专题01 数与式的化简和求值、方程与不等式（组）的相关运算（复习讲义）（四川成都专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题01 数与式的化简和求值、方程(组)与不等式(组)的 相关运算 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 题型一 实数的混合运算（含二次根式、特殊角三角函数、零指数/负整数指数幂、绝对值） 题型二 整式与分式的化简求值 题型三 一次方程（组）的求解与实际应用 题型四 分式方程的求解 题型五 一元一次不等式（组）的求解 题型六 一元二次方程的解法与根的关系 题型七 方程与不等式的综合实际应用 必备知识 知识1 实数的混合运算法则（含特殊角三角函数值、零指数幂、负整数指数幂） 知识2 整式的运算（幂的运算、乘法公式、合并同类项）与化简求值 知识3 分式的基本性质、化简求值及分式方程的解法（验根） 知识4 二次根式的化简、乘除与加减运算 知识5 一次方程（组）的解法与实际问题的建模 知识6 一元二次方程的解法（直接开平方法、因式分解法等）与根与系数的关系 知识7 一元一次不等式（组）的解法与解集在数轴上的表示 知识8 方程与不等式实际应用的审题与等量/不等量关系构建 命题预测 预测1 实数的混合运算 [2024年14(1)、2025年14(1)] 预测2 整式的化简与变形 [2025年19题] 预测3 分式方程的求解 [2024年10题] 预测4 一元一次不等式（组）的求解 [2024年14(2)、2025年14(2)] 预测5 一次方程（组）的实际应用 [2024年7题、2025年6题] 预测6 一元二次方程根与系数的关系 [2024年20题] 预测7 方程与不等式的综合实际应用 [2024年24题、2025年24题] 预测8 分式的化简求值【常考考点】 命题 透视 命题形式： 选择题、填空题及解答题14题 考察能力： 运算能力、抽象能力、推理能力 热考角度 考点 2025年 2024年 实数 T1：有理数减法的实际应用 T14(1)：实数的混合运算（负整指数幂、二次根式、特殊角三角函数、绝对值） T1：绝对值的计算 T14(1)：实数的混合运算（算术平方根、特殊角三角函数、零指数幂、绝对值） 数的开方与二次根式 融入T14(1)实数混合运算中考察，无单独考题 融入T14(1)实数混合运算中考察，无单独考题 代数式与整式 T3：整式的运算（合并同类项、幂的乘方、完全平方公式、单项式乘法） T3：整式的运算（积的乘方、合并同类项、完全平方公式、平方差公式） 分式 未单独考察，分式方程融入综合题型 T10：分式方程的求解 一元一次方程/二元一次方程组 T6：二元一次方程组的实际应用（古算题） T10：一元一次方程的程序框图计算 T7：二元一次方程组的实际应用（古算题） 一元二次方程 未单独考察，根的判别式融入综合题型 T20：一元二次方程根的判别式结合概率考察 不等式（组） T14(2)：一元一次不等式组的求解 T14(2)：一元一次不等式组的求解 命题预测 考情预测 · 根据2024-2025年成都中考的命题趋势，2026年该专题依旧以基础题为核心，占据试卷基础分值的重要部分，实数混合运算、一元一次不等式组求解为必考题型，整式运算、二元一次方程组的实际应用（含古算题背景）为高频考点，分式方程的求解大概率单独设题，整体侧重考查运算的准确性、公式法则的灵活运用及简单的数学建模能力。 备考建议 · 熟练掌握实数、整式的各类运算法则及运算技巧，强化二次根式、特殊角三角函数、指数幂、绝对值的综合计算训练，提升运算速度与准确率；掌握方程（组）、不等式（组）的解法，能结合实际问题（含古算题）建立数学模型，理解建模与转化的数学思想；注重解题步骤的规范性，避免基础计算失误。 题型一 实数的混合运算 1. 零指数幂： 2. 负整数指数幂： 3. 绝对值 4. 特殊角三角函数值 5. 二次根式运算 结果需化为最简二次根式 6. 运算顺序 先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内；同级运算从左至右依次进行。 1．（2025·四川成都·中考真题）（1）计算：． 【答案】（1）3； 【分析】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，熟知运算法则和不等式组的解法是解题的关键． （1）分别根据负整数指数幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数、绝对值的性质进行计算，再把结果相加减； 【详解】解：（1） ； 2．（2024·四川成都·中考真题）（1）计算：． 【答案】（1）5； 【分析】本题考查实数的混合运算、解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先计算算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂、化简绝对值，然后加减运算即可； ； 题型二 整式与分式的化简求值 一、整式运算 1. 幂的运算 1. 乘法公式 平方差公式： 完全平方公式： 1. 去括号与合并同类项 括号前为负号，去括号后各项变号；同类项字母与指数相同，仅系数相加减。 二、分式运算 1. 分式有意义：分母 2. 分式值为0：分子且分母 3. 基本性质： 4. 运算法则 乘法： 除法： 加减：同分母；异分母先通分再计算 1. 化简：先因式分解，再约分 三、运算顺序 先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内；同级运算从左至右。 1．（2025·四川成都·中考真题）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是________（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，根据题意可得多项式加上一个单项式后可以变为一个多项式的平方的展开式，据此根据完全平方公式的特点求解即可． 【详解】解：由题意得，加上的单项式可以为，理由如下： ， ∴符合题意， 故答案为：（答案不唯一）． 2．（2023·四川成都·中考真题）若，则代数式，的值为___________． 【答案】 【分析】根据分式的化简法则，将代数式化简可得，再将变形，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故原式的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简法则，整式的整体代入，熟练对代数式进行化简是解题的关键． 题型三 一次方程（组）的求解与实际应用 一、一元一次方程 1. 定义：只含一个未知数，未知数次数为1，且为整式方程。 2. 解法步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。 3. 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。 二、二元一次方程组 1. 定义：共含两个未知数，含未知数的项次数均为1，由两个整式方程组成。 2. 解法：代入消元法、加减消元法。 3. 方程组的解：同时满足两个方程的一组未知数的值。 三、实际应用 1. 解题步骤：审题→设未知数→列方程（组）→解方程（组）→检验→作答。 2. 核心：找准题目中的等量关系。 3. 常见类型：和差倍分、行程问题、工程问题、利润问题、配套问题、数字问题。 4. 检验要求：既要验证方程解的正确性，又要符合实际情境。 1．（2025·四川成都·中考真题）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，根据合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱，列出方程组即可． 【详解】解：设良田为x亩，劣田为y亩，由题意，得： ； 故选A． 2．（2024·四川成都·中考真题）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，根据题意列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设人数为，琎价为， 根据每人出钱，会多出4钱可得出， 每人出钱，又差了3钱．可得出， 则方程组为：， 故选：B． 3．（2025·四川成都·中考真题）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为________． 【答案】3 【分析】本题考查了程序框图的计算，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 根据程序框图的运算法则建立一元方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：3． 4．（2024·四川成都·中考真题）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共进行销售，其中A种水果收购单价10元/，B种水果收购单价15元/． (1)求A，B两种水果各购进多少千克； (2)已知A种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划A种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价． 【答案】(1)A种水果购进1000千克，B种水果购进500千克 (2)A种水果的最低销售单价为元/ 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用， （1）设A种水果购进x千克， B种水果购进y千克，根据题意列出二元一次方程组求解即可． （2）根据题意列出关于利润和进价与售价的不等式求解即可． 【详解】（1）解：设A种水果购进x千克， B种水果购进y千克， 根据题意有：， 解得：， ∴A种水果购进1000千克，B种水果购进500千克 （2）设A种水果的销售单价为元/， 根据题意有：， 解得， 故A种水果的最低销售单价为元/ 题型四 分式方程的求解 1. 分式方程定义：分母中含有未知数的方程 2. 解分式方程基本思路：通过去分母转化为整式方程求解 3. 解法步骤：去分母，将分式方程化为整式方程；解所得的整式方程；验根 4. 增根：使原分式方程分母为零的整式方程的根，增根应舍去 5. 验根方法：将求得的未知数的值代入最简公分母，若最简公分母不为零，则是原方程的根；若为零，则为增根 6. 无解情况：整式方程无解，或整式方程的解均为分式方程的增根 7. 分式方程实际应用：根据题意列分式方程，求解后既要检验是否为增根，也要检验是否符合实际意义 1．（2025·四川成都·中考真题）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． (1)求每个A种挂件的价格； (2)某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 【答案】(1)每个A种挂件的价格为25元 (2)该游客最多购买11个A种挂件 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的关键． （1）设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为，根据题意列分式方程求解即可； （2）设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为元． 根据题意，得， 解得，经检验是原方程的解，且符合题意， 答：每个A种挂件的价格为25元； （2）解：设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件， 由（1）得每个B种挂件的价格为（元）， 根据题意，得， 解得， 由于y为正整数， 故该游客最多购买11个A种挂件． 题型五 一元一次不等式（组）的求解 1. 不等式的基本性质 不等式两边加或减同一个数或式子，不等号方向不变 不等式两边乘或除以同一个正数，不等号方向不变 不等式两边乘或除以同一个负数，不等号方向改变 2. 一元一次不等式定义 只含有一个未知数，未知数次数为1，且不等号两边都是整式的不等式 3. 一元一次不等式解法步骤 去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1 系数化为1时，系数为负数需改变不等号方向 4. 一元一次不等式组 由几个含有相同未知数的一元一次不等式组成 5. 不等式组的解集 几个不等式解集的公共部分 同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到 6. 解集在数轴上的表示 有等号用实心圆点，无等号用空心圆圈，根据方向画出折线 7. 求整数解 先求出不等式或不等式组的解集，再在解集中找出符合要求的整数数值 1．（2025·四川成都·中考真题） （2）解不等式组： 【答案】（2） 【分析】 （2）分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可． 【详解】解： （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以原不等式组的解集为． 2．（2024·四川成都·中考真题） （2）解不等式组： 【答案】（2） （2）先求得每个不等式的解集，再求得它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】 （2）解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为． 题型六 一元二次方程的解法与根的关系 1. 一元二次方程的一般形式： 2. 直接开平方法：适用于或的形式 3. 配方法：将方程化为的形式后开方求解 4. 公式法：求根公式 5. 因式分解法：将方程化为两个一次因式乘积为0的形式求解 6. 根的判别式 ，方程有两个不相等的实数根 ，方程有两个相等的实数根 ，方程无实数根 1. 根与系数的关系 若方程的两根为，则， 1. 解一元二次方程需检验根是否满足原方程及实际题意 1．（2024·四川成都·中考真题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】7 【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出，，从而得到，再将原式利用完全平方公式展开，利用替换项，整理后得到，再将代入即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 则 ∴ 故答案为：7 2．（2025·四川成都·中考真题）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，树状图法或列表法求解概率，根据判别式和一元二次方程的定义可得，则且，再列出表格得到所有等可能性的结果数，接着找到且的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 列表如下： 1 2 1 2 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中满足且的结果数有，，，共3种， ∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为， 故答案为：． 题型七 方程与不等式的综合实际应用 1. 解题基本步骤：审题，设未知数，根据题意列等量或不等量关系式，求解方程或不等式组，检验解的合理性，作答 2. 常见等量关系：和差倍分关系，行程问题中的路程、速度、时间关系，工程问题中的工作总量、工作效率、工作时间关系，利润问题中的售价、成本、利润关系 3. 常见不等量关系：不超过，不少于，大于，小于，至多，至少，非负数，正数等数量限制 4. 方程与不等式结合题型：先通过方程求出相关量，再根据不等关系确定取值范围 5. 整数解问题：在不等式解集中选取符合实际意义的整数解 6. 方案设计问题：根据不等式组的解集确定可行方案，再通过计算选择最优方案 7. 检验要求：解既要满足方程或不等式，又要符合实际情境中的数量限制，如人数、件数为正整数等 1．（2023·四川成都·中考真题）年月日至月日，第届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃．已知购买千克种食材和千克种食材共需元，购买千克种食材和千克种食材共需元． (1)求，两种食材的单价； (2)该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买种食材千克数不少于种食材千克数的倍，当，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1)种食材单价是每千克元，种食材单价是每千克元 (2)种食材购买千克，种食材购买千克时，总费用最少，为元 【分析】（1）设种食材的单价为元，种食材的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设种食材购买千克，则种食材购买千克，根据题意列出不等式，得出，进而设总费用为元，根据题意，，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设种食材的单价为元，种食材的单价为元，根据题意得， ， 解得：， 答：种食材的单价为元，种食材的单价为元； （2）解：设种食材购买千克，则种食材购买千克，根据题意， 解得：， 设总费用为元，根据题意， ∵，随的增大而增大， ∴当时，最小， ∴最少总费用为（元） 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键． 2．（2025·四川成都·二模）某学校需要增加保洁物品，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．现要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元.某商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． (1)求毛巾和扫把簸箕套装的单价； (2)如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 【答案】(1)毛巾的单价是2元，扫把簸箕套装的单价是6元 (2)学校应购进50套扫把簸箕套装，150条毛巾 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设毛巾的单价是元，扫把簸箕套装的单价是元，根据“买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设学校应购进套扫把簸箕套装，则购进条毛巾，分别按两种优惠方案购买，根据“总费用不超过480元，且购进扫把簸箕套装不少于50套”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的值（即购进扫把簸箕套装的数量），再将其代入中，即可求出购进毛巾的数量． 【详解】（1）解：设毛巾的单价是元，扫把簸箕套装的单价是元， 根据题意得：， 解得． 答：毛巾的单价是2元，扫把簸箕套装的单价是6元． （2）解：设学校应购进套扫把簸箕套装，则购进条毛巾， 按方案1购买时， ，解得， ∴（条）． 按方案2购买时， ， ∵该不等式组无解，∴不能按方案2购买． 答：学校应购进50套扫把簸箕套装，150条毛巾． 知识1 实数的混合运算法则 一、混合运算核心法则 运算顺序：先算乘方、开方→再算乘除→最后算加减； 括号优先：有括号时，先算小括号，再算中括号，最后算大括号； 同级运算：只有乘除/只有加减时，从左到右依次计算； 符号规则：同号得正、异号得负，减法统一转化为加法计算。 二、特殊角三角函数核心值（30°、45°、60°） 角度 正弦 余弦 正切 30° 45° 60° 三、指数幂核心规则 2. 零指数幂：，关键条件：（无意义）。 3. 负整数指数幂：（，为正整数），即底数取倒数，指数变正数。 四、运算易错核心提醒 4. 负指数幂切勿直接变负，牢记转化为倒数的正指数； 5. 零指数幂必须先判断底数不为0，再代入计算； 6. 三角函数值易混淆，重点区分30°与60°的正余弦数值。 知识2 整式的运算（幂的运算、乘法公式、合并同类项）与化简求值 一、幂的运算核心性质（底数，、为正整数） 1. 同底数幂相乘：（底数不变，指数相加） 2. 同底数幂相除：（底数不变，指数相减） 3. 幂的乘方：（底数不变，指数相乘） 4. 积的乘方：（分别乘方，再相乘） 二、合并同类项核心规则 1. 同类项判定：所含字母相同，且相同字母的指数也相同（常数项都是同类项） 2. 合并法则：系数相加减，字母和字母的指数保持不变 3. 去括号关键：括号前是“”，去括号后括号内各项都变号 三、核心乘法公式（必考） 1. 平方差公式：（同平方减异平方） 2. 完全平方公式 和的平方： 差的平方： 口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央，符号看前方 四、化简求值核心步骤 1. 先化简：去括号→合并同类项/套用乘法公式→整理为最简整式 2. 再代入：将字母取值代入化简后的式子 3. 后计算：按实数运算法则算出结果 4. 易错提醒：代入负数、分数时务必加括号；符号是高频失分点 知识3 分式的基本性质、化简求值及分式方程的解法（验根） 1、 分式的基本性质 1. 核心性质 分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。 2. 符号规则 分子、分母、分式本身，同时改变其中两个的符号，分式值不变。 3. 关键操作 约分：先因式分解，约去分子分母的公因式 通分：确定最简公分母（系数取最小公倍数，相同因式取最高次幂） 2、 分式化简求值 1. 运算顺序 先乘方→再乘除→最后加减；有括号先算括号内。 2.运算规则 乘除：先因式分解，再约分，最后相乘 加减：先通分化为同分母，分子相加减，分母不变 3.求值要点 先化简为最简分式，再代入数值；代入的数必须使所有分母均不为0。 3、 分式方程解法（必验根） 1. 解题步骤 去分母（两边同乘最简公分母，化为整式方程）→解整式方程→验根。 2. 验根方法 把解代入最简公分母： 结果≠0：是原分式方程的解 结果=0：是增根，原方程无解 3. 增根原因 去分母时乘了可能为0的整式，导致产生不符合原方程的根。 知识4 二次根式的化简、乘除与加减运算 一、核心前提 形如 的式子为二次根式，被开方数 ，且 。 二、 二次根式化简（最简标准） 1. 最简二次根式要求 被开方数不含分母 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 分母中不含根号 2. 化简公式 3. 分母有理化：利用平方差公式去掉分母中的根号。 三、二次根式乘除运算 1. 乘法 先相乘再化简，或先化简再相乘均可。 0. 除法 结果必须化为最简二次根式。 四、二次根式加减运算 1. 核心原则：先化简，再合并 0. 同类二次根式：化为最简后，被开方数相同的二次根式 3. 合并规则：只把系数相加减，根号及被开方数不变 4. 关键提醒：不是同类二次根式，不能直接合并 五、常见易错点 1. 忽略被开方数非负的条件 2. 未化成最简就直接合并 3. 根号外系数与根号内数字错误运算 知识5 一次方程（组）的解法与实际问题的建模 一、一元一次方程解法核心 1. 标准形式： 2. 解题五步：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1 3. 关键规则：移项要变号；去分母时所有项同乘公分母，不漏乘常数项。 二、二元一次方程组解法核心 核心思想：消元（将二元转化为一元一次方程） 1.代入消元法：把一个方程变形为（或），代入另一方程消元。 2.加减消元法：将同一未知数系数化为相同或相反数，通过加减直接消元。 3.解的情况：唯一解、无解、无数组解。 三、实际问题建模核心步骤 1. 审：梳理已知量、未知量，明确问题情境。 2. 设：设直接未知数或间接未知数，统一单位。 3. 列：抓住等量关系，列一元一次方程或二元一次方程组。 4. 解：求解方程（组），算出未知数的值。 5. 验：检验解是否满足方程，且符合实际意义（如数量为正整数）。 6. 答：规范写出答案，带单位。 四、常见题型等量关系（核心） 1. 和差倍分：总量 = 各部分量之和；倍数关系直接列式。 2. 行程问题：路程 = 速度×时间 相遇：路程和 = 总路程 追及：路程差 = 初始距离 3. 工程问题：工作总量 = 工作效率×工作时间（常设总量为1）。 4. 利润问题：利润 = 售价−进价；利润率 = 利润进价。 5. 配套问题：两种部件数量满足固定比例。 6. 数字问题：多位数 = 数位数字×对应数位权重之和。 五、高频易错点 1. 移项不变号、去分母漏乘常数项。 1. 忽略实际限制（如人数、物品数不能为负或小数）。 1. 设未知数、作答时遗漏单位。 知识6 一元二次方程的解法与根与系数的关系 一、基础形式 一元二次方程一般形式： 核心前提：二次项系数 二、四大解法核心 0. 直接开平方法 适用形式： 解法：直接开平方得 ，求出两根 特点：仅适用于缺一次项、可凑平方形式的方程 0. 因式分解法（最简便） 核心原理：若 ，则 或 步骤：化为一般式→因式分解（提公因式/平方差/完全平方）→令每个因式为0求解 适用：方程易分解为整式乘积形式 0. 配方法（通用） 步骤： · ① 二次项系数化为1 · ② 移项：常数项移到右边 · ③ 配方：两边加一次项系数一半的平方 · ④ 化为平方形式，开方求解 特点：所有方程适用，步骤较繁琐 1. 公式法（万能法） 求根公式： 判别式： ：方程有两个不相等的实数根 ：方程有两个相等的实数根 ：方程无实数根 三、根与系数的关系（韦达定理） 设方程 的两根为 、，且： 1. 两根之和： 2. 两根之积： 四、高频易错点 1. 忽略的前提条件 2. 直接开平方时漏掉正负号 3. 用韦达定理时未验证 4. 因式分解前未化为一般式 知识7 一元一次不等式（组）的解法与解集在数轴上的表示 一、一元一次不等式解法 1.解题步骤 去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1 2.核心规则 移项只改变项的符号，不改变不等号方向 两边同乘/除以负数时，不等号方向必须改变 二、 一元一次不等式组解法 1. 分别求出每个不等式的解集 2. 找所有解集的公共部分 3. 解集口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小找不到（无解） 三、解集在数轴上的表示 1. 空心圆圈：不包含该点，对应符号 >、< 2. 实心圆点：包含该点，对应符号 ≥、≤ 3. 方向规则：大于向右画，小于向左画 四、高频易错点 1. 系数为负数时，忘记改变不等号方向 2. 空心、实心混淆，数轴方向画反 3. 不等式组只看单个解，忽略公共解集 知识8 方程与不等式实际应用的审题与等量/不等量关系构建 一、审题核心步骤（解题关键前提） 1. 三审要素 · 审已知量、未知量、限制条件，圈画题干关键词； 2. 统一规范 · 统一单位、统一变量含义，区分求精确值（方程）/求取值范围（不等式）； 3. 抓隐含条件 · 人数、件数、长度等必为非负数/正整数，分式、二次根式有意义的约束。 二、等量关系构建（列方程/方程组） 核心逻辑 找固定不变、总量相等、差值固定、倍数确定的关系，列等式求解精确值。 高频等量关系模板 1. 和差倍分：总量=各部分和；较大量=较小量±差值；倍数关系直接列式 2. 行程问题 路程=速度×时间；相遇：路程和=总路程；追及：路程差=初始距离 3. 工程问题 工作总量=效率×时间；合作效率=各效率和；常设总工作量为1 4. 利润问题 利润=售价-进价；利润率=利润/进价×100%；售价=标价×折扣 5. 配套问题：两种部件数量成固定比例 6. 面积/周长：几何公式直接列等式 7. 数字问题：多位数=数位数字×位权之和 三、不等量关系构建（列不等式/不等式组） 核心逻辑 抓范围类、限制类关键词，列不等式求解取值范围。 关键词→不等号对应 至少、不少于、不低于 → ≥ 至多、不超过、不大于 → ≤ 不足、少于、低于 → ＜ 超过、多于、高于 → ＞ 常见不等约束 用料不超预算、人数不超限额、成本不高于定值 方案最优：满足多个限制条件，求整数解 实际隐含：未知数≥0，且多为正整数 四、通用解题流程 审题→设未知数→找等量/不等量关系→列方程/不等式→求解→双重检验→作答 1. 数学检验：解是否符合方程/不等式 2. 实际检验：解是否符合现实意义（正整数、非负等） 五、高频易错点 1. 混淆“至少” “不足”等关键词，不等号方向写错 2. 漏看实际隐含限制，出现负数、小数解 3. 单位不统一导致关系列错 4. 只列式不检验，忽略不符合实际的解 命题预测1：实数的混合运算 [2024年14(1)、2025年14(1)] 1．（2026·四川成都·一模）计算题 (1)； (2)解方程：． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法以及实数的混合运算法则． （1）分别计算零指数幂，负整数指数幂，算术平方根和绝对值，再进行加减计算； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 或 ∴或． 2．（2025·四川成都·模拟预测）按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)解不等式组：． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值和解不等式组等知识，熟练掌握相关法则和步骤是关键． （1）利用乘方、特殊角的三角函数值、零指数幂和绝对值进行计算即可； （2）求出每个不等式的解集取公共部分即可． 【详解】（1）解：； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 3．（2025·四川成都·模拟预测）（1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）首先计算特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，然后计算加减； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：． 4．（2025·四川成都·二模）计算与解不等式组 (1)计算：； (2)解不等式组： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是求一个数的立方根、负整数指数幂、零指数幂、求一个数的绝对值、实数的混合运算、解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握相关运算法则． （1）先根据求一个数的立方根、负整数指数幂、零指数幂、求一个数的绝对值计算，再结合实数的混合运算法则即可得解； （2）分别解出不等式①、②后，找出共同解集即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：解不等式①，， ， 得， 解不等式②，， 得， 不等式组的解集为． 5．（2025·四川成都·二模）（1）计算：． （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及负整数指数幂，特殊角的三角函数值，算术平方根，绝对值，二次根式的加减，还考查解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先利用负整数指数幂，特殊角的三角函数值，算术平方根，绝对值化简，再进行加减； （2）利用解一元一次不等式组的步骤求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①，得； 解不等式②，得， ∴不等式组的解为：． 命题预测2：整式的化简与变形 [2025年19题] 1．（2025·四川成都·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以单项式运算，合并同类项，完全平方公式以及平方差公式，解题的关键是熟练掌握各知识点． 根据单项式乘以单项式运算法则，合并同类项法则，完全平方公式以及平方差公式分别判断各选项即可． 【详解】解：A、，而， ∴，故A错误； B、和不是同类项，不能合并为， ∴ B错误； C、，而右边为， ∴ C错误； D、，与右边相等， ∴ D正确， 故选：D． 2．（2025·四川成都·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，包括完全平方公式、指数运算和分配律，选项A错误，因为完全平方公式展开后缺少中间项；选项B错误，因为不是同类项不能合并；选项C正确，符合指数运算法则；选项D错误，因为分配律应用时符号错误． 【详解】解： A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．（2025·四川成都·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，根据单项式除以单项式，完全平方公式，平方差公式，积的乘方，逐一进行计算判断即可． 【详解】解：A、，故选项A正确，符合题意； B、，故选项B错误，不符合题意； C、，故选项C错误，不符合题意； D、，故选项D错误，不符合题意； 故选：A． 4．（2020·四川巴中·模拟预测）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们定义一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查定义新运算以及多项式乘法，解决问题的关键是利用新定义把未知转化为已知． 首先利用多项式乘法法则进行乘法运算，然后把代入求值即可． 【详解】解：， 故选：A． 5．（2025·四川成都·二模）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，涉及平方差公式、幂的乘方、完全平方公式、同底数幂的除法，根据相关运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 6．（2025·四川南充·模拟预测）设，，为整数，且对一切实数都有恒成立，则_____________． 【答案】20或28 【分析】本题主要考查多项式乘多项式和因式分解变形，有一定难度．此题若直接求a，b，c的值不易，需另辟蹊径，这种解题思想很常用，需要特别注意，等式两边化简之后，利用一次项系数相等和常数项相等得到两个等式和；消去a，再因式分解得到，进而或，分别计算出a，b，c的值即可得出答案． 【详解】解：，，且恒成立， ，， 消去得，即， ,都是整数， ，或，， 解得或， 当时，； 当时，， 故或． 故答案为：20或28． 命题预测3：分式方程的求解 [2024年10题] 1．（2023·四川成都·二模）若关于x的分式方程有增根，则a的值是 （ ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程有增根的问题，正确解分式方程得到是解题的关键．先解分式方程得到，再根据分式方程有增根得到，解方程即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵分式方程有增根， ∴，即， ∴， ∴， 故选A． 2．（2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为______． 【答案】6或 【分析】本题考查了解分式方程． 将分式方程两边乘以最简公分母，化为整式方程，再根据增根的定义，令x等于使公分母为零的值，代入整式方程求解m． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 整理得， 即， ∵增根是使公分母为零的x值， ∴， 解得：， 当时，； 当时，； 则的值为6或． 故答案为：6或． 3．（2025·四川广元·模拟预测）若关于x的分式方程有增根，则________． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，理解分式方程的增根是解题的关键．先将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程得，根据分式方程有增根可得，列出关于的方程，即可求解． 【详解】解： 去分母，得， 解得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 4．（2024·四川宜宾·模拟预测）关于分式方程无解，则的值为________． 【答案】或 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，熟练掌握分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于是解决此题的关键，先根据解分式方程的方法求出，当，即时，方程无解，再由分式方程无解可得：，即，求出的值，进而得出答案． 【详解】解： 方程去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 当，即时，方程无解， ∵分式方程无解， ∴，即， ∴， 解得：， 综上所述，分式方程无解，的值为或． 故答案为：或． 5．（2025·四川成都·二模）已知关于x的方程的解是，则m的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解、解分式方程，根据题意可得出关于的分式方程，解方程即可得解． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 故， 故答案为：． 6．（2024·四川成都·模拟预测）若整数使得关于的分式方程有整数解，且使得二次函数的值恒为非负数，则所有满足条件的整数的值之和是________． 【答案】15 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，解不等式组及分式方程，正确理解二次函数的值恒为非负数的性质是解题关键．根据二次函数的性质，得到一元一次不等式组，求得，再解分式方程，得到，再根据、均为整数，找出满足条件的的值，求和即可． 【详解】解：二次函数的值恒为非负数， ， 解得：， 解分式方程得：, , , 、均为整数， 时，；时，；时，； 所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：15． 命题预测4：一元一次不等式（组）的求解 [2024年14(2)、2025年14(2)] 1．（2025·四川资阳·三模）函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴且， 故选：C． 2．（2025·四川资阳·二模）函数中自变量的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D．且， 【答案】C 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，零指数幂有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，零指数幂有意义的条件是底数不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴且， 故选：C． 3．（2025·四川成都·二模）关于x的不等式的解集是__________. 【答案】 【分析】此题考查的是解一元一次不等式，掌握不等式的基本性质是解决此题的关键．根据不等式的基本性质解不等式即可． 【详解】解：， 移项得，， ∴， 故答案为：． 4．（2025·四川成都·模拟预测）当________时，在实数范围内有意义． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数为非负数，分式有意义的条件为分母不等于零，可得，解不等式即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得． 故答案为：． 5．（2025·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，已知点和点是二次函数图象上的两点．若对于，都有，则a的取值范围是______；若对于，，都有，则a的取值范围是______． 【答案】 或 【分析】本题考查的初中数学知识点包括二次函数的图象与性质，不等式的求解．分类讨论思想的应用是解题的关键．先确定二次函数的对称轴，再根据 “对于特定自变量取值范围内的任意x或任意，函数值满足特定大小关系” 这一条件，结合二次函数开口方向对函数增减性的影响，分情况列出不等式，进而求解出参数a的取值范围，过程中需精准运用二次函数性质建立函数值与自变量、参数的关联，同时通过分类讨论覆盖不同开口方向下的可能性． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 令，则或a， 存在， ， ， ， 恒成立， 即； ， ， ，在时恒成立， 当时，或， ， 当时，且， ， 综上所述，或 故答案为：，或 6．（2025·四川乐山·模拟预测）求与的和为正数时，的取值范围，并在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，根据题意列出不等式，解不等式进而将解集表示在数轴上，即可求解． 【详解】解：由题得           解得     表示在数轴上：       命题预测5：一次方程（组）的实际应用 [2024年7题、2025年6题] 1．（2025·四川成都·一模）对于三边的长是三个连续正整数的三角形，下列说法错误的是（   ） A．至少存在一个钝角三角形 B．至多存在一个直角三角形 C．至少存在一个锐角三角形 D．至多存在一个钝角三角形 【答案】A 【分析】根据若为直角三角形，那么两个较小边的平方和等于最大边的平方；若为钝角三角形，那么两个较小边的平方和小于最大边的平方；若为锐角三角形，那么两个较小边的平方和大于最大边的平方；分别对各个选项进行判断即可． 本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设三个连续正整数，，为三角形的三边长， ∴， ∴， ，且为正整数， 若所构成的三角形是钝角三角形，当且仅当， 即， ， ， 又， ， ，， 即至多存在一个钝角三角形，三边长为，，，故选项A符合题意，选项D不符合题意； 若所构成的三角形是直角三角形，当且仅当， 即， 解得：，不符合题意，舍去， ，， 即至多存在一个直角三角形，三边长为，，，故选项B不符合题意； 若所构成的三角形是锐角三角形，此时， 即， ， ， 又， 的最小值为， 即至少存在一个锐角三角形，故选项C不符合题意； 故选：A． 2．（2025·四川成都·模拟预测）某班级组织的社会实践活动“我是夜市小摊主”，分成甲乙丙三组开展活动．三个小组均购买A，B两种款式的文创用品，其中甲乙两组购买记录如下表． 组别 A型文创用品（件） B型文创用品（件） 合计金额（元） 甲 20 25 800 乙 10 20 550 (1)求A，B两种型号文创用品的单价． (2)丙小组计划购买A，B两种型号的文创用品共40件，预算不超过725元，则B型文创用品最多可以购买几件？ 【答案】(1)A型文创用品的单价是15元，B型文创用品的单价是20元； (2)B型文创用品最多可以购买25件． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设A型文创用品的单价是x元，B型文创用品的单价是y元，根据题意得，求解即可； （2）设购买m件B型文创用品，则购买件A型文创用品，根据题意得，求解即可． 【详解】（1）解：（1）设A型文创用品的单价是x元，B型文创用品的单价是y元，根据题意得： ， 解得：， 答：A型文创用品的单价是15元，B型文创用品的单价是20元； （2）解：设购买m件B型文创用品，则购买件A型文创用品， 根据题意得：， 解得：， ∴的最大值为25， 答：B型文创用品最多可以购买25件． 3．（2025·四川成都·二模）在数字经济时代，成都加大对电子信息、生物医药及人工智能等领域的投资力度，促进“成都造”的品牌价值和市场认可度．某工厂现有，两个工种的工人共人，每月发工人工资元，，两个工种的工人的月工资分别为元和元． (1)，两个工种的工人各有多少人？ (2)现工厂扩大生产投入，需再招聘，两个工种的工人共名，招聘要求全工厂工种的人数不少于工种人数的倍，那么此次招聘工种工人多少人时，可使每月所付的工资总额最少？并求出最少工资总额． 【答案】(1)工种的工人有人，工种的工人有人 (2)招聘工种工人人时，每月所付的工资总额最少，最少工资总额为元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，熟练根据题意正确列出式子、等式或不等式是解题的关键． （1）设工种的工人有人，工种的工人有人，利用“，两个工种的工人共人”和“每月发工人工资元，，两个工种的工人的月工资分别为元和元”分别列式即可； （2）设此次招聘工种工人人，每月所付的工资总额为元，则招聘工种工人人，则可列出，利用全工厂工种的人数不少于工种人数的倍，列不等式确定的范围，结合一次函数的增减性即可解答． 【详解】（1）解：设工种的工人有人，工种的工人有人， 根据题意，得， 解得：， 答：工种的工人有人，工种的工人有人； （2）解：设此次招聘工种工人人，则招聘工种工人人，每月所付的工资总额为元， 则， ∵全工厂工种的人数不少于工种人数的倍， ∴， 解得：， 对于，， ∴随的增大而减小， ∴ 当时，每月所付的工资总额最小， 最小为（元）， 答：此次招聘工种工人人时，可使每月所付的工资总额最少，最少工资总额为元． 4．（2025·四川广元·一模）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲型号手机二月份比一月份售价每台降价500元．如果卖出相同数量的甲型号手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元． (1)一月份甲型号手机每台售价为多少元？ (2)为了提高利润，该店计划三月份加入乙型号手机销售，已知甲型号每台进价为3500元，乙型号每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？ (3)若三月份甲型号手机售价与二月份一样，乙型号手机售价比甲型号手机三月份的售价贵800元，在（2）的前提下哪种方案获利最大？ 【答案】(1)4500元 (2)5种 (3)购进甲型号手机8台，乙型号手机12台 【分析】本题主要考查分式方程及一元一次不等式组的应用，根据题意找准关系是解题的关键． （1）设一月份甲型号手机每台售价为x元，则二月份甲型手机的每台售价为元，根据题意建立方程就可以求出其值； （2）设购甲型手机y台，则购乙型手机台，根据题意建立不等式组，求出其解就可以得出结论； （3）求出每台的利润，根据不同的购买方案，求出表示出相应的利润，再比较即可． 【详解】（1）解：设一月份甲型号手机每台售价为x元，则二月份甲型手机的每台售价为元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是原方程的根， 故原方程的根是． 故一月份甲型号手机每台售价为4500元； （2）解：设购甲型手机y台，则购乙型手机台， 由题意得：， 解得， ∵y为整数， ∴y=8，9，10，11，12， ∴乙型手机的台数为：12，11，10，9，8， ∴有五种购货方案： 一、甲型手机8台，乙型手机12台； 二、甲型手机9台，乙型手机11台； 三、甲型手机10台，乙型手机10台； 四、甲型手机11台，乙型手机9台； 五、甲型手机12台，乙型手机8台； （3）解：由（1）甲型手机二月份每台售价为4000元，则乙型手机每台售价为4800元， 故甲型手机每台盈利500元，乙型手机每台盈利800元， 则方案一盈利：（元）； 方案二盈利：（元）； 方案三盈利：（元）； 方案四盈利：（元）； 方案五盈利：（元）； 因为， 所以购进甲型手机8台，乙型手机12台获利最大． 5．（2025·四川成都·模拟预测）文化与情感的共燃、创意设计和温情表达的相辅相成使得中国传统节日文创产品出圈．某商店经销一种文创书签，该书签的进价是每个元，经过一段时间的销售发现，该书签每天的销售量y(个)与每个的售价x(元)之间的函数关系如图所示． (1)求y关于x的函数关系式； (2)在每天的销售量不低于个的情况下，若要每天获得的销售利润为元，则该书签每个的售价是多少？ (3)该商店决定这种书签的售价每个不能高于元，且每销售1个这种书签就向某文化机构捐款n元，捐款后发现，该商店每天销售这种书签所获利润随售价的增大而增大，求n的取值范围． 【答案】(1) (2)元 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，设，利用待定系数法可得解析式； （2）由题意列方程，解得，而每天的销售量不低于个，则，则可求出该书签每个的售价； （3）依据题意，设捐款后每天所获得的利润为元，从而可得，结合二次函数的性质得当时，随的增大而增大，进而得到，再结合题目条件最后计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，设， 又∵图象过，， ． ． ； （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵每天的销售量不低于个， ∴， ， 故， 则该书签每个的售价元； （3）解：设捐款后每天所获得的利润为元，根据题意得： ， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， 当时，随的增大而增大． 物价部门规定这种书签的售价每个不能高于元， 即在 范围内函数都要递增，则对称轴才能保证在 时函数递增， ， 解得， 又， ． 6．（2025·四川广安·模拟预测）网络销售已经成为一种热门的销售方式．为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售盐皮蛋，成本价为每箱40元．经市场调研发现，盐皮蛋的日销售量（箱）与销售单价（元/箱）之间满足一次函数关系．当售价为50元时，日销售量为350箱；售价为60元时，日销售量为300箱．设销售盐皮蛋每日获得的利润为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)当盐皮蛋售价为多少元时，每日可获得最大利润，最大利润是多少元？ (3)要求盐皮蛋日销售量不少于250箱，且售价不低于40元，当售价为多少元时，每日可获得最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当盐皮蛋售价为80元时，每日可获得最大利润，最大利润是8000元 (3)当售价为70元时，每日可获得最大利润是7500元 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、二次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出函数关系式和不等式是解题的关键． （1）设与之间的函数关系式为，根据题意代入和，利用待定系数法求出的值即可求解； （2）根据题意列出与之间的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解答； （3）根据题意列出关于的不等式，求出的范围，由（2）得，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 代入和得，， 解得：， 与之间的函数关系式为． （2）解：由题意得，， 当时，有最大值，最大值为8000， 答：当盐皮蛋售价为80元时，每日可获得最大利润，最大利润是8000元． （3）解：令，则， 解得：， 由题意得，， ， 由（2）得，， 函数的图象开口向下，对称轴为， 在时，随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为， 答：当售价为70元时，每日可获得最大利润是7500元． 7．（2025·四川泸州·模拟预测）某体育用品商店计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共200套进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过120套；已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费255元．乒乓球拍售价为50元/套，羽毛球拍售价为80元/套． (1)分别求出每套乒乓球拍和羽毛球拍的进价是多少元？ (2)商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半，如何进货才能使这批体育用品全部售完时获利最大？ 【答案】(1)每套乒乓球拍的进价是30元，每套羽毛球拍的进价是45元 (2)购进乒乓球拍67套、羽毛球拍133套才能使这批体育用品全部售完时获利最大 【分析】本题考查的是二元一次方程组与一元一次不等式组的应用，一次函数的应用； （1）设每套乒乓球拍的进价是x元，每套羽毛球拍的进价是y元，根据购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费255元．再建立方程组解题即可； （2）设购进乒乓球拍m套，则购进羽毛球拍套，根据购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半，求解的范围，再建立一次函数求解即可。 【详解】（1）解：设每套乒乓球拍的进价是x元，每套羽毛球拍的进价是y元． 根据题意，得， 解得． 答：每套乒乓球拍的进价是30元，每套羽毛球拍的进价是45元． （2）解：设购进乒乓球拍m套，则购进羽毛球拍套． 根据题意，得， 解得：， 设获利W元，则， ∵， ∴W随m的减小而增大， ∵且m为非负整数， ∴当时W值最大， （套）． 答：购进乒乓球拍67套、羽毛球拍133套才能使这批体育用品全部售完时获利最大． 8．（2025·四川绵阳·模拟预测）某工厂从外地连续两次购得，两种原料，购买情况如表：现计划租用甲，乙两种货车共8辆将两次购得的原料一次性运回工厂． （吨） （吨） 费用（元） 第一次 12 8 33600 第二次 8 4 20800 (1)，两种原料每吨的进价各是多少元？ (2)已知一辆甲种货车可装4吨种原料和1吨种原料；一辆乙种货车可装，两种原料各2吨．甲种货车的运费是每辆400元，乙种货车的运费是每辆350元．设安排甲种货车辆，总运费为元，求（元）与（辆）之间的函数关系式；为何值时，总运费最小，最小值是多少元？ 【答案】(1)原料每吨的进价是2000元，原料每吨的进价是1200元 (2)与之间的函数关系式为；当时，总运费最小，最小值是2900元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，读懂题意找到合适的等量关系是解题的关键． （1）设原料每吨的进价是元，原料每吨的进价是元，根据表格中第一次和第二次够买原料的吨数和费用列出方程，解之即可； （2）设安排甲种货车辆，则乙种货车辆，根据“一辆甲种货车可装4吨种原料和1吨种原料；一辆乙种货车可装、两种原料各2吨”，结合表中两次、原料的吨数列出一元一次不等式组，得到的取值范围；然后根据“甲种货车的运费是每辆400元，乙种货车的运费是每辆350元”列出与之间的函数关系式，根据一次函数的性质和的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设原料每吨的进价是元，原料每吨的进价是元， 依题意得，， 解得， 答：原料每吨的进价是2000元，原料每吨的进价是1200元． （2）解：设安排甲种货车辆，则乙种货车辆， 依题意得，， 解得； 设总运费为元， 则， ， 随的增大而增大， ， 当时，取得最小值，最小值为． 答： 与之间的函数关系式为；当时，总运费最小，最小值是2900元． 命题预测6：一元二次方程根与系数的关系 [2024年20题] 1．（2025·四川广元·一模）若方程的两根为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值． 先求出，，将通分计算即可． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴，， ∴． 故选：A． 2．（2025·四川绵阳·一模）若关于的方程的一根大于，另一根小于，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数、一元二次方程综合，熟记二次函数图象与性质、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的情况与判别式关系是解决问题的关键． 令，根据二次函数图象与性质即可判断A选项正确；由一元二次方程根与系数的关系判断B、D错误；由一元二次方程根的情况与判别式的关系判断C错误，从而得到答案． 【详解】解：A、令， ∵二次项系数， 抛物线开口向下， 关于的方程的一根大于，另一根小于， ∴当时，，即， 选项结论正确，符合题意； B、设关于的方程的两个根为， 则， 关于的方程的一根大于，另一根小于， 若，则，即不一定为， 选项结论错误，不符合题意； C、关于的方程的一根大于，另一根小于， 一元二次方程有两个不相等的实数根，即， 选项结论错误，不符合题意； D、设关于的方程的两个根为， 则，即， 关于的方程的一根大于，另一根小于， 若，则，，即不一定小于， 选项结论错误，不符合题意； 故选：A． 3．（2025·四川南充·一模）已知：点在直线上，抛物线上两点，，点B在C的左侧，令，若，，则w的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，由条件，点A在直线上，得；点B、C在抛物线上，得方程，根为，且，则，根据判别式大于0和条件，求出的取值范围，进而得到的范围，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，点A在直线上， ∴，即， 点B、C在抛物线上， ∴，即， 设该方程的两根为，且，则， ∴， ∵方程有两不等实根， ∴，即， 又∵，即， 整理得：， ∴， 即， 解得：或， ∵， ∴，即， 综上：， ∴当时，； 当时，， ∴， 故选：B． 4．（2025·四川成都·一模）已知，a，b是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，，并利用方程变形简化表达式． 【详解】解：由根与系数的关系，得，． 由于a是方程的根，故，即， 所以． 因此，（，由 知）． 原式． 代入，得． 故答案为：4． 5．（2025·四川成都·模拟预测）已知是一元二次方程的两根，则__________． 【答案】2029 【分析】本题考查根与系数的关系．利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再利用整体思想即可解决问题． 【详解】解：因为、是一元二次方程的两根， 所以， 所以 ， 故答案为：2029． 6．（2025·四川成都·模拟预测）已知，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根和根与系数的关系，解此题的关键在于利用方程的根，和根与系数的关系得到的关系式，再利用整体代入思想求解即可． 根据题意可得，，再将所求式子变形，然后利用整体代入思想求解即可． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ， 故答案为： 7．（2025·四川绵阳·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若是方程的两个不相等的实数根，且满足，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）根据根与系数之间的关系，得到，结合，得到关于的方程进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴； ∴ 无论取何值，方程总有两个不等实根； （2）解：由题意，，， ∴， ∴， ∴， ． 命题预测7：方程与不等式的综合实际应用 [2024年24题、2025年24题] 1．（2025·四川雅安·二模）为了响应国家低碳出行号召和降低经营成本，某市出租车公司准备把油车更换成电车．现有A，B两种品牌的电车可供选择，若购买3辆A品牌电车和4辆B品牌电车，共需花费万元；若购买2辆A品牌电车和6辆B品牌电车，共需花费万元． (1)求每辆A品牌电车和每辆B品牌电车的价格； (2)若出租车公司需要购买A，B两种品牌的电车共辆（两种品牌的电车均需购买），购买B品牌电车数量不超过购买A品牌电车数量的，为使购买电车的总费用最低，应购买A品牌电车和B品牌电车各多少辆？购买电车的总费用最低为多少万元？ 【答案】(1)A品牌电车万元/辆，B品牌电车万元/辆 (2)为使购买电车的总费用最低，购买辆A品牌电车，辆B品牌电车，购买电车的总费用最低为万元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用，掌握相关知识是解决问题的关键。 （1）根据题意找到等量关系，列二元一次方程组进行求解即可； （2）设购买B品牌电车辆，则应购买A品牌电车辆，根据题意，，得；设购买电车的总费用为万元，则，根据一次函数的增减性求出答案。 【详解】（1）解：设A品牌电车万元/辆，B品牌电车万元/辆，根据题意， 依题意得， 解方程得， 答：A品牌电车万元/辆，B品牌电车万元/辆． （2）解：设购买B品牌电车辆，则应购买A品牌电车辆，根据题意， ， 得， 设购买电车的总费用为万元，则， ∵， ∴时，取得最小值，最小值为（万元）， ∴购买A品牌电车（辆）， 答：为使购买电车的总费用最低，购买辆A品牌电车，辆B品牌电车，购买电车的总费用最低为万元． 2．（2025·四川泸州·二模）初三体育进入专项训练，某学校打算采购一批篮球和实心球供同学们使用，调查发现购买3个篮球和4个实心球需290元；购买4个篮球和5个实心球需380元． (1)求篮球、实心球的单价各是多少元？ (2)该校计划采购篮球、实心球共200个，总费用不超过6100元，且篮球个数不少于实心球个数的，请为该校设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)篮球的单价是70元，实心球的单价是20元 (2)最省钱的购买方案为：购买40个篮球，160个实心球，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设篮球的单价是x元，实心球的单价是y元，根据“购买3个篮球和4个实心球需290元；购买4个篮球和5个实心球需380元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个篮球，则购买个实心球，根据“总费用不超过6100元，且篮球个数不少于实心球个数的”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设篮球的单价是x元，实心球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：篮球的单价是70元，实心球的单价是20元； （2）解：最省钱的购买方案为：购买40个篮球，160个实心球，理由如下： 设购买m个篮球，则购买个实心球， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为40，41，42， ∴该校共有3种购买方案， 方案1：购买40个篮球，160个实心球，总费用为（元）； 方案2：购买41个篮球，159个实心球，总费用为（元）； 方案3：购买42个篮球，158个实心球，总费用为（元）， ∵， ∴最省钱的购买方案为：购买40个篮球，160个实心球． 3．（2025·四川绵阳·三模）某商家准备购进甲、乙两种粽子进行销售，若甲种粽子的进价比乙种粽子的进价每盒少5元，其用90元购进甲种粽子的数量与用100元购进乙种粽子的数量相同． (1)求甲种粽子、乙种粽子的进价分别是每盒多少元？ (2)若该商家购进甲种粽子的数量是乙种粽子的3倍少5盒，两种粽子的总数不少于95盒，计划采购粽子的资金共5325元，已知该商家甲种粽子的销售价格为50元/盒，乙种粽子的销售价格为每件58元/盒，则购进的甲、乙两种粽子全部售出后，销售的总利润最多能达到多少元？ 【答案】(1)甲种粽子的进价为每盒45元，乙种粽子的进价为每盒50元 (2)665元 【分析】此题考查了分式方程、一次函数、一元一次不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是关键． （1）设乙种粽子的进价为每盒x元，则甲种粽子的进价为每盒元，用90元购进甲种粽子的数量与用100元购进乙种粽子的数量相同，据此列出方程，解方程并检验即可； （2）设购进乙种粽子y盒，则购进甲种粽子盒，该商家购进甲种粽子的数量是乙种粽子的3倍少5盒，两种粽子的总数不少于95盒，计划采购粽子的资金共5325元，据此列出不等式组，解不等式组得到且y为整数，再根据题意列出一次函数解析式，根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设乙种粽子的进价为每盒x元，则甲种粽子的进价为每盒元， 由题意得，， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义． 所以甲种粽子的进价为每盒45元，乙种粽子的进价为每盒50元， （2）设购进乙种粽子y盒，则购进甲种粽子盒， 由题意得， 解得且y为整数， 则其销售后总利润 化简整理得， 因为，w随着y的增大而增大。 因为 所以当时，总利润最大，利润最大值为665元． 4．（2025·四川绵阳·一模）一公司要将240吨货物运往某地销售，经与物流公司协商，计划租用甲、乙两种型号的卡车共15辆，用这15辆卡车一次性将货物全部运走，其中每辆甲型卡车最多能装该种货物15吨，每辆乙型卡车最多能装该种货物18吨．已知租用3辆甲型卡车和2辆乙型卡车共需费用3100元；租用2辆甲型卡车和1辆乙型卡车共需费用1850元，且同一型号卡车每辆租车费用相同． (1)求租用1辆甲型卡车、1辆乙型卡车的费用分别是多少元． (2)若该公司预算此次租车费用不超过9500元，请计算该公司采用什么租车方案的费用最少，求出最少租车费用． 【答案】(1)租用1辆甲型卡车的费用为600元，租用1辆乙型卡车的费用为650元 (2)租用甲型卡车10辆，乙型卡车5辆时，费用最少，最少租车费用为9250元 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解． （1）设租用一辆甲型卡车的费用为x元，一辆乙型卡车的费用为y元，根据题意，租用1辆甲型卡车和2辆乙型卡车共需费用3100元，租用2辆甲型卡车和1辆乙型卡车共需费用1850元，列方程组求解； （2）设租用x辆甲型汽车，根据租车费用不超过9500元，共有240吨货物，列不等式组求解． 【详解】（1）解：设租用1辆甲型卡车的费用为m元﹐租用1辆乙型卡车的费用为n元． 由题意﹐得， 解得． 答：租用1辆甲型卡车的费用为600元，租用1辆乙型卡车的费用为650元． （2）解：设租用甲型卡车x辆，租用乙型卡车辆，租车的总费用为W元． 由题意﹐得， 解得， ∴租车的总费用为，其中． ∵， ∴W随x增大而减小， ∴当时，租车的总费用最少，． 答：租用甲型卡车10辆，乙型卡车5辆时，费用最少，最少租车费用为9250元． 5．