精品解析：河南许昌市禹州市第三高级中学2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学试题

高一数学试卷 一､单选题 1. 化简（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的加法和减法运算求解. 【详解】解：， ， 故选：A 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. 3 C. 1或 D. 1或3 【答案】C 【解析】 【分析】先应用向量加法，再应用垂直得出平面向量的数量积为0计算求参. 【详解】因为，， 所以. 又，所以， 解得或. 故选：C. 3. 已知，是平面内的一组基底，，，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（ ） A. 9 B. 13 C. 15 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，，再结合三点共线的定义求解即可. 【详解】因为，，， 所以， ， 又因为A，B，C三点共线，所以， 即， 所以解得，． 故选：C． 4. 已知两个单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的运算律求出，再由投影向量的定义计算可得. 【详解】由单位向量，满足， 所以，解得， 则在上的投影向量为． 故选：B． 5. 已知的内角的对边分别是，则“是钝角三角形”是 “” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先举出反例，得到充分性不成立，再由余弦定理得到必要性成立. 【详解】若△ABC中B为钝角，则C为锐角，，即有，故充分性不成立； 若，由余弦定理得即C为钝角，故必要性成立. 故选：B. 6. 已知向量，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用与的夹角为钝角等价于且不共线，即可计算出答案. 【详解】依题可得，且不共线，即 解得且. 故选: 【点睛】本题考查向量的坐标运算.属于基础题.解本题时需要注意的是与的夹角为钝角等价于且不共线，不共线是非常容易遗忘的. 7. 已知为直线外一点，且，若，，三点共线，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，，三点共线，可得，结合基本不等式即可求. 【详解】因为，，三点共线， 所以存在非零实数，使得， 所以， 所以， 所以， 所以. 当时等号成立，所以的最小值为 故选：A 8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示结合余弦定理可得，再由三角形的面积公式求解即可； 【详解】因，，且， 所以，化. 所以，解得. 所以. 故选：C. 二､多选题 9. 若向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与平行 C. 在上的投影向量为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据平面向量的模的坐标公式计算即可判断；对于B，根据平面向量的坐标判断即可；对于C，根据投影向量的定义计算即可；对于D，先根据平面向量夹角余弦的坐标公式计算，再利用平方关系求正弦值即可. 【详解】A选项：，则，，则，所以，故A正确； B选项：，又，因为，所以与不平行，故B错误； C选项：，又，所以，， 所以在上的投影向量为，故C正确； D选项：，又， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 中，内角，，的对边分别为，，，已知，点是边上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，求出比例即可判断A选项；由余弦定理得，结合向量数量积即可判断B选项；由向量的线性运算得即可判断C选项；取中点，由求出最小值即可判断D选项. 【详解】 设，则，三式联立解得，对于A，，A正确； 对于B，，则，B错误； 对于C，若，则，则， 即，即，则，，C正确； 对于D，若，则，取中点，连接， 则，显然当时，最小， 此时，则，则的最小值为，D正确. 故选：ACD. 11. 如图，已知正八边形的边长为1，是它的中心，是它边上任意一点，则（ ） A. 与不能构成一组基底 B. C. 在上的投影向量的模为 D. 的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】连接，建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到与平行，即可判断A；根据平面向量加法法则计算判断B；利用投影向量公式进行计算C；利用向量线性运算及向量数量积的运算法则结合图形得到的最值，即可判断D. 【详解】对于A：连接，，， ， ， ， 以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则 ， ， 与平行，不能构成一组基底，故A正确； 对于B：，， ， ， ，故B错误； 对于C：，，， ，， 在向量上的投影向量的模长为，故C错误； 对于D：取的中点，则，， ，， 两式相减得：， 当点与点或重合时，最大，最大值为， 的最大值为， 当点与点重合时，最小为，的最小值为， 的取值范围为，故D正确. 故选：AD. 三､填空题 12. 已知向量满足，，，，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】将中的移项平方，则可求解. 【详解】由得， 则， 又，，， 则， 解得. 13. 在中，角所对的边分别为，，，，若三角形有两解，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理整理可得，构建，可知在内有2个零点，结合二次函数零点分布运算求解. 【详解】由余弦定理可得，即， 整理可得， 构建，可知在内有2个零点， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 在中，内角A，B，C所对的边分别为，已知且，则外接圆面积为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】在中，由余弦定理及题中条件可求得的值，进而求出的值，再利用正弦定理求解外接圆半径，即可求解. 【详解】在中，由及余弦定理可得： ， ∴. ，. 设外接圆半径为，则由正弦定理可知：，即. ∴外接圆面积为. 故答案为：. 四､解答题. 15. 已知，，且与的夹角为60°. （1）求的值 （2）求的值； （3）若向量与平行，求实数的值． 【答案】（1）60 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由平面向量数量积的运算法则及向量模的计算式求值即可； （2）根据平面向量数量积的定义，运算法则及向量模的计算式求值即可； （3）由平面向量共线定理及平面向量基本定理列出方程组求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以. 【小问2详解】 因为，，且与的夹角为60°， 所以， 所以， 所以. 【小问3详解】 因为向量与平行，所以， 由平面向量基本定理可得， 解得或， 所以的值为. 16. 的内角，，的对边分别为，，，已知，，为锐角． （1）求； （2）若，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据余弦定理计算得出，再计算得出再结合角的范围得出； （2）先根据正弦定理得出，再由余弦定理求出，即可得到的周长. 【小问1详解】 因为，即， 由余弦定理得， 因为，所以， 又因为，所以， 因为为锐角，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，又， 由正弦定理得， 由余弦定理， 则，即， 解得或（舍去）， 所以的周长为. 17. 如图，菱形中，. （1）若，求值； （2）若，求. 【答案】（1）1 （2）9 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算求，结合平面向量的基本定理求得，进而求得. （2）先求得，然后利用转化法求得 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 所以， 故. 【小问2详解】 ， ， 为菱形，， 所以， . 18. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若周长为6，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求解． （2）由余弦定理得，结合的周长，求得，再求出三角形的面积． （3）由正弦定理得，结合锐角三角形的条件及三角函数性质求出范围． 【小问1详解】 由正弦定理及得，， 因为，所以，则， 若，则，矛盾，则， 又，所以． 【小问2详解】 由余弦定理，得， 由周长6，得，解得， 所以的面积． 【小问3详解】 在锐角中，由，得，则， 又，则， 由正弦定理得 ， 所以的范围是． 19. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，． （1）求向量，的仿射坐标； （2）当时，求； （3）设，若对恒成立，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）向量的线性运算计算即可； （2）应用向量夹角公式计算即可； （3）先把恒成立转化为向量的数量积求出向量的模，再结合余弦函数的值域求解. 【小问1详解】 由已知得，所以的仿射坐标为， 同理，所以的仿射坐标为． 【小问2详解】 当时，，，， 所以， ， ， 所以． 【小问3详解】 ， ， ， 由得． 得对恒成立， 又．所以，得． 此时． 因为，，所以， 所以，所以， 所以的最大值为． 【点睛】方法点睛：先把恒成立转化为向量的数量积求出向量的模，再结合余弦函数的值域求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 一､单选题 1. 化简（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. 3 C. 1或 D. 1或3 3. 已知，是平面内的一组基底，，，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（ ） A. 9 B. 13 C. 15 D. 18 4. 已知两个单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知的内角的对边分别是，则“是钝角三角形”是 “” 的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知向量，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知为直线外一点，且，若，，三点共线，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 3 二､多选题 9. 若向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与平行 C. 在上的投影向量为 D. 10. 中，内角，，的对边分别为，，，已知，点是边上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则的最小值为 11. 如图，已知正八边形边长为1，是它的中心，是它边上任意一点，则（ ） A. 与不能构成一组基底 B. C. 在上的投影向量的模为 D. 的取值范围为 三､填空题 12. 已知向量满足，，，，则__________. 13. 在中，角所对的边分别为，，，，若三角形有两解，则实数的取值范围是___________. 14. 在中，内角A，B，C所对的边分别为，已知且，则外接圆面积为_________. 四､解答题. 15. 已知，，且与的夹角为60°. （1）求值 （2）求的值； （3）若向量与平行，求实数的值． 16. 的内角，，的对边分别为，，，已知，，为锐角． （1）求； （2）若，求的周长． 17. 如图，在菱形中，. （1）若，求的值； （2）若，求. 18. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若周长为6，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的范围． 19. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，． （1）求向量，的仿射坐标； （2）当时，求； （3）设，若对恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $