专题02 方程与不等式（解法+应用）6大题型（题型专练）（四川成都专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题02 方程与不等式（解法+应用） 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 一元一次方程、二元一次方程组的解法与应用 题型02 一元二次方程的解法、根的判别式、韦达定理与应用 题型03 分式方程的解法、增根、验根与应用 题型04 一元一次不等式(组)的解法、解集表示 题型05 不等式(组)整数解问题 题型06 方程(组)与不等式（组）综合实际应用题 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 一元一次方程、二元一次方程组的解法与应用 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·中考真题）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为________． 【答案】3 【分析】本题考查了程序框图的计算，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 根据程序框图的运算法则建立一元方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：3． 【典例02】（2025·四川成都·中考真题）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，根据合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱，列出方程组即可． 【详解】解：设良田为x亩，劣田为y亩，由题意，得： ； 故选A． 方法透视 考向解读 这是四川中考的基础必考点，难度较低，题型涵盖选择、填空、解答题： 1.直接求解：单独考查一元一次方程、二元一次方程组的标准解法（加减/代入消元法），多为解答题前2题的送分题。 2.实际应用：以购物、行程、工程、配套等生活场景为背景，列方程（组）解决问题。 方法技能 1.一元一次方程解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1，注意去分母时不要漏乘常数项。 2.二元一次方程组解法： · 代入消元法：适合有系数为±1的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示，代入另一方程求解。 · 加减消元法：适合同一未知数系数相同/相反的情况，通过加减消去一个未知数，转化为一元一次方程。 3.应用题通用步骤：审清题意→设未知数→找等量关系列方程（组）→解方程（组）→检验并作答，关键是找准题目中的数量关系。 变式演练 【变式01】（2025·四川绵阳·中考真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一个问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，问快马几天可追上慢马？据此可知快马追上慢马的天数是（   ） A．5天 B．10天 C．15天 D．20天 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的行程问题，根据题意找到对应的数量关系是解题关键． 设快马追上慢马的天数为x天，根据两匹马的行走距离相等列方程求解即可． 【详解】解：设快马追上慢马的天数为x天，则追上时慢马走了天， 由题意，得， 解得， 故快马追上慢马的天数为20天， 故选：D． 【变式02】（2025·四川·中考真题）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两”，即可列出关于x、y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：∵5头牛、2只羊，共值金10两， ∴； ∵2头牛、5只羊，共值金8两， ∴． ∴根据题意可列出方程组． 故选：D． 【变式03】（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ，得：， ∴的平方根是； 故选：C． 题型02 一元二次方程的解法、根的判别式、韦达定理与应用 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·中考真题）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，树状图法或列表法求解概率，根据判别式和一元二次方程的定义可得，则且，再列出表格得到所有等可能性的结果数，接着找到且的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 列表如下： 1 2 1 2 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中满足且的结果数有，，，共3种， ∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为， 故答案为：． 【典例02】（2025·四川乐山·中考真题）若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为和，则，． 【详解】解：∵和是方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：C 方法透视 考向解读 四川中考的核心考点，题型涵盖选填、解答题，常结合二次函数考查： 1.解法考查：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，其中公式法是通用解法，配方法常与二次函数顶点式结合考查。 2.根的判别式：利用Δ=b2−4ac判断根的情况，或已知根的情况反求参数范围，注意二次项系数不为0的隐含条件。 3.韦达定理（根与系数的关系）：利用求代数式的值，或结合判别式综合考查参数问题。 4.实际应用：增长率、利润、面积等问题，需根据题意列方程并检验解的合理性。 方法技能 1.解法选择技巧： · 方程形如ax2=c，优先用直接开平方法； · 方程易因式分解（十字相乘），优先用因式分解法； · 所有方程通用公式法，计算前先算判别式Δ，判断根的情况。 2.判别式解题要点： · Δ>0：两个不相等的实数根； · Δ=0：两个相等的实数根； · Δ<0：无实数根； · 含参数问题需先保证二次项系数不为0，再结合Δ列不等式。 3.韦达定理应用： · 求对称式的值，如x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2； · 已知一根求另一根或参数，注意先验证方程有实根（Δ≥0）。 变式演练 【变式01】（2026·四川成都·一模）某特色美食街的商户七月份的营业额为万元，九月份的营业额为万元，若月均增长率为，则根据题意可列方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程实际应用中的增长率问题，理解题意并正确列出代数式是关键． 