专题02 方程(组)与不等式(组)与一次函数的实际应用（复习讲义）（四川成都专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题02 方程(组)与不等式(组)与一次函数的实际应用 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 题型一 一次方程（组）的实际应用 题型二 分式方程的实际应用 题型三 一元一次不等式（组）的实际应用 题型四 一次函数的图像与性质应用 题型五 方程、不等式与一次函数的综合实际应用 题型六 方案优化类问题（最值选择） 必备知识 知识1 一次方程（组）的建模与求解 知识2 分式方程的建模、求解及验根 知识3 一元一次不等式（组）的建模与解集分析 知识4 一次函数的解析式、图像特征与增减性 知识5 一次函数与方程、不等式的转化关系 知识6 实际问题中的变量提取与函数建模 知识7 方案优化中的最值分析 命题预测 预测1 一次方程（组）的实际应用 [2024年7题、2025年6题] 预测2 分式方程的实际应用 [2024年22题] 预测3 一元一次不等式（组）的实际应用 [常在综合题中涉及] 预测4 一次函数的图像应用 [2024年16题]【高频考点】 预测5 一次函数解析式的确定 [两年必考] 预测6 方程、不等式与一次函数的综合应用 [2024年24题、2025年24题] 预测7 方案优化与最值问题 [两年必考] 预测8 一次函数与几何图形的结合应用 [常在B卷压轴题中涉及] 命题 透视 命题形式： 选择题、填空题及解答题（以解答题综合应用为主） 考察能力： 数学建模能力、运算求解能力、分析问题与解决实际问题的能力、数形结合应用能力 热考角度 考点 2025年 2024年 二元一次方程组的实际应用 T6：以《九章算术》古算题为背景，列二元一次方程组（良劣田购买问题） T7：以《九章算术》古算题为背景，列二元一次方程组（合伙买琎石问题） T24(1)：列二元一次方程组求解水果购进数量问题 一元一次不等式（组）的实际应用 T24(2)：结合挂件购买背景，列一元一次不等式求购买数量的最大值 T24(2)：结合水果销售背景，列一元一次不等式求销售单价的最小值 分式方程的实际应用 T24(1)：以文创挂件价格为背景，列分式方程求解商品单价问题 未单独考察，融入一次函数与几何综合题型 一次函数的图象分析应用 T8：以行程问题为背景，分析一次函数图象（离家距离与时间），提取实际信息 T13：以平面直角坐标系为背景，结合一次函数性质求解最短路径问题 一次函数与方程/几何综合应用 T18：一次函数与反比例函数结合，求解函数表达式、点的坐标问题 T18：一次函数与反比例函数结合，求解平行四边形顶点、相似三角形相关问题 方程与不等式的综合实际应用 T24：分式方程求解单价+一元一次不等式求解购买数量，综合应用 T24：二元一次方程组求解购进量+一元一次不等式求解销售单价，综合应用 命题预测 1. 考情预测 · 根据2024-2025年成都中考的命题趋势，2026年该专题依旧是解答题核心考查模块，分值占比高，考查形式以“单一方程/不等式应用”向“方程+不等式综合应用”转变，《九章算术》等传统文化背景的二元一次方程组应用题仍是高频考点；一次函数的考查侧重图象分析和与反比例函数、几何的综合应用，极少单独设题；分式方程的实际应用大概率会结合生活消费背景考查，且需注意检验步骤的考查。整体命题会紧扣生活实际、传统文化、本地热点，侧重考查从实际问题中提取等量/不等量关系的建模能力。 1. 备考建议 · 熟练掌握二元一次方程组、一元一次不等式（组）、分式方程的解法，重点强化实际问题中等量/不等量关系的提取训练，能根据题意准确列写数学表达式；掌握一次函数的图象与性质，能结合图象分析实际问题中的变量关系，熟练解决一次函数与反比例函数、几何图形的综合问题；注重解题步骤的规范性，分式方程求解后必须进行验根，不等式（组）结合实际问题时注意解的取值范围（如正整数解）；积累传统文化、生活消费、行程工程、经济销售等常见实际应用背景的解题思路，提升数学建模能力。 题型一 一次方程（组）的实际应用 1. 审题标记：圈画题干中的数量、关键词及所求量，理清已知与未知关系 2. 合理设元：直接设所求量，复杂问题可间接设相关中间量 3. 找等量关系：根据和差倍分、行程、工程、利润、配套等类型，确定两组等量关系 4. 规范列写：按等量关系列出二元一次方程组，保证单位统一 5. 准确求解：选用代入或加减消元法计算，步骤简洁完整 6. 双重检验：检验解是否满足方程组，再检验是否符合实际意义 7. 完整作答：明确写出最终结论，对应题目所问，不遗漏单位 1．（2025·四川·中考真题）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两”，即可列出关于x、y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：∵5头牛、2只羊，共值金10两， ∴； ∵2头牛、5只羊，共值金8两， ∴． ∴根据题意可列出方程组． 故选：D． 2．（2025·四川广元·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程在几何图形面积问题中的应用，解题的关键是根据花卉带宽度相同的条件，正确表示出中间草坪的长和宽，再结合草坪面积与总面积的关系列出方程． 确定矩形总面积：矩形地面长、宽总面积为分析草坪的长和宽：花卉带宽度为且在四周，因此草坪的长需减去左右两侧花卉带宽度（共即草坪的宽需减去上下两侧花卉带宽度（共即列面积关系方程：草坪面积为且等于总面积的，由此确定方程形式． 【详解】解：根据题意，矩形地面的总面积为，草坪面积为总面积的，即草坪面积为． ∵花卉带宽度为，且分布在矩形四周， ∴中间草坪的长应等于原矩形的长减去左右两侧花卉带的总宽度（每侧宽即 草坪的宽应等于原矩形的宽减去上下两侧花卉带的总宽度（每侧宽即． 因此，草坪的面积可表示为结合面积关系可列方程： 故选：D． 3．（2025·四川凉山·中考真题）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设月平均增长率为x，则二月份生产钢铁吨，则三月份生产钢铁吨，再根据第一季度共生产钢铁1860吨列出方程即可得到答案． 【详解】解：设月平均增长率为x， 由题意得，， 故选：C． 4．（2025·四川成都·中考真题）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为________． 【答案】3 【分析】本题考查了程序框图的计算，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 根据程序框图的运算法则建立一元方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：3． 5．（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 【答案】(1)A型相册每本零售价60元，B型相册每本零售价50元 (2)该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元 【分析】该题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设这家商场型相册每本的零售价是元，型相册每本的零售价是元，根据“购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买本型相册，则购买本型相册，根据“购买型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元； （2）解：设购买本型相册，则购买本型相册， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为10，11，12， ∴该社团共有3种购买方案， 方案1：购买10本型相册，5本型相册； 方案2：购买11本型相册，4本型相册； 方案3：购买12本型相册，3本型相册． 选择购买方案1所需费用为（元）； 选择购买方案2所需费用为（元）； 选择购买方案3所需费用为（元）， ， ∴方案1所需费用最少． 答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元． 6．（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)3元 (3)售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； （2）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. （3）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则 ， ∵， ∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 题型二 分式方程的实际应用 1. 审题梳理：明确题目中的数量关系，找准工作总量、行程、销售、增长率等核心等量关系 2. 恰当设元：直接设未知数或间接设相关量，统一单位 3. 列写方程：依据等量关系列出分式方程，确保分母含未知数 4. 规范求解：去分母化为整式方程，按步骤计算出未知数的值 5. 双重验根：先检验是否为分式方程增根，再检验是否符合实际问题意义 6. 完整作答：明确写出结果，带上对应单位，回应题目问题 1．（2025·四川绵阳·中考真题）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别装载货物吨，普通机器人比智能机器人多用分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（    ） A．0.1吨 B．0.15吨 C．6吨 D．9吨 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是根据工作时间差建立方程并求解． 设普通机器人的工作效率为未知数，根据智能机器人效率是其倍表示出智能机器人效率；再根据“装载吨货物的时间差为分钟”建立分式方程，求解后得到智能机器人的效率． 【详解】解：设普通机器人每小时装载货物吨，则智能机器人每小时装载货物吨． ， 解得， ∴智能机器人每小时装载货物吨． 故选：D． 2．（2025·四川广元·中考真题）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． (1)求篮球和足球的单价； (2)学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，设购买篮球x个，总费用为y元，求总费用y（元）与x（个）的函数关系式，并求出x的取值范围和总费用最低时的购买方案． 【答案】(1)篮球的单价为100元，足球的单价为80元 (2)，，且x为整数，当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设篮球的单价为x元，则足球的单价为元，根据用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同建立方程求解即可； （2）设购买篮球x个，则购买足球个，根据总费用等于购买篮球的费用加上购买足球的费用求出y与x的函数关系式，根据足球的数量不能多于篮球数量的列出不等式求出x的取值范围，再根据一次函数的性质确定y最小时x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设篮球的单价为x元，则足球的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：篮球的单价为100元，足球的单价为80元； （2）解：由题意得，， ∵足球的数量不能多于篮球数量的， ∴， ∴， ∵两种球都要购买， ∴，且x为整数 ∵，， ∴y随x增大而增大， ∴当时，y有最小值，此时， 答：，，且x为整数，当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低． 3．（2025·四川广安·中考真题）某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元． (1)求A，B两种帐篷的单价各多少元？ (2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 【答案】(1)A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元 (2)当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元，根据用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等建立方程求解即可； （2）设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元，根据购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元． 由题意得：， 解得： 经检验：符合题意， ， 答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元． （2）解：设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元． 由题意得：， 解得：． 又两种型号的帐篷均需购买， ． ， ， 随m的增大而减小 当时，W取最小值，， 此时， 答：当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元． 4．（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【答案】(1)A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人 (2)本次研学活动学校最少租车费用为27 000元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二次函数的实际应用，根据题意得到等量关系式是解题的关键． （1）设A型客车每辆载客量为人，根据题意列出方程，求解即可； （2）设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，根据材料三先求出m的取值范围，再列出w关于m的函数关系式，结合二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设A型客车每辆载客量为人，根据题意得： ． 解之得． 经检验：是方程的根，且符合题意， 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人． （2）解：设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，则 ． 解之得． ． ∵，且对称轴为， ∴时，随着的增大而增大． ∵取正整数，且， ∴当时，最小值为27000（元）． ∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元 5．（2024·四川绵阳·中考真题）为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊，预算资金为2700元，其中1200元购买甲种花卉，其余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株． (1)求甲、乙两种花卉每株的价格； (2)购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元．求购买这两种花卉有几种方案？并计算所需费用的最小值． 【答案】(1)甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元． (2)购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，找准等量关系，正确列出分式方程、一元一次不等式组、一次函数关系式成为解题的关键． （1）设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为元，根据购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株，列出分式方程求解即可； （2）设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉株，根据总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元，列出一元一次不等式组，解得，得出购买这两种花卉有6种方案，再设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元，由题意列出一次函数关系式，然后由一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为1.2x元， 由题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以． 答：甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元． （2）解：设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉株， 由题意得：，解得：， ∵m为正整数， ∴， ∴购买这两种花卉有6种方案， 设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元， 由题意得：， ∵， ∴y随m的增大而减小， ∴当时，y有最小值． 答：购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元． 题型三 一元一次不等式（组）的实际应用 1. 审清题意，提取关键数量与不等关系关键词，如至少、至多、不超过、不少于、不足等 2. 合理设未知数，明确未知量的实际意义 3. 根据不等关系列出一元一次不等式或不等式组 4. 准确求解不等式（组）的解集，注意系数为负时不等号方向改变 5. 结合实际意义确定符合条件的解，多为正整数解 6. 若为方案设计问题，根据解集列举所有可行方案 7. 检验解是否满足题意与实际限制，规范写出答案 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量箱与售价元/箱满足关系式． (1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润； (2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 【答案】(1)合作社每天芒果的销售利润为元 (2)芒果的售价应该定在86元/箱到95元/箱之间 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出不等式，是解题的关键： （1）求出时的函数值，根据总利润等于单件利润乘以销量，列式计算； （2）根据每天的销售量不少于300箱，列出不等式求出的范围，结合芒果的售价不低于86元/箱，求出范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； ∴合作社每天芒果的销售利润为（元）； 答：合作社每天芒果的销售利润为元； （2）由题意，得：， 解得：， 又∵， ∴． 故芒果的售价应该定在86元/箱到95元/箱之间． 2．（2025·四川资阳·中考真题）某社团计划开展手工制作活动，制作需使用A，B两款材料包，购买3份A款材料包和2份B款材料包需84元，购买2份A款材料包和3份B款材料包需86元． (1)问购买一份A款材料包和一份B款材料包各需多少元？ (2)该社团打算购买A，B两款材料包共50份，总费用不超过830元，则至少购买A款材料包多少份？ 【答案】(1)购买一份A款材料包和一份B款材料包各需元和元 (2)至少购买A款材料包份 【分析】（1）设购买一份A款材料包和一份B款材料包各是元和元，根据题意列方程组求解即可； （2）设购买A款材料包份，根据题意列出不等式求解即可． 本题主要考查了列二元一次方程组解应用题，列一元一次不等式解应用题，解题的关键是正确设元，并找到题目中的等量关系或不等关系列出方程或不等式． 【详解】（1）解：设购买一份A款材料包和一份B款材料包各需元和元， 则，解得， 答：购买一份A款材料包和一份B款材料包各需元和元． （2）解：设购买A款材料包份， ， 解得， ∵a为整数， ∴a最小为， 答：至少购买A款材料包份． 3．（2025·四川德阳·中考真题）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元． (1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？ (2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？ 【答案】(1)A型挂面每袋20元，B型挂面每袋30元 (2)共有6种购买方案，最低费用为900元 【分析】本题考查了运用二元一次方程组解应用题，以及综合运用一次函数和一元一次不等式设计方案问题．根据题意列出方程组，不等式组以及一次函数的关系式是解题的关键． （1）设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元．根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元．先根据题意列不等式组求出a的范围为，再根据题意列出w与a的函数关系式为，根据一次函数的增减性可得时，w有最小值，据此求解即可． 【详解】（1）解：设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元． 则， 得． 答：A型挂面每袋20元，B型挂面每袋30元． （2）解：设购买B型挂面a袋，则购买A型挂面的数量为袋，总费用为w元． 则， 解得， 又a为正整数， ，11，12，13，14，15． 由题意得． ， w随a的增大而增大， 时，w有最小值，最小值为（元）． 答：共有6种购买方案，最低费用为900元． 4．（2025·四川遂宁·中考真题）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料： 材料一：已知购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元；购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元． 材料二：据统计该社区需购买两种型号的新型垃圾桶共个，但总费用不超过元，且型号的新型垃圾桶数量不少于型号的新型垃圾桶数量的． 请根据以上材料，完成下列任务： 任务一：求两种型号的新型垃圾桶的单价？ 任务二：有哪几种购买方案？ 任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？ 【答案】任务一：种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元；任务二：有三种购买方案：①购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个；②购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个；③购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个；任务三：购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个更省钱，最低购买费用是元． 【分析】任务一：设种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元，根据题意列出方程组即可求解； 任务二：设购买种型号的新型垃圾桶个，则购买种型号的新型垃圾桶个，根据题意列出不等式组，解不等式组求出的取值范围即可求解； 任务三：由种型号的新型垃圾桶价格更低，可知购买种型号的新型垃圾桶越多，购买费用越低，据此解答即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，有理数混合运算的实际应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：任务一：设种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元， 由题意得，， 解得， 答：种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元； 任务二：设购买种型号的新型垃圾桶个，则购买种型号的新型垃圾桶个， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴或或， ∴有三种购买方案：①购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个； ②购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个； ③购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个； 任务三：∵种型号的新型垃圾桶价格更低， ∴购买种型号的新型垃圾桶越多，购买费用越低， 即购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个更省钱， ∴最低购买费用为元， 答：购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个更省钱，最低购买费用是元． 5．（2024·四川泸州·中考真题）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元． (1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？ (2)该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？ 【答案】(1)A，B两种商品每件进价各为100元，60元； (2)购进A商品的件数最多为20件 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）设A，B两种商品每件进价各为x元，y元，根据购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元列出方程组求解即可； （2）设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件，根据利润不低于1770元且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设A，B两种商品每件进价各为x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：A，B两种商品每件进价各为100元，60元； （2）解：设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件， 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴m的最大值为20， 答：购进A商品的件数最多为20件． 题型四 一次函数的图像与性质应用 1. 识图析图：明确一次函数图像中横、纵坐标代表的实际意义，提取图像上的关键点坐标、截距、交点等信息 2. 求解析式：采用待定系数法，设函数解析式为y=kx+b（k≠0），代入两组对应坐标列方程组求解k、b 3. 分析性质：根据k的正负判断函数增减性，结合b的值确定函数图像与y轴的交点位置 4. 图像解题：通过函数图像的交点坐标，解决函数值大小比较、对应方程或方程组的解的问题 5. 取值限定：结合实际情境确定自变量的取值范围，排除不符合题意的解 6. 最值求解：依据函数增减性，在自变量取值范围内求函数的最大值或最小值 7. 规范作答：完整写出函数解析式、性质结论及实际问题结果，步骤清晰逻辑严谨 1．（2024·四川德阳·中考真题）正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的性质：当，图象经过第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而增大；当，图象经过第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而减小．利用正比例函数的性质得到，然后在此范围内进行判断即可． 【详解】解：∵正比例函数图象经过第一、第三象限， ∴， ∴选项A符合题意． 故选：A． 2．（2025·四川·中考真题）函数的图象为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象性质（含一次函数与坐标轴交点的求解），解题的关键是通过计算一次函数与x轴、y轴的交点坐标，与选项中图象的交点进行匹配，确定正确答案． 先明确函数是一次函数（图象为直线）；分别令求其与x轴的交点，令求其与y轴的交点；再将计算出的交点坐标与各选项图象的交点对比，筛选出匹配的选项． 【详解】解：函数为一次函数，其图象是一条直线，可通过求与坐标轴的交点判断选项．   令，则，解得，即函数与x轴的交点为；   令，则，即函数与y轴的交点为； 观察图像，只有A选项与计算结果匹配． 故选：A． 3．（2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点的坐标为，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系、一次函数、旋转的性质、勾股定理等知识点．找出点的坐标规律以及旋转过程中线段长度的关系是解题的关键． 通过求出点的坐标，、、的长度，再根据旋转的特点逐步推导出后续点的位置和坐标，然后结合图形求解即可． 【详解】轴，点的坐标为， ，则点的纵坐标为3，代入， 得：，则点的坐标为． ，， ， 由旋转可知，，，， ，， ， ． 设点的坐标为， 则， 解得或（舍去），则， 点的坐标为． 故选C． 4．（2025·四川南充·中考真题）已知直线与直线的交点在轴上，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的交点问题，由直线与直线的交点在轴上可知当时函数值相等，得到，然后代入化简即可．推导知时函数值相等是解题的关键． 【详解】解：当时，，， ∵直线与直线的交点在轴上， ∴， ∴． 题型五 方程、不等式与一次函数的综合实际应用 1. 审题：提取等量关系（列方程/一次函数）、不等量关系（列不等式）。 2. 设元，用待定系数法求一次函数解析式。 3. 列不等式（组），求解自变量取值范围。 4. 结合函数增减性，求最值或可行方案。 5. 检验（符合实际），规范作答。 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，函数和的图象相交于A、B两点． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； 观察图象，不等式的解集为__________； (2)若轴上存在点，使，求点的坐标． 【答案】(1)，，或； (2)或 【分析】（1）联立方程组，解方程组求出A，B坐标，再利用图象求出不等式的解集即可； （2）将的面积转化为两个三角形的面积之和即可． 本题主要考查反比例函数与一次函数图象交点，函数与不等式的关系，三角形的面积等，能利用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】（1）解：联立方程组得， 解得或’ ∴A点的坐标为，B点的坐标为， 观察图象，找出函数的图象在的图象上边位置时x的取值范围， ∴不等式的解集为或． 故答案为：，，或； （2）解：设与y轴的交点为M， 令时，， 则点M的坐标为， 设C点的坐标为， 由题意知， ， 解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴点C的坐标为或． 2．（2025·四川·中考真题）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升． (1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； (2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． 【答案】(1)血液中药物浓度上升阶段对应的函数解析式为，下降阶段的函数关系式是． (2)成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据，可以得到血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； （2）依据由题，令 ，结合（1）的解析式，分别求出的值，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为， 把 代入中得， ∴． ∴当时，与的函数关系式为； 当时，设与的函数关系式为， 把和代入中得， ∴， ∴当时，与的函数关系式为． 综上，血液中药物浓度上升阶段与之间的函数解析式为，下降阶段与之间的函数关系式是． （2）解：在中，当时，， 在中，当时，， 小时， 答：成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时． 3．（2024·四川攀枝花·中考真题）如图，折线表示了距离s（米）与时间t（分）之间的函数关系． (1)分别直接写出线段所对应的函数表达式，并注明相应的t的取值范围； (2)请你想象一个符合函数图象的实际情境，并用语言进行描述（不必描述具体的速度）． 【答案】(1) (2)见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据，通过待定系数法可以分别计算出线段所对应的函数表达式，并注明相应的t的取值范围； （2）根据图象中的数据，可以写出一个符合图象中数据的情境，本题答案不唯一． 【详解】（1）解：设线段对应的函数解析式为， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得， ∴线段对应的函数解析式为， 由图象可得，线段对应的函数解析式为， 综上： （2）解：小明从家步行去图书馆，图书馆距离小明家900米，用时20分钟，然后小明在图书馆看书用了10分钟，再步行回家，用时15分钟(答案不唯一，符合图象即可)． 4．（2025·四川眉山·中考真题）国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份食品的质量为，其核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） 碳水化合物（单位：） A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 (1)若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少份？ (2)若每份午餐选用这两种食品共，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？ 【答案】(1)选用A、B两种食品分别为份和2份； (2)应选用A、B两种食品分别为2份和份； 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设选用A、B两种食品分别为份和份，结合选用A、B两种食品分别为份和份，列出方程组，进行计算，即可作答． （2）结合每份食品的质量为，每份午餐选用这两种食品共，则选用B种食品份，再列出不等式，得，然后设能量为，则，运用一次函数的性质进行作答即可． 【详解】（1）解：设选用A、B两种食品分别为份和份， ∵这两种食品中摄入能量和蛋白质， ∴， ∴， ∴选用A、B两种食品分别为份和2份； （2）解：设选用A种食品份， 依题意，， 即选用B种食品份， 则 ， 解得， 设能量为， 则 ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时能量最低， 即， ∴应选用A、B两种食品分别为2份和份． 题型六 方案优化类问题（最值选择） 1. 审清题意，确定两种及以上方案的数量关系，设出关键未知量。 2. 分别列出各方案的费用、总量等相关函数表达式或代数式。 3. 根据题目中的限制条件列不等式（组），求出自变量的取值范围。 4. 结合一次函数的增减性，在取值范围内确定函数的最大值或最小值。 5. 比较不同方案的结果，选出成本最低、利润最高等最优方案。 6. 检验结果是否符合实际意义，规范写出方案与结论。 1．（2025·四川绵阳·一模）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元． (1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少时，书店每天销售利润最大？最大利润为多少元？ (3)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值． 【答案】(1) (2)当销售单价定为35元时，书店每天销售利润最大，最大利润为2250元 (3)2 【分析】本题考查了二次函数及一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键． （1）根据题意列函数关系式即可； （2）设可获得利润为元．根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可； （3）设每天扣除捐赠后可获得利润为W元．列出函数关系式，再根据二次函数的性质可得当时，W取得最大值，然后根据每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元，每本进价为20元， ∴ 根据题意得：； （2）解：设可获得利润为元． ， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为2250， 答：当销售单价定为35元时，书店每天销售利润最大，最大利润为2250元； （3）解：设每天扣除捐赠后可获得利润为W元． ∴该函数图象的对称轴为， ∵， ∴， ∵， ∴当时，W取得最大值， ∴， ∴（不合题意舍去）， ∴． 2．（2024·四川资阳·一模）初三体育进入专项训练，某学校打算采购一批篮球和实心球供同学们使用，调查发现购买3个篮球和4个实心球需170元；购买4个篮球和5个实心球需220元． (1)求篮球、实心球的单价各是多少元？ (2)该校计划采购篮球、实心球共100个，总费用不超过2400元，且篮球个数不少于实心球个数的一半，请为该校设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)篮球的单价是30元，实心球的单价是20元 (2)最省钱的购买方案为：购进34个篮球，66个实心球，理由见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设篮球的单价是元，实心球的单价是元，根据“购买3个篮球和4个实心球需170元；购买4个篮球和5个实心球需220元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该校购进个篮球，则购进个实心球，根据“总费用不超过2400元，且篮球个数不少于实心球个数的一半”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，设该校购进篮球、实心球共花费元，利用总价单价数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设篮球的单价是元，实心球的单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：篮球的单价是30元，实心球的单价是20元； （2）解：最省钱的购买方案为：购进34个篮球，66个实心球，理由如下： 设该校购进个篮球，则购进个实心球， 根据题意得：， 解得：． 设该校购进篮球、实心球共花费元，则， 即， ， 随的增大而增大， 又，且为正整数， 当时，取得最小值，此时（个， 最省钱的购买方案为：购进34个篮球，66个实心球． 3．（2024·四川成都·模拟预测）2024年世界园艺博览会将在成都举行，某社区决定采购甲、乙两种盆栽美化环境，若购买20盆甲种盆栽和10盆乙种盆栽，则需要130元；若购买30盆甲种盆栽和20盆乙种盆栽，则需要220元． (1)甲、乙两种盆栽的单价各是多少元？ (2)若该社区联合附近社区购买甲、乙两种盆栽共1000盆，设购买m盆（）乙种盆栽，总费用为W元，请你帮社区设计一种购买方案，使总花费最少，并求出最少费用． 【答案】(1)甲种盆栽的单价为4元，乙种盆栽的单价为5元； (2)当购买甲种盆栽和乙种盆栽各500盆时，总花费最少，最少费用为4500元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，理解题意，正确列出方程以及函数关系式是解答的关键． （1）设甲种盆栽的单价为x元，乙种盆栽的单价为y元，直接根据题意列方程组求解即可； （2）根据（1）中单价，由费用=单价×数量列函数关系式，利用一次函数性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲种盆栽的单价为x元，乙种盆栽的单价为y元， 根据题意，得，解得， 答：甲种盆栽的单价为4元，乙种盆栽的单价为5元； （2）解：根据题意，得， ∵，， ∴W随m的增大而增大， ∴当时，W有最小值，最小值为， （盆）， 答：当购买甲种盆栽和乙种盆栽各500盆时，总花费最少，最少费用为4500元． 4．（2021·四川德阳·模拟预测）什邡某影院的电影票价：成人票每张35元，学生票每张20元．春节期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，影院制定了两种优惠方案，方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的90%付款．某校有4名老师与若干名（不少于4人）学生去该电影院看电影． (1)设学生人数为x（人），付款总金额为y（元），分别建立两种优惠方案中y与x的函数关系式； (2)请计算并确定出最节省费用的购票方案． 【答案】(1)方案1：；方案2： (2)当时，一样多，方案1优惠，方案2优惠 【分析】本题根据实际问题考查了一次函数的运用．解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，再进一步分类讨论． （1）首先根据优惠方案1：付款总金额购买成人票金额除去4人后的学生票金额； 优惠方案2：付款总金额（购买成人票金额购买学生票金额）打折率，列出关于的函数关系式， （2）分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据优惠方案1：付款总金额购买成人票金额除去4人后的学生票金额可得： ， 优惠方案2：付款总金额（购买成人票金额购买学生票金额）打折率可得 ； （2）解：， ①当时，得 ， ， 当学生人数为33人时，两种优惠方案付款一样多． ②当时，得 ， ， ∴当时，，优惠方案①付款较少． ③当时，得 ， ， ∴当时，，优惠方案②付款较少． 5．（2023·四川达州·模拟预测）为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知一件甲种农机具价格是一件乙种农机具价格的3倍，且用6万元相同金额购进甲种农机具的数量比购进乙种农机具的数量少8件． (1)求一件甲种农机具和一件乙种农机具的价格各是多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.5万元又不超过13万元，设购进甲种农机具m件，则有几种购买方案？并写出需要的资金最少的购买方案． (3)在（2）中需要资金最少的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种），请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？ 【答案】(1)一件甲种农机具的价格是1.5万元，一件乙种农机具的价格是0.5万元 (2)有4种购买方案，购买甲种农机具5件，乙种农机具5件需要的资金最少 (3)节省的资金全部用于再次购买农机具的方案有2种：①购买甲种农机具0件，乙种农机具15件；②购买甲种农机具3件，乙种农机具7件 【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设一件乙种农机具的价格是万元，则一件甲种农机具的价格是万元，根据用6万元相同金额购进甲种农机具的数量比购进乙种农机具的数量少8件．列出分式方程，解方程即可； （2）设购进甲种农机具件，购进乙种农机具件，根据投入资金不少于9.5万元又不超过13万元，列出一元一次不等式组，解得，有4种方案，再设需要的总资金为万元，然后由一次函数的性质即可解决问题； （3）设节省的资金用于再次购买甲种农机具件，乙种农机具件，根据该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种），列出二元一次方程，求出非负整数解即可． 【详解】（1）设一件乙种农机具的价格是万元，则一件甲种农机具的价格是万元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：一件甲种农机具的价格是1.5万元，一件乙种农机具的价格是0.5万元； （2）设购进甲种农机具件，购进乙种农机具件， 由题意得：， 解得：， 为整数． 可取5，6，7，8． 有4种方案， 设需要的总资金为万元， 则． ， 随着的增大而增大， 当时，， 此时，， 答：有4种购买方案，购买甲种农机具5件，乙种农机具5件需要的资金最少； （3）设节省的资金用于再次购买甲种农机具件，乙种农机具件， 由题意得：， 整理得：， 、均为非负整数， 或， 节省的资金全部用于再次购买农机具的方案有2种： ①购买甲种农机具0件，乙种农机具15件． ②购买甲种农机具3件，乙种农机具7件． 知识1 一次方程（组）的建模与求解 一、一元一次方程 1. 标准形式： 1. 求解五步 去分母 → 去括号 → 移项变号 → 合并同类项 → 系数化为1 1. 关键 乘除负数时不等号不变（方程是等号，仅移项变号） 二、二元一次方程组 1. 核心思想：消元：把二元化为一元一次方程 1. 两种解法 代入消元法：将一个未知数用另一未知数表示，代入另一方程 加减消元法：统一系数后，两式相加/减直接消元 1. 解的形式：一组有序实数对 三、实际问题建模（核心步骤） 审：找已知、未知，确定等量关系 设：设直接/间接未知数，统一单位 列：根据等量关系列方程或方程组 解：按步骤求解，算出未知数 验：检验是否满足方程，且符合实际（非负、整数等） 答：规范写出结果 四、常见等量关系 行程：路程=速度×时间 工程：工作总量=效率×时间（常设为1） 利润：利润=售价−进价 和差倍分：总量=各部分之和 五、高频易错点 1. 去分母漏乘常数项 1. 移项不变号 1. 解出后不检验实际意义 1. 方程组消元时计算符号出错 知识2 分式方程的建模、求解及验根 一、分式方程求解核心步骤 1. 去分母：方程两边同乘最简公分母，将分式方程化为整式方程，注意常数项不可漏乘。 2. 解整式方程：按照一元一次/二次方程步骤求解，算出未知数的值。 3. 必验根：检验解是否为增根，这是分式方程独有的关键步骤。 二、验根核心规则 1. 验根方法：将解代入最简公分母 2. 结果判定 最简公分母**≠0**：该解是原分式方程的有效解 最简公分母**=0**：该解为增根，原方程无解 3. 增根原因：去分母时，方程两边乘了可能为0的整式，产生不符合原式的根。 三、分式方程实际建模核心 1. 审题：找准等量关系，区分行程、工程、销售、工程等实际场景。 2. 设元：设未知数，注意分母对应的量不能为0。 3. 列方程：依据实际等量关系列出分式方程。 4. 双检验 检验是否为方程增根 检验是否符合实际意义（如数量为正、人数为整数等） 5. 作答：规范写出结果。 四、高频易错点 1. 求解后遗漏验根，直接写解导致失分 2. 去分母时漏乘常数项，整式方程列错 3. 忽略实际意义，出现负数、零等不合理解 4. 最简公分母计算错误，验根结果判断失误 知识3 一元一次不等式（组）的建模与解集分析 一、实际问题建模核心 1.审题关键 区分求固定值（方程）与求取值范围（不等式），圈画题干中表示限制、边界的关键词。 2.关键词对应不等号 至少、不少于、不低于 → 至多、不超过、不大于 → 超过、多于、高于 → 不足、少于、低于 → 3.建模步骤 审（找不等关系）→设（设未知数）→列（列不等式/组）→解（求解集）→验（符合实际意义）→答 4.常见建模场景 方案选择、用料限制、人数/数量限额、利润达标、行程时间约束等，均需列不等式组确定可行范围。 二、解集分析核心 1.单个不等式求解 步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1 核心规则：两边同乘/除负数时，不等号必须反向。 2.不等式组解集确定 步骤：分别解每个不等式→找公共部分 口诀： · 同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解） 3.数轴表示规则 空心圆圈：、（不包含端点） 实心圆点：、（包含端点） 方向：大于向右画，小于向左画 4.特殊解集分析 实际问题常需求整数解、正整数解、非负整数解，在解集范围内取符合实际的离散数值，确定最优方案。 三、高频易错点 1. 系数为负时，忘记改变不等号方向 2. 数轴上空心、实心混淆，方向画反 3. 只看数学解集，忽略实际限制（如人数为正整数） 4. 不等式组漏找公共解集，错取单个不等式的解 知识4 一次函数的解析式、图像特征与增减性 一、一次函数解析式 1.一般形式：（、为常数，） 2.特殊形式：正比例函数 当时，（），是过原点的一次函数 3.求解析式方法：待定系数法 设解析式→代入两点坐标→列方程组求、→写出解析式 二、图像核心特征 1.一次函数的图像是一条直线，两点即可确定图像 2.坐标轴交点 与轴交点：，为纵截距 与轴交点： 3.平移规律 直线上下平移个单位得：上加下减 三、增减性（由决定） ：随的增大而增大，直线从左向右上升 ：随的增大而减小，直线从左向右下降 的绝对值越大，直线越陡峭，变化越快 四、关键易错点 1.忽略核心前提，混淆一次函数与常函数 2.平移时混淆“上加下减、左加右减”规则 3.增减性只看，与无关，切勿受干扰 知识5 一次函数与方程、不等式的转化关系 一、核心思想 数形结合：一次函数的图像（直线）↔ 方程的解/不等式的解集，二者一一对应、互相转化。 二、一次函数 ↔ 一元一次方程 设一次函数： 1.方程 的解↔ 直线 与x轴交点的横坐标 2.方程 的解↔ 直线上纵坐标为的点的横坐标 3、 一次函数 ↔ 一元一次不等式 1.单函数不等式 ↔ 直线在x轴上方对应的取值范围 ↔ 直线在x轴下方对应的取值范围 / ↔ 包含x轴交点的对应区域 2.双函数不等式（、） ↔ 直线在上方的范围 ↔ 直线在下方的范围 分界点：两直线交点横坐标 四、一次函数 ↔ 二元一次方程组 二元一次方程组的解↔ 两个对应一次函数图像的交点坐标 两直线相交→ 方程组有唯一解 两直线平行（相等、不等）→ 方程组无解 两直线重合（、均相等）→ 方程组有无数组解 五、高频易错点 1.混淆不等号方向与直线上下位置的对应关系 2.含等号时遗漏交点，解集边界判断错误 3.只看函数值大小，忽略对应自变量的范围 4.误将平行直线判为有交点，错写方程组解 知识6 实际问题中的变量提取与函数建模 一、变量提取核心 1.分清三类量 自变量：主动变化的量（时间、数量、单价、行程等） 因变量：随自变量变化的量（总价、利润、路程、费用等） 常量：固定不变的数值（固定成本、单价、速度、基础费用） 2.提取关键 · 圈画题干中变化量、固定值、限制条件，明确两个变量的依赖关系 3.实际约束 · 变量需符合现实：非负数、正整数、取值范围限制 二、函数建模核心步骤 审：梳理情境，明确变量含义与问题目标 设：设自变量、因变量，标注单位 找：抓等量关系，建立与的关系式 列：转化为一次函数解析式 定：根据实际意义，确定自变量取值范围（定义域） 验：检验解析式与取值范围是否符合题意 用：利用函数性质（增减性、交点）求解最值、方案等问题 三、一次函数建模常见关系 费用/销售类：总费用=固定费用+单价×数量；总价=单价×数量 行程类：路程=速度×时间+初始路程 工程/工作量：总量=效率×时间+基础量 利润类：总利润=单件利润×销量-固定成本 四、核心解题思想 数形结合+实际约束：先建函数模型，再结合取值范围，用一次函数增减性求最优解（最值、方案选择） 五、高频易错点 1.变量对应关系混淆，自变量、因变量颠倒 2.忽略实际限制，未确定自变量取值范围 3.建模时漏算固定常量，解析式列错 4.只看数学解，不验证是否符合现实意义 知识7 方案优化中的最值分析 一、核心思想 以一次函数建模为基础，结合自变量取值范围，利用函数增减性确定最值，本质是数形结合+边界取值。 二、一次函数最值核心规律 设函数解析式：，且自变量有确定取值范围 ：随增大而增大 取最大值时，得最大值 取最小值时，得最小值 ：随增大而减小 取最大值时，得最小值 取最小值时，得最大值 3.关键结论：一次函数最值必在自变量取值范围的端点处取得 三、方案优化完整步骤 设变量：设方案相关量为自变量（通常为正整数） 建模型：列出总费用/总利润等关于的一次函数 定范围：根据题意列不等式组，求出的有效取值范围 判增减：根据的正负判断函数增减性 求最值：代入的端点值计算的最值 选方案：对比最值，确定最优方案 四、常见约束与取值要求 自变量多为正整数（人数、件数、次数） 满足成本、数量、用料等实际限制条件 方案数由的整数解个数决定 五、高频易错点 1.未确定取值范围，直接盲目求最值 2.误判的符号，导致最值结果相反 3.忽略为整数的要求，选取非整数解 4.只算函数值，未结合实际意义验证方案合理性 命题预测1：一次方程（组）的实际应用 [2024年7题、2025年6题] 1．（2025·四川成都·模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》中有一道著名的“河上荡杯”题（注：荡杯即洗碗）：“今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有客．津吏曰：客几何？”妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？其大意是：一位农妇在河边洗碗．渡口的官员问：“你家里来了多少客人，要用这么多碗？”她答道：“客人每两位合用一只饭碗，每三位合用一只汤碗，每四位合用一只肉碗，一共洗了65只碗．”请问：她家里究竟来了多少位客人？设客人是人，可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据客人每两位合用一只饭碗，每三位合用一只汤碗，每四位合用一只肉碗，一共洗了65只碗，列出方程即可． 【详解】解：设客人是人，由题意，得：； 故选B． 2．（2025·四川成都·二模）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十.问：家数、牛价各几何？题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱，家数、牛价各是多少？若设牛价是x钱，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键．由每7家共出钱，会差钱，每9家共出钱，又多了钱，设牛价是x钱，列方程即可． 【详解】解：依题意得，可列方程为， 故选：C． 32．（2025·四川达州·三模）“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，幻方正来源于此，它被世界公认为组合数学的鼻祖．如图，各行、各列及两条对角线所含的3个数之和都相等的三阶幻方，则的值为（   ） A．9 B．18 C．12 D． 【答案】B 【分析】本题考查了求代数式的值．根据各行、各列及两条对角线所含的3个数之和都相等，得出，，整理得出，，再求出结果即可． 【详解】解：根据题意可得：，， ∴，， ∴， 故选：B． 3．（2025·四川成都·一模）据某省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年7月产值达到3000万元，第三季度总产值将达到9930万元．设该公司8，9两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该公司8，9两个月产值的月均增长率为，根据连续两个月的月均增长率建立方程即可． 【详解】解：∵7月产值达到3000万元，该公司8，9两个月产值的月均增长率为x， ∴8月产值为：，9月产值为：， ∵第三季度总产值将达到9930万元， ∴， 故选：B． 4．（2025·四川达州·二模）主题灯光秀在达州莲花湖展演，有两条笔直且平行的景观道，上放置E、F两盏激光灯如下图所示，若光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向每秒的速度旋转至边就停止旋转，若光线先转6秒，光线才开始转动，当光线旋转时间为_______秒时，．（G、H为C、B对应点） 【答案】3或28/28或3 【分析】本题主要考查平行线的性质及一元一次方程的应用．根据题意可得，，然后分两种情况：当未到达时，当到达返回时，根据平行线的性质，列出方程，即可求解． 【详解】解：停止旋转的时间为秒， 设光线旋转时间为t秒，则， 根据题意得：，， 如图，当未到达时，设射线交于点P， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 如图，当到达返回时，设射线交于点P，此时此时，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，光线旋转时间为3或28秒时，． 故答案为：3或28 5．（2025·四川宜宾·模拟预测）如图，、、、为直线上的个动点，其中，．在直线上，线段以每秒个单位的速度向左运动，同时线段以每秒个单位的速度向右运动，则运动______秒时，点到点的距离与点到点的距离相等． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差，一元一次方程. 设运动时间为t，分当C和F都在线段上时，当C在线段上，F在的延长线上时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：设运动时间为t， 当C和F都在线段上时， 由题意得：， 解得； 当C在线段上，F在的延长线上时， 由题意得， 解得 故答案为：或． 6．（2025·四川成都·二模）某公司研制出一种新产品，每件产品成本元，销售单价定为元．为了鼓励商家购买该产品，公司决定若一次购买该产品不超过件，每件按元销售；若一次购买该产品超过件，每多购买一件，所购买全部产品销售单价降低元，但销售单价均不低于元． (1)商家一次购买该产品多少件时，销售单价恰好为元？ (2)请写出公司所获利润与销售件数之间的函数关系式，并通过分析该函数关系，为公司确定更合理的最低销售单价，使得商家一次购买数量越多，公司所获利润越大． 【答案】(1)商家一次购买该产品件时，销售单价恰好为元 (2)，当最低销售单价为元时，公司所获利润越大 【分析】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，写出销售单价的代数式，掌握一元一次方程、一元一次不等式的解法及一次函数、二次函数的增减性是解题的关键． （1）设商家一次购买该产品件时，销售单价恰好为元，将销售单价用含的代数式表示出来，列方程并求解即可； （2）设销售件，所获利润元，分别讨论、两种情况下的最大值即可． 【详解】（1）解：设商家一次购买该产品件时，销售单价恰好为元． 根据题意，得， 解得． 答：商家一次购买该产品件时，销售单价恰好为元． （2）设销售件，所获利润元． 当时， ， 随的增大而增大， 当时值最大，； 当时： 根据题意，得， 解得， ， ， 该函数图象开口向下，对称轴为，， 当时值最大，， ， 元． 答：当最低销售单价为元时，公司所获利润越大． 7．（2025·四川成都·二模）2025年甲乙两家车商分别推出了型和型家用电车，已知一辆型家用电车比一辆型家用电车落地价贵11万元，若购买2辆型家用电车和3辆型家用电车落地价共247万元．（落地价是指消费者购买一辆车到上牌为止所花的所有费用） (1)求型家用电车和型家用电车落地单价分别是多少万元？ (2)为扩大市场占有率，甲车商决定对型家用电车降价万元，乙车商也决定对型家用电车跟随降价销售，现甲车商利用大模型进行数据深度分析得出以下结论： ①乙车商对型家用电车降价的金额是甲车商对型家用电车降价金额的一半； ②为保证型家用电车在消费者心目中的高端定位，型家用电车落地单价不得低于型家用电车落地单价的； 为保证型家用电车的高端定位，求的最大值． 【答案】(1)型家用电落地单价为56万元，则型家用电车落地单价为45万元 (2)5 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设型家用电落地单价为万元，则型家用电车落地单价为万元，由“购买2辆型家用电车和3辆型家用电车落地价共247万元”建立一元一次方程求解即可； （2）型家用电车降价后的价格为万元，型家用电车降价后的价格为，再由“型家用电车落地单价不得低于型家用电车落地单价的”建立一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设型家用电落地单价为万元，则型家用电车落地单价为万元， 由题意得：， 解得：， 则 答：型家用电落地单价为56万元，则型家用电车落地单价为45万元； （2）解：由题意得，， 解得：， ∴的最大值为5． 8．（2025·四川南充·二模）某服装商店开辟专柜购进两款围巾销售，进货价和销售价如下表． 款 款 进价（元/条） 60 50 售价（元/条） 90 78 (1)第一次用10000元购进两款围巾共180条，求两款各购进多少条． (2)第二次根据销售情况，A款进货量不超过款进货量的一半，计划购进两款围巾共300条．应如何设计进货方案，才能获得最大利润，最大利润是多少？ (3)商店两次进货均按预期售完．请从利润率的角度分析，哪一次更划算？ 【答案】(1)两款分别购进100条，80条 (2)应购进A款围巾100条，款围巾200件，可获最大利润，最大利润为8600元 (3)从利润率的角度看，第二次更划算 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用． （1）设A款购进条，则款购进条．根据题意找出等量关系，列出方程组求解即可； （2）设第二次A款购进条，则款购进条．利润为元，先根据题意，列出不等式，求出x的取值范围，再根据总利润的利润的利润，得出y关于x的表达式，结合一次函数的增减性，即可解答． （3）先分别算出第一次的销售利润（A款利润与B款利润相加），再根据利润率公式算出第一次利润率；接着算出第二次进货成本和利润，进而得出第二次利润率；最后比较两次利润率大小，判断哪次更划算． 【详解】（1）解：设A款购进条，则款购进条．由题意，得 ． 解得． ∴． 即两款分别购进100条，80条． （2）设第二次A款购进条，则款购进条．由题意，得 ． 解得． 设利润为元，则． 随增大而增大， ∴时，． 此时． 即应购进A款围巾100条，款围巾200件，可获最大利润，最大利润为8600元． （3）第一次销售利润为（元）． 销售利润率为． 第二次进货款为（元）． 销售利润率为． ∴从利润率的角度看，第二次更划算． 9．（2025·四川成都·一模）在综合实践活动中，小张和小红准备将一个大型养鸡场重新设计为可养大、中、小三种鸡的综合性养鸡场，改良后的养鸡场的示意图如右图所示，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为．每类鸡舍均设计一道宽的门（门用普通的木材制作）． (1)若养鸡场的宽为，求改良后养鸡场的长y（请用含x的式子表示y）； (2)当养鸡场的总面积为，请求出养鸡场的长和宽． 【答案】(1) (2)长和宽分别为55，5或者20，． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、列代数式等知识点，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意直接用x表示出y即可； （2）由（1）可得改良后养鸡场的长，再根据养鸡场的总面积为，列出一元二次方程求解并检验即可解答． 【详解】（1）解：若养鸡场的宽为， 由题意可得：改良后养鸡场的长，即． （2）解：由题可得：， 整理得：， 解之得：， 当宽为5，，长分别为55，20，均符合题意． 所以养鸡场的长和宽分别为55，5或者20，． 10．（2025·四川广元·一模）某花卉种植园原计划培育个品种的月季，一个品种平均培育株幼苗．现准备多培育几个品种的月季以扩大育苗总量，试验发现，每多培育个品种的月季，每个品种平均培育的幼苗数量就会减少株，而且多培育的品种数量不能超过个． (1)如果要使幼苗总量增加，那么应多培育多少个品种的月季? (2)应多培育多少个品种的月季，幼苗的总量才会达到最大值?求出这个最大值． 【答案】(1)应多培育个品种的月季 (2)应多培育个品种的月季，幼苗的总量才会达到最大值，最大值为株 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的顶点式与最值问题，熟练掌握根据实际等量关系列方程、二次函数顶点式的转化是解题的关键． （1）设多培育的品种数为未知数，根据总苗量的等量关系列一元二次方程，结合限制条件求解． （2）设多培育的品种数为未知数，构建总苗量的二次函数，通过化为顶点式，利用二次函数性质求最大值． 【详解】（1）解：设应多培育个品种的月季． ， 解得，（因，舍去）． 答：应多培育10个品种的月季． （2）解：设多培育个品种的月季时，幼苗总量为． ， 因为，， 所以抛物线开口向下，当时，取最大值． 答：应多培育25个品种的月季，幼苗总量最大值为5625株． 命题预测2：分式方程的实际应用 [2024年22题] 1．（2025·四川成都·模拟预测）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题∶“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽有x株，则符合题意的方程是（   ）(椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，根据每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，以及这批椽的价钱为6210文可分别表示出1株椽的价钱，据此可建立方程． 【详解】解：∵每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱， ∴1株椽的价钱为文， ∵这批椽的价钱为6210文， ∴1株椽的价钱为文， ∴， 故选：D． 2．（2025·四川广元·模拟预测）某网络作家计划写一篇章的小说，由于在连载过程中受到读者的一致好评，他投入了更多时间和精力进行创作，平均每天的写作效率高出原计划的，截稿时间提前了天．设该作家原计划每天写章，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．设该作家原计划每天写章，则实际每天写章，根据实际截稿时间提前了天，列出方程即可． 【详解】解：设该作家原计划每天写章， 根据题意得， 故选：A． 3．（2025·四川成都·二模）某车间加工个零件后，采用了新工艺，工效提升了，这样加工同样多的零件就少用小时．采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？设采用新工艺前每小时加工个零件，则可列方程为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据题意可得工效提升了后，每小时加工个零件，再根据题意可得等量关系：采用新工艺前加工个零件所用时间采用新工艺后加工个零件所用时间，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：设采用新工艺前每小时加工个零件，根据题意得， 故选：A． 4．（2025·四川成都·模拟预测）龙年春节期间，全国各地形式多样的龙年文创产品火热上新．某文创店准备购进甲、乙两种“龙形”印章，每个印章的 进价和利润如表（单位：元） 甲种印章 乙种印章 单个进价 单个利润 2 3 (1)已知花费400元购进甲种印章的数量和花费800元购进乙种印章的数量相等，求的值； (2)该店准备拿出2000元全部用来购进这两种“龙形”印章，且购进甲种印章的数量不超过乙种印章数量的4倍，若印章能全部售完，问该店如何进货能使利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)该文创店购进甲种印章266个，乙种印章67个时，能使利润最大，最大利润是733元 【分析】（1）根据花费400元购进甲种印章的数量和花费800元购进乙种印章的数量相等，列出相应的分式方程，求解即可得到答案； （2）由（1）知，甲种印章单个进价为元，乙种印章单个进价为元，设利润为元，甲种印章购进个，则乙种印章购进个，根据题意，可以得到利润的函数关系，然后根据购进甲种印章的数量不超过乙种印章数量的4倍，列不等式求出，再由一次函数的图象与性质，可得该文创店最大利润情况． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 则的值为； （2）解：由（1）知，甲种印章单个进价为元，乙种印章单个进价为元， 设利润为元，甲种印章购进个，则乙种印章购进个， ， ∵， ∴随的增大而增大， ∵购进甲种印章的数量不超过乙种印章数量的4倍， ∴， 解得， ∵为正整数， ∴当时，取得最大值，最大值， 此时，乙种印章有个， 答：该文创店购进甲种印章266个，乙种印章67个时，能使利润最大，最大利润是733元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，涉及解分式方程、求一次函数表达式、解一元一次不等式等知识，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 5．（2025·四川成都·模拟预测）成都美食众多，热辣滚烫的灭锅深受人们的喜爱，火锅中有一种重要的调味品一花椒，给火锅增添了与众不同的味道．某商店准备购进一定质量的红花椒和青花椒两种花椒，已知购进红花椒和青花椒分别需要3600元、2400元，且购进青花椒的质量是红花椒质量的，红花椒每千克的进价比青花椒每千克的进价多12元． (1)红花椒、青花椒两种花椒每千克分别是多少元？ (2)若红花椒以每千克72元的价格出售，每天可售出30，通过调查发现，红花椒每千克的售价每降低1元，每天可多售出5．当红花椒以每千克多少元出售时，红花椒每天的销售利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)红花椒每千克进价为60元，青花椒每千克进价48元 (2)当红花椒以每千克69元出售时，红花椒每天的销售利润最大，最大利润为405元 【分析】本题考查二次函数的应用和分式方程的应用，关键是找到等量关系列出方程和函数解析式． （1）设青花椒每千克进价x元，则红花椒每千克进价元，根据“购进红花椒和青花椒分别需要3600元、2400元，且购进青花椒的质量是红花椒质量的”列出方程，解方程即可； （2）设红花椒的售价为m元，获得利润为w元，根据总利润=出售红花椒每千克的利润销售量列出函数解析式，由函数的性质求最值． 【详解】（1）解：设青花椒每千克进价x元，则红花椒每千克进价元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的根， 此时， 答：红花椒每千克进价为60元，青花椒每千克进价48元； （2）解：设红花椒的售价为m元，获得利润为w元， 根据题意得： ， ， 当时，w有最大值，最大值为405， 答：当红花椒以每千克69元出售时，红花椒每天的销售利润最大，最大利润为405元． 6．（2025·四川凉山·模拟预测）2025年春节，随着电影《哪吒2》的爆火，某玩具工厂生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办，已知每个“哪吒”手办的出厂价比每个“敖丙”手办的出厂价便宜20元，用480元按出厂价购买“哪吒”手办比同样购买“敖丙”手办多2个． (1)每个“哪吒”和“敖丙”手办的出厂价分别是多少元？ (2)电影角色深受大家喜爱，某商家按（1）中出厂价购进一批“敖丙”手办，据市场数据调查分析，每件“敖丙”手办售价为100元时，一周能卖出400件；若“敖丙”手办单价每涨1元，每周销量就会减少10件，请你帮商家分析每件售价为多少元时可获得最大利润． 【答案】(1)每个“哪吒”手办的出厂价为60元，每个“敖丙”手办的出厂价为80元 (2)110元 【分析】本题考查了分式方程的应用，二次函数的应用．熟练掌握总价与单价和数量的关系，总利润与每个利润和数量的关系，是解题的关键． （1）等量关系式：每个“哪吒”手办的出厂价比每个“敖丙”手办的出厂价便宜20元，用480元按出厂价购买“哪吒”手办比同样购买“敖丙”手办多2个，列方程，即可求解； （2）等量关系式：每件“敖丙”手办售价为100元时，一周能卖出400件；若“敖丙”手办单价每涨1元，每周销量就会减少10件，列列函数式，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：设每个“哪吒”手办的出厂价为元，则每个“敖丙”手办的出厂价为（）元， 则由题意，得， 解得，（不符合题意舍去）． 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴（元）， ∴每个“哪吒”手办的出厂价为60元，每个“敖丙”手办的出厂价为80元． （2）设每件售价为元，利润为元． 则 ， ∴当时，最大为9000， ∴每件售价为110元时可获得最大利润． 7．（2025·四川泸州·三模）两河桃片是叙永的地方名小吃，入选四川省非物质文化遗产，迄今已有百余年历史，有香甜味和椒盐味两种类型． (1)“五·一”节前小王花费4300元购买了40袋香甜味桃片和50袋椒盐味桃片，已知10袋香甜味桃片和9袋椒盐味桃片的售价相同，求每袋香甜味桃片和椒盐味桃片的售价分别是多少元？ (2)由于市场供不应求，“五·一”节后，香甜味和椒盐味桃片的价格均有上涨，其中每袋椒盐味桃片的售价比每袋香甜味桃片售价多10元，小王分别花费了2500元、3000元购买香甜味桃片和椒盐味桃片，一共购买了100袋，求每袋香甜味桃片的售价． 【答案】(1)每袋香甜味桃片的售价是45元，椒盐味桃片的售价是50元 (2)每袋香甜味桃片的售价为50元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、分式方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）每袋香甜味桃片的售价是x元，椒盐味桃片的售价是y元，根据题意列出方程求解即可； （2）设每袋香甜味桃片的售价为m元，则每袋椒盐味桃片的售价为元，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设每袋香甜味桃片的售价是x元，椒盐味桃片的售价是y元， 根据题意，得，解得， 答：每袋香甜味桃片的售价是45元，椒盐味桃片的售价是50元； （2）解：设每袋香甜味桃片的售价为m元，则每袋椒盐味桃片的售价为元， 根据题意，得， 整理，得， 解得（负值已舍去） 经检验，是原方程的解，且符合题意 答：每袋香甜味桃片的售价为50元． 命题预测3：一元一次不等式（组）的实际应用 [常在综合题中涉及] 1．（2025·四川绵阳·三模）某工厂现有甲种原料，乙种原料，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A产品需要甲种原料，乙种原料；生产一件B产品需要甲种原料，乙种原料．则符合题意的生产方案共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用．设A种产x件，B种产品件，根据题意列出不等式组，解不等式组求出x值，从而得出方案数． 【详解】解：设A种产x件，B种产品件， ， ， 因为x为整数， 所以，31，32 所以有3种方案 方案1，A产品30件，B产品20件； 方案2，A产品31件，B产品19件； 方案3，A产品32件，B产品18件． 有3种方案． 故选：B． 2．（2025·四川宜宾·二模）若一个自然数，其中a与b都是两位数，a与b的十位数字相同，个位数字之和为6，则称自然数n为“理想数”，将自然数n分解成的过程，称为“理想分解”．如，所以168是“理想数”．若把一个“理想数”n进行“理想分解”，即，a与b的和记为，a与b的差的绝对值记为，，当能被3整除时，满足条件的n的最小值是__________． 【答案】1088 【分析】本题考查了新定义、最值和整除，设a的个位数为y，则b的个位数为，求出 、，的表达式，通过分析讨论即可求得最值； 【详解】设两位a的个位数为y，十位数为x，则两位数b的个位数为． ，， ， 令 ，即 ，得 ， ，此时， ， ∵使得n的值最小， ∴只有x最小，y是满足条件， ①当，时，，不能被3整除，舍去； ②当，时，，不能被3整除，舍去； ③当，时，，不能被3整除，舍去； ④当，时，，不能被3整除，舍去； ⑤当，时，，不能被3整除，舍去； ⑥当，时，，不能被3整除，舍去； ⑦当，时，，能被3整除， 故，； 则，     故答案为：1088． 3．（2025·四川绵阳·二模）某茶叶销售商计划将m罐茶叶按甲，乙两种礼品盒包装出售，其中甲种礼品盒每盒装4罐，每盒售价240元；乙种礼品盒每盒装6罐，每盒售价300元，恰好全部装完．已知每罐茶叶的成本价为30元，若120罐茶叶全部售出后的总利润不低于3000元，则甲种礼品盒至少有___________盒． 【答案】15 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设甲种礼品盒有x盒，根据单价、利润、数量的关系列不等式，求出不等式的最小整数解即可． 【详解】解：设甲种礼品盒有x盒， 由题意得，， 整理得，， 解得：， 甲种礼品盒至少有15盒， 故答案为：15． 4．（2025·四川成都·模拟预测）某班级组织的社会实践活动“我是夜市小摊主”，分成甲乙丙三组开展活动．三个小组均购买A，B两种款式的文创用品，其中甲乙两组购买记录如下表． 组别 A型文创用品（件） B型文创用品（件） 合计金额（元） 甲 20 25 800 乙 10 20 550 (1)求A，B两种型号文创用品的单价． (2)丙小组计划购买A，B两种型号的文创用品共40件，预算不超过725元，则B型文创用品最多可以购买几件？ 【答案】(1)A型文创用品的单价是15元，B型文创用品的单价是20元； (2)B型文创用品最多可以购买25件． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设A型文创用品的单价是x元，B型文创用品的单价是y元，根据题意得，求解即可； （2）设购买m件B型文创用品，则购买件A型文创用品，根据题意得，求解即可． 【详解】（1）解：（1）设A型文创用品的单价是x元，B型文创用品的单价是y元，根据题意得： ， 解得：， 答：A型文创用品的单价是15元，B型文创用品的单价是20元； （2）解：设购买m件B型文创用品，则购买件A型文创用品， 根据题意得：， 解得：， ∴的最大值为25， 答：B型文创用品最多可以购买25件． 5．（2025·四川绵阳·一模）2025年，国家卫健委开展持续实施“体重管理年”行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．为响应该政策，某商场计划购进甲、乙两种品牌的足球．已知甲种品牌足球的进价比乙种品牌足球的进价多65元，用28000元购进甲种品牌足球的数量与用15000元购进乙种品牌足球的数量相同． (1)求甲、乙两种品牌足球的进价各多少元？ (2)商场计划每个甲种品牌足球的售价为198元，每个乙种品牌足球的售价为100元，商场决定同时购进甲、乙两种品牌足球共100个，假设能全部售出．若商场用不低于10100元且不高于10425元的资金购入甲、乙两种品牌的足球．请你帮商场设计利润最大的进货方案，并求出此时的最大利润，说明理由． 【答案】(1)甲种品牌足球的进价为140元，乙种品牌足球的进价为75元 (2)利润最大的进货方案是购进甲种品牌足球45个，乙种品牌足球55个，最大利润是3985元，理由见解析 【分析】本题主要考查分式方程和一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质 ，熟练掌握根据数量关系列方程、不等式组以及利用函数性质求最值是解题的关键． （1）通过设乙种品牌足球进价为未知数，利用两种品牌足球购进数量相同这一关系列出分式方程求解进价； （2）先设购进甲种品牌足球数量，根据资金范围列出不等式组确定甲种足球数量取值范围，再根据利润关系列出函数表达式，依据函数性质求出最大利润及对应的进货方案． 【详解】（1）解：设乙种品牌足球的进价为元，则甲种品牌足球的进价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲种品牌足球的进价为140元，乙种品牌足球的进价为75元； （2）解：利润最大的进货方案是购进甲种品牌足球45个，乙种品牌足球55个，最大利润是3985元， 理由如下： 设购进甲种品牌足球个，则购进乙种品牌足球（）个， 根据题意得：， 解得：， 为非负整数， ，，，，，， 设利润为元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，值最大，最大， 此时，， 利润最大的进货方案是购进甲种品牌足球45个，乙种品牌足球55个，最大利润是3985元． 6．（2025·四川成都·三模）我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了150亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进500元A种娃娃和购进400元B种娃娃数量相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个． (1)每个A种娃娃和每个B 种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元 (2)购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用． （1）设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是元，根据购进500元A种娃娃和购进400元B种娃娃数量相同，列出分式方程，解方程并检验即可； （2）设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃，利用进货总价进货单价购进数量，结合进货总价不超过1700元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元，利用总利润每个的销售利润销售数量（购进数量），可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ， 答：每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元； （2）解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃， 根据题意得：， 解得：， 设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元，则， 即， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为，此时（个）． 答：当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元． 7．（2025·四川广元·模拟预测）某中学计划购进一批护眼灯和黑板灯，已知1盏护眼灯和3盏黑板灯共需420元，3盏护眼灯和2 盏黑板灯共需910元． (1)一盏护眼灯和一盏黑板灯的售价分别是多少元? (2)学校准备购进这两种灯共100盏，其中护眼灯不少于黑板灯的3倍，设购进黑板灯盏，这100盏灯的总费用为元． ①求关于的函数解析式． ②购进护眼灯和黑板灯各多少盏，才能使总费用最低? 【答案】(1)一盏护眼灯的售价是270元，一盏黑板灯的售价是50元． (2)①；②购进黑板灯25盏，护眼灯75 盏时总费用最低 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的性质，不等式的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设一盏护眼灯和一盏黑板灯的售价分别是元和元，根据题意列出方程组，解出答案即可； （2）由题意可知，购进黑板灯盏，购进护眼灯盏，然后根据“护眼灯不少于黑板灯的3倍”列出不等式，解得，然后列出的表达式：，然后根据一次函数的性质，求得最值． 【详解】（1）解：设一盏护眼灯和一盏黑板灯的售价分别是元和元， 则 解得 ， 答：一盏护眼灯的售价是270元，一盏黑板灯的售价是50元． （2）解：∵购进黑板灯盏， ∴购进护眼灯盏． ∵护眼灯不少于黑板灯的3 倍， ∴，即． ∴ ． ②由①知，． ， 随的增大而减小， ， ∴当时，最小． 即黑板灯25盏，护眼灯75 盏，总费用最低； 答：购进黑板灯25盏，护眼灯75 盏时，总费用最低． 8．（2025·四川绵阳·二模）绵阳作为四川省重要的区域中心城市和成渝地区双城经济圈的重要节点，近年来物流业发展迅速，绵阳有望成为川西北物流新高地．现在绵阳某物流公司需要从涪城区运送360吨蔬菜和210吨水果到三台县城，物流公司准备派大货车和小货车共20辆来完成此次运送任务，其每辆车的运载量和运费如下表， 可载蔬菜吨数（吨/辆） 可载水果吨数（吨/辆） 运费（元/辆） 小货车 10 15 500 大货车 20 10 800 设物流公司派小货车x辆，请解决下面的问题： (1)求物流公司有哪几种运送方案？ (2)求物流公司采用哪种运送方案使运送费用最低？ 【答案】(1)共有3种运送方案 (2)物流公司采用方案3：小货车4辆，大货车16辆使运送费用最低 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）根据题意，以及表格数据列不等式组求解即可； （2）设运送费用为W元，小货车x辆，根据题意得到．利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：，解得：． 为整数， ，3，4， 共有3种运送方案： 方案1：小货车2辆，大货车18辆； 方案2：小货车3辆，大货车17辆； 方案3：小货车4辆，大货车16辆． （2）解：设运送费用为W元，小货车x辆， 则：． ， 随x的增大而减小， 又， 当时，， 物流公司采用方案3：小货车4辆，大货车16辆使运送费用最低． 命题预测4：一次函数的图像应用 [2024年16题]【高频考点】 1．（2025·四川德阳·一模）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数和一次函数的性质解答． 根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数和的图象经过哪几个象限，本题得以解决． 【详解】解∶当时，函数是经过原点的直线，经过第一、三象限，函数是经过第一、二、三象限的直线，没有符合题意的选项∶ 当时，函数是经过原点的直线，经过第二、四象限，函数是经过第一、三、四象限的直线，选项C符合题意； 故选∶ C． 2．（2025·四川广元·模拟预测）已知直线 与直线 在第二象限交于点 M，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了两条直线的相交问题，以及一次函数图象的点的特征，要熟练掌握．根据一次函数的图象与系数的关系，求出的取值范围即可． 【详解】解：直线与直线 在第二象限交于点， 直线过二、三、四象限， ， 直线与轴的交点为， 把点为代入得，， 直线与直线在第二象限交于点，则． 故选：A． 3．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则c的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数的平移等知识点，灵活运用极值法求解是解题的关键． 先求出平移后的解析式为，分别代入A、B的坐标，求得对应的c的值， 根据函数图象即可解答． 【详解】解：把直线向上平移c个单位长度后得到， 若直线过，则，解得：， 若直线过，则，解得， ∴将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则． 故答案为：． 4．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数分别交轴，轴于点，，点是直线上一动点，连接，则线段的最小值为______．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，点到直线的距离，一次函数与坐标轴交点问题，根据一次函数解析式求得的坐标，进而求得的长，根据等面积法即可求解． 【详解】解：∵一次函数分别交轴，轴于点，， 当时，，解得：，则 当时，，则， ∴ ∴ ∵点是直线上一动点，连接，当时，最小， 此时 ∴ 故答案为：． 5．（2025·四川南充·一模）如图，直线与直线交于点，交x轴于点B，直线分别与x轴、y轴交于点C、，连接． (1)求k、b的值； (2)点是线段上的一动点，点是点P关于y轴的对称点，当在内部时（不含边界），求m的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了一次函数综合题，考查了求一次函数解析式，关于轴对称的点的性质，两直线的交点坐标，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）先将点代入，得出点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，根据关于轴对称的点的性质得到，作点关于轴的对称点，则，连接，与交于点．利用待定系数法求出直线和直线的解析式，联立得到点的坐标，再根据点在线段之间（不含线段端点），即可求解． 【详解】（1）解：将点代入得，，即． 将点，代入得，， 解得：，． （2）解：由（1）知直线的解析式为． 令，则，解得：， ． 是关于轴的对称点， ． 如图，作点关于轴的对称点，则，连接，与交于点． 设直线的解析式为， 把代入得，解得， 直线的解析式为； 设直线的解析式为，则有， ，． 直线的解析式为， 联立可得：，解得，． 点， 当在内部时（不含边界），点在线段之间（不含线段端点）， ． ． 命题预测5：一次函数解析式的确定 [两年必考] 1．（2025·四川广元·模拟预测）中华猕猴桃富含大量维生素，鲜果可生吃，还可加工成果酱、果干等食品，其叶、花、种子、藤蔓也具有重要的经济价值，被誉为“绿色金矿”．某地区为发展经济，种植了大量的猕猴桃，由历年市场行情得知，从月日起的天内，猕猴桃的市场售价（元/千克）与上市时间（天）之间的函数关系如图所示，猕猴桃的种植成本（元/千克）与上市时间（天）之间的函数关系式为． (1)求市场售价与上市时间之间的函数关系式； (2)上市第几天，每千克猕猴桃的纯收益最大？最大纯收益是多少？（市场售价减去种植成本为纯收益） (3)当纯收益最大时，猕猴桃的售价是多少？（市场售价和种植成本的单位：元/千克，时间单位：天） 【答案】(1) (2)上市第天时，每千克猕猴桃的纯收益最大，最大纯收益为元 (3)元/千克 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数与分段函数，自变量取值范围，要根据题目给的范围，找准等量关系是解题关键． （1）分，，三种情况讨论，分别设出函数关系式，利用待定系数法求解即可； （2）设每千克猕猴桃的纯收益为元，根据纯收益市场售价种植成本，结合一次函数的增减性讨论求解即可； （3）将代入，计算即可得解． 【详解】（1）解：当时，， 当时，设线段所在直线的函数关系式为， 将，分别代入，得 ，解得， ， 当时，设线段所在直线的函数关系式为， 将，分别代入，得 ，解得， ， 综上，市场售价与上市时间之间的函数关系式为； （2）解：设每千克猕猴桃的纯收益为元， 当时，， 随的增大而减小， 当时，最大，最大值为． 当时，， 随的增大而减小， ， ． 当时，， 随的增大而增大， 当时，最大，最大值为． 综上可得，上市第天时，每千克猕猴桃的纯收益最大，最大纯收益为元． （3）解：当时，， 当纯收益最大时，猕猴桃的售价是元/千克． 2．（2025·四川成都·模拟预测）某商店销售一批水果，已知成本为10元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的2倍，在销售过程中发现，每天的销售量与销售单价（元）之间满足的一次函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当这批水果的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)当这批水果的销售单价为20元时，该商家获得的利润最大，最大利润为360元 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的应用，正确利用总利润 销量每件的利润得出函数关系式是解题关键． （1）设y与x之间的函数关系式为，利用待定系数法求解即可； （2）设利润为z，列出z与x之间的关系式，利用二次函数增减性，结合x的范围即可求出z的最值． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， ∵图象过，， ∴， 解得． 与x之间的函数关系式为． （2）解：设利润为z，由题意得， ． ， 故当时，z随x的增大而增大， 由题意得， ∴当时，z有最大值， 此时， 故销售单价定为20元时，该商家获得的利润最大，最大利润为360元． 3．（2025·四川资阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点． (1)若反比例函数时，取值范围是______． (2)求一次函数的解析式； (3)根据函数的图象，直接写出不等式的解集； 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了待定系数法的应用，一次函数与反比例函数的交点问题； （1）先求出时，，再根据函数图象判断出的取值范围； （2）先求出点A，B的坐标，再利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （3）根据点A，B的坐标，结合函数图象可直接得出答案． 【详解】（1）解：对于反比例函数， 当时，， 当时，， 故答案为：； （2）把，代入得：，， ∴， ∴，， 把，代入得：， 解得， 一次函数的解析式为； （3）∵，， ∴由函数图象可得：不等式的解集为：或． 4．（2025·四川内江·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴，y轴分别交于C、D两点，点，点C为线段的中点，连接、． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)直接写出当 时，自变量x的取值范围； (4)点M为线段上一动点(不与点A、O重合)，过点M作直线，使得，交于点．若与的面积比为，则点M的坐标为 ． 【答案】(1)； (2)12 (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点B坐标代入反比例函数解析式，再由点C为线段的中点求出点D坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）分别求出和的面积即可解决问题； （3）根据函数图象得出当 时，自变量x的取值范围即可； （4）根据题意得出点M为的中点，据此可解决问题． 【详解】（1）解：将点B坐标代入得，， ∴反比例函数的解析式为； ∵点C为线段的中点，且点C在x轴上，点D在y轴上， ∴，则， ∴点D的坐标为， 将点D和点B坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由得， ∴，， ∴点A的坐标为， 将代入得，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴，， ∴． （3）解：∵点A的坐标为，， ∴当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下面， ∴当 时，自变量x的取值范围为或； （4）解：∵， ∴， ∵与的面积比为， ∴， ∴点M为的中点， ∴点M的坐标为， 故答案为：． 命题预测6：方程、不等式与一次函数的综合应用 [2024年24题、2025年24题] 1．（2025·四川南充·二模）不等式的解集为，则方程组的解为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了一次函数与方程和不等式，根据不等式的解集为，得出一次函数与的交点横坐标为3，即可求解． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴一次函数与的交点横坐标为3， ∴交点纵坐标为， 则方程组的解为， 故选：A． 2．（2025·四川内江·模拟预测）如图，平行四边形中，，，，动点P从点A出发沿折线运动，到达点C停止运动．在运动过程中，过点P作于点H，设点P的运动路程为x，记为，的图象与的图象有1个公共点时m的取值范围_______． 【答案】或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到函数作图、一次函数的性质，分类求解和数形结合是解题的关键．当点P在上时，过点A作于点M，利用等面积法求出，再由，即可求解；当点P在上时，同理可解；描点、连线绘制图象，再观察函数图象即可求解；图象过和、时，为符合题意的临界点，即可求解． 【详解】解：当点P在上时，则， 过点A作于点M， 在平行四边形中，，，， 则， 则， 即， 则， 则； 当点P在上时，则， 则， 在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴， 即， 当时，，当时，，当时，， 根据上述3点坐标描点、连线绘制图象如下： 的图象是方向固定的一条直线，m为其与y轴的交点的纵坐标， 当图象过时，则， 当图象过时，则，则， 当图象过时，则，则， 通过平移直线，可知的图象与的图象有1个公共点时m的取值范围为或， 故答案为：或． 3．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的图象交于点，点的横坐标为，则______． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，理解图示，掌握交点的含义是关键． 根据题意得，，由此即可求解． 【详解】解：直线与直线的图象交于点，点的横坐标为， ∴， ∴， 故答案为： ． 4．（2025·四川达州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)把向上平移4个单位长度得的对应点分别是．请做出． (2)以点为旋转中心，将逆时针旋转得，画出的对应点分别是． (3)设点是轴上的动点，当周长取最小时，写出点P的坐标______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，以及一次函数与坐标轴交点问题，轴对称的性质，数形结合是解题的关键； （1）根据平移的性质，作出； （2）根据旋转的性质，作出 （3）作关于轴的对称点，则，连接交轴于点，进而待定系数法求解析式，进而求得点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，作关于轴的对称点，则，连接交轴于点， ∵的长度固定，当在上时，取得最小值，即周长取最小， ∴点即为所求； 设直线解析式为，代入， 解得： ∴ 当时， 解得： ∴ 故答案为：． 5．（24-25九年级上·安徽六安·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，掌握交点坐标满足两个函数解析式是解题关键． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据一次函数解析式先求出点C、D坐标，再设点P点坐标为利用三角形面积公式计算出m值即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数图象交于点，， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵一次函数图象过，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）在一次函数中，当时，；当时，， ∴ ∴， ∴， 设点P的坐标为， ∴， 解得， ∴点． 6．（2025·四川内江·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，． (1)求k的值； (2)直接写出不等式的解集； (3)直线与y轴的交点为C，若P为x轴上的一点，当的面积为3时，求点P的坐标； (4)若Q为y轴上的一点，当为等腰三角形时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4)，，， 【分析】（1）依据题意，由两函数图象相交于点，从而，求出后可得的坐标，再代入反比例函数，即可得解； （2）依据题意，在函数上，从而可得的坐标，再由不等式的解集为一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的自变量的取值范围，从而可以判断得解； （3）依据题意，令，可得直线与轴的交点，再令，可得，又设，再结合，，可得，进而求出，即可得解； （4）分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：． ． ． 又在反比例函数上， ． （2）解：由题意，在函数上， ． ． 由图象可得不等式的解集为一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的自变量的取值范围， 又，， 或． （3）解：由题意，令， ． 直线交轴于点． 对于函数，令， ． ． 设， 又，， ． ． 或． 或． （4）解：设点Q的坐标为， ∵， ∴，，， 当时，， ∴， 解得：， 此时点Q的坐标为：或； 当时，， ∴， 解得：（舍去）或， 此时点Q的坐标为：； 当时，， ∴， 解得：， 此时点Q的坐标为：； 综上分析可知：点Q的坐标为，，，． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求一次函数解析式，三角形面积计算，等腰三角形的定义，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 命题预测7：方案优化与最值问题 [两年必考] 1．（2025·四川成都·二模）年春节，随着电影《哪吒》的爆火，某超市计划购进“哪吒”和“敖丙”两款手办进行销售．经了解每个“哪吒”手办的进价比每个“敖丙”手办的进价多元，用元购进“哪吒”手办的个数与用元购进“敖丙”手办的个数相同． (1)单个“哪吒”手办和单个“敖丙”手办的进价分别是多少元？ (2)该超市计划购进这两种手办共个，其中“哪吒”手办的个数不低于“敖丙”手办个数的一半，若“敖丙”手办、“哪吒”手办的售价分别为元/个、元/个．设购进“敖丙”手办的个数为个，两种手办全部售完时获得的利润为元．问超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】(1)单个“敖丙”手办的进价是元，单个“哪吒”手办的进价是元． (2)超市应进“敖丙”手办个，“哪吒”手办个，才能获得最大利润，最大利润为元． 【分析】（1）设单个“敖丙”手办的进价是元，则单个“哪吒”手办的进价是元，根据题意列出分式方程后求解即可，注意检验； （2）由题意得，解出的取值范围，再由题意得出关于的关系式，分析该式，结合的取值范围即可得解． 【详解】（1）解：设单个“敖丙”手办的进价是元，则单个“哪吒”手办的进价是元， 据题意得，， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 单个“敖丙”手办的进价是元，单个“哪吒”手办的进价是元． （2）解：据题意得， 解得， ， ， 随的增大而增大， 又，为整数，且两种手办都有， 时，（元）， 此时， 超市应进“敖丙”手办个，“哪吒”手办个，才能获得最大利润，最大利润为元． 【点睛】本题考查的知识点是分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用、一次函数的实际应用，解题关键是正确理解题意． 2．（2025·四川成都·二模）四川是中国茶文化的发源地之一，拥有悠久的种茶、制茶和饮茶历史，其茶文化融合了自然，民俗与人文特色，形成了独具巴蜀风情的茶生活方式．已知每千克甲种茶叶的进价比每千克乙种茶叶的进价少100元，且4000元购进甲种茶叶的重量与5000元购进乙种茶叶的重量相同． (1)求甲、乙两种茶叶的进价； (2)某商店计划购进两种茶叶共30千克，且甲种茶叶的重量至少是乙种茶叶重量的．若甲种茶叶按530元/千克出售，乙种茶叶按650元/千克出售，求商店销售完两种茶叶获得的最大利润为多少元？ 【答案】(1)每千克甲种茶叶的进价为元，则每千克乙种茶叶的进价为元 (2)商店销售完两种茶叶获得的最大利润为元 【分析】本题主要考查分式方程，一元一次不等式，一次函数最值的计算，掌握以上知识，正确列式是关键． （1）设每千克甲种茶叶的进价为元，则每千克乙种茶叶的进价为元，由此列分式方程求解即可； （2）设购进甲种茶千克，则购进乙种茶千克，根据题意得到，设利润为，则，根据一次函数求最值的计算即可求解． 【详解】（1）解：每千克甲种茶叶的进价比每千克乙种茶叶的进价少100元， ∴设每千克甲种茶叶的进价为元，则每千克乙种茶叶的进价为元， ∵4000元购进甲种茶叶的重量与5000元购进乙种茶叶的重量相同， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴（元）， ∴每千克甲种茶叶的进价为元，则每千克乙种茶叶的进价为元； （2）解：计划购进两种茶叶共30千克， ∴设购进甲种茶千克，则购进乙种茶千克， ∵甲种茶叶的重量至少是乙种茶叶重量的， ∴， 解得，， ∵甲种茶叶按530元/千克出售，乙种茶叶按650元/千克出售， ∴甲种茶叶每千克的利润为（元），乙种茶叶每千克利润为（元）， 设利润为， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，的值最大，最大值为（元）， ∴商店销售完两种茶叶获得的最大利润为元． 3．（2025·四川成都·一模）为迎接全市文旅产业发展大会，某景区研发一款纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，销售一段时间发现，每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)满足一次函数关系，部分图象如图． (1)直接写出y与x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)； (2)当销售单价为多少元时，每天的获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价55元/件时，每天获利最大，最大利润为1250元 【分析】本题考查的是一次函数的综合问题，正确找出题目中的等量关系是解决问题的关键． （1）根据图中的数据，利用待定系数法得关系式． （2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求出最值． 【详解】（1）解：设解析式为 根据图像可知，点在上 ∴，解得， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：设每天获利w元，根据题意得 ∵， ∴当时，w取最大值为1250， 答：当销售单价55元/件时，每天获利最大，最大利润为1250元． 4．（2025·四川广元·模拟预测）某花卉店从种植园购进A，B两种绿植盆景进行销售．若购进1盆A种盆景和2盆B种盆景，则需要230元；若购进2盆A种盆景和3盆B种盆景，则需要390元．已知销售1盆A种盆景可获利20元，销售1盆 B种盆景可获利15 元． (1)A，B两种绿植盆景每盆的进价分别为多少元？ (2)由于绿植盆景畅销，该花卉店决定再次购进A，B两种盆景共100盆，种植园根据市场变化对两种类型的盆景进行了价格调整，A种盆景的进价比原购进时提高了，B种盆景的进价为原购进时进价的八折．花卉店通过调整售价保持销售 A种、B种盆景单盆的利润不变，若再次用于购进A，B两种盆景的总费用不超过7320元，则如何进货可使再次购进的盆景获得最大的利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)每盆A 种盆景的进价为90元，每盆B种盆景的进价为70元 (2)购进 A 种盆景40盆、B种盆景60盆，可获得最大的利润，最大利润是1700元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用． （1）设A种盆景的进价为a元，B种盆景的进价为b元，根据题目中的等量关系列出方程进而求解即可． （2）设再次购进A种盆景x盆，则购进B种盆景盆，此次用于购进、两种盆景的总费用不超过7320元，列出不等式，可求，设总利润为W元，则．根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设每盆A 种盆景的进价为 a 元，每盆B种盆景的进价为b元． 根据题意，得 ， 解得 ． ∴每盆A 种盆景的进价为90元，每盆B种盆景的进价为70元． （2）再次购进A，B两种盆景时，每盆A种盆景的进价为（元），每盆B种盆景的进价为（元）． 设购进 A种盆景x盆， 则购进B种盆景盆． 根据题意，得． 解得． 设获得的利润为W 元， 则． ∵， ∴W 随x 的增大而增大． ∴当时，W的值最大， （元）， 此时购进B种盆景（盆）， 即购进 A 种盆景40盆、B种盆景60盆，可获得最大的利润，最大利润是1700元． 5．（2025·四川南充·三模）我运动，我健康，我快乐！随着人们对身心健康的关注度越来越高，参加健身运动的人数逐渐增多．为支持市民健身运动，各地政府纷纷决定从公司订购套装健身器材．公司约定：一个地方订购若不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加5套，售价可降低20元，但最低每套不少于1000元．公司生产一套的成本为600元． (1)A地政府向公司支付货款24万元，求订购这种健身器材的套数． (2)在销量不超过300套的地方，公司的利润最大是多少？ 【答案】(1)支付货款24万元，订购这种健身器材200套 (2)在销量不超过300套的地方，公司的利润最大是122500元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，一次函数的应用等知识，根据题意列出函数关系式和方程是解题的关键． （1）首先推导订购这种健身器材的套数在100到250之间，再根据优惠信息列出方程求解即可； （2）销量为套的地方，利润为元，分当时，当时，当时，三种情况讨论，分别列出利润y与销量n之间的函数关系式，并求出每种情况的最大利润，再比较即可． 【详解】（1）解：订购100套需要(元)，即16万元， 由知， 享受单价1000元至少购买套， 货款至少为25万元． ∴订购这种健身器材的套数在100到250之间， 设订购这种健身器材套，则， 由题意，得：． 整理，得． 解得，或(舍去)． 即支付货款24万元，订购这种健身器材200套． （2）设销量为套的地方，利润为元． 当时，， 当时， ． 当时，最大． 当时， ． 随的增大而增大．当时，最大． 综上，在销量不超过300套的地方，公司的利润最大是122500元． 命题预测8：一次函数与几何图形的结合应用 [常在B卷压轴题中涉及] 1．（2025·四川绵阳·一模）在平面直角坐标系中，若矩形的对角线与x轴平行，且对角线在直线上，则称矩形为“率矩形”．如图，矩形为“率矩形”，点的坐标为，且直线平分该矩形的面积，则点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称、一次函数图象上点的特征以及坐标与图形的性质．根据矩形为“率矩形”， 可设，因为直线平分该矩形的面积，所以直线经过点，从而求出点的坐标，由轴，，可得点的坐标，最后根据求得点坐标． 【详解】矩形为“率矩形”， 设， 直线平分该矩形的面积， 直线经过点， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， 故选：． 2．（2025·四川乐山·一模）新定义：一动点到定直线的最小距离我们称为“亲密距离”．如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，直线的表达式为，平分，点B为中点，延长使，动点P在平面内运动，恒有，点P到直线OD的“亲密距离”为d，求d的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立两个解析式，求出点坐标，令，求出点坐标，作，角平分线的性质结合等积法求出的长，进而求出点坐标，勾股定理求出，的长，进而求出的长，圆周角定理，得到点在以为圆心，的长为半径的圆上，过点作，等积法求出的长，得到点在线段上时，点P到直线OD的距离最小，根据新定义，进行求解即可． 【详解】解：∵直线的表达式为，直线的表达式为， 联立，解得：， ∴， ∵，当时，， ∴， ∴， 作，则：， ∴， ∵平分， ∴点到的距离等于点到的距离，为的长， ∵， ∴，即：， ∴， ∵在直线上， ∴当时，， 解得：， ∴， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴点在以为圆心，的长为半径的圆上， ∴； 过点作，则：， ∴， ∴， ∵点在以为圆心，的长为半径的圆上， ∴当点在线段上时，点P到直线OD的距离最小， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，圆周角定理，正确的求出A、D点的坐标，确定点轨迹，掌握新定义，是解题的关键． 3．（2025·四川成都·一模）在四边形中，，，，，对角线，所夹的锐角为，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、一次函数的性质、坐标与图形的性质，设，交于点，以为原点，为轴，建立平面直角坐标系，假设，，，四点坐标，根据四边长度列出四个二元二次方程，然后用四点坐标表示出四边形的面积，整体代入求解即可，建立合理坐的标系，整体求面积是本题解题的关键． 【详解】解：设，交于点，以为原点，为轴，建立平面直角坐标系，如图： ∵， 直线的解析式为：， 设，，，， ∴， ，，，， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 4．（2025·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，点是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P不在第二象限），连接，求得的最小值为__________． 【答案】 【分析】如图1所示，以为边，向右作等边，连接，过点D作于E，先求出点D的坐标，然后证明得到，则点P在经过点D且与垂直的直线上运动，当点P运动到y轴时，如图2所示，证明此时点P的坐标为从而求出直线的解析式；如图3所示，作点A关于直线的对称点G，连接，过点P作轴于F，设直线与x轴的交点为H，先求出点H的坐标，然后证明，从而得到，则当G、P、F三点共线时，有最小值，即有最小值，再根据轴对称的性质求出点G在x轴上，则即为所求． 【详解】解：如图1所示，以为边，向右作等边，连接，过点D作于E， ∵点A的坐标是， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； ∵是等边三角形，是等边三角形， ∴，，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴点P在经过点D且与垂直的直线上运动， 当点P运动到y轴时，如图2所示，此时点P与点C重合， ∵是等边三角形，， ∴， ∴此时点P的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 如图3所示，作点A关于直线的对称点G，连接，过点P作轴于F，连接，设直线与x轴的交点为H， 当时，， 解得， ∴点H的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， 由轴对称的性质可知， ∴， ∴当G、P、F三点共线时，有最小值，即有最小值， ∵A、G两点关于直线对称，且， ∴，即点D为的中点， ∵点A的坐标为，点D的坐标为， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴，即点G在x轴上， ∴由勾股定理得， ∴当点P运动到H点时，有最小值，即有最小值，最小值即为的长， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，解直角三角形等知识点，正确作出辅助线确定点P的运动轨迹是解题的关键． 5．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线过点A交y轴于点C． (1)求直线的表达式； (2)点P是y轴上一动点，且与相似，求点P的坐标； (3)直线与x轴交于点M，分别与直线，交于点D，E，当时，求k的值． 【答案】(1) (2)、、 、； (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何的综合、相似三角形的性质、平行线等分线段定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先求得，然后代入求得a的值即可解答； （2）先求得，，设点P的坐标为，则，然后分和两种情况，分别利用相似三角形的性质以及坐标与图形解答即可； （3）先求得、，再分两种情况分别用平行线等分线段定理求解即可． 【详解】（1）解：直线交x轴于点A ，解得：，即， 将代入中可得： ，解得：， 直线的表达式：． （2）解：∵直线分别交x轴、y轴于点A，B ∴令，则，即， 直线过点A交y轴于点C 令，则，即 ∴， 设点P的坐标为，则 ①当， ，即 ，即， ∴，； ②当； ，即， ，即， ∴，． 综上，P的坐标为、、、． （3）解：直线与x轴交于点M，分别与直线，交于点D，E， ，解得： ， ∴ 同理 ，解得：，即； ①如图1，过D作轴，交x轴于点F，过E作轴，交x轴于点G， ， ∴，即，解得：； ②如图2，过D作轴，交x轴于点P，过E作轴，交x轴于点Q ， ，解得：． 综上所述：或． 6．（2025·四川成都·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于，B两点(点B位于点A右侧)，连接． (1)求直线的表达式． (2)当的面积为时，求点B的坐标； (3)在（2）的条件下，作点B关于的对称点C，连接，是否存在点D，使得四边形为矩形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出点A坐标，再设出直线解析式，并利用待定系数法求解即可； （2）过点A作轴于T，连接，则，可得，进而得到；设，则，解方程即可得到答案； （3）连接交于H，可证明，得到；由对称性可得，且点H为的中点，由等面积法可得，设，则，解方程可得，根据中点坐标公式可得，求出的中点坐标为，则的中点坐标为，即可得到点D的坐标为． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于，B两点， ∴， ∴， 设直线的表达式为， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； （2）解：如图所示，过点A作轴于T，连接， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴； 设， ∴， 解得（已检验符合题意）或（舍去）， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接交于H， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴； ∵点B和点C关于对称， ∴，且点H为的中点， ∴， ∴， 设，则， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴的中点坐标为， ∵四边形是矩形， ∴的中点坐标为， ∴点D的坐标为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理及其逆定理，矩形的性质，轴对称的性质，中点坐标公式，正确作出辅助线是解题的关键． 7．（2025·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中， 直线分别与y轴、x轴相交于点 A，，过点A的直线与双曲线交于C，D两点（点C在点D的右侧）． (1)求a的值及线段的长； (2)过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，若，求k的值及的面积； (3)将直线沿y轴翻折得到新直线，新直线与x轴相交于点G，再将的图象沿着直线翻折，翻折后的图象交直线于点M，N（点M在点N左侧），当与相似时，求k的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）将代入直线中，可得的值，再由勾股定理求长； （2）如图1所示，由题意可得，又两点在双曲线上，故设．可得直线的表达式为，又在直线上，故，从而，所以双曲线的表达式为，再根据的面积求解即可； （3）先求出直线沿轴翻折得到新直线，新直线与轴相交于点，先根据折叠画出双曲线图象沿着直线翻折后得到的图形，如图所示，再根据相似三角形的性质，得出，得出，设，则，求出，得出点的坐标，再求出折叠前的坐标，代入得出即可答案． 【详解】（1）解：将代入直线中，得，故， ∴直线的表达式为． 令，则，即， 所以， 故． （2）解：如图1所示， 由题意可得， 故的横坐标为的纵坐标为， 又因为两点在双曲线上， 故设． 设直线的表达式为， 则，解得：， 由待定系数法可得直线的表达式为， 又因为在直线上， 故，解得：， 所以双曲线的表达式为， 的面积 ． （3）解：∵，，关于轴对称的点坐标为，， 设直线沿轴翻折得到的新直线解析式为， 代入，得：，解得：， ∴直线沿轴翻折得到新直线，新直线与轴相交于点，则， 的图象沿着直线翻折后如图所示， 是公共角， 根据图象，当△AOM与相似时，只有一种情况， 当时，有， ， ， 点M在直线上， ∴设，则， 解得：， ， 点关于直线的对称点为，即， 根据折叠可知：在原反比例函数上的对应点为， 将代入可得：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，三角形的面积，一次函数的图象和性质，图象的几何变换性质，解直角三角形，相似三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，方程思想，熟练掌握以上内容是解题关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程(组)与不等式(组)与一次函数的实际应用 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 题型一 一次方程（组）的实际应用 题型二 分式方程的实际应用 题型三 一元一次不等式（组）的实际应用 题型四 一次函数的图像与性质应用 题型五 方程、不等式与一次函数的综合实际应用 题型六 方案优化类问题（最值选择） 必备知识 知识1 一次方程（组）的建模与求解 知识2 分式方程的建模、求解及验根 知识3 一元一次不等式（组）的建模与解集分析 知识4 一次函数的解析式、图像特征与增减性 知识5 一次函数与方程、不等式的转化关系 知识6 实际问题中的变量提取与函数建模 知识7 方案优化中的最值分析 命题预测 预测1 一次方程（组）的实际应用 [2024年7题、2025年6题] 预测2 分式方程的实际应用 [2024年22题] 预测3 一元一次不等式（组）的实际应用 [常在综合题中涉及] 预测4 一次函数的图像应用 [2024年16题]【高频考点】 预测5 一次函数解析式的确定 [两年必考] 预测6 方程、不等式与一次函数的综合应用 [2024年24题、2025年24题] 预测7 方案优化与最值问题 [两年必考] 预测8 一次函数与几何图形的结合应用 [常在B卷压轴题中涉及] 命题 透视 命题形式： 选择题、填空题及解答题（以解答题综合应用为主） 考察能力： 数学建模能力、运算求解能力、分析问题与解决实际问题的能力、数形结合应用能力 热考角度 考点 2025年 2024年 二元一次方程组的实际应用 T6：以《九章算术》古算题为背景，列二元一次方程组（良劣田购买问题） T7：以《九章算术》古算题为背景，列二元一次方程组（合伙买琎石问题） T24(1)：列二元一次方程组求解水果购进数量问题 一元一次不等式（组）的实际应用 T24(2)：结合挂件购买背景，列一元一次不等式求购买数量的最大值 T24(2)：结合水果销售背景，列一元一次不等式求销售单价的最小值 分式方程的实际应用 T24(1)：以文创挂件价格为背景，列分式方程求解商品单价问题 未单独考察，融入一次函数与几何综合题型 一次函数的图象分析应用 T8：以行程问题为背景，分析一次函数图象（离家距离与时间），提取实际信息 T13：以平面直角坐标系为背景，结合一次函数性质求解最短路径问题 一次函数与方程/几何综合应用 T18：一次函数与反比例函数结合，求解函数表达式、点的坐标问题 T18：一次函数与反比例函数结合，求解平行四边形顶点、相似三角形相关问题 方程与不等式的综合实际应用 T24：分式方程求解单价+一元一次不等式求解购买数量，综合应用 T24：二元一次方程组求解购进量+一元一次不等式求解销售单价，综合应用 命题预测 1. 考情预测 · 根据2024-2025年成都中考的命题趋势，2026年该专题依旧是解答题核心考查模块，分值占比高，考查形式以“单一方程/不等式应用”向“方程+不等式综合应用”转变，《九章算术》等传统文化背景的二元一次方程组应用题仍是高频考点；一次函数的考查侧重图象分析和与反比例函数、几何的综合应用，极少单独设题；分式方程的实际应用大概率会结合生活消费背景考查，且需注意检验步骤的考查。整体命题会紧扣生活实际、传统文化、本地热点，侧重考查从实际问题中提取等量/不等量关系的建模能力。 1. 备考建议 · 熟练掌握二元一次方程组、一元一次不等式（组）、分式方程的解法，重点强化实际问题中等量/不等量关系的提取训练，能根据题意准确列写数学表达式；掌握一次函数的图象与性质，能结合图象分析实际问题中的变量关系，熟练解决一次函数与反比例函数、几何图形的综合问题；注重解题步骤的规范性，分式方程求解后必须进行验根，不等式（组）结合实际问题时注意解的取值范围（如正整数解）；积累传统文化、生活消费、行程工程、经济销售等常见实际应用背景的解题思路，提升数学建模能力。 题型一 一次方程（组）的实际应用 1. 审题标记：圈画题干中的数量、关键词及所求量，理清已知与未知关系 2. 合理设元：直接设所求量，复杂问题可间接设相关中间量 3. 找等量关系：根据和差倍分、行程、工程、利润、配套等类型，确定两组等量关系 4. 规范列写：按等量关系列出二元一次方程组，保证单位统一 5. 准确求解：选用代入或加减消元法计算，步骤简洁完整 6. 双重检验：检验解是否满足方程组，再检验是否符合实际意义 7. 完整作答：明确写出最终结论，对应题目所问，不遗漏单位 1．（2025·四川·中考真题）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川广元·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川凉山·中考真题）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川成都·中考真题）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为________． 5．（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 6．（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 题型二 分式方程的实际应用 1. 审题梳理：明确题目中的数量关系，找准工作总量、行程、销售、增长率等核心等量关系 2. 恰当设元：直接设未知数或间接设相关量，统一单位 3. 列写方程：依据等量关系列出分式方程，确保分母含未知数 4. 规范求解：去分母化为整式方程，按步骤计算出未知数的值 5. 双重验根：先检验是否为分式方程增根，再检验是否符合实际问题意义 6. 完整作答：明确写出结果，带上对应单位，回应题目问题 1．（2025·四川绵阳·中考真题）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别装载货物吨，普通机器人比智能机器人多用分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（    ） A．0.1吨 B．0.15吨 C．6吨 D．9吨 2．（2025·四川广元·中考真题）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． (1)求篮球和足球的单价； (2)学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，设购买篮球x个，总费用为y元，求总费用y（元）与x（个）的函数关系式，并求出x的取值范围和总费用最低时的购买方案． 3．（2025·四川广安·中考真题）某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元． (1)求A，B两种帐篷的单价各多少元？ (2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 4．（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 5．（2024·四川绵阳·中考真题）为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊，预算资金为2700元，其中1200元购买甲种花卉，其余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株． (1)求甲、乙两种花卉每株的价格； (2)购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元．求购买这两种花卉有几种方案？并计算所需费用的最小值． 题型三 一元一次不等式（组）的实际应用 1. 审清题意，提取关键数量与不等关系关键词，如至少、至多、不超过、不少于、不足等 2. 合理设未知数，明确未知量的实际意义 3. 根据不等关系列出一元一次不等式或不等式组 4. 准确求解不等式（组）的解集，注意系数为负时不等号方向改变 5. 结合实际意义确定符合条件的解，多为正整数解 6. 若为方案设计问题，根据解集列举所有可行方案 7. 检验解是否满足题意与实际限制，规范写出答案 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量箱与售价元/箱满足关系式． (1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润； (2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 2．（2025·四川资阳·中考真题）某社团计划开展手工制作活动，制作需使用A，B两款材料包，购买3份A款材料包和2份B款材料包需84元，购买2份A款材料包和3份B款材料包需86元． (1)问购买一份A款材料包和一份B款材料包各需多少元？ (2)该社团打算购买A，B两款材料包共50份，总费用不超过830元，则至少购买A款材料包多少份？ 3．（2025·四川德阳·中考真题）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元． (1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？ (2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？ 4．（2025·四川遂宁·中考真题）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料： 材料一：已知购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元；购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元． 材料二：据统计该社区需购买两种型号的新型垃圾桶共个，但总费用不超过元，且型号的新型垃圾桶数量不少于型号的新型垃圾桶数量的． 请根据以上材料，完成下列任务： 任务一：求两种型号的新型垃圾桶的单价？ 任务二：有哪几种购买方案？ 任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？ 5．（2024·四川泸州·中考真题）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元． (1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？ (2)该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？ 题型四 一次函数的图像与性质应用 1. 识图析图：明确一次函数图像中横、纵坐标代表的实际意义，提取图像上的关键点坐标、截距、交点等信息 2. 求解析式：采用待定系数法，设函数解析式为y=kx+b（k≠0），代入两组对应坐标列方程组求解k、b 3. 分析性质：根据k的正负判断函数增减性，结合b的值确定函数图像与y轴的交点位置 4. 图像解题：通过函数图像的交点坐标，解决函数值大小比较、对应方程或方程组的解的问题 5. 取值限定：结合实际情境确定自变量的取值范围，排除不符合题意的解 6. 最值求解：依据函数增减性，在自变量取值范围内求函数的最大值或最小值 7. 规范作答：完整写出函数解析式、性质结论及实际问题结果，步骤清晰逻辑严谨 1．（2024·四川德阳·中考真题）正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川·中考真题）函数的图象为(    ) A． B． C． D． 3．（2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点的坐标为，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 4．（2025·四川南充·中考真题）已知直线与直线的交点在轴上，则的值是________． 题型五 方程、不等式与一次函数的综合实际应用 1. 审题：提取等量关系（列方程/一次函数）、不等量关系（列不等式）。 2. 设元，用待定系数法求一次函数解析式。 3. 列不等式（组），求解自变量取值范围。 4. 结合函数增减性，求最值或可行方案。 5. 检验（符合实际），规范作答。 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，函数和的图象相交于A、B两点． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； 观察图象，不等式的解集为__________； (2)若轴上存在点，使，求点的坐标． 2．（2025·四川·中考真题）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升． (1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； (2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． 3．（2024·四川攀枝花·中考真题）如图，折线表示了距离s（米）与时间t（分）之间的函数关系． (1)分别直接写出线段所对应的函数表达式，并注明相应的t的取值范围； (2)请你想象一个符合函数图象的实际情境，并用语言进行描述（不必描述具体的速度）． 4．（2025·四川眉山·中考真题）国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份食品的质量为，其核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） 碳水化合物（单位：） A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 (1)若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少份？ (2)若每份午餐选用这两种食品共，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？ 题型六 方案优化类问题（最值选择） 1. 审清题意，确定两种及以上方案的数量关系，设出关键未知量。 2. 分别列出各方案的费用、总量等相关函数表达式或代数式。 3. 根据题目中的限制条件列不等式（组），求出自变量的取值范围。 4. 结合一次函数的增减性，在取值范围内确定函数的最大值或最小值。 5. 比较不同方案的结果，选出成本最低、利润最高等最优方案。 6. 检验结果是否符合实际意义，规范写出方案与结论。 1．（2025·四川绵阳·一模）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元． (1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少时，书店每天销售利润最大？最大利润为多少元？ (3)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值． 2．（2024·四川资阳·一模）初三体育进入专项训练，某学校打算采购一批篮球和实心球供同学们使用，调查发现购买3个篮球和4个实心球需170元；购买4个篮球和5个实心球需220元． (1)求篮球、实心球的单价各是多少元？ (2)该校计划采购篮球、实心球共100个，总费用不超过2400元，且篮球个数不少于实心球个数的一半，请为该校设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 3．（2024·四川成都·模拟预测）2024年世界园艺博览会将在成都举行，某社区决定采购甲、乙两种盆栽美化环境，若购买20盆甲种盆栽和10盆乙种盆栽，则需要130元；若购买30盆甲种盆栽和20盆乙种盆栽，则需要220元． (1)甲、乙两种盆栽的单价各是多少元？ (2)若该社区联合附近社区购买甲、乙两种盆栽共1000盆，设购买m盆（）乙种盆栽，总费用为W元，请你帮社区设计一种购买方案，使总花费最少，并求出最少费用． 4．（2021·四川德阳·模拟预测）什邡某影院的电影票价：成人票每张35元，学生票每张20元．春节期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，影院制定了两种优惠方案，方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的90%付款．某校有4名老师与若干名（不少于4人）学生去该电影院看电影． (1)设学生人数为x（人），付款总金额为y（元），分别建立两种优惠方案中y与x的函数关系式； (2)请计算并确定出最节省费用的购票方案． 5．（2023·四川达州·模拟预测）为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知一件甲种农机具价格是一件乙种农机具价格的3倍，且用6万元相同金额购进甲种农机具的数量比购进乙种农机具的数量少8件． (1)求一件甲种农机具和一件乙种农机具的价格各是多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.5万元又不超过13万元，设购进甲种农机具m件，则有几种购买方案？并写出需要的资金最少的购买方案． (3)在（2）中需要资金最少的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种），请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？ 知识1 一次方程（组）的建模与求解 一、一元一次方程 1. 标准形式： 1. 求解五步 去分母 → 去括号 → 移项变号 → 合并同类项 → 系数化为1 1. 关键 乘除负数时不等号不变（方程是等号，仅移项变号） 二、二元一次方程组 1. 核心思想：消元：把二元化为一元一次方程 1. 两种解法 代入消元法：将一个未知数用另一未知数表示，代入另一方程 加减消元法：统一系数后，两式相加/减直接消元 1. 解的形式：一组有序实数对 三、实际问题建模（核心步骤） 审：找已知、未知，确定等量关系 设：设直接/间接未知数，统一单位 列：根据等量关系列方程或方程组 解：按步骤求解，算出未知数 验：检验是否满足方程，且符合实际（非负、整数等） 答：规范写出结果 四、常见等量关系 行程：路程=速度×时间 工程：工作总量=效率×时间（常设为1） 利润：利润=售价−进价 和差倍分：总量=各部分之和 五、高频易错点 1. 去分母漏乘常数项 1. 移项不变号 1. 解出后不检验实际意义 1. 方程组消元时计算符号出错 知识2 分式方程的建模、求解及验根 一、分式方程求解核心步骤 1. 去分母：方程两边同乘最简公分母，将分式方程化为整式方程，注意常数项不可漏乘。 2. 解整式方程：按照一元一次/二次方程步骤求解，算出未知数的值。 3. 必验根：检验解是否为增根，这是分式方程独有的关键步骤。 二、验根核心规则 1. 验根方法：将解代入最简公分母 2. 结果判定 最简公分母**≠0**：该解是原分式方程的有效解 最简公分母**=0**：该解为增根，原方程无解 3. 增根原因：去分母时，方程两边乘了可能为0的整式，产生不符合原式的根。 三、分式方程实际建模核心 1. 审题：找准等量关系，区分行程、工程、销售、工程等实际场景。 2. 设元：设未知数，注意分母对应的量不能为0。 3. 列方程：依据实际等量关系列出分式方程。 4. 双检验 检验是否为方程增根 检验是否符合实际意义（如数量为正、人数为整数等） 5. 作答：规范写出结果。 四、高频易错点 1. 求解后遗漏验根，直接写解导致失分 2. 去分母时漏乘常数项，整式方程列错 3. 忽略实际意义，出现负数、零等不合理解 4. 最简公分母计算错误，验根结果判断失误 知识3 一元一次不等式（组）的建模与解集分析 一、实际问题建模核心 1.审题关键 区分求固定值（方程）与求取值范围（不等式），圈画题干中表示限制、边界的关键词。 2.关键词对应不等号 至少、不少于、不低于 → 至多、不超过、不大于 → 超过、多于、高于 → 不足、少于、低于 → 3.建模步骤 审（找不等关系）→设（设未知数）→列（列不等式/组）→解（求解集）→验（符合实际意义）→答 4.常见建模场景 方案选择、用料限制、人数/数量限额、利润达标、行程时间约束等，均需列不等式组确定可行范围。 二、解集分析核心 1.单个不等式求解 步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1 核心规则：两边同乘/除负数时，不等号必须反向。 2.不等式组解集确定 步骤：分别解每个不等式→找公共部分 口诀： · 同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解） 3.数轴表示规则 空心圆圈：、（不包含端点） 实心圆点：、（包含端点） 方向：大于向右画，小于向左画 4.特殊解集分析 实际问题常需求整数解、正整数解、非负整数解，在解集范围内取符合实际的离散数值，确定最优方案。 三、高频易错点 1. 系数为负时，忘记改变不等号方向 2. 数轴上空心、实心混淆，方向画反 3. 只看数学解集，忽略实际限制（如人数为正整数） 4. 不等式组漏找公共解集，错取单个不等式的解 知识4 一次函数的解析式、图像特征与增减性 一、一次函数解析式 1.一般形式：（、为常数，） 2.特殊形式：正比例函数 当时，（），是过原点的一次函数 3.求解析式方法：待定系数法 设解析式→代入两点坐标→列方程组求、→写出解析式 二、图像核心特征 1.一次函数的图像是一条直线，两点即可确定图像 2.坐标轴交点 与轴交点：，为纵截距 与轴交点： 3.平移规律 直线上下平移个单位得：上加下减 三、增减性（由决定） ：随的增大而增大，直线从左向右上升 ：随的增大而减小，直线从左向右下降 的绝对值越大，直线越陡峭，变化越快 四、关键易错点 1.忽略核心前提，混淆一次函数与常函数 2.平移时混淆“上加下减、左加右减”规则 3.增减性只看，与无关，切勿受干扰 知识5 一次函数与方程、不等式的转化关系 一、核心思想 数形结合：一次函数的图像（直线）↔ 方程的解/不等式的解集，二者一一对应、互相转化。 二、一次函数 ↔ 一元一次方程 设一次函数： 1.方程 的解↔ 直线 与x轴交点的横坐标 2.方程 的解↔ 直线上纵坐标为的点的横坐标 3、 一次函数 ↔ 一元一次不等式 1.单函数不等式 ↔ 直线在x轴上方对应的取值范围 ↔ 直线在x轴下方对应的取值范围 / ↔ 包含x轴交点的对应区域 2.双函数不等式（、） ↔ 直线在上方的范围 ↔ 直线在下方的范围 分界点：两直线交点横坐标 四、一次函数 ↔ 二元一次方程组 二元一次方程组的解↔ 两个对应一次函数图像的交点坐标 两直线相交→ 方程组有唯一解 两直线平行（相等、不等）→ 方程组无解 两直线重合（、均相等）→ 方程组有无数组解 五、高频易错点 1.混淆不等号方向与直线上下位置的对应关系 2.含等号时遗漏交点，解集边界判断错误 3.只看函数值大小，忽略对应自变量的范围 4.误将平行直线判为有交点，错写方程组解 知识6 实际问题中的变量提取与函数建模 一、变量提取核心 1.分清三类量 自变量：主动变化的量（时间、数量、单价、行程等） 因变量：随自变量变化的量（总价、利润、路程、费用等） 常量：固定不变的数值（固定成本、单价、速度、基础费用） 2.提取关键 · 圈画题干中变化量、固定值、限制条件，明确两个变量的依赖关系 3.实际约束 · 变量需符合现实：非负数、正整数、取值范围限制 二、函数建模核心步骤 审：梳理情境，明确变量含义与问题目标 设：设自变量、因变量，标注单位 找：抓等量关系，建立与的关系式 列：转化为一次函数解析式 定：根据实际意义，确定自变量取值范围（定义域） 验：检验解析式与取值范围是否符合题意 用：利用函数性质（增减性、交点）求解最值、方案等问题 三、一次函数建模常见关系 费用/销售类：总费用=固定费用+单价×数量；总价=单价×数量 行程类：路程=速度×时间+初始路程 工程/工作量：总量=效率×时间+基础量 利润类：总利润=单件利润×销量-固定成本 四、核心解题思想 数形结合+实际约束：先建函数模型，再结合取值范围，用一次函数增减性求最优解（最值、方案选择） 五、高频易错点 1.变量对应关系混淆，自变量、因变量颠倒 2.忽略实际限制，未确定自变量取值范围 3.建模时漏算固定常量，解析式列错 4.只看数学解，不验证是否符合现实意义 知识7 方案优化中的最值分析 一、核心思想 以一次函数建模为基础，结合自变量取值范围，利用函数增减性确定最值，本质是数形结合+边界取值。 二、一次函数最值核心规律 设函数解析式：，且自变量有确定取值范围 ：随增大而增大 取最大值时，得最大值 取最小值时，得最小值 ：随增大而减小 取最大值时，得最小值 取最小值时，得最大值 3.关键结论：一次函数最值必在自变量取值范围的端点处取得 三、方案优化完整步骤 设变量：设方案相关量为自变量（通常为正整数） 建模型：列出总费用/总利润等关于的一次函数 定范围：根据题意列不等式组，求出的有效取值范围 判增减：根据的正负判断函数增减性 求最值：代入的端点值计算的最值 选方案：对比最值，确定最优方案 四、常见约束与取值要求 自变量多为正整数（人数、件数、次数） 满足成本、数量、用料等实际限制条件 方案数由的整数解个数决定 五、高频易错点 1.未确定取值范围，直接盲目求最值 2.误判的符号，导致最值结果相反 3.忽略为整数的要求，选取非整数解 4.只算函数值，未结合实际意义验证方案合理性 命题预测1：一次方程（组）的实际应用 [2024年7题、2025年6题] 1．（2025·四川成都·模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》中有一道著名的“河上荡杯”题（注：荡杯即洗碗）：“今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有客．津吏曰：客几何？”妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？其大意是：一位农妇在河边洗碗．渡口的官员问：“你家里来了多少客人，要用这么多碗？”她答道：“客人每两位合用一只饭碗，每三位合用一只汤碗，每四位合用一只肉碗，一共洗了65只碗．”请问：她家里究竟来了多少位客人？设客人是人，可列方程为（  ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·二模）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十.问：家数、牛价各几何？题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱，家数、牛价各是多少？若设牛价是x钱，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 32．（2025·四川达州·三模）“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，幻方正来源于此，它被世界公认为组合数学的鼻祖．如图，各行、各列及两条对角线所含的3个数之和都相等的三阶幻方，则的值为（   ） A．9 B．18 C．12 D． 3．（2025·四川成都·一模）据某省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年7月产值达到3000万元，第三季度总产值将达到9930万元．设该公司8，9两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川达州·二模）主题灯光秀在达州莲花湖展演，有两条笔直且平行的景观道，上放置E、F两盏激光灯如下图所示，若光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向每秒的速度旋转至边就停止旋转，若光线先转6秒，光线才开始转动，当光线旋转时间为_______秒时，．（G、H为C、B对应点） 5．（2025·四川宜宾·模拟预测）如图，、、、为直线上的个动点，其中，．在直线上，线段以每秒个单位的速度向左运动，同时线段以每秒个单位的速度向右运动，则运动______秒时，点到点的距离与点到点的距离相等． 6．（2025·四川成都·二模）某公司研制出一种新产品，每件产品成本元，销售单价定为元．为了鼓励商家购买该产品，公司决定若一次购买该产品不超过件，每件按元销售；若一次购买该产品超过件，每多购买一件，所购买全部产品销售单价降低元，但销售单价均不低于元． (1)商家一次购买该产品多少件时，销售单价恰好为元？ (2)请写出公司所获利润与销售件数之间的函数关系式，并通过分析该函数关系，为公司确定更合理的最低销售单价，使得商家一次购买数量越多，公司所获利润越大． 7．（2025·四川成都·二模）2025年甲乙两家车商分别推出了型和型家用电车，已知一辆型家用电车比一辆型家用电车落地价贵11万元，若购买2辆型家用电车和3辆型家用电车落地价共247万元．（落地价是指消费者购买一辆车到上牌为止所花的所有费用） (1)求型家用电车和型家用电车落地单价分别是多少万元？ (2)为扩大市场占有率，甲车商决定对型家用电车降价万元，乙车商也决定对型家用电车跟随降价销售，现甲车商利用大模型进行数据深度分析得出以下结论： ①乙车商对型家用电车降价的金额是甲车商对型家用电车降价金额的一半； ②为保证型家用电车在消费者心目中的高端定位，型家用电车落地单价不得低于型家用电车落地单价的； 为保证型家用电车的高端定位，求的最大值． 8．（2025·四川南充·二模）某服装商店开辟专柜购进两款围巾销售，进货价和销售价如下表． 款 款 进价（元/条） 60 50 售价（元/条） 90 78 (1)第一次用10000元购进两款围巾共180条，求两款各购进多少条． (2)第二次根据销售情况，A款进货量不超过款进货量的一半，计划购进两款围巾共300条．应如何设计进货方案，才能获得最大利润，最大利润是多少？ (3)商店两次进货均按预期售完．请从利润率的角度分析，哪一次更划算？ 9．（2025·四川成都·一模）在综合实践活动中，小张和小红准备将一个大型养鸡场重新设计为可养大、中、小三种鸡的综合性养鸡场，改良后的养鸡场的示意图如右图所示，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为．每类鸡舍均设计一道宽的门（门用普通的木材制作）． (1)若养鸡场的宽为，求改良后养鸡场的长y（请用含x的式子表示y）； (2)当养鸡场的总面积为，请求出养鸡场的长和宽． 10．（2025·四川广元·一模）某花卉种植园原计划培育个品种的月季，一个品种平均培育株幼苗．现准备多培育几个品种的月季以扩大育苗总量，试验发现，每多培育个品种的月季，每个品种平均培育的幼苗数量就会减少株，而且多培育的品种数量不能超过个． (1)如果要使幼苗总量增加，那么应多培育多少个品种的月季? (2)应多培育多少个品种的月季，幼苗的总量才会达到最大值?求出这个最大值． 命题预测2：分式方程的实际应用 [2024年22题] 1．（2025·四川成都·模拟预测）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题∶“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽有x株，则符合题意的方程是（   ）(椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆) A． B． C． D． 2．（2025·四川广元·模拟预测）某网络作家计划写一篇章的小说，由于在连载过程中受到读者的一致好评，他投入了更多时间和精力进行创作，平均每天的写作效率高出原计划的，截稿时间提前了天．设该作家原计划每天写章，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川成都·二模）某车间加工个零件后，采用了新工艺，工效提升了，这样加工同样多的零件就少用小时．采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？设采用新工艺前每小时加工个零件，则可列方程为(　　) A． B． C． D． 4．（2025·四川成都·模拟预测）龙年春节期间，全国各地形式多样的龙年文创产品火热上新．某文创店准备购进甲、乙两种“龙形”印章，每个印章的 进价和利润如表（单位：元） 甲种印章 乙种印章 单个进价 单个利润 2 3 (1)已知花费400元购进甲种印章的数量和花费800元购进乙种印章的数量相等，求的值； (2)该店准备拿出2000元全部用来购进这两种“龙形”印章，且购进甲种印章的数量不超过乙种印章数量的4倍，若印章能全部售完，问该店如何进货能使利润最大？最大利润是多少元？ 5．（2025·四川成都·模拟预测）成都美食众多，热辣滚烫的灭锅深受人们的喜爱，火锅中有一种重要的调味品一花椒，给火锅增添了与众不同的味道．某商店准备购进一定质量的红花椒和青花椒两种花椒，已知购进红花椒和青花椒分别需要3600元、2400元，且购进青花椒的质量是红花椒质量的，红花椒每千克的进价比青花椒每千克的进价多12元． (1)红花椒、青花椒两种花椒每千克分别是多少元？ (2)若红花椒以每千克72元的价格出售，每天可售出30，通过调查发现，红花椒每千克的售价每降低1元，每天可多售出5．当红花椒以每千克多少元出售时，红花椒每天的销售利润最大？并求出最大利润． 6．（2025·四川凉山·模拟预测）2025年春节，随着电影《哪吒2》的爆火，某玩具工厂生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办，已知每个“哪吒”手办的出厂价比每个“敖丙”手办的出厂价便宜20元，用480元按出厂价购买“哪吒”手办比同样购买“敖丙”手办多2个． (1)每个“哪吒”和“敖丙”手办的出厂价分别是多少元？ (2)电影角色深受大家喜爱，某商家按（1）中出厂价购进一批“敖丙”手办，据市场数据调查分析，每件“敖丙”手办售价为100元时，一周能卖出400件；若“敖丙”手办单价每涨1元，每周销量就会减少10件，请你帮商家分析每件售价为多少元时可获得最大利润． 7．（2025·四川泸州·三模）两河桃片是叙永的地方名小吃，入选四川省非物质文化遗产，迄今已有百余年历史，有香甜味和椒盐味两种类型． (1)“五·一”节前小王花费4300元购买了40袋香甜味桃片和50袋椒盐味桃片，已知10袋香甜味桃片和9袋椒盐味桃片的售价相同，求每袋香甜味桃片和椒盐味桃片的售价分别是多少元？ (2)由于市场供不应求，“五·一”节后，香甜味和椒盐味桃片的价格均有上涨，其中每袋椒盐味桃片的售价比每袋香甜味桃片售价多10元，小王分别花费了2500元、3000元购买香甜味桃片和椒盐味桃片，一共购买了100袋，求每袋香甜味桃片的售价． 命题预测3：一元一次不等式（组）的实际应用 [常在综合题中涉及] 1．（2025·四川绵阳·三模）某工厂现有甲种原料，乙种原料，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A产品需要甲种原料，乙种原料；生产一件B产品需要甲种原料，乙种原料．则符合题意的生产方案共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 2．（2025·四川宜宾·二模）若一个自然数，其中a与b都是两位数，a与b的十位数字相同，个位数字之和为6，则称自然数n为“理想数”，将自然数n分解成的过程，称为“理想分解”．如，所以168是“理想数”．若把一个“理想数”n进行“理想分解”，即，a与b的和记为，a与b的差的绝对值记为，，当能被3整除时，满足条件的n的最小值是__________． 3．（2025·四川绵阳·二模）某茶叶销售商计划将m罐茶叶按甲，乙两种礼品盒包装出售，其中甲种礼品盒每盒装4罐，每盒售价240元；乙种礼品盒每盒装6罐，每盒售价300元，恰好全部装完．已知每罐茶叶的成本价为30元，若120罐茶叶全部售出后的总利润不低于3000元，则甲种礼品盒至少有___________盒． 4．（2025·四川成都·模拟预测）某班级组织的社会实践活动“我是夜市小摊主”，分成甲乙丙三组开展活动．三个小组均购买A，B两种款式的文创用品，其中甲乙两组购买记录如下表． 组别 A型文创用品（件） B型文创用品（件） 合计金额（元） 甲 20 25 800 乙 10 20 550 (1)求A，B两种型号文创用品的单价． (2)丙小组计划购买A，B两种型号的文创用品共40件，预算不超过725元，则B型文创用品最多可以购买几件？ 5．（2025·四川绵阳·一模）2025年，国家卫健委开展持续实施“体重管理年”行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．为响应该政策，某商场计划购进甲、乙两种品牌的足球．已知甲种品牌足球的进价比乙种品牌足球的进价多65元，用28000元购进甲种品牌足球的数量与用15000元购进乙种品牌足球的数量相同． (1)求甲、乙两种品牌足球的进价各多少元？ (2)商场计划每个甲种品牌足球的售价为198元，每个乙种品牌足球的售价为100元，商场决定同时购进甲、乙两种品牌足球共100个，假设能全部售出．若商场用不低于10100元且不高于10425元的资金购入甲、乙两种品牌的足球．请你帮商场设计利润最大的进货方案，并求出此时的最大利润，说明理由． 6．（2025·四川成都·三模）我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了150亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进500元A种娃娃和购进400元B种娃娃数量相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个． (1)每个A种娃娃和每个B 种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大？最大利润是多少元？ 7．（2025·四川广元·模拟预测）某中学计划购进一批护眼灯和黑板灯，已知1盏护眼灯和3盏黑板灯共需420元，3盏护眼灯和2 盏黑板灯共需910元． (1)一盏护眼灯和一盏黑板灯的售价分别是多少元? (2)学校准备购进这两种灯共100盏，其中护眼灯不少于黑板灯的3倍，设购进黑板灯盏，这100盏灯的总费用为元． ①求关于的函数解析式． ②购进护眼灯和黑板灯各多少盏，才能使总费用最低? 8．（2025·四川绵阳·二模）绵阳作为四川省重要的区域中心城市和成渝地区双城经济圈的重要节点，近年来物流业发展迅速，绵阳有望成为川西北物流新高地．现在绵阳某物流公司需要从涪城区运送360吨蔬菜和210吨水果到三台县城，物流公司准备派大货车和小货车共20辆来完成此次运送任务，其每辆车的运载量和运费如下表， 可载蔬菜吨数（吨/辆） 可载水果吨数（吨/辆） 运费（元/辆） 小货车 10 15 500 大货车 20 10 800 设物流公司派小货车x辆，请解决下面的问题： (1)求物流公司有哪几种运送方案？ (2)求物流公司采用哪种运送方案使运送费用最低？ 命题预测4：一次函数的图像应用 [2024年16题]【高频考点】 1．（2025·四川德阳·一模）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川广元·模拟预测）已知直线 与直线 在第二象限交于点 M，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则c的取值范围是________． 4．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数分别交轴，轴于点，，点是直线上一动点，连接，则线段的最小值为______．    5．（2025·四川南充·一模）如图，直线与直线交于点，交x轴于点B，直线分别与x轴、y轴交于点C、，连接． (1)求k、b的值； (2)点是线段上的一动点，点是点P关于y轴的对称点，当在内部时（不含边界），求m的取值范围． 命题预测5：一次函数解析式的确定 [两年必考] 1．（2025·四川广元·模拟预测）中华猕猴桃富含大量维生素，鲜果可生吃，还可加工成果酱、果干等食品，其叶、花、种子、藤蔓也具有重要的经济价值，被誉为“绿色金矿”．某地区为发展经济，种植了大量的猕猴桃，由历年市场行情得知，从月日起的天内，猕猴桃的市场售价（元/千克）与上市时间（天）之间的函数关系如图所示，猕猴桃的种植成本（元/千克）与上市时间（天）之间的函数关系式为． (1)求市场售价与上市时间之间的函数关系式； (2)上市第几天，每千克猕猴桃的纯收益最大？最大纯收益是多少？（市场售价减去种植成本为纯收益） (3)当纯收益最大时，猕猴桃的售价是多少？（市场售价和种植成本的单位：元/千克，时间单位：天） 2．（2025·四川成都·模拟预测）某商店销售一批水果，已知成本为10元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的2倍，在销售过程中发现，每天的销售量与销售单价（元）之间满足的一次函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当这批水果的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润为多少？ 3．（2025·四川资阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点． (1)若反比例函数时，取值范围是______． (2)求一次函数的解析式； (3)根据函数的图象，直接写出不等式的解集； 4．（2025·四川内江·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴，y轴分别交于C、D两点，点，点C为线段的中点，连接、． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)直接写出当 时，自变量x的取值范围； (4)点M为线段上一动点(不与点A、O重合)，过点M作直线，使得，交于点．若与的面积比为，则点M的坐标为 ． 命题预测6：方程、不等式与一次函数的综合应用 [2024年24题、2025年24题] 1．（2025·四川南充·二模）不等式的解集为，则方程组的解为（      ） A． B． C． D． 2．（2025·四川内江·模拟预测）如图，平行四边形中，，，，动点P从点A出发沿折线运动，到达点C停止运动．在运动过程中，过点P作于点H，设点P的运动路程为x，记为，的图象与的图象有1个公共点时m的取值范围_______． 3．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的图象交于点，点的横坐标为，则______． 4．（2025·四川达州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)把向上平移4个单位长度得的对应点分别是．请做出． (2)以点为旋转中心，将逆时针旋转得，画出的对应点分别是． (3)设点是轴上的动点，当周长取最小时，写出点P的坐标______． 5．（24-25九年级上·安徽六安·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点P的坐标． 6．（2025·四川内江·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，． (1)求k的值； (2)直接写出不等式的解集； (3)直线与y轴的交点为C，若P为x轴上的一点，当的面积为3时，求点P的坐标； (4)若Q为y轴上的一点，当为等腰三角形时，请直接写出点Q的坐标． 命题预测7：方案优化与最值问题 [两年必考] 1．（2025·四川成都·二模）年春节，随着电影《哪吒》的爆火，某超市计划购进“哪吒”和“敖丙”两款手办进行销售．经了解每个“哪吒”手办的进价比每个“敖丙”手办的进价多元，用元购进“哪吒”手办的个数与用元购进“敖丙”手办的个数相同． (1)单个“哪吒”手办和单个“敖丙”手办的进价分别是多少元？ (2)该超市计划购进这两种手办共个，其中“哪吒”手办的个数不低于“敖丙”手办个数的一半，若“敖丙”手办、“哪吒”手办的售价分别为元/个、元/个．设购进“敖丙”手办的个数为个，两种手办全部售完时获得的利润为元．问超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 2．（2025·四川成都·二模）四川是中国茶文化的发源地之一，拥有悠久的种茶、制茶和饮茶历史，其茶文化融合了自然，民俗与人文特色，形成了独具巴蜀风情的茶生活方式．已知每千克甲种茶叶的进价比每千克乙种茶叶的进价少100元，且4000元购进甲种茶叶的重量与5000元购进乙种茶叶的重量相同． (1)求甲、乙两种茶叶的进价； (2)某商店计划购进两种茶叶共30千克，且甲种茶叶的重量至少是乙种茶叶重量的．若甲种茶叶按530元/千克出售，乙种茶叶按650元/千克出售，求商店销售完两种茶叶获得的最大利润为多少元？ 3．（2025·四川成都·一模）为迎接全市文旅产业发展大会，某景区研发一款纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，销售一段时间发现，每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)满足一次函数关系，部分图象如图． (1)直接写出y与x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)； (2)当销售单价为多少元时，每天的获利最大？最大利润是多少？ 4．（2025·四川广元·模拟预测）某花卉店从种植园购进A，B两种绿植盆景进行销售．若购进1盆A种盆景和2盆B种盆景，则需要230元；若购进2盆A种盆景和3盆B种盆景，则需要390元．已知销售1盆A种盆景可获利20元，销售1盆 B种盆景可获利15 元． (1)A，B两种绿植盆景每盆的进价分别为多少元？ (2)由于绿植盆景畅销，该花卉店决定再次购进A，B两种盆景共100盆，种植园根据市场变化对两种类型的盆景进行了价格调整，A种盆景的进价比原购进时提高了，B种盆景的进价为原购进时进价的八折．花卉店通过调整售价保持销售 A种、B种盆景单盆的利润不变，若再次用于购进A，B两种盆景的总费用不超过7320元，则如何进货可使再次购进的盆景获得最大的利润？最大利润是多少？ 5．（2025·四川南充·三模）我运动，我健康，我快乐！随着人们对身心健康的关注度越来越高，参加健身运动的人数逐渐增多．为支持市民健身运动，各地政府纷纷决定从公司订购套装健身器材．公司约定：一个地方订购若不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加5套，售价可降低20元，但最低每套不少于1000元．公司生产一套的成本为600元． (1)A地政府向公司支付货款24万元，求订购这种健身器材的套数． (2)在销量不超过300套的地方，公司的利润最大是多少？ 命题预测8：一次函数与几何图形的结合应用 [常在B卷压轴题中涉及] 1．（2025·四川绵阳·一模）在平面直角坐标系中，若矩形的对角线与x轴平行，且对角线在直线上，则称矩形为“率矩形”．如图，矩形为“率矩形”，点的坐标为，且直线平分该矩形的面积，则点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川乐山·一模）新定义：一动点到定直线的最小距离我们称为“亲密距离”．如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，直线的表达式为，平分，点B为中点，延长使，动点P在平面内运动，恒有，点P到直线OD的“亲密距离”为d，求d的值是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川成都·一模）在四边形中，，，，，对角线，所夹的锐角为，则四边形的面积为______． 4．（2025·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，点是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P不在第二象限），连接，求得的最小值为__________． 5．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线过点A交y轴于点C． (1)求直线的表达式； (2)点P是y轴上一动点，且与相似，求点P的坐标； (3)直线与x轴交于点M，分别与直线，交于点D，E，当时，求k的值． 6．（2025·四川成都·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于，B两点(点B位于点A右侧)，连接． (1)求直线的表达式． (2)当的面积为时，求点B的坐标； (3)在（2）的条件下，作点B关于的对称点C，连接，是否存在点D，使得四边形为矩形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2025·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中， 直线分别与y轴、x轴相交于点 A，，过点A的直线与双曲线交于C，D两点（点C在点D的右侧）． (1)求a的值及线段的长； (2)过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，若，求k的值及的面积； (3)将直线沿y轴翻折得到新直线，新直线与x轴相交于点G，再将的图象沿着直线翻折，翻折后的图象交直线于点M，N（点M在点N左侧），当与相似时，求k的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $