坐标为或， (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，根据平行四边形的性质，分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时三种情况，分别利用中点坐标公式列方程组求解即可； （3）设点，则，，利用相似三角形的性质得，进而解方程得，则，利用待定系数法求得直线的表达式为，联立方程组得，根据题意，方程有且只有一个实数根，利用根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入中，得，则， 将代入中，得，则， ∴， 将代入中，得，则； （2）解：设，由（1）知， 若，，，为顶点的四边形为平行四边形，分以下情况： 当为对角线时，则，解得， ∴，则； 当为对角线时，则，解得， ∴，则； 当为对角线时，依题意，这种情况不存在， 综上所述，满足条件的点的坐标为或，； （3）解：如图，设点，则，， 若，则，即， ∴，即， 解得， ∵，∴，则， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 联立方程组，得， ∵有且只有一点， ∴方程有且只有一个实数根， ∴，解得； 由题意，不存在， 故满足条件的k值为． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合、反比例函数与几何的综合，涉及待定系数法、相似三角形的性质、平行四边形的性质、坐标与图形、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用分类讨论思想求解是解答的关键． 3．（2025·四川巴中·中考真题）如图，直线与双曲线交于两点． (1)求m和直线的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)； (2) (3)16 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，一次函数与反比例的交点与不等式的解集的关系，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解决本题的关键． （1）已知双曲线过点，将点的坐标代入双曲线方程，即可求出的值，先将点的坐标代入双曲线方程求出的值，再将点和的坐标代入直线方程，联立方程组求解和的值，进而得到直线的表达式． （2）根据函数图象，找出直线在双曲线上方时的取值范围，即为不等式的解集． （3）可先求出直线与x轴的交点，然后根据三角形面积公式，将的面积转化为与的面积之和进行计算． 【详解】（1）解：点在双曲线上， ， 又在双曲线上， ，解得． 由题意得：，解得， ． （2）解：由（1）可知，， 所以不等式可化为， 根据函数图象，直线在双曲线上方时，的取值范围是， 所以不等式的解集为． （3）解：如图，设直线与轴交于点， 当时．， ， ， ． 题型四 函数图像与几何图形结合的面积计算 1. 提取关键信息：确定函数解析式，找出图像与坐标轴交点、几何图形顶点、交点等关键点坐标。 2. 转化面积模型：将不规则图形通过割补法、分割法，转化为三角形、矩形等可直接计算面积的基本图形。 3. 确定底和高：结合坐标轴，以水平或竖直线段为底/高，利用坐标差计算底、高的长度（注意绝对值）。 4. 结合函数求值：若关键点坐标未知，代入函数解析式求解，确保坐标准确。 5. 规范计算：套用基本图形面积公式，分步计算，避免计算失误；多个图形组合需分块计算再求和/差。 6. 检验合理性：结合图形实际，验证面积计算结果是否符合题意，排除不合理数值。 7. 规范作答：写出关键坐标、面积转化过程及最终结果，步骤清晰，标注单位。 1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，找到坐标之间的关系是解题的关键． 作辅助线如图，利用函数表达式设出、两点的坐标，利用，是中点，找到坐标之间的关系，利用平行线分线段成比例定理即可求得结果． 【详解】解：作过作的垂线垂足为，与轴交于点，如图， 在等腰三角形ABC中，，是中点， 设，， 由中点为，，故等腰三角形中， ∴， ∴， ∵AC的中点为M， ∴，即， 由在反比例函数上得， ∴， 解得：， 由题可知，， ∴． 故选：B． 2．（2024·四川广元·中考真题）已知与的图象交于点，点B为y轴上一点，将沿翻折，使点B恰好落在上点C处，则B点坐标为______．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何综合，折叠性质，解直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出以及，根据解直角三角形得，根据折叠性质，，然后根据勾股定理进行列式，即． 【详解】解：如图所示：过点A作轴，过点C作轴，    ∵与的图象交于点， ∴把代入，得出， ∴， 把代入， 解得， ∴， 设， 在， ∴， ∵点B为y轴上一点，将沿翻折， ∴，， ∴， 则， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 3．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，在边长为4的菱形中，对角线与相交于点E，边在x轴上，，，点C在反比例函数的图象上． (1)求点C，D，E的坐标及反比例函数的解析式； (2)将菱形向右平移，当点E恰好在反比例函数的图象上时，边与函数图象交于点F，求点F到x轴的距离． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质、一次函数的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质等知识点，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． （1）先证明是等边三角形，求出点D坐标，然后确定点C、E的坐标，最后根据点C的坐标确定反比例函数解析式即可； （2）求出平移后E，B，C的对应点的坐标，求出直线的解析式，再构建方程组求出点F的坐标即可解答． 【详解】（1）解：如图：过点D作于点H． ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：对于反比例函数， 当时，， ∴平移后点E恰好在反比例函数的图象上时，点E的对应点， ∴菱形向右平移了4个单位， ∴B，C的对应点， 设直线的解析式为， ，解得：， ∴直线的解析式为， 由，解得：或， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴点F的坐标为， ∴点F到x轴的距离为． 题型五 反比例函数的实际应用 1. 审题建模：明确行程、工程等问题中的常量与变量，确定两个变量成反比例关系。 2. 设解析式：设反比例函数表达式为。 3. 找已知量：从题干中提取一组对应数值，代入求出\(k\)值，确定解析式。 4. 代值计算：将未知量对应的变量值代入解析式，求解另一变量。 5. 范围检验：结合实际意义，确定自变量取值范围，舍去不合理解。 6. 规范作答：明确计算结果，对应实际问题写出结论，注意单位统一。 1．（2024·四川泸州·二模）李白《望天门山》诗中写道：“天门中断楚江开，碧水东流至此回．两岸青山相对出，孤帆一片日边来．”这首诗的意境可以用如图所示的函数图象进行直观描述，则y与x的函数关系式可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象，根据函数图象可判断因变量y的取值范围，进而底层答案． 【详解】解：由函数图象的两条曲线位于第一和第二象限可知，因变量，故选项A、C、D不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 2．（2025·四川成都·中考真题）某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）．与电阻R（Ω）之间的函数关系为，则电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而________（填“增大”或“减小”）． 【答案】减小 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴电流与电阻成反比， ∴电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而减小； 故答案为：减小 3．（2025·四川南充·一模）随着科技的迅猛发展，智能机器人已融入人们的日常生活中．如图，是某酒店的智能送餐机器人，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知此款智能送餐机器人载重前的质量时，它的最快移动速度，当其载重后总质量时，它的最快移动速度v是_______． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法，反比例函数的应用，设，求出，当时，代入计算，即可求解；理解实际意义，并能用待定系数法求出解析式是解题的关键． 【详解】解：设， ， 解得：， 当时 （）， 故答案为：． 知识1 一次函数的图像性质 1.图像形状 一条直线，两点即可确定图像；正比例函数 是过原点 的直线。 2.与坐标轴交点 与 轴交点： 与 轴交点： 3.位置与倾斜方向（由 决定） ：直线从左到右上升 ：直线从左到右下降 越大，直线越陡峭。 4.增减性（由 决定） ： 随 增大而增大 ： 随 增大而减小 5.所在象限（由 、 共同决定） ：一、二、三象限 ：一、三、四象限 ：一、二、四象限 ：二、三、四象限 6.平行与平移 相等、 不等 ⇨ 两直线平行 平移：上加下减（上下移），左加右减（左右移） 7.特殊情况 时为正比例函数，图像必过原点。 知识2 反比例函数的图像性质 一、基本特征 1.解析式形式：（），也可写成 、 2.取值范围：， 3.图像形状：双曲线，由两条独立曲线组成，永不与x轴、y轴相交 二、象限分布（由决定） ：双曲线分别位于第一、三象限 ：双曲线分别位于第二、四象限 三、增减性（核心易错点） ：在每个象限内， 随 的增大而减小 ：在每个象限内， 随 的增大而增大 ⚠ 关键：增减性只在同一象限内成立，不能跨象限比较 四、对称性 1.中心对称：关于坐标原点成中心对称 2.轴对称：关于直线 、 成轴对称 五、 的几何意义 过双曲线上任意一点，向 轴、 轴作垂线： 围成的矩形面积 = 形成的三角形面积 = 六、高频易错点 1.描述增减性时，漏掉“在每个象限内” 2.混淆 的正负与象限、增减性的对应关系 3.忘记 、，误以为图像会与坐标轴相交 4.几何意义计算时，忽略绝对值 知识3 待定系数法求一次函数、反比例函数解析式 1、 通用解题步骤（四步走） 1.设：根据函数类型，设出对应解析式 2.代：将已知点的坐标代入解析式 3.解：解方程/方程组，求出系数 4.写：回代系数，写出完整函数解析式 二、反比例函数 所需条件：1个点的坐标即可 代入方式：将 代入 ，得 特点：只有一个未知系数 ，计算最简单 三、一次函数 所需条件：2个不同点的坐标 代入方式：两点分别代入，列出关于 、 的二元一次方程组 特殊情况：正比例函数 ，只需1个点即可求 四、高频易错点 1.代入坐标时，横、纵坐标位置颠倒 2.一次函数少代一个点，无法求出两个系数 3.计算出错，导致 、 求错 4.求出系数后忘记写回完整解析式 知识4 一次函数与反比例函数交点的求解 一、核心思想 两个函数图像的交点坐标，就是联立两个函数解析式所得方程组的解，数形结合一一对应。 二、求解步骤 1.联立解析式 设一次函数、反比例函数，联立得方程组： 2.验根取舍 反比例函数，排除使分母为0的解 三、关键结论 1.交点横、纵坐标同时满足两个函数解析式 2.交点分布象限由、的符号共同决定 3.联立后必化为整式方程，不可直接保留分式求解 四、高频易错点 1.联立整理一元二次方程时符号、系数算错 2.忘记反比例函数的限制，保留无效解 3.求出后未回代求，直接写单值作为交点 4.误用判别式，错判交点个数 知识5 函数图像与坐标轴围成的三角形/不规则图形的面积计算方法 1、 一次函数与坐标轴围成的直角三角形 1.先求交点 · 函数 ： 与 轴交点： 与 轴交点： 2.面积公式 · 围成的 面积： 3. 关键：距离必取绝对值，与正负无关。 二、一次函数与反比例函数相交围成的三角形 1.求交点 · 联立两个函数解析式，解出两组交点坐标。 2.找定点 · 常用定点：原点 、坐标轴交点。 3.算面积 以水平或竖直线段为底，对应点到该线段的距离为高； 公式仍为：底高； 涉及反比例函数时，可结合 的几何意义：。 三、不规则图形面积通用方法 1.割法 · 把不规则图形分割成若干个三角形、矩形、梯形，分别计算面积再相加。 2.补法 · 把不规则图形补成大的规则图形（矩形/梯形），用大面积减去多余小图形面积。 3.坐标法（铅锤法） · 用水平或竖直方向的线段作底，用两点纵坐标/横坐标的绝对值差作高。 四、通用核心原则 1.先求所有关键点坐标：与坐标轴交点、函数交点； 2.所有线段长度 = 坐标差的绝对值； 3.优先用直角三角形、矩形简化计算，不规则必用割补法。 知识6 利用函数性质解决存在性问题（点的坐标、线段长度、图形形状） 一、通用解题思路 1.先定函数：明确一次/反比例函数解析式，确定图像与关键点坐标。 2.再设动点：设出未知点坐标，依托函数表达式用一个变量表示横、纵坐标。 3.列关系式：根据线段长度、图形形状等条件，建立方程/不等式。 4.解+检验：求解后验证点是否在函数图像上、是否符合图形实际意义，舍去增解。 5.核心思想：数形结合+分类讨论。 二、点坐标存在性 函数图像上的点：坐标满足解析式，可设为 一次函数： 反比例函数： 存在某点满足条件：将几何条件转化为含的方程，有解即存在，无解即不存在。 三、线段长度存在性 水平线段：长 竖直线段：长 倾斜线段：用勾股定理 线段相等/倍数关系：直接列等式求解坐标。 4、 特殊图形存在性（必考分类） 1.等腰三角形 · 三点两两相等，分三类讨论： · 、、，用距离公式列方程。 2.直角三角形 · 分三个顶点分别为直角顶点，用勾股定理逆定理或垂直斜率关系。 3.平行四边形 · 对边平行且相等，或对角线互相平分，利用中点坐标公式。 4.特殊位置 · 点在坐标轴上、点在某函数图像上，优先代入对应条件简化计算。 五、结合函数性质 利用增减性判断点的位置范围； 利用象限符号排除不可能的坐标； 利用反比例函数的几何意义快速求面积相关点。 六、高频易错点 1.分类讨论不完整，漏解； 2.只解方程不检验，保留不在图像上的点； 3.坐标差未加绝对值，长度算错； 4.忽略自变量取值范围，出现无效点。 知识7 一次函数与反比例函数实际问题的建模（变量提取、解析式构建） 一、通用建模步骤 1.审：读懂情境，找出变化规律与固定不变量 2.提变量：确定自变量（主动变化量）、因变量（随其变化量）、常量 3.判类型：线性变化→一次函数；乘积固定→反比例函数 4.建解析式：设式→代入条件求系数→写出函数式 5.定范围：结合实际确定自变量取值范围（非负、整数、不为0等） 6.验：验证解析式与取值是否符合题意 二、变量提取核心 一次函数常见变量：时间、数量、件数、路程、成本 反比例函数常见变量：速度与时间、单价与数量、边长与边长（面积固定） 实际约束：人数/件数为正整数，反比例函数自变量不能为0 3、 一次函数 建模 1.核心特征：匀速线性变化，有基础值+均匀增量 2.常见等量关系 总费用 = 固定费用 + 单价×数量 路程 = 速度×时间 + 初始路程 总利润 = 单件利润×销量 - 固定成本 3.求解析式：需两组对应值，用待定系数法列方程组求、 四、反比例函数 建模 1.核心特征：两个变量乘积为定值，即 2.常见等量关系 路程固定：速度时间路程 → 面积固定：长宽面积 → 总价固定：单价数量总价 → 工作总量固定：效率时间总量 3.求解析式：只需一组对应值，直接求 五、关键区分与易错点 1.一次函数：和差关系、线性增长/减少 2.反比例函数：积为定值、此消彼长 3.必写自变量范围，反比例函数忽略易失分 4.实际问题中结果需为有效数值，舍去不合理解 命题预测1：反比例函数k的几何意义 [2024年18题、2025年18题] 1．（2026·四川成都·一模）如图，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，连接．若的面积为6，则的值为（    ） A．12 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义．根据反比例函数系数k的几何意义即可解答． 【详解】解：∵轴，的面积为6， ∴， 由题意， ∴． 故选：B． 2．（2024·四川宜宾·模拟预测）如图，的顶点在轴上，顶点和都在反比例函数图象上且关于原点对称，连接交反比例函数图象于点D，且，的面积为，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数比例系数的几何意义，反比例函数的几何应用，过点作轴于点，过点作轴于点，可证，得到，进而由得到，设点，则，得到，，又可得， 即得到，据此建立方程解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∵， ∴，   ∴， ∵， ∴， ∴， 设点，则， ∴，，， ∵点和点在反比例函数图象上，反比例函数图象经过一、三象限， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：． 3．（2025·四川绵阳·一模）如图，反比例函数在第一象限的图象上有两点A，B，它们的横坐标分别是1，3，则的面积是（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】此题主要考查了反比例函数与几何综合，根据题意结合反比例函数图像上点的坐标性质，再由进行求解即可． 【详解】解：如图所示：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，      ∵反比例函数 在第一象限的图像上有两点A，B，它们的横坐标分别是1，3， ∴，， ∴ ∴， ∴． 故选B． 4．（2025·四川凉山·一模）在平面直角坐标系中，将一个的直角顶点与原点O重合，顶点A、B恰好分别落在函数的图象上，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数的几何意义等知识，过A作轴于C，过B作轴于D，证明，得出，根据反比例函数的几何意义得出，，代入化简即可求解． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， 则， 又， ∴， ∴， ∴， ∵顶点A、B恰好分别落在函数的图象上， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．（2024·四川成都·二模）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接，则的面积为______． 【答案】3 【分析】本题主要考查反比例函数中k的几何意义． 连接，由于同底等高的两个三角形面积相等，则，然后根据反比例函数中k的几何意义有|，进而即可求解． 【详解】连接， ∵轴 ∴ 故答案为：3 6．（2024·四川成都·三模）如图，函数的图象上有一点P，延长OP交的图象于点Q，点M，N在的图象上，．过点P作x轴平行线l，过M作于点A，过N作于点B，连接，若，，则点Q的纵坐标_____．    【答案】/ 【分析】过点作x轴的垂线，垂足为点D、E，过点N作于点C，过点M作延长线的垂线，垂足为点F，连接交于点G，记与交于点H，由，得到，由反比例函数k的几何意义得：，故，可证明点C在直线上，而四边形是矩形，故，，设，则，而，故，则，继而可证明，同理，可证明点A在直线上，，故，过作于点，延长交轴于点，解得到，可求，由，得到，故． 【详解】解：过点作x轴的垂线，垂足为点D、E，过点N作于点C，过点M作延长线的垂线，垂足为点F，连接交于点G，记与交于点H，    ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴由反比例函数k的几何意义得：， ∴， 设点， 则， 设直线表达式为：， 代入点B得：， ∴， ∴直线表达式为， 而， ∴点C在直线上， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴设， 则， 而 ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 同理，可证明点A在直线上，， ， 过作于点，延长交轴于点，    ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ， ， ∵ ∵， 即：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形的相关运算，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 7．（2025·四川达州·三模）如图，点A在反比例函数的图象上，且点A是线段OB的中点，点C为y轴上一点，连接BC交反比例函数图象于点D，连接AC，AD，若，，则k的值为______． 【答案】 【分析】先表示出，再求出，，从而可求得，进而可求得点的纵坐标，再说明，列出比例式，求得，从而可求得点的坐标，再点与点都是反比例函数图象上的点，得出，从而可得，可解得：． 【详解】解：设，连结，作于，于，过点作轴于点，过点作于点， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 设点到的距离为， ， ， ， ， ∴， ∵点A是线段OB的中点， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， 过点作于点， 则， ， 而， ， ∴， ∴点的坐标为 又点与点都是反比例函数图象上的点， ∴， ∴，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数图象点的特殊，待定系数法求反比例函数解析式，三角形的面积，解题关键是根据点在反比例函数图象，则点的横纵坐标的积为比例系数． 命题预测2：待定系数法求一次/反比例函数解析式 [2024年18(1)、2025年18(1)] 1．（2026·四川成都·一模）若反比例函数的图象经过点，则下列各点在此函数图象上的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与解析式，掌握好相关知识是关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征，先求出的值，再验证各选项点的横纵坐标乘积是否等于即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点 ∴， ∵反比例函数图象上的点满足横纵坐标的乘积等于， ∴对各选项逐一验证： 对于A选项：，不在图象上， 对于B选项：，不在图象上， 对于C选项：，不在图象上， 对于D选项：，在图象上． 故选：D． 2．（2025·四川乐山·二模）如图所示，反比例函数的图象与直线相交于点，且直线与轴相交于点． (1)求该直线与反比例函数的表达式； (2)将直线绕点顺时针旋转得到直线，直线与反比例函数图象交于点和，求的面积． 【答案】(1)， (2)12 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）连接，记直线与轴交于点，直线与轴交于点．求出和  ，根据即可求出答案． 【详解】（1）解：由题可知，点在反比例函数图象上 ， 解得    反比例函数的表达式为． 又直线过点和   ， 解得 直线的表达式为． （2）如图所示，连接，记直线与轴交于点，直线与轴交于点． 当时，， ∴   为等腰直角三角形   由旋转可得， 为等腰直角三角形且       设直线表达式为，则 ， 解得   直线表达式为 联立， 解得或   又      ． 3．（2025·四川南充·一模）如图，直线与直线交于点，交x轴于点B，直线分别与x轴、y轴交于点C、，连接． (1)求k、b的值； (2)点是线段上的一动点，点是点P关于y轴的对称点，当在内部时（不含边界），求m的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了一次函数综合题，考查了求一次函数解析式，关于轴对称的点的性质，两直线的交点坐标，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）先将点代入，得出点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，根据关于轴对称的点的性质得到，作点关于轴的对称点，则，连接，与交于点．利用待定系数法求出直线和直线的解析式，联立得到点的坐标，再根据点在线段之间（不含线段端点），即可求解． 【详解】（1）解：将点代入得，，即． 将点，代入得，， 解得：，． （2）解：由（1）知直线的解析式为． 令，则，解得：， ． 是关于轴的对称点， ． 如图，作点关于轴的对称点，则，连接，与交于点． 设直线的解析式为， 把代入得，解得， 直线的解析式为； 设直线的解析式为，则有， ，． 直线的解析式为， 联立可得：，解得，． 点， 当在内部时（不含边界），点在线段之间（不含线段端点）， ． ． 4．（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上，连接，且． (1)求k的值； (2)平移线段，使得点A的对应点C落在反比例函数的图象上，点B的对应点D落在x轴上．连接，求四边形的面积； (3)在反比例函数的图象上取一点E、且E在直线的下方．设直线与直线相交于点F，当时，求满足条件的点E的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)或或 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，平移的性质，利用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键． （1）设线段交轴于点，得到，求出的解析式为，求得，利用待定系数法即可求出答案； （2）求出和，得到，即可求出答案； （3）分三种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，设线段交轴于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则 , 解得， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵对应点D落在轴上， ∴向下平移4个单位， ∵的对应点为点， ∴点的纵坐标为 ∵点C落在反比例函数的图象上， ∴ ∴点向右平移2个单位，向下平移4个单位得到点C， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； （3）解：设，， 直线的解析式为， 当点在第三象限时， 当点是的中点时，， ∴， 解得或（舍去） ∴， 当时，，， ∴ ∴ ∴， 解得（舍去）或 ∴， 当点在第一象限时， 当时，，， ∴ ∴ ∴， 解得或（舍去） ∴， 当点是的中点时，， ∴， 解得（舍去）或， ∴，此时点E在直线的上方，不符合题意，舍． 综上可知，或或 5．（2025·四川广元·一模）如图，在平面直角坐标系中，当直角三角板的直角顶点落在处时，锐角顶点、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在轴上是否存在一点，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数表达式为，直线所对应的一次函数的表达式为 (2)存在，周长的最小值为，理由见解析 【分析】（1）过点A，B作轴于点D，轴于点E，求出，证明，得，，求出，，得反比例函数的表达式为，求出直线解析式； （2）作点B关于x轴的对称点F，过点F作交延长线于点G，连接交x轴于点P，可得，求出 ，，即得周长的最小值． 【详解】（1）解：∵中，， ∴， ∴， 过点A，B作轴于点D，轴于点E， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∵点A，B都在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为． （2）解：周长存在最小值．理由： 作点B关于x轴的对称点F，过点F作交延长线于点G，连接交x轴于点P， 则， ∴， 此时，的值最小，的周长最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴周长的最小值为． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合．熟练掌握含30度的直角三角形性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，用待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数和一次函数的图象和性质，轴对称性质，是解题的关键． 6．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点，与直线相交于点，与轴相交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点在反比例函数的图象上，且以为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)若点在反比例函数第一象限的图象上，点在轴上，使得与相似，求线段的长． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)点的坐标为或 (3)线段的长为或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求出的，的值即可； （2）分为对角线、为对角线和为对角线进行求解即可； （3）分，和，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：（1）将点代入一次函数，得， 解得， ∴一次函数的表达式为． 点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：联立， 解得， ∴， 令，由得， ∴， 令，由得， ∴， 设， ①当为对角线时，的中点重合， ∴， 解得，经检验，符合题意， 此时点的坐标为； ②当为对角线时，的中点重合， ∴， 解得，经检验，符合题意． 此时点的坐标为； ③当为对角线时，的中点重合， ∴，解得， ∴这种情况不符合题意； 综上所述，点的坐标为或． （3）解：设， ①如图1，当时，， ∴， ∴， 作轴，作轴，则， ∴， ∴， ∴， ， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ∴， ∴． ②如图2，当时， 同①可得：． ③如图3，当时，，过点作轴于点Q，如图， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∴． ④当时，， 同③可得：． 综上所述，线段的长为或． 命题预测3：一次函数与反比例函数的交点求解 [2025年18(2)] 1．（2026·四川成都·一模）如图，直线在第一象限交双曲线于两点，交轴于点，已知，连结．则的面积为_____． 【答案】12 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了相似三角形的判定和性质，反比例图象上点的坐标特征．作轴于D，轴于E，则，得到，设A点坐标为，则B点坐标为，利用，得到，于是可求得． 【详解】解：连接，作轴于D，轴于E，则， ∴， ∵， ∴， 设A点坐标为，则B点坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：12． 2．（2026·四川成都·一模）定义：在平面直角坐标系中，已知图形，将图形M上每个点的横、纵坐标分别乘以，得到对应的新点，我们把所有新点组成的图形称为图形的“位图形”．如图，已知的顶点坐标分别为，若双曲线的“位图形”与的边有两个交点，则的取值范围是_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查了反比例函数的图形变换、一次函数解析式的求解，以及函数图象交点的分析．先根据“位图形”的定义，推导双曲线的“位图形”为双曲线 ；再分析的边()，通过联立双曲线与边的直线方程，分和，结合“交点个数”的临界情况(如双曲线过顶点、与边相切)求出关键值；最后根据“有两个交点”的条件，确定的取值范目． 【详解】解：设双曲线上任意一点为，则， 将横、纵坐标分别乘以，得到对应点， 令，，则，代入得： ，即， 边： 设解析式为，代入得： ，解得， ∴边解析式为， 同理，得：边：从到，解析式为； 边：从到，解析式为； 情况一： 双曲线的“位图形”在第一象限， ∴联立方程，得， 整理，得， ∴， 解得：， 情况二：， ∴“k位图形”的点在第三象限, ∵点， 将点的坐标代入“位图形”中， ∴得到一个关于的方程， 解得：或（舍去）， ∵“位图形”与的边有两个交点， 结合前面求出的两个临界值：当时，“位图形”经过点，与的边有两个交点； ∴， 当时，“位图形”与直线相切，也只有一个交点 ∴与的边有两个交点， 故答案为：或． 3．（2026·四川成都·一模）小宇同学在学习了反比例函数的图象（如下图）后，继续对新函数的图象和性质进行探究，请补充以下探究过程： (1)【基本操作】 第一步：对函数图象上的部分点列表如下： … … … … 求出表格中的值为_____． 第二步：通过描点、连线在如图所示的同一直角坐标系中画出的图象．    (2)【观察发现】函数的图象可由的图象平移得到，请描述这个平移的过程： ；若将的图象向左平移2个单位，向上平移1个单位，请写出平移后新函数的解析式： ． (3)【能力提升】函数与的图象都是双曲线，且既是中心对称图形又是轴对称图形．直接写出的对称中心坐标和对称轴的解析式． (4)【拓展应用】若直线与的图象有且只有一个交点，求的值． 【答案】(1)，图见解析 (2)向右平移3个单位长度得到；． (3)对称中心为，对称轴为直线和直线； (4)或 【分析】（1）将代入函数表达式，求出的值，并用描点法画出函数图象； （2）对比两个函数的图象，得出平移过程，并按照这个平移方式，写出平移后的函数解析式即可； （3）根据的对称中心坐标和对称轴的解析式，结合平移过程，得出的对称中心坐标和对称轴的解析式； （4）联立直线和双曲线，得到关于的一元二次方程，由交点个数为推断出判别式为，得到关于于的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴， 函数图象如图所示： （2）解：观察两个函数的图象可知， 函数的图象可由的图象向右平移3个单位长度得到； 将的图象向左平移2个单位，向上平移1个单位，则平移后新函数的解析式为． 故答案为：向右平移3个单位长度；． （3）解：∵的对称中心为，对称轴为直线， 又∵函数的图象可由的图象向右平移3个单位长度得到， ∴的对称中心为，对称轴为直线和直线； （4）解：当直线与双曲线相交时， ， 化简，得， ∵直线与双曲线只有一个交点， ∴判别式， 化简，得， 解得或． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，画函数图象，函数平移问题，一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，熟练掌握相关知识是关键． 4．（2026·四川成都·一模）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于和两点． (1)求这两个函数的解析式； (2)如图，直线与反比例函数的图象的另一个交点为点，点在反比例函数的图象的右支上，当的面积为8时，求点的坐标； (3)在第（2）问的条件下，若点为轴上的点，则在反比例函数的图象的右支上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)M点的坐标为或 (3)Q点坐标为 【分析】（1）将点代入，可求函数解析式，从而求出，将点A、B代入，可求一次函数解析式； （2）连接，由O是的中点，可得的面积，设，根据的面积，求出t的值即可求M点坐标； （3）设，，根据平行四边形对角线情况分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：将点代入， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点A、B代入， ∴， 解得， ∴； （2）解：连接， ∵直线与反比例函数交于C点， ∴A、C关于原点对称， ∴， ∴O是的中点， ∵的面积为8， ∴的面积， 设， ∴的面积， 当时，解得， ∴； 当时，解得， ∴； 综上所述：M点的坐标为或； （3）解：存在点Q，理由如下： 设，， 当为对角线时，， 解得， ∴； 当为对角线时，，无解； 当为对角线时，， 解得， ∴； 点在反比例函数的图象的右支上， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 5．（2025·四川广元·模拟预测）如图1，一次函数与反比例函数的图象交于点和点B，与y轴正半轴交于点C，连接． (1)求一次函数的解析式和点 B的坐标． (2)如图2，点D是反比例函数图象上点A 左侧一点，连接，把线段绕点A逆时针旋转 点D的对应点恰好也落在反比例函数 的图象上，求点D的坐标． 【答案】(1)，点B的坐标为 (2)点D的坐标为 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数相交问题，解题的关键是熟悉待定系数法及交点坐标的求解． （1）根据题意易得点，结合得到，再利用待定系数法求直线方程即可，再联立得到交点坐标； （2）构造矩形，设，先证，得到，结合点E恰好也落在反比例函数的图象上即可列方程求解． 【详解】（1）∵点在反比例函数的图象上， ， ∴． ∴点A的坐标为． ， ∴点C的坐标为． 把点A，C的坐标代入， 得，解得 ∴一次函数的解析式为． 联立反比例函数与一次函数的解析式， 得，解得或， ∴点 B的坐标为． （2）如图，构造矩形，设， ∵， ， ∵把线段绕点A 逆时针旋转， 点D的对应点E恰好也落在反比例函数 的图象上， ∴． ． 在矩形中，， ． ． 在和中， ， ∴． ， ∵点E恰好也落在反比例函数的图象上， ， 解得或（舍去）． ∴点D的坐标为． 6．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系xOy中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点P． (1)如图1，若点P的坐标为． ①求正比例函数及反比例函数的表达式； ②在反比例函数图象上是否存在点C，使得？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． (2)如图2，以点P为圆心，以为半径作弧，交反比例函数图象于点Q（点Q在的右侧），分别过点P和Q作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M，连接，点B在x轴的正半轴上，得到．求证：． 【答案】(1) ①正比例函数的表达式为，反比例函数的表达式为 ②存在，或 (2)见解析 【分析】本题是反比例函数综合题，考查的是反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、矩形的性质、等腰三角形的性质，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键． （1）①利用待定系数法求出正比例函数及反比例函数的表达式即可； ②设点的坐标为，将的面积转化为梯形面积，根据梯形的面积公式即可得到结论； （2）分别过点和作轴和轴的平行线，两线交于点，设点的坐标为，点的坐标为，根据矩形的性质用、表示出点、的坐标，求出直线的解析式，判断得到，，三点共线，根据矩形的性质得到，得到，证明，进而得到． 【详解】（1）解：①把点的坐标代入得， ， 正比例函数的表达式为， 把点的坐标代入得， ， 反比例函数的表达式为． ②设点的坐标为， 过作轴于，过作轴于， ∴， 解得或（负值舍去）， 当时，； 当时，； 在反比例函数图象上存在点，使，或； （2）证明：分别过点和作轴和轴的平行线，两线交于点，连接，设交于点， 设点的坐标为，点的坐标为， 由题意得：四边形为矩形， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， 点在直线上，即，，三点共线； 轴， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 命题预测4：函数图像与几何结合的面积计算 [2024年18(2)] 1．（2024·四川凉山·二模）如图，在中，，轴，点在反比例函数的图象上．若点在反比例函数的图象上，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与面积，根据反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】如图，交轴于， ∵轴， ∴轴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∵过第二象限， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2024·四川成都·一模）如图，经过原点的直线交反比例函数的图象于，两点，过点作轴于点，连接，当时，的值为________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数比例系数的几何意义，先根据反比例函数的对称性得到，进而得到，则由反比例函数比例系数的几何意义即可得到答案． 【详解】解：∵经过原点的直线交反比例函数的图象于，两点， ∴由反比例函数的对称性可知，点A和点B关于原点对称， ∴， ∵， ∴， ∵轴，点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：2． 3．（2024·四川成都·一模）已知矩形的面积为，以它对角线的交点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，使得矩形的各边与坐标轴平行或垂直．若反比例函数经过矩形的顶点，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握是解题的关键．由图得，轴、轴把矩形平均分为份，即可得矩形的面积公式，可得，又由于点在反比例函数图象上，则可求得答案． 【详解】解：轴，轴都为该矩形的对称轴，且矩形的面积为， ， ， 故答案为． 4．（2025·四川达州·模拟预测）如图，四边形中，，点在轴上，反比例函数经过点，与AB交于点，连接EF．若，则的值为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的图象和性质、用坐标表示线段长和三角形面积，过作于，由，得到，，设．则，，根据三角形的面积列方程即可得到结论． 【详解】解：如图，过作于， ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∵， ∴． ∴，． 设．则，． ∵， ∴． 则． ∵在反比例函数的图象上， ∴． ∴．即． 故答案为：． 5．（2025·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于两点，连接．若四边形的面积为4，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键．先求出，四边形是矩形，再根据反比例函数的几何意义可得，然后根据计算即可得． 【详解】解：∵过点分别作轴于点，轴于点， ∴，四边形是矩形， ∵反比例函数的图象分别与，相交于两点， ∴， ∵四边形的面积为4， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 6．（2024·四川绵阳·二模）如图，在中，，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，，求点所在的反比例函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．利用反比例函数中值的几何意义，求出三角形的面积就可推导出值，写出解析式． 【详解】解：设点所在的反比例函数解析式为：， 过点作，垂足为， ，， ， ； ，且图象在第四象限， ． 点所在的反比例函数解析式为：． 命题预测5：反比例函数的图像性质判断 [常考题] 1．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，若点，都在反比例函数的图象上，当时，有，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数图象的特征是解题的关键．由反比例函数的图象只能在第一、三象限或二、四象限，结合当时，有， 则函数图象在第一、三象限，得，求解即可． 【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上， ∴当时，两点只能在第一、三象限或二、四象限， 又∵当时，有， ∴函数图象在第一、三象限， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2025·四川巴中·模拟预测）如图所示，已知函数和的图像交于点，，过点A作垂直于x轴于点E，，则的值是________． 【答案】16 【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性，待定系数法求函数解析式，能够根据反比例函数图象关于原点对称的性质求出点坐标是解题关键． 根据反比例函数图象关于原点对称的性质，可得，利用勾股定理求出的长，进而得出A点坐标，代入解析式求出的值后相乘即可． 【详解】解：由题得， 轴， ， ， 把代入和得 ， 解得， ． 故答案为：16． 3．（2024·四川广元·三模）在平面直角坐标系中， 对于点，，若 则称点A和点B互为 “等距点”. 已知点M是以O为圆心，为半径的圆上一点，若反比例函数图象上存在点M的等距点N，则k的取值范围是_________． 【答案】或 【分析】如图，作轴，于，令直线与轴的夹角为，则，由，可求，如图，作直线，在直线上取点，作轴于，由，可得，即直线与轴的夹角为，在直线上，如图，当反比例函数在第一、三象限时，即，直线与的交点，均能使反比例函数图象上存在点M的等距点N；当反比例函数在第二、四象限时，当与相交时，能使反比例函数图象上存在点M的等距点N；如图，记与的交点为，设，可求，将代入可求，，即此时，． 【详解】解：如图，作轴，于， 令直线与轴的夹角为，则， ∴，即， ∴， 如图，作直线，在直线上取点，作轴于， ∴， ∴，即直线与轴的夹角为，在直线上， 如图，当反比例函数在第一、三象限时，即，直线与的交点，均能使反比例函数图象上存在点M的等距点N； 当反比例函数在第二、四象限时，当与相交时，能使反比例函数图象上存在点M的等距点N； 如图，记与的交点为，设， ∴， 解得，， ∴， 将代入可求，， ∴此时，； 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，正切，勾股定理，圆等知识．熟练掌握反比例函数的图象与性质，正切，勾股定理，圆是解题的关键． 4．（2026·四川成都·一模）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是_____（请用“<”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会通过反比例系数k的正负判断函数的增减性． 由反比例函数的增减性求得结果． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴反比例函数在第一，三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵点，横坐标，，， ∴点在第三象限，点和在第一象限， ∴，，． 又∵在第一象限内，随的增大而减小，且， ∴． 综上所述，． 故答案为：． 5．（2025·四川成都·二模）已知点，在反比例函数的图象上，且，则______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据反比例函数的性质，在时，函数值y随x的增大反而减小，由可得． 【详解】解：因为点，在反比例函数的图象上， 所以，． 由于，且反比例函数在时，y随x的增大反而减小， 因此． 故答案为：． 6．（2025·四川成都·模拟预测）已知 两点在双曲线上，且，则m的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的增减性是解题的关键． 先题意判断出反比例函数的图象所在的象限，故可得出的正负，进而确定m的取值范围． 【详解】解：∵两点在双曲线上，且， ∴反比例函数图象在二、四象限， ∴，解得：． 故答案为：． 7．（2025·四川达州·一模）如图，直线(为常数)与双曲线(为常数)相交于两点． (1)求直线 的解析式； (2)在双曲线上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)当时，；当时，；当时，； (3)解集为或． 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的综合，掌握待定系数法，图象法求不等式解集是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）结合反比例函数图象的性质求解即可； （3）根据直线与反比例函数解析式交点求不等式解集． 【详解】（1）解：直线(为常数)与双曲线(为常数)相交于两点， 把点代入双曲线中得，， ∴双曲线的解析式为， ∴当时，， ∴， 把点代入得， ， 解得，， ∴直线的解析式为； （2）解：由（1）可知，双曲线的解析式为， ∴当时，； 当时，； 当时，； （3）解：根据图示，当时，直线的函数图象在双曲线的图象上方，即； 根据图示，当时，直线的函数图象在双曲线的图象上方，即； 综上所述，当或时，， ∴解集为或． 命题预测6：一次函数与反比例函数的实际应用【常考题】 1．（2025·四川绵阳·二模）已知二次函数（a ，b，c为常数）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数 在同一平面直角坐标系内的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，一次函数与反比例函数图象的综合判断，先根据二次函数的图象判读的符号，进而判断出反比例函数与一次函数的图象所经过的象限，进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在轴的右侧，与轴交于负半轴， ∴， ∴， ∴一次函数的图象过二，三，四象限，反比例函数的图象过一，三象限； 故满足题意的只有选项B； 故选B． 2．（2022·四川成都·模拟预测）直线y＝－x＋2a（常数）和双曲线的图象有且只有一个交点B，一次函数y＝－x＋2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图象上，且满足∠BPO＝∠QPA．设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，则的值为______． 【答案】/ 【分析】过B点作BH⊥x轴于H点，连接OB，BH与OM交于点J，OM与BP交于点K，根据反比例函数与直线AB相切，可以确定k与a的关系，进而可以用含a的式子表示出B点、A点坐标，即可证明出△OBA是等腰三角形，AB=OB，∠ABO=90°，接着证明Rt△OHJ≌Rt△BHP，得到OJ=BP，BH=OH，HP=HJ，再证△BJM≌△APM，得到∠AMP=∠BMJ，BM=AM， 则在Rt△OMB中即可解决问题． 【详解】解：过B点作BH⊥x轴于H点，连接OB，BH与OM交于点J，OM与BP交于点K，如图， 联立，消去y得， 根据题意有方程的， 则有， 将代入到，得， ∴B点坐标为：(a,a)， 当x=0时，y=2a， ∴直线AB与x轴的交点A的坐标为(2a,0)， ∴OA=2a、BH=OH=a， ∴AH=OH=BH=a， ∵BH⊥x轴， ∴∠BAH=∠HBA=∠HBO=∠HOB=45°， ∴∠ABO=90°， ∵OM⊥BP， ∴∠BJK+∠JBK=90°， ∵∠BJK=∠OJH，∠JBK+∠BPH=90°，∠JOH+∠OJH=90°， ∴∠JBK=∠JOH，∠BJK=∠BPH， ∵BH=OH，∠JKB=∠JHO=90°， ∴ Rt△OHJ≌Rt△BHP， ∴HP=JH， ∵AP=AH-HP，BH-JH=BJ， ∴AP=BJ， ∵∠BPO=∠QPA，∠BPH=∠BJK， ∴∠QPA=∠BJK， ∵∠BAH=∠HBA=45°， ∴再证△BJM≌△APM， ∴BM=AM，∠AMP=∠BMJ， ∵BH=AH=OH=a， ∴在Rt△OBH和Rt△ABH中，利用勾股定理可得：OB=AB=， ∴BM=AM=， 在Rt△BOM中，利用勾股定理可得， ∴sin∠BMJ=， ∴sin∠AMP=sin∠BMJ=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合题，考查了一次函数和反比例函数的性质、解直角三角形、全等三角形的判读与性质、勾股定理等知识，证明Rt△OHJ≌Rt△BHP和△BJM≌△APM是解答本题的关键． 3．（2023·四川成都·模拟预测）如图1，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接，． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)若的面积为12，求点P的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，若点E为直线上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函为，一次函数表达式为 (2) (3)存在，点E的坐标为或或 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形性质等，解题关键是运用分类讨论思想解决问题， （1）将点的坐标代入反比例函数解析式可求得，进而可得，再利用待定系数法即可求得一次函数解析式; （2）如图，设直线交x轴于H，过点M作轴于D，过点N作轴于E，设，根据三角形的面积，建立方程求解即可，得出答案; （3）利用待定系数法可直线PM的解析式为，设，分三种情况∶ 当、为平行四边形对角线时； 当、为平行四边形对角线时，当、为平行四边形对角线时；分别建立方程求解即可得出答案． 【详解】（1）∵反比例函数 的图象经过、两点， ， 解得：， ， 由点M、N的坐标得，直线的表达式为：； 反比例函数表达式为，一次函数表达式为； （2）如图，设直线交x轴于H，过点M作轴于D，过点N作轴于E， 设， ，， ， 直线的表达式为：， 则， ， ， 解得：， ； （3）存在，点E的坐标为或或． 由点P、M的坐标得，直线PM的解析式为， 设， ，， 当、为平行四边形对角线时，与的中点重合， 则，解得：， ，； 当、为平行四边形对角线时，与的中点重合， 则，解得：， ，； 当、为平行四边形对角线时，与的中点重合， 则，解得：， ，； 综上所述，点E的坐标为或或． 4．（2022·四川南充·三模）如图， A是双曲线上一点，连接OA，将线段OA绕点O顺时针旋转得到线段OB，点恰在直线上，这条直线与双曲线公共点的横坐标是6． (1)画出题中的直线，求反比例函数的解析式． (2)求点的坐标． 【答案】(1)画直线见解析；双曲线解析式为 (2)点的坐标为，或 【分析】（1）根据题意画出直线，求得的坐标，待定系数法求解析式即可求解； （2）设．作轴于，轴于．证明，点在第四象限，将代入直线，得．解方程求得,即可求解． 【详解】（1）直线与平行． 即倾斜．图象如图． 当时，． ∴．将代入， 得． ∴双曲线解析式为． （2）设．作轴于，轴于． ∵， ∴． ∴． 由旋转，． ∴． ∴，． ∵点在第四象限， ∴． 将代入直线，得． ∴．解得，或．相应纵坐标易得． ∴点的坐标为，或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，解一元二次方程，掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键． 5．（2025·四川广元·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点A作轴，垂足为C，连接． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据所给条件，请直接写出关于x的不等式的解集； (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3)或． 【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，求出函数关系式是解决问题的为前提 （1）先利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，最后用待定系数法求一次函数解析式； （2）根据图象直接得出答案； （3）先求出，再根据面积关系求出，进而确定点P的坐标． 【详解】（1）解：，两点都在反比例函数的图象上， ． ． 反比例函数的解析式为，． ，两点都在一次函数的图象上， 解得 一次函数的解析式为． （2）解：由图可知，当或时，不等式． （3）解：存在． 如图，过点B作轴，垂足为D． ，， ，． ，． ． ， ． 设点P的横坐标为，则． ． 或． 当点P在上，则或． 点P的坐标为或． 命题预测7：函数综合与勾股定理/相似三角形结合 [2024年18(3)] 1．（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴，轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图象上．若，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，含角直角三角形的性质，矩形的性质，在中，利用含角直角三角形的性质求出和的长度，结合得到的长度，再根据矩形性质和三角函数求出点的坐标，最后将点坐标代入反比例函数解析式，即可求出值． 【详解】解：过点作轴，垂足为点， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∵顶点D在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为：． 2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为，点D是x轴上一点，直线交双曲线于点C． (1)求k的值； (2)连接，当时，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，点P是直线上一个动点，点G是坐标平面上一点，是否存在点P，使得四边形为菱形？  若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，四边形为菱形时，或 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，两点之间距离公式，菱形的性质等知识点，难度较大． （1）先根据正比例函数解析式求出点A的坐标为，再将其代入，即可求解； （2）先求出直线，则，联立反比例函数解析式得到，过点分别作轴的垂线，垂足为，，则，再代入数据求解即可； （3）设，则，，，由于四边形为菱形，则为等腰三角形，再分三种情况讨论，列方程求解． 【详解】（1）解：由题意得将代入，则， 解得， ∴点A的坐标为， 再将代入，则； （2）解：∵反比例函数与正比例函数都是中心对称图形，， ∴ 设直线， 则， ∴， ∴直线， 则当时， ∴， ∴， 联立 整理得：， ， 解得：， ∴， 过点分别作轴的垂线，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴ ∴， ∴； （3）解：设，则，，， ∵四边形为菱形， ∴为等腰三角形， ∴当时，则 解得：（舍）； 当时， 解得：或 ∴或； 当时，， 该方程无解， 综上：存在，四边形为菱形时，或． 3．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，一次函数：的图象与轴交于点，与反比例函数：的图象交于，两点（点在点的右侧），过的中点作线段的垂线交轴于点，交轴于点，连接，，． (1)如图1，当，点的坐标为时，求反比例函数的表达式和B点坐标； (2)如图2，当，连接，时，求m的值； (3)当时，若，求b的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据题意得到，两点坐标，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得到，根据点在一次函数的图象上，在反比例函数的图象上，得到一次函数解析式为：，反比例函数解析式为，则，如图所示，过点作轴于点，根据，得坐标，可求出直线的解析式，则坐标可表示，根据三角形面积的计算即可求解； （3）根据题意得到，则，，则点，，，设一次函数与轴交点，，直线的解析式为，即可知，根据两点之间距离的计算得到，，，，由，得到，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：当时，一次函数解析式为， ， 点是的中点，且， ， 解得， ， 把点代入反比例函数解析式得，， 解得，， 反比例函数解析式为， 把点代入一次函数解析式得，， 解得，， 一次函数解析式为， 联立反比例函数、一次函数解析式得，， 解得，，， ； （2）解：当时，同理，， 点是的中点，且， 点的横坐标为，纵坐标为，即， 点在一次函数的图象上，在反比例函数的图象上， ，， 解得，，， 一次函数解析式为：，反比例函数解析式为， 联立方程组得， 解得，，， ， 如图所示，过点作轴于点， ，， ，，， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，，即， ， ， 整理得，， ， 解得，或， 或， 解得，或； （3）解：当时，一次函数解析式为， 把点代入得，， ，则， ，则点，， ， 把点代入得，， ， 反比例函数解析式为， ， 解得，，， ， 当时，，即设一次函数与轴交点， ， 同理，， ， ，则， 设直线的解析式为， ， 解得，， 直线的解析式为， 当时，，即， 由勾股定理得： ， ， ， ， ， ， ， 整理得，， ， 当时，， ，，如图所示， 当时，， ，，如图所示， 若，的值为或． 【点睛】本题主要考查一次函数性质，反比例函数与几何图形的综合，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键． 4．（2024·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数交于点． (1)求点和点的坐标； (2)点是轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点，连接，若，求的面积； (3)在（2）的条件下，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．点是反比例函数的图象上一点，连接，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)1 (3)或 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，利用平行线转化三角形的面积是求点坐标的关键． （1）在中，令，可求得点的坐标，联立方程组可求得点的坐标； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，设交轴于点，由，得，可得，求得，再求得，进而可得，运用待定系数法可得直线的解析式为，进而求得，即可求得答案； （3）过点作轴，作于，于，连接，先证得，可得，，得出，进而得出，再求得直线的解析式为，联立方程组即可求得答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ， 联立方程组， 解得：，（舍去）， ； （2）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设交轴于点， ， ， ， ， ， 当时，， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ； （3）过点作轴，作于，于，连接，如图， 由旋转得：，， ，， ， ， ， ，， ， 轴， ，， ， ， 设直线交轴于， ， 直线的解析式为， ， 解得：，， 点的坐标为或． 5．（2025·四川雅安·二模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出和的值； (2)结合图象直接写出中的取值范围； (3)在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点P的坐标为 【分析】本题考查反比例函数解析式中的几何意义，利用图像解不等式，对称求最值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用反比例函数的几何意义可以求出反比例函数解析式，再将和点的坐标代入即可求出的值； （2）利用函数图像即可求出不等式的解集； （3）因为点关于轴的对称点，又，则直线与轴的交点即为所求的点，求出直线的关系式，再求其与x轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵的面积为4， ∴， 解得，或（不符合题意舍去）， ∴反比例函数的关系式为， 把点和点代入得， ，． 答：，； （2）解：根据一次函数与反比例函数的图象可知， 不等式的解集为： 或； （3）解：∵点关于轴的对称点， 又，则直线与轴的交点即为所求的点， 设直线的关系式为，代入和得， ， 解得，， ∴直线的关系式为， 令，， ∴直线与轴的交点坐标为， 即点P的坐标为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03 一次函数与反比例函数的综合应用 目录 01析·考情目标 02筑·专题框架 03攻·重难考点 题型一一次函数解析式的确定（待定系数法） 题型二反比例函数解析式的确定（待定系数法） 真题动向 题型三一次函数与反比例函数的图像交点问题 题型四函数图像与几何图形结合的面积计算 题型五反比例函数的实际应用 知识1一次函数y=kx+b(k≠0)的图像性质 知识2反比例函数y=(k≠0)的图像性质 知识3待定系数法求一次函数、反比例函数解析式 必备知识 知识4一次函数与反比例函数交点的求解（联立方程组） 知识5函数图像与坐标轴围成的三角形/不规则图形的面积计算方法 知识6利用函数性质解决存在性问题知识7一次函数与反比例函数实际 问题的建模（变量提取、解析式构建） 预测1反比例函数k的几何意义[2024年18题、2025年18题] 预测2待定系数法求一次/反比例函数解析式[2024年18(1)、2025年 18(1)] 预测3一次函数与反比例函数的交点求解[2025年18(2)] 命题预测 预测4函数图像与几何结合的面积计算[2024年18(2)] 预测5反比例函数的图像性质判断[常考题] 预测6一次函数与反比例函数的实际应用【常考题】 预测7函数综合与勾股定理/相似三角形结合[2024年18(3)] 0 析·考情目标 命题形式： 命题 选择题、填空题及解答题（以解答题综合压轴考查为主） 考察能力： 透视 数形结合应用能力、运算求解能力、几何与函数结合的推理能力、实际问题建模能力 1/30 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 考点 2025年 2024年 T8:一次函数图象分析（行程问题，T13:一次函数结合轴对称求最短路 离家距离与时间的函数关系) 径问题 一次函数的图象与性质 T18(12)3):一次函数解析式求解、T18(1(23): 一次函数解析式求解、 与反比例函数交点分析 与反比例函数交点综合应用 T12:反比例函数实际应用（电流 反比例函数的图象与性 与电阻的反比例关系) T18:反比例函数解析式求解、图象 原 T18:反比例函数解析式求解、图 上点的坐标特征及几何综合 象上点的坐标特征 T18(1):求一次函数与反比例函数 T18(1):求一次函数与反比例函数的 热考 一次函数与反比例函数 的交点坐标 交点坐标 的交点问题 T18(2):根据交，点及几何条件求函 T18(2)小：结合交点和平行四边形性质 角度 数解析式 求点的坐标 T18(2):结合勾股定理求反比例函 T18(2):结合平行四边形性质求反比 一次函数与反比例函数 数上的点 例函数上的点 结合几何图形 T18(3):结合三角形面积求反比例 T18(3):结合相似三角形、根的判别 函数上的点坐标 式求参数值 T8:一次函数图象的实际信息提 取 未单独考查函数实际应用，侧重函 函数的实际应用 T12: 反比例函数的实际应用（物 数与几何的纯数学综合 理背景)》 1.考情预测 。根据2024-2025年成都中考的命题趋势，2026年该专题仍是函数板块的核心考查内容，以 解答题18题综合压轴形式考查为主，分值占比高；选择、填空题会侧重考查一次函数或 反比例函数的基础图象与性质，或结合简单几何（如最短路径、图象信息提取）考查。综 合解答题将延续“求函数解析式→找交点坐标→结合几何图形（三角形面积、平行四边形、 相似三角形)求点的坐标/参数值”的命题思路，极少单独考查单一函数，均以“一次函 数+反比例函数+几何”综合形式出现，偶尔会结合物理、生活实际背景考查反比例函数的 命题 基础应用。 预测 2.备考建议 。熟练掌握一次函数、反比例函数的解析式求解方法（待定系数法），牢记两类函数的图象 特征与性质（增减性、对称性、图象上点的坐标特征）：强化数形结合思想的运用，能结 合函数图象分析几何条件，将几何问题的边长、面积、位置关系转化为函数坐标与解析式 的计算；掌握一次函数与反比例函数交点的求解方法（联立方程组），熟练解决与三角形 面积、平行四边形、相似三角形结合的综合问题；注重解题步骤的规范性，尤其是待定系 数法求解析式、联立方程求交点的书写过程；积累函数与几何综合的常见题型解法，提升 从复杂图形中提取函数与几何关联条件的能力。 2/30 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 02 筑·专题框架 一次函数：解析式、图象、增减性 基础性质O 反比例函数：解析式、图象、象限分布 联立解析式 交点坐标求解O 解方程组 割补法 二、 综合核心考点O 面积计算0 与坐标轴围成图形 看图象分区间 函数大小比较⊙ 列不等式求解 求函数解析式 三、 常见题型。 几何与函数结合 最值与取值范围 定解析式 求交点 四、 解题步骤○ 数形结合 验证结果 03 攻·重难考点 题 动 ◆题型一一次函数解析式的确定 点方法 1. 审题提取条件：明确已知条件类型（两点坐标、图像关键点、实际情境中的两组对应量），标注关 键数据。 2. 设解析式：统一设为y=kx+b(k≠0)，牢记k≠0的隐含条件，避免遗漏。 3. 代入求解：将两组对应x、y的值代入解析式，列出二元一次方程组，准确计算k、b的值。 4. 检验验证：将求得的k、b代入解析式，检验是否符合己知条件（如代入第三点、匹配图像趋势）。 规范书写：写出完整的一次函数解析式，若有实际情境，补充自变量的取值范围。 6. 易错提醒：避免坐标代入错位、计算失误，图像类题目需准确读取与坐标轴交点、交点等关键点坐 3/30 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 标。 1.(2025·四川达州·中考真题)如图，直线y=:+bk≠0)与双曲线y=m(m≠0)交于点A2,2),点 B(-4,a. 0 B (1)求一次函数与反比例函数的表达式： (2)点P在x轴上，S△4op=3,求点P的坐标 2.(2024·四川内江·中考真题)如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=《的图象相交于A、B 两点，其中点A的坐标为-2,3)，点B的坐标为(3，n) -2 B (1)求这两个函数的表达式： (2)根据图象，直接写出关于x的不等式ax+b<二的解集 题型二反比例函数解析式的确定 点方法 1. 设解析式：设反比例函数解析式为y=(k≠0) 2.找已知点：提取图像上的点坐标或题目中一组、Xy对应值 3. 代入求k:将点的横、纵坐标代入解析式，计算出k的值 4/30 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.写解析式：把求得的k代入，写出完整的反比例函数表达式 5. 验证合理性：结合函数图像象限或实际意义，检验k的符号与取值是否符合题意 6. 规范作答：明确写出最终解析式，注意k≠0的隐含条件 1.(2025·四川德阳·中考真题)如图，己知菱形0ABC,点C在x轴上，反比例函数y=(x>0)的图象经 过菱形的顶点A(3,4),连接OB,OB与反比例函数图象交于点D O U (1)求反比例函数解析式： (2)求直线OB的解析式和点D的坐标. 2.(2025·四川遂宁·中考真题)如图，一次函数y=mx+n(m,n为常数，m≠0)的图象与反比例函数 y=(k≠0)的图象交于4-2，-2小、B(a,1)两点. V (1)求一次函数和反比例函数的关系式. k (2)结合图形，请直接写出不等式-x<0的解集， (3)点P(O,b)是y轴上的一点，若△ABP是以AB为直角边的直角三角形，求b的值. 3.(2025·四川南充·中考真题)如图，一次函数与反比例函数图象交于点A-3,1),B(1,. A (1)求一次函数与反比例函数的解析式. 5/30 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②)点C在反比例压数第二象限的图象上，横坐标为4，过点C作的垂线，交B于点D,CD-子，求 a的值. ◆题型三一次函数与反比例函数的图像交点问题 皮方法 1.联立解析式：将一次函数与反比例函数解析式联立，转化为一元二次方程 2.判别式判断交点个数：△>0有两个交点，△=0有一个交点，△<0无交点 3.解方程求坐标：求解一元二次方程得到横坐标，再代入函数求纵坐标 4.数形结合比较大小：根据图像上下位置，直接判断函数值大小关系 5.结合象限取舍：根据函数所在象限，排除不符合题意的交点坐标 6.利用交点求参数：将交点坐标代入函数解析式，列方程求解未知系数 7.规范书写结果：明确交点坐标、参数值或取值范围，步骤完整 1.(2025·四)川成都·中考真题)如图，在平面直角坐标系x0y中，直线y=-x+b与反比例函数y=《的图 象的一个交点为A(a,2),与x轴的交点为B(3,0) 备用图 (1)求k的值； (2)直线A0与反比例函数的图象在第三象限交于点C,点D在反比例函数的图象上，若∠ACD=90°，求直 线AD的函数表达式： (3)P为x轴上一点，直线AP交反比例函数的图象于点E(异于A),连接BE,若△BEP的面积为2，求点E 的坐标 2.(2024·四川成都·中考真题)如图，在平面直角坐标系x0y中，直线y=-x+m与直线y=2x相交于点 6/30 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A2,a),与x轴交于点Bb,0),点C在反比例函数y=k<0图象上. 备用图 (1)求a,b,m的值； (2)若O,A,B,C为顶点的四边形为平行四边形，求点C的坐标和k的值； (3)过A,C两点的直线与x轴负半轴交于点D,点E与点D关于y轴对称.若有且只有一点C,使得 △ABD与△ABE相似，求k的值， 3.(2025·四川巳中·中考真题)如图，直线y=:+b与双曲线y=”(cx<0)交于4(-2,6，B(-6,)两点. A (1)求m和直线的表达式： (②)根据函数图象直接写出不等式+b>”的解集； (3)求△AB0的面积. ◆题型四函数图像与几何图形结合的面积计算 点方法 1. 提取关键信息：确定函数解析式，找出图像与坐标轴交点、几何图形顶点、交点等关键点坐标。 2. 转化面积模型：将不规则图形通过割补法、分割法，转化为三角形、矩形等可直接计算面积的基本 图形。 3. 确定底和高：结合坐标轴，以水平或竖直线段为底/高，利用坐标差计算底、高的长度（注意绝对值） 4. 结合函数求值：若关键点坐标未知，代入函数解析式求解，确保坐标准确。 5. 规范计算：套用基本图形面积公式，分步计算，避免计算失误；多个图形组合需分块计算再求和/差 7/30 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6. 检验合理性：结合图形实际，验证面积计算结果是否符合题意，排除不合理数值。 规范作答：写出关键坐标、面积转化过程及最终结果，步骤清晰，标注单位。 1.(2024·四川宜宾·中考真题)如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,反比例函数y=《(k≠0)的图象 经过点A、B及AC的中点M,BC∥x轴，AB与y轴交于点N则4的值为() AB A. 3 B. c.s 2.(2024·四川广元·中考真题)已知y=5x与y=《(x>0)的图象交于点4(2，m),点B为y轴上一点， 将△OAB沿OA翻折，使点B恰好落在y=(x>O)上点C处，则B点坐标为。 3.(2024·四川绵阳·中考真题)如图，在边长为4的菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E,边AB 在x轴上，∠BAD=60°，B-1,0,点C在反比例函数y=《(k≠0)的图象上. 8/30 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A BO (1)求点C,D,E的坐标及反比例函数的解析式： (2)将菱形ABCD向右平移，当点E恰好在反比例函数的图象上时，边BC与函数图象交于点F,求点F到x 轴的距离. 题型五反比例函数的实际应用 点方法 1.审题建模：明确行程、工程等问题中的常量与变量，确定两个变量成反比例关系。 2.设解析式：设反比例函数表达式为y=(k≠0) 3.找已知量：从题干中提取一组对应数值，代入求出\(k)值，确定解析式。 4.代值计算：将未知量对应的变量值代入解析式，求解另一变量。 5. 范围检验：结合实际意义，确定自变量取值范围，舍去不合理解。 6.规范作答：明确计算结果，对应实际问题写出结论，注意单位统一。 1.(2024·四川泸州·二模)李白《望天门山》诗中写道：“天门中断楚江开，碧水东流至此回.两岸青山 相对出，孤帆一片日边来.”这首诗的意境可以用如图所示的函数图象进行直观描述，则y与x的函数关系 式可以是() A.y=2 B.y=2 C.y D.少=x 2 2.(2025·四川成都·中考真题)某蓄电池的电压为定值.使用此电源时，用电器的电流I(A).与电阻R 9/30 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (Q）之间的函数关系为1：治，则电流1的值随电阻R值的增大而 (填“增大”或“减小”). 3.(2025·四川南充·一模)随着科技的迅猛发展，智能机器人己融入人们的日常生活中.如图，是某酒 店的智能送餐机器人，其最快移动速度v(m/s是载重后总质量m(kg的反比例函数.已知此款智能送餐机 器人载重前的质量m=20kg时，它的最快移动速度v=1.5ms,当其载重后总质量m=30kg时，它的最快移 动速度v是 m/s. 核 炼 《。知识1 一次函数y=kx十b(k≠O的图像性质 1.图像形状 一条直线，两点即可确定图像；正比例函数y=kx是过原点(O,O)的直线。 2.与坐标轴交点 与y轴交点：(0，b) 与x轴交点：（是，0)】 3.位置与倾斜方向（由k决定） k>0:直线从左到右上升 k<0:直线从左到右下降 以越大，直线越陡峭。 4.增减性（由k决定） k>0:y随x增大而增大 k<0:y随x增大而减小 5.所在象限（由、k、b共同决定) k>0,b>0:一、二、三象限 k>0,b<0:一、三、四象限 k<0,b>0:一、二、四象限 k<0,b<0:二、三、四象限 10/30