根据每月营业额的增长关系推导九月份营业额的表达式，再结合已知条件列方程． 【详解】解：∵七月份的营业额为万元，月均增长率为， ∴八月份的营业额为万元，九月份的营业额为万元， ∴方程为． 故选：C． 【变式02】（2026·四川成都·一模）已知a是一元二次方程的一个根，则的值为_____________． 【答案】2 【分析】用a代替一元二次方程中的x，可得，把展开，化成，整体代入计算即可． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 【变式03】（2025·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系，是解题的关键．根据根与系数之间的关系，得到，将代数式用多项式乘以多项式的法则展开后，利用整体代入法进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴ ； 故答案为：． 题型03 分式方程的解法、增根、验根与应用 典例引领 【典例01】（2025·四川资阳·中考真题）方程的解为______． 【答案】2 【分析】本题考查解分式方程，去分母，将方程化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：； 经检验，是原方程的解， 故答案为：2． 【典例02】（2025·四川遂宁·中考真题）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．2 B．3 C．0或2 D．或3 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程无解问题，掌握求解的方法是解题的关键； 将分式方程转化为整式方程，分析无解的两种情况：整式方程无解或解为增根（使分母为零），分别求解即可． 【详解】解：原方程两边同乘，得： 化简得：， 即； 当整式方程无解时：即当且时，即，此时方程无解； 当解为增根时：即当解时， 解得，此时使原方程分母为零，无意义； 综上，的值为或； 故选：D． 【典例03】（2025·四川雅安·中考真题）甲、乙两人加工同一种零件，甲比乙每小时多加工20个这种零件，甲加工200个这种零件所用的时间与乙加工160个这种零件所用的时间相等，甲、乙两人每小时各加工多少个这种零件？设乙每小时加工这种零件x个，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出甲每小时加工这种零件个，再根据工作效率、工作总量与时间的关系列出方程即可． 【详解】解：由题意，乙每小时加工这种零件个，则甲每小时加工这种零件个， ∵甲加工200个这种零件所用的时间与乙加工160个这种零件所用的时间相等， ∴可列方程为． 方法透视 考向解读 四川中考高频考点，题型涵盖选填、解答题，易错点集中在增根与验根： 1.基础解法：解可化为一元一次方程的分式方程，解答题中常单独命题，需完整写出检验步骤。 2.增根与无解问题：已知分式方程有增根或无解，反求参数值，区分 “增根” 和 “无解” 的不同情况。 3.实际应用：工程、行程、购买等场景，列分式方程解决问题，必须检验解是否为增根且符合实际意义。 方法技能 1.分式方程标准解法： · 找最简公分母，方程两边同乘公分母去分母，化为整式方程； · 解整式方程； 2.验根：将解代入最简公分母，若公分母为0，则为增根，舍去；若不为0，则为原方程的解。 3.增根与无解解题技巧： · 增根：去分母后整式方程的解，使原分式方程的分母为0； · 无解：两种情况，一是整式方程无解，二是整式方程的解都是增根； · 解题时先确定增根的可能值，再代入整式方程求参数。 4.应用题避坑：设未知数时注意单位，列方程后需同时检验是否为增根、是否符合实际情境（如人数、数量为正整数）。 变式演练 【变式01】（2025·四川成都·模拟预测）分式方程的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程，再检验解是否使分母为零． 【详解】解： 方程两边同乘最简公分母 ，得： 化简得： 移项，合并同类项得： 解得： 检验：当 时，分母， 故原方程的解为 ． 【变式02】（2025·四川成都·二模）若关于的分式方程有增根，则的值为________． 【答案】3 【分析】本题考查分式方程的增根，理解“分式方程的增根是去分母后所化为整式方程的根”是解决问题的关键，分式方程有增根与分式方程无解意义不同．先解方程，再根据方程的增根为，可求出k值． 【详解】解：关于的分式方程， 去分母得，， 关于的分式方程的增根是， ， 故答案为：3． 【变式03】（2025·四川成都·模拟预测）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题∶“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽有x株，则符合题意的方程是（   ）(椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，根据每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，以及这批椽的价钱为6210文可分别表示出1株椽的价钱，据此可建立方程． 【详解】解：∵每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱， ∴1株椽的价钱为文， ∵这批椽的价钱为6210文， ∴1株椽的价钱为文， ∴， 故选：D． 题型04 一元一次不等式(组)的解法、解集表示 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·中考真题）（1）计算：． （2）解不等式组： 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，熟知运算法则和不等式组的解法是解题的关键． （1）分别根据负整数指数幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数、绝对值的性质进行计算，再把结果相加减； （2）分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以原不等式组的解集为． 【典例02】（2025·四川自贡·中考真题）解不等式组：，并在数轴上表示其解集． 【答案】，见解析 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，先分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 在数轴上表示其解集如下： ∴不等式组的解集为：． 方法透视 考向解读 四川中考基础考点，多为选填和解答题前半部分： 1.直接求解：解一元一次不等式（组），并在数轴上表示解集，注意空心/实心点、方向的区别。 2.性质应用：利用不等式的性质判断变形是否正确，或比较代数式的大小。 3.实际应用：以方案选择、资源分配为背景，列不等式（组）求取值范围，为后续整数解问题铺垫。 方法技能 1.不等式（组）解法： · 一元一次不等式：步骤同一元一次方程，但注意两边同乘/除以负数时，不等号方向必须改变； · 一元一次不等式组：分别解每个不等式，再取公共解集，口诀 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”。 2.数轴表示解集：大于向右画，小于向左画；有等号用实心圆点，无等号用空心圆圈。 3.应用题关键：找题目中的 “不超过、不少于、至少、最多” 等关键词，转化为不等关系，列出不等式（组）。 变式演练 【变式01】35．（2025·四川成都·二模）计算： (1)； (2)解不等式组：． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，不等式组的解法，熟练掌握各种计算公式，准确求不等式组的解集是解题的关键． （1）先去绝对值，把特殊角三角函数值代入，计算零指数幂，化为最简二次根式，再合并即可； （2）解出每个不等式的解集，再求公共解集即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：； ∴不等式组的解集为． 【变式02】（2025·四川雅安·中考真题）计算和解不等式组 (1)； (2)，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】(1)2025 (2)，数轴见解析 【分析】（1）先根据零指数幂，绝对值和根式进行计算，再算加减即可； （2）先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解不等式得，； 解不等式，得． 所以不等式组的解集是． 在数轴上表示不等式组的解集为： 【变式03】（2025·四川南充·中考真题）不等式组的解集是，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集，熟知不等式组的解集取值规则是关键． 先分别求出每一个不等式的解集，再根据两个解集结合不等式组的解集求出m的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴． 故答案为： 题型05 不等式(组)整数解问题 典例引领 【典例01】37．（2025·四川成都·三模）（1）计算： （2）求不等式组的整数解． 【答案】（1）；（2）整数解为1，2，3． 【分析】本题考查实数的混合运算、解一元一次不等式组，涉及负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂及绝对值，再加减运算即可求解； （2）先求得每个不等式的解集，再求得公共部分得到不等式组的解集，进而可求得整数解． 【详解】解：（1） ； （2）， 由①得：； 由②得：， ∴不等式组的解集为， 则原不等式组的整数解为1，2，3． 【典例02】（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 【答案】B 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可． 【详解】解： 解①得： 解②得：， ∵关于x的不等式组至少有两个正整数解 ∴不等式组的解集为． ∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数． 当时，解集包含， 此时． 分式方程化简为：， 解得． 要求解为正整数且，则为大于等于2的整数， 即为大于等于6的偶数． ∵， ∴或8， 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 则所有满足条件的整数之和为， 故选：B． 方法透视 考向解读 四川中考易错考点，多为选填题或解答题小问，难度中等，是区分度题型： 1.直接求整数解：解不等式（组），写出其整数解、非负整数解、正整数解等，或求整数解的和 / 个数。 2.含参整数解问题：已知不等式（组）的整数解个数，反求参数的取值范围，是高频易错点。 方法技能 1.直接求整数解步骤：先解不等式（组）得解集，再在数轴上画出解集，标出整数点，写出符合条件的整数。 2.含参整数解解题技巧（数轴法）： · 先解不含参数的不等式，得到一个固定解集； · 再解含参数的不等式，得到含参数的解集； · 在数轴上画出两个解集的公共部分，结合题目给出的整数解个数，确定参数的边界值，注意边界的开闭（是否能取等号）。 3.避坑要点：整数解个数对应的参数范围，端点处需单独验证，避免漏写或多写等号。 变式演练 【变式01】（2025·四川成都·三模）（1）计算： （2）求不等式组的整数解． 【答案】（1）；（2）整数解为1，2，3． 【分析】本题考查实数的混合运算、解一元一次不等式组，涉及负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂及绝对值，再加减运算即可求解； （2）先求得每个不等式的解集，再求得公共部分得到不等式组的解集，进而可求得整数解． 【详解】解：（1） ； （2）， 由①得：； 由②得：， ∴不等式组的解集为， 则原不等式组的整数解为1，2，3． 【变式02】（2025·四川成都·三模）已知是不等式的正整数解，则分式方程有整数解的概率为__________． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，一元一次不等式组的整数解，解分式方程等知识，解不等式组得，所以正整数的值为4、5、6、7，解分式方程得，再分别求出的值即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：解不等式组得：， ∴正整数的值为4、5、6、7， 解分式方程得：， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴分式方程有整数解的概率为， 故答案为： 【变式02】（2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据找不等式的解集和已知得出关于P的不等式组是解此题的关键．先根据新定义化简关于的不等式，根据不等式组有3个整数解，得出，进而解不等式组，即可求解． 【详解】解：∵ ∴关于a的不等式组即 解不等式①得： 解不等式②得： ∵不等式组有3个整数解， ∴整数解为， ∴ 解得： 故答案为：． 题型06 方程(组)与不等式（组）综合实际应用题 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·中考真题）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． (1)求每个A种挂件的价格； (2)某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 【答案】(1)每个A种挂件的价格为25元 (2)该游客最多购买11个A种挂件 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的关键． （1）设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为，根据题意列分式方程求解即可； （2）设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为元． 根据题意，得， 解得，经检验是原方程的解，且符合题意， 答：每个A种挂件的价格为25元； （2）解：设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件， 由（1）得每个B种挂件的价格为（元）， 根据题意，得， 解得， 由于y为正整数， 故该游客最多购买11个A种挂件． 【典例02】（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 【答案】(1)A型相册每本零售价60元，B型相册每本零售价50元 (2)该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元 【分析】该题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设这家商场型相册每本的零售价是元，型相册每本的零售价是元，根据“购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买本型相册，则购买本型相册，根据“购买型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元； （2）解：设购买本型相册，则购买本型相册， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为10，11，12， ∴该社团共有3种购买方案， 方案1：购买10本型相册，5本型相册； 方案2：购买11本型相册，4本型相册； 方案3：购买12本型相册，3本型相册． 选择购买方案1所需费用为（元）； 选择购买方案2所需费用为（元）； 选择购买方案3所需费用为（元）， ， ∴方案1所需费用最少． 答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元． 方法透视 考向解读 四川中考解答题压轴前的核心题型，常作为第23-24题出现，侧重综合应用： 1.两步走命题：第一问用方程(组)求单价/基础量，第二问用不等式（组）求方案或最值，如 “采购物资”“利润最大化” 问题。 2.多方案选择：结合实际场景，根据限制条件列出不等式组，找出所有可行方案，再通过一次函数求最优方案。 3.跨情境应用：结合工程、行程、销售、环保等热点情境，考查列方程（组）、不等式（组）解决实际问题的能力。 方法技能 1.解题通用模板： · 审题：梳理题目中的等量关系和不等关系； · 设元：根据等量关系设未知数，列方程（组）求解基础量（如单价、速度）； · 列不等式：根据限制条件（如预算、数量限制）列不等式（组），求取值范围； · 确定方案：结合未知数的整数限制，找出所有可行方案，再通过一次函数的单调性求最值方案。 2.关键技巧： 1.区分等量关系和不等关系，等量关系用方程，不等关系用不等式； 2.方案问题中，未知数通常为正整数，需在取值范围内筛选整数解； 3.求最值时，若为一次函数，直接根据k的正负判断增减性，结合取值范围确定最值。 变式演练 【变式01】（2025·四川遂宁·中考真题）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料： 材料一：已知购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元；购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元． 材料二：据统计该社区需购买两种型号的新型垃圾桶共个，但总费用不超过元，且型号的新型垃圾桶数量不少于型号的新型垃圾桶数量的． 请根据以上材料，完成下列任务： 任务一：求两种型号的新型垃圾桶的单价？ 任务二：有哪几种购买方案？ 任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？ 【答案】任务一：种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元；任务二：有三种购买方案：①购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个；②购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个；③购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个；任务三：购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个更省钱，最低购买费用是元． 【分析】任务一：设种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元，根据题意列出方程组即可求解； 任务二：设购买种型号的新型垃圾桶个，则购买种型号的新型垃圾桶个，根据题意列出不等式组，解不等式组求出的取值范围即可求解； 任务三：由种型号的新型垃圾桶价格更低，可知购买种型号的新型垃圾桶越多，购买费用越低，据此解答即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，有理数混合运算的实际应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：任务一：设种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元， 由题意得，， 解得， 答：种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元； 任务二：设购买种型号的新型垃圾桶个，则购买种型号的新型垃圾桶个， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴或或， ∴有三种购买方案：①购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个； ②购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个； ③购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个； 任务三：∵种型号的新型垃圾桶价格更低， ∴购买种型号的新型垃圾桶越多，购买费用越低， 即购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个更省钱， ∴最低购买费用为元， 答：购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个更省钱，最低购买费用是元． 【变式02】（2025·四川成都·二模）某学校需要增加保洁物品，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．现要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元.某商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． (1)求毛巾和扫把簸箕套装的单价； (2)如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 【答案】(1)毛巾的单价是2元，扫把簸箕套装的单价是6元 (2)学校应购进50套扫把簸箕套装，150条毛巾 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设毛巾的单价是元，扫把簸箕套装的单价是元，根据“买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设学校应购进套扫把簸箕套装，则购进条毛巾，分别按两种优惠方案购买，根据“总费用不超过480元，且购进扫把簸箕套装不少于50套”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的值（即购进扫把簸箕套装的数量），再将其代入中，即可求出购进毛巾的数量． 【详解】（1）解：设毛巾的单价是元，扫把簸箕套装的单价是元， 根据题意得：， 解得． 答：毛巾的单价是2元，扫把簸箕套装的单价是6元． （2）解：设学校应购进套扫把簸箕套装，则购进条毛巾， 按方案1购买时， ，解得， ∴（条）． 按方案2购买时， ， ∵该不等式组无解，∴不能按方案2购买． 答：学校应购进50套扫把簸箕套装，150条毛巾． 【变式03】（2025·四川眉山·中考真题）国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份食品的质量为，其核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） 碳水化合物（单位：） A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 (1)若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少份？ (2)若每份午餐选用这两种食品共，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？ 【答案】(1)选用A、B两种食品分别为份和2份； (2)应选用A、B两种食品分别为2份和份； 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设选用A、B两种食品分别为份和份，结合选用A、B两种食品分别为份和份，列出方程组，进行计算，即可作答． （2）结合每份食品的质量为，每份午餐选用这两种食品共，则选用B种食品份，再列出不等式，得，然后设能量为，则，运用一次函数的性质进行作答即可． 【详解】（1）解：设选用A、B两种食品分别为份和份， ∵这两种食品中摄入能量和蛋白质， ∴， ∴， ∴选用A、B两种食品分别为份和2份； （2）解：设选用A种食品份， 依题意，， 即选用B种食品份， 则 ， 解得， 设能量为， 则 ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时能量最低， 即， ∴应选用A、B两种食品分别为2份和份． 题●型●训●练 1．（2025·四川巴中·中考真题）《九章算术》中记载：今有共买砖，人出半盈四；人出少半，不足三．问人数，砖价各几何？其大意是：今有人合伙买砖石，每人出钱，会多出4钱，每人出钱，又差3钱．问人数，砖价各是多少？设人数为x，砖价为y，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程即可解答，正确找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得方程组， ， 故选：A． 2．（2025·四川德阳·中考真题）在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则x为（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】设买鸡的人数为，根据两种不同出钱方式下鸡的价钱不变这一关系，分别表示出两种情况下鸡的价钱，建立方程求解即可．本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系（鸡的价钱不变 ）建立方程求解是解题的关键． 【详解】根据题意，每人出9文钱时，总钱数为文，多出11文，故鸡的价钱为文； 每人出6文钱时，总钱数为文，不足16文，故鸡的价钱为文． 列方程： 解得： 故买鸡的人数为9人， 故选：D． 3．（2025·四川自贡·中考真题）某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形．若大平行四边形短边长．则小地砖短边长（    ） A．7cm B．8 C．9 D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每块小平行四边形地砖的长为，宽为，由图示可得等量关系：①2个长个长4个宽，②一个长一个宽，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每块小平行四边形地砖的长为，宽为， 由题意得：， 解得：， 则每块小平行四边形地砖的短边长为， 故选：B． 4．（2025·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意写出的正整数解，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 正整数解为：，；，；，共3个， 故选：C． 5．（2026·四川成都·一模）方程的解为_____________． 【答案】 【分析】去分母把分式方程转化为整式方程，求解整式方程后，检验所得根是否使原方程分母不为零，即可得到原方程的解． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，． 所以是原分式方程的解． 6．（2025·四川·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为______． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可． 【详解】根据题意得，， 解得， 故答案为：． 7．（2026·四川巴中·一模）关于的方程有增根，则的值为______． 【答案】1 【分析】先将分式方程化为整式方程，分式方程有增根，则增根使原分式分母为零，由此可得增根的值，将增根代入整式方程即可求出的值． 【详解】解： ∵原方程有增根，且原方程的增根满足，即， 把代入得， 解得． 8．（2026·四川绵阳·二模）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____． 【答案】 且 【分析】根据分式方程解的情况求参数的取值范围，先解出分式方程的解，再根据解为正数且分式有意义列出不等式求解即可. 【详解】解：， 整理得， 方程两边同乘得， ， 展开整理得， 解得， 分式方程的解为正数，且分式有意义时分母不为， 且，即且， 解得且. 9．（2026·四川广安·模拟预测）若关于的不等式组至少有两个正整数解，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为___________． 【答案】14 【分析】先解不等式组并结合解的情况确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可． 【详解】解：， 解不等式①得： 解不等式②得：， ∵关于x的不等式组至少有两个正整数解 ∴不等式组的解集为． ∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数． ∴，解得：． 分式方程化简为：，解得． 要求解为正整数且，则为大于等于2的整数，即a为大于等于6的偶数． ∵， ∴或8， ∴所有满足条件的整数a之和为． 10．（2025·四川成都·模拟预测）（1）计算： （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握运算法则和解一元一次不等式组的步骤． （1）代入特殊角的三角函数值，然后化简计算各数，再进行计算即可； （2）分别求每一个不等式的解集，再取解集的公共部分作为不等式组的解集． 【详解】解：（1） ； （2） 由①得； 由②得， ∴原不等式的解集为． 11．（2025·四川成都·二模）（1）计算：． （2）解方程： 【答案】（1）  （2） 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，分式方程的解法； （1）先化简绝对值，计算零次幂，代入特殊角的三角函数值，分母有理化，再合并即可； （2）先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 【详解】解：（1） ； （2）； 去分母得：， 整理得：， 解得：，， 经检验：是增根，是原方程的解． 12．（2026·四川德阳·模拟预测）学校准备打造雅博书苑，计划购进甲，乙两种规格书柜放置书籍，甲书柜可放置四层书籍共100本，乙书柜可放置六层共200本书籍，书柜厂家报价：若购买甲书柜10个，乙书柜8个，共需资金5400元；若购买甲书柜5个，乙书柜10个共需资金5100元． (1)甲，乙两种书柜的单价分别是多少钱？ (2)若学校准备投入不超过6920元购买甲，乙两种书柜共20个，并且保证书苑的藏书量至少为3200本．请问一共有几种购买方案？ 【答案】(1)甲书柜单价为220元，乙书柜单价为400元 (2)一共有3种购买方案 【分析】（1）设甲书柜单价为元，乙书柜单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设甲书柜购买个，乙书柜购买个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可得出结果． 【详解】（1）解：设甲书柜单价为元，乙书柜单价为元， 由题意可得： ， 解得： ， 答：甲书柜单价为220元，乙书柜单价为400元； （2）解：设甲书柜购买个，乙书柜购买个， 由题意可得： ， 解得： ， ∵为正整数， ∴或或，   故一共有3种购买方案． 13．（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ (3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 【答案】(1)A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； (2)至少需要购进B款纪念品200个 (3)，W的最大值为4500 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键． （1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可； （2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个，根据购买资金不超过12000元建立不等式求解即可； （3）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可． 【详解】（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； （2）解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个； （3）解：由题意得， ， ∵， ∴当，即时，W最大，最大值为4500． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程与不等式（解法+应用） 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 一元一次方程、二元一次方程组的解法与应用 题型02 一元二次方程的解法、根的判别式、韦达定理与应用 题型03 分式方程的解法、增根、验根与应用 题型04 一元一次不等式(组)的解法、解集表示 题型05 不等式(组)整数解问题 题型06 方程(组)与不等式（组）综合实际应用题 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 一元一次方程、二元一次方程组的解法与应用 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·中考真题）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为________． 【典例02】（2025·四川成都·中考真题）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 这是四川中考的基础必考点，难度较低，题型涵盖选择、填空、解答题： 1.直接求解：单独考查一元一次方程、二元一次方程组的标准解法（加减/代入消元法），多为解答题前2题的送分题。 2.实际应用：以购物、行程、工程、配套等生活场景为背景，列方程（组）解决问题。 方法技能 1.一元一次方程解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1，注意去分母时不要漏乘常数项。 2.二元一次方程组解法： · 代入消元法：适合有系数为±1的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示，代入另一方程求解。 · 加减消元法：适合同一未知数系数相同/相反的情况，通过加减消去一个未知数，转化为一元一次方程。 3.应用题通用步骤：审清题意→设未知数→找等量关系列方程（组）→解方程（组）→检验并作答，关键是找准题目中的数量关系。 变式演练 【变式01】（2025·四川绵阳·中考真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一个问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，问快马几天可追上慢马？据此可知快马追上慢马的天数是（   ） A．5天 B．10天 C．15天 D．20天 【变式02】（2025·四川·中考真题）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 【变式03】（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 题型02 一元二次方程的解法、根的判别式、韦达定理与应用 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·中考真题）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为________． 【典例02】（2025·四川乐山·中考真题）若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 方法透视 考向解读 四川中考的核心考点，题型涵盖选填、解答题，常结合二次函数考查： 1.解法考查：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，其中公式法是通用解法，配方法常与二次函数顶点式结合考查。 2.根的判别式：利用Δ=b2−4ac判断根的情况，或已知根的情况反求参数范围，注意二次项系数不为0的隐含条件。 3.韦达定理（根与系数的关系）：利用求代数式的值，或结合判别式综合考查参数问题。 4.实际应用：增长率、利润、面积等问题，需根据题意列方程并检验解的合理性。 方法技能 1.解法选择技巧： · 方程形如ax2=c，优先用直接开平方法； · 方程易因式分解（十字相乘），优先用因式分解法； · 所有方程通用公式法，计算前先算判别式Δ，判断根的情况。 2.判别式解题要点： · Δ>0：两个不相等的实数根； · Δ=0：两个相等的实数根； · Δ<0：无实数根； · 含参数问题需先保证二次项系数不为0，再结合Δ列不等式。 3.韦达定理应用： · 求对称式的值，如x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2； · 已知一根求另一根或参数，注意先验证方程有实根（Δ≥0）。 变式演练 【变式01】（2026·四川成都·一模）某特色美食街的商户七月份的营业额为万元，九月份的营业额为万元，若月均增长率为，则根据题意可列方程为（    ）． A． B． C． D． 【变式02】（2026·四川成都·一模）已知a是一元二次方程的一个根，则的值为_____________． 【变式03】（2025·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为________． 题型03 分式方程的解法、增根、验根与应用 典例引领 【典例01】（2025·四川资阳·中考真题）方程的解为______． 【典例02】（2025·四川遂宁·中考真题）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．2 B．3 C．0或2 D．或3 【典例03】（2025·四川雅安·中考真题）甲、乙两人加工同一种零件，甲比乙每小时多加工20个这种零件，甲加工200个这种零件所用的时间与乙加工160个这种零件所用的时间相等，甲、乙两人每小时各加工多少个这种零件？设乙每小时加工这种零件x个，可列方程为（   ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 四川中考高频考点，题型涵盖选填、解答题，易错点集中在增根与验根： 1.基础解法：解可化为一元一次方程的分式方程，解答题中常单独命题，需完整写出检验步骤。 2.增根与无解问题：已知分式方程有增根或无解，反求参数值，区分 “增根” 和 “无解” 的不同情况。 3.实际应用：工程、行程、购买等场景，列分式方程解决问题，必须检验解是否为增根且符合实际意义。 方法技能 1.分式方程标准解法： · 找最简公分母，方程两边同乘公分母去分母，化为整式方程； · 解整式方程； 2.验根：将解代入最简公分母，若公分母为0，则为增根，舍去；若不为0，则为原方程的解。 3.增根与无解解题技巧： · 增根：去分母后整式方程的解，使原分式方程的分母为0； · 无解：两种情况，一是整式方程无解，二是整式方程的解都是增根； · 解题时先确定增根的可能值，再代入整式方程求参数。 4.应用题避坑：设未知数时注意单位，列方程后需同时检验是否为增根、是否符合实际情境（如人数、数量为正整数）。 变式演练 【变式01】（2025·四川成都·模拟预测）分式方程的解是______． 【变式02】（2025·四川成都·二模）若关于的分式方程有增根，则的值为________． 【变式03】（2025·四川成都·模拟预测）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题∶“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽有x株，则符合题意的方程是（   ）(椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆) A． B． C． D． 题型04 一元一次不等式(组)的解法、解集表示 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·中考真题）（1）计算：． （2）解不等式组： 【典例02】（2025·四川自贡·中考真题）解不等式组：，并在数轴上表示其解集． 方法透视 考向解读 四川中考基础考点，多为选填和解答题前半部分： 1.直接求解：解一元一次不等式（组），并在数轴上表示解集，注意空心/实心点、方向的区别。 2.性质应用：利用不等式的性质判断变形是否正确，或比较代数式的大小。 3.实际应用：以方案选择、资源分配为背景，列不等式（组）求取值范围，为后续整数解问题铺垫。 方法技能 1.不等式（组）解法： · 一元一次不等式：步骤同一元一次方程，但注意两边同乘/除以负数时，不等号方向必须改变； · 一元一次不等式组：分别解每个不等式，再取公共解集，口诀 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”。 2.数轴表示解集：大于向右画，小于向左画；有等号用实心圆点，无等号用空心圆圈。 3.应用题关键：找题目中的 “不超过、不少于、至少、最多” 等关键词，转化为不等关系，列出不等式（组）。 变式演练 【变式01】35．（2025·四川成都·二模）计算： (1)； (2)解不等式组：． 【变式02】（2025·四川雅安·中考真题）计算和解不等式组 (1)； (2)，并把它的解集表示在数轴上． 【变式03】（2025·四川南充·中考真题）不等式组的解集是，则的取值范围是________． 题型05 不等式(组)整数解问题 典例引领 【典例01】37．（2025·四川成都·三模）（1）计算： （2）求不等式组的整数解． 【典例02】（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 方法透视 考向解读 四川中考易错考点，多为选填题或解答题小问，难度中等，是区分度题型： 1.直接求整数解：解不等式（组），写出其整数解、非负整数解、正整数解等，或求整数解的和 / 个数。 2.含参整数解问题：已知不等式（组）的整数解个数，反求参数的取值范围，是高频易错点。 方法技能 1.直接求整数解步骤：先解不等式（组）得解集，再在数轴上画出解集，标出整数点，写出符合条件的整数。 2.含参整数解解题技巧（数轴法）： · 先解不含参数的不等式，得到一个固定解集； · 再解含参数的不等式，得到含参数的解集； · 在数轴上画出两个解集的公共部分，结合题目给出的整数解个数，确定参数的边界值，注意边界的开闭（是否能取等号）。 3.避坑要点：整数解个数对应的参数范围，端点处需单独验证，避免漏写或多写等号。 变式演练 【变式01】（2025·四川成都·三模）（1）计算： （2）求不等式组的整数解． 【变式02】（2025·四川成都·三模）已知是不等式的正整数解，则分式方程有整数解的概率为__________． 【变式02】（2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是______． 题型06 方程(组)与不等式（组）综合实际应用题 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·中考真题）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． (1)求每个A种挂件的价格； (2)某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 【典例02】（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 方法透视 考向解读 四川中考解答题压轴前的核心题型，常作为第23-24题出现，侧重综合应用： 1.两步走命题：第一问用方程(组)求单价/基础量，第二问用不等式（组）求方案或最值，如 “采购物资”“利润最大化” 问题。 2.多方案选择：结合实际场景，根据限制条件列出不等式组，找出所有可行方案，再通过一次函数求最优方案。 3.跨情境应用：结合工程、行程、销售、环保等热点情境，考查列方程（组）、不等式（组）解决实际问题的能力。 方法技能 1.解题通用模板： · 审题：梳理题目中的等量关系和不等关系； · 设元：根据等量关系设未知数，列方程（组）求解基础量（如单价、速度）； · 列不等式：根据限制条件（如预算、数量限制）列不等式（组），求取值范围； · 确定方案：结合未知数的整数限制，找出所有可行方案，再通过一次函数的单调性求最值方案。 2.关键技巧： 1.区分等量关系和不等关系，等量关系用方程，不等关系用不等式； 2.方案问题中，未知数通常为正整数，需在取值范围内筛选整数解； 3.求最值时，若为一次函数，直接根据k的正负判断增减性，结合取值范围确定最值。 变式演练 【变式01】（2025·四川遂宁·中考真题）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料： 材料一：已知购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元；购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元． 材料二：据统计该社区需购买两种型号的新型垃圾桶共个，但总费用不超过元，且型号的新型垃圾桶数量不少于型号的新型垃圾桶数量的． 请根据以上材料，完成下列任务： 任务一：求两种型号的新型垃圾桶的单价？ 任务二：有哪几种购买方案？ 任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？ 【变式02】（2025·四川成都·二模）某学校需要增加保洁物品，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．现要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元.某商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． (1)求毛巾和扫把簸箕套装的单价； (2)如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 【变式03】（2025·四川眉山·中考真题）国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份食品的质量为，其核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） 碳水化合物（单位：） A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 (1)若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少份？ (2)若每份午餐选用这两种食品共，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？ 题●型●训●练 1．（2025·四川巴中·中考真题）《九章算术》中记载：今有共买砖，人出半盈四；人出少半，不足三．问人数，砖价各几何？其大意是：今有人合伙买砖石，每人出钱，会多出4钱，每人出钱，又差3钱．问人数，砖价各是多少？设人数为x，砖价为y，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川德阳·中考真题）在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则x为（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 3．（2025·四川自贡·中考真题）某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形．若大平行四边形短边长．则小地砖短边长（    ） A．7cm B．8 C．9 D． 4．（2025·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2026·四川成都·一模）方程的解为_____________． 6．（2025·四川·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为______． 7．（2026·四川巴中·一模）关于的方程有增根，则的值为______． 8．（2026·四川绵阳·二模）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____． 9．（2026·四川广安·模拟预测）若关于的不等式组至少有两个正整数解，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为___________． 10．（2025·四川成都·模拟预测）（1）计算： （2）解不等式组： 11．（2025·四川成都·二模）（1）计算：． （2）解方程： 12．（2026·四川德阳·模拟预测）学校准备打造雅博书苑，计划购进甲，乙两种规格书柜放置书籍，甲书柜可放置四层书籍共100本，乙书柜可放置六层共200本书籍，书柜厂家报价：若购买甲书柜10个，乙书柜8个，共需资金5400元；若购买甲书柜5个，乙书柜10个共需资金5100元． (1)甲，乙两种书柜的单价分别是多少钱？ (2)若学校准备投入不超过6920元购买甲，乙两种书柜共20个，并且保证书苑的藏书量至少为3200本．请问一共有几种购买方案？ 13．（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ (3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 公司2 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