（2025·四川泸州·三模）为了抓住我市旅游文化艺术节的商机，某商店决定购进A，B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要元． (1)求购进A，B两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定购进这两种纪念品共件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这件纪念品的资金不少于元，但不超过元，若销售每件A种纪念品可获利润元，每件B种纪念品可获利润元，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)购进A种纪念品每件需要元，B种纪念品每件需要元 (2)当购进A种纪念品件，B种纪念品件时，获得的利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）设购进A种纪念品每件价格为m元，B种纪念品每件价格为n元，根据“若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要元”列出二元一次方程组，解之即可得解； （2）设购进A种纪念品件，则购进B种纪念品件，根据“买这件纪念品的资金不少于元，但不超过元”列出一元一次不等式组，求出的取值范围，销售总利润为，根据一次函数的性质知当时，获得利润最大，即可得解． 【详解】（1）解：设购进A种纪念品每件价格为m元，B种纪念品每件价格为n元， 根据题意可知：， 解得：， 答：购进A种纪念品每件需要元，B种纪念品每件需要元； （2）解：设购进A种纪念品件，则购进B种纪念品件， 根据题意可得：， 解得：， 销售总利润为， 由由一次函数性质可知，随的增大而减小， 当时，获得利润最大，最大利润（元）， 答：当购进A种纪念品件，B种纪念品件时，获得的利润最大，最大利润是元． 6．（2025·四川德阳·二模）随着全民健身意识的增强和体育产业的高质量发展，运动鞋市场的需求日益增长．某运动品牌专卖店为了抓住这一市场机遇，准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如表．已知购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共需10000元． 甲 乙 进价/（元/双） m 售价/（元/双） 240 160 (1)求m的值； (2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋每双优惠a（）元出售，乙种运动鞋价格不变，该专卖店要想获得最大利润应当如何进货？ 【答案】(1)； (2)共有11种进货方案； (3)见解析 【分析】本题考查一元一次方程，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用．根据题意列出方程和不等式组是解题的关键． （1）根据“购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共需10000元”列出方程并解答； （2）设购进甲种运动鞋双，表示出乙种运动鞋双，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答； （3）设总利润为，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得； （2）解：设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋双， 根据题意得： 解不等式①得， 解不等式②得， 所以，不等式组的解集是: ∵x是正整数，， ∴共有11种进货方案； （3）解：设总利润为W，则 ， ①当时，，W随x的增大而增大， 所以，当时，W有最大值， 即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双； ②当时，，，（2）中所有方案获利都一样； ③当时，，W随x的增大而减小， 所以，当时，W有最大值， 即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双． 命题预测8：分式的化简求值【常考考点】 1．（2025·四川广元·一模）先化简、再求值：其中x为方程的根． 【答案】，当时，分式的值为 【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 先根据分式的乘除法法则计算，并化到最简，然后求出方程的解，舍去不符合题意的解，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 解方程，得或， ∵且， ∴且， ∴， 当时，原式． 2．（2025·四川广元·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，涉及知识点：分式的混合运算、完全平方公式、因式分解。解题方法是先对分式约分、通分，将除法转化为乘法后化简，再代入求值；解题关键是正确进行因式分解与分式运算，易错点是通分或符号处理错误。先分解分子分母的因式，通分计算括号内的减法，再将除法转乘法化简，最后代入的值计算． 【详解】解： ， 代入， 原式． 3．（2025·四川广元·模拟预测）先化简，再求值： ，其中 【答案】； 【分析】此题考查了分式的化简和求值，二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号内通分并利用同分母分式的减法运算法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， ， ∴原式 ． 4．（2025·四川广元·模拟预测）先化简，再求值：，其中的值是方程的一个根． 【答案】；． 【分析】本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程，先根据分式的混合运算法则化简原式，再解一元二次方程，根据分式有意义的条件可得，代入化简式子中求值即可． 【详解】解：原式 ． 的值是方程的一个根， 或． 且， 原式． 5．（2025·四川广元·三模）先化简，再求值：若，求代数式的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将转化为，再整体代入计算可得． 【详解】解： ； ， ， ∴原式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数与式的化简和求值、方程(组)与不等式(组) 的相关运算 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 题型一 实数的混合运算（含二次根式、特殊角三角函数、零指数/负整数指数幂、绝对值） 题型二 整式与分式的化简求值 题型三 一次方程（组）的求解与实际应用 题型四 分式方程的求解 题型五 一元一次不等式（组）的求解 题型六 一元二次方程的解法与根的关系 题型七 方程与不等式的综合实际应用 必备知识 知识1 实数的混合运算法则（含特殊角三角函数值、零指数幂、负整数指数幂） 知识2 整式的运算（幂的运算、乘法公式、合并同类项）与化简求值 知识3 分式的基本性质、化简求值及分式方程的解法（验根） 知识4 二次根式的化简、乘除与加减运算 知识5 一次方程（组）的解法与实际问题的建模 知识6 一元二次方程的解法（直接开平方法、因式分解法等）与根与系数的关系 知识7 一元一次不等式（组）的解法与解集在数轴上的表示 知识8 方程与不等式实际应用的审题与等量/不等量关系构建 命题预测 预测1 实数的混合运算 [2024年14(1)、2025年14(1)] 预测2 整式的化简与变形 [2025年19题] 预测3 分式方程的求解 [2024年10题] 预测4 一元一次不等式（组）的求解 [2024年14(2)、2025年14(2)] 预测5 一次方程（组）的实际应用 [2024年7题、2025年6题] 预测6 一元二次方程根与系数的关系 [2024年20题] 预测7 方程与不等式的综合实际应用 [2024年24题、2025年24题] 预测8 分式的化简求值【常考考点】 命题 透视 命题形式： 选择题、填空题及解答题14题 考察能力： 运算能力、抽象能力、推理能力 热考角度 考点 2025年 2024年 实数 T1：有理数减法的实际应用 T14(1)：实数的混合运算（负整指数幂、二次根式、特殊角三角函数、绝对值） T1：绝对值的计算 T14(1)：实数的混合运算（算术平方根、特殊角三角函数、零指数幂、绝对值） 数的开方与二次根式 融入T14(1)实数混合运算中考察，无单独考题 融入T14(1)实数混合运算中考察，无单独考题 代数式与整式 T3：整式的运算（合并同类项、幂的乘方、完全平方公式、单项式乘法） T3：整式的运算（积的乘方、合并同类项、完全平方公式、平方差公式） 分式 未单独考察，分式方程融入综合题型 T10：分式方程的求解 一元一次方程/二元一次方程组 T6：二元一次方程组的实际应用（古算题） T10：一元一次方程的程序框图计算 T7：二元一次方程组的实际应用（古算题） 一元二次方程 未单独考察，根的判别式融入综合题型 T20：一元二次方程根的判别式结合概率考察 不等式（组） T14(2)：一元一次不等式组的求解 T14(2)：一元一次不等式组的求解 命题预测 考情预测 · 根据2024-2025年成都中考的命题趋势，2026年该专题依旧以基础题为核心，占据试卷基础分值的重要部分，实数混合运算、一元一次不等式组求解为必考题型，整式运算、二元一次方程组的实际应用（含古算题背景）为高频考点，分式方程的求解大概率单独设题，整体侧重考查运算的准确性、公式法则的灵活运用及简单的数学建模能力。 备考建议 · 熟练掌握实数、整式的各类运算法则及运算技巧，强化二次根式、特殊角三角函数、指数幂、绝对值的综合计算训练，提升运算速度与准确率；掌握方程（组）、不等式（组）的解法，能结合实际问题（含古算题）建立数学模型，理解建模与转化的数学思想；注重解题步骤的规范性，避免基础计算失误。 题型一 实数的混合运算 1. 零指数幂： 2. 负整数指数幂： 3. 绝对值 4. 特殊角三角函数值 5. 二次根式运算 结果需化为最简二次根式 6. 运算顺序 先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内；同级运算从左至右依次进行。 1．（2025·四川成都·中考真题）（1）计算：． 2．（2024·四川成都·中考真题）（1）计算：． 题型二 整式与分式的化简求值 一、整式运算 1. 幂的运算 1. 乘法公式 平方差公式： 完全平方公式： 1. 去括号与合并同类项 括号前为负号，去括号后各项变号；同类项字母与指数相同，仅系数相加减。 二、分式运算 1. 分式有意义：分母 2. 分式值为0：分子且分母 3. 基本性质： 4. 运算法则 乘法： 除法： 加减：同分母；异分母先通分再计算 1. 化简：先因式分解，再约分 三、运算顺序 先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内；同级运算从左至右。 1．（2025·四川成都·中考真题）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是________（填一个即可）． 2．（2023·四川成都·中考真题）若，则代数式，的值为___________． 题型三 一次方程（组）的求解与实际应用 一、一元一次方程 1. 定义：只含一个未知数，未知数次数为1，且为整式方程。 2. 解法步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。 3. 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。 二、二元一次方程组 1. 定义：共含两个未知数，含未知数的项次数均为1，由两个整式方程组成。 2. 解法：代入消元法、加减消元法。 3. 方程组的解：同时满足两个方程的一组未知数的值。 三、实际应用 1. 解题步骤：审题→设未知数→列方程（组）→解方程（组）→检验→作答。 2. 核心：找准题目中的等量关系。 3. 常见类型：和差倍分、行程问题、工程问题、利润问题、配套问题、数字问题。 4. 检验要求：既要验证方程解的正确性，又要符合实际情境。 1．（2025·四川成都·中考真题）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·四川成都·中考真题）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川成都·中考真题）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为________． 4．（2024·四川成都·中考真题）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共进行销售，其中A种水果收购单价10元/，B种水果收购单价15元/． (1)求A，B两种水果各购进多少千克； (2)已知A种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划A种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价． 题型四 分式方程的求解 1. 分式方程定义：分母中含有未知数的方程 2. 解分式方程基本思路：通过去分母转化为整式方程求解 3. 解法步骤：去分母，将分式方程化为整式方程；解所得的整式方程；验根 4. 增根：使原分式方程分母为零的整式方程的根，增根应舍去 5. 验根方法：将求得的未知数的值代入最简公分母，若最简公分母不为零，则是原方程的根；若为零，则为增根 6. 无解情况：整式方程无解，或整式方程的解均为分式方程的增根 7. 分式方程实际应用：根据题意列分式方程，求解后既要检验是否为增根，也要检验是否符合实际意义 1．（2025·四川成都·中考真题）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． (1)求每个A种挂件的价格； (2)某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 题型五 一元一次不等式（组）的求解 1. 不等式的基本性质 不等式两边加或减同一个数或式子，不等号方向不变 不等式两边乘或除以同一个正数，不等号方向不变 不等式两边乘或除以同一个负数，不等号方向改变 2. 一元一次不等式定义 只含有一个未知数，未知数次数为1，且不等号两边都是整式的不等式 3. 一元一次不等式解法步骤 去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1 系数化为1时，系数为负数需改变不等号方向 4. 一元一次不等式组 由几个含有相同未知数的一元一次不等式组成 5. 不等式组的解集 几个不等式解集的公共部分 同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到 6. 解集在数轴上的表示 有等号用实心圆点，无等号用空心圆圈，根据方向画出折线 7. 求整数解 先求出不等式或不等式组的解集，再在解集中找出符合要求的整数数值 1．（2025·四川成都·中考真题） （2）解不等式组： 2．（2024·四川成都·中考真题） （2）解不等式组： 题型六 一元二次方程的解法与根的关系 1. 一元二次方程的一般形式： 2. 直接开平方法：适用于或的形式 3. 配方法：将方程化为的形式后开方求解 4. 公式法：求根公式 5. 因式分解法：将方程化为两个一次因式乘积为0的形式求解 6. 根的判别式 ，方程有两个不相等的实数根 ，方程有两个相等的实数根 ，方程无实数根 1. 根与系数的关系 若方程的两根为，则， 1. 解一元二次方程需检验根是否满足原方程及实际题意 1．（2024·四川成都·中考真题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 2．（2025·四川成都·中考真题）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为________． 1 2 1 2 题型七 方程与不等式的综合实际应用 1. 解题基本步骤：审题，设未知数，根据题意列等量或不等量关系式，求解方程或不等式组，检验解的合理性，作答 2. 常见等量关系：和差倍分关系，行程问题中的路程、速度、时间关系，工程问题中的工作总量、工作效率、工作时间关系，利润问题中的售价、成本、利润关系 3. 常见不等量关系：不超过，不少于，大于，小于，至多，至少，非负数，正数等数量限制 4. 方程与不等式结合题型：先通过方程求出相关量，再根据不等关系确定取值范围 5. 整数解问题：在不等式解集中选取符合实际意义的整数解 6. 方案设计问题：根据不等式组的解集确定可行方案，再通过计算选择最优方案 7. 检验要求：解既要满足方程或不等式，又要符合实际情境中的数量限制，如人数、件数为正整数等 1．（2023·四川成都·中考真题）年月日至月日，第届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃．已知购买千克种食材和千克种食材共需元，购买千克种食材和千克种食材共需元． (1)求，两种食材的单价； (2)该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买种食材千克数不少于种食材千克数的倍，当，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 2．（2025·四川成都·二模）某学校需要增加保洁物品，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．现要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元.某商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． (1)求毛巾和扫把簸箕套装的单价； (2)如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 知识1 实数的混合运算法则 一、混合运算核心法则 运算顺序：先算乘方、开方→再算乘除→最后算加减； 括号优先：有括号时，先算小括号，再算中括号，最后算大括号； 同级运算：只有乘除/只有加减时，从左到右依次计算； 符号规则：同号得正、异号得负，减法统一转化为加法计算。 二、特殊角三角函数核心值（30°、45°、60°） 角度 正弦 余弦 正切 30° 45° 60° 三、指数幂核心规则 2. 零指数幂：，关键条件：（无意义）。 3. 负整数指数幂：（，为正整数），即底数取倒数，指数变正数。 四、运算易错核心提醒 4. 负指数幂切勿直接变负，牢记转化为倒数的正指数； 5. 零指数幂必须先判断底数不为0，再代入计算； 6. 三角函数值易混淆，重点区分30°与60°的正余弦数值。 知识2 整式的运算（幂的运算、乘法公式、合并同类项）与化简求值 一、幂的运算核心性质（底数，、为正整数） 1. 同底数幂相乘：（底数不变，指数相加） 2. 同底数幂相除：（底数不变，指数相减） 3. 幂的乘方：（底数不变，指数相乘） 4. 积的乘方：（分别乘方，再相乘） 二、合并同类项核心规则 1. 同类项判定：所含字母相同，且相同字母的指数也相同（常数项都是同类项） 2. 合并法则：系数相加减，字母和字母的指数保持不变 3. 去括号关键：括号前是“”，去括号后括号内各项都变号 三、核心乘法公式（必考） 1. 平方差公式：（同平方减异平方） 2. 完全平方公式 和的平方： 差的平方： 口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央，符号看前方 四、化简求值核心步骤 1. 先化简：去括号→合并同类项/套用乘法公式→整理为最简整式 2. 再代入：将字母取值代入化简后的式子 3. 后计算：按实数运算法则算出结果 4. 易错提醒：代入负数、分数时务必加括号；符号是高频失分点 知识3 分式的基本性质、化简求值及分式方程的解法（验根） 1、 分式的基本性质 1. 核心性质 分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。 2. 符号规则 分子、分母、分式本身，同时改变其中两个的符号，分式值不变。 3. 关键操作 约分：先因式分解，约去分子分母的公因式 通分：确定最简公分母（系数取最小公倍数，相同因式取最高次幂） 2、 分式化简求值 1. 运算顺序 先乘方→再乘除→最后加减；有括号先算括号内。 2.运算规则 乘除：先因式分解，再约分，最后相乘 加减：先通分化为同分母，分子相加减，分母不变 3.求值要点 先化简为最简分式，再代入数值；代入的数必须使所有分母均不为0。 3、 分式方程解法（必验根） 1. 解题步骤 去分母（两边同乘最简公分母，化为整式方程）→解整式方程→验根。 2. 验根方法 把解代入最简公分母： 结果≠0：是原分式方程的解 结果=0：是增根，原方程无解 3. 增根原因 去分母时乘了可能为0的整式，导致产生不符合原方程的根。 知识4 二次根式的化简、乘除与加减运算 一、核心前提 形如 的式子为二次根式，被开方数 ，且 。 二、 二次根式化简（最简标准） 1. 最简二次根式要求 被开方数不含分母 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 分母中不含根号 2. 化简公式 3. 分母有理化：利用平方差公式去掉分母中的根号。 三、二次根式乘除运算 1. 乘法 先相乘再化简，或先化简再相乘均可。 0. 除法 结果必须化为最简二次根式。 四、二次根式加减运算 1. 核心原则：先化简，再合并 0. 同类二次根式：化为最简后，被开方数相同的二次根式 3. 合并规则：只把系数相加减，根号及被开方数不变 4. 关键提醒：不是同类二次根式，不能直接合并 五、常见易错点 1. 忽略被开方数非负的条件 2. 未化成最简就直接合并 3. 根号外系数与根号内数字错误运算 知识5 一次方程（组）的解法与实际问题的建模 一、一元一次方程解法核心 1. 标准形式： 2. 解题五步：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1 3. 关键规则：移项要变号；去分母时所有项同乘公分母，不漏乘常数项。 二、二元一次方程组解法核心 核心思想：消元（将二元转化为一元一次方程） 1.代入消元法：把一个方程变形为（或），代入另一方程消元。 2.加减消元法：将同一未知数系数化为相同或相反数，通过加减直接消元。 3.解的情况：唯一解、无解、无数组解。 三、实际问题建模核心步骤 1. 审：梳理已知量、未知量，明确问题情境。 2. 设：设直接未知数或间接未知数，统一单位。 3. 列：抓住等量关系，列一元一次方程或二元一次方程组。 4. 解：求解方程（组），算出未知数的值。 5. 验：检验解是否满足方程，且符合实际意义（如数量为正整数）。 6. 答：规范写出答案，带单位。 四、常见题型等量关系（核心） 1. 和差倍分：总量 = 各部分量之和；倍数关系直接列式。 2. 行程问题：路程 = 速度×时间 相遇：路程和 = 总路程 追及：路程差 = 初始距离 3. 工程问题：工作总量 = 工作效率×工作时间（常设总量为1）。 4. 利润问题：利润 = 售价−进价；利润率 = 利润进价。 5. 配套问题：两种部件数量满足固定比例。 6. 数字问题：多位数 = 数位数字×对应数位权重之和。 五、高频易错点 1. 移项不变号、去分母漏乘常数项。 1. 忽略实际限制（如人数、物品数不能为负或小数）。 1. 设未知数、作答时遗漏单位。 知识6 一元二次方程的解法与根与系数的关系 一、基础形式 一元二次方程一般形式： 核心前提：二次项系数 二、四大解法核心 0. 直接开平方法 适用形式： 解法：直接开平方得 ，求出两根 特点：仅适用于缺一次项、可凑平方形式的方程 0. 因式分解法（最简便） 核心原理：若 ，则 或 步骤：化为一般式→因式分解（提公因式/平方差/完全平方）→令每个因式为0求解 适用：方程易分解为整式乘积形式 0. 配方法（通用） 步骤： · ① 二次项系数化为1 · ② 移项：常数项移到右边 · ③ 配方：两边加一次项系数一半的平方 · ④ 化为平方形式，开方求解 特点：所有方程适用，步骤较繁琐 1. 公式法（万能法） 求根公式： 判别式： ：方程有两个不相等的实数根 ：方程有两个相等的实数根 ：方程无实数根 三、根与系数的关系（韦达定理） 设方程 的两根为 、，且： 1. 两根之和： 2. 两根之积： 四、高频易错点 1. 忽略的前提条件 2. 直接开平方时漏掉正负号 3. 用韦达定理时未验证 4. 因式分解前未化为一般式 知识7 一元一次不等式（组）的解法与解集在数轴上的表示 一、一元一次不等式解法 1.解题步骤 去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1 2.核心规则 移项只改变项的符号，不改变不等号方向 两边同乘/除以负数时，不等号方向必须改变 二、 一元一次不等式组解法 1. 分别求出每个不等式的解集 2. 找所有解集的公共部分 3. 解集口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小找不到（无解） 三、解集在数轴上的表示 1. 空心圆圈：不包含该点，对应符号 >、< 2. 实心圆点：包含该点，对应符号 ≥、≤ 3. 方向规则：大于向右画，小于向左画 四、高频易错点 1. 系数为负数时，忘记改变不等号方向 2. 空心、实心混淆，数轴方向画反 3. 不等式组只看单个解，忽略公共解集 知识8 方程与不等式实际应用的审题与等量/不等量关系构建 一、审题核心步骤（解题关键前提） 1. 三审要素 · 审已知量、未知量、限制条件，圈画题干关键词； 2. 统一规范 · 统一单位、统一变量含义，区分求精确值（方程）/求取值范围（不等式）； 3. 抓隐含条件 · 人数、件数、长度等必为非负数/正整数，分式、二次根式有意义的约束。 二、等量关系构建（列方程/方程组） 核心逻辑 找固定不变、总量相等、差值固定、倍数确定的关系，列等式求解精确值。 高频等量关系模板 1. 和差倍分：总量=各部分和；较大量=较小量±差值；倍数关系直接列式 2. 行程问题 路程=速度×时间；相遇：路程和=总路程；追及：路程差=初始距离 3. 工程问题 工作总量=效率×时间；合作效率=各效率和；常设总工作量为1 4. 利润问题 利润=售价-进价；利润率=利润/进价×100%；售价=标价×折扣 5. 配套问题：两种部件数量成固定比例 6. 面积/周长：几何公式直接列等式 7. 数字问题：多位数=数位数字×位权之和 三、不等量关系构建（列不等式/不等式组） 核心逻辑 抓范围类、限制类关键词，列不等式求解取值范围。 关键词→不等号对应 至少、不少于、不低于 → ≥ 至多、不超过、不大于 → ≤ 不足、少于、低于 → ＜ 超过、多于、高于 → ＞ 常见不等约束 用料不超预算、人数不超限额、成本不高于定值 方案最优：满足多个限制条件，求整数解 实际隐含：未知数≥0，且多为正整数 四、通用解题流程 审题→设未知数→找等量/不等量关系→列方程/不等式→求解→双重检验→作答 1. 数学检验：解是否符合方程/不等式 2. 实际检验：解是否符合现实意义（正整数、非负等） 五、高频易错点 1. 混淆“至少” “不足”等关键词，不等号方向写错 2. 漏看实际隐含限制，出现负数、小数解 3. 单位不统一导致关系列错 4. 只列式不检验，忽略不符合实际的解 命题预测1：实数的混合运算 [2024年14(1)、2025年14(1)] 1．（2026·四川成都·一模）计算题 (1)； (2)解方程：． 2．（2025·四川成都·模拟预测）按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)解不等式组：． 3．（2025·四川成都·模拟预测）（1）计算：； （2）解不等式组： 4．（2025·四川成都·二模）计算与解不等式组 (1)计算：； (2)解不等式组： 5．（2025·四川成都·二模）（1）计算：． （2）解不等式组：． 命题预测2：整式的化简与变形 [2025年19题] 1．（2025·四川成都·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川成都·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2020·四川巴中·模拟预测）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们定义一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川成都·二模）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·四川南充·模拟预测）设，，为整数，且对一切实数都有恒成立，则_____________． 命题预测3：分式方程的求解 [2024年10题] 1．（2023·四川成都·二模）若关于x的分式方程有增根，则a的值是 （ ） A． B． C．0 D．1 2．（2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为______． 3．（2025·四川广元·模拟预测）若关于x的分式方程有增根，则________． 4．（2024·四川宜宾·模拟预测）关于分式方程无解，则的值为________． 5．（2025·四川成都·二模）已知关于x的方程的解是，则m的值是________． 6．（2024·四川成都·模拟预测）若整数使得关于的分式方程有整数解，且使得二次函数的值恒为非负数，则所有满足条件的整数的值之和是________． 命题预测4：一元一次不等式（组）的求解 [2024年14(2)、2025年14(2)] 1．（2025·四川资阳·三模）函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 2．（2025·四川资阳·二模）函数中自变量的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D．且， 3．（2025·四川成都·二模）关于x的不等式的解集是__________. 4．（2025·四川成都·模拟预测）当________时，在实数范围内有意义． 5．（2025·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，已知点和点是二次函数图象上的两点．若对于，都有，则a的取值范围是______；若对于，，都有，则a的取值范围是______． 6．（2025·四川乐山·模拟预测）求与的和为正数时，的取值范围，并在数轴上表示出来． 命题预测5：一次方程（组）的实际应用 [2024年7题、2025年6题] 1．（2025·四川成都·一模）对于三边的长是三个连续正整数的三角形，下列说法错误的是（   ） A．至少存在一个钝角三角形 B．至多存在一个直角三角形 C．至少存在一个锐角三角形 D．至多存在一个钝角三角形 2．（2025·四川成都·模拟预测）某班级组织的社会实践活动“我是夜市小摊主”，分成甲乙丙三组开展活动．三个小组均购买A，B两种款式的文创用品，其中甲乙两组购买记录如下表． 组别 A型文创用品（件） B型文创用品（件） 合计金额（元） 甲 20 25 800 乙 10 20 550 (1)求A，B两种型号文创用品的单价． (2)丙小组计划购买A，B两种型号的文创用品共40件，预算不超过725元，则B型文创用品最多可以购买几件？ 3．（2025·四川成都·二模）在数字经济时代，成都加大对电子信息、生物医药及人工智能等领域的投资力度，促进“成都造”的品牌价值和市场认可度．某工厂现有，两个工种的工人共人，每月发工人工资元，，两个工种的工人的月工资分别为元和元． (1)，两个工种的工人各有多少人？ (2)现工厂扩大生产投入，需再招聘，两个工种的工人共名，招聘要求全工厂工种的人数不少于工种人数的倍，那么此次招聘工种工人多少人时，可使每月所付的工资总额最少？并求出最少工资总额． 4．（2025·四川广元·一模）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲型号手机二月份比一月份售价每台降价500元．如果卖出相同数量的甲型号手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元． (1)一月份甲型号手机每台售价为多少元？ (2)为了提高利润，该店计划三月份加入乙型号手机销售，已知甲型号每台进价为3500元，乙型号每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？ (3)若三月份甲型号手机售价与二月份一样，乙型号手机售价比甲型号手机三月份的售价贵800元，在（2）的前提下哪种方案获利最大？ 5．（2025·四川成都·模拟预测）文化与情感的共燃、创意设计和温情表达的相辅相成使得中国传统节日文创产品出圈．某商店经销一种文创书签，该书签的进价是每个元，经过一段时间的销售发现，该书签每天的销售量y(个)与每个的售价x(元)之间的函数关系如图所示． (1)求y关于x的函数关系式； (2)在每天的销售量不低于个的情况下，若要每天获得的销售利润为元，则该书签每个的售价是多少？ (3)该商店决定这种书签的售价每个不能高于元，且每销售1个这种书签就向某文化机构捐款n元，捐款后发现，该商店每天销售这种书签所获利润随售价的增大而增大，求n的取值范围． 6．（2025·四川广安·模拟预测）网络销售已经成为一种热门的销售方式．为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售盐皮蛋，成本价为每箱40元．经市场调研发现，盐皮蛋的日销售量（箱）与销售单价（元/箱）之间满足一次函数关系．当售价为50元时，日销售量为350箱；售价为60元时，日销售量为300箱．设销售盐皮蛋每日获得的利润为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)当盐皮蛋售价为多少元时，每日可获得最大利润，最大利润是多少元？ (3)要求盐皮蛋日销售量不少于250箱，且售价不低于40元，当售价为多少元时，每日可获得最大利润是多少元？ 7．（2025·四川泸州·模拟预测）某体育用品商店计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共200套进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过120套；已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费255元．乒乓球拍售价为50元/套，羽毛球拍售价为80元/套． (1)分别求出每套乒乓球拍和羽毛球拍的进价是多少元？ (2)商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半，如何进货才能使这批体育用品全部售完时获利最大？ 8．（2025·四川绵阳·模拟预测）某工厂从外地连续两次购得，两种原料，购买情况如表：现计划租用甲，乙两种货车共8辆将两次购得的原料一次性运回工厂． （吨） （吨） 费用（元） 第一次 12 8 33600 第二次 8 4 20800 (1)，两种原料每吨的进价各是多少元？ (2)已知一辆甲种货车可装4吨种原料和1吨种原料；一辆乙种货车可装，两种原料各2吨．甲种货车的运费是每辆400元，乙种货车的运费是每辆350元．设安排甲种货车辆，总运费为元，求（元）与（辆）之间的函数关系式；为何值时，总运费最小，最小值是多少元？ 命题预测6：一元二次方程根与系数的关系 [2024年20题] 1．（2025·四川广元·一模）若方程的两根为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（2025·四川绵阳·一模）若关于的方程的一根大于，另一根小于，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川南充·一模）已知：点在直线上，抛物线上两点，，点B在C的左侧，令，若，，则w的取值范围是（） A． B． C． D． 4．（2025·四川成都·一模）已知，a，b是一元二次方程的两个根，则______． 5．（2025·四川成都·模拟预测）已知是一元二次方程的两根，则__________． 6．（2025·四川成都·模拟预测）已知，是方程的两个实数根，则的值为______． 7．（2025·四川绵阳·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若是方程的两个不相等的实数根，且满足，求k的值． 命题预测7：方程与不等式的综合实际应用 [2024年24题、2025年24题] 1．（2025·四川雅安·二模）为了响应国家低碳出行号召和降低经营成本，某市出租车公司准备把油车更换成电车．现有A，B两种品牌的电车可供选择，若购买3辆A品牌电车和4辆B品牌电车，共需花费万元；若购买2辆A品牌电车和6辆B品牌电车，共需花费万元． (1)求每辆A品牌电车和每辆B品牌电车的价格； (2)若出租车公司需要购买A，B两种品牌的电车共辆（两种品牌的电车均需购买），购买B品牌电车数量不超过购买A品牌电车数量的，为使购买电车的总费用最低，应购买A品牌电车和B品牌电车各多少辆？购买电车的总费用最低为多少万元？ 2．（2025·四川泸州·二模）初三体育进入专项训练，某学校打算采购一批篮球和实心球供同学们使用，调查发现购买3个篮球和4个实心球需290元；购买4个篮球和5个实心球需380元． (1)求篮球、实心球的单价各是多少元？ (2)该校计划采购篮球、实心球共200个，总费用不超过6100元，且篮球个数不少于实心球个数的，请为该校设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 3．（2025·四川绵阳·三模）某商家准备购进甲、乙两种粽子进行销售，若甲种粽子的进价比乙种粽子的进价每盒少5元，其用90元购进甲种粽子的数量与用100元购进乙种粽子的数量相同． (1)求甲种粽子、乙种粽子的进价分别是每盒多少元？ (2)若该商家购进甲种粽子的数量是乙种粽子的3倍少5盒，两种粽子的总数不少于95盒，计划采购粽子的资金共5325元，已知该商家甲种粽子的销售价格为50元/盒，乙种粽子的销售价格为每件58元/盒，则购进的甲、乙两种粽子全部售出后，销售的总利润最多能达到多少元？ 4．（2025·四川绵阳·一模）一公司要将240吨货物运往某地销售，经与物流公司协商，计划租用甲、乙两种型号的卡车共15辆，用这15辆卡车一次性将货物全部运走，其中每辆甲型卡车最多能装该种货物15吨，每辆乙型卡车最多能装该种货物18吨．已知租用3辆甲型卡车和2辆乙型卡车共需费用3100元；租用2辆甲型卡车和1辆乙型卡车共需费用1850元，且同一型号卡车每辆租车费用相同． (1)求租用1辆甲型卡车、1辆乙型卡车的费用分别是多少元． (2)若该公司预算此次租车费用不超过9500元，请计算该公司采用什么租车方案的费用最少，求出最少租车费用． 5．（2025·四川泸州·三模）为了抓住我市旅游文化艺术节的商机，某商店决定购进A，B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要元． (1)求购进A，B两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定购进这两种纪念品共件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这件纪念品的资金不少于元，但不超过元，若销售每件A种纪念品可获利润元，每件B种纪念品可获利润元，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 6．（2025·四川德阳·二模）随着全民健身意识的增强和体育产业的高质量发展，运动鞋市场的需求日益增长．某运动品牌专卖店为了抓住这一市场机遇，准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如表．已知购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共需10000元． 甲 乙 进价/（元/双） m 售价/（元/双） 240 160 (1)求m的值； (2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋每双优惠a（）元出售，乙种运动鞋价格不变，该专卖店要想获得最大利润应当如何进货？ 命题预测8：分式的化简求值【常考考点】 1．（2025·四川广元·一模）先化简、再求值：其中x为方程的根． 2．（2025·四川广元·一模）先化简，再求值：，其中． 3．（2025·四川广元·模拟预测）先化简，再求值： ，其中 4．（2025·四川广元·模拟预测）先化简，再求值：，其中的值是方程的一个根． 5．（2025·四川广元·三模）先化简，再求值：若，求代数式的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $